 Ok, então nós continuamos agora no segundo dia dos minicursos, no terceiro minicurso, minicurso 3, combinatória de superfícies quadriculadas e geometria de espaços de módulos, é um prazer introduzindo Mateus, que vai falar hoje nesse minicurso. Obrigado, Yuri. Bem-vindos, então, à segunda aula desse minicurso. Então, eu vou continuar falando hoje sobre superfícies quadriculadas e, mais precisamente, sobre os grupos de VIT dela. E a ideia é que, já hoje a gente vai começar a ver a relação desses grupos de VIT com outros objetos que aparecem bastante inteira dos números, que são os grupos de crongruência. E amanhã e depois o VanSan vai insistir em outro ponto, que é a questão da contagem, os problemas de contagem de superfícies quadriculadas em um estratoclado e a relação com formas quase modulares e valores multi-Z. Então, a ideia, a partir de agora, que a gente vai na aula de hoje, nas próximas duas, tentar estabelecer conexões de superfícies quadriculadas com outros objetos de interesse inteira dos números. E na sexta-feira, eu vou falar um pouco de órbitas por essas dois superfícies quadriculadas. Então, esse é o plano para semana. E como eu falei, hoje, então, a gente vai tentar relacionar superfícies quadriculadas com os chamados grupos de congruência principais. Então, antes de falar disso, eu vou começar falando de uma noção que é a de origami característico e o nome motivado pela seguinte observação. Lembra que uma das definições de origami que a gente deu, superfícies quadriculadas, foi como um recobrimento finito do toro T2, ou seja, o toro quadrado, o qual não era ramificado, exceto, talvez na origem. Ou seja, tinha aquele problema no canto do quadrado, que poderia ter vários pontos que estão colapsando não só, quando a gente tomava as identificações por translações. Mas se não, fora da origem, não tem nenhum problema. Todo ponto tem um certo número de pre imagens que é constante, que é o número de quadrados do origão. Então, uma coisa, uma primeira estrutura interessante que a gente vê a partir disso é pensar justamente na teoria de recobrimento. A gente aprende na teoria de recobrimento que existe um chamado teorema de correspondência galoaseana, que imita um pouco a correspondência galoaca a gente aprende, em álgebra, que é que todo recobrimento corresponde a um subgrupo de infinito do P1 da base, do grupo fundamental da base. Então, a ideia aqui vai ser a seguinte, vai ser que para descrever um tal origâmio, um tal recobrimento finito do toro, o que a gente precisa descrever de fato é o seguinte, a gente pode pegar nosso toro quadrado, a gente vai perfurar o toro tirando a origem e o que a gente vai fazer é olhar para o P1 do subjeto perfurado, a gente tira o ponto de ramificação. Então, fazendo isso, o grupo fundamental do objeto resultante que é a superfície perfurada é gerado por dois laços. Então, eu posso escolher um ponto básico qualquer de x pequeno aqui e eu posso construir dois laços, um que vai para cima, como na figura, e outro que vai para direita na figura. Eu posso dar nomes para esses caminhos, digamos esse aqui é o caminho x e esse aqui é o caminho y, só porque parece com os eixos. E de fato dá para provar o que esses caminhos fechados, porque entram pela identificação, saem pelo outro lado e voltam para o mesmo ponto. Esses dois caminhos vão gerar um grupo, e de fato vai gerar todo o grupo fundamental, todo o elemento da curva fechada nesse ponto, se descreve como um certo número de idas para direita ou para esquerda e um certo número de idas para cima ou para baixo. E esses elementos geram um grupo que é livre, então esse eu chamei de F2, o grupo livre em geral eu vou chamar de Fn, livre para free, F para free. Então a afirmação é que quando eu tiro esse ponto, de fato não tem relação nenhuma. Em geral se eu colocar sobre o ponto de volta, o que aconteceria é que o comutador, ou seja, se você faz x, y, x, y, y, y, você pode fazer a deformação no toro e ver que isso corresponde a um pequeno laço do ponto de vista homotópico, corresponde a um pequeno laço em torno do zero, e se eu coloco o ponto, esse laço é trivial. Então eu teria um grupo com uma relação que é que o comutador desaparece, o seu grupo abeliano livre. Mas como eu tirei o ponto aqui, realmente é um grupo livre. E aí a ideia é a seguinte, a ideia é que para determinar o origami, agora o que eu preciso fazer é simplesmente declarar quando eu começo a levantar essas curvas, usando a TV de recobrimento, eu preciso declarar quais curvas vão se fechar e quais curvas serão ainda abertas. Então por exemplo, se eu pego o origami com três quadrados, a gente vê que por exemplo, se eu começo a levantar essa curva de x, ela vai sair desse ponto, a partir desse ponto, levanta a partir desse ponto, então a curva começa a ser descrita aqui, mas no meu origami ela ainda não fechou. Para fechar eu tenho que aplicar uma nova vez. Então isso significa que na descrição desse origami, o elemento x ao quadrado vai pertencer ao meu grupo H. O H é o subgrupo de elementos, que quando eu levanto, dão ciclos triviais em cima. E como eu estou fazendo um recobrimento finito, esse grupo vai ter índice finito no grupo livre. Isso é a teria de recobrimento básico, que a gente aprende em topologia algebra, essa dualidade entre subgrupos do P1 e recobrimento. Muito bem, isso vai ser bastante útil para a gente pelo seguinte, porque de novo esse curso de superfície quadriluculada pode ter vários gostos, matemática, e eu estou insistindo bastante em gostos combinatórios, então por isso eu estou insistindo nesse ponto de vista, porque chegar no grupo livre vai permitir fazer combinatória rapidinho. Então a primeira coisa que eu vou fazer é definir o que é um origami característico. O origami é dito característico, se o grupo de galoar, ou seja, esse grupo que está associado ao recobrimento, ele é um grupo característico do grupo livre. E qual a definição de um grupo característico do grupo livre é simplesmente um grupo que é invariante por todos os automorfismos de F2? Pergunta, exemplo de origami característico, é sempre um bom exemplo. A gente já viu um exemplo. De fato, aquele origami que eu falei que tem o nome alemão, o Ierlinger von Miesau, que é gerado a partir do grupo quaternionico com relações de 2 igual a J2, igual a 2 igual menos 1 e J2k. Esse origami é característico, é um bom exercício. Eu acho que vai ser discutido no tutorial, mas de fato é um bom exercício verificar esse exemplo característico. E de fato, todo o origami, todo o superfície escolar e o clara, é dominado por um origami característico. Então, como é que a gente prova isso? Bom, a gente prova usando novamente a correspondência galoaseana entre subgrupos do P1 e recobrimentos. Então, a ideia é que a gente começa com um origami qualquer ou dado por um subgrupo H. E agora, a gente toma intercessão de todas as imagens DCH pelos automorfismos. Então, a observação é que esse cara é um grupo de índice finito dentro da F2. Por quê? Pelo seguinte, a primeira coisa é que como isso aqui é um automorfismo, ele não muda o índice do grupo. Então, se o H tem índice N fixo, o Fí de H também vai ter índice N fixo. E agora tem um resultado bacana que vocês podem tentar demonstrar, se você não encontrar esse fato ainda, que diz o seguinte, que se você tem um grupo finitamente gerado, você não precisa gerar por dois elementos, mas finitamente gerado, então o número de subgrupos de índice fixado é finito. E como é que você prova isso? Basicamente, você olha para a ação dos elementos do grupo nas classes de equivalência do grupo H, ou seja, o número finito N. Isso te dá permutações. E, então, basicamente, cada grupo que dá uma permutação te dá um homomorfismo do seu grupo F2 num grupo de permutações Sn. E quando os grupos são distintos, dá para checar que essas permutações são distintas. E agora você realiza que, como o grupo é finitamente gerado, o número de homomorfismos entre o seu grupo e o grupo simétrico é finito, porque basta de escrever a imagem de cada gerador. Então, assim você prova que esse cara tem índice finito, porque só essa interseção aqui, de fato, apesar de ter muitos homomorfismos de F2, é só uma interseção sobre o número finito de caras. E agora a gente usa de novo a correspondência galalaziana. Quando a gente toma um subgrupo de um cara, o que a gente está fazendo é construir um recobrimento do oridão que a gente começou. Então, a gente acabou de provar, com esse argumento de que todo o origami é recoberto por um origami característico. Então, esse tipo de origami ele abunda na natureza e do ponto de vista da linguagem da geometria, já que ele domina qualquer origami. Por outro lado, esse tipo de construção não é mais eficiente para dar exemplo de origamis característicos, porque lembra que o Vomixal, eu afirmei que era característico, ele tem oito quadrados, mas se você tenta fazer o exercício de pegar essa construção e aplicar no origami em L, com três quadrados, o recobrimento resultante vai ser um recobrimento com 108 quadrados. Então, vai ser um origami bem grande. Então, normalmente, isso é o mal da teoria. Tem essa função teórica que sempre te garante que dá para fazer um recobrimento para que ele seja característico, mas normalmente esse recobrimento pode ser bem grande. Tá ok? E por que eu estou falando de origami característico? O que é que ele tem a ver essa relação com a F2? E qual o interesse disso na nossa discussão anterior? O interesse é o seguinte, é que os automorfismos de F2 são uma relaçãozinha com o grupo linear GL2Z. E isso é uma descoberta do Nielsen que o grupo de automorfismo do grupo livre em duas letras, ele faz parte de uma sequência exata curta, que é essa que eu escrevi aqui. Então, começa com o grupo trivial, tem esse grupo aqui que é o IN F2, que é o grupo de automorfismos internos, ou seja, os automorfismos que você obtém são por conjugação de um elemento de F2 nos outros elementos. Então, deixa eu só lembrar o que é automorfismo interno. É simplesmente você escolhe um X e aí a ação do X no G é simplesmente conjugar o G pelo X. Isso obviamente da automorfismo do grupo. E aí o Nielsen provou que de fato os automorfismos externos, quando você esquece, você toma o consenso de que não são esses automorfismos um pouco triviais, digamos, ou automáticos da teoria, esses caras, os automorfismos externos, é um grupo que é isomórfo ao GL2Z. E, de fato, a construção da flecha que dá esses automorfismos é bem explícita. O que você tem que fazer é o seguinte, você pega o seu automorfismo F e faz a seguinte brincadeira. Você pega o F e aplica no gerador do grupo livre, X e Y. Então, se você aplica o F no X esse vai ter uma palavra em X e Y, com várias potências. A mesma coisa, você aplica o F no Y, a palavra vai ser potência de X e Y. Aí o que você faz é o seguinte, você produz uma matriz e em cada canto da matriz você coloca as potências de X com sinal, ou seja, se você vê um X a menos um, você bota o sinal menos. Se você vê um X, você põe mais. Então você conta com multiplicidade o número de aparições de X na palavra Phi de X. Depois você conta as aparições de X na palavra Phi de Y, depois o número de Y no Phi de X e o número de Y no Phi de Y. Então, obviamente, só por essa definição você dá para checar um pouco que essa sequência tem chance de ser exata. Por exemplo, se você pega um automorfismo interno você está conjugando. Então o número de X e Y que você vai colocar vai acabar cancelando. Esse nome X foi mal escolhido e deixa eu mudar. Eu estou vendo agora que eu fiz uma bobagem em chamar de X e vou chamar de H. Um elemento H vai agir em G como H em G em H inversa. Se você olha para esse automorfismo e olha o que ele faz na palavra X o número total de X porque tudo que aparece aqui vai ser cancelado lá. Então você vai ver que aplicando esse Phi um automorfismo interno você vai obter identidade. Então dá para ver que pelo menos ou seja, o núcleo de um é a imagem do outro. Uma inclusãozinha é dá para ver. O que o Nilssen fez foi o tramanão trivial de que, de fato, essa sequência é exata. Curta. Dito de outro modo, se você passar o côcio em termos internos, o que você vai ver como automorfismos externos vai ser esse grupo linear GL2Z. E esse teorema é um teorema que é parte de uma família de resultados e depois o teorema do Nilssen foi generalizado e é o chamado teorema, hoje em dia a gente chama de ter três autores, então tem o Den o Nilssen e o Bayer que é um teorema geral que relaciona automorfismos externos de grupos fundamentais de superfícies. Lembra, o F2, eu falei para vocês que era o grupo fundamental do toro, menos um ponto, uma superfície superfurada. Então ele relaciona os automorfismos do P1 de uma superfície de automorfismos externos com o chamado dos grupos modulares. O que é que é o grupo modular? Nesse caso é bem simples de entender. GL2Z é um grupo linear de matrizes que preserva o toro. Ou seja, se eu pego o toro quadrado qualquer matriz de GL2Z, ele age no toro preservando a rede. Porque o toro T2, vocês lembram que é C, modulo Z, mais Z. Então eu posso aplicar nesse cara GL2Z por definição que vai preservar a rede, então o toro vai ser levado no toro. Então é isso que eu chamo de ação modular, essa ação pelos homemorfismos da superfície na mesma mas de fato não estou interessado no homemorfismo em si, mas no que o pessoal chama de classe de isotopia. Ou seja, eu posso olhar para o homemorfismo o módulo de deformações. E o teorema é que se você olhar para homemorfismos do toro eles sempre são homotópicos a uma matriz. E aí essa matriz que eu estou olhando aqui. Então esse teorema que é um treino bem profundo na teoria de Tachmuda que é esse teorema de Dan Nielsen-Beier ele relaciona em geral automofismos externos de grupos e esse aqui é só um caso particular quando você especializa esse teorema no toro então ele acabou de discutir o caso particular mais básico digamos que é o teorema desses três autores no caso do toro. E como eu prometi que esse enfoque baseado em grupo livre e seus automofismos permite calcular grupos de evites de maneira combinatória. O resultado que foi demonstrado em 2004 por uma matemática alemã chamada Gabriela Schintusen é o seguinte é que o grupo de evites de um origami ele pode ser deduzido da seguinte maneira você olha para todos os automofismos eu botei esse mais significa automofismo de F2 aí você vai me perguntar o que é que é isso isso significa simplesmente seus automofismos de F2 cuja imagem por essa aplicação fi dá uma matriz de determinante mais um tá então se eu olhar para esses caras não olha para todos ou seja, se o determinante da menos um você esquece se eu olhar para esses automofismos que fixam o seu grupo inicial H que é o grupo de galoar do origami visto como repobrimento então você vai obter um subgrupo de SL2Z e esse subgrupo dá para provar que é o famoso grupo de evites que é o estabilizador dentro de SL2Z do origami então foi isso que ela provou em 2004 e como consequência desse teorema ela conseguiu checar que por exemplo que qualquer origami característico tem grupo de evites de SL2Z e lembra por definição você caracteriza e significa que você é invariante por todo o automofismo e aí se você tem todos os automofismos nesse conjunto a imagem é SL2Z porque a sequência é exata o seu objetivo é essa flecha então o coro lábio é direto é que qualquer origami característico tem grupo de evites de SL2Z e em particular todo origami ele é dominado por um que tem grupo de evites de SL2Z o que é SL2Z acontece com uma certa frequência de fato o que esse resultado diz é que se você olha para origamis módulo recobrimento o único grupo de evites que você vai ver é SL2Z claro que a gente não vai estar interessado em fazer isso mas a gente quer olhar origamis de fato em si não módulo recobrimento isso que o resultado está dizendo e de fato esse resultado não é interessante só do ponto de vista combinatório teórico mas ele é um resultado que é importante porque ele permitiu a Gabi Shintussen de construir um algoritmo de fato dá para implementar em 6 em particular talvez não é essa versão exata do artigo dela mas ela fez um artigo explicando como converter esse resultado no algoritmo em que você basicamente fornece o origami e dá o grupo de evites em particular você pode perguntar a Sage hoje em dia qualquer coisa sobre origamis que ele vai ter que responder isso em particular graças aos trabalhos de não só da Gabi Shintussen mas também o Vansano Lecois e outros tem muita implicação nisso são maiores de evites também bom, tem vários matemáticos de origamis e escutas calculadas que trabalharam com Sage para poder fazer pacotes onde você hoje em dia só dá Enter e ele já te dá a resposta de qual é o índice do grupo de evites quais são as singularidades cônicas tudo o que você sempre sonhou em perguntar no tutorial mas não teve coragem tá ok então para a aula de hoje eu não vou explicar esse algoritmo em si eu acho que vai ser explicado no tutorial pelo menos tem um exemplo na lista de exercícios que foi fornecida hoje de manhã o Emmanuel que está na home page do ECTP na nova versão das notas tem um exercício o cantante propõe de pegar um origami o L com 4 quadrados e aplicar esse algoritmo para calcular o grupo então não vou discutir isso na aula mas o que eu vou querer pegar para hoje é o seguinte esse algoritmo permitiu a Gabriela nesse mesmo ano, em 2004 de provar o seguinte ela considerou uma classe infinita de origamis que é o índice 2k que ela chama de origamis em x origami em x por que? porque a permutação horizontal dele é um 2k ciclo ou seja, um monte de quadrados um do lado do outro e a permutação vertical é 1, 2, 2, 1 então um ciclo, então um x ou seja, quando você sobe do 1 você vai para o 2 e quando você vai do 2 volta para o 1 então é meio que identificação em x 3, 4, 5, 6 etc ela chamou esse origami no artigo da de x origamis e usando o algoritmo dela ela provou algo bem importante sobre esses caras, ela provou que eles contém um grupo de matrizes que é bem estudado em periodismo mas que é o grupo de congruência principal o que é o grupo de congruência principal é o grupo de matriz em SL2z que quando você toma redução o módulo inteiro, nesse caso 2k você obtém identidade isso é o chamado grupo de congruência principal e isso é uma propriedade bem importante quando você está trabalhando com SL2z você ser congruência ou não pode mudar sua vida para certas questões então é isso que eu vou querer discutir eu vou querer discutir agora não o algoritmo em si mas eu vou querer discutir a questão de quais tipos de grupos de vite aparecem e a observação que eu tenho a fazer é que por enquanto a gente só viu grupos chamados de congruência a definição geral de um grupo de congruência é um grupo que contém um desses gama n são os grupos de matriz que estão identidade módulo n e até agora todos os anos que a gente viu são desse tipo dá para provar que o L com 3 quadrados tem esse tipo de grupo ele contém gama 2 os oligames característicos tem grupo SL2z isso faz sentido e por aí vai e os oligames em x também eram de congruência, ele contém esse grupo e aí você pode se perguntar será que isso é verdade sempre ou será que a gente consegue realizar outros tipos de grupos de vite e de fato isso é uma pergunta em aberto de fato é um problema que foi colocado pela primeira vez pelo Torso lá nos anos 70 acho que 76, me lembro bem e é um problema que a gente não sabe resolver até hoje mas claro a gente a comunidade trabalhou desde que o Torso colocou essa pergunta e um dos seus casos parciais importantes nessa linha é o seguinte teorema que é devido ao Jordan Alemberg e ao Mac Reynolds de 2012 o que é o seguinte, você me dá qualquer subgrupo de índice finito dentro do gama 2 que contém mais ou menos identidade então eles tem uma maneira de produzir uma superfície quadriculada cujo grupo de vite é esse grupo que você me prescreveu então isso já dá bastante coisa porque o gama 2 ele contém muita coisa mas logicamente que não responde a pergunta do Torso Matheus uma pergunta rapidinha sim e o respeito do gama n se existem origames cujo grupo de vite é exatamente o gama n sim, isso foi feito pela Gabriela Shintussan na test-doutora dela de fato ela deve estar mais só que contém, mas é exatamente isso, de fato eu consegui prescrever vários tipos de subgrupos de congruência porque quem faz teoria dos números sabe que existem variantes dessa condição você pode pedir por exemplo que a matriz seja gama n seja 1, 1, 0 e qualquer coisa que isso é uma variante também do congruência e quando você faz ela sabe realizar não só esses grupos gama n, mas também essas pequenas variantes que aparecem graças ao algoritmo que ela construiu e que eu não comentei a resposta curta sim então bom, tem essa pergunta do Torso que é bem interessante saber quais grupos podem ser conectados e não saber a resposta ainda, mas tem essa teorema que é bem poderoso e eu vou dar só uma ideia rápida dele porque a prova completa um pouco técnica e eu acho que não vale a pena, eu vou querer passar para outra coisa mas eu vou dar só uma ideia rápida para quem conhece um pouco de produto fibrado de recopimentos a ideia básica é a seguinte tem um esomorfismo que a gente aprende dependendo da universidade a gente aprende no curso de análise complexa se a gente usa o livro do Alphos que é o seguinte, existe um esomorfismo entre o cociente do plano hiperbólico pela ação de gama 2 e a esfera de rima menos 3 pontos tá isso tem muito a ver com funções de vaiestras e funções teta e o Alphos fala livro de redes complexas é natural falar dessas coisas você meio que começa a falar de formas modulares mas digamos vocês aceitam que existem esse esomorfismo e a ideia dos caras é a seguinte a ideia dos caras é que nessa situação que a gente está do teorema esse esomorfismo dá algo engraçado para a gente porque tem dois recopimentos acontecendo aqui e a ideia é que eles vão fazer um produto fibrado para colar esses dois recopimentos vamos devagar a ideia é a seguinte, a ideia é que tem esse esomorfismo que é conhecido da complexa vamos ver o livro do Alphos e também tem outra coisa que é que o gama 2 tem uma caracterização bonitinha em termos da ação do toro se você pega esse toro que é duas vezes maior do que eu defino normalmente eu estou chamando isso aqui de E2 é porque é uma curva elíptica na notação do curso do Héctor então essa é uma curva elíptica com mais hoje em dia que foi aplicada nela mas tudo bem, é duas vezes maior então esse toro tem quatro pontos que são particulares, tem a origem tem o ponto de coordenada 1, 0, 0, 1 e o 1, 1 esses pontos são os pontos que o pessoal chama de dois torção o que significa dois torsões e quando a gente adiciona a ele é o mesmo da zero no caso da curva definida por equações tipo y2 é igual a x3 mais blá blá blá a operação de grupo tem que passar por essas cordas etc mas aqui o que a gente está falando de redes é bem simples é simplesmente observação de que você pede esse ponto 1, 0 e adiciona a ele mesmo você vai ter o ponto 2, 0 e o 2, 0 está na rede, então ele é igual à origem então ele é o 0 a mesma coisa e o ponto 2 para o ponto 1, 1 no ponto 2 vista de redes é bem fácil entender o que é que a ação está ali de grupo em uma curva elitica e esses pontos são pontos fixados pelo gamma 2 dá para ver que o gamma 2 ele é gerado por duas matrizes gera pela matriz 1, 2, 0, 1 e a matriz 1, 0, 2, 1 então e olhando para ação dessas matrizes você vê que lá vai fixar esses pontos e a ideia é que agora você pode achar um outro C uma outra esfera de rima fazendo o cociente dessa curva pela ação de menos identidade que é o que o pessoal chama de evolução hiperelítica isso significa fazer o seguinte você pega esse E2 você olha para esses quatro pontos e aí você vai fazer que esses quatro pontos vão dividir seu E2 em quatro quadradinhos e se você aplicar menos identidade você vai colar essas coisas que você obtê é tipo um travesseiro uma esfera com quatro pontos de ramificação então digamos eu chamo esse lado aqui de branco e esse lado aqui de negro então quando eu fiz a identificação por mais ou menos identidade esse cara vai estar branco vai estar seu primeiro quadrado e atrás dele vai estar a parte escura quando eu faço o cociente por menos identidade é como se eu estivesse pegando esse quadrado e dobrando e colando mas só pelo bordo e então eu obtenho uma esfera essa esfera parece tanto aqui quanto no recobrimento que eu obtenho simplesmente olhando o gama como um subgrupo de gama 2 lembra da hipótese do termo de Lemberg McRailings que gama era um subgrupo de gama 2 então eu vejo C a base aparecer duas vezes em dois recobrimentos distintos e nessa situação tem uma operação indimitriogélica chamada produto fibrado que permite colar recobrimentos e se eu colar do jeito certo e o jeito certo é essa descrição que eu escrevi que é fazendo ramificações distintas nesses pontos nesses três pontos e de modo que a fibra seja isomorfa ao gama bom, tem uma teoria que garanta que dá pra fazer isso eu obtenho um origami que já vai estar muito próximo de seu que eu estou procurando para ser o cara que eu estou procurando basta fazer um novo recobrimento dele ramificando diferente no quarto ponto que sobra e aí eu consigo checar que esse cara resultante é o tal do origami que eu estava procurando com um grupo de vídeo prescrito tá? mas essa que é a ideia, a ideia básica é que você vai aproveitar desses homofícios no especial para colar do recobrimento do origami através desejada e o gama 2 aparece justamente porque eu preciso desses homofícios na base ok eu vou passar então para a última parte da aula se vocês não tem perguntas sobre esse assunto vou esperar um pouquinho vou tomar um café se uma pergunta geralmente quando você tem uma supertícia hiperbólica de volume infinito você tem pontos cônicos esses ângulos, eu não sei se aparecem aqui pontos cônicos e se às vezes esses têm que ver com os ângulos cônicos do origami é obvio que isso ocorre boa pergunta de fato para a gente não vai ter em geral para um gama qualquer você tem razão, aparecem pontos cônicos de fato eles aparecem quando o gama por exemplo SL2Z então na curva modular eu falei rapidamente no fim da primeira aula que a curva modular ela tinha esse domínio fundamental isso é um pequeno parêntese então a curva modular ela agia no semiplano ela agia no semiplano superior com o domínio fundamental que parecia algo desse tipo você tem que basicamente colar esse lado com esse por translação e aí tem um ponto no meio que era o I e tem que colar esse lado com esse quando você faz essa colagem você vê que aparece um ponto cônico um meio ponto e aparece um terço de ponto aqui no certo sentido para os grupos de concluência com índice maior, gama 2, gama 3 etc a partir de gama 3 a gente não tem torção então isso significa que esse ponto cônico não vai aparecer a gente só vai ter cúspides só a parte infinita não vai ter esses pontos engraçadinhos mas é verdade que em geral pode aparecer o nome dependendo do grupo que você está olhando ok, sim, graças outra pergunta relacionada o volume hiperbólico de h2 entre gama de 2 poderia ser a parte do origami? não não não o origami ele só entra o origami ele tem uma normalização de área que é um pouco arbitrária nesse sentido porque o origami ele basicamente ele contribui mais aqui nesse sentido, ele vai aparecer mais como gama e as contas da área dele dá para calcular a parte dessa coisa vai ser a área do origami dá para relacionar no fim das contas mas é uma forma meio a documento porque o origami ele vai ter volume que corresponde ao índice de gama dentro de gama 2 mais essa aplicação aqui que vai introduzir 4 quadrados como desenho aqui com relação ao toro que tem a base normal então vai ser 4 vezes isso vezes o grau desse recuprimento como é que conta aqui é então essa área do origami mas a área do h módulo gama 2 se você fixou o plano hiperbólico para ter corratura menos 1 dependendo da sua religião você pode fazer menos 1 ou corratura menos 4 para o plano hiperbólico se você quer que o fluxo g10 seja com uma velocidade a outra mas aí se você fixou menos 1 a área é um número fixo e o índice do origami então a resposta curta que não tem muito a relação entre os dois ok, graças ok bom eu vou passar então para o último tópico que é o seguinte até agora bom eu vou fazer a mesma reclamação vou continuar fazendo a mesma reclamação de antes que a gente não viu grupos de vit que não são de congruência não tem essa propria especial de identidade e módulo alguma coisa mas agora vamos ver que o teorema do Ellenberg permiti de provar a existência de origamis que tem grupo de vit que não é de congruência para provar isso eu vou usar um teorema famosíssimo do seu bergen que é o teorema 3 16 avos que diz o seguinte o seu bergen provou que se você olha para o primeiro valor próprio do Laplaciano dessa superfície hiperbólica o primeiro alto valor vai ser pelo menos 3 sobre 16 quando o cara é de congruência certo e de fato ele conjecturou é uma conjectura que tem aberta até hoje até onde eu sei que de fato o primeiro outro valor Laplaciano é pelo menos um quarto que é equivalente a dizer que não existe série complementar 2F ou seja que basicamente o espectro dessa superfície se compara bem com o espectro do plano hiperbólico o plano hiperbólico que você tem a ter de lax philips que diz que ele tem o zero bom o zero aqui aparece porque a função constantanha é 2 o plano hiperbólico não está mas aí o próximo cara é um quarto então ele diz que basicamente se compara bem com o plano hiperbólico não seria congruência então é difícil construir subgrupos de gama 2 que tem um primeiro outro valor Laplaciano aptamente próximo do zero quanto você queira como é que você faz isso você faz isso usando uma ideia que o pessoal de teira de grafos vai reconhecer rapidamente a ideia é que você vai querer construir uma superfície que vai parecer um grafo circular e aí para o grafo circular a própria dispensão é bem fraca e isso vai diminuir o meu outro valor e a gente faz o seguinte a primeira observação que você tem que fazer que gama 2 ele contém gama 6 e gama 6 se você fizer os exercícios dá para checar que gama 6 ele tem a seguinte cara ele é um toro com um certo número de cusps se você me perguntar quantos eu posso dar a resposta são 12 cusps mas bom interesse é mais ou menos que um toro com um monte de superbólico superfície de curvatura a ideia que agora a gente vai construir para construir um subgrupo eu vou tentar fazer um recobrimento dessa superfície vou tentar usar a mesma coisa que eu estou falando sempre que é a igualdade entre recobrimentos e subgrupos então eu vou pegar essa curva aqui e vou cortar eu corto com com a minha tesoura e aí eu venho para cá agora e agora vou fazer uma cópia desse cara eu vou fazer um número árbitro de cusps esse cara e vou colar umas nas outras ao longo desse gama meus desenhos não são muito bons porque eu não tenho muita prática ainda com a caneta tá mas eu não sei se a figura tá clara por aqui abrindo nesse exemplo eu peguei 4 cópias todas as adivinas são do mesmo tamanho devem ser cópias isométricas bom, não tá muito isométrico a ideia é que você pega um número qualquer digamos 2n desse cara e aí você consta uma nova superfície de superbólico que vai ter um certo grupo associado a essa pessoa consciente do plano de superbólico por um certo grupo agora a brincadeira é a seguinte a brincadeira que tem uma desigualdade tigger user que relaciona o primeiro valor do Laplaciano com a constante tigger ele diz exatamente que raiz de 10, primeiro alto valor ao quadrado mais 1 é menor do que 10 com constante tigger mais 1 eu não defini que é constante tigger mas a constante tigger diz basicamente o quão fácil é separar essa superfície usando geodescas curtas eu posso separar porque eu posso cortar esse cara usando só duas curvas se eu cortar usando duas curvas eu vou ter uma consenualitia que é no máximo duas vezes o comprimento dessa curva de alto dividido pela área do que sobra e a área do que sobra tem 2n cópias é n vezes a área de h a módulo gama 6 mas o ponto que fazendo n pra infinito seria pra 0 mas se o h vai pra 0 o lambda vai pra 0 então eu consigo fazendo n grande fazer o primeiro alto valor ficar altamente pequeno e aí pronto eu consigo combinar com seu berg dizer beleza se esse n for bem grande o que vai resultar aqui não pode ser congruência e pelo teorema dos caras se eu tenho um origami com esse grupo de vit e não é congruência bom pra fechar a aula eu acho que eu tenho ainda cinco minutos talvez um pouco mais sete minutos talvez não oito eu vou fechar essa aula dizendo o seguinte essa versão digamos é preguiçosa você não gosta muito de calcular bastante por um dos mais para combinar resultados poderosos você pega o seu berg combina com o elemberg e constrói esse exemplo agora se você gosta de fazer conta de fato pra construir origami com grupo de vit que não é de congruência não é necessário e muito longe basta olhar pra os L's os origamis que estão em H2 lembra que H2 é o extrato dos origamis cujo comutador tem um ciclo de tamanho 2 mais 1 3 e esses caras têm gênero 2 aquela forma que eu expliquei que 2g-2 é a soma dos caís então é basicamente o primeiro exemplo de extrato não trivial, você tira no toro o primeiro exemplo de extrato você vê alguma coisa interessante e nele você já encontra caras que não são de congruência vamos ver por que isso foi provado pelo Pascal Reuber eles provaram que de fato qualquer origami que você pegar em H2 o grupo de vit não vai ser de congruência se você pega o número de quadrados 4 tem que excluir o origami L com 3 quadrados porque, como eu falei pra vocês, dá pra checar que contém o gama 2 ele é de congruência mas se você tirar o primeiro exemplo todo mundo vai ser não é de congruência e de fato é mais radical ainda não só o grupo de vit não é de congruência é como ele tá bem longe de ser de congruência no seguinte sentido tem um teorema mais recente de 2015 da Gabriela Schmittusen que mostra a seguinte propriedade quando você tem um grupo de congruência por exemplo, se você pega exatamente o gama N o gama N, ele é um cara que quando você olha pra imagem dele dentro da redução, o módulo N ele tem índice igual a cardinalidade do SL2ZN porque por definição ele é um núcleo todo mundo se reduz, módulo N é a identidade um índice grande se o N for grande o que ela provou é que ao contrário os grupos de vit dos caras em H2 quando você olha a imagem dele dentro do SL2ZL o índice é pequeno um ou três é justamente o contrário se o gama N é um cara que todo mundo vai pra identidade no SL2FP por exemplo, se você olha pro gama P então o índice é grande se o P é grande já os grupos de vit que vêm de H2 são caras que ou eles são sobrejetivos como será pra imagem, bem longe o índice é um ou três então é o que ela chama de ser totalmente de não congruência porque realmente tá bem longe de ser congruência no sinal sentido quando você mede pelo índice e é isso que eu escrevi aqui vamos tentar provar essa teorema rapidinho quando N é par e N-2 não é uma potência de 2 vamos ver como é que a gente prova isso a prova é a seguinte na quinta aula eu vou discutir com vocês um fato bem interessante de que quando você tem um número par de quadrados todos os origamis em H2 fazem parte da mesma opte por SL2Z você consegue conectar todo o desenho que você conseguir fazer de um origami a qualquer outro usando SL2Z eu vou assumir isso por enquanto mas eu vou discutir na quinta aula primeiro fato em seguida dá pra ver que os grupos de VIT eles são conjugados porque por definição uma superfície X quadriculada como eu falei que tá na mesma opte da superfície Y, ou seja, a superfície Y com o mesmo número de quadrados da G de X em particular, se você pega um elemento que estabiliza X se você conjugar gama por G então se você faz eu quero fazer G inverso gama G eu vou ter Y ou seja, um elemento que estabiliza X fornece um elemento que estabiliza um cara na órbita por conjugação então os grupos de VIT são todos conjugados na classe conjugação de gama N em baixo como sub-índice não gama N com cabeça principal e eles comprem três matrizes parabólicas por que? a primeira coisa é que dá pra fazer um desenho de um origami que tem só um cilindro horizontal e aqui você coloca esse lado tá identificado como 1 esses dois lados ficado com 2 que sobra com esse cara na ordem então esse é um origami que ele é estabilizado pela matriz 1 N por que? porque a matriz 1 N01 ela vai pegar esse origami e vai fazer um sisalhamento desse jeito o vetor vertical o vetor vertical é pra N1 ele vai atravessar toda a diagonal aqui mas aí eu posso cortar e colar e voltar pro mesmo cara que eu tenho nisso esse elemento pertença ao grupo de VIT desse cara agora se eu fizer um outro desenho por exemplo esse desenho aqui dá pra checar que não desculpa vai ser assim A vai ser tudo isso aqui é 1 mas B vai ser tudo B vai ser tudo então se eu fizer esse cara a matriz 1B01 vai estabilizar também tá por um argumento parecido é só olhar o que acontece com esses dois cilindros aqui isso é uma coisa bem importante de se entender que são matrizes em cilindros dessa coisa que eu desenhei aqui se o tamanho aqui é correto você vai simplesmente pegar esse cara botar na diagonal e depois cortar e colar aqui você tem um cilindro cujo tamanho é 1, então vai ser enviado em B mas quando você cortar e colar você vai meter de novo 1 eu deixo que vocês checarem isso então é daí que segue essa afirmação desse grupo de VIT contente todos esses caras tá agora sabendo disso tem um lema que vira o seguinte que se você contém essas matrizes com essas forças se esse cara fosse congruência o menor L pro qual o gama N falta um N aqui conteria um gama L seria o menor múltiplo comum entre todos os cilindros que você aparece aqui nesse caso é um produto de todo mundo tá agora a observação crucial é o seguinte pega M um divisor daquele número L se a redução desse cara é sobrejetiva a redução do L então o índice do cara dentro do SL2Z coincide com a interseção desse cara com gama M dentro do gama M isso é simplesmente brincar com diagramas com duas sequências exatas e com diagramas se a imagem é sobrejetiva você vai ter exatamente igualdade em todas as flechas que vão de uma sequência exata pra outra tá e esse número de N então em particular ah tá então só pra concluir rapidinho só pra concluir rapidinho então o que vai acontecer é o seguinte que se o gama L tá contido no gama N como o M é um divisor vai estar contido na interseção dos dois e portanto o índice do gama L dentro do gama M tem que dividir Dn então pra provar que o cara não é de congruência eu tenho que ler duas coisas eu tenho que mostrar que tem um divisor que é sobrejetiva foi o que eu usei pra ter identidade mas que o Dn não divide esse número agora esse número aqui é conhecido da teoria esse número é se você escrever bom eu vou passar um pouco rápido aqui mas a ideia é o seguinte a ideia é que esse número primeiro a projeção é sobrejetiva porque dá pra provar conferindo um origami então ao mesmo tempo pertença um grupo de vitidade e esses caras bastam pra gerar a redução m se M é co-primo com N e basta verificar que esse cara não divide esse e aí a ideia é que você tem fórmulas explícitas pra os dois números a forma pra esse cara é conhecida desde sempre segue basicamente do termo chinês dos restos e esse aqui foi encontrado por o Berleleev e vai acabar aqui como eu falei tem fórmulas explícitas o Dn é basicamente 3 oitavos de N-2 um certo produto de primos que tem a ver com N o índice do gama M e do gama L o índice do gama L dentro do SL2z é sempre L³ vezes o produto dos primos que dividem L de 1-1 sobre o P2 bom a gente reconhece essa função aqui contra os números então esse número também é conhecido e aí você faz o argumento de comparar os dois e vê que se esse cara divide esse então o N-2 tem que dividir esse cara aqui mas só que como o N-2 não é uma potência de 2 foi a minha hipótese tem que ter um primo índice pra que dividir ele mas um primo índice pra que dividir ele não pode dividir N então esse primo índice pra que aparece aqui na lista e aí com tradição então tem um argumento que é basicamente cálculozinho com índices que permite terminar desculpa pelo tempo e eu vou parar aqui, obrigado ok, vamos agradecer ao Mateus vocês têm perguntas ou comentários eu tenho um Mateus, você falou sobre o extrato H2 isso quase nunca é de congruência e em outros extratos já tenho estudos disso tem estudos mais recentes então a própria H-B-C ela provou que em H2G-2 que é a conversação natural disso aqui também tem infinitos exemplos mas ela não sabe se esses são todos que são desse jeito mas tem famílias infinitas de exemplos de oligâmicos cujos grupos de invites não são de congruência e esse resultado acho que foi melhorado recentemente pela Gabriela Schmittlusschen e por um co-autor dela o Jean Schlagpuster e eu acho, se eu me lembro bem acho que dá pra encontrar essas famílias infinitas de exemplos em qualquer extrato talvez com algumas restrições menores na combinatória mas eu penso que não, eu acho que pra qualquer extrato o pessoal sabe encontrar famílias infinitas mas de novo a questão do Torstland saber quais grupos aparecem realmente e os grupos de invites ninguém ninguém sabe além do resultado do Annabelle McQuenney mais alguma pergunta, o comentário se uma pergunta, acho que relacionada com a que tu hiciste se tu tines um origami tines os numeritos cas de los del estrato quando tu tines o origami característico, tiene outros cas há uma maneira de dizer que é o origami característico por uma relação entre os numeritos cas não que eu saiba porque por exemplo uma coisa que eu não mencionei mas é que esse tipo de cálculo eu tentei pessoalmente por esse tipo de questão ou seja, você pode tentar digamos tentar construir grupos de invites com alto valor do laplaceno bem fraco e depois se perguntar tudo bem o teorema fornece a existência mas você pode perguntar qual é o origami você tentar realmente responder a sua pergunta de construir a partir dos numeros tentar entender o que acontece quando você toma o recobrimento e eu lembro que para fazer o alto valor ficar menor que um quarto o menor origami que a gente conseguiu foi um trabalho conjunto com a Gabriela Schmittus a gente conseguiu algo com a galora de 556 quadrados ou seja não parecia ser algo muito fácil de relacionar digamos a numerotação que você vê aqui que é bem trivial com o que acontece para o origami que você está tentando mirar quando você faça a construção então pelo menos eu não consegui a relação nenhuma olhando para a construção digamos ok, muito graças de todas maneiras ok, então vamos deixar as outras perguntas para a aula de tutorial e aí vamos agradecer mais uma vez ao Mateus