 Donc je vais reprendre le cours par rapport à la semaine précédente et donc j'avais démontré que si j'en étais à une démonstration pour n'importe quelle donnée initiale, u01 dans l'espace d'énergie, si je ne suis différent d'un W lambda 0, W lambda c'était Wx sur lambda, facteur de lambda puissance 1,5 ou 0. Alors je pouvais produire un canal d'énergie, c'est-à-dire qu'il existe, voilà, quel que soit-il positif ou quel que soit-il négatif, il y avait un canal d'énergie sur la solution non linéaire. Alors j'en étais resté à la démonstration, je ne vais pas rappeler tous les lames techniques et je vais essayer juste de vous présenter les principes absolus de cette démonstration. Alors j'en étais, j'avais démontré essentiellement si la donnée initiale était petite pour x ou pour 1, pour x supérieur à un certain r0, delta0 et delta0 est essentiellement une constante universelle. Alors je pouvais montrer qu'il existe l'an d'A0, tel que u0 est égal sur l'an d'A0, x sur l'an d'A0, est-ce que j'avais tout simplement noté, w l'an d'A0 et u1 égal 0, pour x plus grand qu'une certaine constante qui dépend que de r1, qui dépend que de r0, ou alors donc u0 u1 égal 0, à nouveau pour x grand r1 de r0. Bon, ça c'est ce qu'on appelle la classification des solutions à l'infini. Maintenant comme toute méthode non linéaire, je veux tirer les informations de l'infini jusqu'à pour tout x appartenant à r3 ou r parce qu'on en travaille des solutions radiales. Alors ça c'est l'étape suivante. Comment on peut démontrer ce résultat ? Alors on peut l'avoir de différentes façons. Je vais quand même me placer dans un premier temps, dans le cadre le plus simple c'est-à-dire que u0 u1 égal 0 pour r plus grand que r1. Je vais vous faire essentiellement deux démonstrations de ce résultat. Donc je veux montrer la question de démontrer que u0 u1 est identiquement égal à 0 dans ce cas-là, quelques soirs positifs ou nus. Donc c'est ça la question. Je vais vous faire deux démonstrations de ce résultat. Alors la première c'est que je vais réutiliser le LEM que je vais démontrer. Le plus simple, on résonne par l'absurde. Donc on suppose que u0 u1 est différent de 0,0 et donc je vais prendre j0, j'ai un r1 que j'ai ici. La solution de ce côté-là est identiquement égal à 0 et ici c'est la limite de mon support de mes données initiales. Alors comme on parle de fonction fixe, la norme de ma solution ici est égal à 0. Donc vous voyez, ma seule condition sur r0 était que la norme est inférieure à cette constante universelle. Donc ce que je vais trouver, c'est qu'il existe r0 moins epsilon0 telle que la norme ici est inférieure à delta0 puisque essentiellement la contribution ici est 0 et juste par continuité sur les données initiales, j'ai ça. Je peux alors appliquer mes estimations et en fait si on peut retravailler un peu les conditions et démontrer dans ce cas-là qu'on peut se ramener à r0, quitte à diminuer delta0, quitte à prendre un autre delta0, on peut se ramener à ce cas-là. Et donc j'ai toujours cette configuration-là. Donc je suis soit exactement égal à delta0 soit identiquement égal à 0 et donc je peux continuer. Donc je ne peux pas être égal à un soliton puisque ma fonction est à support compact et donc essentiellement je suis là. Donc on peut étendre l'estimation. L'estimation peut s'étendre jusqu'à pour r, supérieur à r1 moins delta0. Une autre façon de voir la démonstration, c'est de se rappeler que j'avais démontré v0 qui était égal. Donc essentiellement v0 de r prime. Bon, on racine de c0 qui était universel, 1 sur r mais qui est v0 plus en 5. Là, donc il faut penser que tout ça c'est des constantes. Donc j'avais démontré cette estimation pour r, supérieur à r prime, supérieur à r1 moins epsilon0. Alors comme j'ai une fonction hachain qui est radiale, donc elle est continue, ça valeur ici vos 0. Donc je peux prendre r prime égal à r1. Ceci je peux, par l'estimation et l'infini en dehors de 0, je peux toujours le rendre aussi petit que je veux parce que ma norme sera petite et donc j'obtiens v0 de r inférieur à une petite constante epsilon0 jouant avec la norme. J'ai pris la norme infini donc puissance 4 v0 de r et donc je peux prendre un epsilon0 assez petit pour démontrer que ceci, je retrouve la même quantité. Valor absolu de v0 est inférieur à une petite constante, je peux rendre ça égal à 1,5, inférieur à 1,5, si vous voulez v0 de r et donc j'en déduis que v est identiquement égal à 0, ça implique que v0 est identiquement égal à 0 pour r supérieur à r0 moins delta0. Bon alors ça c'est le premier type de démonstration, c'est d'utiliser les estimations ponctuelles que j'ai obtenues précédemment. L'ennui de cette, dont ça c'est des démonstrations que j'appellerai très courte, c'est qu'on ne voit pas exactement le principe pourquoi c'est vrai. Alors je vais vous faire une autre démonstration qui est plus intuitive et qui est la bonne en fait dans le sens où on va généraliser et utiliser ce principe, je vais l'utiliser beaucoup dans la suite. Alors donc je repars, j'ai une solution identiquement égal à 0 tel que r supérieur à r0, donc c'est où r1, pardon r0 était égal à r1, voilà et je sais que ma solution est différente, que le support de u0, u1 et ne peut pas être inclus dans n'importe quel boule de rayon, quel que soit epsilon0, donc j'ai une partie là d'initiale qui est non nulle ici. Alors voilà le principe qui est un peu l'équivalent je dirais pour les équations hyperboliques dont je cherche un principe de continuation qui est équivalent à un principe de maximum fort pour les équations elliptiques, c'est à dire que je suis arrêté à certains moments et je dois pousser un peu mes informations là. Alors intuitivement la réponse est très simple, donc j'ai une fonction qui est comme ça u0, r1 et je vais regarder uniquement la solution ici, r1 minus epsilon0 dont je coupe et je regarde à nouveau la solution, alors non plus dans le con, non ici je sais que dans ce con, comme je suis égal à 0, identiquement égal à 0, ici c'est t, ici c'est r et donc ici par petit s, juste la convergence de nominé, je sais que je suis très très petit, d'accord, donc ma solution ici est essentiellement linéaire et la différence entre la solution linéaire et la solution non linéaire peut être en d'eux aussi petites que je veux par le, par le, par le, par le, les thérem de point fixe dans l'espace de Stryckardt et donc donc je regarde, je, je recoupe ma données initiale, je ramène ça à une constante pour la, pour la dérivé à 0, donc j'ai une toute petite donnée initiale, initial et qui est concentré juste là. Maintenant, ma solution linéaire, je sais très bien qu'elle fait des channelles. Et donc, je n'aurai soit un channelle là ou soit un channelle là pour la solution linéaire. Elle va donner une impulsion d'énergie soit pour T positive, soit pour T négative. Donc, supposons que c'est pour T positive. Et en fait, comme ma solution, si vous voulez, est identiquement égale à 0 ici, alors je vais avoir de meilleures estimations parce que le terme U5, je peux toujours le contrôler par un terme très petit, parce que c'est juste par Sobolev. Donc, je peux estimer en utilisant ce que je sais par la définition de support avec ma fonction là, non-linéaire est toujours très petite. Le terme non-linéaire est très petit. Donc, il va être vraiment contrôlé. Et donc, je vais pouvoir dire que j'envoie un faisceau d'énergie ici. Et donc, on peut démontrer que le support du 0 U1, par exemple, je vais prendre le cas où j'ai une impulsion d'énergie de ce côté-là et je vais prendre tendre epsilon 0 vers 0. Je peux démontrer que le support de U1 ne pouvait pas être inclus dans la boule de 100 B0 moins epsilon 0. Et je vais démontrer que le support de U2T ne peut pas être inclus dans la boule de 100 B0 moins epsilon 0 plus T pour T positif, disons, par exemple. Donc, il y a un côté qui va toujours marcher. Et donc, le support de mes données initiales m'échappe. D'accord. Alors, qu'est-ce que je suis en train de dire ? Et donc, je crée un channel d'énergie pour tout temps là. Ce qui est impossible, c'est que c'était mon hypothèse de départ, que je n'avais aucun channel d'énergie. D'accord. Donc, je cherchais les solutions qui ne créent pas de channel d'énergie. Donc là, j'ai créé une solution qui est un channel d'énergie. D'accord. Donc voilà. Alors, maintenant, dans le cas où U0, U1 est égal à W, lambda 0, 0 pour R, supérieur à R1, eh bien essentiellement, les démonstrations sont un peu les mêmes. Et il faut plus travailler, on ne travaille plus avec la solution linéaire. Donc, on ne travaille plus avec l'équation linéaire. La placien de U là. Mais avec l'équation renormalise, donc box U ou box H, égal donc W plus H puissant 5, donc ce celui-là, W lambda 0 moins W0 puissance 5, qui correspond à 5 fois les termes extrêmes, les termes les plus importants. C'est le terme là et le terme non linéaire H puissance 5. Les autres sont pas importants car ils peuvent être interpellés entre les deux. Et donc je vous avais dit, si cette équation telle qu'elle n'est pas bonne, mais si je localise à nouveau dans les canaux d'énergie là, ce terme là, alors ce terme linéaire est sous-critique par rapport à l'influence de la donnée initiale. Si j'avais une estimation L8 en espace-temps, alors celle-ci est très facile à obtenir, donc je vais écrire, ce terme là va pas être important comme précédemment, que là où l'équation m'intéresse, dont je vais me placer au même endroit, j'ai utilisé ce principe là. Donc je vais écrire W0 facteur de x supérieur à R1 moins delta 0 plus T et comme je sais que mon support, alors je vais écrire plus précisément, à nouveau je sais que mon support là c'est R1, là c'est R1 moins epsilon 0, je sais que mon support de H, H v0 ici, donc je vais écrire x compris entre R1 moins epsilon 0 plus T et R1 plus T, H, voilà. Alors maintenant c'est mon potentiel ici, donc là où ça m'intéresse, si j'ai résout cette équation avec ce potentiel là, ça sera la même chose, parce qu'H de façon identiquement égale à zéro là, et ici j'ai besoin de petitesthès, sinon je ne saurais jamais démontrer de résultats, mais la petitethès va être donnée par le fait, comme je peux prendre epsilon 0 aussi petit que je le veux, d'ailleurs je fais essentiellement un raisonnant epsilon 0 très très petit, j'avais besoin sur mon potentiel v de T et de x d'être petit en espace-temps L8 de xt, donc si je prends epsilon 0 petit, je peux prendre cette norme aussi petite que je veux, donc l'influence de ce terme linéaire passe en dessous de l'influence des données initiales, et donc c'est comme si je résolvais juste essentiellement la place 1 de H égale 0 avec, donc je suis revenu avec l'équation linéaire et H petit. Donc c'est ce principe là pour l'autre équation, et donc je crée à nouveau un channel d'énergie sur H, ce qui me permet de conclure à nouveau. Alors c'était ce principe là que je voulais vous montrer, qui est très important, la petitethès est fixée par la donnée initiale, essentiellement je peux le fixer a priori que l'influence va être petite, je fixe la petitethès avec le epsilon 0 et ensuite j'ai un channel pour tout temps, ce qui me permet de trouver une... oui. Mais si W0 c'est juste le soliton et... W0 c'est un soliton. Mais la langue est stric à l'infini... Alors non c'est ça, c'est toute l'astuce, alors en effet, tous ces résultats ne marchent pas pour le lignariser autour de W0, c'est ça, mais vous voyez, non, je dis que mes solutions coincident avec la solution avec ce W0 qui est... donc c'était toute l'astuce que je vous avais montré la dernière fois, V de T et de R, H. Alors V, le support de V est uniquement dans ce petit channel, donc R1 là, R1 moins epsilon 0 et ensuite c'est de... voilà, ça bouge avec T. Évidemment ce n'est pas la même équation, mais ce que je sais, si je regarde uniquement la solution à l'extérieur de ce conne R1 moins delta 0 pour le conne X égal R1 moins epsilon 0 plus T, résoudre cette équation là avec ce V qui est très petit est la même chose que de résoudre l'équation juste avec V égal, donc c'est W lambda 0, puissance 4, H. C'est la même chose, car les deux équations coincident uniquement sur le conne et comme l'information ne peut pas se déplacer plus vite que T, j'ai gagné. Alors il faut bien comprendre ce principe-là parce que je vais l'utiliser maintenant beaucoup, beaucoup, beaucoup de fois, oui. R1 est quel con que je fais un principe de maximum fort, donc j'ai uniquement besoin d'avoir epsilon 0, une faite, la limite de epsilon 0 tant vers 0. Donc R1 peut être quel con qu'il y ait ensuite, je fais ce raisonnement avec epsilon 0 de plus en plus petit, même tendant vers 0. – Je vais le dire si R1 est petit, même après avoir coupé le WV, ça reste grand ensemble. – Ah, parce que je peux jouer sur epsilon 0, c'est un paramètre libre. Là, c'est le terrain de convergence dominée. – Là, parce qu'on coupe seulement vite-là. – Donc je peux choisir mon epsilon 0, dont j'en prends quand epsilon 0 tant vers 0, la norme L8 de V de T, le V que j'ai défini là, ce V là, tant vers 0, quand epsilon 0 tant vers 0. – Elle est finie parce que la dépendance en T est 1 sur T4, en fait. – Ah oui, évidemment, tout est dans ce... – OK, je ne comprendrais pas ça en fait. – Tout, tout est dans des petits astuces comme ça. – OK. – Le fait que tu bouges sur le temps sous l'écon est important. – C'est essentiel, et on va utiliser à la puissance 10 tout ce principe-là, car on ne travaille jamais sur la solution de l'équation elle-même, mais que sur des localisés à l'extérieur de l'écon de l'équation. Toutes les estimations que je vous dis, là, depuis le début, ne peuvent pas marcher pour l'équation des ondes telles qu'elles. C'est que pour certaines localisations dehors de connes, à Dock, qu'elles marchent. Et c'est ce principe-là que j'utilise de fantancomble pour démontrer mes résultats. Bon, oui. – Donc ici, c'est pas seulement localisé en dehors du conne, mais entre les deux cornes. – Oui, exact, je dois utiliser. C'est pour ça que je dis que c'est vraiment un principe de maximum fort. C'est vraiment un principe essentiellement sur la déri. Essentiellement, oui. On démonte quelque chose pour epsilon 0 très, très, très petit. Mais ça suffit, parce que je me suis placé par principe topologique à premier endroit où mon support arrive, là, de ma donne initiale. J'ai juste besoin de démontrer quelque chose pour epsilon 0 très petit, non nul. – D'accord. – Tout le monde est d'accord sur ces principes de démonstration, parce que je vais l'utiliser maintenant à grande échelle. Alors, voilà, bon, j'ai... Mais n'hésitez pas à me poser des questions maintenant, parce qu'en fait, je vais devoir manipuler des choses un peu... Alors, je vais essayer de vous donner les principes. Alors, maintenant, on va passer à la démonstration du théorème. D'accord. Donc, allons-y, je vais utiliser cette classification des objets. Donc, tout objet qui n'est pas une solution stationnaire, il produit un channel, soit pour tes positifs ou pour tes négatifs. Alors, je vais maintenant utiliser ceci pour démontrer mon théorème. Alors, je l'avais re-écrit. Ce théorème est réécrit quelque part, mais il faudrait que je le retrouve. Mais sinon, je vais tout de suite... Je voudrais avoir gardé les bonnes notations. C'est pas grave. Donc, éventuellement, je risque de changer de notation. Alors, je me place dans la situation d'une solution globale. Donc, mon théorème U est radial. Donc, donne initiale radial. Je démonte juste la partie 3i de l'alternative. C'est-à-dire, je suppose que mon temps d'existence est égal à plus infinie. Et je veux démontrer, quand T est envers plus infinie, U de T moins une somme pour J égale 1 à un grand J de plus ou moins, donc W, R sur l'endat J de T. Donc, il existe des l'endat J de T telles que je... Quitte à soustraire un nombre... Alors, le signe, c'est un signe, je sais plus quelle notation j'avais pris, mais je crois un A J ou A J peut être soit égalisé à 1 ou à moins 1. Donc, je soustrais V bulle plus une solution linéaire que je vais écrire V de L de T. Et donc, dans l'espace d'énergie, ce site envers 0 quand T est envers plus infinie. Bon, alors on y va. Donc, ce que je dis, tout ça, c'est juste relié à des questions de dispersion. Donc, et de production de channel. Donc, je vais commencer par... Alors, il y a une première chose que je voudrais régler tout de suite. C'est la chose suivante. Donc, pour cette équation-là, vous avez aucun principe simple qui vous dit qu'une solution globale est une solution bornée. Donc, signe des difficultés de la démonstration. Mais heureusement, on va pouvoir maîtriser cette difficulté à cause de la vitesse propagation finie. Mais je vais commencer à démontrer quelque chose d'assez simple. D'abord, je ne sais pas démontrer qu'elle est bornée, mais je vais pouvoir démontrer qu'elle est au moins bornée pour une sous-séquence de temps TN qui t'envers plus infinie. Donc, l'M1, il existe TN tendant vers plus infinie telle que, bon, la solution autant TN dans l'espace d'énergie est bornée. Alors, donc il existe TN et il existe C0. Et en fait, C0 même, on peut le calculer explicitement en fonction, c'est un C0 qui dépend de l'énergie de la solution. Donc, je vais utiliser... Alors, ce n'est pas très compliqué. Enfin, ce n'est pas très compliqué, mais c'est un peu technique, malheureusement. Donc, je ne vais pas vraiment faire la démonstration, je vais juste donner quelques étapes. Donc, qu'est-ce qu'on sait ? Alors, le plus simple, c'est de démontrer qu'on n'a pas ça. Alors, c'est quoi ? C'est-à-dire, si on n'a pas ça, ça veut dire qu'on a une solution globale telle que la limite quand T est envers plus infinie de la norme énergétique est grande. Ça, c'est le contraire, ne doit pas être bornée sur une sous-séquence. Donc, ceci est égal à plus infinie. À énergie donnée. Et donc, l'énergie de ceci, voilà, est toujours égale à E0. Bon, il faut reprendre l'argument de l'Evine pour démontrer que si vous avez ça, alors forcément, c'est contradictoire avec le fait que vous êtes défini pour tout temps. Vous reprenez l'argument de l'Evine et on démontre alors que la solution U2T, alors je vais même préciser la chose. Donc, quitte à prendre un autre T0, je peux toujours supposer quel que soit T et plus grand qu'un certain A0. A0 est même explicite en fonction de 0, 10 E0. Je suis à énergie bornée et l'argument de l'Evine va m'impliquer que U2T explose en temps fini. Voilà. C'est finalement, c'est juste un argument d'ODE. Donc, on a des estimations. Donc, en moyenne, la solution doit descendre régulièrement sous un certain seuil d'énergie. Je ne vais pas faire la démonstration. C'est la reprise de l'argument de l'Evine. Ça suit le même principe. Voilà. Donc, on démontre que si on n'a pas ça, alors il y aura bien explosion en temps fini par des méthodes ODE. Donc, on introduit Y2T égale. Alors, vous allez me dire, ceci ne s'est pas bordé, mais en fait, voilà, X2T plus grand à 0, quel con, voilà. Et pour grand à 0, très grand, l'énergie de l'adénitial sera petite en dehors de la 0, et donc, ça restera petit. Et donc, on arrive à faire des arguments avec ce type d'estimation pour en sortir une ODE sur Y2T. On obtiendra une ODE explosive. Par contre, on n'a aucun argument autre pour dire que c'est borné. Donc, ça va être un conséquence de notre démonstration. C'est d'ailleurs assez difficile. J'y arriverai qu'a essentiellement la van der Nierline de la démonstration. Donc, je vais travailler uniquement sur une suite TN et travailler que sur cette suite. Donc, le corollaire de ça, c'est qu'il existe une suite TN tel que, qui tend vers plus infinie, qui est inférieur à 10 fois l'énergie de la donnée initiale. Alors, une fois qu'on a quelque chose de borné, on peut appliquer le principe de concentration par compasité dont je vais travailler sur des suites de donnée initiale UN de T, TN. Donc, c'est U0N, si vous voulez, UN. Donc, c'est une suite de donnée initiale. Donc, je vais la décomposer par la méthode de concentration par compasité entre différentes bulles. Et donc, je vais trouver... Si vous n'êtes pas borné, vous ne pouvez pas le faire. C'est important d'avoir la bornitude. Je vais arriver à trouver une chose avec les bonnes notations. Donc, il existera, quitte à extraire une nouvelle suite. Donc, je travaille la suite près. Il existera beaucoup de suites là. Donc, je peux toujours quitte à extraire une nouvelle suite. Il existera une suite. Donc, j'aurai ma donnée initiale U0N U1N qui sera égale sur une somme pour J. Alors, ça va être le J de ma conclusion dont je l'introduis tout de suite. Donc, des profils UJX sur l'ANDA JNX sur l'ANDA JN, voilà. T moins TJN sur X l'ANDA JN, voilà. Alors, c'est ce profil. Je vais supposer, j'en ai beaucoup. Mais, par contre, pour ce que je vais utiliser, c'est que la norme linéaire d'une solution de Stricards est contrôlée par la donnée initiale, par la norme de l'achat. Or, comme je pars de solution borné, je peux avoir qu'un nombre fini de bulles. C'est ça qui est très important. Qui ne scâte pas. C'est-à-dire, je vais utiliser le théorème de base, comme quoi c'est ça que la criticité du problème, que si je suis petit en norme énergétique, alors ma norme de Stricards est petite, et dont je scâte. Alors, il faut savoir pour vous figer, pour vous, qu'est-ce que ça veut dire scater, en termes... C'est-à-dire se comporter comme une solution linéaire dans l'espace d'énergie à l'infini. Mais comment se comporte une solution linéaire ? Ça, c'est la première chose qu'on doit comprendre. C'est très simple. En dimension 3, une solution linéaire S2T, plus v0, v1, va se comporter essentiellement. Je vais écrire quelque chose de faux, mais c'est très bon de comprendre ça à l'infini. Dans l'espace d'énergie, comme 1 sur T, une H, ce qui est une autre fonction, H0, alors c'était X-T, donc c'est X-T, je vais écrire en radial 1, R-T, en fait ça marche tout en nom radial, tout ça, mais je vais écrire ça comme ça. Donc je me place juste pour T égale plus infinie. Essentiellement, toute l'énergie se situe au voisinage du compte de lumière. Donc une solution linéaire se comporte essentiellement comme une fonction fixe, en fait, R-T. Donc, il faut penser que l'énergie d'une solution linéaire colle au compte de lumière. Alors ça se démonte, ce n'est pas très compliqué, je ne vais pas y revenir là-dessus. Non, je n'ai jamais expliqué ça aussi clairement, mais c'était juste pour vous donner des idées. Là, et si vous calculez la norme, comme par hasard, la norme avec le poids, vous verrez que sur le compte de lumière, le R2 se simplifiera avec le T au carré. Donc vous aurez essentiellement que la norme énergétique sera essentiellement celle reliée au gradient de H0. Alors, donc, ça, c'est la partie qui ne scatte pas plus début, le supplémentaire J supérieur à... strictement à J, de profil. Alors, je vais les noter avec des bars, ceux-là, X sur l'angle d'AJN, voilà, mais ceux-là scattent des deux côtés, plus quelque chose qui peut être aussi petit que l'on veut en norme de strictart, petit strictart. Donc, ça, j'ai des profils qui scattent et là, j'ai mes profils qui ne scattent pas et j'en ai un nombre automatiquement fini. Voilà. Alors, on peut fixer le J, quitte à reprendre une nouvelle suite. Alors, la première chose qu'il faut voir, donc je vais vous expliquer les principes de démonstration, mais ça, c'est qu'il y a une première chose très importante, pas de profils self-similaires, c'est-à-dire self-similaires, c'est-à-dire des profils telles que ceux-ci et de l'ordre de TN. Bon, je vais faire ma pause ici, parce que après, je pense que c'est mieux que je m'arrête là pour faire la pause. Alors, et après, on va écarter les scénarios pour démontrer ce résultat-là. Donc, tout ceci, c'est lié sur des choses des problèmes de dispersion. Voilà. On fait juste une toute petite pause, parce qu'en fait, aujourd'hui, c'est un peu court. Oui ? Alors, on ne peut pas, parce que chaque fois qu'une solution ne se casse pas, la norme de cette donnée initiale doit être supérieure d'une certaine constante qui dépend que de la dimension. Or, comme il y a des couplages dans les échelles, la norme des données que la somme pour g égale 1 a grand g de la norme de Uj espace-temps carré est inférieur à 10 x 0. Et donc, je ne peux pas en avoir une infinité. C'est pour ça que je suis obligé de travailler que sur des objets bornés. Le principe de toutes ces théories critiques est de travailler uniquement sur des objets bornés. Dès que l'objet est plus borné, on perd tous les avantages de la théorie critique. C'est donc l'air de rien. C'est à cause de ce principe là que je peux commencer à travailler et utiliser ma théorie critique. Sans ce petit l'aime, je ne peux pas travailler parce que je dois absolument avoir un nombre fini d'objets. Bon, je vais reprendre. Je ne vais pas vous faire une démonstration rigoureuse mais je vais plutôt essayer de vous montrer tous les scénarios possibles, les écartés en fait concrètement voilà il y a plusieurs principes qui sont assez simples et en nombre très réduit pour faire la démonstration. Mais il faut bien les manipuler systématiquement dans chaque cas pour pouvoir démontrer ce que l'on veut. Voilà alors j'essaie de retrouver voilà donc je travaille toujours avec ma séquence TN maintenant, jusqu'à la fin, presque à la fin de la démonstration et la première chose qu'on va séparer c'est en fait il y a un l'aime de base qui va permettre d'isoler la partie linéaire de la partie non linéaire de la solution quand TN t'envers la finie alors en fait donc en fait ce l'aime est relié à ce l'aime suivant il existe VL donc cette fois-ci c'est même pour tout temps en fait une solution linéaire tel que quel que soit appartenant AR donc pas forcément A positif ou A très grand positif la limite quand T t'envers plus infinie donc je ne suis pas sur TN je vais soustraire gradient de U moins gradient de VL en temps TT plus UT VL ou quand T t'envers plus infinie quand T t'envers plus infinie voilà j'ai mis trop de convergence donc c'est juste égal à 0 voilà donc il existe une solution linéaire sur l'intégral sur l'intégral ah oui pardon sinon il n'y a pas de A c'est quel que soit X plus grand c'est moins A alors j'ai mis moins c'est simplement pour insister quand A est positif très grand ça donne une vraie information voilà alors on avait ceci juste par petit test de la donne initiale pour A négatif et très grand enfin en valeur absolue donc si je prends ma donne initiale A U0, U1 donc la GR la GT donc si je prends la solution pour R supérieur à R0 très grand attention je suis plus avec mon LEM toute solution qui n'est pas une solution stationnaire produit un canal d'ailleurs d'une donne initiale générale et donc là j'ai une petite test et donc je peux utiliser je localise ma fonction ma donne initiale ici par le même cutoff ici donc j'ai une petite donne initiale définie sur tout l'espace je peux utiliser ma théorie de scattering donc ça correspond à une solution linéaire en plus infinie et en particulier ça correspond à une solution linéaire en plus infinie dans ce condom de là donc j'ai cette propriété là pour A négatif et très grand valeur absolue là ce que je dis c'est vrai pour tout ta bon alors c'est un peu c'est pour évacuer le phénomène de bord lié au con et en fait une fois que j'aurais enlevé ça il me restera que mes bulles c'est ça le principe de démonstration bon alors alors ceci fait partie de la démonstration de ça donc je vais commencer à évacuer ce cas là donc je suppose que dans mes bulles ici j'ai une bulle qui a un profil oubillons ce temps là faisant un truc simple j'ai juste une bulle sous cette forme là donc il existe qui se casse ou qui ne se casse pas sous la forme X sur TN l'anda TN puissance 1 demi donc j'ai une bulle sous cette forme là plus tout le reste donc par contre qu'est ce que je peux dire immédiatement donc là je suis en TN donc c'est U de TN qui est égal à ça donc excusez moi j'ai du non c'est ça c'est bon qu'est ce que je peux dire immédiatement alors le principe que je vous ai dit sur la donne initiale implique des factos que ma solution si je considère U de TN X sur TN TN sur l'anda si je m'éloigne un peu de ce con là d'ailleurs si je suis pour R plus grand que 1 plus delta quelconque TN pour TN tendant vers l'infinie l'énergie de cette zone là tend vers 0 parce que je l'implication du Scattery implique aussi que l'énergie ici il peut être aussi petit que je veux maintenant j'ai pris si je redescends ici dans cette zone là pour ma donne initiale ça correspond ceci est contrôlé par l'énergie pour R plus grand que delta 0 delta TN qui tend vers plus infinie donc l'énergie tend vers 0 et donc en particulier ma fonction U est à support compact support plus dans la boule de centre 0 et de rayons voilà d'autre part les autres bulles sont dans des fenêtres différents donc supposer on va faire quelque chose d'assez simple elles sont plus concentrées donc ici qu'est ce que j'aurais ici j'aurais des a priori je n'ai plus de bulles dans cette fenêtre X sur TN ou alors il faudrait que j'ai un temps de ce type là qui intervient alors si un temps de ce type là intervient quand ça tend vers la finie je pourrais démontrer essentiellement qu'elle se comporte comme une solution linéaire donc je vais oublier ceci je vais juste penser à des choses assez simples du genre que ceci, ce temps d'agis sur TN et contrôler parce que sinon ça ferait rajouter des normes de Stricards qui sont pas très importantes voilà maintenant alors donc là j'ai des normes de Stricards ici alors ce que je vais faire et j'ai mon support donc je vais couper donc le support jusqu'à un R0 qui est R0 est inférieur ou égala il peut être égala et donc je vais me mettre un 0 moins delta 0 et je vais regarder la solution dans cette zone là alors ce que je viens de dire c'est que les autres bulles sont un peu ne sont pas dans cette zone là et que la et ce que j'ai ici c'est essentiellement des solutions à normes d'un reste qui est petit parce que je dois fixer une norme de Stricards très petite bon donc l'interaction va être toujours petite donc je vais être toujours je vais avoir une donne initiale qui produit ici je coupe là cette solution là je vais couper donc en même temps je coupe tous les autres profils avec la queue d'un profil U plus d'un reste avec une initiale norme de Stricards petit donc je vais pouvoir appliquer mon résultat petit données alors si j'applique mon résultat petit données je vais pouvoir avoir un découplage alors regardez si mon donc la solution dans ce condom là je vais je vais prendre un petit morceau de mon con légèrement supérieur là essentiellement j'ai zéro là j'ai beaucoup d'oscillation des solutions essentiellement linéaires plus la petite queue de ma solution U que j'ai tronquée donc l'interaction est faible donc la solution U ne peut pas envoyer un paquet d'énergie ici sinon je pourrais redescendre jusqu'à ce niveau là de la donnée initiale donc je serai en R essentiellement égal à 2 Tn et j'aurai un tout petit paquet d'énergie ici ça c'est pas possible donc en fait l'énergie doit aller par ici d'accord maintenant je n'ai pas produit de contradiction jusqu'à maintenant donc je vais renvoyer un petit paquet d'énergie donc je n'ai aucune contradiction mais ce qu'il faut faire c'est qu'il faut réitérer ce processus en fait et donc je vais vous donner le principe donc j'ai fait un premier principe comme quoi le paquet d'énergie que pouvait être envoyé par cette solution ne pouvait pas être envoyé de ce côté là maintenant je dois exclure ceci alors ceci je ne peux pas l'exclure tel quel avec cette fonction là je dois l'exclure en utilisant le fait que j'ai une suite infinie de 100 Tn donc Tn envers plus infinie alors je veux donc j'ai Tn puis beaucoup plus loin j'ai un Tn plus 1 ainsi de suite Tn plus 2 alors ici cette méthode s'applique donc là j'avais essentiellement quelque chose un paquet d'énergie norme de Strykarts petit et donc ce que j'ai réussi à envoyer c'est renvoyer la même chose ici donc énergie A0 petit donné de Strykarts plus un certain morceau de ma donne initiale U que j'ai réussi à envoyer dans le channel donc j'ai rajouté un petit morceau et ce que je peux faire je peux bon et ceci continue en très longtemps mais je peux prendre des suites Tn plus 1 qui vivent si vous voulez dans des échelles très différentes donc Tn au carré par exemple et donc quand je vais réitérer mon processus à nouveau ceci sera très proche de mon condom j'aurai mon nouveau profil là qui va réapparaître et qui va renvoyer un autre paquet d'énergie mais qui sera découplé de celui là celui là sera eu le temps sera essentiellement ici maintenant Tn plus 1 il est vraiment beaucoup plus grand Tn au carré donc ma fonction là qui est égale à Ux sur Tn carré si vous voulez elle vit dans une échelle différente donc elle va me renvoyer un paquet d'énergie qui sera complètement découplé de ceci et donc les paquets d'énergie vont pouvoir s'accumuler et donc je vais créer des paquets d'énergie à chaque fois ça prend une petite norme et j'en crée une infinité et comme ça je fais augmenter la norme de ma solution jusqu'à dépasser le seuil critique c'est à dire 10 fois l'énergie de 0 donc j'arrive... parce que ces paquets n'interagissent pas entre eux ils vivent dans des échelles différentes voilà et donc ce que j'arrive essentiellement à démontrer c'est que je n'ai pas de profil dans la zone si profil y a ils sont beaucoup plus concentrés ils sont pas dans cette zone la R égale Tn maintenant ce qui est facile de voir ensuite c'est à nouveau si je localise ici pour R supérieur à Tn si j'arrive à localiser ici pour R supérieur à delta Tn Tn0 mais ici je n'ai plus de... je peux pas avoir vraiment de profil et donc la solution ici la norme de Strikars de ce bloc-là est que petit en fait il doit attendre vers 0 parce que si le bloc de Strikars n'était pas petit si je coupe la donne initiale à nouveau là donc je regarde cette donne initiale donc j'aurai une solution de l'équation qui est norme bornée norme de Strikars pas petite et donc je peux je dois avoir par ma décomposition profil je peux exhiber un profil là et donc ceci implique d'effacto que la norme de Strikars de la solution ici est envers 0 alors une fois que j'ai ça je me place pour R supérieur à un demi de Tn j'ai la norme de Strikars de la solution qui est petite là donc je peux pas avoir de profil et donc l'argument que je faisais sur la donne initiale disant la norme de Strikars était petite impliquée que la solution sur tout ceci correspondait à une solution qui se casse je peux le faire pour un n très grand tout ça c'est des raisonnements pour n très grand et donc il existe un grand n n0 je pourrais appliquer mon raisonnement et donc je démontrerais que la solution dans tout ce cadre là c'est la solution qui se casse alors j'applique ça pour un n0 fix donc j'applique ça pour un n fix n0 et donc j'obtiens une solution qui se casse voilà alors maintenant à nouveau le même principe donc j'obtiens une solution qui se casse et en plus elle prend tout l'énergie de ma donne initiale donc pour n grand alors pour n superior à n0 si je regarde ma solution u de tn u tn phi multiplié par phi de r sur tn r sur tn sur tn donc avec un phi qui localise donc là c'est la solution égale u de tn là pour r supérieur à tn multiplié par alpha j'ai pris alpha égale un demi en fait voilà et ici je ramène ça à des constantes donc ici je peux dire que la solution scatte et la solution est égale à une solution linéaire alors je peux faire ce raisonnement là pour n0 maintenant la solution linéaire et je vais utiliser ce que je vous ai dit précédemment elle consente toute son énergie sur le compte d'onde donc non seulement la solution linéaire elle est la solution et scatte est donc la énergie se comporte comme l'énergie d'une solution linéaire et donc ça veut dire quel que soit t plus linéaire à tn0 je pars de tn0 sur 2 donc l'énergie de la solution va se concentrer pour x égaleté donc oui pardon donc u de t plus tn va se comporter u de t v excusez-moi je vais pas je vais pas raisonner comme ça là j'ai tn et donc toute l'énergie ici va se comporter comme une énergie linéaire très bien alors vous allez tout de suite voir que ça permet de balayer comme je peux appliquer ça pour tout tn supérieur à n0 j'arrive à recouvrir mon théorème en fait j'ai démontré quelque chose de plus fort j'ai dû effacer voilà j'ai démontré quelque chose de plus fort c'est que j'avais écrit qu'il existe une solution linéaire tel que l'énergie de ma solution xt xt vl de t tendé vers 0 quand t était supérieur à r moins 1 donc en fait je démontre quelque chose de plus fort en fait j'ai démontré essentiellement que si je prenais r sur 2 enfin 3 demi de 3 pour t plus grand que r 3 demi de r ça marche en fait bon légèrement plus fort malheureusement j'ai voulu simplifier un peu trop la démonstration et je suis en train de passer sous silence une petite partie de la démonstration je suis un peu désolé donc je triche un peu en disant ça alors ça c'est le premier la première chose donc j'ai isolé une partie linéaire maintenant c'est beaucoup plus simple je vais appliquer le régime le résultat sur chacune des bulles alors je vais vous si vous voulez la partie linéaire quand elle part à l'infini elle produit une norme de stricarte c'est égal à 0 quand on regarde pour t plus grand que tn et donc la seule partie telle qu'il devrait intervenir sur les normes de stricarte c'est relié à ses profils alors faisons un cas simple où j'ai j'ai 2 profils donc j'ai un premier profil là donc ce que j'ai vu c'est un u u1 de r l'anda1n ici j'ai ma solution linéaire qui est très proche du condom et je veux montrer que j'ai une contradiction je vais démontrer que chacun de ceux-ci n'existent pas et que ceux-ci sont égal à un w regardons juste le cas où tous mes profils peuvent être ordonnés dans une certaine échelle donc je suppose que j'ai 2 profils comme ça l'anda1 et ça contient essentiellement toutes les difficultés la démonstration et j'en ai un deuxième l'anda2n r sur l'anda2 donc plus concentré je veux toujours appliquer mon lème comme quoi ici j'ai une solution avec une norme de Stricards petite alors je connais la solution là quand j'ai des gros profils je peux rien dire parce que si vous voulez je peux comprendre la solution comme superposition de ces profils uniquement sur des temps très très très petits alors je suis obligé de couper les solutions là alors je me place ici donc ici j'ai ma solution linéaire et donc c'est essentiellement Stricards Stricards très petit donc j'oublie ça et ça c'est une énergie fixe donc j'oublie cette partie donc si j'arrive à produire un channel sur ce profil donc je regarde les profils et je regarde ceux qui sont les plus concentrés alors celui là est plus concentré et je regarde le premier profil je suppose qu'il n'est pas égal à W donc il va produire un channel c'est ça le principe si il n'est pas égal à W il produit un channel et éventuellement je je peux travailler un tout petit peu pour alors je vais couper je vais prendre une nouvelle donne initiale je vais couper ici donc je coupe tout ici j'ai disparu je coupe cette partie du profil et donc je regarde ma nouvelle donne initiale donc il me reste juste une petite queue de celui-ci donc j'ai une information cette partie linéaire et je regarde ce qui se passe à nouveau que dans ce con donc le fait que j'ai d'autres profils ça m'intéresse pas parce que c'est ça le principe je travaille que sur cette donne initiale où j'ai coupé donc ces profils disparaissent spécialement qu'un seul profil je suis ramené à qu'un seul profil plus une queue où j'ai l'information sur le profil évidemment ça me donnera des informations sur ma solution initiale uniquement dans cette zone là mais c'est que dans cette zone là où je veux avoir des informations ce que je vais produire c'est faire un channel linéaire donc je vais dire que la solution c'est égal à la somme de la solution linéaire plus à ce petit morceau de la solution non linéaire et qui me produit un channel parce que ce n'est pas un W j'ai supposé que ce n'était pas un W voilà et je peux l'avoir pour tout le temps donc si ça produit un channel ça produit de l'énergie il suffit que je pousse mon énergie c'est très facile maintenant de trouver la contradiction donc je suis parti d'un Tn donc je suis parti de Tn donc je suis très concentré donc je suis j'ai coupé quelque chose qui était relié à l'ANDA1n là j'ai une queue là et là je suis autant Tn alors prenez Tn plus 1 tel que ceci va se reproduire je vais le prendre à nouveau à Tn au carré donc j'ai regardé ceci dans un channel et donc j'ai mon petit channel où j'ai mon énergie qui s'est écarté parce que et je suis au-delà si je prends les temps très espacés je serai au-delà de Tn sur 2 et donc j'ai ramené un petit morceau d'énergie au-delà de Tn sur 2 or une conséquence du fait qu'au-delà de Tn sur 2 j'avais plus d'énergie c'est que l'énergie dans cette zone là une conséquence Tn sur 2 l'énergie elle est égale essentiellement l'énergie de la solution linéaire donc elle est constante donc j'ai ramené un petit morceau d'énergie à l'énergie de la solution linéaire qui est constante et donc j'ai fait un incrément fixe et donc ce n'est pas possible et donc c'est ça le principe de base c'est que dès je channel avec des solutions linéaires ça sade et en fait ça peut pas se stabiliser alors j'ai démontré que justement l'énergie autour du conne se stabiliser donc c'est pas possible et donc je ne peux pas créer de channel là donc ce que j'ai dit est complètement exact jusqu'à alors je vais vous donner ça vaut la peine cette fois-ci un peu plus de démonstration technique parce que j'ai supposé que là que ma solution était donc si elle n'était pas égale à W elle crée un channel mais j'ai supposé un peu que c'était petit alors alors il y a aussi un autre problème dans la démonstration c'est que je travaille dans un problème explosif et en fait techniquement j'ai une difficulté inhérente à ce problème là mais je voulais pas en parler mais là je peux suivre la solution de cette équation tant que cette solution n'explose pas malheureusement je sais que pour mes séquences de temps que la solution U est bornée uniquement en TN mais en dehors de TN j'ai pas beaucoup d'informations donc la catastrophe pourrait se produire si ma solution U1 était une solution explosive alors bon c'est pour ça que je suis obligé de travailler uniquement sur des petites données alors comment évacuer ce problème c'est à nouveau par localisation donc ce que j'ai utilisé j'ai pris j'ai coupé U1 pour X plus grand qu'un certain A0 et essentiellement j'ai pris A0 grand pour que j'ai une solution globale alors maintenant le channel je sais pas le contrôler donc je dois malheureusement faire être d'accord donc je reprend ma démonstration soit je suis égal à un W une solution stationnaire donc là je produis pas de channel si je suis grand pas de channel ça implique quelque chose de plus fort ça veut dire que U1 X plus grand que A0 tant que ceci est petit et exactement une solution stationnaire un W un W et l'ANDA0 ou Z alors le catastrophe serait que je suis égal à W0 mais que sur les compacts j'ai un gros quelque chose d'assez gros et je suis une solution un peu explosive et donc j'aurai quelques petits problèmes alors il suffit de dire si je suis pas égal à W0 il existera un premier point R0 tel que je suis exactement égal à W0 en dehors et ici je serai je suis égal à je suis pas égal à un W0 et donc j'arrive à produire un channel ici alors tout en disant que j'ai une solution petite et donc j'arrive à exclure l'explosion qui se produirait ici en utilisant en travaillant non plus sur ça mais en localisant ma solution non linéaire donc ça serait X R1 moins epsilon 0 plus T bon ça c'est des petites astuces pour dont je localise aussi ma non linearité bon ça c'est pour éviter les phénomènes d'explosion donc ce que j'ai réussi à démontrer c'est que si mon premier profil maintenant n'était pas une solution stationnaire bon ça peut pas être zéro car c'est un profil c'est une énergie fixe c'est un profil non nul j'arrive à créer un channel alors vous allez me dire mais ça c'est bien beau mais pourquoi le deuxième profil est forcément un W et donc c'est peut-être je vais vous montrer le principe alors c'est une application dans le bon ordre de deux principes que je vous avais les seules choses que j'ai une solution de strict cards petite je connais la solution et sinon c'est principe de localisation donc supposons que j'ai une solution égale autour de Tn à une solution linéaire j'ai un premier profil W X sur lambda1n et j'ai un deuxième profil qui c'est dans une échelle différente mais pour les besoins de la cause je suis obligé de le faire moins W X sur lambda2n alors excusez-moi donc c'est un U2 lambda2n et je veux démontrer que c'est à nouveau un W bon alors petite difficulté là le principe que j'ai utilisé ne marche plus pour la localisation donc là j'ai zéro je vais couper ma solution à nouveau je vais travailler sur ma solution là je vais juste travailler sur la queue donc je vais couper ma solution à quoi va correspond ma nouvelle donne initiale donc il reste un petit morceau que j'ai coupé j'ai ramené ça à zéro et je regarde la solution que sur ce conne là j'ai mon W alors je suppose que je ne suis pas un W donc je crée un channel maintenant si je ramène le tout alors vous voyez que si je n'avais pas coupé ici je ne pourrais pas dire que ma solution est alors ce que je vais faire donc je suis en Tn je vais aller en Tn plus lambda1 donc qu'est ce que j'aurais pour ceci, pour les besoins de la cause je normalise sur un temps taut je travaille sur un temps taut qui était sur lambda1n alors j'ai un petit donc après renormalisation j'ai un tout petit morceau d'énergie qui était très proche de zéro j'ai mon W puis à nouveau très loin j'ai ma solution linéaire qui compte pas donc oublions ça donc pour un temps T un ou deux par exemple je prends deux qu'est ce que je vais avoir j'ai une solution W donc celle là elle n'est rien à faire je ne peux pas la couper donc elle me donne une norme de tricards de taille 1 par contre celle ci je l'ai pris petite et une norme de tricards est égale petit donc je peux calculer les interactions de ces deux objets et donc j'arrive à démontrer que la solution en ce temps là est égale à W qui n'a pas bougé c'est ça qui est très important c'est que le W ici donc c'est une solution stationnaire par contre mon petit channel lui se déplace et donc comme j'ai bougé exactement sur un temps d'échelle lambda1n maintenant mon channel il a poussé cette énergie ici loin de la première bulle et donc je me retrouve avec un petit paquet d'énergie ici qui va aller à l'infini ma nouvelle donnée initiale ici en ce temps là elle est égale à quoi maintenant que j'ai poussé mon énergie ici elle n'interagit plus ici donc je me retrouve ma solution non linéaire W mon premier profil il me dérange plus en ce temps là parce que qu'est-ce qui se passe lui il n'a pas bougé tandis que la solution qui channelle lui elle s'est échappé sur son condom donc là c'est zéro donc là je suis en TN prime et donc en TN prime j'ai mon W qui est après renormalisation lambda1n voilà là par exemple j'ai mon channelle qui est très concentré parce qu'il était sur une échelle une échelle différente plus ma solution linéaire qui est là donc en TN XR égal TN donc j'oublie celle-ci mais maintenant j'ai poussé mon paquet vers la zone où mon profil était petit et donc je vais pouvoir à nouveau couper la solution et regarder la solution que sur cette zone là mon channelle il continue la solution je la connais celle-ci à nouveau je vais utiliser le principe de l'équation linéarisée autour de W par exemple et donc il ne va pas perturber l'équation linéaire et donc je vais pouvoir continuer et donner un paquet d'énergie envoyer un paquet d'énergie sur la frontière du con et comme je peux répéter ça une infinité de fois ce n'est pas possible donc vous voyez sur chaque échelle de temps vous pouvez produire quelque chose qui est problématique sur le profil concentré vous faites en deux temps d'abord vous localisez là à l'extérieur et vous pouvez, là vous avez à travailler avec un intérêt avec un groupe, ça il n'y a rien à faire c'est partie du problème donc vous pouvez le faire que par la méthode de perturbation avec les normes de Strykars il n'y a aucune autre possibilité alors vous pouvez enlever tous les paquets hyper concentrés en coupant là mais vous pouvez jamais enlever le soliton qui est complètement étalé donc vous poussez jusqu'à un temps où vous arrivez à la même échelle alors ça tombe bien de continuer des solutions pas dans l'espace de Strykars ça applique jusqu'au lap avec ces solutions là que j'ai tronquées en ce temps là j'ai réussi à pousser mon channel de linéaire à la limite de mon deuxième soliton donc j'ai mis quelque chose qui était plus dans cette zone là et donc je suis ramené au cas précédent où j'ai un paquet d'énergie de ma première bulle voilà maintenant quand vous avez qu'à soliton vous devez répéter ce processus qu'à fois là je l'ai fait qu'une fois et donc c'est comme ça qu'on arrive à gérer les interactions entre soliton donc c'est par le fait qu'en channel on se déplace sur les condoms que les solutions stationnaires ne bougent jamais et à chaque fois qu'on peut agir sur le sur l'équation alors bon je vous ai donné un peu le principe je sais que la démonstration qu'on a écrit était assez différente mais en fait ce que je vous donne c'est la vraie démonstration c'est à dire celle qu'on a compris comment faire le problème ce qu'on a fait et après on s'est dit si on sait faire ça bon alors après la vraie démonstration malheureusement comme il y a des tas de petits problèmes techniques on est obligé de faire légèrement différemment mais les principes que je vous ai donné sont tous les principes de la démonstration alors pour finir et là par contre je préfère des démonstrations exactes c'est une fois qu'on a démontré ça pour la séquence TN donc on a démontré qu'il existe une suite voilà comment passer pour tout temps alors c'est des principes de continuation topologique assez simples finalement alors une première remarque donc comment passer de TN qui tend vers puce infinie à un résultat AT qui tend vers puce infinie donc on a limite quand N tend vers puce infinie après compilation de tout ce qu'on a fait de U de TN plus 1 moins VL linéaire de TN plus la somme de I égala à J de plus ou moins WX J landa N sur landa JN puce en cinémie voilà en orme à chan proêle 2 qui tend vers 0 alors une autre remarque quand vous avez ça on peut calculer la norme énergétique de la solution et donc on obtient J x énergie de 0 plus l'énergie linéaire parce que quand vous appliquez l'énergie non linéaire sur une solution linéaire avec T qui tend vers infinie la partie non linéaire est négligeable V de TN qui est égale à l'énergie linéaire de V0 V1 dont une constante et donc vous voyez que le nombre J est fixé hein par cette relation l'énergie de 0 bon alors je vais appliquer ce principe là et de même la norme à chan tout ce que j'ai fait pour l'énergie je peux faire aussi pour la norme à chan donc la norme à chan j'utilise mon problème critique est invariante par scaling et la norme à chan en fait est reliée en fait pour la solution linéaire à une fraction de l'énergie linéaire j'ai mis ut donc ça marche il n'y a pas de problème linéaire linéaire de V0 V bon alors peut-être deux fois parce que j'ai l'énergie c'est avec un demi voilà et donc vous remarquez que mon niveau est fixé en fonction de J et voilà le principe si quand T tend vers l'infinie ma norme pouvait être différente cette quantité là gradiant de U2T gradiant de UT en normal 2 pouvait être différente de cette quantité là je peux obtenir une contradiction alors allons-y supposons qu'il existe Tn prime plus grand que Tn tel que cette quantité là est différente de ceci donc je peux le prendre est égal et différent est égal à un nombre que je vais fixer C0 avec C0 différent de ceci si vous voulez tend vers C0 quand Tn prime tend vers plus infinie avec C0 différents de ce nombre vous avez remarqué tout ce que j'ai fait précédemment alors vous voyez cette quantité là c'est l'énergie linéaire donc ça elle est toujours là pour tout temps non donc je vais supposer qu'il existe donc bon bah que c'est que j'ai cette propriété là je peux faire tous mes raisonnements précédemment je peux faire les décompositions bulles et ainsi de suite et démontrer qu'il y a une partie linéaire et une partie et une partie qui est l'énergie débule alors la partie linéaire ne dépend pas de la suite Tn c'est pour ça que j'avais fait le l'M pour touter quand on tendait en infinie j'avais que cette quantité là en fait XT de V de T pas forcément Tn tendait vers 0 pour X plus grand que T moins A donc ça marche pour Tn et pour Tn prime donc cette quantité là elle ne dépend pas de la suite par contre si pourrait dépendre de la suite mais comme c'est juste un ensemble discret dans R si je prends C0 égale à ça et par exemple j'obtiens une contradiction on obtient une contradiction dès qu'on prend ceci égale plus ou moins si vous voulez epsilon 0 ou epsilon 0 est petit donc juste comme je suppose que ce site n'est pas vers ça donc je peux trouver une suite plus grande juste par mon trem de continuité tel que c'est égal à plus ou moins un epsilon 0 fixe non nul or ça ce n'est pas si je fais maintenant mon principe de décomposition Tn prime décomposition en bulle en Tn prime alors je obtiendrai pour un autre j prime j'ai ceci mais bon comme ceci un nombre c'est possible donc en fait on obtient que non seulement la solution est bornée mais pour tout et on a cette information décomposition voilà ça montre que la solution est bornée donc je obtiens juste là maintenant que la solution est bornée c'est en ayant compris simplement d'une solution un temps non bornée enfin un temps où la solution est bornée que je peux en déduire que ensuite pour tout temps la solution est bornée parce que j'ai obtenu que cette quantité là était essentiellement vivée que sur un ensemble discret de R parce que voilà parce que le J aurait pu dépendre de la séquence voilà et c'est pas possible voilà oui alors je suppose qu'il y en a deux et comme ceci est une fonction continue du temps je peux prendre égal ceci par exemple j plus un demi ou moins un demi de ça j grandit soit 15 et l'autre grandit soit 14 16 alors il existera une suite de temps tn prime entre les deux tel que ceci sera égal à 15,5 et je ferai mon l'aime de décomposition et je verrai que que mes bulles donnent juste un nombre discret parce que ceci ne dépend pas de tn ceci ne dépend pas de la suite de temps et j'obtiendrai une contradiction et oui parce que la limite c'est tellement rigide mais mes décompositions que la seule façon de ne pas disperser c'est d'être sur un ensemble discret de normes voilà donc en particulier j'obtiens que c'est pour né mais en plus j'obtiens que que j'ai ceci voilà alors ça c'est la bon alors maintenant alors on démontre ensuite bon alors essentiellement la démonstration est terminée il faut juste démontrer que les objets qu'on a défini ne dépendent plus de la bon alors là vous voyez qu'on essentiellement on a démontré que le nombre de bulles était fixe alors les signes pourraient changer alors on va démontrer le trem rigoureusement maintenant quand t est en verre plus infini alors maintenant je défini bj là j'utilise que ma solution n'est pas support compact et le lambda j de t je peux le définir maintenant avec ma solution c'est tout simplement alors je dois définir quelque chose avec t donc et la bonne définition c'est que je soustrais c'est l'infimum pour tout lambda cette cette démonstration marche parce que ma solution stationnaire n'est pas support compact voilà gradient de u dont je travaille avec la différence avec la différence de la solution linère que j'ai définie pour tout temps bj et donc j'arrive à trouver des échelles où je vois mes bulles à chaque étape et maintenant mon but c'est de démontrer que limite quand t est en verre plus infini de u de t moins vl de t alors les les signes que j'ai là c'est les signes que j'ai définie pour une suite de temps tn voilà donc je sais en tout cas quand t égale tn que ce site en verre 0 et ensuite il faut le démontrer pour donc pour tout temps alors il est facile de voir première étape que les landages sont landages y plus 1 temps de soit vers 0 soit vers plus infini alors avec la définition que j'ai pris temps de vers 0 en effet si une solution voyait 2 bulles je saurais que ma nouvelle donne initiale dans cette échelle là ne serait pas un w parce que ça serait la somme de 2 bulles découplés donc ça je sais automatiquement que c'est vrai maintenant quand t est égale tn j'ai le résultat ce site en verre 0 donc ça c'est ce que je vais démontrer voilà donc je suppose que ce site n'est pas vrai donc il existe un temps tel que alors ce site n'est pas vrai donc je sais que c'est vrai en tn donc il va exister un temps tn prime tel que ce site ne tend pas vers 0 donc ça remonte jusqu'à un niveau delta mais delta je le prends très petit alors maintenant je peux travailler en ce temps là la décomposition en bulles et à nouveau voir que c'est impossible je suppose que je n'ai pas convergence pour tout temps et donc si c'est pas vrai il existe un temps tel que cette quantité là était égale à delta petit et quel que soit t si on veut vraiment écrire les choses proprement tn prime ce site inférieur à delta donc en tn ça tend vers 0 cette quantité là cette norme en tn prime je suis voisin 0 maintenant j'applique mon l'aime de décomposition ici avec le fait que j'ai défini explicitement mes l'endagie avec ce site je peux voir essentiellement que si je suis égale à delta je dois être différent d'un W dans une des bulles si vous voulez il n'y a pas d'autre choix juste pour simplifier les calculs il faut toujours prendre delta petit parce que là c'est juste un théorème des fonctions implicites qu'on peut appliquer si on disait delta grand ça serait plus compliqué donc c'est plus simple de toujours travailler voisinage de cette variété qui est une somme de bulles découplées pour démontrer le résultat voilà je vous ai donné les principes de la démonstration voilà pour finir et donc vous vous démontrez à la fin de la démonstration techniquement il faut vraiment définir votre l'endagie de thé définitivement voilà même si ça n'aurait pas forcément toujours un sens mais avec ce site vous pouvez toujours définir ça comme ça et ensuite essentiellement c'est toujours des petites variations il faut toujours prendre des deltas très petits pour faire des théorèmes voilà ça n'a pas de l'endagie de thé en fait il correspond à ce qu'on pense la solution est proche de la somme de profils voilà ma définition a toujours un sens sinon ça a aucun sens par contre si c'est proche de profils ça donne bien le sens de géométrie c'est le sens de géométrie à chaque fois et donc ça permet de retomber sur ses pieds c'est pour ça que je dis qu'on doit travailler toujours à delta très petit sinon on n'arrive pas on n'a pas la structure mais comme formellement on imagine qu'on est toujours proche et ça va donc on arrive bien à retomber sur nos pieds à la fin je sais que là je vous ai donné les principes très là mais vous voyez bien que à chaque fois mon outil absolu c'est mon théorème de channeling de l'endagie de thé il dépend de quoi alors l'endagie de thé il dépend de la solution à la fin non mais la définition de l'endagie de thé c'est là l'endagie de thé c'est à dire qu'il prend une donne initiale à la somme de deux bulles découplées ah oui je faut fermer la parenthèse ici mais il y a eu bien de la si tu veux je suppose que ma solution est une somme de deux bulles très découplées c'est le A et le l'endagie de thé ah oui alors attends je reviens ah c'est la somme de l'endagie attend ah tu veux dire A égale l'endagie c'est ça oui probablement A égale l'endagie attend je vais essayer de voir oui non A égale l'endagie et le deuxième, oui ça c'est la partie vraiment difficile de la démonstration dans le jeu le fait, tu le remets à l'échelle de 20 ton premier profil c'est le plus étalé et tu le prends à l'échelle de 20 voilà bon il faut après le deuxième c'est le principe de découplage entre les deux je vais pas montrer oui alors c'est la partie un peu tortueuse de cette démonstration mais en effet c'est la clé parce que si on ne sait pas gérer l'interaction de deux profils on peut démontrer qu'avec cette démonstration que c'est W mais on ne sait rien dire sur les autres prenons un cas simple où la partie linéaire est égale 0 et donc j'ai un premier W concentré enfin un profil u2 x sur l'en d'A2 de N l'en d'A2 de N maintenant j'ai un A à échelle 1 donc je renormalise donc ceci m'a donné initial alors je vais couper ce profil prenons le par exemple qui n'est pas égal à W même pour R très grand donc je vais le couper ici alors évidemment ici ça ne va pas dire grand chose parce que je suis toujours très proche de 0 voilà tout ça j'ai coupé et très proche de 0 et donc je vais regarder la solution ici pour que j'ai le temps de pousser mon énergie là jusqu'à échelle il faut que je comme mon W mon premier profil c'est l'en d'A1 de T donc il faut voyager à une vitesse un grand mais universel ah oui celui là c'est un voilà attention ça ne marche pas si on n'avait pas démontré que W c'est W c'est à dire c'est une solution stationnaire donc ce que je vais prendre comme nouvelle donnée initiale c'est celle-ci tronquée qui est très petite dans un chien et W dont je peux appliquer mon théorème de décomposition d'interaction entre profils avec normes de Stricards s'applique sur n'importe quelle échelle de temps T égale une grande constante l'en d'A1 de T enfin quand on a renormalisé ça jusqu'à T égale A parce que la norme de Stricards de cette fonction là sur un temps à une constante et celle-ci est petite donc c'est découplé donc j'arrive à dire que la solution essentiellement ressemble à la somme de mes 2 solutions juste à ce temps là je pourrais pas aller beaucoup plus loin c'est pas un temps universel oui c'est un temps universel qui descend de mon premier profil et la petite donc là j'arrive maintenant j'ai poussé ceci là et je peux le pousser aussi loin que je veux et maintenant ma nouvelle donnée initiale en ce temps T qui est maintenant grand A si tu veux c'est quoi ? c'est la queue de mon W plus la solution linéaire je la regarde toujours dans des cônes là mais c'est bon et donc je marche j'ai une solution très concentrée d'un nombre de strict cards petit je peux appliquer mon théorème éventuellement si vous voulez encore plus vous fixer vous pouvez appliquer avec la solution linearisée autour de W et donc j'arrive à channeller dans des échelles de temps au-delà de T égale ça parce que là si on regardait juste le l'aime d'interaction entre deux échelles on peut pas aller plus loin que T égale là et donc on peut rien démontrer parce que nous on est obligé d'aller à puce infinie on doit pousser des paquets d'énergie en puce infinie et donc on est obligé de faire ça localisation en deux temps là on pousse et là à nouveau on va utiliser un théorème global à partir de là là on peut couper le gros soliton aussi là on doit couper le gros soliton en deux temps oui c'est tu veux pas couper le gros ah non c'est impossible il faut le traverser qu'est-ce que tu utilises le fait qu'il a eu levé solution est simple ou le fait le fait qu'il est W est solution exact et c'est une solution stationnaire donc ça ne fait pas bouger la catastrophe que je pourrais avoir tout est sympathiqué qu'il semble complètement anecdotique dans ce que je dis mais qu'en fait une obstruction absolue c'est que si mes profils pouvaient donner des solutions explosives je pourrais pas dire ça mais en fait là mon W c'est une solution stationnaire tel que le landa bouge pas tout est sympathique tout se passe bien ça tu parvois des explosions pour le troisième profil mais tu vois pas de tout cet agent là et je dois les modifier c'est des empilements de boîte oui parce que là on a fait que sur deux mais en fait on peut en avoir 10 bon donc on est obligé d'itérer le processus alors oui c'est exact donc ça c'est la méga astuce qui permet de démontrer le fait que les profils sont pas W et qu'au-delà du premier profil c'est à dire tous les profils voilà bon d'autres questions alors je sais que ça correspond pas exactement à la façon dont on a écrit l'article mais par contre ça contient tous les coeurs de démonstration tout le reste et que de la technicité pour démontrer rigoureusement les choses en fait mais les principes sont là