 En 1960, Brian Birch et Peter Swinerton d'ailleurs font des calculs sur leur ordinateur pour chercher des solutions à des équations. Enfin, ils font les calculs sur Let's Sack 2, une machine parmi les pionnières de l'histoire de l'informatique, puisqu'on est dans les années 60. Ils travaillent sur les équations de ce que l'on appelle les courbes elliptiques, et ils observent le comportement étonnant du nombre de leurs solutions. 60 ans plus tard, cette observation n'a toujours pas été démontrée, si bien qu'elle est entrée dans le top 7 des problèmes les plus difficiles de toutes les mathématiques. Ce problème porte aujourd'hui le nom de conjecture de Birch et Swinerton d'ailleurs, et ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Il y a des milliers de problèmes ouverts intéressants en mathématiques, mais il y en a 7 qui ont tendance à attirer un peu trop l'attention. La faute sans doute a ce million de dollars réservé à celui ou celle qui sera capable d'en résoudre. Ces problèmes, ce sont les 7 problèmes du prix du millénaire. Des problèmes ouverts au coeur de leur domaine de recherche. Quand on vulgarise les mathématiques, on aime bien parler de ces questions. Elles permettent de mettre en avant le travail des chercheurs et chercheuses en mathématiques, tout en faisant miroiter des récompenses que moins d'une personne sur un milliard serait capable de décrocher. Ce qui devient gênant, c'est quand il faut décrire dans le détail quels sont ces fameux 7 problèmes. Alors, on va parler de l'hypothèse de Riemann, parce que malgré sa difficulté, elle se laisse expliquer et elle fait de jolis liens entre les nombres complexes et les nombres premiers. On peut aussi parler de P égal NP, un problème d'informatique théorique qui lui aussi se laisse vulgariser. Quand on est motivé, on va vous parler de l'hypothèse de Poincaré, surtout pour évoquer l'histoire de Perrenmann, le mathématicien misanthrope qui l'a résolu mais qui a refusé la récompense. Le problème des équations de Navier-Stokes peut également être expliqué dans les grandes lignes si on est déterminé. Et puis, il y a les 3 derniers problèmes que personne ne veut jamais vraiment expliquer, parce que leur énoncé est tout bonnement incompréhensible. La conjecture de Hodges, la conjecture de Birch et Swinert-Andeyer et les équations de Young Mills. Aujourd'hui, je vais donc tenter de briser cette malédiction des problèmes invulgarisables. Nous allons ensemble essayer de comprendre ce que raconte la conjecture de Birch et Swinert-Andeyer. Voyons donc son énoncé. Il s'agit de démontrer que le rang d'une courbe elliptique sur le corps des nombres rationnels est égal à l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée. Bon, disons-le tout de suite, une vidéo de 2 minutes ne sera certainement pas suffisante pour comprendre précisément ce que signifie et ce qu'implique cette conjecture. Désolé, chaque mot de cet énoncé demande en effet plusieurs mois de cours magistraux de théorie des nombres et encore, l'énoncé que vous avez sous les yeux n'est même pas l'énoncé officiel du problème. Mais on va quand même essayer de se faire une idée des concepts en jeu, l'occasion rêvée de parler de géométrie algébrique et de théorie des nombres. Parlons pour cela de triangle rectangle. Le plus petit des triangles rectangles dont tous les côtés sont entiers, c'est le triangle de côtés 3, 4 et 5. Mais il en existe bien d'autres. Déjà, il y a les multiples entiers de ce premier triangle. Le triangle 6, 8, 10, 9, 12, 15, etc. Tout ceci sont des triangles rectangles. Mais c'est le même triangle, ça compte pas vraiment. Il en a heureusement bien d'autres. 5, 12, 13, 8, 15, 17, 7, 24, 25, etc. On appelle ces nombres des triplets de Pythagore, une dénomination qui fait bien entendu référence au théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénus est égal à la somme des carré des deux autres côtés. En notant A, B et C, les longueurs de ces côtés, on a alors A au carré plus B au carré, égal C au carré. Un triplet de Pythagore, c'est donc un triplet de nombres entiers ABC qui vérifie A au carré plus B au carré, égal C au carré. On peut alors se demander s'il n'existerait pas une méthode pour construire tous les triplets Pythagore différents. On sait par exemple que si n est un entier, alors le triplet n carré moins 1, 2n n carré plus 1 sera un triplet Pythagoricien. Mais certains nombres comme 5, 12, 13 ne correspondent pas à cette forme. Il va donc falloir changer de point de vue. Un triplet Pythagore, on l'a dit, c'est 3 entiers ABC qui vérifient A carré plus B carré, égal C carré. Si je divise de chaque côté par C carré, mes entiers devront vérifier A sur C au carré plus B sur C au carré, égal 1. Autrement dit, on doit trouver deux nombres rationnels, c'est-à-dire des fractions de deux entiers, qui vérifient X au carré plus Y au carré, égal 1, où X correspond à A sur C et Y a B sur C. On cherche donc une solution rationnelle XY de l'équation X carré plus Y carré, égal 1. Un couple de solutions comme X égal 1 demi et Y égal racine de 3 sur 2 n'est donc pas une solution acceptable, même si, dans ce cas, X au carré plus Y au carré est bien égal à 1, racine de 3 sur 2 n'est pas une fraction de deux entiers, ce n'est pas un nombre rationnel. À partir de maintenant et pour tout le reste de la vidéo, on ne va s'intéresser qu'aux solutions rationnelles des équations. Revenons donc à cette équation, X carré plus Y carré égal 1. Ce n'est pas qu'une équation sur des nombres, c'est aussi l'équation cartésienne d'un cercle, celui centré au point de coordonnée 00 et de rayon 1. Une solution rationnelle XY de cette équation, c'est donc un point du cercle dont les coordonnées sont de nombre rationnel. On appelle ça un point rationnel. Il y a par exemple 3 5e 4 5e, il y a 5 13e moins 12 13e, il y a moins 8 sur 17, 15 sur 17, etc. La bonne nouvelle, c'est qu'on a une méthode très simple pour trouver des points rationnels sur un cercle. On prend pour cela un premier point rationnel sur le cercle, comme ce point A de coordonnée moins un 0 et on trace une droite passant par A et dont la pente est un nombre rationnel n'importe lequel. Disons par exemple deux tiers. Cette droite va couper le cercle en un deuxième point et on peut alors prouver que ce nouveau point aura toujours ses coordonnées rationnelles, quelle que soit la pente choisie. En l'occurrence, il s'agit pour cet exemple du point 5 13e 12 13e. Réciproquement, si on prend deux points rationnels sur le cercle, on aura une droite dont la pente sera rationnelle. Ça donne donc une correspondance parfaite entre tous les points rationnels du cercle et l'ensemble de toutes les droites à pente rationnelle passant par A. C'est donc une méthode simple pour construire toutes les solutions rationnelles de l'équation x² plus y² égale 1 et on peut alors en déduire tous les triplets pitagoriciens. Mais dans cette histoire, ce qui nous intéresse avant tout ce ne sont pas ses anecdotiques triplets pitagores, mais plutôt les solutions rationnelles de l'équation x² plus y² égale 1 qui sont aussi les points rationnels d'un cercle. On a donc utilisé une méthode géométrique pour résoudre un problème qui concernait les nombres. Et cette méthode, elle se généralise très bien à n'importe quelle équation à deux variables de degré 2. D'un point de vue géométrique, ces équations de degré 2 correspondent à ce que l'on appelle des coniques, des courbes comme les cercles, les ellipses, les paraboles ou les hyperboles. Leur point commun, c'est que ce sont des courbes algebraiques planes de degré 2, elles peuvent être définies par une équation polynomial à deux inconnus de degré 2. Ainsi, si je veux par exemple trouver toutes les solutions rationnelles de l'équation x² moins y égale 1, je vais m'intéresser à la parabole de même équation. Je prends un point rationnel évident de la courbe comme le point A de coordonnée moins un 0 et je trace n'importe quelle droite passant par A et dont la pente est rationnelle. Le deuxième point d'intersection sera alors toujours un point rationnel et cette méthode me fournit donc un moyen de trouver toutes les solutions rationnelles de l'équation x² moins y égale 1. Je peux aussi chercher les solutions rationnelles de l'équation x² plus y égale 3. Il s'agit de l'équation d'un cercle centré en 00 et de rayon racine carré de 3. Pour appliquer la méthode, je dois trouver un premier point sur le cercle dont les coordonnées sont rationnelles. Et en fait non, là ça marche pas. La méthode de la droite ne permet de déterminer l'infinité des solutions d'une équation de degré 2 car l'unique condition qu'il en existe au moins une. Mon cercle de rayon racine de 3 n'a en fait pas le moindre point rationnel. Finalement, cette méthode permet d'affirmer qu'une équation de degré 2 aura toujours soit une infinité de solution soit 0. Et pour savoir dans quel cas on se trouve, il existe là aussi des méthodes mais je ne vais pas détailler. Bref, déterminer les solutions rationnelles d'une équation de degré 2 c'est quelque chose que l'on maîtrise aujourd'hui parfaitement. Mais pour le degré 3, c'est autrement plus compliqué. Prenons par exemple la courbe d'équation y² égale xoq moins 16x plus 16. C'est ce que l'on appelle une courbe elliptique, c'est-à-dire une courbe lisse dont l'équation peut se ramener à la forme y² égale xoq plus ax plus b avec a et b des coefficient entiers. Ce que j'appelle une courbe lisse, c'est une courbe sans auto-intersection ni point de rebroussement. Puisque l'on vient d'excurre les quelques cas pathologiques, une courbe elliptique ressemblera toujours à peu près à la même chose. Elle aura pour ax de symétrie la x horizontal des absces et soit elle sera en un seul morceau infini vers le haut et vers le bas ou bien elle sera en deux morceaux avec d'un côté une composante infinie et de l'autre une petite boucle. On peut en fait montrer que n'importe quelle courbe lisse de degré 3 peut se ramener moyennant des transformations que je ne vais pas détailler ici à cette équation de courbe elliptique. Pour bien comprendre les équations de degré 3, il suffit donc de bien comprendre ces courbes elliptiques. Notons au passage que les courbes elliptiques n'ont rien à voir avec les ellipses. Une ellipse, c'est de degré 2 et une courbe elliptique, c'est de degré 3. Certaines dénominations mathématiques ne sont pas toujours très heureuses. Bref, cette équation y² égale x occupe moins 16x plus 16 a-t-elle des solutions rationnelles ? Traduction géométrique, la courbe elliptique de même équation a-t-elle des points rationnelles ? Eh bien oui, on peut repérer par exemple point de coordonnée 04. On peut alors retenter la méthode de la droite qui marchait si bien en degré 2. Je prends donc par exemple la droite de pente ½ qui coupe la courbe elliptique en 2 autres points. Et les coordonnées de ces points sont pleines de racines carrées, ça va pas du tout, ce ne sont pas des nombres rationnelles. Ça ne fonctionne pas tout simplement. Mais on va pas se décourager comme ça, il existe malgré tout une vraie méthode efficace. Je vais simplement prendre la droite tangente à la courbe qui passe par ce point A. Cette droite a la bonne idée de recouper la courbe en un deuxième point B de coordonnée ici 4-4. De manière générale, si un point d'une courbe elliptique a des coordonnées rationnelles, alors on peut démontrer que la tangente en ce point coupera toujours la courbe en un autre point qui aura lui aussi des coordonnées rationnelles. C'est une conséquence du théorème de Bézou, un merveilleux théorème que je détaille dans cette ancienne vidéo. Bref, ce point B que l'on vient de construire nous donne alors directement à un nouveau point rationnel, son symétrique C de coordonnée 4-4. Si je prends maintenant les deux points A et C, je peux tracer la droite A-C. Cette droite coupe alors la courbe elliptique en un troisième point D et ses coordonnées surprise sont-elles aussi rationnelles ? Je prends le symétrique de D-E qui lui aussi est un point rationnel. On peut alors recommencer, je trace la droite A-E, j'obtiens un point F, je prends son symétrique, j'ai un point G et ainsi de suite. On peut montrer que pour cette courbe elliptique, cette succession d'opérations me permettra de construire l'infinité des points rationnels de la courbe. J'ai donc une méthode dont on peut démontrer qu'elle me donne ici toutes les solutions rationnelles de l'équation de départ. On appelle cette procédure parfois la méthode de la courbe. On peut alors généraliser cette construction. Pour cela, on va avoir besoin de définir une opération sur les points rationnels d'une courbe elliptique que l'on va noter plus. Malgré la notation, ne vous faites pas influencer, cette opération n'a pas de lien évident avec l'addition sur les nombres. Pour construire l'opération, on a besoin d'une courbe elliptique quelconque et deux points rationnels A et B de cette courbe. On va alors noter C, le troisième point d'intersection entre la droite AB et la courbe et on va appeler A plus B, le symétrique de ce point C par rapport à l'axe horizontal. On peut alors prouver que ce nouveau point A plus B est toujours un point rationnel. On vient donc de définir ici une addition entre deux points rationnels d'une courbe elliptique et elle produit un autre point rationnel. Il y a malgré tout quelques cas particuliers à prendre en compte pour que cette opération soit parfaitement définie. Le premier cas particulier, c'est si on prend deux points A et B symétriques à l'un par rapport à l'autre. La droite AB n'a alors pas de troisième point d'intersection avec la courbe. Ou plutôt C, mais à l'infini, sur la ligne d'horizon où toutes les droites parallèles se coupent. On va donc dire que A plus B est égal à ce point à l'infini que je vais appeler O ou 0. Ça peut sembler tordu, mais c'est de la géométrie projective. Les mathématiciens sont très à l'aise avec ça. On peut alors remarquer que si trois points sont alignés, alors A plus B plus C égal à 0, ce qui permet de comprendre pourquoi on a jugé nécessaire de prendre le symétrique du point d'intersection. L'autre cas particulier, c'est si on additionne un point A avec lui-même. Dans ce cas, la droite à considérer sera la droite tangente à la courbe au point A, qui coupera bien la courbe en un deuxième point. Enfin, le dernier cas particulier, c'est si les points A et B sont choisis tels que la droite à B est tangente à la courbe, disons au point A. Puisqu'il n'y a pas de troisième point d'intersection C à proprement parler, on considéra que ce troisième point est confondu avec le point A, si bien que la somme A plus B sera le symétrique de A. Bref, on a une opération qui combine deux points rationnels d'une courbe elliptique pour donner un nouveau point rationnel d'une courbe elliptique. Dans le langage des algebristes, on dit que cette opération est une loi de composition interne sur l'ensemble des points rationnels de la courbe elliptique. C'est à ce moment-là de la vidéo que je devrais expliquer que cette loi est associative, unifère, symétrique et commutative, ce qui fait de l'ensemble des points rationnels ce que l'on appelle un groupe abélien. Mais bon, je suis sûr que je trouverai un jour deux minutes pour parler plus en détail de la théorie des groupes. Bref, testons plutôt cette opération sur une nouvelle courbe elliptique, celle d'équation Y² égale X au Q plus 1. On peut voir par exemple que le point A de coordonnée 2-3 est un point rationnel de la courbe. Calculons alors A plus A. On trace donc la tangente à la courbe au point A. Le symétrique du point d'intersection est le point B de coordonnée 0-1. Calculons maintenant B plus A. La droite A B coupe la courbe au point moins 1-0 qui est son propre symétrique. Je l'appelle C. On a donc B plus A égal C. Mais comme B est égal à A plus A, on a donc A plus A plus A égal C, ce que l'on va noter plus simplement 3A égal C. On peut poursuivre la construction. 4A c'est C plus A. C'est le point D de coordonnée 0-1 et 5A c'est le point D plus A. C'est le point E de coordonnée 2-3. Les points A et E sont alors symétriques, donc le point E plus A, c'est-à-dire 6A, c'est le point à la finie 0. Enfin, si je veux calculer 0 plus A, je dois tracer la droite 0A, c'est-à-dire la droite verticale qui passe par A. Son autre point d'intersection, C E, sont symétriques, c'est donc A. On a donc 0 plus A égal A. C'est attendu, additionner un point avec le point à la finie, c'est comme ne rien faire du tout. Bref, on vient de construire uniquement à partir du point A et de l'opération d'addition et il est possible de démontrer qu'il y en a en fait pas d'autre. Le point de coordonnée 2-3 permet donc de générer à lui seul tous les 6 points rationnels de la courbe elliptique d'équation y² égal x occupe plus 1. On dit que c'est un point générateur et il est d'ordre 6. De la même façon, sur la courbe elliptique d'équation y² égal x occupe moins 16x plus 16, le point 04 était un point générateur d'ordre infinit puisqu'il permettait de générer l'infinité de ces points rationnels. On a donc une méthode qui permet de trouver une courbe elliptique, c'est exactement ce que l'on cherchait, que demander de plus. Et bien, il y a quand même plusieurs points à éclaircir. Déjà, pourquoi la première courbe a une infinité de points rationnels alors que l'autre n'en a que 6 ? Y a-t-il un moyen déterminé le nombre de points rationnels d'une courbe elliptique ? À vrai dire, aujourd'hui, on n'en sait rien. Et c'est en fait cette question que la conjecture de Birch et Swinart & Dyer cherche à éclaircir. Je rappelle que c'est le sujet de la vidéo, on va y arriver. En fait, c'est un peu plus subtil que ça. Il va falloir que je parle du rend d'une courbe elliptique. Pour comprendre ça, on va prendre une nouvelle courbe. Disons celle-ci. D'équation y² égale x occu-7x-10. Si je pars du point A de coordonnée 1, 2, je vais pouvoir générer une infinité de points rationnels sur la courbe, arrêtant d'ordre infinie. Mais dans cette infinité de points générées, on peut voir que certains ont clairement été oubliés comme par exemple point B de coordonnée 3, 4. Si je pars de cet autre point, je pourrais générer une autre infinité de points différent de tous ceux qu'on avait obtenus jusqu'ici. Mais il manquera toujours des points, comme par exemple point C de coordonnée moins 3, 2. Mais on peut remarquer que celui-ci est en fait égal à A plus B. Finalement, on peut montrer que tous les points rationnels de cette courbe elliptique pourront être construits à partir de deux points de départ A et B et de l'opérateur de somme. Puisque le nombre minimal de points nécessaires pour générer tous les points rationnels est 2, on dira que cette courbe est de rend 2. La courbe de tout à l'heure où un seul point suffisait à générer l'infinité des points rationnels était donc de rend 1 et la courbe où il n'existaient que six points rationnels en tout généré à partir d'un seul point était de rend 0. Oui parce qu'en fait, les points qui nous intéressent pour définir le rend d'une courbe, c'est seulement les points d'ordre infini, ce qui nous permet de générer une infinité de points rationnels. Les autres points d'ordre fini méritent aussi notre attention, mais ça ne sera juste pas pour aujourd'hui. Désolé à eux. En réalité, on connaît plein de résultats sur ces points d'ordre fini qui les rendent un peu plus faciles à étudier. On connaît les quelques structures qu'elles peuvent présenter et on sait qu'il n'y en aura jamais beaucoup. C'est en fait pour mesurer les composantes infinies que l'on a besoin de cet outil de mesure qu'elles rend. En pratique, c'est plutôt difficile de trouver ces points générateurs, mais pour voir au moins connaître leur nombre, ça serait un bon point de départ. Quand on prend un ensemble minimal de points permettant de générer l'ensemble de tous les points rationnels d'une courbe elliptique, le rend c'est donc le nombre de points d'ordre infinie. Bref, le rend c'est le nombre de dimensions infinies de l'espace des points rationnels de la courbe. Un théorème fondamental de la théorie est le théorème de Mordel daté des années 20. Il affirme que le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique est un groupe abélien de type fini. Traduction, si on ne parle à la langue des algebristes, pour générer tous les points rationnels d'une courbe elliptique, il suffit d'un nombre fini de points générateurs que l'on pourra additionner entre eux un nombre fini de fois. Le rend d'une courbe elliptique est donc toujours fini. Il existe donc des courbes elliptiques de rend 0, d'autres de rend 1, d'autres de rend 2, de rend 3, de rend 4, etc. Enfin, on n'est pas tout à fait sûr aujourd'hui de ceux, etc. Les courbes elliptiques qui dépassent le rend 5 sont extrêmement, extrêmement rares et personne n'est capable de dire s'il existe une limite au rend d'une courbe elliptique. Le record actuel date de 2006 et c'est un joli bébé dont le rend est de au moins 28. Bref, il reste à savoir s'il existe un moyen de déterminer ce rend et c'est à ce moment qu'interviennent Peter Swinerton d'ailleurs et Brian Birch. On est en 1960 et ils travaillent sur des courbes elliptiques. Mais pas exactement celles dont je parle depuis le début de la vidéo qui ressemble vraiment à des courbes. Pour les mathématiciens qui travaillent dans ce domaine, une courbe elliptique ça ressemble parfois à ça. Un nuage de points dans un plan fini. En effet, une courbe elliptique ressemble à des points de coordonnées x, y qui vérifient une certaine équation. Mais ces points n'ont pas forcément des coordonnées réelles. Il existe d'autres ensembles de nombres, notamment l'ensemble fini z sur p, z avec p est un nombre premier, constitué des entiers de 0 jusqu'à p-1. Puisque ces ensembles ne possèdent qu'un nombre fini de nombres, l'étude des courbes elliptiques est bien plus facile. Prenons par exemple z sur 13z puisque z est un nombre premier. Pour y faire des calculs, on procédera normalement et on prendra à chaque fois le reste du résultat dans la division euclide par 13. On dit que l'on fait des calculs modulo 13. Par exemple, 7 plus 10 modulo 13 c'est égal à 4 puisque le reste de 17 dans la division de 13 c'est 4. De même, 8 fois 10 modulo 13 est 2 car le reste de 80 dans la division par 13 est 2. Puisque l'on sait faire toutes ces opérations on peut chercher tous les nombres de 7 ensembles qui vérifient l'équation d'une courbe elliptique. Par exemple on peut vérifier que sur z sur 13z il existe très précisément 17 couples de nombres x, y qui vérifient y² égal x occupé moins 5x. C'est par exemple le cas du point de coordonnées 6,2 puisque 2 au carré est bien égal à 6 occupé moins 5 fois 6 qui vaut 4 dans z sur 13z. Finalement, dans l'ensemble z sur 13z la courbe elliptique d'équation y² égal x occupé moins 5x c'est un ensemble de 17 points. Sauf que dans z sur 13z un calcul ne peut avoir que 13 résultats possibles. Si on résonne en termes de probabilité il y a donc a priori une chance sur 13 pour que y² soit égal à x occupé moins 5x. Il est raisonnable de réfléchir en termes de probabilité puisque les opérations modulaux des nombres premiers ont souvent des comportements pseudo-léatoires. Ce n'est pas complètement absurde de faire ce genre d'hypothèse. Puisqu'il y a 13 fois 13 points dans le plan, on devrait s'attendre à trouver environ 13 points sur la courbe elliptique. 17 points, c'est beaucoup. C'est peut-être juste une anomalie ou peut-être qu'il se cache quelque chose de plus profond. C'est le sentiment de Birch et Swinerton d'ailleurs qui décide alors de calculer le nombre de points de plusieurs courbes elliptiques sur plein d'ensemble z sur pz. Il note alors np, le nombre de points z d'une courbe donnée et il calcule np sur p qui traduit l'éloignement entre le nombre de points calculés et le nombre de points théoriques si les points étaient placés au hasard. Si ce nombre est plus grand que 1, c'est qu'il y a en quelque sorte trop de points sur la courbe elliptique et si c'est plus petit que 1, c'est le contraire. Il termine enfin par multiplier ensemble tous ces np sur p et observe ce qu'il se passe quand on en prend de plus en plus. Pour la courbe elliptique d'équation y² égal x occupé moins 5x, on obtient 7 courbes et on constate une chose qu'elle a tendance à grimper. En fonction des courbes elliptiques, ça grimpera toujours plus ou moins vite. Ils émettent alors leur conjecture qui passera à la postérité plus le rang de la courbe est grand plus le produit des np sur p grimpera vite. Une histoire de croissance logarithmique. Le rang des courbes elliptiques apparaît donc à un endroit totalement inattendu. Depuis, la conjecture a été remaniée. Ce que l'on cherche à prouver, c'est que le rang d'une courbe elliptique correspond au comportement d'une fonction précise en x égal 1. On appelle ça les fonctions L, la conjecture de Birch et Sunartand d'ailleurs et qui se construisent L aussi à partir des np. Il est hors de question que je détaille précisément de quoi ils retournent. Dites-vous seulement qu'on est sur des fonctions qui ressemblent un peu à la fonction zeta de Riemann mais en moins sympa. Il faudra par exemple les prolonger pour leur donner un sens en x égal 1. Je vous renvoie à ma vidéo sur l'hypothèse de Riemann pour vous faire une idée du degré d'abstraction nécessaire pour comprendre le comportement d'une telle fonction. Bref, la conjecture de Birch et Sunartand d'ailleurs demande de montrer que le rang d'une courbe elliptique est un rang d'une fonction horrible à définir. Résumons donc depuis le début. La conjecture BSD s'intéresse au courbe elliptique. Ce sont des courbes régies par des équations de degré 3. Sur ces courbes, on va chercher les points accordonnés rationnels. Il y en a parfois un nombre fini et parfois un nombre infini. Mais on connaît une méthode, la méthode de la corde, qui permet de générer toutes les solutions à condition de connaître quelques points particuliers les points générateurs. Ceux qui nous intéressent, ce sont les points générateurs qui permettent à eux seuls de générer une infinité de points rationnels. Leur nombre est le rang de la courbe. Il correspond en gros à la dimension de l'ensemble des points rationnels de la courbe. Le problème, c'est que calculer ce rang est parfois une opération très délicate. Birch et Sunartand d'ailleurs ont conjecturé que le rang d'une courbe elliptique est lié au comportement de sa fonction L. Une fonction liée au décompte des points de la courbe modulée au P pour P1. La conjecture BSD, c'est donc montrer le lien entre les points rationnels d'une courbe elliptique tout entière et les points de cette même courbe mais sur les ensembles de nombres Z sur Pz plus petits. Démontrer la conjecture BSD, c'est donc démontrer que ce lien existe vraiment ou bien trouver un contre-exemple. Le projet derrière cette conjecture c'est un projet assez transversal à toutes les mathématiques. C'est trouver des méthodes pour résoudre des équations. Les équations qui nous intéressent ici ce sont les équations de degré 3 sont lesquelles on recherche des solutions qui sont des nombres rationnels. Mais l'ensemble des nombres rationnels c'est pas un ensemble toujours très accueillant pour faire de l'algebra. C'est pour cela que l'on préfère résoudre les équations sur des ensembles plus simples comme les ensembles finis Z sur Pz. Le cœur de la conjecture BSD c'est donc de recueillir des informations sur la courbe à grande échelle, celle des nombres rationnels en regardant uniquement le comportement de la courbe à petite échelle, celle des ensembles finis Z sur Pz. On cherche donc à comprendre la courbe de façon globale en regardant uniquement de façon locale. Quelques résultats satisfaisants ont déjà été démontrés autour de la conjecture BSD, bien que les zones nombres restent encore très nombreuses. Les courbes elliptiques sont aujourd'hui des objets mathématiques étudiés sous toute leur couture. On sait par exemple que la conjecture est vraie sur certaines courbes de rang 0 et de rang 1, ce qui représente à peu près deux tiers de toutes les courbes elliptiques. Ce résultat ne permet malheureusement pas de prétendre à remporter deux tiers du million de dollars prévu. On est sur la bonne voie mais ça ne suffit pas. Dans le tiers restant on a une bonne proportion de courbes de rang 1 et de rang 0 pas très accueillante et des courbes de rang supérieur pour lequel il est encore plus difficile de démontrer des résultats importants. Reste cette question que je garde pour la fin. Pourquoi on s'embête à vouloir démontrer à tout prix cette conjecture alors qu'elle est manifestement vraie puisque ça fait 60 ans qu'on cherche en 20 des contre-exemples. La réponse est en fait toujours la même pour les conjectures de ce niveau. Ce n'est pas de savoir si la conjecture est vraie ou fausse qui motive les mathématiciens. Mais plutôt les outils développés pour l'attaquer qui peuvent avoir des applications. On peut par exemple citer le grand théorème de Fermat démontré par Andrew Wiles 330 ans après avoir été conjecturé. C'est un résultat qui énonce que des équivalents aux triplets de Pythagore n'existent pas pour les puissances supérieures à 2. Ce problème n'a été vaincu que grâce aux propriétés des courbes elliptiques. Mais il y a aujourd'hui des applications réelles pratiques aux courbes elliptiques même si ce n'est pas directement lié à la conjecture bsd. C'est là cryptographie. Pour échanger des informations sur internet de façon confidentielle, pour authentifier une identité ou pour s'assurer de l'intégrité d'un fichier numérique, on aura aujourd'hui recours à des algorithmes de chiffrement. Et aujourd'hui une bonne partie de ces algorithmes s'appuient sur les courbes elliptiques et leur addition de points, ce qui offre ce qui se fait de meilleur en termes de sécurité. Un jour peut-être je ferai une vidéo sur le sujet. Mais pas maintenant j'ai encore 2 autres problèmes du millénaire non je ne les ferai pas