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Número de divisores positivos de un entero positivo

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Published on Apr 16, 2011

El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como el producto de primos, y que dicha factorización es única salvo orden. Sin embargo, no siempre es conveniente escribir dicha factorización en la forma más breve posible, por ejemplo, para el número 45 la factorización que se indica en el video es 45 = 2^{0} x 3^{2} x 5^{1}, mientras que para 50 se tiene que 50 = 2^{1} x 3^{0} x 5^{2}. Es decir que en la factorización del número n se permite a los exponentes ser cero, excepto el que se corresponde con el primo más grande. Esto tiene sentido, pues todo entero positivo elevado a la potencia 0 es igual a 1.

Por cierto, nosotros consideramos que los naturales son equivalentes a los enteros positivos, es decir, no incluimos al cero entre los naturales.

En 1:35 lo que se quiere decir es que el primo más grande en la factorización de n es p_r, así que no puede haber un primo más grande en las factorizaciones de d y de q.

En el tramo que va de 3:15 a 4:00 no se hizo algo que valiera la pena, pues desde el momento en que la suma de los exponentes es igual al respectivo exponente de la factorización de n, y cada sumando es mayor o igual a cero, se puede afirmar que los exponentes de la factorización de d están acotados superiormente por los exponentes de la factorización de n.

5:15: se suma 1 pues entre las posibilidades se está incluyendo el 0.

Un ejemplo por si quedase alguna duda: decíamos que el número 50 es igual a 2^{1} x 3^{0} x 5^{2} , así que la fórmula nos indica que el 50 tiene (1+1) x (0+1) x (2+1) = 6 divisores, los cuales son 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Expositor: Luis S.

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