 En mai 2017, le mathématicien français Miquel Rao publie « Recherche exhaustive des pentagones convex qui pavent le plan ». Il signe alors la fin de la classification des pavages périodiques convexes du plan, question ouverte depuis tout de même presque un siècle. C'est l'occasion de traiter de la classification des pavages et ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Voici un motif quelconque. Avec plusieurs copies de ce motif, il m'est possible de fabriquer un splendide papier peint. En prenant d'autres motifs, j'obtiens d'autres papiers peint. Dans tous les cas, chaque motif peut se déduire du premier par un simple déplacement, une translation. Seulement, voilà. Tous ces papiers peints sont un peu les mêmes, générés à partir d'un même motif et de translation. Est-il possible de faire des choses un peu plus inattendues ? Et bien, bien sûr que oui, sinon je ne poserai pas la question. Si je m'autorise à tourner les pièces, je peux obtenir à partir de mon motif de base un papier peint radicalement différent. Celui-ci par exemple peut être généré à partir de rotations et de translations. Ce n'est donc pas simplement le motif qui produit le papier peint mais plutôt la façon dont on peut le générer à partir de ce motif. Et s'il existe déjà deux papiers peint différents, c'est qu'il y en a d'avantage. Combien ? Excellente question. Précisons un peu les termes. Nous allons parler de papier peint périodique. Ce que je vais appeler papier peint, c'est la répétition d'un même motif à l'infini et de façon discrète dans toutes les directions du plan. On dit qu'un papier peint est périodique quand il existe au moins deux translations de directions différentes qui transforment la globalité du papier peint en lui-même. Quand ces deux translations n'existent pas, on parle de non-periodicité, d'a-periodicité ou de quasi-periodicité sur un contexte. Les différences sont subtiles, le sujet est intéressant mais on en parlera probablement dans une autre vidéo. Concentrons-nous aujourd'hui plutôt sur les pavages périodiques. On vient de le dire, on trouve toujours dans un papier peint des translations, mais on a vu que l'on peut parfois y trouver aussi des rotations. Ce n'est pas tout. On peut également retrouver d'autres transformations comme les symétries centrales puisque ce sont des cas particuliers de rotation. Il y a aussi les symétries axiales et enfin, la symétrie glissée, c'est-à-dire une symétrie axiale suivie d'une translation parallèle à l'axe. Et c'est à peu près tout. Toutes ces transformations que l'on peut retrouver dans un papier peint sont les isométries du plan, les transformations qui conservent les tailles des objets qu'elles transforment. On exclut donc les transformations qui déforment, comme les homothécies ou les inversions. Quand on regarde un papier peint, une bonne question à se poser est celle de son groupe, c'est-à-dire quelles sont les isométries que l'on y retrouve. Prenons par exemple ce superbe papier peint fleuri vintage. Quelles isométries peut-on y retrouver ? Déjà, il y a des translations. Au moins deux et deux directions différentes, c'est bien un papier peint périodique. Ensuite, on peut voir que les bouquets se regroupent toujours par quatre. Cela marque la présence de ce que l'on appelle les symétries d'entre quatre, c'est-à-dire des rotations d'un quart de tour centré sur le milieu de ces bouquets de bouquets que ce soit les grands ou les petits. On peut enfin déceler ici et là des symétries centrales. On peut donc dire que le groupe de ce papier peint est composé de translations, de deux familles de rotations d'un quart de tour et de deux familles de symétries centrales. Un second exemple avec ce papier peint Sixties. Comme toujours, des translations sont présentes selon plusieurs directions différentes. Aucune rotation ni symétrie centrale n'est à signaler, on peut cependant voir des symétries axiales dont l'axe est vertical. Plus difficile à repérer, on peut retrouver dans ce papier peint des symétries glissées, dont l'axe n'est pas le même que celui des symétries axiales. On peut donc dire que le groupe de ce papier peint est composé de translations, d'une famille de symétries axiales et d'une famille de symétries glissées. On a donc déjà décrit quatre groupes de papier peint différent, chacun portant son petit nom. On a vu le groupe P1 composé uniquement de translations, le groupe P3 composé de translations et de rotations d'un tiers de tours, le groupe P4 composé entre autres de rotations d'un quart de tours et le groupe Cm sans rotations mais possédant des symétries axiales et des symétries glissées. Mais combien existe-t-il de papier peint différent alors ? Eh bien, il faut faire un truc que les mathématiciens aiment faire, il faut établir la classification des groupes de papier peint. Ce travail n'est pas fondamentalement difficile, mais est tout de même loin d'être trivial. Pour comprendre l'idée, on va établir ensemble la classification des groupes non pas de papier peint périodique, mais de son équivalent à une seule dimension, les frises périodiques. Alors qu'un papier peint périodique est la répétition discrète de motifs du plan stable selon deux translations, une frise périodique est la répétition discrète de motifs stables selon une seule direction. Pour plus de simplicité, on supposera ces frises horizontales. La classification des frises est plus simple que celle des papier peint puisque seuls cinq isométries préservent les frises. Il y a par définition les translations, on peut également trouver des symétries centrales, des symétries d'axes verticaux, des symétries d'axes horizontaux ou les mêmes, mais avec glissement. On retrouve toujours des translations dans les frises et si une symétrie d'axe horizontal est présente, on aura forcément des symétries glissées. La réciproque n'étant pas vrai. Selon les isométries présentes, on peut donc dénombrer à priori douze types de frises possibles. On peut alors chercher des exemples pour chacun de ces douze types. On a donc des frises qui présentent uniquement des translations ou, en plus des translations uniquement des symétries d'axes verticaux, uniquement une symétrie d'axes horizontales, uniquement des symétries centrales ou uniquement des symétries glissées. On peut aussi trouver une frise qui présente toutes les isométries ou bien toutes, sauf la symétrie d'axes horizontales. Et pour les autres cases du tableau, essayons par exemple de construire une frise qui présente une symétrie d'axes horizontales et d'autres d'axes verticaux, mais pas de symétries centrales. On part d'un motif et on lui applique une symétrie d'axes horizontales puis d'axes verticales. En procédant ainsi, on retrouvera forcément dans cette frise une symétrie centrale. Toutes les cases du tableau ne sont donc pas possibles. En inspectant chacun des douze cas, on peut alors conclure qu'il n'existe que sept groupes de frises différents. Je vous invite à visionner la vidéo de Mic Mat pour plus de détails. Pour les papiers peints, le principe est le même. On commence par lister les isométries qu'il est possible d'y retrouver et on cherche lesquelles sont possibles et lesquelles sont impossibles. La démonstration est particulièrement laborieuse, donc je vous livre la conclusion. Il en existe précisément 17 et, pour le plaisir de galérer au montage de cette vidéo, voici la liste exhaustive des 17 groupes de papiers peints. P1 composé de translation seule. Pm composé de translation et de symétrie axiale d'axes tous parallèles. Pg où l'on remplace les symétries axiales par des symétries glissées. Pg où l'on remplace les gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des gants par des P4 qui ajoute les rotations d'un quart de tour. P4G qui ajoute des axes de symétrie axiale selon deux directions perpendiculaires. P4M qui rajoute des symétries axiale selon deux autres directions. P3 composé de translation et de symétrie d'un tiers de tour. P6 qui rajoute des symétries d'un sixième de tour. P6M qui rajoute un nombre impressionnant de symétrie axiale. P3M1 composé de translation de symétrie axiale selon trois directions et de symétrie d'un tiers de tour dont les centres sont tous au point d'intersection des axes de symétrie. Et enfin, P31M qui a les mêmes éléments que le précédent mais dont les centres de symétrie ne sont pas tous au point d'intersection des axes de symétrie. Y en a-t-il d'autres ? Non. Vege-le prouver ? Non plus, puisque plusieurs mathématiciens l'ont fait avant moi, je leur fais confiance. Bizarrement, l'histoire a pris son temps avant de prouver qu'il n'existe que 17 groupes de papier peint. Le premier à avoir tenté de les classifier semble être Camille Jordan en 1868 qui n'en a déterminé que 16 sur les 17. La classification complète est attribuée aux mathématiciens russes F. Graffet-Doroff en 1891 qui a prouvé une bonne fois pour toutes qu'il n'en a pas plus que 17. Il peut sembler assez étonnant de voir que l'étude des symétries des papier peint est si récente quand on sait que la quasi-totalité des types de papier peint et de frise se retrouve dans les arts de l'islam notamment sur les murs de la Lambra à Grenade, groupes de palais construits à partir du XIIIe siècle. En fait, l'étude minutieuse des symétries du plan ne pouvait exister sans le concept de groupe concept incontournable en mathématiques mais qui n'a été introduit qu'au cours du XIXe siècle. Il semble également que la classification des symétries du plan intéressait moins que celles des symétries de l'espace indispensable à la cristallographie pour les chimistes. En réalité, quand F. Graffet-Doroff décrit les 17 groupes de papier peint, c'est seulement en préambule de la description complète des 230 groupes d'espace, l'équivalent 3D, des groupes de papier peint. Mais quand les mathématiciens se décident à classer des choses, il ne s'arrête pas si simplement. On a classé les papier peint mais pas encore les motifs que l'on peut y trouver. On va alors arrêter de parler de papier peint mais plutôt parler de pavage. Un pavage, c'est donc un papier peint où l'on retrouve un ou plusieurs motifs, les tuiles, qui recouvrent la totalité du plan sans trop ni chevauchement. Il en existe de nombreux types et maître de l'ordre dans tout ça demande un peu de patience. Par exemple, on peut chercher les pavages périodiques où les tuiles sont des triangles écoulatéraux, des carrés, des pentagones réguliers ou n'importe quel autre polygone régulier. On parle de pavages uniformes et rien que cela peuvent très vite devenir pénibles à trier. Déjà, on peut chercher les pavages dont toutes les tuiles sont les mêmes polygones réguliers. On a ainsi le pavage triangulaire constitué de triangles écoulatéraux, le pavage carré constitué de carrés et le pavage hexagonal constitué des hexagones réguliers. Est-ce que c'est tout ? Et bien oui et non. Non parce que aucun autre polygone régulier ne peut pas ver le plan. Si on prend par exemple un pentagone régulier, on sait que ces angles mesurent tous 108°. Ainsi, 3 pentagones collés à un même sommet ne laissent disponible qu'un angle de 36° ce qui ne laisse pas la place à un autre pentagone. Bref, pas de pavage par des pentagones réguliers uniquement, non plus avec des heptagones réguliers ou des polygones à davantage de côté. Seulement, si on prend des tuiles carré, n'y a pas que le pavage encadrillage qui est possible de construire. En décalant les rangées, il est possible d'en fabriquer d'autres mais ceux-ci sont moins satisfaisants. Le pavage que l'on obtient n'est pas un pavage côté contre côté où chaque côté de chaque polygone n'est en contact qu'avec un seul autre polygone. Il existe une infinité de pavages réguliers différents par des carré qui ne soient pas côté contre côté. Il est donc raisonnable de les exclure de notre classification. Un autre point que l'on pourrait prendre en compte est celui de la coloration des polygones. En attribuant une couleur à chaque tuile, les pavages obtenus seront les mêmes, mais les papiers pas obtenus ne seront pas nécessairement les mêmes. Par exemple, en coloriant le cadriage carré comme un échequier, le papier peint possédera des symétries d'un quart de tour, ce qui n'est plus le cas si l'on colorie une bande sur deux. Les coloriages intéressants sont les coloriages uniformes, lorsque ce sont les mêmes couleurs dans le même ordre que l'on retrouve autour de chaque sommet du pavage. On peut alors les dénombrer. Il existe ainsi 9 coloriages uniformes différents du pavage carré. 9 pour le pavage triangulaire et 3 pour le pavage hexagonal. Lorsqu'un pavage côté contre côté présente un unique type de polygone régulier, on parle de pavage régulier ou de pavage platonicien. Il en existe donc que 3, le pavage carré, le pavage triangulaire et le pavage hexagonal. Et si, au lieu de n'utiliser qu'un seul type de polygone, on en utilise plusieurs. Là, ça peut donner des pavages périodiques qui peuvent être affreux comme par exemple celui-ci composé de bandes de carré et de bien trop de bandes de triangle. Pour ne pas avoir une infinité de cas possibles, on va se restreindre au pavage uniforme où, en chaque sommet du pavage, se réunissent les mêmes polygones dans le même ordre. C'est par exemple le cas de ce pavage, le pavage carré à doucis, où en chaque sommet se retrouve 2 carré et 3 triangles éculatéraux. Avec un peu de calcul, on peut retrouver la liste complète des pavages uniformes. En effet, on peut prouver que si des polygones réguliers forment un pavage uniforme, alors la somme de l'inverse de leur nombre de côtés vaut toujours un demi. Cette équation traduit le fait que tous les sommets du pavage sont équivalents et on peut calculer qu'elle possède 21 solutions, soit tout autant de pavages potentiels. En fait, toutes les solutions de l'équation ne donnent pas des pavages, c'est par exemple le cas de la solution 5, 5 et 10. Finalement, c'est seulement 11 pavages uniformes qui existent au total et ça me fait plaisir de voler listé. Il y a les 3 pavages réguliers, le carré à doucis, l'exagonal à doucis, le carré tronqué, l'exagonal tronqué, le tri hexagonal, le petit rhombitri hexagonal, le grand rhombitri hexagonal et enfin le triangulaire allongé. On peut remercier Joan Kepler d'avoir le premier exploré ce sujet. Ça, c'était pour les pavages où tous les sommets sont équivalents et lorsque ce n'est plus le cas, on peut quand même lister des choses. Par exemple, si il n'existe qu'un seul type de sommet mais plusieurs types différents, on parlera de pavages cas uniformes ou cas et le nombre de sommets différents. Prenons par exemple ce pavage, sobrement baptisé pavage 34612 qui possède deux types de sommets différents. Il y a ce réunissant de carré, un triangle et un hexagon et ce réunissant un carré, un hexagon et un dos des cagones. Puisque ce pavage possède deux types de sommets, on dit qu'il est de uniforme. On sait aujourd'hui qu'il existe précisément 20 pavages de uniforme, 61 pavages 3 uniformes et ainsi de suite. Je vous fais une fleur, je ne vais pas vous les lister. On ne connaît cependant pas aujourd'hui le nombre de pavages 7 uniformes ou 8 uniformes à vie aux amateurs. On a donc classé les symétries que l'on retrouve dans les papiers peints périodiques, on a classé les pavages périodiques que l'on peut fabriquer avec les polygones réguliers, mais il y a encore quelque chose que l'on n'a pas classé, ce sont les polygones qui peuvent pas ver le plan de façon périodique. On sait que seul 3 polygones réguliers peuvent pas ver le plan mais qu'en est-il des autres, ceux qui ne sont pas réguliers. Par exemple, peut-on toujours pas ver le plan avec des triangles quelconques ? Eh bien oui, il y a une recette qui marche à chaque fois. En accolant deux triangles identiques, on peut toujours former un parallélogramme qui peut pas ver le plan. Problème résolu, tout triangle, pas ver le plan. Et pour les quadrilles latères, là aussi, on peut résoudre facilement problème puisque n'importe lequel peut pas ver le plan. Il suffit qu'en chaque sommet du pavage se retrouve chacun des 4 sommets du quadrille latère. Pour les polygones ayant davantage de côté, c'est forcément plus compliqué. On a par exemple vu que les pentagones réguliers ne peuvent pas ver le plan. Il y a donc obligatoirement des critères respectés pour qu'un polygone à 5 côtés au plus puisse pas ver le plan. Pour ne pas nous compliquer trop la tâche pour le moment, on va se concentrer sur les polygones convex, ceux qui ne possèdent pas de creux. On connaît beaucoup de polygones non convex qui permettent de paver le plan et la classification est aujourd'hui en 2017 loin d'être achevée. En se limitant au polygone convex, on s'enlève une bonne épine du pied puisqu'on peut prouver qu'un polygone convex ne peut pas paver le plan s'il possède 7 côtés au plus. En effet, la somme des angles d'un heptagone vaut 900° soit une moyenne de 128° par angle. Si il existe un pavage d'heptagone convex que l'on peut supposer côté contre côté, le nombre moyen d'heptagone par sommet sera donné par 360° divisé par 128° soit 2,8. Puisqu'il faut au moins 3 heptagones par sommet, un tel pavage est impossible. Il ne reste donc que le cas des pentagones et des hexagones à traiter. Commençons par les hexagones, il y a un critère pas trop compliqué qui permet de savoir si un hexagone convex peut paver le plan. Un hexagone convex peut paver le plan de façon parodique, si et seulement si, il possède deux côtés opposés parallèles de même longueur ou il possède deux côtés opposés de même longueur dont l'un est entouré de côté de même longueur ou il possède trois pertes distinctes de sommet égaux, formant des angles de 120°. Autrement dit, un hexagone convex pave le plan, si et seulement si, il fait partie d'au moins l'une de ces trois classes. Rien n'empêche qu'un hexagone fasse partie de plusieurs classes différentes à la fois, comme c'est le cas de l'exagone régulier qui vérifie tous les critères. De plus, chaque classe d'exagone permet de construire un pavage qui lui est propre, mais un même pavé peut parfaitement donner des pavages radicalement différents. Ce que dit surtout ce théorème, c'est que si un hexagone ne vérifie aucun de ses critères, alors c'est sûr qu'il ne pavera pas le plan. Et pour les pentagones, à l'instar des hexagones, il y a différentes classes de pentagones qui pavent le plan, et il faut et suffit de rentrer dans l'une de ces classes pour générer un pavage régulier du plan. Il existe 15 classes de pentagones qui pavent le plan et l'histoire de leur découverte mérite d'être raconté. Tout commence en 1918, dans la thèse de Karl Reinhardt. Il écrit qu'un polygon peut pavé périodiquement le plan, si et seulement si, il fait partie de l'une des classes de pavés suivantes. Class 1, le pentagone possède deux côtés parallèles. Class 2, le pentagone possède deux côtés opposés égaux, ses côtés formant avec deux classes de côtés non adjacent des angles supplémentaires. Class 3, trois copies du pentagone peuvent former un hexagone. Class 4, le pentagone possède deux pertes distinctes de côté égaux formant des angles droits. Et enfin, Class 5, le pentagone possède deux pertes distinctes de côté égaux, l'une formant un angle de 120 degrés, l'autre de 60 degrés. Reinhardt conclut que ce sont les seuls classes de tuiles pentagonales qu'il existe, qu'il est inutile d'en chercher plus. L'histoire lui donnera tort puisqu'il est quand même passé à côté de dix autres. Ce qu'il s'est passé, c'est qu'il n'a en fait trouvé que les tuiles pouvant donner des pavages iso-hédriques. On dit qu'un pavager est iso-hédrique lorsque toutes les tuiles sont équivalentes. Plus précisément, pour deux tuiles quelconques du pavage, il faut qu'il existe toujours une symétrie du pavage qui transforme l'une des tuiles en l'autre. Prenons ce pavage par exemple. Les tuiles opposées par leur sommet droit se déduisent l'une de l'autre par une symétrie centrale, laquelle est bien une symétrie du pavage, pas de problème. Par contre, deux tuiles côte à côte se déduisent l'une de l'autre par une rotation d'un quart de tour, transformation qui n'est pas une symétrie du pavage. Regardons donc de ces symétries, toutes les tuiles ne sont pas équivalentes. Ce pavage n'est pas iso-hédrique. Ce que Renard t'a prouvé, c'est qu'il n'existe que cinq tuiles donnant des pavages iso-hédriques, mais n'a pas pensé qu'il pouvait en exister d'autres. La question des pavages pentagonaux restera mise de côté pendant 50 ans, jusqu'à ce que Richard Kirchner découvre trois nouvelles classes de pavés pentagonaux. Cette fois c'est sûr pour Kirchner, il n'y en a pas d'autre. Il n'a bien sûr pas la place dans les pages de l'Américaine Mathématique-Monsley de prouver ses dires. Quelques années plus tard, Martin Gardner écrit dans Le scientifique américain un article relatant les découvertes de Kirchner, et c'est à ce moment que le problème des pavages pentagonaux quitte le milieu des mathématiciens professionnels un peu trop sur deux pour celui des amateurs. D'abord avec Richard James, informaticien, qui découvre une nouvelle tuile et s'empresse de l'envoyer à Gardner. Après qu'il a écrit un nouvel article pour relater la découverte d'un nouveau pavage, ce ne sont pas moins de quatre pavages supplémentaires qui seront découverts par Marjorie Reiss, une femme au foyer sans haute formation mathématique, tombée par hasard sur magazine de son fils. Contrairement aux professionnels, ses amateurs ne cherchent pas à avancer que la liste est terminée. Ce sont donc à présent 13 pavages pentagonaux que l'on connaît. En 1985, une quatorzième classe est découverte par le mathématicien Rolf Stein. Bien sûr, il affirme que la liste est complète, et bien sûr, il se plante dans sa démonstration. La quinzième et dernière classe sera découverte en 2015 par les mathématiciens Kazemann, Jennifer McLeod et leur étudiant. En faisant preuve pour une fois d'un peu de sagesse, il n'affirme pas que la liste est exhaustive. Ils auraient pu, puisque, effectivement, la liste était bien complète, ce qui a été prouvé en mai 2017 par Michael Rao. Son objectif était de découvrir de nouveaux pavages en testant méthodiquement tous les pavés possibles. Il n'en a pas trouvé de nouveau, la conclusion est donc qu'il n'en existe pas d'autre. La démonstration utilise donc en grande partie l'informatique et on ne va pas rouvrir le débat sur la validité d'une telle preuve. La classification des tuiles convex est donc aujourd'hui achevée. Les polygones qui peuvent pavés le plan sont donc les triangles, les quadrilatères, trois classes d'hexagone, quinze classes de pentagone, et c'est tout. Je n'en ai pas parlé, mais on a aussi la liste des pavages isoédriques par des polygones convexes. Les pavages ou toutes les tuiles sont dans des positions équivalentes. Il en existe précisément 107. Peut-on alors considérer que la classification des pavages périodiques est bien terminée ? La question des tuiles pentagonales étant la véritable dernière question encore ouverte, donc sur ce point, c'est oui. Il faut dire que l'informatique a bien aidé les chercheurs et les amateurs à mettre de l'ordre dans tout ça. Mais il reste malgré tout bien d'autres questions. Il y a déjà la classification des pavages cas uniformes que l'on connaît en partie mais qui très vite ne présente aucun intérêt. Il y a aussi la classification des pavages périodiques convexes qui sont mes noms isoédriques en fonction de leur complexité, un chantier loin d'être évident à aborder. Du côté des tuiles non convexes, c'est surtout les polyominaux que l'on a étudiés, c'est-à-dire les tuiles composées de carré à coller. Là aussi, les classifications sont faites en fonction de la complexité des polyominaux ou des pavages, je ne vais pas m'étendre davantage sur le sujet. Un autre problème très actuel à proposer tuiles non convexes est de savoir s'il existe des critères permettant de dire si oui ou non, une tuile peut pas faire le plan. Il y a aussi la question des pavages qui ne sont pas périodiques. Ces structures sont très récentes et avant de chercher à mettre de l'ordre dans tout ça, il va falloir commencer par prendre la pleine mesure de ce que ce sujet recouvre et la tâche est loin d'être simple. À mon avis, cela ferait un très bon sujet pour une autre vidéo.