 Donc, aujourd'hui, j'aimerais parler de ce que l'on peut appeler l'approche multicarte au problème du mouvement en relativité générale. La dernière fois, il y a eu une question concernant de Pierre Vanhoef, concernant l'approche diagrammatique, ou quand dans l'approche diagrammatique, on traite le mouvement de plusieurs corps, ça va être pour le système solaire là-dedans, que je développe ça, et il y avait l'échange d'un champ gravitationnel linéarisé, c'est-à-dire d'un graviton au sens des diagrammes de Feynman, mais il y a aussi des diagrammes de ce type-là qui sont liés à l'action de la et d'autres, ou pour un seul corps comme ça, qui sont liés à l'action de la gravitation créée par un corps, qui agit sur le corps un lui-même, c'est-à-dire de l'auto-gravitation, ça fait des termes de boucle, et un diagramme de ce type-là en physique classique veut dire que vous avez calculé en fait l'énergie d'auto-interaction gravitationnelle d'un corps sur lui-même, et certains diagrammes de ce type-là veut dire, vous posez la question de savoir si l'énergie de liaison gravitationnelle gravite elle-même, et comment vous en tenez compte dans le formalisme, et j'avais dit que pour faire ça, il faut avoir une technique spéciale, et c'est celle que je vais expliquer à la fois dans le système solaire, et surtout pour traiter le mouvement de corps fortement autogravitant, comme les étoiles à la nettrône ou les trous noirs, où vous ne pouvez pas utiliser a priori les mêmes techniques de champs faibles que j'ai expliqué, parce que ça c'est une théorie de perturbation en champs faibles. Donc pour traiter les effets d'auto-gravitation, on revient conceptuellement à ce que la théorie mathématique des variétés différenciables nous dit, qui est que vous ne devriez pas utiliser toujours une seule carte, c'est que si vous voulez représenter une variété différenciable comme la surface de la Terre, on sait depuis bien avant la définition des variétés différenciables par les cartographes fistes, les cartographes de l'antiquité que vous avez intérêt en fait à utiliser plusieurs cartes. Si vous voulez représenter cette zone du globe, vous avez une copie locale de R2 et une application de R2 localement. Et puis si vous voulez représenter cette partie de la Terre, vous avez localement une carte, c'est-à-dire un R2 local, mais vous avez une application comme ça, etc. Et donc, on sait non seulement pour des raisons topologiques qu'il est impossible de couvrir de façon complète la sphère par une seule carte, mais pour des raisons pratiques, si vous voulez bien représenter sans trop déformation la géométrie, vous avez intérêt à utiliser plusieurs cartes. Et c'est, je demande ce qu'on appelle un atlas, c'est-à-dire un ensemble recouvrant de cartes. L'approche traditionnelle du problème du mouvement de Encore en relativité générale, en fait, consistait à utiliser une seule carte et donc à se dire, j'ai un certain espace-temps et comme qu'est le système solaire, donc avec le soleil plusieurs planètes et puis comme tout ça, c'est des champs gravitationnels faibles, on se dit bon, je vais pouvoir utiliser une seule carte et dans cette carte, écrire que la métrique, dans cette carte globale est une déviation faible de la métrique plate partout sur cette carte et donc essayer de résoudre les équations d'Einstein comme ça uniformément dans tout le système solaire pas un seul processus d'approximation linéaire et non linéaire en H mais en utilisant une seule carte. Vous pouvez le faire, il n'y a pas de problème technique mais en fait, il y a des problèmes pratiques surtout avec les techniques modernes de haute précision parce que quand vous faites ça, ça veut dire que la représentation des corps du système solaire, par exemple de la Terre, elle est déformée puisque la Terre, c'est un peu cette image-là, la Terre, elle crée des champs gravitationnels localement qui sont des bosses et en plus, elle est en mouvement et donc au minimum, quand vous représentez la Terre en mouvement dans cette carte-là, vous aurez des effets liés à la transformation de Lorraine c'est-à-dire que la Terre devra être écrasée dans la direction du mouvement puisque vous la représentez dans une carte où elle est en mouvement et puis vous avez d'autres effets qui vont au-delà des contractions de Lorraine c'est-à-dire la dilatation des temps qui sont purement gravitationnelles qui fait en plus un changement de la taille de la Terre si vous voulez la représenter là-dedans. Et en fait, dans les années 70, certains développeurs de logiciels qui représentaient la mécanique céleste relativiste avaient oublié certains de ces effets-là et ces effets-là, pour la Terre par exemple, c'est des effets de contraction de l'ordre de 1 cm. Mais aujourd'hui, les techniques de mesure de distance et d'échange de rayons lumineux descendent en-dessous du cm et donc il est important de tenir compte de ces effets-là sinon vous avez des résultats faux. Et donc il est utile, ça c'est l'approche traditionnelle de la théorie des perturbations, une carte, de passer à une approche multicarte, c'est-à-dire de se dire et bien on va faire comme ce que l'on fait depuis depuis toujours en physique newtonienne, quand vous voulez représenter l'ensemble du système solaire en fait vous utilisez un référentiel géocentrique pour représenter ce qui se passe au voisinage de la Terre en particulier les moments multipolaire de la Terre donc le moment quadrupolaire de la Terre ne sont pas définis dans un référentiel où la Terre bouge mais un référentiel lié à la Terre un référentiel géocentrique et vous utilisez un référentiel barricentrique c'est-à-dire lié au barricentre du système solaire pour représenter le mouvement des centres de masse de toutes les planètes du système solaire d'autant plus que dans cette approche-là si vous voulez discuter du problème du mouvement d'Encore étendu, vous avez le problème de définir mais qu'est-ce qu'on appelle centre de masse ? Ça va être quoi finalement ? Qu'est-ce que je vais appeler centre de masse et la Terre représenter là-dedans vu qu'on est en relativité générale qu'il n'y a pas de bonne définition du centre de masse alors qu'on va voir que si on définit donc l'idée c'est d'avoir une approche multicarte il va y avoir pour un problème à Encore il va y avoir En plus une carte une carte globale qui permet de représenter tout le monde ensemble donc du type barricentrique pour le système solaire et puis une carte locale attachée en un certain sens mais qui faudra définir à chaque corps par exemple si ça c'est la Terre donc c'est le corps 1 et là il va y avoir des coordonnées locales mais qui sont ici dénotées grand x1 et par opposition au coordonnées global petit x indice mu grand x1 indice alpha il est commode pour bien distinguer les choses d'utiliser des indices grecs de la fin de l'alphabet pour les cartes globales comme ça on sait qu'on parle, menu, lambda etc. et pour les cartes locales d'utiliser l'alphabet gamma et puis en plus un indice pour dire si c'est le corps 1 le corps 2 etc. donc et cette approche comme je l'ai dit dans le cas du système solaire elle est utile pour pouvoir expliquer les mesures de haute précision mais dans le cas d'un système de 2 trous noirs ou 2 étoiles à neutrons en fait elle est indispensable pour savoir de quoi on parle donc maintenant je vais montrer comment on applique pratiquement cette méthode et pour ça je vais et comme je le disais la dernière fois pour traiter le mouvement de 2 corps dans le système solaire il faut aller au delà de l'approximation linéarisée qui correspond à un échange comme ça d'une action entre 2 corps décrite seulement par l'échange d'un graviton avec des termes non linéaires de ce type là et de ce type là et donc ça veut dire qu'on doit traiter les équations d'Einstein non plus au niveau de l'approximation linéarisée mais en prenant compte des termes du premier ordre au delà de ça alors d'abord je vous rappelle ce que vous voulez dire l'approximation la plus basse l'approximation newtonienne l'approximation newtonienne consiste suffit à dire que j'ai 00-1 plus un premier terme qui introduit un potentiel U et ce potentiel là satisfait à l'ordre le plus bas une équation du type la place de U égale moins 4p j'ai avec quelque chose d'un membre de droite qui est une approximation de la densité de masse j'ai fait ça dans les cours précédents mais à chaque étape où je faisais ça je négligeais des sources par exemple ici c'était pas toujours il y avait d'autres composantes de T mais en un moment on disait oui mais c'est ça qui est dominant et puis là il y avait d'autres termes qui étaient là à la fois des termes en dérivé par rapport au temps et puis des termes non linéaires tout ça va entrer dans ces termes là les autres composants de la métrique à la même approximation il y avait une déviation de la métrique d'espace plus des termes derrière et puis on avait pas besoin pour déduire de l'action géodésique d'une particule test dans la métrique gémunue pour déduire les équations de Newton à l'ordre le plus bas c'est-à-dire des 2 sur dT2 égal gradient du potentiel U il suffisait de résoudre les équations d'Einstein à l'ordre le plus bas c'est-à-dire en négligeant ces termes là dans les équations d'Einstein et les termes linéaires et en négligeant ces termes là autrement dit, ça correspondait mais, oui, maintenant on va aller au-delà et comme je le disais la dernière fois aller au-delà, ça veut dire tenir compte de termes qui diagrammatiquement sont comme ça mais qui veulent dire des termes cubiques dans l'action un terme comme ça veut dire qu'il y a 300 H qui interagissent dans l'action avec 2 dérivés et quand vous dérivez l'action pour avoir les équations du mouvement c'est-à-dire vous résolvez les équations d'Einstein par perturbation un terme cubique dans l'action ça veut dire un terme qui a toujours 2 dérivés mais qui est quadratique dans H dans le membre de droite et donc, a priori on se dit il va falloir résoudre les équations d'Einstein en tenant compte de ces termes non linéaires en fait, il y a une simplification remarquable des équations d'Einstein qui qui pendant longtemps n'a pas été utilisée dans la littérature mais avec Luc Blanchet on a introduit explicitement et qui est très utile pour résoudre les choses et qui va consister à résoudre les équations d'Einstein sous cette forme-là parce que c'est important pour la composante 00 parce qu'on avait vu la dernière fois que la composante 00 à l'ordre linéarisé elle donnait la place de G00 essentiellement donc la question est à l'ordre au-delà qu'est-ce que cette équation donne elle va donner des termes non linéaires mais en fait si vous paramétrisiez la métrique sous forme exponentielle c'est-à-dire au lieu d'écrire que la métrique G00 ou moins un plus terme du premier ordre H00 vous allez l'écrire sous la forme exponentielle d'un potentiel W bon en fait ce qu'on appelle l'approximation ça c'est l'approximation Newtonienne la première approximation au-delà de l'approximation Newtonienne ça s'appelle l'approximation 1PN c'est-à-dire post-Newtonienne d'ordre 1 et ça consiste justement à on va calculer ces termes-là c'est-à-dire les termes qu'on a négligés ici et ces termes-là et on va réobtenir celui-là et puis on va aussi corriger ça cette équation-là va être corriger et cette équation-là va être corriger tout ce qu'on a obtenu à l'ordre le plus bas maintenant on va l'obtenir au degré d'approximation suivant c'est-à-dire en gardant des corrections d'ordre V2 sur ces deux 1PN ça veut dire garder tous les termes qui contiennent soit V2 sur ces deux soit une dérivée seconde par rapport au temps sur ces deux au-delà de l'approximation Newtonienne la plus basse pour faire ça donc comme je viens de le dire il est très avantageux d'écrire la métrique sous forme exponentielle en fait, cet exponentiel on va l'utiliser seulement jusqu'à son deuxième ordre de développement donc exponentiel de moins 2W si vous faites le calcul très facile dans votre tête 1-2W sur ces deux plus 2 2 parce que vous avez le 4 et 2 qui donnent 4 mais il faut diviser par factorial 2 donc ça redonne 2 sur ces 4 W2 plus un terme d'ordre 1 sur ces 6 pour simplifier la notation les termes d'ordre O2 1 sur CN donc O2 1 sur C2 on peut les noter simplement O2 parce que normalement c'est pas la peine d'écrire toujours 1 sur C à plus en CN et O2 1 sur CN vous l'écrivez simplement ON c'est une notation simplifiée pour la composante mixte tant espace vous vous introduisez juste le potentiel qui apparaît il est commode pour certains questions de mettre un facteur moins 4 là parce que comme ça il aura une équation plus simple et puis pour la partie GIG en fait vous allez l'utiliser vous allez introduire vous trouvez que c'est le même potentiel qui intervient mais il intervient avec l'exponentiel plus mais il a besoin d'être précis qu'à l'ordre O4 donc ça ne serait pas très important d'avoir un autre potentiel vous faites ça vous remplissez ça dans les équations d'Einstein et vous regardez ce qui sort et vous trouvez que dans le membre de droite ce qui apparaît ça n'est plus T00 sur C2 mais à cause de ça en fait on le voit directement à cause de T00 moins un demi de T et G00 vous trouvez que ce qui apparaît c'est un terme qui est T00 en haut plus TSS en haut c'est à dire la trace sur les indices spatiaux divisé par C4 et quand vous utilisez la paramétrisation exponentielle il n'y a pas de termes non linéaires a priori ici il y a des termes non linéaires parce que vous avez la métrique puissance W et choses comme ça mais à l'ordre où on travaille il n'y a pas de termes non linéaires c'est à dire c'est simplement cette combinaison linéaire des composantes qu'on travaille en tension d'énergie impulsion vous définissez aussi un terme source pour la partie magnétique 0i simplement en divisant par C et quand vous remplacez ça dans les équations d'Einstein vous trouvez des équations linéaires maintenant même si vous êtes en train de résoudre des équations d'Einstein au niveau non linéaires vous avez simplement utilisé des paramétrisations qui absorbent la non linéarité et maintenant le reste des équations devient linéaire et ces équations ce sont je les ai écrits ici elles sont assez simples elles sont une sorte de généralisation des équations de Maxwell mais c'est une conséquence complète des équations d'Einstein pourquoi généralisation des équations de Maxwell parce que vous avez un potentiel scalaire et un potentiel vecteur et que c'est des équations qui contiennent des dérivés partiels du deuxième ordre et puis vous avez aussi une invariance de Gauche en fait vous trouvez facilement que ces équations-là sont invariantes si vous changez le potentiel scalaire par la dérivée temporelle d'une fonction arbitraire avec un signe moins et un sur-C2 et si vous changez la dérivée spatiale WI le potentiel magnétique disons gravito-magnétique par le quart du gradient d'une fonction scalaire vous vérifiez que ces équations sont invariantes donc voyez ici ça diffère des équations de Maxwell parce qu'il y a un coefficient 4 mais ce coefficient 4 c'est aussi en partie parce que je l'ai mis là si je travaille avec 4 WI j'aurai vraiment la invariance de Gauche habituelle de Maxwell cette invariance de Gauche ici elle vient simplement de l'invariance de l'hypothéomorphisme de départ et que j'ai réécrit une certaine façon et elle est liée à la invariance sous le changement de la variable temporelle en fait la variable spatiale étant ici fixée avec un degré de précision par cette condition-là suffisant pour ne pas apparaître ici alors ces équations elles ont l'air légèrement compliquées mais elles sont linéaires donc ça va être très facile de les résoudre et en particulier elle se simplifie beaucoup si vous utilisez une Gauche de type Lorentz c'est-à-dire si vous avez le droit à cause de cette invariance de Gauche vous pouvez d'abord garder cette invariance de Gauche comme ça vous êtes sûr d'avoir des objets un variant de Gauche à tout moment ou vous pouvez la fixer en disant la fixer au moins partiellement en disant je vais imposer une condition du type de Lorentz c'est-à-dire que la dérivé temporelle de mon potentiel scalaire plus la divergence du potentiel vecteur est égal à 0 vous avez le droit de faire ça et là ici vous voyez que ça parle à la même chose que les équations de Maxwell et quand vous faites ça alors là ces équations vraiment deviennent triviales parce qu'elles deviennent d'Alembert de W c'est-à-dire la place de W moins 1 sur C carré la dérivé seconde au carré donc vous voyez ici il n'y avait pas moins 1 sur C carré mais si vous l'introduisez ça fera un 4 ici et vous voyez que cette condition-là remplace ces deux termes-là par moins 1 sur C2 D2 sur DT2 W opérateur de D'Alembert agissant sur W également moins 4PG la source alors là c'est vraiment comme les équations de Maxwell et l'autre équation c'est la place de W pour y aussi mettre D'Alembert mais c'est négligeable en fait le terme on a sur C2 donc dans cette jauge-là les équations d'Einstein deviennent linéaires et se ramènent vraiment à quelque chose de Maxwell like comme on dit en franquet et donc on peut les résoudre immédiatement aussi alors on peut faire aussi d'autres choses c'est-à-dire cette formulation suggère qu'on peut introduire des champs gravito-électriques et gravito-magnétiques ce que l'on peut faire c'est-à-dire en fonction des quatre potentiels W et WI si vous introduisez ça qui est comme chez Maxwell le gradient du potentiel scalaire plus pardon, oui le gradient plus la dérivé temporelle du potentiel vecteur qui est bien et si vous introduisez un champ magnétique c'est-à-dire quelque chose d'anticimétrique dans les deux indices vous pouvez aussi introduire son dual ici les indices sont spatiaux donc ça ça veut dire la composante 1, 2 ou la composante 3 de ça sous la forme moins 4 fois du rotationnel de W donc ces deux quantités-là sont un variant de George et en fait les équations d'Einstein vous donnent des équations linéaires qui sont vraiment du type Maxwell c'est-à-dire des opérateurs du premier ordre d'agissant du type vraiment habituel comme le rotationnel du champ magnétique dérivé temporelle du champ électrique sauf que certains coefficients sont un peu changées ce n'est pas les équations de Maxwell parce qu'il y a le facteur 4 qui intervient de temps en temps mais comme ici on a pu ramener les équations d'Einstein à quelque chose de très simple vous voyez que maintenant à l'approximation non linéaire la non linéarité évidemment elle a été tenue compte une fois pour toute par ce W2 ici ou par cette exponentielle j'ai mis de la non linéarité dans la paramétrisation et maintenant mes équations sont linéaires et puis comme les équations sont comme ça je peux les résoudre directement alors quelles sont les solutions eh bien comme j'ai des potentiels retardés mais en fait je suis ici dans une situation à la fois de champ faible et quasi stationnaire et je n'ai pas besoin je peux résoudre W à priori par un potentiel retardé potentiel retardé ça veut dire j'ai d'avant et puis j'ai l'intégral sur l'espace de x moins x prime et je mets simplement la source calculée au temps t moins x moins x prime avec un retard x moins x prime sur c c'est au point spatial x prime voilà ça serait ça le potentiel retardé mais en fait il est facile de voir que la propagation ici à la vitesse de la lumière de ça parce que potentiel retardé ça veut dire qu'il y a des choses qui se protagent à la vitesse de lumière mais si vous développez ça le terme en première ordre ici il fait apparaître x moins x prime vous voyez en haut mais ici il y a x plus x prime moins en bas en bas et donc les deux se simplifient et ça veut dire que j'ai ici une contribution à W qui est une intégrale sur l'espace de sigma et qui est donc une fonction du temps x prime et cette fonction du temps je peux en fait la supprimer par une transformation de jauge qui permise donc en fait ça n'a pas de sens physique à cette approximation là et donc je vais introduire une notation qui est moins ou plus qui veut dire que vous faites la demi-somme sur le signe moins et le signe plus et vous développez en puissance de 1 sur c c'est ce qu'on avait utilisé la dernière fois la fonction de green symétrique c'est toujours une solution de ces équations là et à l'approximation à laquelle j'ai le droit de travailler des termes en 1 sur c2 au-delà de l'approximation la plus basse donc je dois développer au deuxième ordre et après ça c'est négligeable ou ce sont des termes qu'on regardera après donc vous trouvez que cette formule elle est équivalente à dire que vous avez des 3 x prime donc ça donne cette fois une formule explicite qui est le potentiel Newtonian si vous voulez la formule de poisson qui dit ce premier terme ici c'est la valeur de la source sigma qui contient ça au point x prime divisé par x moins x prime et puis le terme du deuxième ordre alors le terme du deuxième ordre par le développement de Taylor il va y avoir un condition un demi puisque c'est une dérivée du deuxième ordre il va y avoir la dérivée seconde de la source sigma au point t et au point x prime et comme maintenant je vais avoir le carré de ça pendant le développement divisé par ça vous voyez qu'il reste x moins x prime à la puissance 1 au-dessus voilà en tout cas ça c'est une solution tout à fait explicite étant donné la source je peux résoudre w à l'approximation que je veux et ça c'est une solution de ces équations-là pour wi alors j'ai dit que si plus ou moins vous voulez dire une moyenne c'est-à-dire c'est une notation condensée pour dire la demi-somme et du coup tous les termes se suppriment parce que c'est les termes paires comme tu le sais très bien et pour x pour le potentiel vecteur en fait les choses sont encore plus simples parce qu'à l'approximation où je travaille il suffit de garder le premier terme c'est-à-dire le potentiel de poissons de la source sigma i voilà donc ça y est j'ai résolu les équations d'Einstein au premier ordre non linéaire alors on peut vérifier facilement d'abord je vous engage pour vraiment voir parce que là au lieu d'écrire toutes les équations d'Einstein en regardant les termes noinaires je vous dis si vous faites ça je vais faire le calcul explicitement pour le voir on peut vérifier ce que ça donne et c'est pour encore ici ici c'est pour une source quelconque c'est-à-dire je suis en train de résoudre les équations d'Einstein ici pour le moment dans une seule carte et avec une distribution de matière terminue qui n'importe quoi mais qui par exemple contenue dans plusieurs corps séparés ou pas donc je peux aussi faire le calcul particulier si j'ai un seul corps c'est-à-dire ma distribution dans l'espace c'est un certain corps isolé au repos comme le soleil donc ça veut dire que dans ma source comme il ne bouge pas ce corps-là il va pas y avoir de composantes T0I parce que on voit que les T0I c'est lié à des choses magnétiques des vitesses à l'intérieur du corps et puis en vanche il va y avoir une source du type scalaire sigma et donc finalement les équations que j'ai à résoudre c'est celle-là mais la deuxième je n'en ai pas besoin et donc je n'ai que la première et comme j'ai un seul corps rien ne dépend du temps et donc il suit que je résolve l'équation pour encore la place de W égale moins 4p j'ai sigma bien et si ce corps est à symétrie isphérique je peux appliquer cette formule mais le deuxième terme est nul c'est le potentiel de poisson newtonien si le corps est à symétrie isphérique je sais comment résoudre ça explicitement en fonction de sigma et je sais qu'en dehors de ce corps-là ce W sera donc égale à GM sur la distance X entre le point où je suis dans le champ ici et le centre du corps à symétrie isphérique ou la masse M ici serait l'intégrale des trois X prime de sigma donc voyez déjà je trouve que la masse extérieure au corps enfin on va voir que c'est la masse elle contient des corrections qui pas seulement que je dois intégrer sur la densité d'énergie T00 mais que les pressions qui sont là à l'intérieur du soleil contribuent à sa masse et le fait qu'il est fallu écrire les indices 00 en haut veut dire que j'ai tenu compte en fait des effets d'autogravitation du soleil parce que si j'avais écrit les choses avec les indices sous une autre forme la métrique elle-même j'aurais tenu compte des effets d'autogravitation mais alors comment se fait-il à cette approximation-là la métrique ne contient que e-2W sur C2 C2 dT2 et e-2W sur C2 dX2 puisque j'ai delta ij c'est-à-dire quel est le lien entre ça et la solution de Schwarzschild et si je développe c'est moins un moins deux sur C2 donc avec CW là c'est-à-dire j'ai M sur R plus 2 sur C4 W carré donc ici j'ai 2M sur R ici j'ai 2M sur R au carré ok C2 dT2 plus 1 plus 2 W sur C2 dX2 bien parce que je vous avais donné la métrique de Schwarzschild dans les coordonnées de Schwarzschild de Drost je vous rappelle métrique de Schwarzschild exact c'était 1 moins je vais introduire la notation petit m était le paramètre qui apparaissait dans la métrique de Schwarzschild C2 dT2 plus dr2 sur 1 moins 2M sur R plus R2 les angles dOmega2 dTeta2 plus sinus carré Teta défi2 si vous changez le paramètre radial R qui apparaît dans le système de coordonnées par un autre paramètre radial Airbar c'est fini de la façon suivante bien vous trouvez que la solution de Schwarzschild s'écrit moins 1 moins M sur 2 Airbar sur 1 plus M sur 2 Airbar à la puissance 4 non c'est 2 toujours dT2 plus 1 plus M sur 2 Airbar à la puissance 4 fois dRbar carré plus Airbar je vais l'écrire dRbar carré plus Airbar carré dTeta2 plus Airbar carré sinus carré Teta défi2 et si vous passez à des coordonnées cartesiennes ça veut dire que associé ça veut dire que c'est dX bar plus dY bar carré plus dZ bar carré autrement dit c'est bien le dXe et si vous développez ces formule-là en puissance de M vous trouvez quels sont bien identiques à celle-là au deuxième ordre avec simplement que M ici est égal à GM sur C2 ou le M et celui-là donc tout ça pour dire que tout marche bon c'est-à-dire on peut trouver au deuxième ordre la solution de Schwarzschild juste en réservoir un problème linéaire c'est-à-dire finalement l'équation de poisson avec cette transformation non linéaire aussi donne la solution de Schwarzschild au deuxième ordre mais le point important que je veux développer maintenant c'est c'est de passer c'est d'utiliser cette représentation linéaire de la solution des équations d'Einstein à l'ordre suivant pour attaquer le problème de la mécanique céleste relativiste ou plus généralement du problème du mouvement et de la description de Encore et pour faire ça on va utiliser l'approche multicarte pour les raisons que j'ai indiquées alors quand vous faites ça en fait c'est très simple puisque je viens de démontrer que les équations d'Einstein se ramènent à un problème linéaire mais tout le raisonnement que j'ai fait ici n'a jamais présupposé que j'étais dans la carte x mu globale j'étais dans n'importe quelle carte j'étais en fait dans n'importe quelle carte ou j'ai higis écrit approximativement comme ça ce qui est un certain choix mais assez mou des coordonnées spatiales et où je suis voisin du poste newtonien c'est à dire je peux développer quelque chose qui est petit donc tout ça est vrai dans chaque carte locale donc je vais pouvoir appliquer cette formulation linéaire de la solution des équations d'Einstein dans chaque carte et puis aussi dans la carte globale et donc déjà j'ai pu donc je peux écrire mes équations là mes solutions dans chaque carte et donc maintenant je vais faire un petit dessin donc ça vous vous en souvenez vous l'avez noté en tout cas le point important c'est que je peux on va pas l'utiliser explicitement c'est que j'ai une formule explicit pour écrire la solution dans chaque carte en fonction de la source donc maintenant je vais considérer que j'ai un corps ici qui est représenté dans sa carte locale dans l'espace-temps donc j'ai une carte grandix le corps numéro A à une carte grandix alpha granda et dans cette carte là la métrique alors il est commode pour pas se perdre et pas avoir des indices absolument partout pour les cartes locales de l'utiliser des grandes lettres j'ai utilisé déjà un grand x plutôt qu'un petit x et pour la métrique vous écrivez aussi g alpha beta avec des indices du début de l'alphabet comme fonction de grand x donc ça veut dire par exemple vous avez g 00 dans la carte associée au corps granda alors ici aussi je vais étiqueter les corps par le granda allant de 1 à n et non pas la dernière fois j'avais utilisé petit a ou petit b il est commode ici de reprendre la notation pour peu importe granda au lieu de petit a c'est juste une étiquette donc g 00 par exemple vaut moins e puissance moins de w granda des coordonnées grand x coordonnées grand x c'est à dire qu'il y a le temps local et puis l'espace c'est à cause de ça pour les coordonnées spatiales je ne veux pas utiliser i j parce que je veux garder la deuxième partie de l'alphabet latin aussi pour les coordonnées globales et donc j'utilise la première partie de l'alphabet latin pour les coordonnées spatiales locales dans ma carte ou le grand w satisfait ces équations là exactement les mêmes il y a le w scalaire et le w donc dans le cas là je vais avoir un w scalaire et un w du type vectoriel avec un indice spatial dans mes coordonnées grand x et j'ai les mêmes équations bien et donc et puis en dehors de ça je vais aussi dans ma carte globale petit x mu j'ai les formules mais cette fois si j'ai 00 par exemple c'est écrit moins e puissance moins de petit w pardon il faut que je mette 1 sur c2 qui est fonction des petits x ou le petit w satisfait les mêmes équations que là d'accord et puis il faut que je relis mes 2 cartes donc à un certain moment il faut que je dise comment ma carte locale c'est la transformation entre cartes comment elle est plongée dans l'autre carte et c'est là où les choses sont faites très simples si vous écrivez petit x mu en fonction des grands x et non pas l'inverse que ça fait une différence technique et vous pouvez écrire en fait une forme générale qui est du type suivant vous trouvez vous trouvez d'abord qu'il n'y a pas besoin d'inclure des termes non linéaires au-delà du quadratique et en plus quand vous faites alors ce que je suis en train de dire c'est des développements c'est une approche multi-cartes au problème à Encore qui a été développé par Sofelle Xou et moi-même il y a les références dans les notes dans les années 90 cette expression-là si les termes quadratiques sont faits importants je ne veux pas les équerrer ici pour simplifier mais ça c'est une transformation simplement affine et si vous l'interprétiez de façon habituelle ça consisterait à dire que ça c'est les x spatiaux quand les x a sont égales à zéro l'image de ce point qui est x a égale à zéro devient x mu égale z mu de x zéro c'est-à-dire dans ma carte globale ça consiste à me donner une certaine ligne d'univers qui est la ligne où x mu est égal à z mu dans certains paramètres du genre temps ok x zéro et ça ça veut dire que autrement dit cette ligne d'univers est l'image du point dans ma carte locale qui correspond au x a égale à zéro c'est-à-dire dans mon repère géocentrique j'utilise un certain système de coordonnées grand x et puis les coordonnées spatiales x égale à zéro ça dessignent un point au centre de la Terre ce point-là a eu une image dans la carte globale qui est cette ligne qui est courbe cette fois alors que dans l'autre cas c'est une ligne droite donc dans ma carte locale grand x j'ai la ligne droite qui est mon centre x a égale à zéro et puis ça ça s'envoie sur cette ligne d'univers ça c'est comme si on avait un changement aussi de repères c'est-à-dire c'est dans la carte ici c'est comme si j'avais introduit un repère spatial c'est-à-dire mais plus importe j'ai pas besoin d'utiliser le mot ici changement de repères c'est un changement de carte bien donc comment maintenant j'avance parce que tout est linéaire mais en même temps je ne veux pas résoudre deux fois les équations d'Einstein puisque les équations d'Einstein ici je les ai déjà résolues en fonction de la source mais comme j'ai dit le problème c'est que la source quand je suis dans la carte globale elle est mal représentée parce que c'est la source par exemple de la Terre qui est en mouvement alors que je veux résoudre les équations d'Einstein en tenant compte de comment la distribution de matière dans la Terre a l'air dans la Terre dans un repère géocentrique et donc je veux résoudre en fait paramétriser le changement gravitationnel de la Terre tel qu'on le paramétrise dans la vraie physique et utiliser ça le mapper pardon dans la carte globale alors comment vous faites ça d'abord comment ce qu'on décrit le changement gravitationnel de la Terre vraiment dans le système géocentrique et bien on le décrit par le développement multipolaire de la Terre du changement gravitationnel de la Terre vous savez que dans la physique Newtonienne vous avez la Terre qui n'est pas et puis vous avez son changement gravitationnel autour d'elle qui en général est Newtonien et qui s'écrit comme un terme en GM sur R et puis une série infinie de termes qui représentent le poids de la Terre l'octupole etc que l'on va et le but est d'utiliser ça mais dans un contexte relativiste comment ce qu'on fait ça dans un contexte relativiste et bien c'est très simple on regarde les équations que satis font l'analogue du potentiel gravitationnel Newtonien qui est ce W qui est le potentiel relativiste de la Terre et puis je dois tenir compte aussi de sa partie magnétique si j'en regarde le potentiel W je peux alors il satisfait ce potentiel par exemple il satisfait des équations linéaires et donc je vais pouvoir écrire ce potentiel W qui a à la fois une composante temporelle la composante 0 veut dire juste la composante W et une composante spatiale ça satisfait des équations linéaires et donc sa solution est la somme de 2 solutions une solution inhomogène particulière comme c'est un problème inhomogène j'ai des sources à droite donc si je trouve une solution inhomogène dans la carte où je suis que je vais appeler W alpha plus la solution générale sera la somme d'une solution inhomogène particulière plus une solution homogène particulière j'appelle la solution homogène W moins W bar pour simplifier donc ça c'est la solution homogène générale et ça c'est la solution inhomogène c'est à dire engendrée mais engendrée par le sigma que je vois dans ma carte parce que c'est une carte locale donc la seule source que je vois dans un système géocentrique c'est la densité de la Terre je ne vois pas la densité du Soleil et les autres donc je résous avec ce que je vois et en fait je vais remplacer ça par un développement multipolaire et j'ajoute la solution qui vient de quoi ? qui vient en fait des autres corps dans le système solaire mais à ce stade là je ne les ai pas encore vus les autres corps il faut que je raccorde que je raccorde tous mes systèmes de coordonnée les uns aux autres pour avoir la solution globale mais chaque fois j'aurai une information sur un système géocentrique pour la Terre un système vénérocentrique pour Vénus votre est joli etc pour chaque planète du système solaire et héliocentrique pour le Soleil donc pratiquement parlant comment ce qu'on fait donc pour ça et aussi en fait quand vous résolvez ça vous ne voulez pas résoudre les équations de poissons parce que finalement vous en foutez pardon la formule ici qui vous dit que W est une intégrale de sigma vous ne savez même pas la densité qu'il y a au centre de la Terre au centre de la Terre il semble qu'il y a une graine de fer très dense mais vous ne le savez même pas c'est pas comme ça que vous représentez le chancaritationnel de la Terre chancaritationnel de la Terre est représenté de l'extérieur par ses moments multipolaire parce que vous avez des satellites qui sont autour et vous mesurez les moments multipolaire vous ne mesurez pas donc en fait vous ne voulez même pas utiliser vous utilisez que le fait qu'il y a des équations linéaires et vous ne résolvez enfin il est aussi utile d'avoir l'expression fonction de la source donc quelle est la solution générale de quelque chose d'engendré par le corps dans le système donc grandix lié à ce corps-là mais en dehors du corps et bien ça va être une solution homogène de ces équations-là puisque je suis en dehors du corps mais qui tend vers 0 à l'infini parce que dire que vous résolvez une autre façon de dire que c'est engendré par ça ça veut dire que vous avez mis des conditions au limite et que ça tend en un certain sens vers 0 à l'infini je résoudre de façon facile en fait vous trouvez que cette partie-là peut s'écrire en patuée ça peut se faire si si vous vous mettez dans cette jaune en fait tout le formalisme peut se faire en ne fixant pas la jaune et parfois c'est plus correct si je fixe la jaune comme ça je dois trouver la solution homogène de cette équation-là de D'Alembert W égale à 0 mais quelque chose qui est engendré par un corps au centre et bien cette solution-là vous pouvez l'écrire immédiatement c'est écrit comme ça c'est une somme sur un degré multipolaire L de quelque chose que je vais écrire sous forme condensée comme ça et je vais expliquer la notation et c'est tout alors grand L est une notation condensée pour un multi-indice ça veut dire L-indice mis ensemble ok mais au lieu de dire chaque fois L-indice quand il y en a L vous le dites c'est grand L si vous aviez N-indice A1, A2, AN vous diriez c'est grand L DL veut dire aussi une dérivée répétée ça veut dire DA1, DA2 DAL puisque j'en ai L donc vous voyez qu'ici j'ai une somme donc cette somme si je l'écris explicitement le premier terme veut dire un objet qui n'a pas d'indice sauf le fait qu'il est associé au corps A enfin vous pouvez l'oublier ça c'est l'indice du corps que je regarde ok et divisé par R puis le premier terme il y a un signe moins et puis j'ai une seule dérivée de MA sur R etc donc ça c'est ce qu'on appelle un monopole c'est un terme en M sur R dans un truc Newtonian c'est le monopole ça c'est un terme en gradiant d'un vecteur divisé par R c'est un dipole et puis après vous avez un quadrupole octupole etc donc ça c'est un développement multipolaire mais de multipoles qui sont centrés dans la terre c'est exactement ce qu'on appelle les multipoles de la terre mais ici j'ai mis de nouveau T plus ou moins R sur C parce qu'effectivement je dois résoudre l'équation D'Alembert à égal à 0 pas l'équation Laplace à égal à 0 donc la solution générale engendrée par un objet c'est une fonction de T moins R sur R c'est une fonction de Green élémentaire et puis ici comme ça c'est une fonction de D'Alembert à égal à 0 si je prends des dérivés spatiales ça sera toujours une solution d'Alembert à égal à 0 donc en fait c'est facile de voir que ça c'est la solution générale et puis plus ou moins veut dire comme tout à l'heure que je prends la moyenne entre le plus et le moins mais c'est juste une façon rapide d'écrire la solution et donc ça c'est une solution qui contient effectivement la description de la terre donc ici j'ai représenté donc j'ai remplacé le potentiel Newtonien U par le potentiel scalaire W mais j'ai aussi le potentiel vecteur WA et lui aussi il y a un développement multipolaire que je ne vais pas écrire et ce développement multipolaire il contient des multipoles à lui qui sont différents de ces multipoles là il contient des nouveaux multipoles il contient aussi les dérivés temporels d'ailleurs de celui là en général enfin ça dépend de la jauge et ces multipoles je vais les appeler S grandel S grandel où elle est plus grande ou égal à 1 ça veut dire une suite infinie de multipole dont le premier est S avec un seul indice puis après S avec deux indices etc le premier multipole c'est le spin total de la terre c'est à dire le moment cinétique de la terre dans le référentiel où je suis et ça c'est l'analogue du quadrupole mais c'est le quadrupole lié au fait que la terre bouge ok et puis ça c'est l'analogue de l'octupole mais lié au fait que vous avez des courants de matière dans la terre donc les multipoles comme ça s'appellent les multipoles du type mass ok et là vous avez des multipoles du type courant ou du type spin donc vous avez pu écrire comme ça la moitié de la solution donc ça autrement dit j'ai paramétrisé cette partie de la solution en termes de multipole qui est des choses qu'on observe par exemple le g2 de la terre g2 de la terre c'est à dire le moment quadrupolaire est très bien mesuré et on l'observe avec haute précision grâce aux satellites autour de la terre mais maintenant j'ai ce terme-là homogène comment ce que je vais le représenter eh bien vous pouvez aussi le représenter sous forme de développement multipolaire mais c'est des développements multipolaire différents je vais expliquer ça sur un exemple simple si vous voulez je vais le faire dans le cas Newtonien pour que vous compreniez et puis la même comme tout est linéaire et il n'y a pratiquement pas de complication après ça se fait dans le cas angestanien sans problème si j'ai si j'ai un corps si je veux résoudre l'équation de la place pour le potentiel gravitationnel d'un corps qui est là dans une carte locale mais sachant que j'ai des corps autour donc la solution générale Newtonienne sera dans ce cas-là la somme d'une solution qui est engendrée par ce corps-là plus une solution qui vient de l'extérieur mais si j'essaye de le résoudre pour le développement multipolaire c'est-à-dire je représente ça par des représentations éducatives du groupe des rotations pour mon scalaire donc des choses qui quand je fais une rotation tournent d'une certaine façon comme les YLM disons c'est-à-dire je vais pas rentrer dans le détail de la technologie je vais juste écrire la solution je sais que la solution engendrée par le terme au centre je vais pouvoir l'écrire sous une masse divisée par air moins le gradient de quelque chose qui est un vecteur air plus le double gradient de Mij sur air etc. ça c'est le développement multipolaire des multiples là maintenant qu'est-ce que c'est comment je vais écrire une solution des équations de la place égal à zéro qui vient de choses lointaines bah c'est ce qu'on appelle le développement en multipole de marée parce que tous les termes des champs gravitationnels qui viennent de loin qui sont réguliers à l'origine mais qui sont engendrés mais qui localement sont là sont des termes d'un autre type et cet autre type c'est par exemple une constante et toujours possible plus quelque chose qui a un seul indice mais qui est linéaire dans XI ça c'est une solution de la place égal à zéro et puis après je peux mettre un demi de GIG XI XJ etc. tout ça ça va être solution des équations de la place égal à zéro et quand vous résolvez les équations si vous développez parce que ça vous devez tous le faire dans les cours d'électromagnetisme si vous résolvez la place égal à zéro en développement en harmonique sphérique vous avez une certaine équation et vous trouvez qu'il y a deux types de solutions celles en R plus en celles et puis celles en 1 sur R L plus 1 celles en 1 sur R L plus 1 elles correspondent à ça au degré L et celles en R plus en celles correspondent à ça pour que ça ça soit des solutions il faut que tous ces objets-là soient des représentations irréductives du groupe des rotations c'est-à-dire des tasseurs symétriques et sans trace autrement dit chacun des des tasseurs qui apparaissent à la fois les ML et les GL c'est-à-dire M avec L-indice ou G avec L-indice c'est des tasseurs symétriques par rapport à tous leurs indices et quand vous prenez une trace sur deux indices vous trouvez zéro c'est ça qu'on appelle le développement et vous vérifiez facilement que par exemple les forces de marée dues à la Lune donne effectivement un potentiel terrestre au voisinage de la Terre qui est quadratique dans les coordonnées et puis la marée d'or supérieure elle est cubique etc voilà ça c'est dans le cas Newtonien c'est très facile de représenter d'introduire ces objets-là et bien vous trouvez qu'il y a la même chose qui est vraie là c'est-à-dire que ici j'ai parlé du potentiel relativiste engendré par l'objet que je regarde le potentiel qui a un indice un escalaire et un indice vecteur lui aussi il va avoir des tendceurs de marée il va avoir des moments multipolaire qui viennent du champ gravitationnel extérieur et de même que ici j'avais deux types dans le cas Newtonien j'ai un seul type de moment multipolaire le moment multipolaire de masse puisque je vois pas le spin dans le cas angestanien comme j'ai le gravito-magnetisme j'avais deux types de moments multipolaire ceux de masse ML et ceux de spin et dans le cas des moments multipolaire de marée de même j'en ai deux il y en a qu'on a appelé ceux du type gravitationnel GL c'est-à-dire ceux qui apparaîtraient déjà dans le cadre Newtonien comme ça et ceux qui sont qu'on a appelé H pour dire magnétique comme le champ magnétique H qui sont aussi un développement de force de marée dû au champ gravito-magnétique dû aux autres corps vu localement comme des fonctions c'est infinie développable en puissance de X et représenté comme représentation irréductible du groupe de rotation local de mes coordonnées grand X voilà donc j'ai grâce à ça dans chaque donc finalement enfin pas encore finalement ici au voisinage de chaque corps j'ai donc pu représenter à l'approximation que je voulais le champ gravitationnel en forme comme fonction d'un certain nombre de ce qu'on appelle des squelettes multipolaire c'est-à-dire je vois plus le corps étendu mou il est représenté de l'extérieur par ses moments multipolaire et puis les autres corps dans ma carte locale sont aussi représentés par des moments multipolaire mais tous ces moments multipolaire les autres de marée ils doivent venir de quoi ils sont engendrés par les autres corps donc en fait il faut maintenant que je trouve la formule qui donne quelles sont les moments multipolaire de marée ici dû aux autres corps comme je vous disais à l'approximation la plus basse pour le cas de la Terre il y a eu un des termes importants dans ce terme ici de marée c'est la Lune donc ça veut dire que ce terme Gigi il est lié à la position de la Lune dans le ciel etc et je peux le calculer chez Newton en fonction de la position de la Lune on doit faire la même chose dans le cas Einstein tout ça se fait en fait tout ça se fait de façon très simple parce que je n'ai que des équations linéaires et à un certain moment je dois écrire que j'utilise la transformation coordonnée donc à un moment j'utilise le fait alors sous quelle forme déjà comme ça non que j'ai alphabeta de grand x gamma est égal à dx mu sur dx y la truc essentielle que me dit Einstein j'ai résolu les équations d'Anstein dans chaque référentiel mais maintenant je dois écrire que chaque solution locale est égal enfin dans un domaine d'overlap des cartes se raccordent à la métrique extérieure mais avec la transformation de coordonnée qui est ce type là et donc je dois remplacer la formule explicit ici là-dedans et on déduit une transformation des W donc là j'ai du non linéaire parce que vous voyez cette expression là ici j'ai exponentiel de W ici j'ai des produits quadratiques j'ai des transformations et en fait tout ça miraculeusement encore ça devient linéaire c'est à dire quand vous faites ça vous trouvez que le W local est une fonction linéaire du W global c'est à dire tout devient linéaire c'est pour ça finalement les équations d'Anstein ont une linéarité cachée que vous voyez ici à cette approximation là et quand vous faites ça vous pouvez, oui je n'ai pas compris parce que là vous vous avez parlé des effets des marailles dures à la Lune je n'ai pas compris où est-ce qu'on met l'effet principal qui est le changalitoçonnel du soleil ah oui non mais le soleil est juste un décor j'ai oublié de le citer parce que j'étais dans le cadre général le soleil ici j'ai jamais supposé que le soleil était plus gros que les autres je suis en train de résoudre le problème à Encore j'ai une étiquette grandat bien sûr j'ai le soleil c'est même le terme à la fin vous allez retrouver que le soleil est le plus prépondérant bien sûr mais ici vous voulez tenir compte des effets des planètes pour bien montrer et de l'autogravitation c'est pour aller au-delà avant j'avais décrit l'approche traditionnelle qui consiste à dire vous utilisez la solution de Schwarzschild vous représentez le système solaire par le soleil et puis toutes les planètes sont des particules d'épreuve ici c'est pour dire il faut aller au-delà parce qu'il y a des interactions entre les planètes à la fois dû à leur moment multipolaire et bien sûr le soleil aussi et je veux avoir un formalisme où tout ça est pris en compte par le formalisme et puis je veux aussi que le formalisme s'applique par exemple à un pulsard binaire c'est-à-dire quand j'ai que deux corps qui sont deux étoiles neutrons ou deux trous noirs et c'est informé général dans le cas du système beaucoup des termes dont je parle sont effectivement beaucoup plus petits que par rapport à la masse du soleil qui est prise en compte mais maintenant conceptuellement je voulais arriver à l'idée comment quand tout ça peut se faire et on l'a fait explicitement et en fait est assez simple mais où est-ce qu'on en déduit maintenant les équations du mouvement c'est-à-dire à quel moment vous avez une équation qui vous dit comment les planètes bougent bien cette équation-là elle doit venir d'une équation sur cette ligne d'univers parce que pour le moment j'ai introduit une ligne d'univers Z mu qui est l'image de la ligne centrale dans mon système disons géocentrique le centre de la Terre et puis ça se représente dans R4 global par ça mais quand est-ce que j'ai une équation qui me dit que l'accélération de cette ligne d'univers ou que cette l'univers est géodésique en un certain sens et pour le faire dans ce schéma-là il est en fait commode de suivre la méthode que D'Alembert préconisait pour résoudre le problème du mouvement parce que quelle est la méthode de D'Alembert et qu'il a utilisé systématiquement la méthode de D'Alembert elle a l'air un peu trivial mais en fait là elle est utile elle consiste à dire que le problème du mouvement est un problème d'équilibre c'est un problème de repos effectivement c'est à dire disait en mécanique Newtonienne quand vous avez un corps soumis à des forces gravitationnelles d'autres corps vous vous placez dans un référentiel attaché à ce corps et donc qui est accéléré a priori et vous allez écrire que dans ce corps-là il y a équilibre entre toutes les forces qui existent mais en rajoutant les forces d'inertie puisque vous savez par mécanique Newtonienne quand vous allez dans un référentiel accéléré il faut rajouter c'est à dire sur chaque particule vous avez une force moins M fois l'accélération force d'inertie et donc il écrivait le problème du mouvement non pas en disant j'ai des forces qui agissent sur ce corps-là et ça donne une accélération mais je vais dans un référentiel local et là-dedans toutes les forces doivent s'équilibrer et bien en fait c'est ce que l'on fait dans ce schéma-là parce qu'on démonte le théorème suivant alors dans ce schéma-là il faut d'abord définir le centre de masse de la Terre parce que comment je vais définir le centre de masse de la Terre sachant que si vous le définissiez comme une certaine moyenne de sigma etc en disant je prends l'intégral de rho xy égal à 0 ça ne servira à rien parce que vous ne savez pas ce que c'est que la densité au centre de la Terre donc en fait la bonne définition opératorielle du référentiel géocentrique du référentiel centré sur le centre de masse de la Terre ça consiste à dire qu'un certain moment multipolaire est nul en fait et en fait le moment le dipole de la Terre c'est ce que j'ai écrit ici quand j'ai écrit ici ça c'était le cas Newtonian mais vous avez la même chose dans le cas relativiste qui est écrit là voilà, ça c'est le cas relativiste vous avez dans cette somme sur tous les L de 0 à l'infini il y a le terme de degré 1 qui correspond à une solution de ce type-là et si vous ouvrez un livre habituel de physique Newtonian vous réalisez au sens habituel et mis c'est ce qu'on appelle le dipole c'est-à-dire dans la mécanique Newtonienne c'est l'intégrale sur l'espace de la densité fois XI XI moins l'origine du système de coordonnée donc ici c'est un grand X et donc vous pouvez définir le centre de masse comme étant celui où le dipole est nul et ça vous pouvez le faire dans le cadre relativiste donc vous définissez dans le cadre relativiste référentiel du centre de masse de chaque corps par la condition que le dipole est égal à 0 et ça ça veut dire que vous avez attaché votre carte locale à l'objet qui est là et maintenant vous allez obtenir l'équation du mouvement de ce corps en prenant une conséquence des équations locales de conservation de la matière alors vous savez que dans tout système de coordonnée les équations d'Einstein impliquent la divergence covalente du tenseur d'énergie impulsion est nul et en prenant cette condition-là et en utilisant les formules qui expriment les moments multipolaire en fonction de T par les formules qui sont là vous pouvez en déduire un résultat qui est comme un théorème qui généralise le théorème de D'Alembert qui est le suivant vous trouvez que même si vous n'avez pas imposé que le dipole est égal à 0 la dérivée seconde du dipole par rapport à votre coordonnée locale grandet grandet veut dire x0 c'est la coordonnée temporelle locale petite t veut dire le temps global c'est pour ça que vous utilisez des grandes lettres et des petites lettres pour toujours savoir de quoi vous parlez et que ça c'est égal à somme sur les L et A0 de 1 sur factoriel L de M grandel G A grandel A A plus un certain terme que j'écris pas mais qui est une certaine forme bilinaire entre une correction en 1 sur C2 qui est essentiel d'obtenir mais ce terme-là comme ce terme-là vous avez ici quelque chose qui est bilinaire entre les moments multipolaire du type mass enfin du type engendré par le corps dont vous parlez les M ou les S et puis les moments multipolaire de marée bien qu'est-ce que ça veut dire ce terme-là eh bien appliquons ça au cas où je fixe le centre de masse de chaque corps par cette condition-là du coup ce terme-là est nul dans cette somme ici je vais avoir un premier terme qui est M G A je fais la somme sur 0 puis le terme suivant qui aurait un indice ici il est nul à cause de cette condition-là et le prochain terme qui existe c'est un demi de M B C G A B C plus etc égal à 0 si vous regardez en terme Newtonien ce terme-là c'est le couplage entre le quadrupole de l'objet dont je parle par exemple le quadrupole de la Terre et le champ de marée du troisième ordre le troisième gradient de marée du champ du potentiel de la Terre mais ça c'est justement ce que la force qui agit sur le quadrupole de la Terre par exemple le fait que la Terre soit pas ronde mais soit déformée introduit une force qui est justement proportionnée à ce type-là donc ici on a obtenu toutes les forces du haut marée maintenant considérons le considérons le cas pour simplifier même si le but de ce travail était de montrer que dans un cadre relativiste il pouvait avoir tous les moments multipolaire si vous considérez encore un système de haine-core tel que au voisinage de chaque corps vous pouvez négliger ces moments quadrupolaires c'est-à-dire des corps disons sphériques ou quasi sphériques dans le champ gravitationnel au voisinage de chaque corps spécialement la métrique ressemble à schwarzschild c'est-à-dire que M sur R dans ce cas-là tous ces termes-là sont nuls et cette équation-là me dit que le dipole de marée c'est-à-dire grand g c'était un terme de marée est égal à nul mais quand vous vous écrivez cette équation vous trouvez deux choses si vous faites le calcul explicitement donc vous en déduisez que l'équation du mouvement d'un corps qui n'a pas de moments multipolaire c'est simplement que ce terme-là maintenant vous calculez ce terme-là vous trouvez que ce terme-là est l'équation d'une géodésique dans la métrique que je vais écrire g bar 00 égal moins exponentiel moins 2 W bar sur C2 donc ça c'est un théorème que vous le calculez directement et moins 4 W bar A sur C3 un calcul montre que ce terme-là c'est l'équation géodésique avec les gammas de Christopher mais dans une métrique g bar qui est obtenue en utilisant la même formule qu'ici dans le référentiel local mais dans lequel vous mettez pas W total vous mettez que les W bar et je vous rappelle que W était décomposé dans les termes comme M sur R qui sont engendrés par le corps local que je vois et puis les termes qui viennent de l'extérieur autrement dit cette formule-là elle montre que c'est un théorème qui montre que les effets d'autogravitation sur le corps s'annulent c'est-à-dire que la force gravitationnelle au sens relativiste du corps de la masse lui-même du corps agissant sur elle-même donc le genre de diagramme comme ça donne zéro donc ici vous prouvez que les effets d'autogravitation s'annulent et que chaque corps est autogravitant même s'il est assez lourd suit une géodésique d'un espace-temps extérieur mais cet espace-temps extérieur n'est pas le vrai espace-temps extérieur parce qu'il faut que j'enlève dans W la contribution du corps lui-même c'est-à-dire c'est vraiment ce qui est engendré par les autres et que je ne garde que le W bar et ça donc à l'intérieur de ce schéma c'est la preuve que l'on voulait obtenir qu'en allant au-delà de l'approximation d'une particule des preuves on sait depuis toujours Einstein l'a supposé et c'est vrai si vous avez une particule des preuves elle suit une géodésique du champ extérieur ici on a des corps chacun des corps n'est pas une particule des preuves il est peut-être il est autogravitant mais vous trouvez que le centre de masse définie comme ça par dipot légal à zéro suit une géodésique mais une géodésique d'un certain espace-temps extérieur que vous construisez dans le formalisme et qui est vraiment obtenu en négligant simplement les effets d'auto-action du moment multipolaire du corps sur lui-même et en ne gardant que les effets du moment multipolaire des autres voilà on a une petite pause bien maintenant j'ai écrit j'ai décrit ici comment on a le mouvement de Encore en relativité générale à une certaine approximation maintenant j'aimerais discuter ce qui se passe dans d'autres théories de la gravitation en expliquant à la fois rapidement ce qui s'appelle le formalisme post-Newtonien paramétrisé et son sens diagrammatique dès le début de la relativité générale en fait des gens comme Eddington se sont dit bon en relativité générale et pour ils avaient à l'esprit surtout le potentiel du soleil avec u égale gm sur r on sait qu'il y a un terme quadratique ici et puis pour la partie spatiale on a une métrique comme ça et en relativité générale il y a un coefficient 2 ici et un coefficient 2 là et puis les gens se sont dit oui mais après tout il pourrait peut-être y avoir d'autres théories de la gravitation et peut-être qu'ils vont donner non pas un coefficient 2 mais 2 beta où beta en relativité générale vaut 1 mais quand il est différent de 1 ça veut dire qu'on a une autre théorie de la gravitation et ici aussi il pourrait y avoir un coefficient différent de celui de la relativité générale donc des gens comme Eddington et puis après d'autres on introduit cette paramétrisation en disant qu'est-ce que les tests de la gravitation nous apprennent sur la valeur de beta et de gamma et j'aimerais à la fois indiquer effectivement quels sont les limites expérimentales et ça c'est les paramètres les plus simples pour aller au-delà de la théorie d'Einstein je vais expliquer le sens physique enfin un des sens physiques possibles de ces paramètres qui est que ces paramètres mesure la possibilité que la gravitation soit du non seulement à la tension métrique géminus c'est à dire ce qu'on appelle le spin 2 sans masse mais soit dû aussi à l'échange d'une particule de spin 0 c'est à dire qui est en plus que vous ayez une théorie de champ en plus du couplage d'une certaine métrique géminus à la matière vous ayez un certain champ scalaire sans masse et dans ce cas-là les diagrammes sont assez utiles on va voir pourquoi mais je vais d'abord écrire quelle serait l'action d'une théorie qui contient non seulement la gravitation mais aussi un champ scalaire sans masse ici donc il y aurait une certaine métrique gestar on va voir pourquoi on l'appelle gestar qui satisfait l'action étant donnée par l'action d'Einstein Hilbert et puis vous rajoutez un terme supplémentaire qui est le terme cinétique d'un champ scalaire alors le terme cinétique d'un champ scalaire c'est juste gradient fi carré mais par rapport à une certaine métrique et donc il existe il est toujours possible de définir une certaine métrique telle que l'action de la gravitation soit ça plus le terme cinétique normalisé avec un coefficient 2 mais maintenant les effets physiques de ce champ scalaire vous allez dire que la matière les champs de matière comme les champs de fermions les champs etc de Maxwell de Higgs de Brout anglaire Higgs sont couplés à une métrique j'ai-t-il des munus qui n'est pas la même métrique que celle-là mais où la métrique j'ai-t-il des munus qui se coupe la matière diffère de celle qui apparaît dans l'action mais comme vous avez un champ scalaire la façon la plus simple de dire que vous avez deux métriques différentes c'est-à-dire qu'elles sont conformes l'une à l'autre c'est-à-dire que l'une diffère par un changement d'échelle et donc vous écrivez une certaine fonction de fi devant et j'écris cette fonction de fi de nouveau sous forme exponentielle c'est juste une notation mais c'est commode donc ça ça définit une théorie qui en fait la plus générale possible pour un truc qui vraiment s'embasse parce qu'il y a une seule fonction arbitraire qui peut apparaître donc par exemple qu'est-ce que ça veut dire le fait que donc ça ça dit que ça dit que le principe d'équivalence locale et valable c'est-à-dire tous les corps tombent avec la même accélération mais cette accélération veut dire que c'est une géodésique dans la métrique j'ai-t-il des alors que mais la métrique j'ai-t-il des c'est pas celle qui satisfait les équations d'Einstein et donc du coup ça change si vous prenez simplement une particule test par exemple vous avez l'action pour une particule test qui est qui est la longueur de la ligne d'univers multipliée par la masse mais calculée comme elle se couplaça dans la métrique j'ai-t-il des et si vous remplacez ça en fonction de de l'autre métrique vous voyez que cette action je vais enlever le C assez rapidement c'est m-t-d exponentiel A de phi des S-star c'est-à-dire la longueur de la ligne d'univers dans la métrique tilde c'est celle dans la métrique S-star qui apparaît dans l'action multipliée par quelque chose qui est la racine carré de ce facteur et donc qui est ça donc vous voyez que tout se passe comme si quand vous résolvez les équations d'Einstein là et que vous regardez les couplages au niveau de cette action vous voyez qu'il y a effectivement un couplage et que ce couplage est donné par ça et du coup quand vous faites les développements vous allez voir que le coefficient qui mesure vraiment les choses nouvelles c'est-à-dire le fait qu'il y a un champ scalaire qui est couplé à la matière va être le gradient du logarithm de ça pour ça que j'avais mis une exponentielle m-t-dA exponentiel A de phi phi et à l'approximation où je suis quand je conseille une particule d'épreuve vous dites que sa masse mesurait dans les coordonnées enfin dans la par rapport à la métrique j'ai idée constante c'est la définition d'une particule d'épreuve et du coup la seule contribution à cette dérivée vient de ça et donc vous voyez que vous avez simplement le gradient par rapport à phi de alors qu'est-ce que ça veut dire ça ça veut dire en termes de diagramme quand vous résolvez maintenant vous faites la même chose que j'ai fait la dernière fois c'est-à-dire vous écrivez l'action qui représente l'énergie d'interaction entre plusieurs corps mais maintenant vous allez avoir des diagrammes de deux types des diagrammes qui échangent la métrique gestar munu c'est ce qu'on appelle le spin2 parce que cette action veut dire que c'est un champ massless sans masse de spin2 et puis vous devez rajouter entre un MA-M2 ou MA-IMB d'abord le couplage à la gravitation il vient il vient toujours de ça donc ici j'ai toujours le M tilde A et le M tilde B et puis j'ai un couplage supplémentaire dû à l'échange du champ scalaire phi et justement quand vous écrivez les équations du champ phi vous écrivez les équations de l'air-la-grange vous vous trouvez qui se couple à la matière à travers ce coefficient-là ce qui veut dire en termes de diagrammes c'est que ici vous avez M tilde A alpha et ici vous avez M tilde B alpha et le alpha de phi est calculé au champ phi 0 loin du système parce que vous résolvez ces équations en disant que phi est égal à phi 0 loin par exemple du système solaire du genre solution des sources locales par le fait que j'ai n-core qui se couple à phi mais je peux avoir aussi une valeur de phi qui est dû à l'évolution cosmologique et qui est loin du système et c'est celle qui apparaît là-dedans alors rien qu'en écrive en voyant ça et d'ailleurs si on regarde plus précisément ici vous voyez que ce qu'apparaît ici il y a aussi une exponentielle A de phi 0 qui apparaît à chaque bout parce que vous le lisez dans cette formule je vais pas refaire tous les calculs juste pour dire vous faites les calculs et vous trouvez que l'interaction le potentiel d'interaction au niveau newtonien entre deux corps c'est écrit comme d'habitude par une force en insurère mais cette force en insurère elle est due à deux contributions il y a le potentiel en insurère de spin 2 et le potentiel en insurère de spin 0 qui s'ajoute parce que vous avez deux diarames qui s'ajoutent et ça ça veut dire que le gtd c'est à dire à constant de newton effectivement qui apparaît elle est égale à la constant de newton nu qui apparaît dans l'action qui serait celle du spin 2 seul modifié par plusieurs choses d'abord il y a une modification qui sont ces facteurs qui apparaissent ici forcément et puis il y a une modification supplémentaire c'est qu'il y a spin 2 et puis à l'échange du spin 0 et comme je l'ai dit quand vous faites les calculs vous trouvez que l'échange du spin 0 est égal comme il y a comme il y a un couplage c'est là où les diarames sont utiles parce que vous voyez directement que si vous vous coupez à gauche et à droite avec un certain facteur dans l'interaction vous aurez le produit des deux facteurs et donc nécessairement vous allez avoir le carré du coefficient de couplage de chance calère qui apparaît là et donc cette formule il se passe pas grand-chose parce que vous avez juste dit bon j'ai une constante de Newton effective qui passe celle qui apparaît dans le Lagrangian elle est modifiée par le fait que j'ai un background cosmologique et puis aussi par le fait que j'ai échangé du spin 0 mais vous vous rappelez que dans les diagrammes ça c'est ce terme-là à l'approximation Newtonienne mais j'avais fait le calcul en disant on peut faire ce diagramme-là en gardant les termes en V2 sur C2 et j'avais dit que ça introduit une modification en termes gravito-magnétique les termes en vitesse au carré sur C2 et que cette modification était contenue dans un paramètre gamma qui apparaissait sous la forme si vous relisez vos notes comme ça il y avait un terme supplémentaire qui était en VR-VB au carré sur C2 et qui dépendait du spin du champ échangé j'avais indiqué les valeurs que prenaient gamma S pour le spin 2 le spin 1 et le spin 0 en fait il y avait une formule générale qui était que gamma S est égal à moins 1 plus le carré du spin sur 2 autrement dit ça voulait dire que ça valait moins 1 pour le spin 0 et plus 1 pour le spin 2 mais du coup quand vous faites ce calcul-là vous allez avoir une somme de 2 termes vous allez avoir les couplages gravito-magnétique dû au spin 0 et ce dû au spin 2 et donc le gamma qui apparaîtra c'est à dire à la fin vous aurez un gamma effectif qui multipliera ces termes-là mais ce gamma-là sera une combinaison linéaire comme c'est un calcul linéaire vous faites la somme des 2 combinaison linéaire du gamma pour le spin 2 et du gamma sur le spin 0 mais avec des poids des poids que l'on voit dans les diagrammes parce que si par exemple alpha est égal à 0 ce terme-là n'aurait pas de poids donc en fait ici vous avez le poids relatif ça c'est le poids relatif du spin 2 et ça c'est le poids relatif du spin 0 et donc je dois prendre ces poids relatifs ici et donc je mets ici alpha carré et puis je divise c'est le moyen alpha 2 mais maintenant j'ai dit gamma 2 pour le spin 2 vous 1 donc ça c'est 1 gamma 0 vous au moins 1 donc c'est un moins c2 sur un plus alpha 2 et donc vous voyez que ici avec les calculs précédents sans faire de nouveaux calculs vous en déduisez que si vous avez une théorie temps sur scalaire il apparaît un paramètre gamma qui modifie les termes gravito-magnétique et que la valeur de ce paramètre gamma quand j'ai un champ scalaire et donné par cette formule là ou alpha 2 mesure de combien se coupe le champ scalaire c'est-à-dire si je prends la différence par rapport à 1 ça veut dire que la déviation par rapport à la relativité générale qui est cette valeur là est donnée par cette formule là et maintenant si vous interprétez ces termes de couplage magnétique vous trouvez aussi qu'ils sont équivalents à ce gamma là c'est pour ça que vous avez noté gamma et donc conclusion dans une théorie voilà pourquoi votre fille est mouette dans une théorie temps sur scalaire le coefficient gamma du vieux paramétrage post-Newtonien paramétrisé a cette expression là c'est-à-dire qu'il est lié à l'intensité du couplage du champ scalaire qui se coupe à la matière en plus bien donc tout test de la gravitation qui va vérifier si gamma vaut 1 ou pas tout test de savoir s'il y a un certain couplage scalaire qui se rajoute ou pas mais ça c'est au niveau de l'échange linéaire du spin 0 mais il y a aussi des couplages non linéaires et d'où viennent ces couplages non linéaires l'avantage des diarames parfois les diarames n'aide pas à faire les calculs explicites d'ailleurs vous pouvez les faire aussi par exemple au niveau 1 pn ce que j'ai expliqué ici on est chose plus simple en fait on va calculer le Lagrangian alors d'où on travaille ici mais ça permet parfois de clarifier les idées sur l'origine physique des choses et en particulier quand vous avez un champ scalaire vous allez avoir même entre deux corps des couplages de ce type-là pourquoi ? un couplage de ce type-là veut dire que ici j'ai une certaine matière disons M tilde A et qu'elle se coupe à deux champs fi c'est à dire qu'elle se coupe quadratiquement aux champs fi mais quelle est le couplage d'une matière aux champs ? c'est donné par cette formule-là et donc voyez que et en fait il faut prendre le logarithm de ça ce qui fait que ce qui compte c'est cette fonction A de fi et vous trouvez que si cette fonction A de fi n'est pas une fonction linéaire de fi mais que c'est une fonction quelconque si A comme fonction de fi et qu'au point où vous êtes cette fonction elle a une certaine dérivée première que j'ai introduite ici et puis elle a une dérivée seconde qui est donc qui est donc la dérivée de sa dérivée première et en faisant le calcul vous trouvez que ce terme-là comme il était précisément du type des couplages en un sur R carré à deux corps que j'avais écrit la dernière fois il change le coefficient beta et plus précisément en faisant le calcul vous trouvez que beta-1 je vais l'écrire beta-1 étant la valeur en relativité générale est proportionnelle à cette dérivée-là mais rien qu'en regardant ce diagramme vous savez aussi qu'il se passe d'autres choses parce que j'ai dit ici j'ai un couplage avec deux champs-fis donc ça va faire intervenir la courbure de cette fonction mais ici j'ai des couplages aux champs-fis linéaires donc forcément j'ai un facteur alpha des pattes à l'autre donc sans faire aucun calcul vous trouvez qu'il doit y avoir à la fois un facteur alpha la dérivée de alpha par rapport à phi et puis un deuxième facteur alpha et avec les normalisations vous trouvez qu'il y a aussi un plus alpha-2 carré voilà donc ici j'ai deux formules qui me disent que si dans le système solaire je teste gamma je vérifie directement l'intensité du couplage d'un champ scalaire c'est une interprétation physique du paramètre gamma qui sinon était un truc un peu arbitrait et le paramètre beta mesure lui aussi des choses liées à un scalaire mais avec quelque chose au niveau non linéaire mais il y a une troisième chose importante qui est qu'en relativité générale on a montré avant enfin j'ai indiqué que ça le démontrait qu'il n'y a pas d'effet d'autogravitation c'est-à-dire sur le mouvement autrement dit encore des preuves comme un grain de poussière ou encore autogravitant comme la Terre la Lune tombe avec la même accélération dans un champ gravitationnel extérieur elle suit toute une géodésique du champ gravitationnel extérieur ou si le corps est autogravitant je dois enlever son autogravitation s'il ne l'est pas j'ai pas à l'enlever c'est de toute façon le champ extérieur bien mais cette propriété-là n'est pas vraie dans d'autres théories de la gravitation et ça c'est quelque chose qui a été trouvé en 1968 par Ken Nordvet et ça a eu une explication très simple en termes de couplage pour le champ gravitationnel ou champ scalaire qui est la chose suivante ici j'ai dit je prends encore des preuves et donc son action est donnée par ça ok tout ça c'est vrai et puis après je disais donc le couplage est donné par ça et j'ai dit comme ça et constant le couplage ne fait intervenir que ça mais si je prends maintenant un corps autogravitant sa masse totale va contenir une contribution du... à l'énergie gravitationnelle de liaison et donc un corps autogravitant même dans les unités M tilde A ou sa masse ordinaire disons qui est la masse au repos de tous les objets dont il est fait plus les effets de pression comme on a vu tout ça bon c'est une certaine constante qui ne dépend pas du champ qui ne dépend de rien mais il y a aussi une contribution qui dépend de l'énergie gravitationnelle du corps A mais cette énergie gravitationnelle c'est une énergie de liaison elle est due à l'intérieur du corps à des forces gravitationnelles et donc à l'intérieur du corps c'est le G tilde qui apparaît puisque les interactions gravitationnelles l'énergie de liaison est due à l'échange soit d'un graviton soit d'un scalaire tout ça ça contribue à l'énergie de liaison gravitationnelle et donc je dois avoir un terme qui est proportionnel à G tilde qui est par définition l'énergie de liaison gravitationnelle mais j'ai écrit la formule là que G tilde vous voyez était une fonction de phi zéro mais phi zéro ça voulait dire quoi ? ça voulait dire je regardais un système et puis le champ phi avait une certaine valeur à l'infini et puis il bougeait au voisinage des corps comme ça et ce qui comptait c'était la valeur de phi loin du corps mais si maintenant je regarde l'énergie de liaison gravitationnelle d'un corps il faut que je considère que loin du corps ça veut dire aussi loin des autres objets il faut que je me mette dans un référentiel attaché à ce corps-là et puis les autres corps vont modifier phi et puis localement je vais avoir que la valeur asymptotique du champ scalaire vu localement autour du corps elle est influencée par les autres corps donc ça veut dire que techniquement que le phi zéro que je dois remplacer ici c'est un phi local c'est-à-dire c'est pas le phi zéro à l'infini mais c'est le phi à 10 fois ou 100 fois le rayon de mon corps mais beaucoup plus loin mais proche par rapport aux autres corps et donc oui oui c'est parce que je veux éviter ici de faire ce que je ferai la prochaine fois ce qui est un développement de raccordement de développement asymptotique on a regardé ça avec Gilles Esposito la prochaine fois mais en fait tous ces développements là le rendent très clair dans chaque voilà si je généralise que j'ai fait ici dans chaque référentiel local grand X le champ qui était gravitationnel ici était la somme d'un W plus créé par le corps et un W bar quand on fait le raisonnement de même qu'ici c'était une géodésique dans le W bar le phi qu'il faut prendre c'est le phi bar en fait il y a un phi plus qui est engendré par le corps et puis le phi bar créé par les autres et quand on fait on généralise le raisonnement que j'ai fait ici avec un champ scalaire on trouve qu'il faut mettre le phi bar et donc c'est le phi bar A c'est le phi mais qui est bien défini par le formalisme multicart donc et pourquoi je dis ça parce que du coup vous voyez que dans cette formule là je dois maintenant dire ah mais ce M t il D il dépend de phi aussi ok et donc j'ai un terme supplémentaire qui est non seulement ce alpha A mais qui contient un terme lié à la dérivée par rapport à phi de M t il D mais cette dérivée par rapport à phi de M t il D elle va être proportionnelle à l'énergie de liaison gravitationnelle et proportionnelle à quoi à la dérivée par rapport à phi de j t il D de phi et quand vous faites le calcul si un calcul assez simple vous trouvez que du coup mais qui du simplement c'est la différenciation de cette formule vous prenez cette formule et vous dérivez le produit et puis vous voyez qu'il va y avoir une dérivée de A qui donne du alpha il y a la dérivée de alpha 2 qui va donner du alpha de la dérivée de alpha et du alpha qui est précisément beta et donc voyez que simplement en faisant ce calcul le terme supplémentaire va être une combinaison de beta moins 1 et de gamma moins 1 et quand vous faites le calcul vous trouvez que c'est équivalent à dire que au delà des paramètres enfin c'est toujours les paramètres gamma et beta le lagrangien A&C contient des modifications telles qu'on les avait écrites la fois d'avant où il faut tenir compte les termes magnétiques sont modifiés d'un terme gamma moins 1 vA moins vB carré les termes de ce type-là c'est-à-dire en MA MB MC su RAB RAC enfin quand j'ai ici trois lignes et que ça c'est la ligne A sont modifiés par un coefficient beta moins 1 ok et puis un terme supplémentaire et quand vous faites le calcul vous trouvez que l'énergie d'interaction Newtonienne c'est à dire le terme de base cette fois parce que dans dans l'action le premier terme c'est le terme Newtonien GM1M2 sur R et bien le G qui apparaît là-dedans devient modifié c'est à dire entre deux corps à cause du calcul que je viens d'esquisser peut-être un peu trop rapidement vous trouvez que la formule que j'écrivais au-dessus ou cette fois je reviens à la valeur de fi loin du corps parce que ces termes-là sont là et puis il y a un terme supplémentaire qui est en fait un produit de deux termes mais ici comme c'est un plus epsilon je mets le produit comme la somme des termes ou le coefficient qui apparaît ici c'est 4 gamma 4 beta moins gamma fois l'énergie de liaison gravitationnelle sur MAC2 tout ça dans les mêmes unités plus MBC2 donc ça c'est des termes qui sont liés à la fraction de l'énergie gravitationnelle à la fraction de la masse du corps qui est d'origine de liaison gravitationnelle et le coefficient devant le calcul que j'ai indiqué vous pouvez le refaire vous différenciez juste j'ai tidé par rapport à fi et vous verrez que le résultat est proportionnel à cette combinaison-là exprimée en fonction de alpha2 et de la dérivée de alpha cette combinaison-là en relativité générale comme beta v1 et gamma v1 vous voyez que ça fait 4-1-3 ça vaut 0 en relativité générale donc c'est quelque chose qui mesure la c'est une des mesures on l'appelle aussi étace coefficient qui mesure la déviation de la relativité générale mais vous voyez que l'intérêt conceptuel c'est que alors qu'en relativité générale les effets d'autogravitation d'un corps ne changeait pas son interaction avec les autres corps ici un corps plus fortement autogravitant n'a pas le même couplage le même constante de Newton dans un autre corps et du coup maintenant venons-en au test c'est-à-dire quels sont les vérifications oui, Nathalie les étapes sont élevées en 6 ans une fois qu'on a fait le cas pour démontrer le raisonnement que j'indique ici c'est que quand je suis au niveau de l'action j'aimais-t-il des A du Phi A des S A A et ça c'est une action donc quand je dérive les équations de l'air-la-grange il faut que dans cette action je tienne compte que c'est j'ai-t-il des la dépendance de ça c'est par rapport à ça mais comme on résout le Phi A par approximation successive à la fin du calcul le Phi qu'on met dedans ça redevient le Phi 0 même si pour des corps bon, pour les étoiles neutrons par exemple il ne faut pas perdre de précision ça c'est l'approche traditionnelle tout est cohérent l'essentiel c'est que la dérivée logarithmique du JTD par cette formule précisément donne ce coefficient état donc c'est une interprétation de ce terme-là que l'autogravitation dans d'autres écrits de la gravitation intervient oui Mora La plus simple de voir tout ça c'est pas de récrire la combinaison L-2G défi défi comme le scalère de la première scalère dramatique JTD ça ne l'est pas oui plus d'autres auquel cas il est évident qu'il n'y a qu'un seul diagramme et que la force est donnée par la formule JTD MTD MTD A MTD B sur la distance et puis après si je veux je récris JTD en fonction la scalère et quand je fais le développement de Théla je vais trouver toutes ces qualifications on peut mais pour le gamma par exemple c'était beaucoup plus simple d'utiliser vraiment ma démonstration en une ligne qui est là pour ça il fallait utiliser le Einstein frame comme on dit c'est-à-dire d'avoir la représentation irréductible de spin-2 pour avoir une combinaison du gamma-1 et gamma-1 alors que sinon le calcul est plus compliqué on peut faire le calcul de différentes façons et puis ça veut dire que par exemple là-haut j'ai les équations j'ai les mêmes équations qu'ici à droite l'équation de poisson mais pour l'amérité que j'ai-t-il d'un ? non c'est plus important les équations sont toujours beaucoup plus compliquées si on prend j'ai-t-il d'un ça ne satisfait pas des bonnes équations en général le gestard satisfait des meilleures équations et on voit mieux pour le calcul on a fait le calcul avec Gilles Esposito par exemple pour faire le calcul que je dirais à la fois prochaine les étoiles à neutrons et de rayonnement gravitationnel et mis j'ai-t-il d'être une très mauvaise façon de faire le calcul pour d'autres choses peut-être ça peut mais en général il vaut mieux utiliser gestard venons-en maintenant au test expérimental alors on va effacer un peu par là donc ici j'ai juste indiqué rapidement il y a la relativité générale et puis si vous changez la relativité générale par exemple le cas le plus simple c'est de dire je pourrais avoir un chance calère à longue portée mais qui se rajoute vous voyez que tout de suite ça introduit plusieurs modifications qui sont paramétrisées simplement par alpha et sa dérivée mais la combinaison ici apparaît certains effets physiques et les autres combinaisons beta et gamma apparaissent ailleurs alors quels sont les tests dans le système solaire un des tests les plus précis a été fait grâce à la sonde Cassini quand elle était du système solaire par Berthotti Etal publié en 2003 et donc on est sur Terre il y a le soleil comme mademoiselle nous l'a rappelé qui est très important puisque c'est tout de même la masse principale et la sonde Cassini à ce moment là était à l'autre bout du système solaire et puis cette expérience consistait à échanger des ondes électromagnétiques en les envoyant depuis la Terre et sur la sonde Cassini qui a cet élite il y avait un transpondeur qui en fait renvoyait le signal mais pas tel que en fait il le transpondait ça veut dire je sais pas si on me dit vraiment en français ça veut dire que vous réamplifiez le signal vous gardez sa phase mais vous réemmettez nos signals parce que sinon l'aller-retour il serait trop faible ici est-ce que vous mesuriez dans cette expérience c'était pas le temps d'aller-retour mais c'était la fréquence donc vous envoyez une certaine sonde électromagnétique qui part avec une fréquence nu de départ à l'émission et puis au retour après cette opération d'être transpondue vous avez une autre fréquence pour l'onde électromagnétique qui revient et vous vous calculez le rapport entre les deux fréquences alors quel est le lien avec les paramètres post-newtonien je l'ai déjà dit rapidement mais je le redis c'est le principe de Fermat il suffit d'écrire les ondes électromagnétiques dans le système solaire comme par à l'approximation de l'optique géométrique c'est à WKB et donc vous dites que c'est un rayon géodésique de type isotope qui donc satisfait ça plus un plus deux alors là si je suis pas en relativité gérale j'ai gamma qui intervient d'x2 égal à 0 ça c'est je n'ai pas encore dit que c'était une géodésique c'est simplement une ligne d'univers isotope de carré et nul le long du cône de lumière par définition de la lumière et donc vous résolvez ça ça vous donne CDT CDT va contenir au carré 2 gamma plus 2 2 je prends la racine carré j'enlève les deux et donc ça me dit que CDT est égal à 1 plus gamma plus 1 sur c2u dx module de dx et maintenant vous utilisez le principe de Fermat qui est que dans une condition stationnaire les rayons lumineux vont minimiser le temps coordonné T il s'agit vraiment du temps coordonné quand vous refaites le raisonnement de Fermat à partir de l'action et donc vous regardez l'intégrale de Fermat du point au point 2 ça qui vous donne le temps T pour aller de 1 à 2 et voyez qu'il y a deux termes il y a le terme habituel qui est la distance coordonné et puis vous avez un terme supplémentaire qui dépend du potentiel gravitationnel et c'est ce qu'on appelle le retard gravitationnel trouvé par Erwin Shapiro en 1964 et quand vous faites ça c'est pour le temps d'aller retour pour avoir la fréquence vous dérivez ce temps d'aller retour après il faut passer à la fréquence locale en temps propre mais en fait c'est un effet faible par rapport au fait que l'expérience Cassini a été faite à un moment où la ligne de visée entre le satellite et nous passait très près du soleil ce qui veut dire que dans cet intégral il va y avoir le M sur R énorme du soleil intégré au passage du soleil ce qui donne un certain terme logarithmique dont vous prenez la dérivée comme ça il n'est plus logarithmique il est algébrique et à la fin vous trouvez que le changement de fréquence c'est à dire le nu de l'écho que vous recevez sur le nu à l'émission est donné par un certain intégral enfin un certain terme algébrique et qui contient un gamma plus un devant vous mesurez ce terme là vous trouvez qu'il vaut une certaine valeur qui est égale à la valeur de la relativité génale modulo des petites déviations possible et comme ça vous avez la meilleure limite à l'heure actuelle sur le coefficient gamma vous trouvez que gamma moins 1 c'est la valeur de la relativité génale est égal et de l'ordre de 10,5 c'est compatible avec 0 parce que ça c'est un sigma donc vous inquiétez pas du fait que 2,3 enfin d'ailleurs c'est plus grand que 2,1 donc ça c'est un des tests les plus précis dans le système solaire qui dit qu'on a prévu une déviation de la relativité génale gamma mais finalement ça vaut à 10,5 près ce qui est vraiment très bon les autres tests il y a d'autres tests de gamma il y en a beaucoup en fait parce que gamma intervient à l'approximation linéarisée et donc du coup il a beaucoup d'effets par exemple il y a un effet qui a été compris par deux citeurs dès 1916 et qui a été mesuré après plus récemment c'est que si vous avez autour du soleil vous avez le système Terre-Lune donc vous avez la Terre vous avez la Lune je vais juste le décrire en terme intuitif et la Lune tourne autour de la Terre mais la Terre tourne autour du soleil et les deux aussi tournent autour du soleil et donc j'ai dit que en relativité géniale il y avait non seulement des effets gravito-électriques comme un champ électrique E gravito-électrique mais aussi des effets gravito-magnétiques quand vous êtes dans le référentiel du soleil vous n'avez qu'un champ gravito-électrique parce que c'est un champ en M sur R carré au soleil mais quand vous êtes dans un mouvement en référentiel par rapport à ça la théorie que j'ai indiqué ici des champs gravito-électriques vous dit que vous avez un champ gravito-magnétiques local qui est donné par les formules de transformation du type de Lorenz c'est à dire qu'un champ électrique gravito-électrique vu dans un référentiel en mouvement apparaît comme un champ gravito-magnétique H qu'est-ce que j'ai écrit la formule que j'avais noté B c'était le BIG que j'avais écrit qui vaut moins quatre ou il apparaît le coefficient moins quatre toujours dans Einstein il faut à V-cross produit extérieur avec produit qu'on s'appelle en français V-croix bien produit vectoriel oui d'accord avec eux et donc ici là-dedans vous avez un champ magnétique mais maintenant la Lune est quelque chose qui se déplace et en fait dans son déplacement elle fait comme un courant c'est comme si vous avez un électron qui tourne dans une boucle d'un champ électrique et donc un électron, un courant qui tourne dans une boucle c'est un champ c'est un moment magnétique mu, dipolaire qui se coupe au champ B magnétique aussi par mu dot B produit scalaire cette fois et donc vous voyez que vous avez ces couplages spin orbit qui veulent dire que l'orbite de la Lune autour de la Terre doit préciser dans ce champ magnétique ok donc ça c'est une conséquence des équations en fait là je le décris juste en termes intuitifs pour dire que il y a vraiment des effets gravito-magnétiques mais vous prenez les équations du mouvement à Encore et cet effet là cet effet là il dépend des couplages linéaires de la gravitation donc il dépend de gamma et en l'utilisant et en le mesurant on a mesuré qu'il était égal à la prédition de la relativité déjà à 10-3 près donc vu le 10-5 c'est moins intéressant aujourd'hui et puis vous avez d'autres couplages par exemple autour de la Terre le fait que la Terre tourne veut dire que maintenant la Terre elle crée comme un champ magnétique parce que si la Terre ne tournait pas elle crée avec un champ gravito-électrique mais maintenant j'ai comme quelque chose qui a des courants d'Empere mais du type angestanien et donc ça ça crée un champ B gravito-magnétique autour et si dans ce champ là je mets soit une particule qui tourne sur une trajectoire mais ça c'est de nouveau comme un courant dans une boucle électrique qui se couple etc ou alors mieux, plus fort je mets ici vraiment un gyroscope et donc maintenant j'ai le couplage spin-spin bon voilà donc tout c'était par exemple l'expérience récente gravity probe B a vérifié que tous ces termes là étaient bien décrits par la relativité générale mais finalement les limites que vous obtenez sur gamma sont moins précises que celles que je donnais de l'expérience de Cassini quant aux limites sur beta il y en a de plusieurs sortes je vais laisser ça ou alors je vais effacer là-haut il y a d'abord les limites qui sont liées justement aux tests célèbres historiques d'Einstein qui est le périlide mercure ou des autres planètes mais mercure reste important pourquoi mercure reste important parce que c'est la planète la plus proche du soleil donc c'est elle qui sent les effets de courbures et de déviations de la métrique plate de façon la plus intense alors j'avais indiqué rapidement comment vous pouvez calculer l'avance du périlide mercure en relativité générale ça consiste à écrire la grand génie vous pouvez faire le même chose dans une théorie où la métrique est décrite et modifiée par les coefficients ici vous faites le calcul mais avec beta et gamma vous faites le calcul vous recalculez l'avance du périlide et vous trouvez que l'avance du périlide mercure enfin n'importe quelle planète est donnée par le résultat qui est en relativité générale qui est 6PGM sur C2P P ou P c'est le paramètre de l'ellipse du corps considéré tournant autour d'un corps de masse M et puis devant il y a un coefficient qui est 2 plus 2 gamma moins beta sur 3 il a été juste normalisé de sorte qu'en relativité générale gamma v1, beta v1 donc ça fait 3 sur 3 ça fait 1 donc c'est juste la normalisation à la relativité générale ça c'est la prédiction de la relativité générale mais cet effet-là remarquez que c'est un effet qui n'est pas un effet de 0 c'est-à-dire quand gamma et beta v1 cet effet est non nul contrairement aux effets ici qui étaient proportionnels à cette combinaison qui disparaissent en relativité générale donc c'est effectivement moins évident et on a un certain sens plus intéressant mais les tests historiques de l'avance du périlide mercure ont donné des limites sur cette combinaison gamma et beta qui étaient plutôt au niveau 10-3 récemment des analyses les données d'une sonde qui est allée autour de mercure et qui restait en orbite autour de mercure et qui est peut-être encore qui est arrivé en 2011 et donc il y a des données de d'ondes radio depuis la Terre jusqu'à mercure qui donnaient des contraintes qui semblent être meilleures et il y a un claim de Verma, Fienga, Lasker et d'autres qu'en fait on arriverait surtout si on fixe par exemple gamma égal à 1 à avoir des limites on a des limites sur 2 gamma à moins beta à moins 1 de niveau 10-5 aussi j'aimerais mieux comprendre ça mais en tout cas il semble que dans le futur certainement ce type de données va compléter ça et dire que peut-être bien beta aussi ne peut pas dévier de 1 de plus que 10-5 sinon dans l'intervalle il y a les conséquences de ça parce que ça, ça vous dit quoi ? ça vous dit que si vous considérez de nouveau le système Terre-Lune vous avez la Terre vous avez la Lune et puis vous avez le Soleil la Terre, bon la Lune tourne autour de la Terre mais avant ça la Terre et la Lune tombent vers le Soleil c'est-à-dire les deux ont une certaine accélération vers le Soleil alors cette accélération le fait qu'elle ne soit pas dirigée exactement de la même façon c'est ce qu'on appelle les forces de marée mais avant qu'il y ait des forces de marée si vous regardez cette formule cette formule vous dit que l'interaction c'est-à-dire la force en 1 sur R carré sur l'objet A dû à la masse de l'objet B est proportionnelle à quelque chose qui contient à la fois l'énergie gravitationnelle de liaison du corps A et du corps B si maintenant j'applique cette formule à la fois je vais prendre disons A le Soleil non je vais prendre C le Soleil et je regarde ici A et B donc j'ai la constante de Newton de B verser et j'ai la constante de Newton de A verser ça contient un terme qui est l'énergie gravitationnelle de B et puis l'énergie gravitationnelle de C mais elle va être commune à ça et ça et puis là j'ai l'énergie gravitationnelle de A plus l'énergie gravitationnelle de C ces termes-là quand je fais le rapport entre les deux disparaissent mais le fait que l'autogravitation de la Lune sur elle-même soit pas égal à l'autogravitation de la Terre sur elle-même veut prédit qu'il doit y avoir que la force en 1 sur R2 dû au Soleil n'est pas exactement la même sur la Terre autrement dit que comme disait Newton que peut-être la Lune tombe un peu plus vite avec une accélération un peu plus forte vers le Soleil que la Terre si vous faites ça c'est à dire vous posez maintenant la question quelles sont les conséquences observables du fait que la Lune ne tombe pas avec la même accélération que la Terre vers le Soleil vous avez l'analogue du problème de Stark le problème de Stark c'est vous prenez un atome un atome d'hydrogène vous avez le proton vous avez l'électron et puis vous mettez le tout dans un champ électrique et bien le champ électrique il va agir différemment sur l'électron sur le proton donc vous avez des forces internes et c'est ce qui se passe ici vous avez cette espèce de champ électrique extérieur qui tire de façon différente sur la Lune et sur la Terre et quel est l'effet là-dessus eh bien vous trouvez que ça devrait polariser l'orbite de la Lune autour du Soleil en fait le calcul a été fait pour la première fois par la place et la place déjà avait compris que c'était une très bonne limite sur le principe d'équivalence qu'il obtenait cette fois le calcul a été refait au 20e siècle avec une précision améliorée parce que si vous voulez vraiment faire les choses il faut pousser la théorie de la Lune à un ordre très grand d'approximation inclure des effets relativistes ça a été fait et vous trouvez que vous avez bien ça c'est pour calculer qu'elle serait l'effet observable de la présence de ce terme-là et cet effet aurait un effet assez grand et du coup comme on ne le voit pas parce que maintenant si on regarde les données terles Lunes on ne trouve aucune trace d'un tel phénomène de polarisation comme ça de la Lune et donc ça met une limite sur cette combinaison-là à cause de cet effet d'autogravitation et cette limite-là donc elle vient du fait que l'accélération de la Terre et l'accélération de la Lune vers le Soleil sont identiques à une précision que j'avais déjà donnée 0 à plus de moins 1.3 10-13 ça c'est un fait expérimental le fait expérimental c'est que si vous rajoutez un terme où l'accélération n'est pas la même vous trouvez que ce terme doit être plus petit que 10-13 mais maintenant en partant de ce 10-13 vous avez à tenir en compte de quelle est la grandeur de la partie de la masse de la Terre qui est due à son autogravitation gravitationnelle donc du coup ça enlève beaucoup de décimales mais à la sortie vous trouvez que eta qui est donc cette combinaison 4-beta-gamma-3 est compatible avec 0 et au niveau 10-4 donc ça en tout cas on est sûr de ça donc conclusion si vous mettez cette limite sur gamma qui est 10-5 là-dedans il y a d'ailleurs un facteur 4 ici vous en déduisez que gamma ne diffère de 1 que 10-5 et que beta ne diffère de 1 que de 10-4 alors à ce stade-là on pourrait dire bon allez ça y est la cause est entendue la relativité générale est exacte exacte et du fait qu'il pourrait y avoir d'autres théories alors en fait ça n'est pas aussi simple que ça à la fois parce que il est toujours utile de se poser la question de savoir est-ce que on a sondé tous les aspects de la théorie et la prochaine fois je donnerais je dirais comment dans les pulsards binaires on teste la théorie de façon plus profonde parce qu'on va chercher à la fois des effets radiatifs au cinquième ordre et puis des effets d'autogravitation qui sont beaucoup plus forts qu'ici mais et puis aussi que ici j'ai pris qu'une théorie scalaire il peut y avoir d'autres théories qui sont certaines personnes y compris dans cette salle développent d'autres déviations possibles à la théorie d'Einstein mais le point que je voudrais dire aussi c'est que même si on devait en conclure qu'aujourd'hui alpha le coefficient de couple parce que en théorie scalaire il faut remarquer que les deux termes gamma et beta j'ai peut-être effacé beta mais beta-1 était alpha la dérivée de alpha par rapport à phi alpha sur un plus alpha2 carré il était aussi proportionnel à alpha2 donc en fait les tests sur beta sont en un sens moins intéressant parce qu'une fois vous savez que alpha2 est plus petit que 10-5 il y a peu de chance que beta diffère de 1 et donc la vraie question c'est si je sais aujourd'hui et je sais que alpha est plus petit que 10.5 est-ce que ça veut dire qu'un chance scalaire est exclu et bien pas forcément parce qu'il existe ce qui s'appelle un mécanisme et je vais finir là-dessus d'attracteurs cosmologiques que l'on avait discuté il y a un certain nombre d'années avec Ken Nordvet et avec Sacha Polyakov qui dit que si je prends un chance scalaire sans masse c'est-à-dire qu'il n'a aucun potentiel v de phi propre et que je considère justement cette courbe là a en fonction de phi et que je considère l'évolution cosmologique alors maintenant je traite la cosmologie avec ce chance scalaire donc ce chance scalaire est couplé à la matière etc. et finalement vous trouvez qu'il y a un potentiel effectif qui détermine l'évolution cosmologique du potentiel scalaire et que ce potentiel effectif il est proportionnel à la densité de matière et à la fonction a de phi et du coup si la fonction a de phi avait un minimum quelque part l'évolution cosmologique sera-t-elle que ce champ phi aura tendance peut-être après quelques oscillations à aller au minimum de cette fonction a or quel est le couplage alpha alpha est égal à la dérivée c'est-à-dire la pente mais si vous êtes attiré vers les minimums de cette fonction a ça veut dire que vous êtes attiré là où alpha est nul c'est ce qu'on appelait avec Sacha le principe de decoupling c'est-à-dire que naturellement un champ scalaire a tendance a évoluer en cosmologie vers un point où il se découpe de la matière donc le fait qu'aujourd'hui on trouve pas un champ scalaire n'empêche pas que peut-être il est très important au début en cosmologie au départ ça c'est un mécanisme possible il y a des versions qui ont été développées plus récemment c'est-à-dire si vous rajoutez des termes en potentiel en demi de mfi 2 ça change pas grand-chose sauf que ce qui va dominer c'est le minimum de ce potentiel là donc par exemple on peut être attiré ici à figue à la 0 et la fonction a pourrait être non plus un minimum et un maximum pour expliquer pourquoi et si vous prenez des potentiels du genre quintessence qui sont à un certain moment ont été un peu utilisés en cosmologie Corrie-Weltman ont montré que vous avez une situation où vous avez 2 vous avez cet effet-là qui agit et puis vous avez un potentiel de quintessence donc vous êtes attiré vers un autre point et vous avez une phénoménologie possible donc il pourrait exister un champ scalaire mais il peut y avoir des mécanismes qui font que le champ scalaire se cache et que naturellement au bout d'un moment s'il se cache tout le temps ça n'est plus intéressant de penser qu'il y a un champ scalaire mais bien la prochaine fois on parlera des tests en champ fort et dans les pulsardinaires merci