 Je remercie les organisateurs de m'avoir invité. Je suis très touchée de pouvoir parler à la mémoire de Jean-Marc Fontaine et Jean-Pierre Vintemberger. Alors pourquoi est-ce que j'ai choisi de parler de cet article qui date de 1983, donc le corps d'énormes de certaines extensions infinies de corps locaux ? Comme vous le savez peut-être, Jean-Marc Fontaine a été mon directeur de thèse. Et ma thèse apportée sur l'étude des figama modules, et justement la théorie du corps d'énormes intervient fortement dans la construction des figama modules. C'est une théorie que j'ai étudiée il y a presque 30 ans et qu'il y a un article que j'ai lu il y a presque 30 ans. Donc ça m'a fait plaisir de me replonger un peu dans ses souvenirs. Et d'autre part, cet article est aussi l'aboutissement de la thèse que Jean-Pierre Vintemberger avait effectué sous la direction de Jean-Marc Fontaine. Donc pour moi c'est une façon de parler de ces deux mathématiciens en même temps et de leur rendre hommage puisqu'il s'agit d'un travail commun. Donc pour illustrer le fait que ce soit un travail commun, l'article de Jean-Pierre Vintemberger a été précédé de notes aux crasses de deux compte rendus de l'Académie des sciences co-signées par Jean-Marc Fontaine et Jean-Pierre Vintemberger. Donc tous les deux, de février 1979. Donc le premier c'est vraiment le corps d'énormes. Et puis le deuxième, les extensions algébriques et corps d'énormes, des extensions APF, des corps locaux. Donc tout pour toutes ces raisons, j'avais envie de vous présenter ça. Et puis pour montrer aussi, pour illustrer aussi à quel point ils étaient mathématiciens ensemble. Et puis Amy, je voudrais aussi vous partager avec vous cette photo qu'on m'a proposé. Donc on les voit tous les deux dans la forêt du Donon, dans les Vosges. Et puis on voit qu'il y a une certaine complicité entre eux à l'époque. Donc cette photo date de 1991. Alors je l'aime autant plus que comme j'y ai rencontré tous les deux en 1989, c'est à peu près l'époque. Ça date de la même époque. Voilà, donc maintenant je vais me concentrer sur le corps d'énormes. Donc j'ai essayé de retrouver le contexte et de comprendre les germes de la théorie. Je ne suis pas sûre d'y être arrivée, mais je vais vous exposer mon point de vue. Alors à la fin des années 60, on étudie beaucoup les groupes de Galois, des corps locaux. Alors en particulier, en 1967, il y a la publication de H.G. Bregnambar, théorie de Kalsas et Freliche. Et puis juste un peu plus tard, la apparition en 1968 de corps locaux, de Serre. Et dans ces deux livres qui constituent un petit peu aussi le point de départ de ma thèse, la Bible. On étudie essentiellement les ramifications. Ce qui est important aussi pour la construction des corps d'énormes, ce sont les nombres de ramifications. Alors peut-être que je vais changer. Donc les nombres de ramifications et les sous-groupes de ramifications. Et en particulier, le caractère d'artine. Alors je vais juste vous rappeler brièvement de quoi il s'agit, parce que de toute façon ça va servir pour la suite. Si on a une extension L sur K galoisienne, où K est encore locale, finit. Donc on définit et G, on note G, le groupe de Galois, de L sur K. On définit une fonction Ia d'Ig qui va de G dans Z et qui a un élément du groupe de Galois associé à la valuation de G de pi ou à pi. Et le caractère d'artine, il est défini à partir de cette fonction G. Donc si G est différent et différent de I, il faut que je lui affiche parce qu'il y a toujours un problème de normalisation. Donc si G est différent de I, on associe I i indigé et pour G égale I, on associe la somme pour G est différent de I i indigé de G. Alors on peut montrer que cette fonction-là est un caractère. Et ce qui a beaucoup occupé donc Serre et Fontaine aussi à étudier la représentation d'artine, c'est justement comment caractériser la représentation qui est attachée à ce caractère. Alors je ne vais pas m'étendre dessus mais ça c'était un des sujets de recherche de l'époque. Et ensuite, en 1969, vous avez l'article de Seine dont il a été question ce matin. Donc l'article de Seine, je crois que j'ai la référence ici mais c'est pas la peine d'éteindre. Donc l'article de Seine, Anals of Math, dans lequel il généralise le théorème de Tate. Alors le théorème de Tate, on l'a vu ce matin. Alors la forme sous laquelle il le généralise est considère les invariants de Cp par le groupe de Galois de Kabar sur K. Donc là c'est la version du théorème de Tate que Seine généralise. Donc les invariants de Cp par le groupe de Galois de Kabar sur K, c'est K. Et la généralisation, si H est un sous-groupe, donc ça, ça va être le théorème de Seine. Si H est un sous-groupe de G, donc du groupe de Galois de Kabar sur K. Et si on a L les invariants de Kabar par H, alors les invariants de Cp par H, c'est le complété de L. Donc ça c'est ce que Seine montre aussi dans l'article Anals of Math. Et surtout pour démontrer ce théorème, ce que je vais retenir, c'est qu'il étudie les automorphismes de K. Enfin d'accord local K. Et en particulier il établit une relation de congruence qui va être très utilisée dans la construction du corps d'énormes. En tout cas dans les démonstrations qui suivent. Donc si on prend un caractère sauvagement ramifié de K, donc la fonction I dont j'ai rappelé la propriété tout à l'heure, c'est-à-dire I appliqué Hg à la puissance P, puissance N-1, c'est congru Hg à la puissance P, puissance N et sa modulo, puissance N. Donc ça c'est une relation de congruence fondamentale qui intervient dans le corps d'énormes. Enfin pour la construction et démonstration du corps d'énormes. Et donc parallèlement, en 1969, et bien Fontaine présente les résultats de scène. Je pense que je suis là, non, ça c'est bon. Fontaine présente les résultats de scène. C'est ce que j'ai oublié de dire, c'est non trivial. Pardon ? C'est pour non-travail, non-travail. Vous assumez que le G à la puissance P est non-travail. Oui, j'ai oublié ici. Si G est une identité, c'est à l'infinité. Mais oui, G est non-travail et assez magnifique. Non-travail, non-travail. Oui, oui. Donc Fontaine présente les résultats de scène dans un séminaire de l'Anche-Piseau-Pois-Tout. Et en particulier, les résultats sur les automorphies ne sont vachement ramifiés. Et ce qui est intéressant, c'est qu'on commence à regarder ce qui se passe en caractéristique paix. Donc, en caractéristique paix, on sait qu'il existe des automorphismes d'ordre infini sur un corps local de caractéristique paix. Et ce que donne Fontaine, c'est qu'il donne des conditions, donc sur les conditions pour qu'un automorphisme d'ordre infini soit limite d'automorphisme d'ordre fini. Et ces conditions portent justement sur les nombres de ramification. Et alors, en particulier, je crois que là, je voulais présenter le théorème. Alors, si vous ne le voyez pas, je vais le tindre. Donc en particulier, j'ai retenu ce théorème, où E est un corps local, un corps résiduel fini contenu dans le corps résiduel de K. F, alors une gamma extension totalement ramifiée de E, je vais vous expliquer après de quoi il s'agit. Et alors, ce que montre Fontaine, c'est qu'il existe un automorphisme sigma de K, où K, c'est le corps local de caractéristique paix. E, il est quelconque à priori, enfin, quelconque corps résiduel fini. Donc, il existe un automorphisme sommagement ramifié sigma de K, dont la suce des nombres de supérieurs de ramification soit la même que celle de l'extension F sur E. Donc, on voit déjà un petit peu, c'est là que commence le parallèle entre l'étude des corps locaux de caractéristique paix, enfin, surtout les automorphismes des corps locaux de caractéristique paix et les automorphismes des corps locaux de caractéristique zéro là. Il commence à y avoir un lien. Alors peut-être, je suis désolée, je vais juste... Donc, on voit le lien et je vais juste... Oui, c'est pas grave. Vous dire ce qu'il entendait par une gamma extension. Donc, si j'ai E, donc, un corps valué toujours à corps résiduel de caractéristique paix. Alors, qu'est-ce que c'est qu'une gamma extension ? C'est une extension F sur E, qui est la réunion d'extensions FN qui sont finies et finies, cycliques, totalement ramifiées d'ordre, bon, on va dire, enfin, une puissance de P. Bon, c'est même P puissance N pour FN. Et évidemment, pour qu'on a ces inclusions là, qui sont FN compris dans FN plus 1. Donc, on voit déjà apparaître, par exemple, la ZP extension psychotomique, tout ce qui va venir pour la construction du corps d'énorme. Donc, ça, c'est le premier... Donc, comme j'ai dit, c'est le premier parallèle entre les automorphismes des corps locaux de caractéristique paix et les corps locaux de caractéristique zéro. Et le parallèle se poursuit, donc en 1971, en le cadre du Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Fontaine, alors je vais vous présenter, il y a l'introduction. Donc, dans l'introduction de cet article, Fontaine, justement, présente le parallèle. Donc, on peut sembler s'il n'existe pas des liens entre ces deux sortes de groupes. Donc, c'est vraiment ce que va résoudre le corps d'énorme, comme on le verra tout à l'heure. Et donc, dans la troisième partie, donc peut-être je vais juste lire, donc lorsqu'on étudie les groupes d'automorphismes des corps des séries formelles, on constate de grandes analogies avec les propriétés des galois, des groupes de galois, des extensions galoisiennes des corps locaux. On peut se demander s'il n'existe pas des liens entre ces deux sortes de groupes. Et il va un petit peu plus loin. Donc là, dans cet article, il construit vraiment le corps des séries formelles associées à une extension APL. Donc, dans la troisième partie de cet article, donc il considère L sur K une extension, alors je reviendrai tout à l'heure sur des extensions arithmétiquement profinis. Donc il considère une extension arithmétiquement profini. Alors, à nouveau, donc de corps locaux, la caractéristique résiduelle est toujours P. Ça, c'est le point important. Et on considère donc G0, le groupe d'inertie. Alors L, en fait, donc en particulier, ça signifie que L est la réunion un petit peu comme tout à l'heure. En fait, c'est un exemple de gamma extension. On va peut-être se concentrer là-dessus, juste pour cette partie. Et donc il construit, donc il regarde, donc A indice N, la nôtre des entiers de L indice N. Et donc on a la norme qui va, donc la norme N qui va de LN plus 1 dans LN, qui va aussi, qui laisse stable les anneaux des entiers. Et comme vous savez peut-être, c'est la norme qui va nous certes, donc on va construire un anneau qui va être un limite projectif de certains anneaux. Alors ce ne sont pas, avec pour application de transition la norme, mais ce qu'on va regarder, donc il introduit une suite R indice N, qui est la partie entière, oui c'est ça, de P moins un N sur P. Et on regarde les cautions AN bar, qui sont les cautions de AN par l'idéal maximale PN à la puissance RN. Et il se trouve que, la norme induit amorphisme de A bar N plus 1 vers A bar N, donc les entiers RN sont choisis pour ça. Et donc on peut considérer la limite projective pour cette application, là pour la norme, des AN bar. Alors on obtient un anneau que fontaine notre Alamda dans son article et qui est en fait un anneau des séries formelles, de corps résiduel petit K, qui est un anneau des séries formelles, donc de corps résiduel petit K, qui est le corps résiduel de L. Donc ça c'est les prémices, on va dire, du corps d'énorme. Et puis maintenant on arrive à la théorie complète, donc je vais vous présenter, ah oui j'ai oublié, donc j'ai oublié le théorème. Voici le théorème, en plus, le groupe G opère fidèlement sur l'Amda, donc l'Amda c'est le corps, c'est le corps des fractions de Alamda, donc le groupe G, qui est le groupe de Galois de L sur K opère fidèlement sur l'Amda et s'identifie j'ai un groupe d'automorphisme du corps l'Amda et en plus on définit des filtration, enfin une filtration sur le groupe G qui est adapté au série formelle, qui est propre aux anneaux des séries formelles et qui est compatible avec la filtration de ramification supérieure. Donc voilà ce que démontrait Fontaine en 1971 et donc 12 ans plus tard il y a l'article de Jean-Pierre Vintemperger, en 1983, publié aux annales scientifiques de l'école normelle supérieure le corps d'énormes de certaines extensions infini de corps locaux, application donc c'est vraiment cet article maintenant dont je vais vous parler et je vais essayer de vous expliquer tout ce qui contient parce que finalement en le redécouvrant récemment je me suis rendu compte qu'il y avait déjà tous les ingrédients qui ont servi ensuite on va voir j'ai prévu de jongler maintenant je vais essayer de plus trop d'écrire au tableau ah oui c'est maintenant donc APF arrête arithmétiquement profini je viens donc maintenant on va essayer de vous expliquer la construction en évitant certains détails c'est sûr le corps d'énormes alors donc comme avant enfin k ça va être un corps local petit k le corps résiduel qui est de caractéristique p alors on note k bar une clôture séparable g k c'est comme toujours le groupe de galois de k bar sur k et si l sur k est une extension de k on pose enfin on note g l le groupe de galois de k bar sur k donc une extension de k évidemment continue dans k bar voilà donc ça ce sont les premières notations donc qu'est ce qu'on veut construire donc je veux construire le corps d'énormes une extension l sur k donc la première hypothèse c'est qu'l sur k doit être arithmétiquement profini donc c'est ce ce qui est abrégé en APF alors de quoi s'agit-il alors la définition la voici donc pour n'importe quel réel supérieur ou égal à 1 donc on peut regarder le groupe de ramification supérieure de g k enfin d'ordre u donc g k u alors qu'on est obligé de qu'on pose avec g l et donc ce groupe est ouvert dans g k donc ça c'est la condition c'est la condition telle qu'elle apparaît alors c'est non plus alors pourquoi on a cette condition mais comme ce groupe est ouvert en fait il correspond à une extension finie de k donc on a k u qui est les invariants de k bar par ce groupe g k u g l et bien ce corps est une extension finie de k et c'est qui permet de construire de construire une tour d'extensions donc une tour d'extension donc on a l g k n plus 1 k n k 1 je suis un peu coincée je vais continuer ici donc j'ai k 1 k 0 et k alors comme d'habitude l'extension k 0 sur k est non ramifié celle-ci est modérément ramifié et ce qui est intéressant c'est d'écrire à l'extension k n et cette extension est sauvagement ramifié et si si elle est galoisienne j'ai écrit en côté si elle est galoisienne moi j'ai pas d'hypothèse sur l'extension k on fait pas d'hypothèse qu'elle est galoisienne mais si jamais elle est galoisienne le groupe de galois il est le groupe de galois est somme direct de groupe cyclique d'ordre p en gros c'est c'est z sur pz c'est z sur pz à la puissance donc ça c'est c'est l'hypothèse et il y a une hypothèse supplémentaire que je vais peut-être pas annoncer sur la ramification enfin condition sur la ramification les nombre de ramifications la ramification est de plus en plus sauvage je pense que je vais pas je vais pas m'étendre dessus enfin c'est une condition qui est liée justement au groupe de ramification supérieure et en particulier qu'est ce que ça signifie aussi pour une extension d'être arithmétiquement profini ça signifie que la topologie définie par les sous-groupes de ramification supérieure est la même que la topologie usuelle de GK vu comme groupe profini ce qui est important c'est cette tour d'extension oui j'ai oublié elle c'est la réunion des KN pardon évidemment sinon c'est pas beaucoup alors sous ces conditions eh bien on peut construire XK de L étoile qui va être la limite projective des E étoiles qu'est ce que c'est que E étoile fini de K qui est contenu dans L et les applications de transition c'est la norme donc l'application entre E prime E et E c'est la norme alors donc le premier théorème que j'ai retenu de cet article alors évidemment on pose aussi XK de L donc on veut quand même avoir encore il faut rajouter le 0 donc XK donc le théorème qui est le théorème 213 XK de L c'est un corps local de caractéristique P et la construction fournit aussi un plongement du corps résiduel de KL dans XK de L et ce plongement induit un isomorphisme sur le corps résiduel sur le corps résiduel de XK de L donc c'est c'est ce qu'on a l'habitude de voir lorsqu'on regarde l'extension cyclotomique par exemple la tour d'extension cyclotomique construit exactement le corps d'énorme associé à l'extension cyclotomique et ce résultat on utilise constamment alors la deuxième comment on définit l'addition ah oui c'est vrai que oui on définit l'addition oui je sautais oui donc que ce soit multiplicatif c'est clair ah parce que j'ai oublié non je sais par après mais que ce soit multiplicatif c'est clair et effectivement il faut ajouter il faut définir l'addition et l'addition c'est l'addition repose sur des relations de congruence que vérifie la norme et c'est pour définir l'addition qu'on utilise ces propriétés sur la ramification qui qui induisent en gros je veux dire des bêtises si je l'écris donc je peux faire pas bien j'ai oublié l'addition donc pour la functorialité donc pour la functorialité si on considère M une extension de K non c'était L donc M une extension de L contenue plus fort alors on a si on a un automorphisme de L vers M oui bon là si c'est une extension de L on a une inclusion un amorphisme de L vers M donc ça induit un amorphisme de XK de L vers XK de M mais on a quelque chose de plus fort donc on définit XL sur K de M enfin c'est Jean-Pierre qui fait ça qui est la limite des XK de L prime pour L prime contenu entre L et M entre L et M et donc en particulier peut-être ça suffit si l'extension M sur K est finie XL sur K de M c'est exactement XK de M alors le théorème qu'est ce que j'ai X pardon M sur L finit oui c'est ça pardon si M sur L est finie XL sur K de M c'est XK de M donc la fonctionnalité donc je vais juste vous expliquer comment est-ce qu'elle est donc on peut l'avoir de deux façons sans en part d'une extension X prime de XK de L la première partie dit qu'il existe une extension M de L tel que X prime soit isomorph à XL sur K de M et la deuxième partie c'est dans l'autre sens donc c'est-à-dire que si je pars de M1 et M2 sont des extensions de L alors eh bien XK de M1 et XK pardon XL sur K de M1 et XL sur K de M2 sont des extensions de XK de L voilà et puis le dernier corollaire que je vais vous écrire comment est l'importance d'être c'est pas formulé comme ça ça viendra ça viendra après mais en tout cas si K bar est une clôture séparable de K qui contient L oui c'est toujours les mêmes hypothèses alors si on regarde XL sur K de K bar c'est une clôture séparable de XL de XK de L et en plus on a des groupes de Galois donc le groupe de Galois de X bar sur XK de L s'identifie au groupe de Galois de K bar sur L donc dans le théorème 1, X prime et algébrique simplement c'est ça mais c'est une extension oui oui toutes les extensions sont algébriques donc K bar c'est une clôture séparable de K qui contient L XL sur K de K bar c'est une clôture séparable de XK de L et donc identification des groupes de Galois c'est-à-dire le groupe de Galois de X bar sur XK de L s'identifie au groupe de Galois de K bar sur L dans le théorème il y a pas quelque chose sur les homomorphies donc oui oui donc après effectivement ça c'était ce que je voulais vous projeter donc c'est les les homomorphismes de L sur K de M1 vers XL sur K de M2 qui préserve XK de L s'identifie au homomorphisme de M1 vers 2 donc c'est une situation un tout petit peu plus générale de ça dont on a l'habitude puisque vous avez finalement plusieurs fonctorialités il y a L qui varie, M et puis en même temps donc il faut alors maintenant c'est la première partie de l'article et maintenant on va voir donc suivant les notations de Martin Berger alors c'est R chez lui c'est le corps je vais juste respecter les notations pour aujourd'hui donc c'est en général ce qui correspond à l'anneau R mais là il le définit comme le corps donc si j'ai un corps valué complet donc cette fois on part d'un corps complet toujours un corps résiduel de caractéristique P alors on définit comme on l'a vu ce matin R2E étoile qui est la limite projective des EN étoiles ou EN c'est E et l'application c'est l'élévation à la puissance P et comme avant on rajoute le 0 donc le théorème on a l'habitude R2E sauf que là on a construit le corps donc c'est un corps valué complet donc de caractéristique P et à nouveau la construction fournit comme tout à l'heure donc d'abord on a un plongement du corps résiduel de E dans R2E et ce plongement qui identifie le corps résiduel de E et le corps résiduel de R2E alors donc la démonstration de ce théorème utilise l'existence d'un système de représentants de KE dans E oui c'est ça donc utilise un système de représentants de KE dans E donc si E est de caractéristique P c'est juste c'est juste l'inclusion en quelque sorte et si 4 caractéristiques 0 il faut le tachumulaire mais du coup et ce n'est pas de valuation discrète non, oui il est et il est parfait aussi non, R n'est pas de valuation n'est pas de valuation discrète c'est pas que le corps de représentants n'est pas unique non mais c'est le représentant ce qui est utilisé c'est le représentant de KE dans E oui mais c'est pas unique dans le canon discrète je pense qu'on peut on peut avoir de ah oui parce que E c'est pas oui oui mais caractéristique P le rélevement de Tachumulaire est parfaitement ce qui est important c'est que le représentant existe le système de représentant existe effectivement pas forcément l'unicité et donc ensuite pour finir le lien entre entre ce corps R de E et le corps de norme alors pour établir le lien il faut une hypothèse supplémentaire donc je vais plutôt prendre R de L R de L chapeau donc on va prendre L sur K une extension arrhythmétiquement profini APF donc de corps locaux comme tout à l'heure donc je peux définir XK de L et alors pas de corps locaux c'est K qui est un corps locale et R de L chapeau L c'est l'extension enfin c'est l'extension et l'infini L n'est pas forcément complet donc c'est pas un corps locale donc on peut définir XK de L et R de L chapeau et pour pouvoir établir le lien il faut supposer de plus que L sur K soit strictement arrhythmétiquement profini alors la définition c'est une condition de strict positivité d'une limite inférieure liée aux fonctions Psi et aux sous-groupes de ramification supérieures donc peut-être qu'il faut juste retenir que c'est le K évidemment c'est le K des situations qu'on voit régulièrement donc c'est le K pour une extension finie galoisienne forcément la chose la plus intéressante mais c'est surtout le K d'une extension galoisienne dont le groupe de Galois est un groupe de lits péadiques donc en particulier par exemple le groupe de Galois est un groupe de lits péadiques et on suppose de plus que le corps résiduel est fini il suffit de considérer ces deux exemples et dans ces conditions on a un plongement on peut construire un plongement en général comme c'est L ou K c'est presque le même puisque L est totalement ramifiée sur une extension finie de K donc on va dire de KL mais c'est presque le même si l'un est fini l'autre est fini en tout cas pardon donc dans ces conditions on peut définir un plongement de XK de L dans R alors ce plongement ce plongement il repose sur le fait donc un élément de XK de L c'est une suite c'est une collection d'éléments alpha E où E est une extension finie de K contenue dans L et on peut regarder la suite la suite est alpha E pour R en un entier et E sur K plutôt une extension E n sur K de degrés divisibles par P puis sans saine donc si on note Q indice E n enfin qui indice Q indice E n de degrés de cette extension alors pour alpha E n je peux regarder alpha E n elle est puissance Q E n P puissance moins n donc pour chaque pour chaque n j'ai une collection ici et où intervient l'hypothèse c'est juste pour montrer où intervient l'hypothèse strictement APF ça permet de montrer que cette suite converge pour un entier je considère toutes les extensions E de degrés divisibles par P puis sans saine donc E n est fixé et donc E c'est une extension dans le degrés divisible par P puis sans saine donc je peux considérer ces éléments là et pour E donc une telle extension cette suite converge vers un élément X n qui est dans R de L chapeau non qui est dans L chapeau et ensuite maintenant la suite de C X n c'est un élément de R de L chapeau parce qu'on a tout fait pour que X n plus 1 à la puissance P ce soit égal à X n par passage à la limite voilà donc et c'est vraiment pour la convergence de cette suite qu'on utilise le fait que l'extension soit strictement arithmétiquement profilée alors pour finir donc le dernier résultat le dernier résultat de l'article donc on a ce plongement qui s'appelle lambda c'est qu'en fait lambda s'étend en un plongement de alors X k de L où on considère la clôture radicielle de X k de L et le completé de la clôture radicielle de X k de L donc ça continue à être un plongement dans R de L chapeau alors en fait Jean-Pierre a une version un petit peu plus plus générale parce qu'à nouveau il faut intervenir une extension M de L donc il y a une version un petit peu plus générale de ce plongement mais voilà et pour finir pour finir je vais juste vous montrer pour conclure le dernier théorème parce que j'ai prévu je n'ai pas prévu de l'écrire donc le corollaire 434 c'est celui que je viens de je ne sais pas comment faire que je viens de vous expliquer sans l'extension intermédiaire donc ici vous avez l'expansion intermédiaire donc ici vous avez la forme un peu plus générale et ce que je voulais surtout présenter pour une dernière proposition de l'article c'est le cas ou cas et de caractéristiques zéro donc là ce plongement permet de construire un homorfisme du corps de l'anneau des vecteurs de vite à coefficient dans l'anneau des entiers de R M chapeau vers A M chapeau donc ça correspond tout à fait à son la habitude le morphisme theta de W de R vers au C et la dernière proposition c'est on étudie le noyau de ce morphisme qu'on a l'habitude d'appeler theta enfin en tout cas dans les premières versions d'une des périodes péadiques donc l'anneau de ce morphisme est un idéal principal et puis vous avez une caractérisation de l'élément qui engendre l'idéal principal qui est tout à fait qui figure déjà ici c'est vrai que je n'avais pas autrefois je n'avais pas remarqué donc finalement cet article contient déjà beaucoup de choses pour la construction des périodes péadiques alors pour terminer je voulais mentionner très rapidement les applications alors pour la construction des périodes comme on l'a vu ce matin on regarde l'extension qu'à un fini sur K l'extension cyclotomique qu'à un fini sur K et puis on construit le corps d'énorme de l'extension cyclotomique et puis ce qui donne la théorie des figama modules et tout ces développements mais il y a d'autres on peut regarder aussi au lieu de regarder la tour d'extension cyclotomique on peut regarder une tour d'extension qui est formée par les racines paye de moins paix donc ça nous donne ça conduit au module de Braille-Kisine et pour finir je voulais aussi évoquer les perfectoïdes qui sont aussi une conséquence de cet article la théorie des perfectoïdes qui repose et qui généralise cet article de Jean-Pierre Martin-Vergier il y en a d'autres qui ont peut-être d'autres applications et qui connaissent mieux les sujets que moi donc ils peuvent apporter contre les sujets qu'une suite de corps possible c'était les racines paye de moins paix d'accord maintenant ça s'intervient mais pourquoi tu as dit moins paix je sais pas peut-être que quelqu'un peut parce que c'est ce que j'ai lu oui oui c'est écrit comme ça ? oui oui c'est ça ça doit être historique parce que pour les tournes de gorse par exemple c'est naturel il y a peut-être des raisons historiques qui me fait constatérer ça moins peut-être on aura de la réponse