 Retomamos entonces, capaz que lo primero sería comentar si alguna duda que haya quedado de la despasada, algo que pudieron revisar o no tuvieron tiempo de pudieron revisar, si y no, bien. Bueno, primero les hago un comentario medio rápido sobre esto y después hago algunos puntualizaciones sobre lo de la despasada. Lo que están ahí son 13, 13 poliedros que son semirregulares y un poco de eso es lo que vamos a hablar hoy. Bueno, ya vemos en un momento algunos detalles. Dos o tres cositas que quería puntualizar ayer. Una es que quizás lo dije un poco rápido, no sé si lo volvieron a pensar, el asunto del grupo de las simetrías del octaedro. Que habíamos dicho que la idea era tomar, pintar caras opuestas con un mismo color, caras hallacentes con colores distintos, entonces usando cuatro colores, quedan pintadas las caras opuestas con el mismo color. Entonces una cosa que capaz que está buena, porque es fácil, yo hice con bastante detalle el caso del do de caedro, pero este caso quizás mejor hacerlo primero para no tener que lidiar con tantas cosas. Y acá hice un dibujo, una aproximación de lo que sería el octaedro mirado de arriba, digamos. Entonces acá tenemos un color, no están todas las caras, pero tenemos seis caras, faltan dos que estarían abajo. Entonces tenemos un color, otro color, la cara opuesta que no está dibujada acá, esta tiene el color A, la cara opuesta esta tiene el color B, esta representa una cara, tiene el color C, C y estas otras dos que son opuestas tienen D. O sea, seis caras más dos que no se ven, que igual no hacen mucho el caso. Entonces habíamos dicho que una de las rotaciones que dejaban invariante al octaedro era una que tenía eje pasando por puntos medios de aristas opuestas. Entonces yo acá marqué lo que sería un punto por el que pasa el eje, lo otro estaría exactamente abajo. Adelante, adelante, está bien. Entonces cuál es el efecto en los colores, en el coloreado de realizar una rotación de 180 con el eje que es perpendicular al plano del pizarrón por este punto. ¿Cuál sería el efecto sobre el coloreado? El B y el A se intercambian y que pasa con C, C, D, D. Esta cara va para allá, está bien para acá, o sea que el color se preserva y lo mismo pasa con D. Entonces cuál es el resultado neto? Es que esa rotación lo que hace es dejar invariantes tres colores, perdón, dos colores y permutar otros dos. O sea que esto corresponde a una permutación de dos colores, de dos colores, en este caso A y B. Los otros quedan invariantes, o sea cambian las caras pero el coloreado que uno ve no se vio afectado en las caras laterales. ¿Siguieron? Pero entonces, si nosotros podemos intercambiar todos los colores porque tengo, para cada intercambio tengo una rotación. Sí, ¿viste como si uno tuviera una visión envolvente? Es un dibujo, no es riguroso, una visión envolvente. Miro por arriba y mire un poco al costado. Es para compensar que esto es muy chiquito. Bien, entonces tengo eso, pero eso lo puedo hacer con cualquier par de colores, ¿no? Voy cambiando los ejes y lo hago con cualquier par de colores. Entonces si puedo permutar cualquier par de colores, entonces en definitiva qué es lo que puedo hacer con el coloreado. Lo puedo permutar de todas las maneras posibles porque intercambiando dos colores yo consigo cualquier permutación de los colores. Eso capaz que conviene verlo porque puede parecer que es algo raro, pero es algo muy simple. O sea, miren esto, si ustedes tienen ABCD, una ordenación de los colores y ustedes quieren hacer DCAB, ¿no? ¿Cómo paso de acá para acá, ¿no? Por ejemplo. Entonces yo digo esto, o sea, no toca, lo hacemos por paso. Llegué a la permutación que quería. O sea, lo que estoy diciendo es que para los que no vieron grupos de permutaciones en realidad esa idea que ya como que la comenté la vez pasada es eso nada más. Haciendo intercambios de A2 puedo llegar a cualquier lugar. Y la paridad es si el número, o sea, la permutación es par, si el número de intercambios es par, y la permutación es impar, si el número de intercambios es impar. Ahí surge una duda de que es un enternicismo, y eso no lo vamos a brindarlo ahora, es que uno puede hacer esto de muchas maneras, pero esa paridad se preserva. O sea, si con una cierta cantidad de intercambios de A par, y con otros intercambios que lleven a la misma permutación, la cantidad sería de la misma paridad. Gracias Ramoncita. Perfecto, gracias. No, vamos con esto. Ah. Sí, quedó el ambiguo. Bueno, gracias. Dejo por acá. Tengo que tener cuidado ahora. Hola, ¿qué tal? Con los poliedros. Bueno, entonces, ¿quedó eso? O sea, son todos los... Si yo puedo hacer todas las intercambios de A2, puedo llegar a cualquier permutación. Entonces, ¿cuál sería el resultado final de esto? Creo que lo dije, pero capaz que lo dije un poco rápido ayer. La conclusión de todo esto, ¿cuál es? ¿Cuál sería? Dale. Bueno, el grupo de las simetrías directas del octaedro son... Son permutaciones de cuatro elementos. Vistos? Tractamente. Y la descripción, si la habíamos hecho detallada de cuáles eran los movimientos que se hacía. ¿Quedó? Bien. Entonces, esto era un comentario sobre el octaedro. Otro comentario que tenía es que una pregunta que no supe responder ayer, hoy la sé responder, la tuya. Porque, ¿qué pasa? La pregunta, recordámos cuál era tu observación. Del número de simetrías, parecía ser igual al doble de la cantidad de aristas. Y sí. O sea, la respuesta es que sí, para el caso de los sólidos platónicos. Y no voy a hacer el detalle, pero capaz que se los indico para que lo puedan hacer como ejercicio. Y es primero... Bueno, entendieron el enunciado, ¿no? Está, no lo escribo. Entonces, pasa lo siguiente. Por un lado, tenemos la fórmula de Euler. Vértices, menosaristas, número de vértices menosaristas más caras, igual 2. Y por otro lado, cada vez que ustedes agarran un... Pónganle que M es la valencia de un vértice. O sea, esto es para complexos regulares, ¿no? Valencia de un vértice, capaz que conozcan el concepto. ¿Qué sería? ¿Cuántas aristas llegan a un vértice? ¿Cuántas aristas llegan a un vértice? Entonces, la idea que capaz que nos sirve para algo de mañana, así que por eso la comento es, ustedes pueden contar las... las aristas de distintas maneras, porque si ustedes toman por caras, por ejemplo, en una cara, R igual al número de lados. En una cara, ¿cuántos lados hay? R. Y en todas las caras, hay el mismo número de lados. ¿Sí? Entonces, si yo multiplico el número de lados por el número de caras, eso que me da. ¿Me dará el número de aristas? Me da el doble del número de aristas, porque lo que estoy haciendo es contando cada arista dos veces, y es parte de la noción que tenemos de poliedro, que una arista está en dos caras. Entonces, esto es dos veces el número... ¿El número que escribiste de tarances? De aristas. Sí, gracias. Dígese y escribí. Sí. Ahí va. Bien. Pero, ¿puede hacer algo parecido con los vértices? Porque, como sería, cada vez una arista... Ah, con la valencia, perdón. Claro, de cada vértice, cada vértice se conecta con m vértices. Entonces, yo hago el número de vértices, que es b, y lo multiplico por m. Ahí me estoy aproximando, o sea, puedo relacionar eso con el número de aristas. ¿Cuántas veces estoy contando cada arista? O sea, estoy contando de vuelta cada arista dos veces, porque cada arista incide en dos vértices. O sea, es como dual, en algún sentido. Entonces, esto es dos veces el número de aristas. ¿Siguieron o no quieren que repita? Repito por las dudas. Miro por vértices. No tengo ninguno que me sirva. Ah, no, así. El icosaedro. Miro por vértices. Entonces, tengo r, sería 5 en este caso. Entonces, voy a tener 5 aristas que salen acá, de este vértice. Y hago lo mismo para cada vértice. Pero, si hago eso, estoy contando cada arista dos veces, porque cada arista está incidiendo dos vértices. Bueno, entonces, tengo juntando esto. Con esto, ese despeje no lo voy a hacer. Es un lindo ejercicio, pero sencillo. Sale la conclusión. Porque, claro, capaz que digo una cosita más. O sea, la forma en que nosotros contamos las rotaciones, tenía que ver con eso. O sea, bueno, gárralo de cadetro, que fue el que usamos. Creo que las rotaciones, o sea, centros de caras, es que es por centros de caras. Entonces, acá, eso tiene que ver con el número de lados del polígono. Y, después, es que es por el vértice opuesto y es la valencia. Ahí hay que sacar la identidad, siempre. Pero es una cuenta que se hace fácil. O sea, si quieren hacer un ejercicio sencillo, interesante, divertido, es eso. Así que, es verdad. Creo que el caso... Hay una cosa, la digo porque después va a reaparecer, que diferencia al tetraedro regular de los otros cuatro regulares, que es que el tetraedro regular no tiene cimetría central. Y todos los otros sí. Entonces, como que hay... A veces hay que discriminar un poco esa situación. ¿Me siguieron con esa idea? No tengo tetraedro acá, pero no tiene cimetría central. Y todos los otros sí. Este claramente sí. Y, bueno, el dual va a tener y el cubo claramente sí. Así que, creo que acá hay que estar atento a eso, pero, salvo eso, es una cuenta directa. ¿Sí? Bien. Entonces, todavía una pequeña digerción más antes de ir al tema, propiamente, de la clase de hoy. Quería ver, a ver, chequear un poco esto de las cimetrías de otro objeto, que es de otro poliedro. Este se llama, creo que es bastante conocido, el dibujo no está muy, muy sugerente capaz, pero sería un antiprisma. ¿No? Base cuadrada. O sea, todos polígonos regulares antiprisma recto. Polígonos regulares antiprisma recto. A ver si podemos visualizar las cimetrías. Díganme alguna que sea más o menos, algunas que sean claras. De centros de caras, de caras base y tapa. Ahí va, acá, esto. Ahí va. Ahí serían rotaciones de qué ángulos. Noventa. Bueno, ¿la creen? A mí me cuestionó un poco. Nunca lo había mirado bien, pero eso quería por lo menos sondear un poco a ver cómo estamos. ¿No? Noventa, 180, 270. ¿Y sí? Porque no miren el costado. Que marea. Miren el arrío y miren abajo, está bien. Chau, se movió bien el arrío y el de abajo, y lo demás está todo determinado. Marea. ¿Conforme es? Bien. Más, quiero otras. Son dos cuadrados, están vistos de arriba, están a 45 grados. O sea, están torsionados. Y después son triángulos equiláteros. Sí, el dibujo no ayuda mucho. Sí. O puestas, bueno. Habría que intentar imaginarse lo que tiene que ser. Voy a elegir alguna que sea más o menos sugerente. Parecería que esta. Esta. Perdón que elija yo, pero es lo que puedo ver acá. Y esta, ¿no? Punto a medios. Y entonces hacen. Ahí. ¿Qué ángulos tendríamos? Funciona, ¿no? Miren que va bien este lado, y va bien la base y la tapa. 180. Bueno, y acá en el otro habíamos dicho, 90, etcétera. Los múltiplos de 90. Está. ¿Sí? Y de esas hay, bueno, todos los ejes posibles. ¿Qué serían cuantos los ejes posibles? Para estas rojas, son cuatro, ¿no? Porque hay ocho lados laterales, así que son cuatro. Está. Y ahora, pregunto si hay más. Para, no te entendí. La base. Sí. Para ir a algunos. Para ir a algunos, claro. Y a ver si hay alguno. No la veo. Pero está bien el intento. Está bien. Bueno, yo creo que no hay más simetrías directas. Pero capaz que hay que hacerlo, cada uno tiene que hacer lo necesario para convencerse. Lo traería cuenta en realidad por otra cosa, que ayer me revisando la clase de hoy me inquieté un poco, pero creo que logré más o menos salir del paso. Porque hay un tema que es con esto que es el manejo de las simetrías no directas. Entonces, a veces no es fácil saber si hay o no. O sea, es como más, las rotaciones a mí por lo menos me resultan más fáciles de visualizar y de repente es bastante más engorroso saber si hay un movimiento inverso que deja invariante un poliedro. Entonces, en este caso, quería agarrar este caso por lo menos para empezar con esa inquietud, me gustaría saber si podemos encontrar un movimiento inverso que lo deja invariante. ¿Visto de arriba? Es una cosa así, ¿no? Sí, claro. Diagonal de una cara y mediana de la otra. Ahí va. Seguramente hay simetrías especulares. ¿Eh? Simetría central, decís que hay. Sí. Sí, capaz que sea más fácil. Simetría central. Y simetrías especulares. Queda un poco en el aire para ser revisado por cada uno. Este... Pero fíjense en que hay una cosa, porque un movimiento no directo podría ser... No tiene por qué ser una simetría especular. Puede ser una simetría especular compuesta con una rotación, con una rotación que no sea del grupo. Entonces, ya si tengo que ver eso, como que... Se parece que se complica un poco. Entonces, bueno, ese... ese comentario, ¿no más? Bien. Vayamos al... al tema de hoy. Simetría especulares. La noción que vamos a usar inicialmente de semirregular es cuál será. Si nos inspiramos en los dibujos que tenemos ahí. Después vamos a ver dibujos más coloridos, pero esto para enfocarnos bien primeramente en las ideas esenciales. ¿Los vértices? Sí. Parece que sí. Sí, parece que sí. Bueno, asumimos que las caras son polígonos regulares. Entonces este... Hay diferentes polígonos regulares. ¿No? A veces hay dos. A veces hay tres. Por ejemplo acá hay tres polígonos regulares. Un decaguano, un hexágono y un cuadrado. Y... para estar polidero que se usa muchas veces para la pelota de fútbol. Y... Y en particular... No sé... Estos de repente capaz que le llaman un poco la atención. Todos dos. No sé... El aspecto que tienen. Bueno, entonces... Venemos un poquito más lo de los vértices. Capaz que hay más que la misma cantidad. Sí. La misma configuración. Bien. Sí. Parece que sí, no? Echamos un vistazo rápido. Y... Y en algunos es muy claro. Este... No sé. Acá que dirían... Sigue pasando lo mismo. Tenemos la misma configuración. Y sí, no? Cuadrado de cago, no hexágono. Miren en cualquier vértice, cuadrado de cago, no hexago. Está? Bueno. Entonces, cuál sería una... una definición inicial, que después... un poquito más adelante, vamos a ver que genera algún... algún problema. Bueno, ah, la historia... O sea, en las notas comento algo, la historia de estos polieros semi-regulares muy resumidas es así. Parece que... Papus dice que Arquímedes los conocía, pero... materiales aparentemente se quemaron en el incendio de la Biblioteca de Alejandría, pero Papus, no sé, conocía eso y escribió sobre el asunto dándole el crédito a Arquímedes. Mucho tiempo después, Kepler, por 1.500 y pico aparentemente desconocía eso y los redescubrió y como que los estudió de manera sistemática. Así que pasó eso. Esa cosa... ese conocimiento quedó ahí dormido un montón de tiempo. En un grosso modo. Bueno, lo que... lo que quiero hacer es dar como un pantallazo de cómo uno podría llegar a partir de esa noción que dijimos recién, la misma configuración en todos los vértices y todos los polígonos que sean regulares, cómo uno podría hacer, más o menos, es el camino que hizo Kepler, para encontrarlos todos. ¿Tá? Entonces, bien. Hay una primera... vamos a mirar dos lemas que son muy sencillos. Primero, y después eso da lugar a todo un análisis de casos que obviamente no voy a hacer ese análisis de casos, voy a agarrar algún caso como ejemplo y lo vamos a mirar. Y después les voy a mostrar toda una cosa dinámica de cómo se generan estos poliedros. Primera pregunta. ¿Cuántas caras... ¿Cuántos tipos de polígonos mejor dicho, cuántos tipos de caras pueden incidir en un vértice? ¿Perdón? Tres. ¿Y cómo podría sintetizar un argumento? ¿O cómo lo pensaste? A ver. Los triángulos equilateros tienen o sea, tema 1. En cada vértice inciden a lo sumo... No, no te retractes. No te retractes. Tres caras... Tres tipos de caras. Claro, tipos de caras diferentes. Vamos a hacer enfáticos. Claro. Claro. La suma de los ángulos porque el triángulo... O sea... La hipótesis que está atrás, pero como la vez pasada hablé tanto de eso, no la dije, pero estos polígores, además de tener las caras que son polígonos regulares, tener la misma configuración de vértices que otra cosa tiene, son convexos. Todavía no me libero de la convexidad. Mañana sí, pero hoy no. Convexos. Bien, entonces son esas tres condiciones en realidad. Así que en un ángulo sólido convexo la suma de los ángulos que lo forman menor que cuánto. Eso es importante. Ahí sumamos, hacemos una cuentita. La seguimos para compensarnos. 60 por los triángulos equiláteros. 90 por los cuadrados. 108. Voy a sumar ya acá. Porque acá me da 8, 258. Y el siguiente sería 120. 378. Entonces estos tres pueden aparecer. Y otros bueno, en realidad ya estoy probando. Bueno, ta. Quedó probado que tres, no quiero ramificarme mucho en el análisis. Otros tres distintos van a sumar más que tengo que sacar el 60 y poner algo más grande. Y me voy. Bueno, capaz que lo dije medio rápido, pero creo que se entiende la idea. Bueno, así que ese es un primer lema. Pácil. Lema 2. Ahí hay unas configuraciones pero es fácil de argumentar, lo que es difícil de recordar. Es que a esta configuración bc con a impar y b distinto de 0 no es posible. Con esta representación quiero decir, esto es el vértice. Acá viene un polígono de alados. Acá viene un polígono de velados. Acá viene un polígono de celados. Entonces este fíjense en esto. Lo hago con un ejemplo, no más. Un dibujito con un ejemplo, para igual 5. Para igual 5 tendría acá el pentágono y entonces como es, voy a tener acá así, ¿no? 3 en cada vértice y entonces acá b, acá tiene que venir c acá tiene que venir el que me falta, que es b acá tiene que venir este c, que es el que me falta y acá tiene que venir, si voy por acá tiene que venir b pero si voy por acá, tiene que venir c. ¿Siguieron? Ojo con una cosa, que a mí me llevo un rato darme cuenta, que yo tengo que permitir que este orden se pueda dar vuelta porque si no, estoy poniendo una traba que no tiene sentido. O sea, acá parece abc y acá parece abc y esos dos son congruentes, esos dos vértices pero con un movimiento inverso. Se ve eso, ¿no? Pero claramente acá no hay solución para eso. Así que eso no es posible. La otra que no es posible es con 4 este sería el caso y el caso 2y sería ahora pongo que un caso en el que hiciden 4 con el 3abc y a distinto de c es imposible. O sea, son por la negativa son como para sacar casos. Entonces, ¿cómo es esto? Esto con un dibujito también sería el dibujito sería así, no? A ver si está bien esto. Acá está el 3 y tengo en cada vértice 4, 4, 4, así que el dibujito corresponde a eso. Entonces sería 3, empiezo acá este tiene que ser a este tiene que ser b este este tiene que ser perdón, si este tendría que ser a y este tendría que ser b no, a, b, c 3, a, b, c, 3, a, b, c y acá tengo 3ab b pero acá tendría que ser c. Bueno, si quieren pongo la introducción acá, porque o sea, viniendo por acá este tendría que ser b bueno, ya no me cerró porque ya tengo a y a opuestos que son iguales imposible ¿siguieron? Está como sobrado son como negativas así que salen directo Bueno, entonces lo que Kepler hizo fue después remangarse y revisar los casos posibles ahora lo que está bueno es que en realidad las configuraciones que sobreviven a esas limitaciones todas son realizables no, o sea que eso elimina lo que tiene que eliminar y nada más entonces quedó claro el concepto de configuración a ver, vamos a chequearlo, por ejemplo la configuración es fácil, por ejemplo este de acá la configuración cual sería la serie de numeritos 4 6 y 10 4, 6 y 10 claro, pero si lo miran acá es 4, 10 y 6 ya lo habíamos comentado bueno, muy bien entonces, un caso del análisis sigue la estructura porque lo que yo tengo que ver son las configuraciones posibles jugando con eso pero después de eso tengo otro paso más que cuál es y ver si se puede armar claro, que es el más importante o final o sea que esto es un análisis numérico para tener controlado los casos entonces el caso que yo había elegido es un poco se conecta con cosas entonces sería triángulos y con triángulos y pentágons solamente y ya se imaginan como hay que ir haciendo la casuística para tratar de abarcar todos entonces si podría poner un pentágono un pentágono cuántos triángulos puedo poner tengo que hacer la cuentita de siempre hasta cuántos triángulos puedo poner puedo poner hasta 4 sería 240 borré la suma pero 240 más 108 es 3 48 no más o sea hasta 4 triángulos bien entonces ahí, ahí empiezo a usar la listita que no es mucho porque entonces podría ser voy a escribir en vez de ponerla así las voy a poner en línea la configuración sería lo máximo sería 3 3 5 después podría ser 3 5 esta esta no sé esa anotación en vez de esto 4 en vez de ponerla así lo pongo así claro, hasta 4, perdón si, perdón me equivoqué, 4, quise poner 4 ahí va bien entonces 4 ahí surge la pregunta de si existe o no bueno, tenemos el diario del lunes acá y ese, a ver si está ese está, justo es el último está ojo, después les voy a mostrar cómo se llega eso, que es la parte más divertida pero ya lo tengo ahí en potencia sí era con polígonos regulares todos iguales todos congruentes no sé sí pero a ver era que si el polígero tenía todas las caras que eran polígonos regulares congruentes y estaban los vértices en una esfera entonces los ángulos diédricos eran iguales esas cosas eran equivalentes pero ahora estoy debilitando las condiciones del objeto hay una pregunta ahí, después la retomamos tenerla en la cabeza y veremos porque es importante pero no quiero debilar ya el misterio bien, entonces está, 3, 3, 5 esto me pueden decir cuál es les di una pista ove cuál era borré el dibujo puede tener toda la vista todo el tiempo borré el dibujo del antiprisma cuál era la configuración del antiprisma el antiprisma era 4 en la base y cuántos triángulos 3 entonces esto qué es un antiprisma con qué base? pentagonal bien, antiprisma con base pentagonal o sea este me salió barato, ya lo encontré de base pentagonal bueno, seguimos con el análisis cuál vendría 3 3, 5 3, 3, 5 pero 3, 3, 5 lema, qué lema se le aplica el lema 3 estos dos de acá no pueden ser diferentes no pueden ser diferentes, no es posible ver distinto de ese, entonces no por lema i si? bueno o sea un pentagono un pentagono contra triángulos ya estaría porque dos no puedo poner pues no cierro el vértice no cierro el poliedro así que siguiendo con este caso el caso grande es triángulos y pentagonos me queda un pasito más que cuál sería dos pentagonos y a ver cuántos triángulos bien dos pentagonos y cuántos triángulos la cuenta sería 2 hasta dos triángulos, está bien todos sabemos hacer esa cuenta y hasta dos triángulos hasta dos triángulos bueno, entonces en realidad el que quedaría los casos que quedan serían 3 capaz que lo escribo así 3, 3, 5, 5 y el otro es cruzados 3 3, 5, 5 a uno de esos dos se le va a aplicar alguna parte del lema bueno, la parte B del lema la parte B del lema es si tengo un 3 no puedo tener los hallacentes diferentes entonces ahí tengo un 3 no puedo tener un 3 y un 5 o sea esto es el lema 2B siguieron está y entonces quedó 3, 3, 5, 5 3, 5, 3, 5 diario de lunes está lo ven acá y cosi do de caedro triángulos y pentámalos y cosi do de caedro te lo puedo decir porque lo estoy leyendo si no y ahí bien ok bueno el videito el panorama primero bueno, esta es la página este señor Jim Olsen y que pasa o sea lo que quiero abordar ahora para que cambia abruptamente pero el análisis de caso sigue es largo es fácil pero es largo ya voy directo a la parte de la realización de los distintos casos uno haría una lista con todos los casos pactibles y va bien entonces resulta que aparecen todos los casos se pueden realizar y todos los casos si cada caso se realiza una vez por lo que les dije la vez pasada en realidad no hay más de una realización porque el teoría maésica de rigidez de koji que si el poliedro tiene las caras prefijadas y las incidencias dadas si hay uno hay uno solo rigidez si, siguen esa idea es otra idea importante eso es un trabajo de mostrar una cosa que la quiero decir porque me voy a olvidar al final es que todo esto está bastante inspirado en el libro que está en la referencia de las notas que yo escribí que es el libro de Cromwell es un libro excelente porque tiene mucha historia tiene un montón de información desde el 99 estaba muy actualizado hasta ese momento y no carga mucho en tecnicismos y hace las cosas a veces claro el problema que me está dando un poco de trabajo es que alguna cosa cuando uno quiere precisar tiene que remangarse y pasar a soltar algún obstáculo pero tal, lo recomiendo ampliamente es excelente bien entonces hay una primera no nos tenemos los trece hechos la lia hizo un montón algunos pero no están todos acá capaz que hay uno que es bastante sencillo de comprender lo deben haber visto lo conocían de antes como se como se podrá donde es que está está ahí gracias como se podrá fabricar ese se dan cuenta como sería claro ahí hay una pista ya el cubo le hacemos una truncar truncar que sería sacarle, recortarle este una parte del ángulo sólido en forma simétrica llevándose un vértice y parte de las aristas que inciden en ese vértice ese truncamiento hay que hacerlo por donde en que bien el medio de la arista porque no siempre se trunca de la misma manera pero ese es por el medio de la arista cubo y hago sección los ángulos sólidos bien capaz que podemos ver este otro truncamiento acá cubo truncado ahí hay otro otro truncamiento que creo que es más fácil todavía que este claro claro también puedo venir por el otro lado acá hay que truncar de manera tal de que pase que cosa que quede un triángulo siempre va a quedar equilátero sino trunca de manera simétrica pero tienen que quedar el octófono hay que truncar ahí en el lugar justo para que quede un octófono regular no, un tercio no porque te queda si pones un un tercio te queda pero es casi hay que corregir eso hay que mover ahí un poquito y queda ve eso y se queda feliz porque lo saco a todos así la pelota de fútbol donde estaba acá y cosa de otro truncado está bien no sé si lo logran ese se puede porque truncado por donde sería de vuelta con el mismo sistema este del casi tercio truncan acá y aparecen los pentágones y el triángulo genera los hexágones al truncar también bien pero la pregunta está claro que seguramente eso lo hicieron en la antigüedad ya lo hacían truncar hay un problema viejísimo que es el cálculo del volumen de la pirámide truncada el truncar era como una cosa que estaba muy utilizada para las construcciones pero uno podría decir entonces lo saco a todos truncando la noticia no sé si es buena o mala es que no, negativo no se pueden conseguir todos truncando entonces acá esta página después les damos la dirección porque cada uno de estos tiene un videito de unos minutitos que muestra la forma en que se obtiene entonces capaz que empezamos que habíamos dicho de ver el rombo o cubo octaedro sí porque esto demora un poquito en quién los platónicos vos decís cualquiera sí los otros bueno estás como aproximándote un poco a algo de lo que vamos a hacer si entendí más o menos bien lo que me dijiste o sea lo que vamos a hacer es deformar los poliedros de cierta manera en relación en relación a una esfera lo miramos y lo comentamos va a ser más corto ahí está presten atención a la deformación se dilata pero se generan nuevas caras se expande hacia una esfera radialmente del cubo que permanecen fijas y se generan esas otras caras nuevas entonces qué pasa en esa expansión radial arrancaste cuando estaba muy chiquito con un rectángulo acá y ese rectángulo este lado no se mueve, queda fijo el que se va estirando es este entonces en algún momento por una cuestión por un argumento de continuidad llega a ser igual al otro lado entonces se formó un cuadrado y lo mismo con el triángulo acá miramos de vuelta este es el mismo poliedro que se obtiene por deformación del octaedro ven que este vértice da lugar a un cuadradito en la expansión esa radial se llega en algún momento a ser un cuadrado y los otros son cuadrados también todos son cuadrados los nuevos que se generan acá son todos cuadrados no acá qué pasó, son el mismo son dos caminos para llegar al mismo es el mismo lo a ver me pareció que esto estaba en alguna forma conectado porque acá hay una esfera en realidad volviendo a tu pregunta Juliana qué es lo que termina pasando que ese poliedro está en una esfera porque ese proceso de expansión lo mantiene siempre adentro de una esfera entonces ese por lo menos quedó señalizan los truncados para no ir a ese caso que es el más trillado también les quedan que están metidos en una esfera capaz que vamos al panorama global ahí va acá en el panorama global el autor acá discrimina truncación y rectificación pero truncamiento y rectificación son en definitiva dos formas de truncamiento expansión es el que ya vimos y el otro nivel es el de es nubificación nubification cuál sería la traducción volver romo que sepan mi ingles es muy pobre a riesga de una traducción de esto volver romo no sé si ustedes coman ramón tienen alguna mejor bueno miramos capaz que el cubo romo que es ese ahí va eso es lo anterior presten atención ahí todavía no empezó claro acá esta es la variante esta cara que estaba acá rectangular ahora se fracciona en dos triángulos y no sé si ya se está apreciando ahí estoy mirando de muy cerca yo bueno, los dejo que dijera un poquito esto y lo comentábamos sé, es esto acá viene con el octaedro capaz de detenerlo ahí vamos a sacar o a ver alguien se anima a comentar un poquito que sacaron bien, claro, las caras se expanden radialmente se mantienen en su tamaño y se van torcionando a medida que se va produciendo la expansión se torciona, la torción en realidad se genera para qué esos triángulos que no son equiláteros porque quedan todos triángulos los rectángulos iniciales quedaron divididos en triángulos son triángulos escalenos pero en algún momento se van a poder volver equiláteros de vuelta por una cuestión de continuidad son dos variables las que están en juego la expansión y la torción no voy a ser muy formal en esto pero la manera de pensarlo sería una función de dos variables la expansión y la torción y por una cuestión de continuidad en algún momento voy a tener algún valor en que esos triángulos pasen por todas las deformaciones en algún momento voy a pasar por una situación en que los triángulos son equiláteros creen eso, van desde el cosito muy chiquito hasta uno muy grande donde los triángulos son muy grandes y en el medio van a tener que haber pasado por triángulos, son dos variables por triángulos equiláteros entonces este quieren quieren estar de cinco, tres, tres, quieren ver otro vemos uno más y decimos a ver si hay algo más para decir todavía el otro ahí va el de, sí, exacto que es el el que está allá, no? o sea, prueba de la existencia de aquel ahí va con el 2 de caledro empieza como recordándote claro para recordar el caso Pasi, ya va a venir ahí ya vino vayan pensando si de esto sale alguna propiedad relevante de estos poliedros quedó, más o menos, la idea este a ver, me gustaría chequear con la gente más experimentada los más matemáticos que están por acá el argumento que di de continuidad que eso es más o menos convencente, me lo llevan más o menos bien, no sé, yo también me gustaría tener una explicación con CISA quizás más persuasiva bueno este el que podríamos deducir de esto que vimos la que les preocupaba fuliana quedan contenidos en una, esto da un poliedro que queda en una esfera logran ver eso porque es el proceso, a ver, lo voy a decir términos intuitivos, cuando hacen la expansión están en una esfera y cuando torcionan como la torción es en el plano que es perpendicular, o sea manteniendo el plano que es un plano que es perpendicular al radio entonces esa torción no saca el polígono de la esfera la expansión lo deja en la esfera y la torción lo deja en la esfera y eso con todas las caras entonces queda en la esfera bien y por qué será importante que quede en la esfera conexión con alguna de las ideas de la vez pasada capaz que no no es tan evidente porque se pueden se pueden dualizar cómodamente la construcción que les comenté la vez pasada de para dualizar un poliedro se puede aplicar sin problema a a todos estos entonces junto con esta familia redescubierta por Kepler 13 más los prismas y los antiprismas aparecen los duales que son 13 más que son los de catalán pasaron 300 años entre el redescubrimiento de Kepler y la de catalán que uno lo mira así con las ideas de ahora que es muy fácil que dualizar tienen poliedros lindos ¿Estamos bien? Dale capaz que sí pero me superaste técnicamente me gustaría analizarlo bien eso capaz que lo que dije fue un poco grosero acepto acepto sugerencias para el futuro bien si no el análisis de los grupos de simetría es mismo esto ya te da pistas revisar la construcción yo creo que lo mejor es revisar la construcción esta y ahí sacas pistas para el truncamiento vas seguramente a preservar el grupo y para estos otros vas a estar cerca claro, lo que pasa es que capaz que puedo comentar una cosa sobre este caso este de donde lo sacamos del del do de caedro una manera de sacarlo con el procedimiento de simplificación fue del do de caedro entonces uno puede verificar que las simetrías directas del do de caedro las tiene pero una cosa que pasa que me inquietó ayer y en realidad no tengo un argumento contundente es que se dice por ahí, nunca vi la prueba que no tiene que este y Romo y el otro, el cubo Romo, no tienen simetrías no directas y yo lo que creo es que tiene que haber tiene que haber una manera abstracta fácil de ver que eso no es así que no sea una inspección de todas las situaciones posibles entonces tienen esa particularidad que capaz que ven como que la vista percibe cosas que no sabe, tiene algo diferente a todos los demás y tiene dos versiones porque cuando uno hace la torción se puede hacer siempre se torciona en el mismo sentido pero se puede hacer con las dos orientaciones entonces hay una versión de este poliedro y hay otra que es la imagen especular torcionando al revés se consideran que son el mí no sé si me fui mucho de tu pregunta pero más o menos anduve ahí bien a ver, Juliana, dime cómo estoy de tiempo porque así me administro si tengo una tengo cinco ahi va, te iba a pedir 10 bien porque quería mencionar otra cosa que es acá capaz que te pido que pongas los dos la transparencia que tiene solo dos seguimos un poquito con esto dos, dos la de dos la más chiquita ahí va este lo miramos ya el rombo cubo octaedro y este de abajo se parece bastante acá tengo los dos ah, bien y acá tenemos este le falta que un pedacito va no sé si quieren lo quieren mirar no sé ojo que bueno está complicado compararlo los dos esto generó generó en estos momentos como una polémica capaz que se puede subir un poquito que el de abajo un pelito perciben alguna diferencia se ven muy parecidos ¿no? está pero si analizan el de arriba el de arriba tiene como dos cinturones digamos así uno vertical y otro horizontal de cuadrados el de abajo tiene este cinturón acá pero no tiene el cinturón vertical porque una manera de conseguirlo es como desprenderle una tapa agarro el cinturón vertical prendo esta tapa y le hago una rotación ahí un desfasaje avanzo un lugar sigue entonces se genera uno que tiene, si ustedes miran tu idea de hoy el asunto este de las incidencias la configuración de los requisitos de hoy o no este poliedro o sea la pregunta sería este poliedro es semirregular en el sentido que definí hoy era polígonos regulares en las caras y incidencias configuración de vértices igual y si en los vértices que hay siempre hay tres cuadrados y un triángulo y entonces parecería que si bien la historia sobre esto dice que Kepler cuando dibujó dibujó 13 pero después por ahí en algún lugar decía que eran 14 y bueno y no sé cada tanto por ejemplo en los años 60 pareció alguien Miller que dijo no, está mal son no son 13, son 14 y encajo este ¿Qué pasa? en realidad si lo pensamos del punto de vista de las simetrías ¿Cuál a simple vista digamos cuál tendría más simetrías? el número por ejemplo parece que el de arriba porque acá le dice como una cosa que lo tranca un poco algunas simetrías este el de arriba tiene tal lo pueden verificar sin mayor problema si tienen un diseño mano o sea mirando no más un gráfico tiene las simetrías del cubo o del octavíedero y el de acá tiene menos las podríamos contar porque contarlas me permite hacer un argumento a ver si tengo que agarrar el bueno el malo digo el malo que es este y tenemos que contar entonces alguien logramos ver algo en este hay rotaciones sencillas que son así dejo el cinturón horizontal y tengo estas rotaciones que son de 90 ahí va entonces tengo rotaciones tendría de eje así 3 y después puedo veamos un poco más este tengo otras rotaciones también tengo rotaciones y yo vengo acá esto capaz que es más difícil de visualizar aristas opuestas puntos medios de aristas opuestas del cinturón y roto y roto ahí me la creen y esas son cuantas tengo 4 90 acá 4 180 horizontales y si si triangulos opuestos si pero acá en este no hay eso es en el otro claro acá eso quedó perturbado bueno yo lo voy a hacer corta si no inspeccioné bien y no hay más movimientos falta la identidad no hay más movimientos directos entonces ahora la pregunta es si hay movimientos inversos porque si hubiera alguno inverso yo ya sé suponiendo que tengo ocho simetrías directas supónganse en que eso es cierto créanme que es cierto este lo pueden corrobar a ustedes cuantas voy a tener directas y no directas en total si hubiese una el doble el resultado que comenté medio rápido la vez para ayer 16 posiblemente 16 simetrías en total acá yo lo estoy mirando mirando ese que está fijo hay simetrías especulares planos perpendiculares a la base por por ejemplo por los vértices opuestos del cuadrado acá de simetristar y girar eso es más compleja pero sabe bien sería directa el asunto de alguna manera nos convencemos para hacerlo breve que hay alguna esa creo que funciona mira la que más le convence entonces hay 16 16 simetrías a ver en total lo que apareció tengo que ir redondeando lo que apareció eso fue en los años 50-60 es como que dirimir este esta polémica y muchas otras cosas más usando el grupo de simetrías entonces en vez de usar de que la configuración en todos los vértices sea la misma lo que dijo es por qué no decimos que es transitivo en los vértices que el poliedro es transitivo en los vértices o sea que dado un vértice existe alguna simetría del poliedro que lo llevan cualquier otro transitividad en los vértices sería eso es importante la noción dado dos vértices tiene que existir una simetría del poliedro que lleve un vértice en el otro entonces qué pasa el de Miller no puede ser transitivo en los vértices tengo 16 simetrías bueno, tengo que contar los vértices ¿cuántos vértices hay? 4 arriba 8 8 16 24 24 vértices 24 vértices y 16 simetrías un vértice, a cuánto consuerte a cuántos lugares lo puedo llevar distintos a 16 15, no me alcanzan las simetrías para ir de un vértice a cualquier otro vértice con una simetría, entonces respuesta no, no califica no es semirregular con esa noción revisada de y esa sería la definición moderna de poliedro semirregular poliedro convexo transitividad en los vértices y polígonos regulares en las caras y esa es la definición y se allana la polémica bueno, se me fue todo el tiempo supongo alguna comentario breve si no, mañana empezamos