 آسانلکم لیکچر No. 12 کے ساتھ حاضر پھر سے ایک بار اب پچھلہ لیکچر تھا مرے خالصہ تھوڑا سا کمپیکیٹرٹ تھا اس میں کچھ ہم نے آپسٹریکٹ باتے گی تھی آپسٹریکٹ مہتمیٹکس کی تو ہمیں ان کو پہلے بھی گاتا ہے کہ آپسٹریکٹ مہتمیٹکس کی بات نہیں ہے لیمٹ کی جو ہم نے پچھلہ لیکچر میں بات کی تھی ایک دیفنیشن دیتھی مہتمیٹکل اس کا مخصد یہ تھا کہ تھوڑا سا آپ کو یہ بھی دکھانا ضروری تھا کہ مہتمیٹکس اسل میں پروپر کسم کی ہوتی کیا یعنی کالکلس کے بات جو ہم مہت کریں گے انالیسز وغیرہ اس بیسکلی تھی پریئیس لیکچر بیسکلی about that تو وہ تو ہم نے دیکھ لیا اپنے پریکٹرز بھی کی اس کی problems کی and everything تو اپنی کچھ اس کا اچھی پروگرس ہوری اس میں کوئی مسئل مسائل ہوں تو ابھی تک کچھ ہی مسئل بھی چکی ہیں مجھے اور آپ پہشتے رہی ہے اگر ہم آگے بر بھی جائیں لیکچرز میں تو doesn't mean کہ ہم پہلے کے سوالات نہیں دیکھ سکتے تو وہ ضرور اس کے دیکھیں گے اب آج کی لیکچر میں ہم یہ ہے کہ we don't have to worry too much about abstract mathematics ہوجی but it'll be basically normal mathematics جو ابھی تک ہم دیکھتے ہیں تو اس میں یہ ہے کہ continuity کے بارے میں بات کریں گے آج ہم continuity defined in terms of limits یعنی جو ہم formal definition دیں گے it'll be in terms of limits تو آئیے شروع کرتے ہیں اس کے بارے میں کچھ بات چیت کرتے ہیں اچھا جی تو continuity کی بات کرنے یعنی continuousness جو ہوتی ہے کسی چیز کی اس کو ہم mathematical point of view دیکھنا چاہتے ہیں تو اب مطلب intuitively speaking یا رفلی speaking ہمیں پتا ہے continuous کا مطلب ہے کہ جی مثال کے طور پر اگر آپ کے پاس کوئی میں آپ کو piece of paper دیتا ہوں ایک paper کا تکڑا اور ایک pencil اور آپ سے کہتا ہوں اس پر continuous line draw کیجئے تو obviously اس کا مقصد کہنے کہ یہ کہ آپ paper پر pencil لکھیں گے اور بغیر اٹھا ہے اس کو pencil کو you'll draw a line basically line یا کوئی graph something like that تو رفلی یعنی جو non-mathematical type definition continuity کی یعنی continuousness کی اس کو ہم continuity کہیں گے آج کے بعد تو وہ ہے کہ جی آپ کسی طرح سے اس کے اندر ایک روانی ہو basically اس میں کوئی break نہیں تھا اس میں آپ نے pencil اٹھا ہی نہیں اور پھر واپس رکھ کے line draw نہیں کی تو یہ نہیں آپ ایسے کرتے کہ آپ line draw کرکی اور pencil اٹھا کے پھر ایک اور چگہ سے line draw کرتے تو وہاں پر discontinuity کا idea جاتا تو رفلی speaking that's what continuity is تو اب ہم اس کو mathematically define کرتے we'll use limits limits کی technical definition is all taken care of we don't have to worry about that too much لیکن جو basically about that too much لیکن جو basic ideas and limits کی ان کو use کریں گے تو آپ اس پر دیکھتے ہیں what exactly is it that we're talking about in this lecture تو آج کی لیکچر میں ہم بات کریں گے continuity کی the idea is to develop the concept of continuity by examples first of all پھر ہم یہ کریں گے we'll give a mathematical definition of continuity of functions تو یہاں نہیں یہاں پر ابھی جو میں آپ کو ایک example دیتی کہ یہ ایک line draw کی اور وہ continuous line کی تو اب ہم continuity کی بات کریں گے تو it'll be in terms of functions basically جو ابھی تک topic ہمار discussion کرایا ہے so far تو ان کے بارے میں ہم بات کریں گے پھر ہم دیکھیں گے جی what are the properties of continuous functions یعنی first we after we have defined what continuity of functions is we look at the properties of the functions that are continuous then we look at the continuity of polynomials polynomial functions and rational functions and then we look at the continuity of functions that are compositions of other functions تو اور اس کے بعد آخر میں the last thing we look at is going to be well that's what we call the intermediate value theorem and it's a very important theorem with a lot of significance تو یہ لیے topics ہیں آج کے لیکچل کے شروع کرتے ہیں with continuity basically so how do we define continuity roughly speaking تو ہم نے کہا دیا کہ بھائی ایک pencil draw کی اس میں function کے طور پر if you want to say کہ drawing the line using a pencil was a function and if you draw it without lifting your hand off the paper we would call that a continuous function roughly speaking اگر آپ اپنا ہاتھ اٹھا لیتے pencil pencil کے ساتھ pencil کو اٹھا لیتے paper سے وابعا پیس کہیں سے رکھ کرتے تو اس میں ایک طرق break آ جاتا تو that would have been a discontinuous function ایک طرق کہا سکتے تو let's make it more formal let's go to the screen تو یہاں پر screen پر let's draw some pictures چاہر تصویریں آپ کے سامنے these are graphs of certain functions یعنی اس میں ہم یہ دیکھیں گے in functions میں in graphs میں will not look at the equations of the graphs but just look at the graph itself and we will try to give the idea of discontinuity first of all یعنی بجائے اس کے کہ we talk about continuity which we will eventually let's first of all get a feel for what it means for a function or the graph of a function to be discontinuous yeah discontinuous تو یہاں پر دیکھیں کہ these are 4 pictures اس میں جو پہلی والی اس میں this is discontinuous this graph in the first picture is discontinuous at the point c because f of x is not defined there تو مقصد یہاں کہ at the point c the corresponding y value which would be f of c is not defined at that point تو یہ basically وہی چیزہ کہانے والی جیسے ہم نے کہا تھا کہ if you draw a picture if you draw a line or a curve using a pencil اور ایک طرق point c پہاں کہ آپ نے اپنی پنسل اٹھا کے اور پھر سی کے بعد پھر سی لائن بڑا کرنا شروع کر دی تو یہ اس طرق کی دسکونٹنیوٹی ہے یہاں پہاں بی اور سی میں دیکھیں کہ یہ بھی discontinuous ہے even though f of x is defined at c لیکن یہاں پہاں مزے کی بات یہاں کہ اگر آپ ہم لیمٹس کی بات کر چکیں so notice that the limit as x goes to c does not exist in this picture یعنی اس پرکچر میں مسئل یہاں کہ بی اور سی میں اور right hand سے لیمٹ لیتیں تو آپ کے پاس لیمٹ جو ہے وہ does not exist فاہرہ کیس آتا ہے کیونکہ پہلے والے کیس میں بی میں picture b میں لیمٹس کی value دیفرنٹ آتی لیفٹر right سے سیکن والے میں indefinite unbounded نسا ہے یعنی your limit basically blows up towards positive infinity تو in this case also there's a break in the graph and we call the graph discontinuous part d میں یہاں پر بھی a discontinuity ہے کیونکہ یہاں پر زیارہ تصریر سے ظاہر ہو رہا ہے کہ break ہے go k function at the point c is defined لیکن it's somehow not making sense کہ یہ کچھ وہی پات ہے کہ break آرہا ہے گراف میں یہاں پر ہم یہ کہ سکتے ہیں نوٹ کریں limit کی terminology میں this graph is discontinuous because f of c the function defined at c which is which it is is not equal to the limit as x goes to c تو یہ کچھ چیزیں کچھ examples ہے آپ کے سامنے آہ which basically hopefully give you an idea for it means for a graph to be discontinuous تو یہ کچھ thought as a concept clae roofs کہ discontinuity کیا چیز ہوتی ہے what does it mean to be for a function or the graph to be discontinuous ہم آگے چلکے دیکھیں کہ لیکن ہم دیکھنا چاہتے ہیں، اگر ہم مدنظر رکھیں تو کچھ آئیڈیا ہے کہ ہم ٹیکنیکلی کیسے دیفائن کر سکتے ہیں یعنی فارمالی ہم دیفائن کر سکتے ہیں، دس کونٹنیوٹی کو اور اسی کو use کرتے ہیں ہم کونٹنیوٹی کو دیفائن کریں گے تو جسے میں نے پہلے بھی کہا تھا کہ پہلے کس میں یہ تھا کہ جی، فنکشن دیفائن دی نہیں تھا، at some point C یعنی ایک ہول بناوا تھا بای ویلیو اگسیس نہیں کرتی تھی تو وہ تو ایک میرے حال سے بڑا کلیرسی بات ہے کہ ہاں بھی یہ گراف جو دس کنٹنیوٹس ہے سیکنڈ کیس، سیکنڈر ثرد کیس میں کیا ہوا تھا؟ اس میں یہ ہوا تھا کہ جو گراف جو تھے وہ ایک طرح پہلے جو پارٹ بی تھا اس میں بریک آئی بھی تھی وہ بریک اس طرح سے آئی تھی کہ go کے function C پہ دیفائن تھا لیکن limit جو آپ لیتے تھے from the left hand side as x went to C and from the right hand side as x went to C did not match up تو یعنی limit جو تھا وہ جب ذائرہ left and right limits match نہیں کریں گے تو آپ کہیں گے کہ بھی یہ limit does not exist تو وہاں پہ بھی دس کنٹنیوٹی کا concept وہاں سے کلیرفہ ہوتا ہے کہ اس میں تب کر کرتا ہے جب limits left and right match نہ کریں ٹھیک ہے جی ایک تو یہ ہو گیا اور اس کے لیوہا ایک اور کیس یہ تھا کہ limit تو exist کر رہا تھا I mean the limits I'm sorry exist نہیں کر رہا تھا لیکن match up کر رہے تھے جب آپ left سے لیتے تھے limit or right سے limit لیتے تھے as x went to C تو limit does not exist کا مطلب وہاں پہ یہ تھا کہ وہ positive infinity آ رہا تھا تو limit exist نہیں کرتا تھا تو وہاں پہ بھی بریگ تھی گراف میں اور جو چاہتھا کے حصہ اس میں یہ تھا کہ limits کے حوالے سے دیکھا جائے تو f of c یعنی جو function c پر defined ہے اس کی value اور limit value تھی from the left and the right of the function as x went to C those two values did not match up تو یہاں پھر ہم تکنیکل ہو رہے ہیں کہ ہم دیفائن کر رہے ہیں کہ how do we go about creating a definition for continuity تو یہ چیزے اب ہم دیکھتے ہیں لسکین پر میں یہ چو چاہر چیزے دو تین چیزے بلکہ میں نے بولی ہیں بھی اسم کو لکھ دیتا ہوں for formality's sake تو یہ ہے بیسی کل کہ discontinuity in the graph of a function f of x at x equals c some point x equals c occur when the following things happen f the function f is undefined at c the limit سا یہ پہلی کنڈشن ہوگے سیکن کنڈشن ہے the limit as x goes to c of f of x does not exist یہ پارٹ بی اور c میں دیکھا ہم نے تیسی کنڈشن ہے the function is defined at c but the value of f of c and the limit as x went to c of f of x does not exist یہ چیزے ہم نے نوٹ کیا ہم نے ابھی لکھ دی میں نے دسکس بھی کیا تھا تھوڑے دیر پہلے اب انی کو ہم ایسا کرتے ہیں کہ استعمال کرتے ہوئے کنڈنیوٹی کی دیفنیوٹی میں آتے ہیں تو لیٹ می رہے داون on the screen again the definition of continuity تو here's the following the following is the definition for continuity it has three conditions which need to be satisfied for a function to be continuous so what we will say is that a function f is said to be continuous at a point c if the following conditions are satisfied condition a is that f of c is defined یعنی basically the function جو آپ کا وہ c کی اوپر defined ہے part b of the definition is that the limit as x goes to c of f of x exists یعنی left hand or right hand سے اگر آپ دیکھیں limits لیں ایویلیٹ کریں تو وہ دونوں برابر ہوں یا اور دوسرے یہ کہ unbounded decrease یا increase نہ ہو رہی ہو تو اس کا مطلب لیمت اxist کرے گا that's the second condition for continuity third condition for the continuity of a function is that the limit as x goes to c of f of x should equal to the function evaluated at that point c so basically limit as x goes to c of f of x should equal f of c تو یہ آپ کے پاس دیفنیشن ہے کونتنیوٹی کی this definition comes out of basically the things we looked at earlier جو چاہر گراف کے case بنیتے and this is basically how we will define continuity and this is how we will determine if a function is continuous or not at a given point c یعنی ساری بات وہ ہوتی ہے کنتنیوٹی when we say that a function is continuous کوششن ابھی ہونا چاہیے کہ کنتنیوٹی well at some point c تو ہم نے یہ دیفنیشن میں بھی یہی point رکھا ہوتا c x equals c اور وہاں پہاں ہم نے کہا تھا کہ function کو define کیا تھا کب ہوگا continuous اور کب نہیں ہوگا so that's what we have so far اگر function continuous نہ ہو c پے تو اس کو ٹکنکلی ہم کہیں گے c is a point of discontinuity یہ بھی ایک چھوٹی سی دیفنیشن ہے we'll keep that in mind اچھا جی تو یہ ابھی تک ہم نے جو دیفنیشن دیکھی ہے وہ ہے definition of continuity of a function at a point c ہم یہ بھی کہا سکتے ہیں کہ بھئی what if I gave you an interval اور پوچھا جائے کہ اس انٹرول پے function ہے وہ continuous ہے کہ نہیں تو ہم کہا سکتے ہیں اس کو ہم بولیں گے اس طرح سے کہ جی a function is continuous on the interval the interval could be anything a comma b اور اس کے لائے یہ بھی ہو سکتا ہے کہ آپ کا انٹرول جو ہے وہ پوری number line basically any interval minus infinity to positive infinity so let's go to the screen and make this a little bit more formal if f of x is continuous at all points in a given interval a b it's an open interval basically then we say that f is continuous on the interval a b similarly a function is continuous on the if a function is continuous on the interval minus infinity to positive infinity we call that function a continuous function یعنی بیسکل اس کے اندر کوئی انٹرول جو کیا وہ جو آپ کا تھا minus infinity positive infinity وہ ساری real number line basically ہے تو اس میں جو آپ کہتے ہیں کوئی function ساری real number line پر continuous ہے تو ہر point پر جو real number line میں ہے اس پر continuous ہے تو آپ اس کو کہتے ہیں it's just a continuous function basically تو یہ ترمینولوجی تھی انٹرول پر continuous ہوگا if a function is continuous at every point in that interval and if that interval happens to be the whole real number line well then of course you basically have a function that's continuous everywhere in a sense تو آپ کہتے ہیں کہ this is just a continuous function اس میں کوئی point کی رسترکشن نہیں ہوتی یا کوئی انٹرول کی نہیں ہوتی کیونکہ ظاہر ہے وہ سارے real number line پر یا real number انٹرول پر وہ ہے real number line پر بیسکل کہیں گے continuous ہے تو یہ ترمینولوجی ہو گئی آپ بہت ایک ایک سمپل کر لیتے ہیں اچھا بھی دو جو functions ہے سکین پر آپ کے سامنے f of x اور g of x ان کے بارے میں ان کی continuity کے بارے میں بات کرنی ہے سل میں تو کیا کہ سکتے ہیں اچھا اگر آپ function f of x کو دیکھیں تو نوٹ کیجئے کہ اس میں اگر 2 کی value ڈالی جائے x کے لیے تو obviously it becomes undefined I mean division by 0 کر ہو جاتی ہے تو you can't allow that basically so x will not be part of the domain for this function تو یہاں پر discontinuity آ رہی ہے because f of 2 is undefined and this is the first case یہی تھا کہ پہلے تو function آپ کا defined ہے یا نہیں یہ وہ چیک کرنا ہوتا ہے at a given point تو یہاں پر given point ہے 2 اور f of 2 is undefined therefore f of x is discontinuous at x equals 2 اچھا آپ g کے بارے میں بات کرتے ہیں تو g بھی discontinuous ہے 2 پر لیکن اس کی وجہ کچھ اور ہے وجہ یہ ہے کیوں کہ اس میں اگر آپ g کی definition دیکھیں تو obviously it's defined for x equals 2 it's defined to be 3 لیکن مزے کی بات یہاں کہ اگر آپ اس کا limit لیں گے as x goes to 2 of g of x that's going to equal to the limit as x goes to 2 of x square minus 4 divided by x minus 2 that's equal to the limit as x goes to minus 2 I'm sorry x goes to 2 of the function x plus 2 یہاں پر ٹی بری فرق کیا ہے اور وہ بیسیکلی آتا ہے 4 we've seen this before ہم کر سکتے ہیں اس کو بالکل ویلٹ تریکہ ہے لیکن یہ ویلٹی ہے جو ہے وہ برابر نہیں ہے g of 2 کے which is exactly what is one of the conditions for continuity so we basically say that the limit as x goes to 2 of g of x is not equal to g of 2 and therefore the function g of x is not continuous اچھا جی تو یہاں ایک سمپل تو ہم نے دیکھ لی کانٹنیو تیگی ہو گئی very good یہاں پہنے دیکھا کہ دونہ function discontinous تھے اور ہم نے definition سمال کی تھی continue تیگی to determine if the functions were continuous or not at a given point اور ہم نے انہیں اسی example اسی definition کو استعمال کرتے ہوئے show کیا کہ the function was the both the functions were actually discontinous at that point x equals 2 حجاب نوٹ کیجے بہت مزے کی بات یہ ہے جس میں یہ تھا کہ لیمٹ of f of x as x when to the point c should be equal to f of c یہ کنڈشن کافی ہوتی ہے for determining if a function is continuous or not اور اس کی وجہ سے فتنی سی ہے کہ جو ثرد کنڈشن اگر سیدسفائے ہو رہی ہے جو پہلی دو تھی آٹمیٹکلی have to be satisfied I think it's pretty simple to see that تھوہاں سوچیں گے تو it'll become very clear کہ تھوڑ کنڈشن انکیپسولیٹس all the conditions basically تو ہم عام طور پہ جب کنڈیوٹی فنکشن کی معلوم کرنا چاہیں گے تو we'll just use that part of the definition that'll be enough basically تو آئیے آگے چلکے دیکھیں اور چلتے ہیں اور کچھ ہے اس میں لیکچر میں آگے تو آگے چلتے ہیں تو دیکھیں کہ ایک زمبل کرلیتے ہیں بیسیکلی اچھا اس بار واقی میں ایک زمبل جو ہم میں کہا رہوں کہ ایک زمبل کرلیتے ہیں تو let's do an example I won't throw a theorem at you for a change تو ایک زمبل کرتے ہیں اس میں دیکھیں کہ کنڈیوٹی کیسے جو دیفنیوش ہے part 3 of the definition اس کو استعمال کرتے ہوئے ایک function کو دیترمین کرتے ہیں if it's continuous at a point or not let's go to the screen اچھا تو یہاں پہ یہ دیکھنا ہے کہ show کرنا ہے کہ یہ continuous ہے تو اس میں آپ کو definition شہر دیا دو جب ہم یعنی ہم evaluیٹ کر رہے ہیں بیسیکلی یہاں پہ کیا evaluیٹ کرنا چاہ رہے ہیں ہم یہ دیکھنا چاہ رہے ہیں کہ limit as x goes to c of f of x equals f of c ہے یہ صوصایاں میں جو جو جو ہم کنڈیوٹ شہر دوہاں ہے کہ ہم تچھوڑ حق ہے تو ہم چائے گا اللوہ پر کنڈیوٹ ہی جاتی ہے لیکن آپ کو یہاں او کہ جب ہم evaluیٹ کرتے تھے limits کو waiver'dے evaluیٹ کرتے تھے a polynomial function کے تو کیا ہوتا تھا سب سے پہلےوتے نوٹ کریں کہ جو function یہاں پہ دیاashing is a polynomial function وہا کیونکہ ہم کنڈیوٹ کیا evaluating a limit of this function as x goes to c ہی the same thing as evaluating the polynomial itself at the point c. so لہذا جب میں here پر میں لکھ سکتا ہوں کہ limit as x goes to c of x square minus 2x plus 1 is equal to c square minus 2c plus 1 using the fact that the limit of a polynomial is the same thing as the polynomial evaluated at that number or basically I am doneنہ니 میں نے کیا شو کی ہے46 کیونکہ کہ میں کی تقام ماہلخادری کھائے گا اور اس پولنومل کو شتا ہوں گا جو آپ پولنوملوں کو ہی معاہت مجھے پر ایک طلاف سکتی ہے اوپنی کا ملک ہے کہ میں کیا بھی کنیت فمکشن کے ساتھ کیا ہے حکم اگر بہترانیت کامیٹ کور اسکو پولنومیل کو at that point any point real number point تو دونوکی value ایک تیم لہذا that polonomial was continuous now we can show that all polonomials are continuous let us prove that if you go to the screen we will see that we have a theorem basically which says that all polonomials are continuous functions and we can prove this the proof is right اگر آپ اپنی بوک کھول کے دیکھیں اس تھیرم کو تو آپ دیکھیں کہ یہ فالو کرتا ہے اس تھیرم کا پشلے کچھ لکھ چیز میں دیکھا تھا تو تھیرم 2.5.2 جہاں وہ کہتا ہے کہ لیمٹ اس ڈیکس گوز تو c of p of x equals p of c where p is a polynomial c is any real number and well basically you're done i mean اگر آپ c کوئی بھی real number ہے تو by definition جو ابھی لکھی تھی ہم نے آپے تھیرم 2.5.2 سے تو prove ہو گیا کہ p of x جہاں یعنی polynomial جہاں it's a continuous function basically تو that was a good ڈیرم یعنی اب کافی آسانی زندگی جو آسان کرنے والی بات ہوتی ہے ساری تو mathematics کافی مقصد ہوتا ہے کہ you want to simplify things you want to say as much as you can right now and use it later basically for better things تو اب ہم نے ایک چیز یہ پروف کر دی کہ all polynomial functions are continuous functions so let's move on اب ایک ایک سامپل کر لیتے ہیں کہ کچھ functions کی basically کن continue کے حوالے سے let's go to the screen یہاں بھی دیکھیں کہ we have to show that the function f of x equals absolute value of x یہ ہم پہلے بھی دیکھ چکیں کہ the five function is basically a continuous function تو اس کی continuity شو کرنیے on the interval well actually in the interval minus infinity to positive infinity کیونکہ انہوں نے کہا ہے کہ it's a continuous function which means it's continuous on the real number line. تو how do we do that basically اگر آپ دیفنیشن یادے absolute value کی so remember that the function f of x equals absolute value of x can be written as x if x is bigger than equal to zero greater than equal to zero or it's minus and it's minus x if x is less than zero تو یہ ہم کئی بار دیکھ چکیں definition اب اس definition کو استعمال کر دے وے اور continuity کی definition استعمال کر دے وے ہمیں شو کرنے ہے کہ یہ function continuous ہے تو let's see how we can do this first of all we have to show that limit as x goes to c of f of x equals f of c for any real number c تو how do we do this the problem is the function is defined in two different ways let's start by picking a number real number c which is greater than or equal to zero well then we can see that f of c will equal c well this will just follow by the definition of f of x یا اگر آپ اس کی definition یہ ہے کہ اگر c is zero سے بڑائے اس کی برابر ہے تو اس کو اگر آپ ایویٹ کریں گے function کو تو it'll just be equal to that number itself اچھا بیہاں پر ایک اور چیز یہ بھی ہے کہ limit as x goes to c of f of x will equal to the limit as x goes to c of the absolute value of x but this will equal to the limit as x goes to c of just the function x and of course x is a polynomial so if you take the limit as x goes to c there'll be just equal to c itself which is the same as evaluating the polynomial x at c تو یہ میں نے لکھ دی equation لمجھ اور اسی بول بھی دی تو آپ سوچنے ہوں گے کہ یہ ہوا کیا اس میں یاد رکھیں کہ یہ ابھی ہم پھر سے دیکھیں گے جو میں نے لکھا تھا سکین پر صرف ایک point یہ تھا کہ یہ جو کنکلوشن میں نے ڈراو کی ہے وہ اس لیے کیا کہ c جو تھا ہم نے جو پک کیا تھا وہ ایسا real number تھا جو zero تھا یہ اس سے بڑا so basically I'm taking care of all the positive real numbers and zero چیک جی تو that's why I'm using the definition of the absolute value of x equals x when I take the limit یعنی جب میں value it کرتا ہوں limit تو میں definition سمال کر رہوں absolute value of x equals x because I'm approaching my x values are approaching c and c is a positive number تو آپ کیسے اپروچ کریں گے right یعنی آپ left and right ستو کریں گے لیکن you'll approach it from the positive definition جو جو positive values کی لیے definition the f of x کی وہ definition آپ سمال کریں گے that's what I've done and you see that that is the case کے واقی a limit as x goes to c of f of x is equal to f of c اچھا یہ تو ایک case ہو گیا let's look at it on the screen again تو یہ آپ کے سامنے لکھا ہے make sure you basically get a feel for this and understand what's happening اچھا اب یہ پہلہ پارٹ ہو گیا اب یہ ہے کہ x یہاں پر تھوڑی سی کچھ وہ کر لیتے ہیں discussion ابھی میں تھوڑی دے پہلے بھی کی تھی یہاں پر لکھ دیتا ہوں میں کے نوٹ کی جے کے x جو اپروچ کر رہا ہے c کو وہ x جہاں وہ ایک negative number بھی ہو سکتا ہے to begin with I mean the thing is that x may be a negative number to begin with but the point is that since it approaches c and c is a positive number or it's zero we have to use the first part of the definition of f of x to evaluate the limit یہ تھوڑا سامنے اس کے بارے میں پہلے بھی کاتا ہے I have written it down just to make it more concrete اور یہ definition جمہاں سمال کریں گے وہی تھی f of x equals x اور لحاظہ ہمارے پاس وہ رزلٹ آگیا جو ہم نے ابھی دیکھا تھا اچھا اب دوسرا case کیا ہوسکتا ہے دوسرا case ہوسکتا ہے کہ c جہاں وہ zero سے کم ہے یعنی چھوٹا ہے so basically c is a negative number c is less than zero now again we want to well see is less than zero so by definition of the function absolute value of x f of c will equal minus c and also when you take the limit you will get a limit as x goes to c of f of x equals limit as x goes to c of absolute value of x equals limit of x مطلبی اگر limit as x goes to c of minus x that's a definition of the absolute value and you get that limit will turn out to be minus c so اس میں اب کیا شو کر دی ہے basically ہم نے show کیا کہ جو limit ہے اور جو actual value a function کی وہ دونوں براہ پر ہیں تو اس میں بھی وہی point ہے کہ x میں بھی positive or zero to begin with but since it approaches c which is negative ہم second part of the definition سمال کرتے ہیں اور وہ definition ہے f of x equals minus x and the result follows just from that تو یہ آپ کی ایک ہوگی ایک example پوری تو of course لن بھی چاہر example تھی but we see that complicated functions can be you can determine if they are continuous or not just by using a very simple definition involving limits and just the evaluation of that function at a point تو یہ کچھ examples ہو گئی a properties دیکھیں of continuity of continuous functions and stuff like that تو let's go to the screen اب یہ ہے کہ جی ہمیں دیکھنی a properties of continuous functions یہاں پر تھیرم لکھ لیتے ہیں let's look at them in the form of a تھیرم تھیرم says basically اس کے کتنے ہم چاہر پارٹس ہیں اس کے اور اس کے اندر بیسکل ہوای بات ہے کہ اگر دو functions آپ کو دییں f or g and they're both continuous at a point c then you can say that the sum of the functions is continuous at c the difference of the functions is continuous at c the product of the functions is continuous at c and the quotient of the functions is continuous at c provided g of c which is the bottom function is not equal to 0 and is discontinuous at c if g of c equals 0 تو یہ آپ کا ایک تھیرم ہو گیا اس کی پروس بھی دیکھ سکتے ہیں let's look at some proofs basically let's go to the screen suppose f and g are continuous functions at the number c then notice that the limit as x goes to c of f of x will equal to f of c just by the definition of continuity similarly limit as x goes to c of g of x will equal g of c by definition of continuity again اور اگر منکہ پروڈک لنگا اور دو رو functions کا اور اس کا limit لنگا تو میرے پاس result آئے گا limit as x goes to c of f of x times g of x اچھا یہاں پر آپ کو یادوں لیمیٹ روز تو آپ ایسا کر سکتے ہیں کہ you can break this product limit of the product into the product of the limits and you get limit as x goes to c of f of x multiplied by the limit as x goes to c of g of x well we know that the functions are continuous therefore this result will equal to f of c times g of c and that is what we wanted to show اور ہم نے یہ پروف کر دیا کہ product of two continuous functions is also continuous تو یہ پارٹ بھی تو ہم نے پروف کر دیا اس کا باقی جو پارٹ سے وہ بھی اسی طرح کی سمپل سے لیمیٹ روز سمال ہو کے کر کے اور definition of continuity you can prove this very easily let's do an example اب بیسکل example ہم کرتے ہیں اور اس میں point یہ کہ rational function see continuity کے بارے میں کیا کہا جا پانی gesehen سکتے ہیں تو ہم اسی انہوں کو مجھے ذکر کاھی بات ہوئے ہیں کہ اسے کیا کہ اجاس میں کوئی حی still جا ادا ہر بھی اور اجاس میں کیا جاتا ہے کہ chúngصہ جانائے پر مجھے بھی کار کی سوال بھی کان yapıyor ان پیروف کے سامسی out کے دن دیا جانائی بہتados باقی جانائی بہت preventive دانائی بات ہوں کہ آہ اگر ہم چاہتے ہیں کہ جانائی بات جانائی بات ہوں کہ اجاز ہے کہ آہ جانائی بات انہوں کے سامسے ہر ساتے ہیں اور یہ سیپرٹ پیسیز، یہاں بہت کنٹنیوز کنٹنیوز یہاں بھی تھوڑے دے پہلے ہم نے پروف کیا تھا کہ پولونومیس جو ہوتے ہیں، وہ سارک ہر پولونومیس جو ہوتا ہے وہ ریل نمبر لائن پر کنٹنیوز ہوتا ہے تو اب یہاں پہ اس کنٹ، اس کنٹ کے بارے میں کیا کہ سکتے ہیں؟ ابھی جو تھیورم ہم نے دیکھا تھوڑے دے پہلے اس کی پروپٹٹی دی جو تھی اس کو ہم یہاں بھی استعمال کر سکتے ہیں کیونکہ ہم ہاں پہلے پہلے دو دیکوشنٹ ہوتا ہے اور دونہ فنشنٹ کنٹنیوز ہیں تو ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ ہی فنشنٹ ہی کنٹنیوز will be at all point c as long as g of c is not equal to 0 and that basically will tell you if that's the requirement basically here کہ bottom function جہاں جہاں پہ وہ 0 کی برابر نہیں ہے جن points پر اون points پر فنشنٹ as a whole continues ہوگا ہم دیٹرمین کر سکتے ہیں کہ where x square minus 5x plus 9 will equal to 0 well that's what we do just set it equal to 0 and then use the quadratic formula or factor it basically to find the values of x where this function h will be discontinuous well if you do the algebra and I'll let you do it yourself you'll see that the points are x equals 2 and x equals 3 which are basically the points where the function will be discontinuous اچھا جی تو اب آگے چلتے ہیں and let's talk about some more deeper aspects of continuity اب ہم بات کرتے ہیں continuity from the left and continuity from the right basically تو what does that mean مرحل سے سب سے اچھے طریقہ اس کو سمجھنے کے کہ پکشر دیکھ لیتے ہیں let's go to the screen یہاں پر سب سے پہلے تو یہ یاد کریں کہ definition جو ہم استعمال کی تھی اس میں continuity کی اس میں limit ہم نے لیا تھا without incorporating the end points یا ہم یہاں اسم کر رہے تھے کہ limit جو بہت from the left and the right inside exist کرتا ہے لیکن یہاں جت تصیر میں ایک basically لکنا چاہوں گا ات بنانا چاہوں گا اور یہ تصیر جب ہم بناتے ہیں تو اس میں دیکھیں کہ ان تصیروں میں بلکے یہ تین graphs ہیں اس میں جو پہلہ والا ہے اس میں limit اگر میں لیتا ہوں of the function f of x as x goes to a from the positive side تو problem یہ ہوتی ہے کہ یہ limits just make sense کرے گا at the right end point right end end point and that's the only way it'll make sense similarly جو سیکن والا جوگراف ہے اس میں اگر میں limit لوں گا as x goes to b from the left hand side that's the only way it'll make sense to take that limit اور جو part c اس میں basically I can take limits from both sides of both sides مطلب ایک a limit as x goes to a جو ہوگا وہ from the right ہوگا خالی اور بی جو ہوگا وہ from the left hand side ہوگا تو یہاں پر problem یہ ہے کہ we don't have the idea the concept of basically full two-sided limit basically یہاں پر جو تصویر ہے جو گراف ہے اس کے اندر صرف one-sided limit کا sense بنتا ہے left or the right سے تو یہاں بیسیکل کیا نکہ مقصدی اس طرح سے کہا سکتے ہیں کہ اگر آپ فگر دیکھیں تو graph of the function in the picture picture number a shows that f is discontinuous at a اور سمیلڈی graph of b shows that the function f in that picture is discontinuous at b and the graph of function in c shows that f is continuous at a and b تو ان سب چیزوں کا اور کچھ مدنظر اکتے ہوئے ہمیں تھوڑی سی definition جو ہے continuity کی اسے تھوڑا سا چینج کرنا ہوگا اور وہ ہم اس طرح کریں گے definition لکھ دیتے ہیں definition 2.7.7 کچھ تھوڑی سی لنبی definition ہے لہذا I will leave it up to you to read it basically اس میں یہی مخصہ دا ہے کہ end points کو incorporate کیا گے اور اس کو basically اگر پڑھیں اس کی جو ٹیکنیکل پارٹ ہے وہ میں آپ کے لیے چھوڑ دوں گا پڑھنے کے لیے مخصہ صرف یہیک in this definition a function f is called continues from the left at the point c if the conditions in the left column below جو میں لکھے those conditions are satisfied یعنی آپ left hand side سے continuity دیکھ رہے and that's the only sense that'll be made in terms of continuity for a graph that looks like part b in the picture we saw اور سمجھلہلی ہم کہتے ہیں کہ a function is continuous from the right at the point c if the condition in the right hand column are satisfied جو یہاں پہلی کھی مینی چے میں ہے اور ساتھی ساتھ ایک اور definition بھی آجاتی اس کے اور وہ ہے جی a function f is said to be continuous ایک اور اس کی وجہ سار ہے ہمکہ کھیا کیا کھن from ڈی کھن ایک اور تک لائی اور ایک اور جو تک ایک سرہی ایک اور جو چیزا ایک اور آجا ایک اور جو تک ایک اور جو ایک ایک اور جو چیزا اللہ اس کے سرہی آجا نا بار کے صرف ایک اور سرے جو چیزا تاکہ جو چیزا تو ایک ازمپل دیکھ لیتے ہیں یہاں پر تو یہ دیفنیشن میں نے دو لکھیں لگا تاہر ایک ساتھ تو تیک ہے it's a little overwhelming but let's do an example let's just do quick examples of these and see if کے ان دوڑا دیفنیشن سے مقصد کیا تھا those are important definitions so let's continue with this example تو function یہ آپ کے پاس a square root of 9 minus x square show کرنا ہے کہ یہ کنٹنیوز ہے minus 3 and 3 close interval تو اس کو کیسے شو کریں گے ابھی دیفنیشن ہمارے پاس ہم نے دیکھی ہے بھی 2.7 point 8 اور یہاں پہ ہم ایک اور تھیورم بھی استعمال کریں گے کچھ پریوز لیکچرز کا بیسکلی تھیورم number 2.5 point 1 یہ آپ کی تکس بک میں بھی ہوگا اور اس کا part e جو ہے تو اس کو استعمال کرتے ہوئے if you pick a number c in the open interval minus 3 and 3 then we have limit as x goes to c of f of x equals limit as x goes to c of the function which is 9 minus x square under the root اچھا پروپٹی استعمال کریں گے لیمیٹ کی تو ہمائے پاس آجائے گا root of the limit as x goes to c of 9 minus x square and that's going to equal to the root of 9 minus c square کیونکہ 9 minus x square polynomial ہے ہم evaluate کر سکتے ہیں 9 minus c square کی طور پر لیمیٹ کو اور ہمائے پاس root آجائے گا of 9 minus c square well that's just the same thing as evaluating the function which was given to us at the point c in that open interval so basically we have shown that f is continuous on the interval open interval minus 3 and 3 اچھا یہ تو کوئی بڑی بات نہیں ہم پہلے بھی کر چکے اس طرح کی ایک ایک سامپل اصل پرہوضم کیا پرہوضم یہ کہ اب جو ہمارا انٹرول ہمیں دیا تھا وہ کلوز انٹرول تھا اس میں 3 بھی شامل تھا اور minus 3 بھی شامل تھا تو اب ہم نے open انٹرول جب لیا جس میں 3 اور minus 3 انکلوڈٹ نہیں تھے تو we could use the definition of limit two-sided limit یعنی ہم نے x goes to c کر دی ہے اسوم کر دے بے کہ ہم move کر سکتے ہیں back and forth اب یہاں پرہوضم یہ کہ جب آپ end point پر آتے ہیں تو you can't move to the left or you can't come in towards minus 3 from the left or you can't come in towards positive 3 from the right تو اس کو کیسے انکلوڈٹ کریں گے وہاں پہ ہم idea use کرتے ہیں left-handed continuity and right-handed continuity گا so let's go back to the screen and look at that definition ہم نے دیکھتی left-handed or right-handed continuity کی اس کے ساب سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ limit as x goes to 3 from the left-hand side of the function square root minus square root of 9 minus x square is equal to the square root of the limit as x goes to minus 3 of 9 minus x square بوی پروپٹی سمال کی کی لیمٹ کی ہم نے ہم نے ہاں پہ اور result اس کا آتا ہے it's the same thing as it was 9 minus x because it's a polynomial ہے you can just take the limit by evaluating the function at that number 3 from the left-hand side or the result آتا ہے this is the same as f of 3 اگر 3 کی value evaluate کریں گے تو اس پورنومیل میں تو value آتی ہے 0 کی similarly یہاں پہاں گا limit لیں as x goes to 3 minus 3 from the positive side تو آپ کے پاس result آتا ہے limit under the root of 9 minus x square as x goes to minus 3 from the right-hand side which is the same thing as f of 3 equals 0 اب یہاں پہ سوال یہ کہ why are we approaching 3 from the left and minus 3 from the right that is a good question اس کا جواب کو چیون دے جا سکتا ہے کہ well draw the graph of this function and you will see why تو یہ نہیں کہانے کا مقصد یہ کہ this is an exercise left to you آپ اس کو اس function کا graph ڈاو کی جی اور آپ کو سمجھ آ جائے گا just by looking at the graph اس کو آپ نوٹ کریں گے کہ minus 3 پہ کیسے پروچ کریں گے اس میں ایکی طریقہ ہوگا پروچ کرنے کا from the right side and similarly for the other case تو سب سے اچھا طریقہ یہ کہ آپ دروکلی جی پکچر and convince yourself that's an exercise for you and we'll move on سو بیسکلی we have shown that f is continuous on minus 3 and 3 close in trouble بیسکلی تو یہ آپ کا definition جو ہم نے دو دیکھتی ہے ایک دم سے سامنے آئی تھی ہمارے ان کو سمال کرتے بھی ہم نے continuity prove کی اور ہم نے دیکھا کہ why where do we why did we need that definition of continuity from the left and continuity from the right وہ کبھی کبھی ہم اس کی ضرورت پڑھتی ہے and that example I think elaborated the point بیسکلی and now we move on to the next topic which is the intermediate value theorem that's go to the screen تھیورمز لکھ رہا ہوں او ساتھ ان کے کچھ فیگس بنا رہا ہوں تو these are supposed to basically convey the idea of the intermediate intermediate value theorem پہلے جو تھیورم ہے وہ بیسکل ہے ہی intermediate value تھیورم یہ تھیورم جناب کہتا ہے کہ if f is a continuous function on a closed interval a b then c well I'm sorry and c is any number between f of a and f of b یعنی the function f evaluated at a and b namely the end points of the interval a b inclusive then there is at least one number x in the interval a comma b close interval a comma b such that f of x equals c اچھا اس کے ساتھ یہاں پر پکچھر دور کر رہا ہوں میں اس پکچھر میں دیکھئے کہ well the picture is basically supposed to give you the idea of what the theorem is saying point یہ کہ اگر میرے پاس کوئی انٹرول دیا ہے a comma b close interval a اور b اس میں included ہیں اور a continuous function ایسا دیا ہے جو اس انٹرول پر continuous ہے تو اس میں مخصد کہہنے کہ یہ کہ اگر کوئی ایسا نمبر ہے جو c جو کے f of b اور f of a کے درمیان ہے تو that number c has to have a corresponding x value in the interval a comma b تو یہ آپ کا جناب ہے intermediate value تھیورم تو looks pretty simple but of this theorem is of very great importance آگے چل کے پرچہ لگی کیا ہے you can prove a whole bunch of you know immense theorems advanced calculus میں prove ہوتے ہیں multivariate calculus جو ہوتا ہے تو but we should look at it in more detail basically اس کی اگزمپلہ بھی کریں گے لیکن let's look at the next theorem also let's go to the screen اس میں دیکھئے تھیورم نمبر is 2.7 point 10 ہے it says basically that if f is a continuous function on the interval a comma b then and if f of a and f of b have opposite signs then there is at least one solution of the equation f of x equals 0 in the interval in the open interval a comma b تو یہ تھیورم آیا کنا سے this is basically a direct consequence of the intermediate value تھیورم جو ابھی تھوڑی دیرم نے پہلے دیکھا تھا سکینی پے اس کو میں نے پڑا بھی تھا اس intermediate value تھیورم کو ہم prove نہیں کریں گے of course it's kind of beyond the scope لیکن یہ کہ we'll take it for granted اور وہ اسی طرح سے take it for granted اسی طرح سے کیا کیا ہم نے کہ ہم نے کوہر تھیورم یہاں پر لکھ دیا جو اس کا direct result ہے and we'll use this resulting تھیورم to do one example actually. so let's do that example example یہ جناب کے function دیا ہے x cube minus x minus 1 equals 0 اب یہ ہے کہ اس کا solution معلوم کرنا ہے problem یہ اس پرانومیل کے ساتھ اس equation کے ساتھ کہ x cube minus x minus 1 cannot be solved easily by factoring اس کا کوئی quadratic formula بھی نہیں ہے ایک half formula لیکن کافی complicated ہے جو کہ use کیا جا سکتا ہے cubic's کو solve کرنے کا لیکن اس میں یہ دیکھیں کہ intermediate value تھیورم جو ہے اس کا جو consequence تھیورم ہم نے دیکھا تھا تھیورم 2.7.10 اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم نوٹ کرتے ہیں کہ f of 1 is minus 1 and f of 2 is equal to 5 اچھا negative one or 2 کہاں سے آئے یہ بس ایک دو نمبر زیں جو ہم استعمال کر رہے ہیں کیوں کہ یہاں پہ کوئی بھی ایسے نمبر استعمال کر جا سکتے ہیں جن کی resulting values جو function میں ان کو دالا جائے تو resulting values opposite signs کیا ہے اور کوئی بھی نمبر اس لیے کہ ہمارا function جو پرانومیل ہے it's continuous everywhere تو ہم کوئی بھی interval on the x axis استعمال کر سکتے ہیں یہاں پہ 1,2 میں استعمال کیے اور نوٹ کریں کہ f of 1 is equal to minus 1 f of 2 equals 5 and that implies that the equation has one solution in the interval open interval 1,2 اچھا جی تو یہ ہم نے show کی the existence of a root or the zero of this polynomial ہم نے معلوم نہیں کیا وہ کیا ہے لیکن for various examples in real life ہمیں یہ معلوم کرنا کافی ہوتا ہے کہ کیا ایسے کوئی solution ہے یا نہیں in a given interval and that is where this theorem can help us a lot تو یہ ہمارا آج کا last topic تھا اس میں آج کی لیکچر میں ہم نے basically continuity کی بات کی various types of function see continuity دیکھی left handed continuity from the left continuity from the right دیکھی اور پھر آخر میں intermediate value theorem اور its consequences دیکھے تو یہ لیکچر ہم یہاں پہ ختم کرتے ہیں do your homework as usual کچھ practice makes perfect کوئی سوال ہوں تو please feel free to email them and I'll see you next time in the next lecture تتھکلے اجارت اللہ حفظ