 Ya habéis visto cómo son los elementos del conjunto de los enteros módulo n. Veamos a continuación qué operaciones aritméticas se pueden definir con ellos. La suma y el producto de los enteros módulo m son operaciones de edad de la suma y el producto de los enteros. Así, dados dos enteros módulo m, a y b, que notaremos entre colchetes, en este caso para diferenciar de la notación de los enteros a y b sin colchetes, se define la suma de dos enteros módulo m, a módulo m más b módulo m, tomando un representante de cada uno, en este caso a y b, sumándolos y considerando finalmente un representante de la suma. De la misma manera, para la multiplicación, se considera la clase del producto de los factores de los representantes de cada uno de los factores módulo m. Así, por ejemplo, si consideramos z módulo 8 y queremos sumar 2 módulo 8 más 7 módulo 8, lo que haremos será sumar 2 más 7, 9 y considerar el representante en z módulo 8. Observar que para ello realizamos la división entera y el resto 1 será el representante a considerar. Para el producto, cuando calculamos el producto de la clase de 2 por la de 7, calcularemos el producto de 2 por 7 y consideremos al igual que hemos hecho con el caso de la suma el representante. Para ello, calculamos la división entera y en este caso obtendremos 6 como el producto de 2 por 7. Veamos otro ejemplo. Consideramos ahora z módulo 17. Si calculamos el producto de la clase de 3 por la de 15, el producto, ay, perdón, con más 15, la suma será 18, que módulo 17 será 1. Y si calculamos 3 por 15, el producto en z 17 será 45, que para considerar la clase de equivalencia correspondiente realizamos la división entera y obtenemos como resto 11, con lo cual la clase de equivalencia que consideraremos será 11. Así pues, 3 por 15 módulo 17 será 11. De las definiciones de suma y producto de los enteros módulo m que acabamos de definir, así como de las propiedades de los enteros que ya vimos en el módulo 1, se pueden deducir las siguientes propiedades para el conjunto de los enteros módulo m. Para comenzar, tanto la suma como el producto son asociativos y comutativos, lo que quiere decir que para cualquier terna de elementos a, b y c de z módulo m, se cumple la propiedad asociativa y comutativa, tal y como la definíamos para los conjuntos de los números del módulo 1. Observar que estoy notando los elementos de z módulo m de esta manera, sin corchetes. Como ya he comentado, solo lo sublizaré para clarificar o cuando nos pueda llevar a confusión. El elemento neutro para la suma es el 0. Recordad que estoy pensando en el 0 como la clase de equivalencia 0 módulo m. El elemento opuesto para un cierto elemento a de z módulo m, supongo que recordaréis el módulo anterior, es aquel elemento que sumado a nos da el elemento neutro para la suma. Ahora bien, ¿cuál es este elemento? Supongo que estaréis de acuerdo conmigo en que la clase m-a, y me estoy refiriendo a la clase m, es aquel elemento que sumado a nos da el elemento neutro para la suma. Supongo que estaréis de acuerdo conmigo en que la clase m-a verifica la propiedad, puesto que m-a más a es m, que en z módulo m es 0, puesto que es un múltiplo de m. Veámoslo con un sencillo ejemplo. Consideremos la clase de 7 en z módulo 11, y su elemento opuesto será 4, puesto que 11 menos 7 son 4. Observar que la clase de 7 más la clase de 4, tal y como os he definido la suma, será la clase de 11 que corresponde al a0. A la clase de 0 módulo 11. El elemento neutro para el producto será la clase de equivalencia 1 en z módulo m. En efecto, dado cualquier elemento de z módulo m, aquel elemento de manera que multiplicado por el no hace variar el resultado del producto, será forzosamente 1. Y finalmente, la distributiva se cumple al igual que lo habíamos definido en ocasiones anteriores, pero ahora teniendo en cuenta que tanto a como b como c, son elementos de z módulo m. Observar que estas propiedades dan al conjunto de los enteros módulo m, la estructura algebraica de anillo, al igual que pasaba ya con otros conjuntos que vimos en el módulo 1, como el conjunto de los enteros. Observamos cómo serían las tablas de multiplicar en el alillo de los enteros z módulo 2, en el de z módulo 3, z módulo 4, z módulo 5 y z módulo 6. Comencemos con z módulo 2. Recordad que estos son los dos elementos, 0 y 1. Y una tabla de multiplicar lo que consistirá será, representaremos multiplicando 0 por 0, 0 por 1, 1 por 0 y 1 por 1, indicando en cada cuadrado el producto correspondiente. Se hacemos lo mismo con z módulo 3, donde tenemos los tres elementos 0, las clases 0, 1 y 2. Lo que obtendremos será la siguiente tabla. 0 por cualquier elemento será 0, 1 por cualquier elemento será el mismo y 2 por 2 será 4. Pero si dividimos 4 entre 3 para saber cuál es su clase de equivalencia en z módulo 3, obtendremos que es 1. El mismo proceso en z módulo 4, donde tenemos estas 4 clases de equivalencia 0, 1, 2 y 3, nos llevan a la siguiente tabla de multiplicar. 0 por cualquier elemento continuará siendo 0, 1 por cualquier elemento será aquel mismo elemento y hemos visto que 1 era el elemento neutro para el producto. Y ahora si calculamos 2 por 2 será 4, que en z módulo 4 será 0 y 2 por 3 será 6, que en z módulo 4 será 2. Aquí obtenemos 0, 2 y de nuevo 3 por 2 que será 2. Acabamos diciendo que 3 por 3 será 9, que en z módulo 4, esto es el resto de dividir 9 entre 4 será 1. Os propongo que de la misma manera intentéis calcular paso a paso alguna de las dos tablas restantes. Es un buen ejercicio para repasar la operación producto que hemos visto al inicio de este módulo. Como habéis visto con estas 3, trata de multiplicar el par de números y encontrar la clase de equivalencia al calcular el resto de la división entera, ya sea por 5 o por 6, dependiendo del caso. Realicemos algunas observaciones en estas tablas que hemos calculado. Observar que tenemos en la primera fila y en la primera columna todo 0. Esto es así, puesto que a por 0 y 0 por a será 0 para cualquier valor a de z módulo m. Lo que llama la atención es que en algunas de las tablas no hay más ceros que esto, digamos, los esperados. Y en cambio en otras sí que hay más ceros. Por ejemplo, en la tabla de z módulo 4 vemos que 2 por 2 vale 0 y que en la de z módulo 6 tenemos estos 4 de aquí, que se obtienen de calcular 3 por 2, 2 por 3 y 4 por 3 y 3 por 4. Hemos visto pues que 2 por 2 es 0 módulo 4 y que por ejemplo 4 por 3 era 0 también módulo 6. Definimos de la siguiente manera dados 2 enteros módulo m, no nulos, si el producto de ellos es 0 diremos que son divisores de 0. Nos podemos preguntar lo siguiente, ¿A qué valores de m el anillo z módulo m tiene divisores de 0? Volvamos a la imagen anterior donde tenemos las tablas de multiplicar. Mirando las tablas observamos que las que corresponden a m igual a 4 y a m igual a 6 tienen divisores de 0 mientras que las que corresponden a 2, 3 y 5 no tienen divisores de 0. Os dejo un segundo para que penséis en qué diferencia puede haber en este par de conjuntos. Esto es entre 2, 3 y 5 y 4 y 6. ¿Qué pueden tener el conjunto de 2, 3 y 5 versus el 4 y el 6 que los haga diferentes? Bien, la diferencia será que aquellos m para los que el anillo z módulo m tendrá divisores de 0 será cuando m es un número compuesto. Esto es, no es un número primo. En todas las tablas de multiplicación vemos algunas unidades y así iríamos marcando todas. Espero no haberme dejado ninguna. Pero observar que no todas cumplen que para cada entero no nulo existe otro entero de manera que el producto de ambos sea 1. Por ejemplo, tendríamos esta de aquí o bien esta o esta. Recordad que es lo que llamábamos elemento inverso. Algunas sí, como la del 2, el 3 o el 5 cumplen que tienen, todos los elementos tienen un elemento inverso. Mientras que la del 4 y la del 6 vemos que para algunos elementos no es cierta esta propiedad. Es decir, 2 en z módulo 6 no tiene elemento inverso. Así pues, si nos preguntamos para qué dado un valor a cuando este elemento a de z módulo n tiene un elemento inverso que recordad que notábamos de esta manera, la respuesta es la siguiente. Si del máximo común divisor de a y m es 1, automáticamente existe este elemento a tiene un elemento inverso. Si os pregunto cuántos elementos tienen elemento inverso en z módulo m espero que más de alguno de vosotros me dé la respuesta de phi de m. Recordad que justo era esta la definición de la función phi de Euler. A ver aquí, la importancia que tiene esta función que definimos al inicio del módulo y que parecía relacionada con los números primos y no solo con ellos, sino que veremos también con la aritmética modular y con ello, con la criptografía. Y una última pregunta que os quería lanzar es ¿qué ocurre si el número m es primo? Si el número m es primo tendremos que cualquier elemento de z módulo m diferente de cero, esto es no nulo, cumple que tiene un elemento inverso. Así vimos que el conjunto de los enteros módulo m tenía estructura de anillo para cualquier m entero pero además hemos visto que si un tal m es un número primo y lo denotaremos p para referirnos a él cualquier elemento no nulo de z módulo p tenía elemento inverso o lo que es lo mismo la terna de z módulo p con la suma y el producto tiene estructura de cuerpo en ocasiones notaremos z módulo p de esta manera o bien de esta otra para denotar al cuerpo finito de p elementos y estamos a punto de finalizar esta breve introducción a la aritmética modular pero antes veamos si habéis comprendido las bases de la aritmética modular estamos lanzando la siguiente pregunta dada la tabla de multiplicar de z módulo 7 cual de las siguientes afirmaciones no es cierta y aquí tenéis tanto la tabla como las tres posibles afirmaciones, remarcamos que lo que estamos buscando es cual de ellas no es cierta recordad parar el vídeo si lo consideráis necesario pasamos a la respuesta bien, observar que la primera no es correcta puesto que efectivamente el inverso de 3 módulo 7 es 5 la segunda si que lo es puesto que 4 por 2 sería 1 pero no sería 4 módulo 7 y finalmente la tercera también es correcta puesto que el inverso de 5 no es el mismo en z módulo 7 3 como vemos aquí y acabamos proponiendo os que calculéis las siguientes congruencias los cálculos son sencillos y lo que pretendemos con ellas es que cojáis cierta agilidad con la aritmética modular remarco que es especialmente importante que os sintáis cómodos con las operaciones y la notación puesto que en el resto del módulo y en algunos momentos del módulo 3 haremos un uso extensivo de ellos