 Bonjour à tous, je voudrais d'abord vous remercier les organisateurs de m'avoir donné la possibilité de parler aujourd'hui. Je vais écrire le titre en français, mais je vais faire mon exposé en anglais. Je vais vous parler, je me répète, de l'ère de Lévi avec Rift, comme limite renormalisée, de Chande de Markov sur Grave Periodique. Il y a beaucoup de choses dans ce titre, c'est une sorte de fourre-tout. Du coup, on a beaucoup de mots-clés de différents domaines, ce qui fait bien sur Archive, par exemple. Mais de fait, j'aurai si j'ai le temps en seul résultat, intéressant à raconter, donc ce serait pas très intense. Je vais commencer par un petit exemple. Si vous avez une marche aléatoire sur Z2, marche aléatoire simple, je vais essayer de la dessiner, je vais dire, elle fait ça. Vous savez que cette marche aléatoire renormalisée converges vers le mouvement mprognant, c'est le théorème de Don Scare Classic. Maintenant, imaginez que vous prenez la même marche aléatoire, c'est-à-dire, à la base, une somme de variables aléatoires indépendantes sont très de variances 1, mais qu'à chaque pas, vous rajoutez une petite boucle déterministe qui fait toujours la même. Vous arrivez au même point, ensuite vous refaitez un pas, vous rajoutez la même boucle déterministe. En fait, je vais commencer à parler en français. C'est les habitudes qui sont dures à tuer. Vous refaitez un pas, vous refaitez une boucle, etc. Alors, à la limite, ce machin-là, il va se comporter exactement comme une marche aléatoire simple, sauf que sur le mouvement mprognant limite, vous allez avoir un ralentissement dans le temps. Donc si cette marche aléatoire, vous allez l'appeler SN, donc son variable aléatoire indépendante, et ça, ça va être STILD-N, vous aurez que STILD-N sur racine de N va converger vers le brunian en distribution, et le STILD-NT sur racine de N va converger en loi vers un brunian qui va être ralenti dans le temps. En fait, la seule différence, ça va être sur ralentissement, ce qui est cohérent parce que c'est comme si vous restiez dans un point pendant un certain temps, c'est-à-dire pendant un cas de pas de temps. Donc de fait, du point de vue des limites, il n'y a quasiment aucune différence, c'est une constante multiplicative près, et donc les gens qui étudient la convergence des processus, d'habitude, ils sont contents et ils s'arrêtent là. Mais on peut aussi se poser la question, est-ce que c'est la même limite, est-ce que c'est vraiment la même chose ? Et, encore une fois, si vous regardez que la convergence des processus, on va dire, en gros, oui. Par contre, si par exemple, vous allez utiliser les processus limites pour approcher des équations différentielles ou des intégrales, là, vous risquez d'avoir de mauvaises surprises parce que souvent, votre processus, la convergence va casser, c'est-à-dire, vous allez vous rendre compte qu'en fait, cette perte d'information, c'est-à-dire qui ici résulte dans le fait qu'à la limite, on ne voit plus ces boucles qui n'apportent rien aux trajectoires, de fait, cette perte des informations, elle peut jouer un rôle décisif pour pouvoir définir, par exemple, une intégrale ou une équation différentielle lorsqu'on veut les approcher par des processus continuants. Donc, en fait, cette perte d'information fait que la convergence casse à un moment donné. Et donc, pour pallier ce problème dans les années 90, Lyons, qui n'est pas le même de l'exposé précédent à cette hérie de Lyons, a introduit la théorie des chemins rugueux, ce qui est en anglais ces rough paths. Et alors, il s'est dit justement, l'idée, c'était à la base, était très simple, il s'est dit, comme le problème, c'est la perte d'information, on va créer des objets enrichis, c'est-à-dire, on va prendre un processus XT, qui est un processus, par exemple, dans RD avec D plus grand que 2, parce que c'est à partir de la dimension 2 que ça devient intéressant. Et on va lui associer un processus enrichi dans un autre espace qui va être le chemin rugueux qui correspond. Alors, comment est-ce qu'on construit ce processus ? Bah, puisqu'il est enrichi, il faut avoir, il faut qu'il ait plusieurs niveaux. Alors, le nombre de niveaux dépend de la régularité de X, par exemple ici, c'est la régularité, si X est de régularité alpha, alors régularité, il faut entendre alpha-holder. Par exemple, typiquement on prend alpha dans 01. Bah, pour que vous enregistriez toute l'information qui est nécessaire pour être sûre de ne pas perdre l'information à la limite, il faut ici, en nombre égale à 1 sur alpha, enfin, partie en tiers de 1 sur alpha plus 1 niveau. Alors, maintenant, comment on le construit ? Bah, tout simplement, vous prenez, vous définissez ça, le XST, qui est une sorte d'accroissement, enfin, à peu près, puisque pour le chemin rugueux, la différence n'a pas vraiment de sens. Vous définissez ça comme un objet, comme une séquence finie, comme un objet à quelques niveaux. Donc, premier niveau, ça va être une constante neutre que d'habitude on oublie, enfin, on la note pas toujours. Le deuxième niveau, ça va être tout simplement les accroissements de votre processus de base, donc, excessement XT. Et ensuite, si jamais votre 1 sur alpha dépasse 2, donc si c'est plus grand égal que 2, le troisième niveau, ça va être une intégrale double, enfin, je rappelle que, donc, là, X est en dimension plus grand que 2, donc, de fait, XT c'est, enfin, X c'est X1, X2, XD. Donc là, ça va être tous les intégrales doubles possibles de SAT et de SAU, de XI, il ne faut pas que je... que j'écris n'importe quoi, de XIV des XJU avec I, IJ entre EN et D. Donc, en fait, vous allez avoir une matrice. Alors, le troisième niveau, ça va être la même chose, mais pour des intégrales triples. Et encore une fois, ça va être... ça va être toutes les combinaisons possibles de IJK. Let's start, let's start. Donc, en fait, et donc, vous arrêtez lorsque vous avez atteint sur Alpha Plus 1. Maintenant, le cas, qui est le plus étudié, donc là, comme ça, ça paraît affreux, parce que, en plus, quand vous essayez, c'est-à-dire, Lyons a construit cet espace en y mettant une topologie, enfin, la topologie qu'il faut, et donc, tout ça a été fait pour pouvoir approcher, pour pouvoir donner en sens à des intégrales et des équations différentielles qui n'en avaient pas dans le cadre de l'intégration classique. Donc, pour pouvoir aussi définir des équations et des intégrales en les approchant correctement. Mais, par contre, dans le cadre général, travailler avec cet espace, c'est assez compliqué. Et donc, par contre, le cas le plus étudié, c'est lorsque Alpha est entre un tiers et un demi. Alors, ça, c'est le plus étudié parce que c'est le premier cas où vous avez besoin de de niveaux supérieurs, supérieurs aux accroissements, et de deux, parce que ça, c'est le cas du mouvement brunian. Et donc, et le mouvement brunian, c'est la plupart du temps qui, les équations différentielles les plus connues sont des équations différentielles où on intègre par rapport au brunian. Ou alors, donc ça, c'est la base des bases de l'intégration. Et donc là, par contre, les calculs deviennent beaucoup plus faciles. C'est-à-dire, en pratique, cet espace devient assez sympathique, il y a beaucoup de propriétés intéressantes. Donc, si jamais quelqu'un a déjà vu le chemin rugueux et que vous avez eu peur des formules interminables, sachez qu'en pratique, ça peut être très utile. Donc, je vous conseille de le revoir. Alors, maintenant, je vais revenir au premier exemple. Du coup, on peut, maintenant qu'on a vu, c'est-à-dire qu'on a introduit les chemins rugueux, on peut regarder cette partie-là. Enfin, c'est de convergence du point de vue des chemins rugueux. Donc, on sait que, comme dans les deux cas, ça converge vers le brunian, on va regarder la limite pour un objet qui sera non plus SNT sur racine de haine, mais qui sera SNT sur racine de haine avec un encouple avec un nouvel objet. Et je vais expliquer ce que c'est que ce ANT tout de suite. Et c'est ce nouvel objet, c'est-à-dire les A de S et de A de S yield. C'est une R stochastique. Alors, pourquoi tout à l'heure, je vous parlais d'intégral double, triple et là, je parle d'air stochastique, parce qu'au niveau 2, ce qui est très sympathique avec le chemin rugueux, c'est que le niveau 2, les intégrals doubles, peuvent être remplacés par des air stochastiques. Est-ce que l'air stochastique d'un chemin XT, par exemple, qui est en dimension 2 est définie par intégral intégral double DX en V DX de U moins DX de V DX en U. Donc, en fait, vous pouvez faire un passage, c'est-à-dire, il y a un moyen très simple de passer de cette matrice à une matrice qui contient que les air stochastiques. Et là, vous allez avoir une convergence dans le premier cas vers le mouvement brunian et au deuxième niveau, vous allez avoir l'air. Donc là, c'est matcal, c'est pas le même A. Donc ça, ça va être un objet qui s'appelle air de Lévi et qui est l'air stochastique correspondant au mouvement brunian. C'est un processus qui a été étudié séparément de toute cette histoire par Paul Lévi d'abord et par d'autres personnes dont Marker ensuite. Par contre là, pour ce processus avec lequel on avait pas beaucoup de différence au niveau de trajectoire, vous allez avoir donc le brunian, le matcal de A, classique, jusque là, c'est la même chose. Sauf que là, vous allez voir apparaître une constante de drift au niveau de l'air. Et en fait, cette constante, c'est ce qui différencie les airs, c'est ce qui différencie les limites, pardon, c'est ce qui différencie aussi les airs. Quelque chose qui était invisible quasiment, sauf par le relentissement dans le temps, au niveau 1, devient un drift, donc quelque chose de assez important au niveau 2. Et en fait, donc de fait, les chemins rugueux, une théorie qui a été faite surtout pour donner en sens aux équations différentielles, permet aussi, lorsqu'on regarde la convergence en dehors de l'intégration de processus, de dire si les processus convergent vers la même limite ou non. Donc là, clairement, la différence, c'est dans ce drift-là. Et donc, après, on peut se poser des questions. Quels sont les processus qu'on peut... Quels sont les processus qui auront un drift? Quels sont les processus qui n'en auront pas? Qu'est-ce qui fait que ce drift apparaît? C'est-à-dire comment comment le faire sortir. Et donc, nous, on n'a pas encore une classification exhaustive. Par contre, on avait... Je vais peut-être faire ça de la fin. On a construit un exemple assez général de chaînes de Markov qui sont les chaînes de Markov sur les graphes périodiques pour lesquelles on peut étudier justement cette question de drift à la limite et on peut donner une expression de ce drift. Donc, il me reste 5 minutes, mais pas. Donc, je vais essayer... Je ne vais pas donner... Je n'ai pas prévu de donner des preuves. Je vais juste essayer d'expliquer l'idée de l'exemple. La construction est assez simple. Donc, imaginez que vous avez un petit graphe. Moi, je vais dessiner des diamants parce que c'est le plus rapide. Donc, vous allez appeler les sommets 1, 2, 3, 4. Et ensuite, vous répliquez... Après, ça, ça peut être à priori n'importe quoi tant que vous avez un nombre de sommets finis. Ensuite, vous répliquez la même chose à l'enfinie. Donc, faites 1, 2, 3, 4. 1, 2, 3, 4. Vers le bas aussi. Et vous faites où vous vouliez ces graphes, enfin, ces graphes périodiques entre eux, mais vous les liez toujours de la même manière. Donc, en fait, ce que vous répliquez, c'est plus seulement le graphe, mais vous répliquez plus tous les liens qu'il a avec ses voisins... Enfin, avec ses voisins clones. Donc, ensuite, vous lancez une chaîne de Markov dessus, donc avec la condition qu'en chaque point indexé 1, 2, 3, la chaîne se comporte de la même manière. C'est-à-dire, vous faites une sorte de relation d'équivalence. C'est-à-dire, la chaîne, lorsqu'elle arrive dans un point... Enfin, la chaîne se comporte de la même manière dans deux points. Si ces deux points se comporte de la même manière. Donc, en gros, vous avez une chaîne de Markov a priori sur un espace infini, mais, de fait, elle a un nombre limité de comportements puisqu'il y a une chaîne de Markov sous-jacente, un état d'espace fini sous-jacent à votre chaîne. Et donc, ces chaînes ne sont pas très difficiles à étudier. Donc, on peut montrer qu'après renormalisation, je vais appeler cette chaîne donc après renormalisation, puisque elle peut être non centrée. Donc, le x-stil d'NT sur la citone va converger par une constante, modulo, une constante va converger en lois vers le brunian. Mais, on peut aussi montrer que dans la topologie jurgueuse, si vous regardez le couple x-stil d'NT sur la signe de NC et l'air qui lui correspond. Alors, je n'ai juste pas précisé ici l'air. Donc, ce n'est pas la même renormalisation, puisque l'air c'est une sorte de puissance de. Donc, ça compte. Donc, ici c'est la signe de N, ici c'est N. Donc, en lois, ça converge vers le mouvement brunian. L'air de Lévi plus un drift gamater et ce drift, on peut le calculer explicitement. Donc, en fait, ce drift dépend de, c'est l'espérance d'une excursion du processus x-tilde pour la plupart des processus. Après, il y a une partie un peu horrible, mais c'est comme les chemins rugueux. Dans les cas pratiques, la partie horrible disparaît, reste juste la partie sympathique. Et, cette excursion-là, c'est pas une excursion ordinaire, c'est-à-dire, c'est pas vous revenez au même point, mais c'est une excursion que vous faites, par exemple, entre deux points indexés 1. Par exemple, ici, ça, ce serait une excursion. Voilà. Et donc, ce marchand-là, ensuite, on a des formules algébriques et analytiques pour le calculer explicitement pour des modèles de physique. Et, surtout, c'est très facile de le faire sur des réseaux périodiques, par exemple, comme un réseau de diamants. Voilà. Merci pour votre attention. Je dépassais 2 minutes et demi, je suis désolée. Merci beaucoup. Est-ce qu'il y a des questions ? Il n'y a pas la jambe qui était aux autres. Oui. Sérieux, j'en compris dans les deux limites en haut. Est-ce que, à droite, l'air est construit à partir du cognant ou c'est... Alors, c'est pour ça que je parlais de topologie rugueuse. En fait, cet air-là, c'est-à-dire, on peut regarder ce processus séparément. C'est l'air de lever plus drift qu'on peut regarder, par exemple, le brognin avec un drift. Mais cet air-là ne correspond pas à l'air d'un brognin avec drift, a priori. Et, en fait, ce drift qui est intéressant, justement, c'est quand on regarde les processus de limite dans la topologie rugueuse, ce drift, il apparaît à la limite, mais parce que la topologie rugueuse considère ce couple comme un objet. C'est-à-dire, on ne les sépare pas, on n'étudie pas séparément cette limite, même si on pourrait. Mais c'est pas la limite à lui. C'est pas l'air à lui. Et c'est ça qui est intéressant parce que, justement, normalement, si c'était sonner, on devrait avoir... on aurait dû avoir ça. En principe, on aurait dû avoir ça. Et c'est justement ça qui est intéressant pour différencer les limites. Oui. C'est tout ça pour un petit peu la question, mais c'est que les petites nus, en fait, qu'on fait pendant un coup, un nul dans le sens et après, un nul dans le sens. Et en interne comme ça, est-ce que l'autre ça, toujours, le drift... Ça va, ça nul est un principe. Oui. Parce que le drift, justement, on n'a pas des conditions nécessaires et suffisantes que le drift soit zéro. Mais, par exemple, pour les processus réversibles, pour les processus qui présentent des symétries, quand, par exemple, la marche aléatoire est symétrique et si tu rajoutes des boules qui tombent dans un sens, ça va, ça va symétriser. Donc, du coup, le drift va être nul aussi. Donc, des cas comme ça, c'est facile. C'est pour ça aussi que, a priori, c'est-à-dire le problème, c'est que, parfois, on a tendance, justement, à relier ce drift d'air avec le drift de ce processus, parce qu'on sait pas... On sait pas faire une somme de variables aléatoires qui soient toutes centrées, par exemple, et qui donnent à la limite un drift. C'est-à-dire, on sait faire une somme qui soit centrée ou par plus gros morceaux. Donc, ce drift, il faut quand même avoir une direction qui tourne, qui fait des boucles. Puisque je parle de processus physique, est-ce que c'est lié, par exemple, parce qu'on peut faire sur un réseau crystallin, on va avoir toujours la même maille, toujours même un bloc d'atome qui va se répéter avec des liens entre eux ? C'est-à-dire, nous, on a pris les exemples qu'on a étudiés pour lesquels on a fait des simulations numériques, son issue de physique. Alors, mon directeur, il connaît beaucoup plus que moi. Moi, je ne me connais pas trop en physique, j'ai juste fait des dessins. C'est-à-dire, je sais pas en pratique... Non, en fait, je sais que j'ai fait les dessins et les calculs, mais en pratique, je ne sais pas à quoi ça sert en physique, lui, il dit que c'est utile. Donc, j'ai calculé, j'ai dit, c'est intéressant, puis lui, il a dit oui, c'est utile. Mais à priori, tu peux prendre n'importe quel réseau périodique, c'est-à-dire pas forcément quelque chose que tu peux aussi bien intégrer dans Z2, ça peut être des liens un peu... un peu bizarres dans tous les sens. Et tu peux t'amuser... Ah, même, je vais faire un petit pull-up parce que... parce que ça, c'est pas encore publié, mais c'est un cours. C'est-à-dire, tu peux aussi regarder des sortes, des espèces de peintres, des espèces de ronds-points comme ça, et même en dimensions plus grandes que deux. Et la différence, ça va être que tu vas prendre directement des sombres de couples de variables parce que à chaque fois, tu vas rajouter non seulement un chemin, mais tu vas rajouter aussi une partie Terre. Donc, par exemple, tu peux aussi regarder des choses qui ne soient pas forcément construites par segment, par interpellation. Très bien. On va remercier encore une fois, Olga. Merci.