 Donc, comme annoncé, le sujet de cette parole sera évolué pour les qualités de Poincaré, parfois aussi appelées Poincaré-Wirtinger en qualités, et ce sera un overview brief de l'église de ces qualités, et plus recentement, en particulier dans le contexte de théorie de probabilité et de l'analyse géométrique. Donc, ces qualités arrivent dans le travail par Henri Poincaré, et plus spécifiquement dans un étudiant des équations de mathématiques et de physique, dans lequel il a étudié un problème qui s'appelle le problème de Fourier pour l'équation de la haute, qui est juste un problème de valeur ou de fonction de la haute pour l'équation de la haute sur le domaine. Avec des conditions de la haute, nous serons concernés avec les conditions de la haute, namelijkament les derivatives normales sur les conditions de la haute. Et ce étudiant du problème de Fourier pour l'équation de la haute est été undertaké en ce paper par Poincaré, qui a été publié en 1890 dans le journal américain de mathématiques, et qui a été annoncé plus tard par deux notes contrôles. Et dans ce paper, Poincaré, peut-être dans une langue plus moderne, est donc étudiant ce problème de laplace pour une séquence de valeurs eigenes et de fonctions eigenes avec les derivatives normales, les derivatives zeroes, à l'extérieur. Et il décrive chaque valeur eigenes par le ratio classique de Rayleigh-Ritz, en utilisant l'intégration par des parts. Et, ensemble avec un argument de min-max, dont probablement Poincaré n'était pas si rigoureux à ce point, il était capable d'avoir une ligue basse sur le K2, qui est en fait le premier eigen de valeur non triviale du problème spectraux. Et en même temps, il était capable de montrer que la séquence de valeurs eigenes est convergée à 0. Donc, c'est ce que l'on peut trouver dans Poincaré's paper. C'est-à-dire, dans la première partie, vous avez cette min-max caractérisation de la première valeur non triviale. Et c'est la seconde partie, donc c'est le K2. Et dans la seconde partie, vous avez une ligue basse sur cette valeur eigen de valeur K2, qui est donnée en termes de W, mais c'est une sorte de normalisation du volume de la domaine de convex que vous vous rendez. Et la chose importante ici, c'est la quantité lambda, qui est créée ici à la force 5. Et plus tard, cela va être approché à la force 2, qui est en fait la diamètre de votre domaine. Et c'est en fait le contenu de ce qu'il y a aujourd'hui qui s'appelle Poincaré's inéquality, et qui prend la formule suivante. Si vous avez une ligue basse sur un convex, un set en Rn, plus tard, cela a été extendu à des sets connectés en Rn. Et si vous assumez que vous avez une fonction, qui est définie sur la clôture de Omega, ou sur la neighborhood de Omega, et que la condition importante est que cela signifie 0, alors la quantité Poincaré's inéquality compare la norme L2 de la fonction avec la norme L2 de son grade. Et pour cette inéquality, Poincaré's inéquality actually provides un overload de la capa constante en termes de la géométrie de la domaine et plus précisément de la diamètre de la domaine. Et ici, il y a un sketch de la preuve de Poincaré's inéquality. La première étape de la preuve est une sorte d'argument de duplication qui est en train d'attendre la condition 0 en ce moment. C'est aujourd'hui tout à l'heure dans tous les cours classiques dans l'analyse et la théorie. Cette duplication est faite. Et puis, ensemble avec une première ordre théorie d'expansion de fx-fy ensemble avec un changement de variable il a pu montrer que si vous avez cette inéquality capa avec la capa donc comparé à la norme L2 de la norme F avec la norme L2 de la gradation avec la capa constante qui dépend de la diamètre de la domaine. Et en fait, si l'un est intéressé à la dépendance de la capa constante seulement en termes de diamètre c'est la meilleure possible dépendance et seulement la constante ici n'était pas optimale et cela a été augmenté beaucoup plus tard dans un travail par Payne et Weinberger avec la pi square optimale de la constantiaire. Donc c'est ce que l'on a acheté dans ce paper entre autres choses dans ce paper parce que c'est aussi étudiant le problème de l'agent de l'agent de l'agent de l'agent de l'agent et ce paper est aussi intéressant avecit son introduction puisque, au liking que ce qui s'est déjà emphasisé il y a quelques années par Jean Mavin dans sa introduction il y a quelques molto intéressantes sentences et en particulier consecû la cuillère de l'agent de l'agent de la terre Il s'agit aussi d'annoncer, dans un moyen prophétique, les interactions futures entre la physique mathématique et l'analyse. Comme l'on l'a mentionné, les points carrés de l'équalité sont parfois aussi les points carrés vertigrés de l'équalité. C'est en référence à l'équalité vertigré de l'équalité qui signifie que quand vous avez une fonction sur l'intervalle unitée, qui est smooth et périodique, vous pouvez comparer pour les fonctions de sens, vous pouvez comparer l'alternom de F avec l'alternom de la dérivité. Donc, depuis que vous avez une condition périodique, cela signifie que vous êtes sur le torse, et la preuve ici va plutôt facilement de faire une expansion de la série 4 ans, ce qui signifie que si vous avez une série 4 ans de votre fonction, ce n'est bien sûr pas très difficile de décrire l'intervalle, de décrire l'intervalle de F2 et l'intervalle de F'2, ce qui est la suivante. Vous voyez que, par le fait que F signifie 0, cela signifie que cette coiffusion est 0. Et quand cela est 0, vous avez simplement à comparer ces deux séries, c'est à dire que ça commence quand M est equal à 1, et ensuite vous avez cette 4 pi square en comparant l'alternom de F avec l'alternom de la dérivité. Donc, même si l'inéquité est étatée pour la fonction périodique sur le torse, il y a un argument très simple de la similifisation et de la périodisation qui vous montre que vous avez une similaire inéquité sans des conditions périodiques. Et en particulier, cette inéquité est complètement comparée à l'inéquité de la pi square, mais seulement en dimension 1 sur l'intervalle, sur la ligne réelle. Donc, il ne semble pas qu'il y ait un papier spécifique par Wirtinger, où cette inéquité est en fait étatée. Il est mentionné dans un papier par Hurwitz, et puis, plus tard, dans le Blaschke-Buch, par Christ & Kugel. Et il y a aussi un autre papier par Allmanzy, en 1906, où une similifisation de l'inéquité est présentée. Ce qui est somehow intéressant ici est que Hurwitz est mentionné par Wirtinger dans l'inéquité, dans la connexion avec l'inéquité isoparamétrique et nous allons simplement sketcher cette connexion, supposons que vous considérez une courbe C sur le plan, dans une forme paramétrique. Vous considérez la connexion arc et puis l'arrière A, qui est la connexion arc enclose par cette courbe C. Et après un changement très facile par la connex arc, c'est-à-dire que vous changez la connexion arc sur l'inéquité isoparamétrique. Il y a un simple formula à l'algebraie qui vous dit que la différence entre la connexion arc square et 4 pi par l'arrière est equal à cette quantité. Et le point est que, bien sûr, c'est toujours non négatif. Et c'est exactement les deux termes de Wirtinger dans l'inéquité de l'inéquité. Et si vous apprêtez Wirtinger dans l'inéquité, vous avez précisément l'inéquité qui est le contenu de l'inéquité isoparamétrique. C'est-à-dire qu'il faut mentionner que cet argument ne va pas dans une grande dimension et qu'on peut en parler plus tard. Il y a aussi Wirtinger dans l'inéquité qui a été prouvé et étaté sur le torus. C'est-à-dire qu'il y a une version de l'inéquité originale par la version sur la sphère. C'est-à-dire que maintenant vous réplacez l'intervalle unit ou le torus par la sphère qui est équipée avec la mesure uniforme. Et puis, encore une fois, vous avez un point carré Wirtinger comparé qui est le contenu du point carré Wirtinger de l'inéquité. Et la preuve en ce cas va très bien dans le cas de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité de l'inéquité. Il est intéressant de mentionner cette preuve d'expansion d'une base d'autonomie peut-être appliquée dans d'autres situations. Et ici, c'est un exemple qui sera refermée en plus tard. C'est le cas du Gaussien ou du Maxwellian de la mesure Rn qui, dans sa probabilité de normalisation, est détruite comme ça. Et pour laquelle, encore une fois, il n'y a pas de point carré d'inéquité, c'est-à-dire que, si f est une fonction d'une bonne fonction avec le sens 0, vous comparez la norme L2 avec la norme L2 de l'inéquité. Et la preuve, similarly, va par une expérience de série, cette fois en utilisant les polynomiaux de Hermit qui sont les polynomiaux de l'autonomie pour la mesure de la mesure. Et ce résultat est quoté dans un nombre de papiers donc, sur le basis de ces exemples de plus tard, nous allons simplement présenter une sorte de langue moderne ou de notation pour décrire un point carré d'inéquité. Plus ou moins, un point carré d'inéquité est comparé pour fonctions avec le sens 0, comparé à la norme L2 d'une fonction avec la norme L2 de l'inéquité ou de l'énergie. Et une façon de comparer, nous considérons les mesures de probabilité pour normaliser tout. Nous considérons alors les variantes d'une fonction f afin de prendre dans l'account le sens 0 dans les points carré d'inéquité. Et puis, la toute discussion est de comparer les variantes d'une fonction f ou d'une fonction f d'une fonction suitable comparé aux variantes pour une sorte d'énergie ou d'un point carré d'inéquité. Le sens 0 fait plusieurs formes. Il peut être donné comme cette en utilisant un opérateur un type Laplace type opérateur ou il peut être écrit comme cette en utilisant un type Grédient opérateur qui vous aimait une application suitable d'intégration de part formula ces deux choses sont tout à fait et ensuite, l'opérateur Laplace pour le domaine, pour les fonctions classiques qui satisfaient la condition de la condition de Neumann-Gondarie. D'autres exemples inclusifs dans ce framework sont lesquels nous avons juste indiqué, c'est-à-dire lesquels l'on est dans la sphère, qui est équipé avec une mesure uniforme, pour laquelle nous avons ce type d'énergie. Et un autre exemple, c'est la mesure de Maxwell-Gaussien, pour laquelle maintenant, il faut modifier l'opérateur Laplace standard en Rn, par un drift, qui précisément prend en compte la densité, l'opérateur Gaussien qui respecte la mesure de Lebesgue. Et de nouveau, vous avez une énergie qui est donnée par l'opérateur Laplace, par l'opérateur Laplace type description, ou un type gradient type description de ce type, et les deux choses sont équipées par l'intégration des parties, avec respect à la mesure de Gaussien, et avec un opérateur Orchinal-Urnbeck, avec une mesure invariante de Gaussien. Et comme annoncé, une équalité de Poincaré est ensuite comparé pour une classe suitable pour les fonctions de la variation de la fonction, et sa énergie, soit donnée comme ça, soit donnée. Et quand il y a une sorte d'opportunité, c'est plus positif, on s'appelle le Poincaré constant. Donc, il y a clairement une interprétation spectrale. C'était l'origine originale de Poincaré. Si vous considérez que l'une des choses existent, l'Onda-1, pour être l'un des valeurs non travaux de votre opérateur, c'est-à-dire en réservant ce type d'équation, c'est clair que si vous mettez ceci ici dans la définition de l'équalité de Poincaré, vous avez un niveau bas de l'Onda-1, la première valeur de l'Onda-1, par le constant Poincaré. Donc, c'est ce type d'équalité spectrale de Poincaré. Il y a un autre, qui est utile, même si on ne va pas vraiment dealer avec cela, il y a aussi une très utile interprétation de ce constant Poincaré, comme un type de paramètre pour contrôler la convergence à l'équilibriumme. Je vais juste, je n'ai oublié de mentionner que dans l'exemple de la sphère, on a précisément oublié que l'Onda-1 est equal à la fin. Donc, une chose qui ne va pas vraiment discuter plus, mais juste pour mentionner, c'est qu'il y a une très utile connexion entre Poincaré et l'équalité de Poincaré et des rates de convergence à l'équilibriumme, c'est-à-dire que si vous considérez, selon votre opérateur L, le so-called semi-groupe avec l'infinité de l'émail générateur L qui est en train d'assurer l'équation de la haute associée à l'Onda-1, dans des situations raisonnables, vous avez une sorte d'agodyne qui dit que le semi-groupe, comme T, s'adresse à l'infinité de convergence contre l'invariant stationary. Et l'intérêt de l'équalité de Poincaré dans ce contexte est que l'équalité de Poincaré fully décrive la convergence L2 à l'équilibriumme à un rate exponentiel sur les fonctions, qui ont le sens 0. Et c'est un très simple exercice, c'est simplement de prendre la dérivative en T de l'équalité de Poincaré et vous termine par la très définition de Pt, assurer la haute équation avec respect à L, vous termine avec l'équalité de Poincaré. Donc, ce type de rate pour la convergence de l'équilibriumme a été utilisé beaucoup dans le étudiant des chains de Markov qui ont été utilisés aussi dans les mécaniques statistiques et dans les randonnements. Et typiquement, si vous avez donné un type de Markov sur un espace finitiel vous considérez L2BK-E, vous définissez une énergie, qui est une énergie naturelle dans ce contexte. Et ce qui s'occupe c'est que le constant de Poincaré est un moyen de contrôler cette convergence de l'équilibriumme de Markov contre la mesure stationnelle et vous pouvez définir un peu quantitativement le temps de l'équilibriumme dans ces modèles et ce qui s'occupe c'est que le constant de Poincaré est quelque chose qui plus ou moins contrôle le type de l'équilibriumme avec cette relation. Ce n'est pas exactement ce type de spirit de la relation qu'on obtient avec le constant de Poincaré pour contrôler cette convergence de l'équilibriumme. Donc, on ne va pas en parler plus de ces choses et plutôt, le principal objectif de ce talk c'est les applications, les illustrations et les développements autour des qualités de Poincaré Donc, ces boundes géométriques sont déjà présentes dans le travail de Poincaré depuis qu'on s'appelle que sa première bounde était la bounde du diamètre du domaine qu'il était considéré ici, nous serons considérés dans des paramètres géométriques ou des invariants connectés avec les qualités de Poincaré et en fait des nouvelles développations qui ont commencé au cours de Lichnerovitz dans les années 50 Donc, le contexte naturel pour cette bounde est l'une des formes compactes de Riemann et de Manifold équipées avec la mesure de Riemann qui est normalisée ici dans une mesure de probabilité et quand on étudie les formes de Riemann et de Manifold bien sûr, l'une est usually intéressée par des features pour décrire ces Manifold et le point de départ de Lichnerovitz l'investigation connectée de Poincaré ou de Poincaré inéqualités avec des bounds géométriques est un formulae de Poincaré et la formulae de Poincaré est une sorte de description fonctionnelle de la curvature Donc, vous commencez avec la structure et vous considérez une expression de ce type pour toute la fonction de la Manifold et cette expression peut être développée dans les deux normes de square du F et puis vous avez un type de tensor appliqué à les vectors, les vectors et c'est le point de départ de Lichnerovitz, afin d'avoir des bounds de Poincaré en fait et la façon dont il fait le suivi vous commencez avec cette formulae et vous assumez que vous avez une priorité des bounds de la curvature riche de votre Manifold et par exemple, vous assumez que la curvature riche de votre Manifold est uniformement de la constantre du rhum donc vous translate cette hypothèse qui signifie que la fin de la termine de la curvature riche estlie par la fin de la fin du rhum et puis vous avez un autre terme qui vient d'une tâche de F qui est une traite de l'inéquité donc c'est bien sûr de très facile Alors, l'idée de l'héroïde est simplement d'intégrer l'inéquité avec respect à la majeure de Riemann. Alors, nous allons faire ça. Et bien sûr, pour faire ça, nous utilisons l'intégration des parts, exprès de cette formule, lié à l'opérateur Laplace avec les gradients. Et si nous intégrons l'inéquité avec respect à l'élément de volume, qu'est-ce que vous avez ? Ce terme ici, si vous intégrons l'inéquité avec respect à l'élément de volume par invariant, c'est equal à 0. Et pour celui-ci, vous utilisez l'intégration des parts. Alors, qu'est-ce que vous avez ? A gauche, vous avez simplement l'inéquité de Delta F2. Et dans les deux autres termes, vous avez simplement l'intégration. Alors, c'est très facile. Bien sûr, la première termes dans le milieu sont les mêmes que celui d'ici. Donc, vous mettez ça ensemble. Et puis, vous pouvez aussi lire ce qu'il y a en arrière. Bien sûr, c'est possible de le faire plus rapidement que ce que j'ai fait ici. Mais vous pouvez aussi le faire en revers. C'est-à-dire que l'inéquité des gradients est, encore une fois, l'intégration par part de cette quantité. Et puis, si vous considérez une fonction eigen, une fonction non-triviale associée à la première valeur eigen non-triviale lambda1, vous pliez simplement cette fonction eigen dans l'inéquité en haut. Et ce que vous avez, c'est quelque chose comme ça. D'où, vous immédiatement étendez une basse bounde en lambda1, la première valeur eigen non-triviale. Ce n'est rien d'autre que le point carré constant. Et vous avez cette basse bounde en termes de la basse bounde et la dimension. Et en particulier, c'est optimal sur la sphère, qui est la basse bounde non-triviale n-1, et pour laquelle vous avez lambda1, qui est n, qui est exactement la première valeur eigen de la basse bounde sur la sphère. C'est une sorte de prototype d'utiliser une géométrie et une curvature de votre manifold contre les bounds sur le point carré constant. Et cela a été utilisé plus généralement, involveant, en fait, n'importe quel type de basse bounde sur la basse bounde, mais ensuite vous devez prendre dans l'account le diamètre. Et en particulier, si vous portez la basse bounde pour être 0, cela veut dire que vous n'avez pas la basse bounde négative, mais c'est exactement la même chose que la hypothesis de convexité sur le domaine sur lequel le point carré fonctionne. Ce que vous avez, c'est que quand vous avez une curvature négative, ce que vous avez c'est la basse bounde sur la lambda1, qui est précisément le type que le point carré tente dans son travail. Donc, à ce point, je voudrais revenir aux deux exemples sur lesquels nous avons commencé et sur lesquels nous avons écrit cette notion du point carré inéqualité, c'est-à-dire le point carré inéqualité sur la sphère, c'est le constant N, ce qui, comme l'on l'a vu, est optimal. Et l'autre, qui est un point carré inéqualité par rapport à la mesure de Gaussien, associé avec un ordre d'orche, un ordre d'orche, qui, de nouveau, utilise un point carré inéqualité avec, cette fois, le constant 1, qui, par le fait, est optimal. Et ce que nous aimerions maintenant, c'est d'essayer de comprendre comment on peut aller du model sphère sur le model Gaussien. Et c'est par le point carré lema. Donc, ce n'est pas lema. Donc, suppose que vous regardez cette projection que le n est supposed d'être large, plus large que le K. Et vous projectez le Rn, ou le Rn plus 1, sur le Rk. Et vous dénouez, par le sigmar n, la mesure uniforme sur le sphère SN, mais maintenant, avec le radius d'alimentation. Vous utilisez un set sur le Rk. Vous lèvez sur le sphère et puis vous utilisez la mesure uniforme. Donc, ici, c'est une petite picture. Vous commencez avec un set A sur le Rk. Vous lèvez sur le sphère avec le radius d'alimentation. Et puis, vous computez la mesure sphéricale de cette grande partie. Et le point carré lema signifie que, quand la dimension va vers l'infinité, la dimension de la sphère, ensemble avec sa mesure, cela convertit ses charges vers le radius d'alimentation. Donc, en fait, ce résultat est attribué à point carré par plusieurs personnes, incluant Mark King, qui est refermée à Marc Cap. Et Mark King est refermée à ce book de 1912 par point carré. Mais sans doute, point carré ou certainement ce résultat n'est pas dans le book. Et en fait, ce résultat semble d'être plus élevé d'autres personnes comme Meleur, Boltzmann et Maxwell. Et c'est très, très clairement expliqué en 1906 par Boray. Donc, maintenant, sur le basis de cette description, la description de la mesure de Gausson est une sorte d'une mesure sur une sphère d'alimentation avec la mesure de la sphère je vais juste raconter Marc King avec la phrase avec ça en mind, on peut en fait retourner à cette picture par Lichnerovitz en commençant par la formulae Lémy, si vous commencez par la formulae sur la sphère la curvature est constante donc la tensor riche ici c'est juste n-1 fois la identité si vous considérez une sphère avec la mesure r puis vous avez juste une sphère de la métrique de ce type et le point intéressant ici c'est que si vous choisissez d'être précisément dans l'ordre de square root de n dans la limite vous avez une curvature riche qui est constante ok? et c'est en fait un jeu que vous pouvez jouer c'est-à-dire si vous regardez cette cette naturelle laplace de la mesure associée à la mesure et si vous évoquez la formulae pour ces opératrices cela signifie que vous réplacez la laplace d'opératrices par l ce que vous avez cela signifie que vous avez une curvature riche qui est equal à 1 et c'est une dimension infinie parce que dans ce point carré la dimension va vers l'infinité et si vous laissez une roue et une dimension vers l'infinité ce que vous avez c'est le point carré inégalité pour la mesure de cette limité comme un cas limité de la sphère et cette observation entre autres a évoqué la théorie de Bakri qui peut être développée dans un contexte abstrait de Markov d'Oberator sur un espace avec une mesure invariant et simétrique pour la mesure d'introduire un certain objectif le premier est un Gamma d'Oberator qui doit être sorti comme un gradient d'Oberator ce formula c'est juste une manière pour laquelle l'Oberator de Laplace est un gradient et dans les bons cas ce Gamma n'est pas un gradient et vous avez l'intégration avec respect à la mesure invariant maintenant le jeu est la suivante vous commence par la définition d'Oberator et puis Gamma devrait être Gamma1 et puis vous définissez Gamma2 donc ce sont les règles pour Gamma2 c'est exactement la même pour Gamma mais chaque fois vous voyez un produit vous le réplace par Gamma ce qui est l'intérêt c'est exactement l'expression que vous avez sur le côté gauche du formula en other words si vous devez d'exemple avec la Laplace d'Oberator sur le manifold Gamma est exactement l'équipe de la Laplace plus et si vous le fais avec le président de l'Oberator vous avez que Gamma2 est encore plus ici 1 et sur la base de cette définition vous pouvez introduire un côté de notion de la Laplace et d'expression qui comparing avec les paramètres la Laplace et la Laplace et la Laplace qui compare GammaOberator avec le Gamma2 et dans les exemples que nous avons discutés sur la sphère la Laplace est de la Laplace minus 1 les mesures, la curvature est constante, equal à 1, mais de l'infinité dimension. Et sur le basis de ce framework abstrait, vous pouvez développer une sorte de approche de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband, qui s'occupe comme ce qui se passe. Vous commencez avec, vous considérez, le Markov semi-groupe solvant l'équation de l'équation associé à L. Vous considérez une fonction de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband. Et puis, c'est juste une matière de compréhension, depuis que tout a été défendu suite à l'avant, ce qui signifie que si vous prendrez l'éthique de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband, vous obtenez l'opérateur de gamma. Et si vous prendrez l'opérateur de gamma, vous obtenez l'opérateur de gamma 2, juste par la définition de gamma en gamma 2. Et si vous avez cela, vous combinez simplement ce genre de relations, les relations entre gamma et gamma 2, à l'aide de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband, avec la condition de curvature, et avec une simple différence de l'équalité, vous terminez avec exactement la même l'éthique de Loverband, que l'un de Lichnerovitz-Loverband sur le point carré constant, qui lead à l'équalité de l'équalité de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband et à l'éthique de l'équalité de Lichnerovitz-Loverband. Donc, bien sûr, ce n'est rien de nouveau, le sens que cela a été déjà fait par Lichnerovitz-Loverband, mais le point est que vous puissiez poursuivre cette ligne de provenance et de l'investigation pour certaines plus générales équalités, et en particulier, vous pouvez atteindre exactement de la même manière avec ce type d'éthique de l'éthique de l'éthique de Lichnerovitz-Loverband. Vous pouvez atteindre plus ou moins des familles plus générales de l'équalité, donc ici, c'est quelque chose d'une forme générale par un paramètre P, qui est entre l'une et l'exposé de 2N divided par N-2. Quand P est une, vous avez le point carré, quand P est la valeur extreme 2N divided par N-2, vous avez l'équalité de l'équalité de l'équalité, et dans la milieu, comme la limite de la case SP est equal à 2N, vous avez les équalités de l'équalité de l'équalité de l'équalité qui ont été utilisées en particulier par Per-Allemagne dans la proofs d'une autre question par point carré, comme vous le savez. Donc, pour mentionner un problème ici, c'est que nous avons discuté le fait que le point carré ou point carré viert-finger de l'équalité implique l'équalité de l'équalité de l'équalité de l'équalité. Au moins, dans une dimension finie, il y a une version d'une dimension infinie, à ce point, je vais juste mentionner qu'il y a eu un développement très récent sur la définition synthétique de la curvature, ou la curvature riche, ou plutôt la curvature de la basse. Maintenant, pas seulement dans les manifs, mais plus généralement dans les espaces de la metrication de la curvature, par Lot Villani & Sturm. Cette définition, juste pour le faire rapidement, est une définition qui est une définition de la convexité de la relative entropy entre les géodésiques de la transport optimale. Et le point est que cette investigation était en fait motivée par le fait que, d'abord, cela s'extende par les espaces de la metrication de la curvature classique dans les espaces de la metrication dans les manifs de la metrication et c'est aussi, et c'est l'un des principaux résultats, c'est aussi stabilisé par ce limitant, ce limitant de la hausse d'or. Et une partie de l'investigation est que cette définition aussi permet pour la géométrique et la fonction de l'équalité et, d'ailleurs, cela a été prouvé par Lot & Villani que, dans cet état, vous avez encore un point carré de l'équalité, mais ce n'est pas facile de prouver et c'est ouvert d'y arriver en utilisant cette notion de la curvature c'est ouvert d'y arriver plus généralement qu'on l'a mentionnée avant, le boulot, le logarithmique le boulot ou l'isoparamètre. Donc, dans la dernière partie de cet état, j'aimerais rentrer en fait au contexte initiale de point carré et considérer la famille de les mesures concrètes donc, ce sont les mesures concrètes donc, les mesures concrètes sont les mesures concrètes sur le boulot sur le boulot sont les mesures concrètes avec une densité avec une densité concrètes qui respecte les mesures concrètes surtout, que c'est donné par l'exponential minus v où v est un potentiel de connex et si vous agreez que selon un domaine un boulot de connex dans Rn si vous agreez que vous avez votre potentiel à l'extension infinie de l'original framework par point carré de normaliser une mesure uniforme sur votre boulot de connex et cette famille de mesures concrètes qui ont été investigées beaucoup donc, oui, c'est le contexte original par point carré avec le volume du boulot de connex et ces mesures ont été investigées beaucoup très rapidement dans le contexte des mesures concrètes et des mesures concrètes de connex et j'aimerais commenter sur ces développements en connexion avec point carré si vous avez une mesure concrètes la première chose que vous voulez faire c'est essayer de suivre l'approche de Bacry en utilisant un opérateur de diffusion donc, vous considérez l'opérateur de diffusion qui est naturellement associé avec une mesure concrètes avec cette mesure en variant donc, c'est simplement que vous répliquez le potentiel de l'exemple de Gauss de grad V ici et vous pouvez écrire le gamma 2 qui est expéré en termes de l'essence de votre potentiel V et dans la théorie si l'essence est bondée d'au-delà d'un constat c'est un analog du fait que vous avez une mesure concrètes plus positive dans laquelle vous avez une mesure concrètes puis vous avez un gamma 2 qui est concrètes et puis vous avez une mesure concrètes d'inéquité par l'exemple de l'exemple que nous avons présenté avant mais, bien sûr, si vous êtes seulement concave V est seulement convex et si V est seulement convex vous avez seulement 0 la mesure concrètes à ce qui est à une question qui a été investigée des aisselles par Chanin Lovach et Simonovitz l'approche algorithmique à estimer son volume des bases de contact en R.N. ils étaient concernés avec un mesure de l'exemple de la mesure de l'exemple de la mesure Et le premier résultat ici est que si vous considérez, encore une question de poing carré inéquité dans ce contexte, ce qui est en fait ce que poing carré a fait dans ses 18-1990 documents, comme nous l'avons mentionné avant, ce que poing carré prouve est que si vous regardez pour la dépendance seulement en termes de la diamètre, c'est le meilleur que vous pouvez attendre. Par contre, Kanan, Lovac et Simonovic, ils étaient intéressés par un autre genre de parameter géométrique, qui était motivé par cette approche algorithmique pour les computations des volumes de corps convex. Et le premier résultat était qu'ils pouvaient montrer qu'il y avait une poing carré inéquité avec quelque chose qui est différent de la diamètre. C'est une variante de la fonction x dans Rn. Et quand mu est concentré sur un domain de contexte, c'est mieux que seulement une diamètre. Mais ce n'est pas le résultat que Kanan, Lovac et Simonovic avaient voulu. Et le résultat qu'ils avaient voulu était la suivante. C'est une conjecture qui est la suivante. Parce qu'il faut prendre la mesure de la caméra et le mettre dans la position d'isotropique, c'est-à-dire que vous le centrez et vous assumez que la matrice de la variante de votre mesure est l'identité. Mais c'est quelque chose que vous pouvez toujours faire par une transformation affinable. Et puis, le Kanan, Lovac et Simonovic conjecture, signifie qu'il devrait être un point carré inéquité avec un constat qui est indépendant de M, qui est universel. Et c'est ce qu'ils ont vraiment besoin pour leur approche algorithmique pour la computation du volume du corps convex est efficace. Donc si vous n'aimez pas cette normalisation en position d'isotropique, vous pouvez réécrire le point carré inéquité comme ça. Vous multipliez un constat par cette quantité, signifie que ce que vous espérez, c'est que le meilleur constat est axé sur les fonctions en ligne. C'est ce que c'est expéré. Et c'est expéré que le constat est universel, indépendant de la dimension. Nous sommes très loin de ça. Le meilleur résultat n'est de cette order, qui va à 0. Et une autre chose, c'est que cette conjecture, cette conjecture KLS, à l'aide d'une certaine importance de l'algorithme pour la computation du volume, a aussi une très forte géométrique de l'importance qui est concernée par les hyperplanes centrales. Et plus précisément, cette conjecture KLS implique une autre conjecture, qui est la conjecture de la conjecture, la conjecture de la conjecture hyperplane. Donc, il a été réveillé récemment que la conjecture KLS, qui est fermée, implique une autre conjecture fermée, qui est cette conjecture hyperplane. Ce qui est que si vous avez un corps convex en omega, du volume 1 pour normaliser ça, la question est si vous pouvez trouver un hyperplane ainsi que le volume de l'intersection est de l'un à l'autre. Donc, KLS implique un hyperplane, KLS n'est pas prouvé, hyperplanes n'est pas prouvé d'eux. Ce sont les meilleurs bouts de la conjecture hyperplane prouvé par Bourguin et Bois-Clarthage. Bourguin, il y avait un paramètre bloc ici en utilisant plusieurs types d'outils. Et ces deux conjectures sont en fait toujours ouvertes et probablement, nous sommes encore un peu plus loin de leurs solutions. Donc, je pense que c'est temps de conclure. Je veux vous remercier pour votre attention et bien sûr, je veux remercier Henri Poincard. C'est-à-dire, c'est-à-dire, qu'une qualité peut devenir une qualité? Oui. C'est-à-dire, très souvent, vous pouvez trouver des fonctions qui ont acheté une qualité dans le Poincard.