 Buenos días a todos, bienvenidos al sexto volóquio, disculpen el atraso, pero bueno, estamos empezando y una pequeña demora. Así que vamos a estar terminando a eso de las 11 de menos 4. Muy bien, a ver, no sé si todos, si ustedes ya vieron que hay unas notas de este cursillo en la página del coloque. ¿Quiénes pudieron ospear esas notas? No me encheso. Ah, una cosa de la que me estoy olvidando, analía, me va a ayudar, ya produjo algunos gráficos y hay unos maquetas que irán apareciendo para ilustrar justamente compensar una de las deficiencias importantes que tienen las notas, que en las notas no hay ningún dibujo, fueron hechas con bastante premura y para lograr tiempo no puse ningún dibujo. Siguiendo con esas notas, entonces ahí están como las ideas principales de las clases, está bastante explícitamente dicho cuál sería el contenido de cada clase y no hay detalles de demostraciones, pero algunas demostraciones están abusadas. O sea, son unas notas que tienen un cierto carácter informal. O sea que está bueno, si tienen tiempo, yo les recomiendo que lean un poco las notas y hay cosas para pensar que después van a ser desarrolladas en alguna medida en las clases y eso como que nos da la posibilidad de estar mejor sintonizados. Así que los invito a dar las notas y a hacerle sugerencias. Hay algunos errores, espero que no haya errores graves, si os haya encontrado algunos, si encuentran algunos, me avisan o cosas que haya que decir mejor, me las comenten, ¿está bien? Muy bien, entonces el asunto va a ir más o menos por este lado. O sea, los poliedros se conocen desde la antigüedad, mismos los que están acá, que son los cinco platónicos, ya eran conocidos preuclides. Hay una primera cosa que está bueno mirar, empezar mirando, que es el tema de la convexidad. Porque con los poliedros pasa una cosa que es que si uno empieza a ser más flexible en el tipo de poliedros que admite, las cosas se pueden un poco descontrolar o volver un poco complejas. Entonces me pareció que estaba bueno, capaz que para muchos de ustedes es conocido, supongo que no para todos, el tema de la convexidad. Vamos a trabajar un poco el caso convexo, más que nada como para fijar ideas. Una primera cosa es que un poliedro convexo se puede formar haciendo intersecciones de semiespacios. Cuando digo semiespacios todos me entienden, o sea plano y lo que queda de un lado del espacio. Semiespacios cerrados, incluyendo el plano. Entonces si nosotros cortamos dos semiespacios, vamos a tener lo que se llama un ángulo diélico. Para tener un poliedro, que vamos a asumir que son acotados, tendría que cortar entonces al menos cuantos semiespacios. Cuatro, bien, con tres no va a ser posible, y cuatro tienen que estar bien ubicados porque de repente en una intersección de cuatro semiespacios cerrados no me da un poliedro en el sentido en el que estoy pensando que sea acotado. Está bien, así que intersección de al menos cuatro semiespacios que dé algo que tenga interior no vacío y que sea acotado. ¿Me siguieron todos? Sí, está bien. Entonces ese es el objeto. Ahí ya hay una cosa, es que estamos pensando el poliedro como un solio, o sea la cáscara y lo que está dentro. Ahora, el primer punto que quiero marcar es el siguiente, que si uno tiene un objeto así, se pueden definir con claridad las caras, las aristas y los vértices. Porque acá tengo uno, no importa cual es, como cualquiera, y miren lo siguiente, si yo quiero definir que son los vértices de esto, digo que tomo un plano de apoyo, un plano de apoyo es un plano que toca el poliedro y lo deja de un lado. Si ese plano de apoyo toca y la intersección con el poliedro es solo un punto, ese punto es un vértice. ¿Siguieron? Si el plano de apoyo toca en un segmento, que es otra posibilidad, ese segmento es un arista. Si el plano de apoyo toca en algo bidimensional, eso es una cara. Entonces tengo una noción precisa, si tengo un poliedro dado, un poliedro complexo, de cara, vértice y arista. ¿Estamos bien? Entonces, eso es reimportante, porque hay un resultado, solo lo voy a mencionar, porque más adelante lo vamos a usar, que seguramente lo conozcan, que es el teorema de Euler, que es bastante sencillo de demostrar para poliedros convexos. Y lo que establece es una relación entre el número de caras, aristas y vértices. Y ese teorema dice que v menos a más c es igual a d. V en número de vértices, a en número de aristas, c en número de caras. Esto es para poliedros convexos. Hay muchas demostraciones, no voy a entrar en eso ahora de este resultado. Una de las más sencillas que yo conozco es hacer una proyección adecuada del poliedro sobre el plano, olvidarse de mirar las aristas proyectadas, eso da un grafo y reducen el problema a un conteo en un grafo y se puede hacer una prueba por reinducción. Si tienen ganas, lo pueden pensar, lo pueden hacer. Es sencillo, ¿está bien? Bien. Ok, entonces tenemos los poliedros convexos. Capaz que ya podemos, en esta revisión media rápida, las cosas básicas, pasar a la idea de poliedro convexo regular. Entonces la primer pregunta podría ser que pensamos un momentito, lo que sabemos, cuál es la noción que tenemos de poliedro convexo regular. Qué me dicen? ¿Qué condición es? Todas las caras, polígonos regulares con gruelos ciudadanos. Todas las caras, polígonos con gruelos. Regulares. ¿Algo más? Eso va a ser por ser convexo. Sí, es cierto. La misma cantidad de caras o de aristas. Parece que es razonable. Eso podría ser una condición. ¿Conocen alguna otra? ¿Los ángulos entre en las caras o entre las caras? Porque está ahí también el tema del ángulo entre las caras. A ver, entonces capaz que, sacando algo en limpio, algo más tenemos que pedir. Los caras de polígonos regulares son bastante claros. Que no hay caso, solo con pedir que sean polígonos regulares todos con gruelos de las caras. Bien. Entonces capaz que pasamos la de los deltaedros, la primer transparencia de Begoi, porque hay varias condiciones, ahí va. Miramos esto un minutito y pensamos que nos dicen, que estos son triángulos equiláteros. Entonces, alguno de esos sería regular. Cumple, por ejemplo, eso de que la misma cantidad de caras incida en el vértice, todos cumplen eso. Miren, por ejemplo, el primero, que son dos tetraedros ensamblados. Hay vértices, en el vértice de arriba cuántas caras confluyen. Tres. En el vértice lateral cuántas caras confluyen. Cumple ese criterio. Bueno, para hacer la corta, lo que digo es que estos no son regulares según ese criterio. Se les llama deltaedros. En realidad son todos los convexos que se pueden hacer y que no son regulares, que se pueden hacer con triángulos equiláteros. Entonces, estamos viendo que tenemos que poner alguna condición adicional a Teresa u otras equivalentes. Ya vamos a volver sobre ese acento. Bien. Vamos a pensar un poquito, volvemos a los platónicos. Entonces, ¿qué pasa? ¿Cómo revisemos un poco en términos generales la razón por la cual solo tendríamos estos cinco bolideros regulares? ¿Qué pasa? En un vértice tienen que cuántos los ángulos que confluyen en un vértice tienen si el políhedro es convexo, tienen una fuerte restricción. Siempre tienen que ser la suma de los ángulos que confluyen en un vértice si están con algo convexo, tienen que sumar menos que 360. Eso es un resultado. La prueba se hace primero para un triedro y después se generaliza. Perdón. Claro, tienen que tener ángulos iguales pero cuántos o sea cuántos triángulos equiláteros puedo hacer confluir en un vértice, lo más que puedo hacer confluir son cinco porque 60 por 5 me da 360 por 6 me da 360. En los triángulos equiláteros yo estoy limitado por eso. Después en los cuadrados que tienen ángulos rectos los que pueden confluir en un vértice son hasta tres. Necesito tres para formar un vértice por lo menos para definir para rodear un vértice y entonces cuatro lo pueden hacer porque 90 por 4 es 360. Y nos están quedando los pentágonos si nos se acuerdan de memoria pero hacen alguna cuenta los ángulos del pentágonos son de 108 grados 108 por 3 va a dar menor que 360 pero 108 por 4 ya les da más grande obviamente que 360. Entonces eso ya limita y acá tiene el tetraedro con cuatro triángulos confluyentes en un vértice. Eso limita ya fuertemente las opciones que tenemos. ¿Tá? Bien Entonces vamos a mirar la segunda transparencia de la clase de hoy que aquí lo que coloqué son algunas esta lista se puede alargar coloqué algunas de las condiciones equivalentes que hay que agregarles al polidero que ya tiene sus caras todas polígonos regulares congruentes una condición cualquiera de estas cuatro es suficiente para definir un polidero regular entonces quería que miráramos un poquito esto la D fue la que apareció que todos los vértices están rodeados por el mismo número de caras ¿bien? esta de alguna forma anduvimos rondando todos los ángulos formados por caras hallacentes sean congruentes el ángulo que forman dos caras que tienen que compartir en un lado bien la C es que todos los ángulos sólidos son congruentes con ángulo sólido me refiero al ángulo que se forma en cada uno de los vértices del polidero esta clara esa emoción y una cuarta que es que todos los vértices de P están en una F estamos bien se entiende lo que dicen las cuatro condiciones entonces vamos a tratar de pensar unos minutitos en eso ¿qué pasa? las tres condiciones de abajo son de naturaleza local porque uno mira lo que pasa en esa lista con relación a las caras lo mismo acá estamos mirando los vértices perdón acá estamos mirando lo que pasa alrededor de los vértices son dos maneras de mirar alrededor del vértice acá el ángulo y acá la cantidad de caras que lo rodee condiciones locales condiciones global bien entonces yo digo tratemos de no voy a entrar en detalles acá en este momento pero imaginamos para probar que son equivalentes podríamos probar este ciclo A implica B, B implica C se implica D y después subí entonces que A implica B a ver si hacemos el ejercicio muy en el aire los vértices están en una esfera los triángulos que forman las caras son todos equiláteros son todos congruentes entonces si voy mirando ángulo por ángulo me hago algún dibujito y voy a ver que los ángulos que forman las caras van a ser todos iguales por el tema de que están todos los vértices en una esfera hay que pensar un poquitito pero es más o menos directo y así podemos seguir avanzando de acá para acá y de acá para acá pero lo que vamos a marcar acá es que el ir de D a A será tan simple o sea estoy tratando de ver de que si todos los vértices están rodeados por el mismo número de caras entonces todos los vértices están en una esfera que dice esto será más o menos directo o será trabajoso si pensemos en esto capaz que una cosa que recomienden las notas es construir algunos si nunca lo hicieron algunos de los sólidos platónicos por ejemplo el icosaedro y el dodecaedro que son los que tienen más caras y que son muy interesantes si algunos los que hayan construido alguna vez en cartulina un icosaedro o un dodecaedro mismo no digo un tetraedro pero habrán visto que el poliedro se rigidiza recién al final del proceso de pegado de las caras que pasa que el hecho de que de aquí podamos decir aquello en realidad es un resultado bastante delicado que parece que el primero que lo probó fue Koji y es que si uno tiene un poliedro complexo con caras dadas y relaciones de incidencias dadas se realiza de una única manera siendo convexo entienden o sea la convexidad implica la rigidez y las relaciones de incidencias de repente para unas ciertas caras no puedo construir poliedro algún pero si puedo construir un poliedro convexo ese poliedro es único es rigido y en eso cierran conceptualmente porque estamos diciendo hubo un salto importante pasamos de condiciones locales que verifican todos los vértices algo global que todos los vértices estén en una esfera si? bueno a ver capaz que ya dije unas cuantas cosas que hayan hecho en un comentario alguna duda que haya quedado planteado hasta ahora bueno entonces retomando el tema este rápido sobre los sólidos platónicos ya vimos las posibilidades que teníamos de ensamblar caras en un vértice ahora una posibilidad que surge es por ejemplo puedo intentar ensamblar tres pentágones para formar un vértice ahora como se que realmente esa idea termina dando lugar a efectivamente un polidro regular si? osea en otras palabras hay una pregunta bastante natural que es como estoy seguro de que este objeto existe matemáticamente osea cumple las condiciones cualquiera de las condiciones que tenemos acá es convexo claramente y cumple alguna de las cuatro condiciones que está acá asumiendo que todos los polígonos son regulares y congruentes pentágones eso es un hecho conocido a ver quienes vieron una demostración de eso alguna vez bueno hay gente que lo vio pero no levanta la mano pero creo que lo conozco bueno entonces esa es una cuestión interesante y la voy a comentar también así conformalmente aprovechando este modelito que hizo Anali miren esto osea no se si todos alcanzan a ver que acá adentro hay inscripto en violeta seria o fucsia rosado bueno este en un color oscuro otro poliedro logram ver si? que polidro parecería que es un cubo bueno entonces una manera posible hay muchas una manera posible de probar la existencia del do de caedro es basarse como se hace muchas veces en geometría uno supone que tiene resuelto el problema y a partir de que lo tiene resuelto supone que lo tiene resuelto y encuentra la solución parece un poco paradójico pero es así bueno suponemos que existe el do de caedro y entonces deducimos un método más o menos fácil los invito a que lo van con ejercicio que si el do de caedro existe este figurita que tengo adentro es todo el poliedro que da efectivamente siendo un cubo pero la gracia es que el proceso se puede revertir porque uno podría decir bueno pero si yo no sé si el do de caedro existe lo que puedo hacer es tratar de construirlo a partir del cubo y eso es efectivamente un método que pasa que lo que habría que saber miren una cara del cubo concentrense en una cara del cubo y tengo como un techito encima de esa cara y esa figura se va a repetir a lo largo del cubo ese techito entonces si supiera las dimensiones con las que tengo que construir ese techito yo podría efectivamente hacer una manera de probar que el do de caedro existe construyendo la partida de un cubo entonces la relacion que hay es la siguiente si ustedes miran el cuadrado acá del cubo y toman rectas paralelas con los puntos medios toman un punto acá vamos a ponerle B O entonces la relación ese sería el punto la proyección sobre la cara del cubo de este punto que estoy marcando acá la cara superior del cubo y este punto que está acá o sea que si miro de arriba lo que voy a tener es una situación así miro de frente perdón tengo A, tengo B tengo O un techito que sería el C y acá vería eso el C es el punto de arriba entonces lo que pasa es que este segmento hay una manera de verificarlo es este segmento es igual a este y estos dos A, B y B, O en relación A hacer esta cuenta yo la hice alguna vez pero no es tan gorroso pero se hace con paciencia de efectivamente este es la relación A y el mayor es este y este punto verifica esta condición ¿ne siguieron? o sea miro esta cara estos dos puntos que están encima proyecto, esta es la proyección B y estos dos segmentos son iguales y estos están en proporcionado bueno, hay que trabajar un poco calculando como uno podría probar que efectivamente el resultado de construir el coliedro que envuelve a ese cubo con esa restricción resulta ser un do de caer ¿está? si? vuelvo ok, entonces tenemos digamos más o menos una idea general de cómo se llega al do de caerro regular capaz que miramos el tema de la adualidad hay un procedimiento general o bastante general para adualizar coliedros convexos entonces el procedimiento lo van a ver registrado acá uno de los procedimientos posibles es el siguiente se enige un vértice de cubo en este caso de los puntos medios de las aristas que confluyen en este vértice en este caso hay tres puntos se toma la circunferencia que pasa por esos puntos y se toman las tangentes a la circunferencia en los puntos de las aristas que se eligieron o sea, eso va a dar que figura va a dar si hago las tangentes entonces elegido que figura se obtendría en el caso este un triángulo equilatra si eso se hace para todos los vértices lo que resulta es el dual un poliedro dual de cubo que en este caso es el octa-eve que hicieron la construcción resumo para cada vértice tomamos los puntos medios de las aristas que confluyen en ese vértice la circunferencia que pasa por esos puntos las tangentes hay esas circunferencias en esos puntos y esas son las caras de mi nuevo polvedro el dual de él que tenía entonces nada, a cada vértice con una cara y en este caso tengo el octa-eve 8 vértices tiene el cubo el octa-eve tiene 8 caras caras del octa-eve son triángulos equilatros y ese proceso si se lo aplicara al octa-eve lo que me daría hagan el ejercicio el cubo conocían esta manera de dualizar porque hay otra manera de dualizar que da el mismo resultado obviamente el resultado es independiente de omotesias no importa el tamaño para el caso de los polvedros regulares hay una forma más rápida de dualizar que es tomar los centros de las caras y eso son los vértices del dual pero por qué explico esta manera esta nación es más fuerte y la voy a poder usar después para otro tipo de poliedro que no sean regulares que sean un poquito menos regulares sí siguieron no lo tenemos dibujado pero si sabes mucho de ustedes lo hayan visto lo pueden imaginar visualizar en forma intuitiva si dualizamos el do de caedro que es lo que da el vértice al dualizar el do de caedro qué tipo de cara voy a tener si dualizo las caras que me dan triángulos equiláteros porque están confluyendo 3 pentágones me dan triángulos equiláteros y cuántos triángulos equiláteros van a confluir en un vértice y van a confluir 5 porque justamente estoy partiendo de que las caras son pentágones y eso nos va a dar igual de los poliedros platónicos si llamas o menos los tenemos vistos el icosaedro así que estamos así una prueba súper rápida no es una prueba, estamos visualizando que el dual del do de caedro es el icosaedro y obviamente el proceso es reversible el dual del icosaedro es el do de caedro y ahí lo tienen el cubo y el octaedro si hacemos me estaría faltando sólo revisar el tetraedro si hacemos la construcción para el tetraedro regular dualizamos el tetraedro regular que conseguimos otro tetraedro regular imagínense se generan triángulos equiláteros al dualizar por cada vértice y se vuelve a recuperar el tetraedro que el tetraedro regular es autodual y en realidad se han cuenta que en algún sentido redujimos la familia de cinco pasamos a tener como tres categorías en este sentido tetraedro, cubo y do de caedro bien entonces capaz que empezamos a mirar el tema de la simetría que es una de las ideas rectoras de este cursillo del grupo de simetría de un poliedro las simetrías de un poliedro van a ser los movimientos que lo lleven sobre si ni que lo lleven sobre si ni entonces capaz que podemos tengo el do de caedro ese es el mejor pero capaz que es el más entusiasmante de ir visualizando que movimientos lo llevan sobre si ni digamos en algún tipo de movimientos bueno, tenemos movimientos directos y movimientos no directos nosotros vamos a concentrarnos en los directos por ahora en los directos entonces tratamos de ver digamos en algún movimiento alguna rotación que lo lleve sobre si ni tendríamos que identificar el eje y el ángulo de rotación el eje punto medio de el centro sí, la esfera claro, o sea, a ver, tratamos de identificar una rotación dando el eje de rotación cuál sería el eje de rotación vértice, está bien acá me sugieren agarrar vértices entonces un vértice y el centro del poliedro bueno, resulta que hay un vértice que es el opuesto de este vértice por hacer una rotación en torno a ese eje y si lo miran si lo miran de arriba roto sobre este punto la rotación de qué ángulo sería las rotaciones que pueda ser de qué ángulo son 120, 120, 240 y bueno, siempre tenemos la identidad que lo vamos a considerar o sea, tendríamos esas tres rotaciones de identidad, ángulo 120 y 240 ese es un tipo de elemento sigamos mirando a algún otro otra rotación perpendicular a una de las caras no tengo donde apoyar y por el centro de la cara va a haber una cara opuesta paralela y ahí tengo rotaciones entonces, ahora de qué ángulo van a hacer esas rotaciones 72 y múltiplos de 72 hasta llegar a 360 que es la identidad entonces tengo rotaciones que podría conseguir rotaciones, eso se llama de orden 5 la rotación de ángulo menor es una rotación de orden 5, la puedo aplicar 5 veces hasta llegar a la identidad las otras eran de orden 3 bien, falta algo más todavía qué otra rotación lleva el poliedro sobre cimí en la arista y lo hago pasar por el punto medio punto medio de arista punto medio de arista opuesta ¿si? ¿se ve? bien, y ahí puedo rotar 180 o 360 que es la identidad ¿si? bueno, en realidad si analizan se podría hacer un argumento no vamos a hacer eso ahora para ver que no hay más rotaciones que el mismo que éstas ¿capaz que podemos hacer la cuenta qué hora es? vamos a ver ¿capaz que podemos hacer la cuenta de cuántas son eso me interesa porque una primera información sobre el grupo es la cantidad de elementos cuando digo grupo capaz que no todos se acuerdan grupo es los elementos son los movimientos se pueden invertir se pueden componer, dar otro movimiento el inverso es un movimiento y es asociativo porque la composición de funciones es asociativo eso es un grupo que se pueden componer y que hay inverso y que el resultado vuelve a ser otro movimiento si uno compone que lo deja en variante sigue obteniendo un movimiento que lo deja en variante lo lleva sobre sí mismo la composición de esos dos movimientos aplicado una sola vez lo deja en variante entonces vamos a hacer el conteo de los elementos sería el número de elementos del grupo grupo de simetrías de lo de caer habíamos dicho que el primero fueron los vértices vértices cuántos ejes de rotación por vértices opuestos hay acá hay que contar con cuidado vértices vamos a poner capaz que tenemos que fijar el número de vértices el número de vértices de lo de caedra 5 10 o 5 y 5 estoy bien ¿no? no me equivoqué cuenten por niveles 5 5 inmediatamente después 5 poquito más abajo y 5 más abajo 20 caras esto es fácil y me están faltando aristas que serían cuantas hay que contar o usar aquello capaz que usamos eso que es más barato pero pueden contar cuánto da si usamos aquello 30 contar que un poquito más de cuidado pero 30 aquella forma bueno, entonces volviendo al conteo de las cimetrías ¿qué pasa? entonces cuántos ejes por vértices opuestos tenemos 10 o sea que esto me va a llevar a 10 ejes por cada ejes cuántas rotaciones tengo bueno 3 pero hay una que es la identidad que se repiten todos entonces es 2, dejo la identidad para el final serían 2 caras ¿está bien? serían 20 más identidad caras tengo 12 o sea que ejes por caras 6 por 4 como me dicen bien por ahí porque de cuento la identidad tengo 4 rotaciones no triviales o sea que esto es 24 y esto aristas tengo que emparejar con una lista opuesta tomar el eje por puntos medios y tengo rotaciones no triviales ahí tendría cuántas una una sola no trivial entonces esto es 15 por 1 si sumo esto esto me da medio 59 pero tengo que para contar todas las cimetrías la identidad no la discriminamos tengo que sumar un 60 ¿está? o sea que tengo 60 elementos ¿está? estamos bien hasta acá alguien quiere reclamar por algo del conteo ¿no? perdón la composición si vos las compones entre sí reaparece es uno porque tenés la identidad que no la conté nunca cuando pusimos acá por ejemplo 10 por 2 eran porque los vértices el vértice opuesto no conté la identidad la conté al final una sola vez para no cortar repetir la identidad ¿estamos bien? bueno, entonces es un grupo que es un grupo muy destacado lo que ya saben cosas ideales que ya saben que es un grupo muy importante una vez que se describe esto es poca información es la cantidad de elementos pero entonces ahora lo que es el ejercicio que me parece que es muy interesante es de cómo se hace una manera para tratar de averiguar más información sobre ese grupo ¿capaz que ponimos el 2D caedro con los cubos? buscarla tranquilo yo voy hablando en esto vamos a basarnos en esta historia del cubo que está metido en el 2D cripto de cuantas maneras podemos hacer esto que hicimos acá con un cubo piense un poquito de cuantas maneras puedo hacer esto de otra manera tres maneras más si yo a ver esto se ayuda si yo elijo una diagonal de una cara tomen que un lado rojo es una diagonal de una cara esa elección de una diagonal me determinó exactamente un cubo porque para formar el cubo tengo que ir necesariamente para acá y para allá y para acá y para acá no tengo opciones elijo una diagonal de una cara eso me define perfectamente un cubo entonces de cuantas maneras puedo hacer eso y si me paro de ahí oí algo creí oí un 5 y efectivamente es un 5 porque que pasa a ver como lo podemos decir muy espacio una cara cuantas diagonales tiene 5, cada diagonal determina un cubo hay 5 cubos a verlo con claridad eso es otro tiempo pero hay 5 5 cubos 5 cubos miramos un poquito ahí esa analía, el primer cubo ven que ya la visualización empieza a hacer algo no tan simple los 5 cubos bueno analicemos un poco a ver por ejemplo en un vértice, cuantos cubos inciden en un vértice del 2 de cada 2 porque según el argumento anterior tengo 2 opciones en una cara eso determina los 2 cubos que puedo hacer incidir en ese vértice entonces que va a haber 2 cubos incidiendo en cada uno de los vértices estamos bien? bueno entonces capaz que explico la filosofía y miramos un poco en detalle la idea es que si observamos cuidadosamente lo que pasa con esos cubos cuando hacemos las simetrías del 2 de caedro podemos sacar información sobre el grupo entonces vamos a hacer lo siguiente aprovecho el que tengo acá primero rotación que es el aspecto de un eje que pasa por puntos medias de avistas opuestas que hace esa rotación con el cubo rojo que hace esa rotación con el cubo rosado que hizo si se ve? bueno capaz que estas usando no es la mejor palabra pero vamos a la idea el cubo queda invariante va sobre sí mismo siempre tengan en mente esa idea el variante quiere decir va sobre sí mismo lo mismo que el 2 de caedro los movimientos que nosotros usamos lo llevan sobre sí mismo entonces el cubo queda invariante entonces la idea capaz que pasamos la última transparencia de hoy la idea es afinar ese análisis una de una cara termino un poco de descriptos ya lo comentamos entonces concentremos esto sería la conversión de una simetría de lo de caedro a lo que hace esa simetría a nivel de los cubos entonces empecé acá por esta, rotación de orden 3 las de orden 3 eran vértices opuestos eje por vértices opuestos y eran de 120º, 240º y van de 360º la identidad ¿está bien? bueno para entender esto parece que la manera es se construye en 2 de caedro en cartulina dibujan los cubos y repasan lo que yo les voy a explicar ahora pero creo que uno lo tiene que mirar por si mismo y meditarlo un poquito a ver si voy a tener que hacer un dibujito para tratar de sugerir porque acá no tengo suficientes cubos entonces insisto, nos concentramos en y por vértices opuestos entonces yo voy a hacer este dibujo tengo un pentágono por acá ahora voy a agarrar este, uno así ustedes no lo van a ver, también clarito para no tener que ser tan grande se construyen uno así y pueden mirar entonces yo voy a mirar acá para no perderme entonces tengo un pentágono por acá otro pentágono por acá y un tercer pentágono acá y este, por acá pasa mien entonces según lo que decíamos hace un momento principio voy a tener un cubo que va a estar que va a estar determinado por esta diagonal voy a tener otro cubo que va a estar determinado por esta otra diagonal y voy a tener un tercer cubo determinado por esta diagonal está claro que eso corresponde a tres cubos distintos bien entonces cuando ustedes hacen las rotaciones que dijimos que es lo que va a pasar con esos cubos este hago una rotación de 120, viene para acá este viene para acá y este va para allá, eso es una permutación circular por lo menos estamos permutando circularmente esos tres cubos la pregunta es que pasa con los otros dos cubos entonces los otros dos cubos estos se permutan circularmente se permutan tres circularmente y o sea, eje varios sus opuestos y los otros dos en realidad lo que pasa es a ver si puedo dibujarlo es que los otros dos quedan invariantes los otros dos quedan invariantes a ver, déjenme ver porque yo tendría el color pero acá tengo, acá voy a tener uno un cubo más y acá voy a tener otro cubo a ver como es esto creo que estos dos son del mismo acá esos tres son del mismo cubo y me faltan tres más que es fácil van a ser estos a ver si se entendió el dibujo líneas punteadas negras son aristas de un mismo cubo líneas punteadas rojas son aristas de un mismo cubo si hago una permutación una rotación de 120 grados este ángulo entre las líneas punteadas rojas o las líneas punteadas negras es 120 entonces las rotaciones de 120 o 240 llevan esos dos cubos sobre ese mismo, o sea el negro va sobre el negro y el rojo va sobre el rojo entonces cuál es la conclusión que los otros dos cubos quedan invariantes tres se permutan circularmente y los otros dos perdón si pero como que yo lo que estoy mirando está bien pero estoy mirando el cubo entonces como yo sé que la arista determina el cubo si permutó las aristas, permutó los cubos está bien y para este otro caso perdón ah el último caso si las aristas se intercambian el rojo sobre el rojo solo se están cambiando las aristas el rojo sobre el rojo punteado y el negro punteado sobre el negro punteado bien entonces permutación es lo que está dicho acá rotaciones de orden 3d que por vertices opuestos están en correspondencia con las permutaciones circulares de tres cubos en el eje de rotación quedan invariantes es lo que acabo de explicar si vieron hasta ahí esto que voy a decir ahora lo que saben un poquito de grupos de permutaciones lo van a entender los demás tendrían que estudiar un poquito de grupos de permutaciones, lo quiero decir igual porque para mi está buena esta manera de abordaje y es que yo acá ya saqué hay un resultado que dice que las permutaciones o sea el asunto es si el grupo ahí va si el grupo de cemetría que estoy buscando es el de las permutaciones de los cubos tengo 5 cubos 5 objetos se pueden permutar de cuántas maneras 5 factorías que es 5 por 4 por 2 que es 120 no es 60 que es lo que uno podría pensar uno ahí podría lanzarse ah, entonces el grupo hace una permutación de los cubos no, pero no le ramos por mucho porque qué pasa acá es donde viene ese resultadito que si uno lo usa las cosas quedan simples y es que las permutaciones circulares de 3 elementos generan el grupo de las permutaciones pares de 5 elementos las permutaciones pares de 5 elementos son las que se obtienen haciendo un número par de intercambios o sea cualquier permutación se obtiene haciendo intercambios 2 a 2, si la cantidad es intercambio necesario para obtener una permutación es pares a permutaciones pares entonces lo que es la conclusión usando ese resultado sería que el grupo de las simetrías del 2 de cadro es así permutaciones pares de 5 elementos entonces ahí lo que estamos ganando es que estamos describiendo abstractamente el grupo o sea sabemos más ahora que sólo decir que tiene 60 elementos abstractamente tenemos esa descripción por un grupo de permutaciones campas que miramos no se quieren comentar algo nos siguieron o los perdí alguna duda la última parte de las permutaciones pares si no vieron cosas de permutaciones lo verán bueno, el rapaz que analizamos para reafirmar un poco la idea analizamos los casos que quedaban por ejemplo, rotaciones las rotaciones de orden 2 son las que tienen ejes que pasan por puntos medios de aristas opuestas claro, ahí ya habíamos visto que lo que pasaba es que dejaba invariante un cubo y si miran no voy a hacer el detalle pero lo pueden hacer ustedes mismos sin problema se intercambian hay que dan 4 cubos intercambian 2 a 2 miran, hacen un dibujito y lo mismo y capaz que es más fácil de ver este es capaz que se queda un poquito más de trabajo gracias este es más fácil de ver ahí puedo hacer un dibujito rápidamente las rotaciones de orden 5 por centros de caras opuestas entonces que pasa si ustedes miran miran las diagonales de las caras el pentágono ahí tengo las 5 diagonales o el mismo color pero son de 5 cubos distintos acá tengo representado los 5 cubos entonces si hacemos una rotación este de estas de ángulos 72 un múltiplo de 172 que es lo que va a pasar con estas aristas se hace de vuelta una permutación circular entonces tienen una permutación circular todas las permutaciones circulares de los 5 cubos bueno, si se hace el análisis ahí están de pintar todas si se hace el análisis todas son pares las permutaciones que aparecen se producen por intercambio por 4 intercambios o 2 por un número par de intercambios entonces las que aparecen son las permutaciones pares de 5 elementos bueno eso sería la cuestión en líneas generales de el 2 de caer el grupo de simetrías del 2 de caer pregunta si queremos decir algo sobre el grupo de simetrías del icosaedro que podemos hacer puede hacer este análisis es una posibilidad algo más económico el dual el icosaedro es dual del 2 de caer y entonces hay que tener el mismo grupo de simetrías efectivamente eso es cierto no hicimos el dibujito de la dualización del 2 de caer pero se imagina las simetrías que dejan invariantes imagínense en el dual construido como dijimos las simetrías que dejan invariantes al 2 de caer van a dejar invariantes al icosaedro e inversamente por cómo queda la construcción entonces el grupo ya lo tienen directo el grupo es el mío las permutaciones para el 5 elementos este bueno el que sencillo es el del tetraedro capaz que los dejo pensando un minutito en eso a ver cuál sería el grupo de las simetrías del tetraedro regular directas, siempre estamos hablando directas rotaciones qué tipo de movimientos sólo para repasar un poco la idea de rotaciones lo dejan invariantes digamos en el grupo vértice, a ver ya me tiraron con el vértice y el centro ahi va centro de cara opuesta esas rotaciones serían de que ángulo que ángulos 120, 240, 360 osea serían vamos a hacer el conteo capaz osea cuántos ejes de estos tenemos 4 osea sería 4 por cuánto por 2 igual que hoy después puntos medio de lista puntos medio de lista, aristas opuestas osea por ejemplo y estos cuántos ejes tenemos de eso de eso perdón, 3 y cuántas tenemos en cada una o de qué orden son la que genera el grupo es de orden 2, 180 y la identidad que la estoy dejando opasta así que suba este y que más ya esta osea que esto daría 11 más 1 es 2 son 2 este que uno podría ahi decir si no mera los vértices ver que podría tratar de asociar eso a las permutaciones de los vértices pero está claro que no todas las permutaciones de los vértices van a ser posibles algunas y otras no solo son posibles de vuelta con esa idea de la paridad las permutaciones pares porque una, esta rotación intercambia el 4 con el 1 y el 2 con el 3 y así puedo intercambiar pares de vértices y después tengo la rotación con este eje que pasa por el vértice que también resulta ser una permutación pares osea que son las permutaciones pares de 4 vértices permutaciones pares de los 4 vértices 4 factorial dividido 2 que es entonces hice el conteo lo hicimos rápido, esto la tienes adentro un poquito de algo de permutaciones pero esta es una descripción abstracta del grupo así que para completar esto estaría quedando el caso del cual cubo y octáedro que son duales bien entonces a ver si traje si traje bueno es un poco chiquito lo que pasa es que más o menos si lo grabe hay muchas ideas esta es una idea para analizar el grupo del octáedro que es como analizar el grupo del cubo entonces les cuento después la miran ustedes los detalles pero cuento la idea en lo esencial las caras opuestas las colorean con el mismo color caras opuestas que son paralelas van del mismo color entonces ¿cuántos colores tenemos? tenemos 4 colores entonces uno puede hacer de vuelta el mismo jueguito o sea yo por ejemplo agarro la amarilla y giro con respecto tengo una simetría acá que es derrotar 120-240 acá entonces ahí empiezo a ver qué es lo que pasa con la invariancia o no de los colores entonces tengo 4 colores entonces el asunto es pensar en las permutaciones a ver si aparece todas las permutaciones de los 4 colores y y el resultado es que sí hay que hacer el análisis de los distintos casos si quieren repasamos cuáles son los tipos de movimientos que lo dejan en variante unas son las rotaciones con eje por puntos por centros de caras opuestas que otra cosa hay vértice vértice rotaciones ahí que en ese caso van a hacer de qué ángulo 90, 180, 270 y hay alguna cosa más punto medio de arista punto medio de arista, opuestas y ahí van a hacer rotaciones de no 180 180 y la identidad está entonces capaz que que esto se lo miran en todo caso lo lo conversamos mañana así que no hay alguna duda o sea la conclusión sería que que quedan en correspondencia las simetrías que dejan en variante el octaedro con las permutaciones de los colores y ahí tienen la descripción abstracta del grupo con un coloreado a partir de un coloreado adecuado de el octaedro bueno, muy bien creo que estamos viendo sobre la hora capaz que lo quede si, según quedaría 5, bueno, estaba capaz que usamos esos 5 minutos para interrogantes que hayan surgido comentarios, no sé, observaciones, no sé, experiencias que creo que les parezca si y, o sea muchas cosas se extienden muchas cosas se extienden a dimensión más alta o sea, no me considero no considero que quería hablar de eso no conozco lo suficiente como para decir o sea, para dar un panorama de eso, pero sí, o sea todo esto es susceptible de pensarse en dimensión en dimensión más alta la duda, contar, suferencia, algo que haya conocido en donde ah, si, o sea la cantidad de simetrías en relación a la cantidad de aristas si, eso es a ver a ver, o sea, como es los que obtuvimos si, 60 si si, pero la cantidad de simetrías directas eran 60 a ver, pensemos un poquito 4 no sabrían decir que o sea, está pasando que en todos los grupos bueno, es 3 porque está también, bueno el del cubo lo pasé muy por arriba pero en el del cubo en el cubo tenés cuántas aristas 12 y tenés 24 elementos en el tetraedro tenés 6 aristas y tenés 12 simetrías en el do de caedro si, cosaedro tenés 30 aristas y tenés ese C no sabría decir pero tal es una constatación a considerar bien no, lo que pasa es que cuando dobalizás el número de aristas el número de octahed de el número de aristas no cambia al dobalizar si no, yo estaba pensando en eso también al dobalizar el número de aristas no cambia lo que se intercambia es el número de caras y el número de vértices se intercambia por la dobalización o sea, que se sostiene la observación para todos los casos más comentarios con los movimientos indirectos a ver, si vos tenés un grupo en el que tenés algún movimiento indirecto un grupo finito de movimiento si tenés algún movimiento indirecto los movimientos directos son la mitad de los elementos o sea, siempre podés pasar multiplicando todos los directos esto está como ejercicio en las notas que lo pueden hacer, multiplicando todos los directos por uno indirecto conseguís todos los indirectos entonces como que en realidad desde el punto de vista del grupo es bastante simple la descripción ¿sí? se entendió eso multiplicando todos los directos por uno indirecto que tenga o sea que el grupo en el caso del do de caedro cuántas simetrías directas ¿sabrías? claro, son 120, 60 por 2 verificar eso que estoy diciendo es sencillo si no, uno puede hacer el conteo directo en el análisis detallado más comentarios en el octavio de do de caedro te quedan 48 todas, claro eso es un resultado general que es bastante directo el doble de 24 bueno, entonces cierro sólo una cosita hay un resultado muy fuerte que es un teorema de Klein que lo que dice es que nosotros vimos los grupos de simetrías hicimos una pasada en el rápido por los grupos de simetrías de todos los platónicos del octavio y el cubo medio rápido pero más o menos por su modo entonces resulta que los grupos filitos de las isometrías de 3 tienen que ser algunos de los solios platónicos o dos casos que aparecen separados es las simetrías de una pirámide recta que son es un grupo psíquico no más una pirámide recta se imagina con un polígono regular en la base por ejemplo un pentavo regular en la base tiene rotaciones de orden 5 y nada más que eso y una bipirámide es dos pirámides rectas así con base regular ensambladas por la base porque ahí se pueden dar vuelta entonces aparece una simetría especular entonces está bueno ese resultado porque no está escrito en las notas le piden detalladamente el enunciado es que estamos atrapando lo esencial los grupos finitos de las simetrías de R3 al estudiar los grupos de simetrías de los polígueros regular bueno, esto no hay una observación más sería todo por hoy