 Vous pouvez me dire ? Est-ce que ça marche ? Non ? Vous pouvez me dire ? Ok, merci pour les personnes qui ont survivés. Aujourd'hui, je vais essayer de vous montrer comment accomplir cette expérience dans les ensembles. Je l'ai étudié la dernière fois, à l'aide de l'autre ordre. Et ensuite je vais expliquer comment vous pouvez utiliser ces idées dans le cas de plusieurs coupes. Et aussi dans le cas discret de l'indicatif que nous avons vu dans quelques autres discussions. Je vais vous rappeler ce que l'on a vu hier. Je considère que c'est un ensemble de plus en plus. Et ce que j'ai prouvé pour vous, c'est que... Vous avez la convergence de la majeure du crubium. Je ne jure que si la v est tendue à continuer, et que l'on va à l'infinitif suffisamment. Donc c'est général et nous avons la concentration de la majeure. Et ensuite, je l'assume plus. Je l'assume plusieurs choses. Donc la majeure a un support connecté. La majeure est off-criticale. C'est le sens que vous pouvez écrire la densité comme ça. La majeure est positive, au moins sur A, B. La v est suffisamment douce. La cp, vous pouvez trouver quelque p qui est suffisamment dans les notes. Et je l'assume aussi que le potentiel effectif est positif. Je vous remercie que la majeure du crubium a été caractérisée par l'existence d'un constant. Alors que c'est 0 sur le support du crubium. Et que c'est négatif à l'extérieur. Et que vous assumez que c'est très positif à l'extérieur. Je n'ai pas vraiment discuté cette hypothèse hier-bas. C'est important pour que vous n'avez pas de valeurs envers la support. Je l'ai mentionné un peu plus tard. Vous avez une grande avion, qui dit que, en tant que positif, la probabilité d'avoir des valeurs envers la support est de 0 exponentially vite. Et c'est important pour le résultat. En tout cas, vous pouvez prouver que, en quelque cas, les valeurs envers la support peuvent aller. Si ça pourrait être 0 à l'extérieur. Et ce que j'assume, c'est ça. Et puis, ce que j'ai fait, c'est que, on regarde à ce point, si l'alimentation est suffisante, donc, encore une fois, c'est ck, si c'est large enough. Et puis, ce convertissement, c'est ce qu'il y a d'autres valeurs envers la support. J'ai mentionné, maintenant, que vous pouvez obtenir la correction de l'extérieur pour la convergence de ce gars. Et, bien sûr, vous pouvez obtenir toutes les valeurs comme ça, recursivement. Donc, on regarde, encore une fois, que c'est une équation, que j'ai évoquée hier, qu'on avait cette opérative, qui est venu de l'alimentation de l'équation. Donc, encore une mesure empirique. Donc, c'est la mesure empirique. Et donc, quand vous substituez le sens, c'était 1,5 minus 1 over beta, l'expectation de f prime. Et j'ai 1 over n. Et puis, j'ai la covalentation venant de l'alimentation. Donc, c'était l'expectation de x minus f y minus y. Alors, c'était la formule que j'ai obtenue par l'intégration, par part, et nous étendons la termine par l'alimentation autour de la mu-v. Et donc, si maintenant je veux regarder l'autre ordre, je supplie le sens. Et le sens est juste venu de l'alimentation. Donc, c'était 1 over 2 minus 1 over beta. Donc, peut-être que je peux inverser ce gars, en fait, avec la mu-v. Donc, l'alimentation aussi. Et maintenant, j'ai cette. Et... Et ici, j'ai xy minus 1. Ok, donc c'est la formule que j'ai obtenue par l'alimentation. Donc maintenant, je peux multiplier par n square. Et quand je multiplie par n square, je vois que j'ai cette venu, mais je sais que c'est convergé par l'alimentation centrale. Donc, c'était... j'ai mf. Ok, donc, c'est convergé vers... je dois multiplier par n square. Et... convergé vers minus beta m de ce gars. Et ça, c'est convergé parce qu'on a des convergences comme des covariants. Ok, donc, c'est quadratique. Et vous pouvez voir ça comme un intégre d'un produit de fonction en y et en x. Par exemple, en utilisant le transform. Ok, donc, c'est convergé par l'alimentation centrale évalué par cette fonction. Donc, c'est m2f. Ok, donc, ça vous donne le prochain ordre. Et bien sûr, vous pouvez continuer comme ça. Si vous voulez un plus précis, vous devez avoir le prochain ordre dans l'alimentation centrale que vous trouverez en utilisant l'équation d'alimentation centrale. Vous pouvez faire comme ça toutes les ordres. Ok, et je vais vous montrer comment ça peut être utilisé pour obtenir l'expansion de la fonction partition. Je vais utiliser la même hypothèse. Si vous regardez 1 over n squared log of Znv divided by Zn V0. C'est peut-être le potentiel peut-être que je dois le mettre comme ça. Quadratique potentiel. J'ai dit que nous pouvons utiliser ce que nous avons juste fait pour montrer que vous avez une expansion comme ça. Pourquoi je n'ai pas mis le gauchon? Donc, le point est que ce que je veux faire c'est que vous utilisez l'expansion de l'expectation sur une interpellation. Vous devez trouver Vt de V0 qui est dx minus c squared divided by 2. Vous pouvez compter des choses parce que c'est juste un GUI non sans dot GUI. 2 v 1 equal to v. Donc ce que vous pouvez faire c'est que log of Znv divided by Znv0 donc ce sera l'intégral de 0 à 1 de la dérivatif et on a déjà vu que la dérivatif sera l'expectation de Pn Vt de la dérivatif avec respect au temps de Vt contre Dm. Je ne sais pas si vous le voyez mais quand vous différenciez ce GUI pour différencier le potentiel et ce que vous avez c'est juste la dérivatif du potentiel avec respect au temps de Vt. Donc ce qui est important maintenant c'est que vous voulez... Vous voulez utiliser cette expansion OK, donc ici ce que j'ai prouvé c'est l'expectation de Pnv je peux l'expander comme m0f plus 1 plus 1 plus m0f plus 1 OK, donc si je peux pluger cette expansion ici je serai fait. Bien sûr, ma formula sera un peu agréable parce que elle sera en termes de l'intégral mais je vais avoir quelque chose de la formula. Donc le seul problème c'est de faire sure que vous pouvez trouver une interpellation Vt où tous vos hypothèses sont fulfillmentis donc ce n'est pas toujours clair parce que vos hypothèses sont sur la mesure de l'équilibre Comment pouvez-vous trouver un passage et là il y avait une très bonne idée que c'est à cause du mariage Charbina qui est pour noter que si vous n'avez pas la support si vous choisissez cette constante X, C et D donc que la mesure associée à cet potentiel sera la loi semi-circulaire nous savons que c'est la loi semi-circulaire donc vous choisissez la variante pour que c'est juste la bonne support et puis le claim est que si je prends Vt avec cette interpellation donc c'est 1-t plus-t V puis la mesure de l'équilibre c'est aussi l'interpellation linéaire de la mesure de l'équilibre et pourquoi c'est juste parce que la mesure de l'équilibre est caractérisée par cette équation et vous voyez que c'est satisfait linearement donc si V0, Vt satisfait cette équation et que c'est le même set alors que cette interpellation sera satisfait de cette équilibre donc c'est bon parce que pour cette interpellation vous avez une bonne formule pour votre pour votre mesure de l'équilibre et vous pouvez le vérifier donc si V0 de cette forme l'interpellation sera de cette forme juste parce que la mesure de l'équilibre sera factorisée donc vous pouvez vérifier que c'est vrai donc Vt satisfait toute l'hypothèse et puis vous pouvez pluger l'expansion et vous obtenez ce résultat donc j'ai dit que la mesure de l'équilibre est de cette fonction d'une sorte d'interpellation donc bien sûr, V0 est un peu facile de voir donc c'est en fait ce g de Vt vous pouvez voir ça d'une grande déviation ou peut-être un minus un minus la F1 vous pouvez compter aussi plus de lits mais vous devez multiplier par des facteurs de beta donc je pense que c'est quelque chose de beta2-1 peut-être un minus c'est bien la F2 commence à être plus compliquée je veux dire que nous n'avons pas de formule simple pour ça ok, donc c'est la fin de l'ensemble de beta avec un cut donc vous avez une question avant de vous dire comment aller aux deux cuts et aux modèles discrets ok donc dans le modèle de matrix quand vous avez cette fonction il y avait aussi une interpellation géométrique c'est quelque chose de similaire ici ou non ? quand vous n'avez pas dans un régime perturbatif je ne sais pas je pense que c'est juste la continuation analytique de cette série je veux dire quelque chose oui je pense que tout de suite jusqu'à la transition face ce que vous avez c'est juste une continuation analytique de la formule pour le régime perturbatif mais ça peut devenir assez agréable ok, autre question mais c'est quand vous êtes dans un régime perturbatif je pense que d'ailleurs la seule interpellation c'est que c'est la fonction analytique qui est qui est la extension de cette série avec une interpellation mais ah ok, donc quand beta ok, vous êtes bien, donc il y a le beta donc il y a deux questions ici nous ne sommes pas dans le régime perturbatif je pense que pour le cas de beta equal à 2 c'est juste la extension analytique de ce que nous avons ajouté pour ce set de paramètres quand beta est différent 1 et 4 et en fait je pense que c'est une question que les gens ont essayé de analyser je pense qu'il y avait des attentes de obtenir une interpellation mais c'est pas clair pour moi qu'il n'y avait quelque chose très simple je pense que la idée que a priori vous pouvez regarder l'équation récursive et essayer de voir si il y a un bon objectif qui satisfait les mêmes sortes d'équations c'est la façon dont vous pouvez faire ça au moins que vous avez des idées qui viennent d'au-delà donc j'ai rencontré des gens qui pensaient sur ces questions mais je n'ai jamais entendu d'une très bonne réponse ok, donc let's look at the several cut case so as we are going to see the several cut case we have something different so several cuts so this means that now the support of muv is going to be some union of finite let me assume that finite union as Ken mentioned when the potential is analytic you know that there are finitely many cuts and then so we have as I said always the convergence of the equivalent measure we have concentration but what we would like to understand is this kind of questions and it turns out that we have a major problem which is that the operators oxide I remind you that this operator oxide which was v of x was the operator oxide was defined like this so minus this was this master operator we had to invert then it's not invertible anymore because for instance in the image you don't have the indicator function of smooth function of let's say one of the indicator function of a1, b1 why you don't have this because if you look at this as I said last time all this I like to find a y so that on the support of s you can find this but you see that this will be an analytic function on the other part of the connected component and so it will be 0 on all this part so it's impossible unless your analytic function is 0 so it's impossible ok so in fact it's not possible to invert this operator so what can we do and the point is that if we fix the number of eigenvalues in each connected component then in fact we can we can invert this operator because now we will have several measures separated measures on each connected interval and so we can do everything once we have fixed this this filling fractions so let me show you the result and then I will explain you the idea of the proof I should have used that so actually I just erased something I want to generalize so now I will assume again that I am off critical so I have density which is of this form and I assume that the effective potential is positive outside what I am going to show that there exists so if f is smooth enough there exists m1 how did I write it? maybe I should for that if I look at the Laplace transform of this guy I want to compute the Laplace transform of this guy I first have it's 1 plus something small of something which looks Gaussian times something which looks ugly it's a sum of n1 of so some vector mf so n minus muV of so it's a vector where you n minus the mass of each of the component times n and then so maybe I should mf and then I have minus n minus muV s n q n minus muV sn ok and I have q q which is positive definite times p and then I should divide this by the normalization constant so the same thing where I don't have this so I have some ok so let me comment on this big formula so you have the first term which is exactly the Laplace transform of a Gaussian but then it has to be corrected and it has to be correcting according to something which may not converge actually when n goes to which does not converge in general when n goes to infinity which depends somehow on the number of eigenvalues you have in each connected component so you should think about this ni at the number of eigenvalues component so this and you should think that this will follow kind of discrete Gaussian ok so n minus recentering which is the limit ok so this is the equilibrium limit will fluctuate like a Gaussian and the point is that because muV of s is in general a real somehow this n is an integer this in general does not I mean you don't have a convergence of this space is not converging so this default of convergence was I think put forward first by Pasteur the fact that there is no convergence when you have several cuts in general except long subsequences and also I thought there was a very nice work of Maria and Trisha Bower on this subject the point is that you should not expect indeed that there is a central limit theorem because as I said if you take as a test function a function which is one on one cut and you imagine that there is no eigenvalues in between cuts so this will be an integer ok actually this will be this n and you are subtracting something and you expect a continuous function so it's impossible ok you have an integer minus some number it cannot go to a continuous to a continuous variable ok so this is a mixture so you have to understand the central limit theorem in this case is a mixture of the Gaussian and a discrete Gaussian which is taking care of the second values going from one cut to the other Questions on the result or I explain the ideas of how to prove that maybe the result will seem more clear once you see the proof and for the way we prove that is the following as I said the first thing is to see that you don't have eigenvalues in between the cuts you want n1 and p equal to n the sum equal to n the sum of n1 to np equal to n capital n the small n so here I am assuming so these are integers the sum is equal to n you are right yeah so that's really the number n i is the number of eigenvalues you have in the cut a i b i that's the idea ok so what is the first thing is to get a large deviation of the support so under the condition that the effective potential positive s complement then for all epsilon the probability that there exist lambda i such that lambda i is so outside un epsilon neighborhood of s ok so this will go to zero actually we have even large deviations so s epsilon of the x which are at distance so we can show that actually we have a large deviation principle with this rate function and then so the application is that we can replace our measure by the measure we have restricted all the eigenvalues to be in this set namely I can replace v by n epsilon v which is pn where I have put the eigenvalue in s epsilon dn v epsilon and now I can just condition by the number of eigenvalues in each cut ok so if I look at pn epsilon this will be the sum of also n1 plus np equal to n and where I will put the indicator function of lambda 1 lambda n1 in a1 1 till the last one so lambda n1 plus np minus 1 plus 1 till lambda n in the last one then I have my density always the same product of d lambda i so I can divide by the partition function which now depends on n1 np and I have to multiply by the partition function 1np partition function of the whole model and here also I reordered so I need to multiply by n factorial divided by n1 factorial np factorial ok so now what happens is that I tell you and you have to believe me at this point and you can look at the notes otherwise that I can do everything once I have fixed this feeling fraction because now I can again invert my operator and so on so what this means is because I showed you how to to expand the partition functions of course first so I can I can write this as n square and of course my my limit will depend on my fin fractions moreover because I had concentration of measure I knew what are the the most likely and I they are close to the limiting measure so I know I know that there is a probability under p and v that n i over n minus mu v of s i greater than delta so this is going to be by using the concentration argument smaller than something like this ok so I know that somehow this n i minus n mu v of s i should be smaller than something like square root of n log n overwhelming probability ok so I can always assume that this n i over n are very close to the equilibrium value and so now if I show that the f i are smooth I can expand around this value ok so what I will find is that I will have something which depend on this mu v so this are the equilibrium measure and then I expand this guy so the derivative of this guy will be 0 because this guy is optimizing this I mean I know that I mean it's just 0 so I know the derivative is 0 and then I have the action ok so I have I denote q which is minus the action of f 0 at n i over n which is this thing so what I have is minus 1 over 2 of so n minus v of s n over n minus mu v of s ok on what we can show is that this is positive so that's the q which is showing up here because I forgot of course because this was the term f 0 I have to multiply by n square and then I have the f1 so the f1 only the first derivative will already matter so it's a gradient of f1 again at n i over n mu v of s i so I multiply by n and I have again n over n minus mu v of ok plus something small ok so I'm quite in good position now to prove the central limit theorem so of course I have I'm going to put f2 maybe somewhere f2 you have too many f0 f1 so here it was the first term so this is just the equilibrium thing f0 and then this is the second derivative after f1 you have an f0 ah sorry sorry f2 so f2 is also smooth so it's f2 yes we have sometimes we go backward I get lost so indeed this was another f2 so now imagine that I want to compute this Laplace transform let me call it lambda of f sorry can you say again why f0 prime is 0 because you are on the minimum yeah so f0 prime it disappears because this mu v of s is going to be the optimizer for this guy for the f0 ok because just it's come it's maximizing the f0 without any constraints so ok so instead you have the f the gradient of f prime that survived f1 as the first derivative so this is a gradient of f1 at ni over n which is the equilibrium thing fraction so actually this will be ah this v here I actually there was no ok so here I should have put the lambda here and v here so this will be the v and this is the q here there is no lambda ok so now if you want to compute so this so what you do is you write it ok so maybe actually I should have added this I mean I can always add this term here so that all included I mean I can also expand this of course in a large n limit and so I write it as a sum of n1 np and so now I have some big normalizing constant and what I will get so this term is constant so I can forget about it it goes below in the partition function and so what I get is minus 1 over 2 of n minus n mu sq n minus n s I have this extra term and now what I have is expectation of this guy but here if I recenter it with respect to it's not quite right to get the large deviation under this merger you have to recenter with respect to the limiting merger for this guy ok so if you really want to do the thing right you should remove and then you have n integral of f I forgot the lambda ok where mu n1 over n so it's the equilibrium merger so it's minimized so the same rate function subject to the constraint ni of si so of ai bi this is ni over n ok I mean that's I mean if you want to recenter with respect to this you have to recenter with respect to it's the equilibrium merger for this probability where you have fixed the feeling fraction ok so when you do that then you have the central limit theorem and you get this term because the mean and the covariance are going to be continuous in this feeling fraction so you can replace by the limit but here you see that you will eventually get something and so what you get is a derivative the gradient of this function as a function of the feeling fraction a scalar n over n minus mu v and you multiply by n so it's n at the first order ok so this will create this term which eventually fluctuate according to to the feeling fractions alright so that's basically the idea I mean you can find all the details in the notes but somehow really the idea that you have a feeling fraction you have a real CLT but then the feeling fraction are going to fluctuate according to this kind of discrete Gaussian which may not converge because n times the limiting thing fraction is not converging and this when you compute the Laplace transform just turns out into this kind of extra drift so that's the idea do you have questions about that ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?