 En 1982, Martin Gardner publie Gotcha, un recueil de paradoxes mathématiques allant des antiques paradoxes de Zénon jusqu'à celui de l'Hôtel de Hilbert. Parmi eux, figure le paradoxe de la corde élastique, une variante du paradoxe de Achille et de la Tortue, dont la solution est particulièrement contre-intuitive. Ce problème met en scène un variant escargot, une corde considérablement élastique et un géant facessieux. Ce qui tombe bien, c'est que j'ai justement 2 minutes pour en parler. Cette histoire met en scène Léo, un escargot particulièrement obstiné, qui vous savit à atteindre l'extrémité d'une corde sur laquelle il progresse. Cette corde mesure 100 mètres, et Léo avance à la vitesse de 1 mètre par heure. Si rien ne s'opposait à lui, il lui faudrait donc 100 heures, soit un peu plus de 4 jours, pour arriver à son but. Ce qu'il ne sait pas encore, c'est qu'au début de chaque heure, un géant infatigable viendra tirer sur cette corde, qui se trouve en fait être un élastique infiniment extensible. A chaque fois, la corde sera étendue de 100 mètres, et ce de façon homogène. Cela signifie que lorsque le géant tire sur la corde, la distance qu'il restera à parcourir pour Léo augmentera, mais aussi la distance déjà parcourue. Seule le pourcentage de progression de Léo restera le même. Notre courage de l'escargot est-il condamné à airer sur cette corde pour l'éternité, ou bien pourra-t-il accomplir sa mission et, si oui, après combien d'heures atteindrait-il enfin son but ? Pour répondre à la question, le mieux est d'observer, heure après heure, le périple de notre gastéropote. Au début de la première heure, l'escargot est dans les starting blocks, et la corde de mesure 100 mètres. A l'issue de cette première heure, il aura parcouru 1 mètre, ce qui représente 1% du trajet total. Puis, le géant tire sur la corde, qui passe alors à 200 mètres. Puisque la déformation est homogène et que la corde a ici doublé en taille, chaque distance est doublée. La distance qui sépare l'escargot de son point de départ est donc maintenant de 2 mètres. La proportion de trajet parcourue n'a quant à elle pas changé, elle est toujours de exactement 1%. Durant la deuxième heure, l'escargot parcourt à nouveau 1 mètre supplémentaire. Il aura donc parcouru en tout 3 mètres sur un total de 200, ce qui représente maintenant 1,5% du trajet. A nouveau, les géants tirent sur la corde, qui passe de 200 à 300 mètres. La proportion de trajet parcourue par l'escargot reste constante. Ce sont donc maintenant 4,5 mètres, qui sépare l'eau du point de départ. Durant la troisième heure, l'escargot avance de 1 mètre supplémentaire, soit 5,5 mètres en tout. Puisque la corde mesure 300 mètres, cela représente 1,83%. Regardons un peu plus précisément la proportion de trajet parcourue par l'escargot à chaque étape. La première heure, la corde mesure 100 mètres. En avançant de 1 mètre, Léo a donc progressé de 1%. La deuxième heure, la corde mesure 200 mètres. Puisque Léo avance toujours de 1 mètre, il progressera durant cette deuxième heure de 1,5%. La troisième heure, la corde mesure 300 mètres. En avançant de 1 mètre, il progressera donc de 1,3% de trajet en plus. On peut facilement généraliser en remarquant que, à la nème heure, la corde mesure 100 fois n mètres. Et Léo progressera de 1,9% de trajet supplémentaire. Finalement, après n heure, le pourcentage de corde parcourue par Léo sera de 1,1,1,2,1,1,8 plus 4,5,5,5,5,5,5,5 plus 4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5... Cette somme, 1,1,1,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5... ... porte le nom de série harmonique. Et la question est donc de savoir s'il finira par dépasser le seuil des 100%. Cette histoire peut rappeler l'un des 8 paradoxes de Zénon que Aristote nous a rapporté. de Achilles et de la Tortue. Dans cette histoire, Achilles, le héros légendaire de la guerre de trois, cherche à battre à la course une modeste tortue. Cette tortue marche à la vitesse de 5 mètres par seconde, tandis que Achilles court à 10 mètres par seconde. Pour lui laisser une chance, Achilles lui laissera 5 mètres d'avance. Une demi seconde après que la course est démarrée, Achilles atteint le point de départ de la tortue. Pendant ce même temps, la tortue a également avancé. Elle gardons toujours un peu d'avance. Le temps que Achilles atteigne cette nouvelle position de la tortue, elle aura une nouvelle fois avancée. Zénon conclut alors que Achilles ne pourra jamais dépasser la tortue puisque celle-ci maintiendra toujours de l'avance. Pourtant, l'expérience montre que Achilles finit bien par dépasser cette tortue. Il y a donc ici un paradoxe. En fait, dans cette histoire, Achilles courra avant de rattraper la tortue, une distance en mètres égal à 5 plus 5 demi plus 5 k plus 5 huitième plus etc. Cette somme possède un nombre infinit de terres. La théorie des suites géométriques permet de montrer que cette somme, même si elle semble infinie, est exactement égal au nombre 10. Il faudra donc bien une infinité d'étape pour rattraper la tortue, mais seulement au bout de 10 mètres. Mais le temps intervient aussi dans cette histoire. Il lui faudra une demi seconde pour parcourir la première portion, un quart de seconde pour la deuxième portion, un huitième de seconde pour la troisième etc. Le temps demandé pour rattraper la tortue est donc en seconde égal à un demi plus un quart plus un huitième etc. Ce qui est exactement égal à une seconde. D'un point de vue strictement mathématique, Achilles a bien effectué une infinité de mouvements, c'est à dire 10 mètres en un temps qui est fini. Le paradoxe est en fait un paradoxe de physique, puisqu'il semble impossible de diviser à l'infini les distances et les temps. Le paradoxe est lui aussi philosophique, puisqu'il semble inconcevable qu'un processus ayant un nombre infini d'étape puisse se terminer. En fait, cela prouve surtout que cet outil mathématique n'est pas le meilleur pour représenter cette situation d'une course entre un reptile et un héros mythologique. Ce paradoxe nous apprend cependant quelque chose. Une somme, même si elle poussait d'un nombre infini de termes, peut avoir un résultat parfaitement fini. Dans le cas présent, on avait un plus un demi plus un quart plus un huitième etc. égal à un. Mais est-ce que c'est le cas pour la série harmonique, un plus un demi plus un tiers plus un quart plus un cinquième etc. Et bien en fait non, cette somme qui possède bien un nombre infini de termes ne peut pas être égal à autre chose qu'à l'infini. En fait, on peut le comprendre en recroupant ensemble certains termes de la somme. Prenons les termes un tiers et un quart. Ces deux fractions sont toutes les deux supérieures à un quart, à l2 elles sont donc plus grandes que un demi. Prenons maintenant les quatre termes suivants, un cinquième, un sixième, un septième et un huitième. Ces quatre fractions sont toutes supérieures à un huitième, à l4 elles sont donc plus grandes que un demi. C'est la même chose pour les huit fractions suivantes dont la somme est-elle aussi plus grande qu'un demi. Finalement, on peut dire que la série harmonique un plus un demi plus un tiers plus un quart plus etc. est plus grande que un plus un demi plus un demi plus un demi plus un demi plus un demi qui, si on mène cette somme jusqu'à l'infini, est intuitivement égal à l'infini. La série harmonique est donc finalement supérieure à l'infini, elle est donc égale à l'infini. Revenons à Léo Lescargos. On a vu que après Nr, son pourcentage de progression sera de un plus un demi plus un tiers plus un quart plus etc. plus à serène pour cent. En marchant un nombre infini d'heure, ce pourcentage de progression sera donc infini. Il y a donc forcément un moment où il dépassera le seuil des 100%. Oui mais quand ? En fait, on peut calculer qu'il faut quatre termes pour que la somme dépasse 2% et qu'il en faut 27% de plus pour dépasser les 4%. Pour que cette somme dépasse 10%, il faudra additionner 12.367 termes. Et finalement, pour que cette somme dépasse le seuil des 100% demandé, eh bien il faudra environ 15-7 millions de termes. C'est-à-dire que l'Escargo devra avancer pendant 15 millions de milliards de milliards de milliards de milliards d'heures. Ou plus simplement, environ 15 fois 10142 heures, c'est-à-dire 15 suivis de 42 autres chiffres. En gros, cela correspond à 120 milliards de milliards de milliards de fois l'âge de l'univers. En fait, quelle que soit la vitesse de l'Escargo et quelle que soit la longueur que le géant ajoute à chaque étape, l'Escargo finira par atteindre son but. Même si ce temps est ridiculement grand. Par exemple, si le géant augmentait à chaque heure l'accord de 1 km au lieu de seulement 100 m, il faudrait à notre Escargo environ 10 puissances 343 heures pour atteindre son but. Certains trouveront probablement à dire qu'un Escargo ne peut pas vivre assez longtemps pour atteindre le bout de l'accord. Mais dans le monde mathématique où il existe des hôtels avec une infinité de chambres et des troupeaux de bétail grands comme l'univers, certains gastéropodes vivent particulièrement vieux. En fait, s'il y a une chose à retenir de ce problème, c'est qu'il ne faut jamais sous-estimer la persévérance des Escargos.