 Merci beaucoup, merci pour cette invitation, c'est un grand plaisir d'être là aujourd'hui. Donc ce que je veux faire aujourd'hui c'est vous présenter une série de travaux sur la question de la formation singularité dans un cadre sur pratique. Donc laissez-moi peut-être prendre 5 minutes pour rappeler brièvement le problème et le cadre de l'étude. Donc je vais prendre deux problèmes. Il ne faut pas bouger. Il ne faut pas bouger le tableau, pardon. Je ne bouge pas. Et après je bouge, c'est simple. Donc laissez-moi, je prends deux exemples canyonyques sur lesquels je vais concentrer mon étude. Le plus simple, celui qui est le mieux compris, la chaleur non linéaire. Donc c'est typiquement un flow parabolique. DTU égale la place qui est un U plus super. On peut prendre soit des solutions positives, soit on met un module de U. Donc typiquement T dans R, X dans RD. Et U est à valeur réelle, positive si on veut. Et puis, donc ça c'est la chaleur non linéaire focalisante. Je l'appellerais Nr non linéaire hit. Et puis un modèle un petit peu plus compliqué qui va beaucoup m'intéresser aussi, qui est, je dirais, c'est une manière de mettre quelque chose de couplet, quelque chose de type système dans le problème. Donc un modèle dispersif, le modèle de Schrodinger en manière typiquement IDTU. Je peux mettre égal ou je peux le mettre, on écrit souvent comme ça. Donc le même type exactement de non linéarité, les mêmes conditions, T est réelle, X est dans RD. Mais ici, U est à valeur complexe. Et donc la question que je pose, c'est quel est le comportement des solutions. Et surtout, ce que je veux, c'est décrire des dynamiques particulières, le type formation sanitaire. Il y a une littérature bien sûr immense sur ces problèmes-là, notamment sur le problème parabolique. Je vais tout de suite vous rappeler ce que c'est que le cadre d'énergie sur critique. Donc de quoi s'agit-il ? Il s'agit juste typiquement, donc ces deux équations ont une avalanche d'échelle. C'est-à-dire le fait que si U, T, E, X est solution, je peux en faire une autre en regardant la dilatée, lambda puissance 2 sur plus ou moins 1. Donc je dilate l'espace et le temps. Ça, c'est encore une solution. Donc si je dilate l'espace par un facteur lambda, le temps par un facteur lambda carré et je renormanise par cette constante qui dépend de l'animalité, je fais encore une solution de mon problème non linéaire. Et il y a une norme critique associée à cette transformation. Alors il y a plusieurs manières de mesurer ça. Mais on a repris l'habitude de mesurer ça en termes de... On compte le nombre de dérivés qui ne voient pas en espace, qui ne voient pas la valeur d'échelle. Donc on demande pour quelle valeur de S, est-ce qu'on a exactement le même nombre de dérivés, évidemment on est obligé de changer le temps, donc pris en espace. C'est un petit calcul agibré qui nous dit que la valeur critique, c'est D sur 2, moins 2 sur 1. D'accord ? Donc la valeur critique maintenant, ce qu'on veut faire, c'est qu'on va la comparer avec l'une des sèches informations a priori qu'on a sur le problème. On compare, on compare... On va monter un petit peu sur lui. Oui, celui-là ? C'est bon ? Ah oui, c'est ça, c'est là que c'est la carré. D'accord, d'accord. On est bon là. Donc on compare cette régularité à la loi de conservation. Ici la conservation de l'énergie qui est le fait suivant. On regarde l'énergie totale du système, qui est la fonctionnelle énergie signifique, moins l'énergie potentielle, parce qu'ici c'est focalisant. Alors on a... Cette quantité-là est un invariant du flow. L'énergie de U2T, c'est égal à l'énergie de la délai initiale. D'accord ? Et donc on compare la régularité. Évidemment elle correspond à la régularité, elle lit au niveau de régularité dans l'espace de ce volet de 1 dérivée dans les deux. Donc au niveau de H en point. C'est juste que j'ai 1 dérivée dans L2A. Et donc on a pris pour habitude de comparer, on classifie ces problèmes en comparant 1, on compare S à 1. On compare S à 1. Donc qu'est-ce que c'est un problème énergie sur critique ? Qu'est-ce que ça veut dire que le problème est énergie sur critique ? Ça veut tout simplement dire que je demande que ce nombre-là, moins 2 sur P-1. Qu'est-ce que c'est la morale ? Pourquoi est-ce que ces nombres-là sont importants ? Alors on va aller voir surgir plus tard dans l'analyse. Qu'est-ce que c'est que la morale d'un problème énergie sur critique ? Morale très, très grossière. L'idée de ce genre de problème, ce qui est derrière ce genre d'informations, c'est que l'information engendrée par la loi de conservation est faible. D'accord ? À la fois, on veut travailler avec des données d'énergie finie parce que c'est ça qui est important. En même temps, on sait très bien que dans ce cadre d'énergie sur critique, il y a énormément de problèmes qui sont liés à cet œuvre-là. On sait que l'information a priori de conservation énergie, qui dans d'autres problèmes est une information très forte, ici, est une information dont il faut s'attendre à ce qu'elle soit faite. Donc disons un mot. Donc quel est la problématique ? Alors ce qui est très simple, c'est que si vous prenez des données initiales sympathiques, typiquement prenez des données initiales infinies à support compact pour ne pas s'embêter. Il y a une théorie de Cauchy très sympathique pour ces équations-là. Ça n'est pas le problème. Et on a toujours des données initiales US qui sont continuées en temps à valeur dans un H sigma, avec H sigma suffisamment grand. Enfin, on a une théorie de Cauchy de solution forte sympathique. La question qu'on pose, c'est est-ce que c'est possible ? Est-ce qu'on peut avoir formation de singularité ? Est-ce que c'est possible que le temps de vie soit fini ? Et si oui, on veut comprendre, on veut décrire, on veut être capable de décrire, on veut être capable de décrire, je ne sais pas mal, on veut être capable de décrire la formation de singularité correspondre. Donc non seulement on veut avoir des réponses sur l'existence ou non de telle solution, mais en plus on veut avoir une description d'écrire un agime explosif. Et maintenant, c'est très important et maintenant de données initiales qui sont régulières et d'énergie faibles. Je veux des solutions entre guillemets physiques. Même vous pouvez me demander qu'elles soient assez infinies à supercompactes. Tout et à l'état d'existence que je vais vous montrer, les données initiales peuvent être prises à supercompactes. C'est très important si on commence à changer l'espace fonctionnel dans lequel on étudie ces solutions. On peut complètement, on peut de manière dramatique changer l'évolution du flux. C'est très important d'avoir ces hypothèses-là en tête. Surtout ce qu'on a derrière la tête, surtout c'est de comprendre quelle structure sous-jacente sont responsables de l'expression. C'est ce qu'on essaie d'apprendre et là on est clairement dans le cadre d'un apprentissage. On apprend sur des problèmes modèles. C'était typiquement l'esprit de cette étude sur la chaleur de Schrödinger. La grosse grosse différence entre un problème scalaire type chaleur moniaire et un problème de Schrödinger c'est que un problème de Schrödinger c'est un système. Il y a des phénomènes de couplage non trivial qui peuvent apparaître puisque c'est aussi un modèle dispersif. Donc la nature de la propagation et des échanges d'énergie dans le problème peut être singulièrement différent. Alors c'est vraiment explosion, formation de singularité ça peut recouvrir des scénarios qui peuvent être totalement divers et voire complètement très compliqués voire complètement insultonnés. Je vais me concentrer sur un scénario qui est le phénomène d'explosion par concentration de l'âge par concentration et par stabilité de l'échelle. De quoi c'est qu'il est ? Pour parler ça il faut que je vous introduise d'abord un rôle fondamental dans ce que je raconte une solution particulière de mes équations qui est la solitude. Alors qu'est-ce que c'est un soliton dans un cadre d'énergie sur critique que ce soit pour la chaleur que je mette la chaleur ou que je mette quand je peux mettre égale en tout cas c'est la même chose que je peux mettre la chaleur ou je peux mettre une gare. Dans les deux cas dans le cadre d'énergie sur critique donc c'est les structures en plus grand commun. J'ai une solution un peu moins une solution stationnaire plus de t2x égale qx d'accord ? C'est un objet qui n'évolue pas qui ne bouge pas en temps ce qui correspond à l'équation la place Q je peux prendre plus Q plus 100p égale 0 donc il faut que je sache résoudre cette équation-là et il se trouve qu'il y a un cadre très simple on a existance et unicité à l'invariance d'échelle près de l'équation c'est tout simplement une demande que le soliton soit à symétrie sphérique si on demande que Q est à symétrie sphérique alors on se retrouve tout simplement avec une odeur on a tout simplement un problème de shooting on se retrouve avec Q2 plus de 2 moins 1 sur R plus que plus égale 0 avec je peux prendre comme de l'initiel Q0 égale 1 le Qprime de 0 égale 0 et c'est très facile de voir mon agèdre est fondamental c'est parce que S est strictement plus bon que 1 et on peut exactement voir à quoi ressemble le soliton c'est une bosse qui a une certaine décroissance qui a tiré par 0 à l'infini et on peut calculer on peut calculer le comportement et ce serait très important pour la suite on peut regarder comment Q se comporte quand R t'aura plus l'infini il a une décroissance qui se comporte comme une constante qui dépend de D et de P divisé par R à la puissance ça c'est intérable c'est quelque chose c'est une petite étude d'ODE sur cette équation-là donc on a un objet qui est là qui est universel qui est l'unique solution à symétrie sphérique de ce machin-là et on sait exactement ce que c'est c'est une bosse c'est une bosse d'énergie et ça c'est une solution stationnaire de mon problème si vous pensez à un problème type chaleur ou normalement de l'avoir de dissipation d'énergie on dit que j'ai une solution stationnaire dans un problème qui dissipe l'énergie infinie c'est exactement ce qu'il passe le solito est un très mauvais objet en termes c'est sûrement pas une solution sympathique c'est une solution qui décroit très mal un problème d'énergie socrétique c'est D sur 2 moins 2 sur P moins 1 plus moins 1 donc pensez typiquement que P va au 3 et que D va au 10 vous voyez c'est typiquement vraiment des problèmes de pensée que P va au 3 et D est grand donc ça veut dire quoi ? ça veut dire que ça ça décroit très très mal on dit ton Q à énergie infinie l'énergie de Q donc c'est une très mauvaise solution c'est à la fois une solution stationnaire très simple et à la fois c'est une très mauvaise solution si vous voulez étudier la théorie de Cauchy elle rentre pas si vous voulez dans les espaces dans lesquelles on voudrait travailler mais en moins dans d'autres problèmes notamment dans les problèmes sous-critiques notamment sur les problèmes de type fruniger parce que ces considérations là n'existent pas en énergie sous-critique sur la chaleur dans d'autres problèmes donc dans les cas dans certains cas sous-critiques typiquement quand S est plus petit que 1 on sait que le soniton peut jouer un rôle fondamental dans certains scénarios de formation de sa livraîté pourquoi ? parce qu'on sait qu'il y a des solutions on peut construire des solutions exposives qui font quoi ? dans la bulle d'explosion c'est à dire l'ordre dominant quand T vers le temps d'explosion sur T il y a quoi ? il y a une bulle d'énergie qui concentre à une vitesse qui est donnée par l'invariance d'échelle de l'équation avec l'ambatté qui est envers 0 quand T est envers ça c'est ce que j'appelle un bloi et ça c'est une bulle exposive on sait dans certains cas donc il faudrait que je détaille mais c'est l'uristique on sait qu'il y a des régimes exposives qui correspondent à quoi ? qui correspondent au fait qu'on concentre l'énergie selon un profil universel c'est ce qu'on appelle le profil d'extrusion qui est donnée par ce profil dans le solitaire et avec un paramètre de renormalisation ici c'est la taille c'est la fenêtre c'est la taille de la concentration qui est donnée par des lois qu'il faut calculer donc on sait que dans d'autres régimes une bulle comme ça est quelque chose qui se produit évidemment dans les cas de rénergies sous-critiques ce qui se passe c'est que le soliton est une solution sympathique on a un certain sens on a toutes les raisons de penser que ça c'est tout à fait envisageable avec des solutions qui sont des solutions d'énergie finie quand le soliton en revanche a dans le cas de surcritique comme le soliton décroît extrêmement mal à l'infini il n'est pas complètement clair que ce genre de scénario est raisonnable en tout cas c'est tout le but de l'analyse de démontrer qu'effectivement ce genre de scénario peut se produire de comprendre pourquoi et de comprendre comment est ce que ce scénario existait et compatible avec des solutions des énergies finies donc tout est dans ce petit udal ici et puis de comprendre aussi quelles sont les vitesses d'explosions associées à ce scénario et comment peut se comporter cette fonction lambda t quantité en vaganté très bien donc il y a plusieurs j'aurais même concentré j'aurais présenté deux types de résultats donc une fois plus il y a une littérature notamment sur la chaleur qui est important je vois vous présenter deux types de scénarios qui sont liés donc je voudrais présenter deux types de scénarios liés liés à la concentration du sol premier scénario donc je vais le faire dans le cas de la chaleur donc je reviens sur un problème plus simple sur la chaleur dans l'univers la placeuse plus puissance plus moisière et je vais vous montrer un exemple de ce qu'on appelle une explosion typa explosion autosignère typa la première chose qu'on peut faire quand on regarde quand on regarde une éducation comme ça évidemment ce qui a été fait dans énormément de problèmes et ce qui est la première chose à faire c'est qu'on cherche on cherche des solutions autosignères donc c'est quoi une solution autosignère ? c'est tout simplement c'est une solution explosive c'est une solution de la forme u t u x renormalise un profil x je vais l'appeler p donc je renormalise avec une certaine vitesse un profil p qui est une fonction de x sur l'angle d'at t qu'il faut que je calcule et qu'elle est qu'est-ce que ça veut dire de faire une renormalisation autosignère ça veut dire choisir exactement ce qu'est la vitesse l'angle d'at t c'est à dire je dis j'impose que la vitesse est autosignère t est un temps j'imagine que tant zéro j'ai quelque chose de sympathique et t est le temps de blow up que je me donne pourquoi est-ce que je fais ça ? pourquoi est-ce que je choisis la loi racine ? tout simplement parce que c'est la loi qui envoie c'est la seule loi de manière évidente qui envoie ce problème dépendant du temps sur un problème stationnaire sur grand p ça c'est bien connu ça transforme mon EDP dépendant du temps NLH ça la transforme tout simplement en un problème stationnaire qui est l'équation éliptique autosignère qui est la chaussure donc dans ce cas-là qu'est-ce qu'on obtient ? on obtient la place p peut-être je vais avoir des grand p et des petits p j'aurai grand p puissance petit p et il y a le zéro grand lambda c'est quoi ? c'est le terme supplémentaire que j'obtiens quand je dérive par rapport au temps à la réalisation tout simplement c'est le générateur de l'opérateur de scaling donc ici c'est 2 sur p moins 1 2 sur p moins 1 donc l'angle d'un grand p c'est 2 sur p moins 1 p d'accord donc la question c'est est-ce que je peux trouver des solutions sympathiques grand p de cette équation-là à quoi elle ressemble et est-ce que les solutions correspondantes me permettent d'engendre une fois de plus c'est mon obsession je veux engendre des solutions des énergies fines ce problème-là évidemment vous pouvez le regarder comme un problème radio vous pouvez penser ça comme un problème de shooting c'est-à-dire vous regardez vraiment p seconde plus d moins 1 sur r p prime moins 1 demi de l'angle d'ap plus p plus en spay et il y a le 0 vous êtes radial donc vous avez demandé que p prime de 0 il y a le 0 et puis vous allez voir ça comme un problème de shooting vous prenez p 0 il y a A c'est un paramètre donné c'est votre paramètre de shooting et vous essayez de voir qu'est-ce qui se passe comment est-ce que vous pouvez faire qu'est-ce qui se passe avec le paramètre A si vous bougez le paramètre A quel genre de solution est-ce que vous pouvez attraper ce problème-là est étudié dans la littérature c'est pas complètement trivial il faut travailler un peu mais à coups de fonctionnal de liapouneuf en travaillant exactement sur ce problème il y a notamment il y a des travaux de bud et de ses collaborateurs sur ces questions-là il y a des travaux de mon pain dans les années qu'il y a à travailler donc tout dépend pour une certaine échelle pour un... donc il y a une question de paramètre pour certaines plages pour certaines plages des paramètres P on peut trouver des solutions on peut résoudre cette équation-là c'est-à-dire on peut trouver des valeurs de A donc ça c'est R ça c'est P de R on peut trouver des profils qui vérifient ce qu'on veut donc qui vont ressembler donc on a des solutions autosimilaires et on a la décroissance on sait comment ces solutions autosimilaires vont décroître à nouveau à l'infini de manière autosimilaire sur R à la puissance de son compte et puis en fait on s'aperçoit que donc il y a plusieurs... il n'y a pas qu'une seule valeur de A pour laquelle on peut comprendre le paramètre on peut voir en fait qu'il y a une infinité il y a des valeurs qui sont quantifiées A1 A2 donc il y aurait une autre solution ici il y a une suite de données initiales P de 0 c'est A1 à l'issaine qui tend vers plus l'infini qu'en n'a plus l'infini donc on n'a pas seulement une solution perdissaine si vous voulez on a une suite de telles solutions autosimilaires avec tout le monde ayant une décroissance qu'en R tend vers plus l'infini alors quelque chose qui nous a intéressé avec Charles Collo et Jeremy Jettel peut-être comprendre le fil d'avoir les constructions ODA sont des... les arguments si vous voulez de type ODA pour construire ces solutions ce sont des arguments il faut vraiment regarder les fonctions du lape 9 et la structure non lumière du problème donc c'est ça c'est vraiment des très bons arguments mais ce sont des arguments qui sont un peu fragiles si vous commencez à perturber les questions parce que c'est vraiment attaché à la structure très très précise du problème on s'est posé la question de savoir si on pouvait construire construire ces solutions construire ces solutions par un argument direct de manière je dirais plus brutale et si on saine les construire de manière plus brutale il y a aussi la question de dire bon bah même si on a des solutions comme ça est-ce que ces solutions correspondent à une explosion stable c'est une explosion qui correspond à des bulles explosives à donner une énergie finie les deux n'étant pas complètement claires puisque à nouveau mes solutions autosimilaires décroissent très mal à l'infini donc il y a quelque chose à faire sur la compréhension de ces choses là donc dans un article de la dernière donc c'est on a fait deux choses on a mis en oeuvre une très jolie idée de Piotre Bison pour construire les solutions autosimilaires je crois que c'était quelque chose qui était plus ou moins connu dans la littérature parabrique mais c'est expliqué de manière très très claire dans un papier de Piotre dans le cas du flow harmonique de la chaleur il y a quelque chose de tout à fait remarquable il y a une manière très très simple de construire des solutions autosimilaires qui est de faire la chose suivante vous voyez, à l'extérieur donc pour construire une certaine classe de solution de cette équation ce que je peux faire c'est la chose suivante à l'extérieur je vois que je dois ressembler à une solution autosimilaire je dois ressembler à quelque chose qui décroit avec une certaine puissance donc quelque chose qui décroit comme une constante sur la puissance de surpémence d'accord ? et ce que je vais faire je vais raccrocher les solutions qui sont là je crois qu'il ne faut pas faire un dessin un petit peu plus gros je vais passer les références je vais faire un dessin un petit peu plus gros ce qu'on va faire c'est que près de l'origine évidemment cette solution elle n'est pas thérique parce qu'elle a un gros problème elle est complètement singulière donc près de l'origine elle va transitionner avec un autre type de solution donc ce que je vais faire c'est que je vais la coller c'est comme une glue si vous voulez je vais la recoller une solution ici qui va être régulière à l'origine mais qui va être très très grosse et ici à quoi va ressembler la solution je vais la faire coller c'est quoi le profil qui est donné ici c'est quelque chose de très singulier mais de régulier à l'origine et qui a cette décroissance-là mais j'ai un magnifique candidat c'est quelque chose de la forme 1 sur lambda puissance 2 sur plus ou moins 1 Q de X sur 1 ou Q c'est la solution non pas de l'équation autocineur d'équation stationnaire la place cube plus sculptée d'accord ? donc je colle ensemble je colle qu'elle est quelque chose qui est une longue solitaire très resquelée je la colle avec quelque chose qui à l'extérieur est une solution exacte de l'équation autocineur mais singulière d'accord ? donc je recall quelque chose qui n'est pas une solution d'équation autocineur qui est une solution de l'équation stationnaire mais très normalisée je la colle avec quelque chose qui est une solution d'équation autocineur mais complètement singulière à l'infini et là ce qui est donc ça il y a vraiment une manière quelque chose de très classique pour les gens qui faisont des Eudéos non lumières moi j'ai appris ça dans un papier de Wei très intéressant sur des problèmes d'autres problèmes de type glue ce sont des méthodes cléristiques ce qui est très intéressant c'est qu'on voit tout de suite que si vous voulez faire ça ça revient à construire une solution approchée ici une solution approchée ici et il y a un endroit ou il y a un autre il faut les coller d'accord ? et on s'aperçoit que ça revient à avoir un problème de reconnection non-lumières ici et on s'aperçoit que le collage n'est possible dans une certaine plage il faut que P soit plus petit qu'un certain exposant PGL c'est ce qu'on appelle l'exposant de Joseph Lundgren c'est un exposant qui est bien connu dans la littérature et l'utile et pourquoi est-ce que cet exposant apparaît ? bah il apparaît exactement dans cette collision de collage ici en fait c'est intimement lié aux questions de compréhension du spectre de l'opérateur limérisé au voisinage de cette solution-là en fait ce que dit cette condition-là c'est qu'on a besoin d'oscillation il faut absolument que si vous voulez être capable de recoller il faut absolument que ces gens-là oscilent au voisinage du recollage sinon vous n'y ira pas d'accord ? et donc la question de l'existence de ces... un ? alors c'est une équation elliptique donc si je colle la fonction et ça dit arrivé j'ai gagné et ce que je te dis c'est que il y en a une qui arrive d'autres arrivent comme ça et en fait c'est pas ça ça tu n'y arriveras pas ce qu'il faut absolument c'est que celle-là oscile celle-là oscile et du coup si tu choisis ton paramètre de shooting de manière discrète qui correspond à dire que si nuCNP est égal à 0 c'est exactement ça qui se passe tac, tu arrives à l'ercol d'accord ? et ça c'est quelque chose si tu veux il y a plein de problèmes une fois de plus c'est vraiment tu es en plein dans les EDO non linéaires donc tu peux faire ce collage de manière violente ce qui me paraît important dans cette approche-là d'accord ? il n'y a pas de fonctionnel de la pull-off globale attachée au problème etc on est juste en train de minimériser auprès de deux solutions qu'on connaît et une fois qu'on a cette minimération on est capable de faire ce genre de collage ok ? notamment quand tu si on maîtrise le collage on est capable derrière comme quelque part on a une analyse qui est complètement perturbative on est capable de comprendre le spectre on est capable de comprendre le spectre de l'opérateur d'uniriser au voisinage de Pe d'accord ? parce que quelque part on a fait un Japan off suite on a décollé d'un opérateur connu et une fois qu'on est capable de comprendre le spectre d'uniriser au voisinage de Pe plus une analyse non linéaire on est capable de démontrer qu'une analyse non linéaire qu'il faut faire justement pour gérer le fait que ces gens-là décroissent très mal à la CUNY on est capable on est capable de on est capable de démontrer un existance et stabilité à co-dimension finie il y a toujours ça c'est parce qu'on regarde ce problème et pas un autre il y a toujours des directions d'instabilité tout un on finit direction d'instabilité de ces solutions-là mais on est capable donc de complètement comprendre un certain type de solution autosynéaire le linéaire est associé et d'avoir pour le problème complet existance plus stabilité de dynamique autosynéaire avec donner d'énergie avec donner d'énergie et là il y a vraiment l'input parabolique immense il y a vraiment le fait qu'on soit parabolique ici est une simplification tout à fait importante dans le problème vous voyez c'est un premier type d'exemple c'est intéressant vous voyez votre soliton attroché vous voyez la dynamique explosive de type soliton elle est vraiment cachée dans la structure de la famille de solution autosynéaire dans un certain régime on voit elle est vraiment liée à ce qui se passe ici à l'origine mais en moi une fois de plus on voit de manière fondamentale apparaître la numérologie non linéaire le fait qu'on doit être plus petit p doit être plus petit que cet exposant de jeunesse le grec alors ça c'est ce qu'on appelle un blow-up type 1 c'est-à-dire un blow-up autosynéaire je vais pas vous parler de blow-up type 1 je vais pas c'est pas pertinent parce que je vais vous raconter aujourd'hui et dis-on qu'il y a encore d'autres dynamiques autosynéaires qu'on pourrait construire je vais vous parler d'un autre cas ce qu'on appelle un blow-up type 2 donc deuxième scénario blow-up type 2 donc c'est pas un blow-up type 2 c'est un blow-up où on pense que on va avoir à nouveau ce genre de boule explosive c'est exactement ce qu'on attend donc peut-être un certain profil p de x c'est selon la thé mais on est typiquement dans un régime où p est plus grand que le Joseph Lundgren ce qui veut dire que la construction qui est là-bas ne pourrait pas être faite et alors malheureusement c'est ce que je vais dire il faut parce que la situation est plus compliquée que ça mais on est typiquement on est dans une situation pour simplifier on est dans une situation où on attend où on n'a pas en tout cas au voisinage des objets cananiques je dirais où on n'a pas de solution autosynéaire régulière pensez qu'il y a un changement de nature il y a un opérateur si vous voulez dont le spectre est en train de changer de nature on est typiquement en train de passer d'un spectre imaginaire à un spectre réel et si j'essayais de faire dans ce cas-là la reconnection qui est ici je n'y arriverai pas d'accord c'est une manière je dirais perturbative simple de comprendre pourquoi est-ce qu'il se passe autre chose p est plus grand que pgl donc il faut typiquement penser dans tout ce que je fais prenez p il y a 3 et prenez d suffisamment un d de p il suffit il suffit de prendre la dimension suffisamment grande et on se retrouve automatiquement dans cette situation typiquement si je prends p plus grand 3 je prends p plus grand 14 et c'est autosynéaire on est au-delà du pgl on est en grande dimension mais c'est un artefact de l'équation si vous changez l'équation ces phénomènes-là peuvent arriver en petite dimension ça n'a rien à voir c'est vraiment une dingue qui est liée au problème et à la structure et à la nature des solutions aux voisinages desquels je veux travailler alors dans le cas de la chaleur il y a une magnifique il y a une série de travaux absolument extraordinaires qui commence avec l'un d de p qui se poursuit avec les travaux de la tannomère entre 2004 et 2006 et les travaux de mes deux chines 2004 et que nous disent tous ces gens-là ces gens-là nous disent oui effectivement il va y avoir ce qu'on appelle un blow-up type 2 donc pour la chaleur je suis pour la chaleur et ce blow-up type 2 il correspond au fait qu'effectivement je vais avoir des bûches d'énergie qui sont comme ça et qu'est-ce que ça veut dire que c'est type 2 ? ça veut dire que la loi n'est jamais donnée l'ambateté n'est jamais donnée par la loi racine ça n'est jamais vrai en fait ce sont des blow-ups qui correspondent à des vitesses alors typiquement c'est ce que vous trouverez dans le papier de mise en bouche ce que vous avez c'est que la loi est toujours donnée par donc si c'était auto-similaire ce serait puissance admis mais en fait il y a une suite discrète d'exposions qui sont possibles donc j'ai des fonctions muca ou en fait muca est une séquence donc muca pour tout cas est stric positive et muca tend vers plus l'infini quand t'attends donc il y a une suite discrète de valeur possible pour lesquelles je peux former ces bulles type 2 et je vais vous expliquer dans un instant à quoi ressemble ce profil je vais revenir sur ces questions-là dans un instant donc il y a vraiment une intuition très particulière que je vais réexpliquer dans 5 minutes liée à R&O, B&S, 15 l'intuition de Matin Omer et de Mizoguchi dans ces travaux-là est vraiment liée là on est vraiment sur la chaleur non linéa radial avec notamment sous-jacente vraiment le principe du maximum et des fonctions de monotonie très très particulière liées à la structure de ce problème il y en a vraiment sur un résultat remarquable qu'on a cette classification des vitesses d'exposions possibles alors en quoi est-ce que ça c'est lié avec ce que je vous racontais avec l'ordre solitaire la connexion est faite par une approche complètement différente en fait pas en premier abord donc il y a une approche différente qui a été menée sur le problème de Schreininger c'est à dire donc on est vraiment sur R&O ou qu'est-ce qu'on a fait donc c'est un travail avec Franck Merle ou on est parti en fait on est partis de ce qu'on connaissait sur R&O dans d'autres cas donc on a vraiment on est parti sur R&O ce qu'on fait c'est qu'on renormalise l'ordre dominant de la solution à l'ordre dominant la solution est vraiment donnée par Q qu'est-ce que c'est un blow-up type 1 c'est un blow-up où la loi est autosimilaire et où le profil d'exposition est autosimilaire qu'est-ce que c'est un blow-up type 2 c'est un blow-up où la loi n'est jamais autosimilaire et où l'ordre dominant le profil est donné par quoi où Q est vraiment le vent de solitaire c'est vraiment la solution stationnelle d'accord ? et donc dans ce travail on construit des solutions exposives pour Schrodinger non linéaire alors il faudra rajouter une phase dans le cas de... ah non, si, il faudra rajouter une phase dans le cas de l'ES mais c'est autre chose non, parlons pas et donc ce qui n'existe pas c'est qu'on retrouve on a retrouvé, on retrouve dans la construction la loi norme adaptée égalité montée puissance un demi plus le cas donc en fait c'est exactement la même séquence on retrouve cette séquence muca donc on est capable de faire cette construction directement ici donc c'est quoi l'idée de cette construction ? l'idée de cette construction c'est de dire voilà l'ordre dominant de la solution quand je renormalise ce que je vais voir c'est une onde solitaire et une onde solitaire c'est quelque chose qui est... qui est sympathique, qui est régulier mais c'est quelque chose qui décroit très mal d'ici d'accord ? et donc en fait on a deux problèmes pour construire des solutions exposives dans ce cadre-là on a une mécanique un mécanisme de de solutions à approcher mais les solutions à approcher ont tendance à être très belles c'est des perturbations de l'onde solitaire donc qui sont petites ici mais qui ont tendance à être très grandes qui croissent c'est des perturbations c'est vraiment on a des perturbations qui sont très grandes perturbations grandes en infinie d'accord ? mais en fait c'est exactement ce qu'on veut parce que qu'est ce qu'on veut nous ce qu'on veut ce que ça veut dire ça veut dire que là où le soliton est gros je veux bien c'est-à-dire pour R de taille 1 je veux bien garder le soliton mais très très loin le soliton il décroit très mal donc je veux plus voir le soliton donc en fait je veux plus être une perturbation donc je veux quelqu'un justement qui va manger mon soliton donc j'aime bien c'est exactement ce qu'il se passe on aime bien avoir des gens qui sont petits ici et qui se mettent à devenir grands parce que ce sont exactement ces gens-là qui vont être capables à la fin de la journée de produire des solutions des machinistes oui ? oui ? la signification de l'absilence c'est que tu mets égale tu mets que plus epsilon le x est selon la t d'accord ? c'est égal et maintenant il faut que tu me dise en quel sens ? il faut que je te dise ce que moi pour quelle norme est-ce que epsilon est petit d'accord ? donc t'es petit là il va être typiquement être petit sur le soliton donc dans une norme à poids epsilon sur 1 plus x puissance 10 si tu veux tu veux une mesure dans ton sable F pré-référé il va être tout petit donc sur le soliton tu es tout petit que u est d'énergie finie au raveau que epsilon soit d'énergie infinie donc ma perturbation est typiquement énorme à l'infini elle est tellement grosse en fait elle mange le soliton ok ? donc c'est vraiment une question de norme à poids localement sur le soliton t'es petit loin tu es gros il faut être capable de démontrer que c'est pertinent il faut gérer ton flow et ton ODP non linéaire avec ce genre d'espace fonctionnel c'est exactement ce qu'on fait ici d'accord ? donc c'est vraiment pour moi c'est une façon en force brute il n'y a pas de fonctionnel il n'y a pas de structure que tu t'attends pas à trouver sur un problème en S il y a une manière violente de rentrer dans le problème de faire l'insace perturbative et d'aller calculer sur l'insace perturbative qui est là effectivement pourquoi les lois c'est ça le cœur du problème d'où sortent ces lois c'est exactement ça qu'on fait sur sur le chronique il me reste 10 minutes c'est ça ? ouais alors juste la 1e dernière minute donc ça c'est un travail qui a été publié je crois en 2015 et là ce qui est étonnant je dirais c'est que le si vous lisez notamment si vous ouvrez l'analyse matanomère le papier de Mizubushi ici vous trouverez ça a l'air très très différent bien qu'on retrouve des lois qui sont similaires le lien entre ce travail-là dans le cas de la chaleur et ce travail-là sur l'INLS c'était pas évident et ça c'est quelque chose quelque chose qu'on a compris on sait maintenant parfaitement faire le lien entre ces 10 travaux et je vois juste prendre les dernières minutes qui restent pour vous expliquer ce qui se passe quel est le lien entre ce travail-là la littérature parabolique qui existait avant et ce que je vous ai raconté sur la solution au-dessus alors qu'est-ce qui se passe ? qu'est-ce qui se passe dans le travail qui était il se passe la chose suivante il se passe que j'ai renormalisé ici je renormalise donc à l'ordre des millions je zoom sur l'angle solitaire avec un l'angle de T qui n'est pas autosimère je zoom de manière très forte pour voir l'angle solitaire c'est pas ce que font les gens qui font du parabolique les gens qui font du parabolique ils disent non c'est pas ça qu'on veut voir nous on veut faire comme avant on veut renormaliser on veut renormaliser comme avant ils disent on veut renormaliser avec on va renormaliser avec une fonction v de x sur mu de t et on veut renormaliser comme avant ou mu de t c'est raffilé de t ok donc si v donc en fait ça nous ramène ça nous renvoie sur l'équation autosiminaire donc l'équation de v après renormalisation donc il faudrait renormaliser le temps il y a un temps renormalisé je vais appeler tôt ça c'est typiquement ce qu'on voit dans la littérature on voit des taux v la v moins d'un demi de l'ombre d'avé plus de v, plus son spé ça c'est typiquement ce qu'on voit si on fait de la chaleur c'est typiquement ce qu'on voit après renormalisation donc qu'est-ce que c'est le type 1 c'est un cas on a une solution sympathique de ça c'est le 2 suprême stationnaire qu'est-ce que c'est le type 2 c'est typiquement ce que disent héros et lasques parce que ce qu'héros et lasques disent voilà c'est que si on a du type 2 c'est à dire qu'en fait c'est plus grand que que j'ai ce qui se passe c'est sur la chose suivante on a une solution on a une solution de l'équation auto-simulaire mais elle n'est pas régulière à la logique on en a une mais elle n'est pas sympathique on va l'appeler Fistar on a une solution exacte donc on a une solution exacte de cette équation-là c'est Fistar c'est tout simplement une constante sur la puissance 200p dans un donc il faut calculer il y a une et une seule constante qui marche et ça c'est une superbe solution c'est une superbe solution ça c'est Fistar c'est une superbe solution c'est un truc inférieur c'est une solution de l'équation auto-simulaire c'est une solution de l'équation auto-simulaire et c'est en fait aussi une solution d'équation stationnaire parce qu'elle est homogène donc en fait elle tue cet opérateur-là qui est exactement ce qu'elle est donc vous avez une magnifique solution donc c'est vraiment une constante sur la puissance auto-simulaire et donc qu'est-ce qui se passe on est dans la situation où cette solution n'est pas régularisable à l'origine je ne peux pas la transformer quand P était plus de type PGL c'est l'analyse que je vous ai montré avant je sais transformer cet objet l'objet régulier à l'origine dans le cas où on est au-dessus ce matching ne marche pas d'accord ? on ne peut pas transformer ça en quelque chose de sympathique à l'origine mais en moins que... et on va la dire non mais on ne peut pas qu'est-ce qu'on va faire et c'est vraiment très très rare c'est une idée magnifique ce qu'il est c'est on va transformer on va faire une solution alors c'est là que ce qu'ils font est très parabolique c'est très très lié à des choses qu'on peut faire que quand on fait du parabolique ils disent on va faire une solution qui va être comme ça à l'extérieur donc on va être quasi stationnaire à l'extérieur de l'origine on va la raccrocher à l'origine un truc qui concentre on va faire quelque chose qu'on veut rendre en régulier ici et qu'est-ce qu'on va mettre là ? on va mettre là qu'il y a quelque chose qui est 1 sur mu de T puissance 2 sur P1 Q de X sur P1 ou mu de T tend vers 0 d'accord ? c'est à dire que on va récupérer on va connecter cette solution homogène qui est sympathique à l'extérieur enfin qui décroit pas bien mais ça on va le gérer après on va la connecter à quelqu'un qui est typiquement un chapeau qui est quelque chose qui ressemble à une solution du problème stationnaire renormaliser avec une vitesse qui est tend vers 0 c'est quelque chose qui est plus en plus concentré et qui monte comme ça vers 0 et c'est exactement ce qu'ils font le papier de 92 c'est qu'ils trouvent une manière de reconnecter donc c'est vraiment c'est assez compliqué c'est lié à des questions de solution intérieure et extérieure mais on peut faire ça alors comment est-ce qu'on relis ce problème-là avec le problème NS ? qu'on a fait sur Schrodinger extrêmement clair c'est que ce qu'on a fait sur Schrodinger c'est qu'on n'a pas du tout regardé cette picture-là on a directement zoomé ici d'accord ? on a mis le zoom ici et on a construit tout un tas d'objets en zoomant tout ici c'est exactement ce qu'il se fait cette image-là est juste un zoom mis sur cette image-là maintenant les choses étant dites ici il y a quelque chose de tout à fait remarquable qui est au coeur de continuation actuelle sur ces ces travaux-là ce qui est tout simplement la chaussure donc ça veut dire quoi c'est-à-dire que comment est-ce qu'on a envie de construire des solutions type 2 ? on a envie de faire un objet qui ressemble exactement à ça et cet objet-là ce qui se passe c'est que si vous mettez un objet si vous mettez 1 sur mu puissance 2 sur P-1 Q, X sur mu ça c'est quelque chose qui est régulier à l'origine et qui se comporte pour X grand exactement parce que la décroissance est homogène donc on se comporte comme C sur A puissance 2 sur P-1 donc c'est un objet qui recole très bien entre ce qui se passe ici et ce qui se passe à ma fille maintenant ce qu'on a observé dans des travaux en cours notamment avec Proc, avec Charcolot et avec Jérémy Jastin c'est la chose suivante c'est que en fait ce qu'on peut faire c'est la chose suivante on peut directement on peut limériser le flow au voisinage de cet objet Q, X sur mu 1 sur mu puissance 2 sur P-1 1 Q, R sur mu d'accord, ça veut dire quoi ? ça veut dire que je vais avoir un opérateur limérisé uniquement de l'équation auto-signale c'est là que je vais avoir un opérateur je vais la payer 1, 1, 10 mu c'est quoi ? je vais la payer 1 plus un demi de l'ambar moins P Q mu puissance P-1 d'accord ? alors ça c'est un objet qui est vachement rigolo parce que c'est un objet qui est vachement tenu parce que dès que je sors de la singularité je ressens la solution homogène et cet opérateur là parce que c'est homogène essentiellement il est explicite on connaît le spectre de ce vachement donc il faudrait que je vous explique le cadre fonctionnel il y a un cadre fonctionnel élémentaire dans lequel on peut parfaitement comprendre le spectre de cet opérateur par contre à l'origine vous voyez à l'origine le soliton Fista elle est vraiment singulière donc quand je le renormalise et que je demande d'avoir quelqu'un de régulier j'ai une perturbation qui est gigantesque d'accord ? alors ce qu'on peut néanmoins faire on peut complètement comprendre l'opérateur linearisé au voisinage de cet objet renormalisé mais ce que je crois c'est que ça n'est pas une perturbation on n'est pas dans le cadre d'une perturbation spectra élémentaire en fait si vous voulez le spectre de cet opérateur au voisinage de cumul vous allez être amené d'une manière ou d'une autre à zoomer selon le solitaire et vous allez voir surgir un certain nombre d'objets qui sont en fait au coeur des calculs qu'on a fait quand on a travaillé sur nl c'est-à-dire qu'en fait ce que vous pouvez faire on peut diagonaliser on peut diagonaliser lmu on peut diagonaliser lmu pour mieux petit mais ça n'est qu'à moitié perturbatif c'est perturbatif à l'intérieur à l'extérieur mais ça n'est pas c'est une espèce de liapalofschmidt dégénéré ce qui revient à faire on peut le faire exactement par la même méthode que ce que je vous ai dit sur les équations auto-cyfaires on peut faire un matching direct on essaie de reconnecter des gens qui se comportent d'une certaine manière à l'origine et d'une autre manière à l'infini et une fois que vous avez donc le spectre de cet opérateur bouge avec mu évidemment ça dépend de mu et une fois que vous savez diagonaliser l'opérateur qui dépend de mu vous avez un cadre fonctionnel très clair un cadre fonctionnel clair à la fois au niveau linéaire et au niveau non linéaire qui vous gère tout pour faire quoi ? pour comprendre pour comprendre comment les vitesses de concentration pour comprendre comment est-ce que la loi de mu de t c'est-à-dire c'est la concentration c'est la vitesse à laquelle je vais concentrer ici ce qui est la même chose que les mu des cas qui sont là-bas comment est-ce que ces vitesses de concentration sont directement liées au spectre pourquoi est-ce qu'il y a quantification ici des vitesses des explosions ça se lit directement sur l'opérateur sur la diagonalisation de cet opérateur on peut directement une fois qu'on s'est diagonalisé cet objet là on sait qu'on est complètement construits on sait le lier directement aux vitesses de concentration donc ça veut dire quoi ? ça veut dire un truc très simple ça veut dire que si vous savez contrôler en fait ça veut dire que en fait ça veut dire que quand vous regardez votre tronc de solitaire Q si vous savez la renormaliser correctement vous savez complètement pour des raisons de calcul explicite en fait vous savez complètement diagonaliser cet opérateur même dans le régime où votre tronc de solitaire est très concentré et ce calcul là n'est pas perturbatif il y a quelque chose à comprendre qu'une fois qu'on l'a sous les yeux élémentaires il y a quand même que ça n'est pas une dysforcation directe et une fois qu'on a compris l'opérateur généralisé il y a vraiment une machinerie fonctionnelle à la fois linéaire et non linéaire pour comprendre à partir de là comment est-ce qu'on calcule les vitesses de concentration et comment est-ce qu'on fait des exposions stables toujours à que dimension finie parce que ça c'est c'est nécessaire sur ce problème-là mais émanant de l'initial d'énergie finie il y a un cadre fonctionnel qui est complètement digéré sur comment on fait ça et une fois que plus ce que je prétends c'est que quand on a fait comprendre ce problème spectrum comprendre la structure des valeurs propres ça revient exactement à faire ce qu'on a fait ici sur en fait on a fait ici on a mis en place ici un mécanisme de solution approchée qui est intimement lié en fait c'est ces calculs-là qui nous ont permis de comprendre ce qu'il fallait faire ici et ce qui rend en fait ce qui permet d'unifier complètement les deux approches et de mieux comprendre d'avoir une version plus unifiée sur la littérature sur ces sujets je m'arrête là juste pour dire et j'aurais fini que l'avantage de ça c'est qu'on a maintenant au moins dans le cas parabolique un cadre fonctionnel extrêmement clair sur ce qu'il faut faire pour construire ces deux types d'eux ce qui nous permet et c'est le but d'espérer pouvoir faire des techniques beaucoup plus compliquées et c'est exactement ce qu'on est en train d'essayer de faire dans la continuation de ces trois je vous remercie la parole à Tunis pour des questions maintenant des questions oui, question oui donc donc j'ai deux petites questions d'une première par rapport à la construction des solutions celles similaires oui dans le cas l'église dans le cas où c'est un type oui donc vous fixez le comportement à l'infinite c'est ce type je pense que c'est un exemple absolument et vous faites deux collages donc pour que vous avez dit bien sûr on sait qu'il y a une affinité de solution oui est-ce que c'est fixé une valeur fixe ou c'est un type de projet non non donc sur celles qu'on construit en fait oui donc on part asymptotiquement comme c'est sur l'infinite plus sur l'infinite et c'est égal à une valeur c'est infinie plus une petite correction plus quelque chose qui est une petite quand elle intervient plus l'infinite d'accord en fait on a à nouveau ça fait partie du problème de reconnection le calcul des asymptotiques et intimement lié c'est à dire que chaque si je pars avec un A indice N ici cette constante elle dépend d'un A indice L donc on est tout en perturbatif au voisinage donc c'est infinie que ça correspond à la solution homogène donc on est tout en perturbatif par rapport à une solution que nous mais ces valeurs sont discrètes donc le problème est lu à la fin par la construction de la solution qui explose du titre 2 oui est-ce que dont vous avez il est lu est-ce que cumul est régulier ou c'est un cumul? non, cumul est régulier donc cumul est régulier tout le monde est régulier c'est le coeur d'accord c'est exact c'est le coeur du problème tout le monde est régulier à l'origine et on peut tout calculer avec le profil régulier il n'y a aucune raison d'avoir un signe de travailler avec quelque chose de singulier à l'origine on peut tout faire avec le profil régulier alors pas d'autres questions ici c'est peut-être très bien alors maintenant question à Bure-sur-Youtte non mais c'est tout le temps d'avoir donc j'imagine que tout ça s'applique à l'équation des ondes mais par des approches différentes ou par la même? alors l'approche je dirais en force brut sur l'équation des ondes elle a été complémentée c'est pas très bien il faut travailler mais c'est le premier travail de thèse de mon étudiant Charles Collaud c'est exactement ce qu'il a fait il a pris ce travail sur Schrodinger et il a adapté à l'équation des ondes il faut vraiment penser l'équation des ondes comme un système il faut gérer toutes les difficultés mais je dirais il y a vraiment une approche la robustesse de l'approche et là on a une approche qui est robuste plus de solutions approchées à pu être adaptées après il y a quelque chose qui est propre au problème dispersif c'est qu'on a des problèmes pour contrôler l'équation d'une manière ou d'une autre il faut démontrer que l'énergie est évacuée que tu contrôles l'onde solitaire et la traite universelle donc il te faut les estimations qui éjectent l'énergie à l'extérieur du soliton sur Schrodinger et sur NLS à chaque fois on fait des estimations de type Moravet ça c'est très très fragile il faut faire très attention à ce qu'on fait les mutipulateurs sont pas les mêmes surcritiques au-delà du PGL on arrive à s'en sortir de manière assez simple donc voilà tout ça a pu être adapté c'est exactement ce qu'a fait Charles et Charles a même démontré ce qu'on avait pas fait là que tout ça c'est bien des variétés c'est dit tu vois ces blocs sont pas stables parce qu'il y a des instabilités qui sont liées à qui sont liées à d'autres types de régimes mais ça n'est plus une fois plus ces problèmes dépendants tu changes de problème ces instabilités peuvent ou pas être là par exemple surtout la mollite de la chaleur ces instabilités disparaissent tous les blocs qu'on construit et là deviennent stables ça a été remarqué récemment par le nom des chapmets dans la continuation de ces travaux donc ça dépend vraiment du problème donc Charles a été capable de faire ça tout à fait sur l'écosystème et on l'obtient alors la gèbre attention c'est pas un demi c'est un et ce que sont les mucas faut faire vachement attention ça va c'est une bonne question je sais pas faut relire ça se calcule le calcul des queues un demi est remplacé par un par un ça c'est sûr et ce que sont les mucas et problème dépendant à nouveau l'algèbre il faut regarder ce que sont les mucas je pense que la séquence c'est pas la même la numérique pas la même pas exactement la même pas exactement la même alors qu'en trainélait c'est la chaleur c'est vraiment la même on trouve les mêmes vitesses une petite question à chaque fois que tu parles de stabilité est-ce que c'est dans le cadre radio ou bien c'est pour toutes les solutions Charles a fait la stabilité typiquement aussi sur l'analyse on n'a fait que du radial Charles a écrit la stabilité de condition finie dans le cas parabolique avec tu peux faire tu peux faire bouger la vue d'accord tu peux faire bouger le paramètre de translation ça devient si tu veux il l'a fait là maintenant qu'on a l'approche pectrale complète dans le cas parabolique ça devient vraiment simple d'accord une fois que tu as compris ce qu'il y a le cas parabolique ce qu'il se fait c'est que quand on a tu le sais bien quand on a attaqué sur ces travaux là on est parti de l'intuition donc on a adapté au cas parabolique sans peut-être rentrer dans l'essence de ce qu'est un problème parabolique qui parfois peut avoir des évidemment il y a des choses qui peuvent être peuvent être plus simples parce que t'es dans un cas parabolique le principe du accident on ne veut pas l'utiliser parce qu'on sait que c'est quelque chose de fragile qu'on ne pourra pas utiliser ailleurs mais par contre d'avoir des méthodes d'énergie robuste il se trouve que dans le cas parabolique voilà le cas fonctionnel est quand même plus simple et maintenant donc il n'y a rien de radial dans tout ça ce qui est radial c'est la première bulle mais le principe de l'approche n'est radial à aucun endroit oui oui en moi je suis appelé une question qui est peut-être du détail le grand lambda fait définit tout à l'heure oui le grand lambda l'opérateur il y avait un Y dedans oui c'est l'opérateur c'est ce que tu arrives c'est ce que tu attraques excuse-moi donc s'il y a une fonction U tu as ceci U lambda u lambda c'est lambda puissance 2 sur T-1 U de lambda X tu changes l'échelle et tu calcules D U lambda sur D lambda en lambda Y donc le générateur infinitesimal du groupe de dilatation ça ça fait 2 sur T-1 U plus alors j'ai mis la X là X à gradient quand ça c'est grand lambda U cet opérateur X à la gradient c'est juste ce qui se passe quand je dérive par rapport au lambda ici c'est ce qui sort ici parce que le lambda joue sur chaque coordonnée c'est dilatation dans tout l'espace donc quand je quand je renormalise et mon lambda il dépend du temps à un moment la dérivée elle tape ici et elle tape ici donc c'est pour ça que j'ai cet opérateur qui sort c'est juste parce que mon resqueling c'est un resqueling dynamique il dépend du temps explosion de type 1 tu as dit c'est typiquement parabolique quand on construit les solutions enfin c'est pas pas quand on construit si on regarde les papiers sur comment est-ce qu'on construit des solutions autosimilaires comment est-ce qu'on fait pour montrer que ces solutions existent c'est vraiment des arguments de shooting c'est à dire on part de là et puis il faut être capable de suivre le flow donc sans information à a priori on sait pas où on est a priori on est n'importe où il faut suivre le flow et démontrer que pour des valeurs de AN bien choisi on est attiré par l'unique attracteur à l'infini qui est lié à ses solutions autosimilaires des croissants donc c'est vraiment des arguments non linéaires de type fonctionnel de Lyapunov je suis mon flow et je regarde pourquoi est-ce que moi je sais pas grâce à ça sur analystes par exemple voilà c'était ça ma question je sais pas faire ça dès que le problème est plus compliqué ces arguments-là qui sont très profonds qui sont non tribus il faut travailler mais c'est vraiment des arguments néo les propagés ou alors sur des problèmes non locaux ou sur des problèmes voilà d'où l'intérêt à mon avis d'avoir dans ces constructions-là des arguments un peu plus violents un peu plus perturbatifs qui eux ont l'espoir d'être propagables à des contextes de plus compliqué la dernière question oui c'est bon non mais c'est tout ça c'est un volier tu as parlé de l'indice enfin l'exposant du pgl du jujube et elle donc ça vient de de l'écanique des fluides non ça vient de le pgl non mais ça vient de ce monsieur-là 2 ms enfin 2 ms je vous ai fait une graine ah c'est 2 ok l'ondrine parce que moi je trouvais l'une graine je trouvais que les calculs ça s'appelle Notale mais c'est l'année 70 oui c'est oui c'est le monsieur le présentiel donc c'est joseph joseph est décédé il faut pas voir c'est l'année oui bien sûr c'est la mécanique des fluides bien sûr mais je me demande si c'était le graine c'est avec Thomas je crois Tom Tom mais c'est 2 personnes différentes oui mais je suis bien d'accord donc ça fait ça fait longtemps qu'on sait que ces exposants sont là et là et toute la question est de comprendre comment est-ce qu'ils inflérentent la dynamique et c'est bien d'accord oui j'ai une question le collège tu vas en beau travail avec Jeremy et Charles oui oui et quels sont les conditions qu'on nous imposait que vous voulez vérifier la solution extérieure et intérieure ah ça c'est le truc EDO standard tu as un problème électrique oui donc tu fais une solution extérieure et une solution intérieure et tu veux trouver un point où tu peux raccorder et le raccord est c'est infinit si et si non si la fonction est la diré c'est vrai d'accord parce que l'équation après propage parce que la place en Q il y a Q puissance P si t'as été capable de coller les Q puissance P automatiquement tout le monde suit d'accord il suffit de coller la fonction et elle y avait c'est vraiment l'argument c'est comme ça que tu construis des tas de trucs L'Eliapounoshwit c'est comme ça que tu décolles des branches des machins c'est vraiment l'argument spectrable élémentaire et c'est ça qui permet de coller des gens de recoller des gens qui font des comportements avec des natures difficiles donc c'est la fois d'une simplicité liblique et à la fois très profonde mais techniquement c'est élémentaire c'est vraiment on ne peut pas faire plus simple bon je ne vais pas poser de questions c'est bien tu vois tu en as eu non non non ça va je suis en droit bon très bien on va remercier notre premier speak merci à vous