 J'ai annoncé une proposition qui est le résultat de ce que Yves et moi appelons la dérive exponentielle. Donc la dérive exponentielle, c'est une technique pour fabriquer quand on a une mesure stationnaire sous certaines hypothèses, il y a ses mesures au bord, elle est nubée et on fabrique, on arrive à fabriquer des nouveaux éléments qu'il a préserve. C'est le cœur de l'argument et j'expliquerai comment fonctionne cette technique la prochaine fois et ce que j'ai annoncé à la fin de la dernière séance c'est ce que donne cette technique. Donc aujourd'hui, je ne vais pas parler de la dérive exponentielle, je vais renoncer le résultat par lequel j'ai terminé la dernière fois ce que donne la dérive exponentielle et je vais montrer comment ça permet de conclure la classification. Donc la dernière fois, j'ai annoncé le résultat, je vais formuler comme une proposition. Donc J est un groupe de lits, lambda est un réseau, donc ça c'est ma situation habituelle, mu, donc je vais toujours des notés notés, pardon des notés c'est un anglicisme, X sera toujours le quotient G sur lambda et je m'intéresse à des phénomènes de dynamique dans ce quotient, de dynamique des actions, de dynamique des subgroupes de G. Donc je prends mu, ce sera une mesure de probabilité borélienne sur G et j'ai fait mon hypothèse habituelle, alors maintenant je suppose mu à support compact, c'est vraiment au cœur de l'argument de dérive que l'hypothèse que la mesure à un support compact intervient pour l'instant c'est pas sans passé, mu est à support compact et surtout quand je prends l'action adjointe de gamme à mu, la gamme à mu c'est le sous-groupe, ça c'est une notation générale, c'est toujours le sous-semigroup engendré par le support de mu, donc quand je prends l'action adjointe de gamme à mu et je suppose que c'est à une adhérence de Zaricki qui est semisimple sans facteur compact et on va voir aujourd'hui précisément à quel endroit, d'ailleurs c'est en passant, ça complique les choses quand il y a des facteurs compact, vous verrez qu'on peut conclure, qu'on peut exactement classifier les probabilités stationnaires quand c'est semisimple avec des facteurs compacts mais qu'il y a un problème qui devient un peu intordable, c'est juste que l'énoncée devient vraiment un peu complexe, donc je suppose qu'il n'y a pas de facteur compact, c'est semisimple et je note alors, si on a vu apparaître la dernière fois dans les problèmes de savoir si est-ce que quand nu est sans atomes, les nubés sont sans atomes, c'est des choses là, un rôle important était joué par le centralisateur, que je vais toujours noter, noter elle, pardon, le centralisateur de gamme à mu dans g, donc c'est un sous-groupe fermé de g et je vous avais dit donc la présence de centralisateur dans les phénomènes de divergence, sort des sous-varités fermées, de choses comme ça, ça rajoute un peu de complexité, mais bon, on arrive à se débrouiller et on va voir aujourd'hui à quel moment on traite les problèmes de centralisateur précisément, elle c'est le centralisateur de gamme à mu dans g et donc pour lancer la dérive, c'est ce que j'ai expliqué au cours des deux dernières séances, pour lancer la dérive il faut des mesures qui ne chargent pas les orbites du centralisateur, donc je suppose que, alors voilà, ça c'est les hypothèses, c'est loin, je me suis moqué des gens qui étaient avec beaucoup d'hypothèses à la dernière fois, mais bon, j'appartiens un peu à cette catégorie-là. Alors, et je vais prendre maintenant nu, une probate sur x qui est stationnaire, mu stationnaire et ergodique, c'est-à-dire que c'est un point extrêmement dans le convex des probabilités stationnaires. Alors maintenant mon but, sous ces hypothèses, c'est le théorème principal que j'ai démontré lors de la première séance, mon but c'est de montrer qu'elle est homogène. Donc ça, je vais terminer cette démonstration, moduloire résultat, donc le résultat que j'annonce c'est un résultat intermédiaire, cette démonstration qu'en fait nu est homogène, on va donner une façon de créer un petit peu d'homogénité, donc créer de l'homogénité, c'est créer de l'invariance, par des petits sous groupes de g. Donc qu'est-ce qui se passe ? Alors pour lancer cette technique, si il faut supposer, par exemple, on va faire par recurrence. Donc le premier cas, par exemple, serait le cas au nu estatomique. C'est nu estatomique, on fera un lème aujourd'hui qui nous dit qu'est-ce qui se passe quand on a une mesure stationnaire ou atomique, en fait, elle est invariante et portée par une orbite. C'est un phénomène très général. Donc pour pouvoir créer des éléments qui sont nouveaux et qui préservent la mesure, il faut supposer, par exemple, qu'elle n'est pas atomique. Alors l'hypothèse naturelle, en fait, j'espère que j'en ai un peu convaincu la dernière fois, c'est que pour créer des éléments qui ne préservent pas la mesure, il ne faut pas qu'elle charge d'orbite du centralisateur. Alors je suppose que si la mesure de l'orbite d'un élément par le centralisateur est nulle pour tout X dans G sur lambda, alors si je peux, alors on peut penser, quand le centralisateur est trivial, je suis juste en train de demander que la mesure n'est pas orbital. Et une fois qu'elle n'est pas orbital, je vais pouvoir lui faire quelque chose qui va lui créer un petit peu d'invariance. Alors c'est pas l'invariance sur nu, ça va être un invariant sur nu B. Je vous rappelle que quand j'ai une mesure stationnaire, quand j'ai noté toujours dans cette exposé l'assemble des suites à coefficient dans G, j'ai noté B, je l'ai muni de la mesure beta, que la mesure produit de la mesure, la loi de probabilité qu'on a choisie sur G. Et j'ai noté l'application de décalage de B dans B. J'ai noté T, c'est l'application de décalage, ça, c'est un langage général. Quand j'ai une mesure à probabilité sur un groupe, j'ai toujours ces notations-là. Est-ce que depuis le début, j'ai utilisé les deux points de vue du haut sur les mesures stationnaires. Soit une mesure stationnaire, c'est une mesure qui vérifie une équation de convolution qui est écrite ici. Soit c'est un champ de mesure équivariant au-dessus de l'application de décalage. C'est-à-dire quand je prends quand nu est nu stationnaire, si je la pousse par une suite d'éléments de B, eh bien ça va converger vers une certaine mesure nu B. Nu de Tb, c'est ça que j'appelle la propriété d'équivariance, on va voir, elle va jouer un énorme rôle aujourd'hui, on va l'utiliser en permanence. Nu de Tb, c'est B1-1 nu B. Et nu, c'est rien d'autre que l'intégrale sur B des nu B des beta B. Et donc, je vous avais fait un, j'ai fait tout une heure dans la deuxième cour sur le lien entre les deux façons de voir sa transformation de poissons. Quand on a des fonctions harmoniques sous une marchéatoire sur un groupe, on peut aussi les voir comme des fonctions invariantes au-dessus d'un certain système dynamique. Et l'analogue de ça pour les mesures stationnaires, c'est ce point de vue dual entre d'une part des champs de mesure qui vérifie une application équivariante et d'autre part des mesures qui vérifient qui sont point fixe d'un opérateur de convolution. Donc quand on cherche à construire des mesures stationnaires, ce point de vue est très utile parce qu'on les construit par des arguments de point fixe, hein, comme point fixe d'un opérateur. Par contre, quand on veut les étudier et montrer des choses dessus, très souvent c'est le point de vue champ de mesure équivariant. Enfin en tout cas, dans ce travail, c'est vraiment le point de vue de champ de mesure équivariant qui nous importe. C'est sur les mesures nubées qu'on travaille. Alors, donc, ce que j'ai expliqué en détail lors de la dernière séance, c'est que cette hypothèse, sous ces hypothèses, dans cette situation espace homogène, si nu de l'ex égal 0, alors en fait cette hypothèse se transmet au nubé, hein. Et ça c'est vraiment quelque chose de différent de ce qui se passe dans les espaces projectifs, les choses comme ça. À partir de cette hypothèse sur nu, en fait, j'ai un résultat qui me dit que nubé, ne charge pas les L orbit. Et je vais en déduire. Donc ça, c'était la première étape. Je veux montrer que nu est homogène. Alors, si nu ne charge pas les L orbit, nubé ne charge pas les L orbit. C'était l'étape qu'on a accompli la dernière fois. Et aujourd'hui, on va dire un peu plus. Ce qu'on va dire, c'est que non seulement il ne charge pas les L orbit, nubé, mais elle a elle-même un petit peu d'invariance. Alors je vous rappelle que, en utilisant la théorie des produits de matrice aléatoires, la théorie qui a été construite par Furstenberg et puis Raffiné, mais essentiellement Gullivard, c'est beaucoup de coauteurs, Margulis, au cours des années 80, 90, mais essentiellement en utilisant les résultats de Furstenberg, dans la situation qui est présentée ici, je dispose d'une application B donne VB qui va de B dans les sous-algèbres de l'I, nile-potente de l'algèbre de l'IG. J'ai construit cette application lors de la dernière séance. Donc, comment ça fonctionne ? Je prends VB, quel que soit si W est un sous-module. Comment je vais donner la définition ? Redonne la définition de VB. Un sous-module irréductible non trivial pour l'action adjoint de Gamamu. Donc, j'ai l'action adjoint de Gamamu. Ça agit à travers un groupe semi-simple d'automorphismes de cet espace vectoriel. Maintenant, j'oublie la structure d'Algèbre de l'I et je regarde un sous-espace vectoriel irréductible. Alors, à ce moment-là, qu'est-ce que je vois dans ce sous-espace vectoriel irréductible ? Je vois un groupe de matrices qui agit fortement irréductiblement. Donc, je peux appliquer la théorie des produits de matrices aléatoires que j'ai développés au cours de la deuxième et de la troisième séance. Et qu'est-ce que je suis un petit peu revenu en dernière fois ? Et qu'est-ce que je sais ? Je sais que W inter VB, c'est l'image de toute valeur d'adhérence J'ai mis un petit V parce que je veux que ce soit une agèbre de l'I. C'est l'image de toute valeur d'adhérence dans les endomorphismes de W de la suite des produits B1, BN qui apparaissent dans la décomposition des nubets mais que je renormalise. Et j'ai introduit cette famille d'espace et maintenant je prends la somme de tous ces bonhommes-là sur toutes les représentations irréductibles non triviales. Et VB, c'est ce que j'appelais VB. Et il vérifie, essentiellement il est construit comme les nubets, de qu'il vérifie la même relation d'équivalence. V de TB, c'est l'action adjointe de B1, puissance moins 1, appliqué à VB. Alors, je reviens ici. Qu'est-ce que j'ai maintenant ? J'ai une mesure nubée et j'ai une sous-algèbre de l'I nilpotente. Avec cette sous-algèbre de l'I, nilpotente, vient un sous-groupe et sous l'algèbre de l'I, j'ai même dit nianianian, sous-algèbre de l'I ad nilpotente. C'est-à-dire qu'elle est nilpotente, comme c'est une agèbre d'endomorphismes qui sont tous nilpotents. Comme quand je la regarde, elle a l'action adjointe. Donc VB, c'est un sous-groupe ad nilpotente. C'est exactement l'objet qui intervient dans la théorie de Ratner. Et l'idéal, ce serait que nubée soit VB invariante. Nubée est bouge de façon équivariante au-dessus de B. VB, il bouge de la même façon. Si nubée est VB équivariante, soit nubée est presque jamais VB invariante, soit nubée est presque toujours par agrolicité du shift. Et donc j'aimerais bien que nubée soit VB invariante. Alors, si VB est dimension 1, c'est ce qui va se passer. Je vais vous donner un exemple dans une minute où carrément nubée sera VB invariante. Quand VB est de dimension plus grande, la mesure est homogène, mais homogène sous un sous-roupe de G, je ne vais pas récupérer tout VB. Je vais récupérer l'intersection de VB avec l'algèle de l'île de ce sous-groupe. Donc a priori, il n'y a pas de raison qu'elle soit VB invariante quand la mesure n'est pas homogène sous tout G. Donc ce qu'il va se passer, c'est qu'on va être obligé pour l'instant, on va couper un morceau VB et on sait qu'il y a une droite dans VB qui laisse un variant un petit bout de la mesure nubée. C'est ça qu'on a, ça reste à ce type. C'est-à-dire qu'on peut couper la mesure en morceaux et chaque petit morceau est invariant par une droite mais qui dépend du morceau dans VB. Par un coup, il peut apparaître une hippotent. Dans la séance, il ne dépendra plus du morceau. Mais au début de la séance, parce qu'on va vraiment récupérer formellement avec l'argument des risques, c'est quelque chose qui bouge un peu, non seulement suivant B mais suivant X. Le morceau, il va avoir un morceau et c'est le morceau qui contient X. Donc il existe une décomposition de nubée. Elles-mêmes, on la décompose comme une moyenne. Donc nubée s'écriera comme l'intégrale des nubées X des nubées de X. C'est-à-dire que j'ai partitionné, par exemple, il y aurait un cas qui pourrait arriver. Ça, c'est l'espace X et j'ai coupé en deux, en deux moitié. Et nubée X, c'est la restriction de la mesure à l'endroit où je me trouve, que j'ai normalisé pour en faire une mesure de probabilité. Et ce qui est important, c'est que nubée X, maintenant, il y a un nouveau paramètre qui est l'endroit où je me trouve, dans celui de mes deux morceaux, vérifie la même propriété d'équivalence. Mais alors, dans la propriété d'équivalence, quand je shift par B, ce qui est important, c'est de faire appliquer B1-1. Quand je shift par B, la variable X, elle est plus distribuée sur nubée, mais sur nute et B, donc ça veut dire qu'on lui a appliqué B1-1. Donc ce nute Tb B1-1X, c'est B1-1 appliqué à nubée X. C'est-à-dire que c'est la relation d'équivalence naturelle. Et maintenant, la relation d'équivalence naturelle et donc en particulier, on peut penser que si nubée X dépend pas de BX, c'est la bonne relation d'équivalence. Mais maintenant, des fois, on va être obligé. Pour l'instant, c'est ce qu'elle donne la dérive. On est obligé de rajouter une dépendance en X. Donc on a une décomposition de cette forme et on a une application BX et une application. Donc maintenant, au lieu d'avoir un VB, j'ai un VBX. Il dépend de B et de BX. VBX, qui est inclus dans VB. Donc il va de B dans le même espace. Les sous-algèbres, A de 1000 potentes, de G. Donc peut-être j'ai dû couper ma mesure en morceaux. Et peut-être du coup sur chaque morceau, j'ai dû définir... J'ai dû changer la droite que je choisis, la sous-algèbre nile potente que je choisis dans VB. Donc ici, ces relations sont vraies presque partout. C'est-à-dire que c'est vrai. Beta, presque pour tout B, cette relation d'équivalence. Nubée, presque pour tout X. Et ici, VBX, il vérifie aussi la même relation d'équivalence. Tout bouge de façon équivalente, de manière naturelle. Il y a des paramètres. Mais quand on shift les paramètres, tout bouge de manière naturelle au-dessus de ces paramètres. Donc ça vérifie la même relation d'équivalence. Et maintenant, on a gagné. C'est-à-dire que, manque de bol, en général, il n'y a pas de raison que Nubée soit VB invariante, parce qu'il faudrait tenir compte des mesures portées par des sous-espaces homogènes de G qui créeraient des sous-algèbres dans VB. Mais ce qui est vrai, c'est qu'une fois qu'on a coupé en morceaux, c'est bon. C'est-à-dire que beta, presque pour tout B. Alors je devrais dire quand même que cette sous-algèbre est différente de zéro, sinon on n'a rien gagné. Et beta, presque pour tout B. Nubée, presque pour tout X. Et bien Nubée X est invariante par l'exponentiel de VBX. Je vais appeler ça grand VBX invariant. Donc encore une fois, si VB est de dimension 1, il n'y a pas 100 BT. VBX, c'est VB. Parce que c'est une sous-algèbre non nulle, donc c'est VB. C'est ça la situation. Manque de bol, des fonds de Nubée de coupé en morceaux. Alors je reviens une minute sur ces questions d'équivariance. Il y a une propriété que j'ai utilisée très rapidement. Emmanuel me l'a fait remarquer dernière fois. Je vais juste bien détailler parce qu'on va beaucoup l'utiliser aujourd'hui. L'application de shift qui va de B dans B, elle préserve la mesure beta. Et par rapport à cette mesure, elle est ergodique. C'est toujours vrai. On a un espace produit comme ça, dénombrable. On préserve la mesure produit, le décalage préserve la mesure produit. On a une mesure produit, le décalage préserve la mesure produit et il est toujours ergodique dans cette situation par rapport à la mesure produit. Donc en particulier, à chaque fois que je regarde une propriété des Nubées qui est invariante par la relation d'équivariance, soit elle est vraie presque partout, soit elle est vraie nulle part. Soit elle est vraie sur un ensemble de mesures 1, soit elle est vraie sur un ensemble 0. Donc j'ai utilisé ça la dernière fois. J'ai été très, très vite pour le dire. Quand j'ai dit la dernière fois, j'ai étudié le cas où Nubée est une masse de Dirac. Et bien comme nu TB, c'est B1 moins 1 de Nubée, l'ensemble des B et que l'application B donne Nubée est mesurable, l'ensemble des B, c'est que Nubée est une masse de Dirac, il a un variant par le shift. Donc du coup, soit elle est vraie presque partout, c'est vraie presque nulle part. Quand j'ai dit les Nubées sont des Dirac, je voulais dire, sur un ensemble de mesures 1. Et si ce n'est pas sur un ensemble de mesures 1, c'est sur un ensemble de mesures 0. Et donc on va, par exemple ici, automatiquement, ce type de propriété vous dit que l'ensemble des BX tels que VBX, la dimension VBX, c'est un invariant. Alors là je triche un petit peu parce que VBX, il est paramétré par deux espaces. Il y a B et AX. C'est-à-dire qu'il y a une nouvelle dynamique qui apparaît et qu'on va utiliser aujourd'hui. C'est une dynamique sur BXX. Donc sur BXX c'est une dynamique, il y a une nouvelle composante. Donc on a une autre dynamique qui consiste. C'est général. Dès qu'on a une mesure nu qui est mu stationnaire, bien les Nubées, on peut construire une nouvelle dynamique qui consiste à s'y jeter la suite B et à lui appliquer l'inverse de B1. Alors cette dynamique ne préserve pas de mesures produits. C'est-à-dire dans le premier cours, dans le deuxième cours, quand j'ai parlé de mesures stationnaires, j'ai introduit une dynamique de ce type mais j'avais pas mis d'inverse. Et là j'avais mis la mesure produit. Quand j'avais pas mis d'inverse, j'avais dit qu'elle préservait la mesure produit de la mesure de Bernouy ici avec la mesure stationnaire. Ici j'ai mis un inverse donc c'est très très différent ce qui se passe là. La mesure que j'ai envie de mettre là-dessus, j'ai envie de dire que B il est distribué sur la mesure de Bernouy mais que X est distribué sur Nubée. C'est ça que j'arrête pas d'utiliser quand j'ai écrit ça. Donc ça veut dire quoi ? Ça veut dire que je mets la mesure BX, que je vais écrire formellement et je vais faire un dessin dans une minute, comme l'intégrale, c'est une mesure sur B croix X. Donc qu'est-ce que je veux dire ? Je veux dire que j'ai une base qui est B et qu'au-dessus de chaque point dans la base, quand j'ai un petit B, j'ai une copie de X. Est-ce que je suis en train de dire ce que j'écris là formellement ? Sur chaque copie de X, j'ai la mesure Nubée. Et je mets la mesure fibrée dont la projection sur B c'est la mesure de Bernouy mais pour laquelle la valeur de la mesure dans la fibre, c'est la mesure Nubée. Et la relation d'équivariance, cette relation d'équivariance, celle-là, elle implique que quand je prends, si j'appelle cette dynamique TX, quand je prends TX de la mesure BetaX, c'est BetaX. La relation d'équivariance, elle implique que quand on bouge suivant B, on pousse la mesure par le B. Cette relation implique que cette mesure un peu bizarre, cette mesure fibrée, elle est invariante. Et cette dynamique, dire que TX est ergodique par rapport à cette mesure, c'est un exercice de théorie de la mesure, c'est équivalent à dire que nu est mu ergodique. Aujourd'hui, je vais beaucoup utiliser ce fait. Je vous ai dit, les mesures stationnaires, soit on les étudie comme point fixe à un opérateur, soit on les étudie comme champ équivariant de mesure. Et avec ce changement de point de vue, vient l'introduction d'un nouveau système dynamique. C'est un système dynamique et on va voir dans la séance prochaine, on va voir pourquoi c'est celui-là que j'étudie. A priori, il y a l'autre, celui dont j'ai parlé au début, qui est plus évident et qui correspond plus au point de vue ici. Mais avec le point de vue famille de mesure, vient un autre système dynamique dont l'ergodicité est équivalente à l'ergodicité de la mesure nu. Et c'est celui qui est relié, vous voyez, toutes mes relations d'équivariance naturelle qui apprivent, quand j'étudie les propriétés nubées, les algèbes de l'IVB, et puis au moment où je rajoute un X, les relations d'équivariance naturelles sont des relations d'équivariance le long de cette dynamique. Et donc, elle est ergodique. Alors là, je vais exploiter ça, vous allez voir, on va pas arrêter aujourd'hui. Donc, je reviens une minute, voilà, je... je reviens une minute là-dessus. Pardon, je reviens définitivement. Voilà, donc j'ai montré, hein, donc ça c'est vraiment l'argument de dérives. C'est-à-dire, dans l'argument de dérives, on va partir du fait que nu Lx égale 0, on va appliquer ce qu'on a fait sur les fonctions U, la récurrence en dehors de la diagonale, etc., pour en déduire que nu B de Lx est différent de 0, nu B de Lx égale 0, et on va faire quelque chose qui va créer cette petite invariance de la mesure, alors pas de nu B, mais de nu Bx. Et aujourd'hui, donc, ça va être un peu le petit margoulis illustré. C'est-à-dire que ce qu'on va faire, ça va être des raisonnements vraiment standards dans ce domaine de systèmes yamics dans l'espace homogène, donc je pense qu'à la plupart, voilà, c'est vraiment margoulis furstenberg, j'en prends comme ça qu'ils ont introduit, et on va montrer que, en appliquant le théorème de Ratner, maintenant à nu Bx, on va réduire que, en fait, la probabilité est homogène. Et ce que je vais faire pour les gens du domaine, c'est vraiment que des arguments classiques. Voilà, c'est des basics de systèmes yamics dans les espaces homogènes aujourd'hui. Alors, ce que je vais faire, c'est que je vais vous le montrer dans un premier cas, où Vb, il ne dépend pas de Bx, voilà, je vais vous montrer ce qui se passe dans un premier cas, exemple, avant de faire le cas général. Donc, l'exemple, c'est le cas où G, c'est un exemple dont j'ai déjà parlé, c'est le cas de l'action par automorphisme sur des torres. Donc, c'est G, c'est le produit smidirect de SL2Z par le torte T2. Donc, lambda, c'est SL2Z. Donc, ce qui veut dire, en d'autres termes, ce que je suis en train de regarder, c'est X, c'est donc simplement le torte T2. Et moi, je ne vais pas m'intéresser à des parties de translation. Ça, c'est les automorphismes à fines du tort, et j'ai juste regardé l'action par la partie linéaire. Donc, j'ai prendre gamma mu, qui sera donc un sous-groupe de SL2Z, qui va donc agir sur ce torte T2. Ce langage compliqué, c'est de dire que, dans ma description des espaces, des systèmes diamiques dans les espaces homogènes, j'inclus les actions de sous-groupe de SL2Z par automorphisme sur T2. Et je regarde ce sous-groupe, j'ai supposé qu'il y ait des arrises qui dansent dans... Donc, mu, c'est une probabilité à support fini, puisque je suis sur un sous-groupe discret, donc un support compact, ça veut dire un support fini. J'ai supposé que ce groupe ait des arrises qui dansent dans SL2R, c'est-à-dire ce qu'on appelle le non-élémentaire, aussi en géométrie permodique, et je veux montrer que, ce qu'on appelle le non-élémentaire, c'est d'une probabilité sur le torte T2, qui est un mu stationnaire ergodique, ça implique que soit nu est atomique, ou nu est la probabilité de le bec. C'est ça, le théorème dans ce cas-là. Et ça, au demeurant, j'aurai peut-être que je ne l'ai pas dit, après, je ne sais pas, et ça, ça a un résultat qui est légèrement antérieur à notre travail, qui était en fait la motivation originale de notre travail avec Yves, de Bourguin, Furman, Nindenstraus et Moses. Et donc, ils ont des méthodes complètement différentes pour aborder ça, et qui reposent, comme il y a Bourguin dans le nom, ça veut dire que ça repose sur de l'analyse de Fourier. Donc, est-ce que Bourguin, c'est une formule magique qui transporte quel problème en problème d'analyse harmonique ? C'est un peu comme ça que ça marche, la vie. Voilà. Et donc, quand je vais simplement montrer ce théorème à partir de la proposition de dérives. Alors, qu'est-ce qui se passe ? Démonstration. Et bien, j'applique la proposition de dérives. Donc, si nu est non atomique, moi, je vais montrer que si nu est non atomique, c'est la mesure de De Beg. Alors, ici, le centralisateur, elle, il est trivial. Il n'y a pas de sous-roube de R2. Enfin, il est discret, en tout cas, il est fini. Je peux dire, le centre de SL2Z. Voilà, le centralisateur, il est discret. Donc, l'hypothèse nu Lx égale 0, c'est juste l'hypothèse nu non atomique. C'est la même hypothèse, d'accord ? Et maintenant, qu'est-ce que me produit le théorème ? Et bien, ici, les VB, on en... l'algette de l'I, c'est l'algette de l'I de R2, les dimensions 2, d'accord ? Donc, les VB, la dimension de VB, c'est 1. C'est juste la droite. Ici, on a un produit de matrice aléatoire fortement irréductible proximal. Le VB, c'est juste la droite que j'ai construite là dans la théorie de Fürstenberg. Donc, j'ai ce VB qui est dimension 1. Donc, VBX, c'est égal à VB. Et nu B, et VB invariante. Alors, maintenant, quelle est la situation ? Là, on ne va pas utiliser la théorie de Ratner, parce qu'on est dans un cas facile. L'espace-là, c'est l'espace X. Et puis, je suis en train de donner sur l'espace X, il y a cette droite VB. Il y a une droite VB qui agit par translation. Et je sais que nu B, c'est une mesure invariante par translation suivant cette droite. Donc, il y a deux solutions. Soit la droite VB, elle est rationnelle. Soit la mesure nu B, c'est la mesure de Lebesgue. Donc, moi, ce que je prétends, c'est que je prétends fait synrho et la mesure de probabilité mustationnaire sur la droite projective, c'est la mesure unique qui apparaît dans la mesure de la théorie de Furstenberg. Et bien, Rho n'est pas concentré. Rho ne charge pas les points rationnels. On va le faire dans une minute. Donc, autrement dit, par construction, bêta presque sûrement, eh bien, la droite VB, elle n'appartient pas AP1Q. Ça veut dire que je ne charge pas les mesures stationnaires, c'est-à-dire que cette mesure, c'est la mesure de toutes les VB. VB, c'est une droite aléatoire et la mesure, c'est la loi de cette droite aléatoire. Donc, est-ce que cette mesure ne charge pas les points rationnels? Cette droite VB n'est pas une droite rationnelle. D'accord? Donc, maintenant, puisque la mesure nu B, elle est VB invariante, ça veut dire que nu B est égal à la mesure de Lebesgue. Et puisque nu, c'est la moyenne des nu B, nu c'est Lebesgue. Donc, c'est... Alors, il faut que je vous explique. Je vais faire un petit raisonnement. Et dans le cas général, parce que essentiellement, tous les ingrédients sont là. Il va falloir développer tous ces ingrédients, mais c'est ça l'idée. L'application de Ratner, c'est là. Le fait que les droits rationnels du Tor agissent de façon unique, c'est un cas de Ratner. Alors, c'est pas le cas le plus difficile. Alors pourquoi? Je vais montrer Rho de P1Q. Pourquoi c'est vrai? C'est vrai parce que P1Q, dans cette situation, c'est très facile. C'est parce que j'agit par automorphie sur un groupe dénombrable. Donc, c'est dû à un l'M qui dit la chose suivante. Si X est un ensemble dénombrable, si G est un groupe qui agit sur X et que j'ai mu une mesure de probabilité sur G, nu, une mesure de probabilité sur X, si jamais Rho, P1Q, c'est toujours un raisonnement d'ergodicité. P1Q, c'est un ensemble qui a un variant par le groupe, puisque j'agit par élément de SL2Z. Donc, soit une mesure 1, soit une mesure 0, à l'ergodicité. Donc, si j'ai nu une probabilité sur X qui est stationnaire, alors nu est invariante. Voilà. Et si c'est pas possible, parce que ce serait même une probabilité invariante pour une action d'un groupe sur un espace dénombrable, c'est une probabilité à support finie. C'est une probabilité... C'est l'ergodicité, c'est une probabilité à support finie. Ici, par unicité, c'est une probabilité à support finie. Donc, il y aurait une union finie sous l'espace vectoriel qui serait invariant, et ça, c'est pas possible. C'est la zareste qui est densité. D'accord ? Pourquoi c'est vrai ? Ça cause du principe du maximum. On va refaire ce raisonnement dans 10 minutes, on va refaire ce raisonnement dans le cas général. C'est le principe du maximum. Je pose Phi de x égale la masse de x pour la mesure nu, mais je préfère le voir comme une fonction maintenant. Sur les espaces dénombrables, les mesures, c'est les fonctions. Eh bien, la relation stationnarrité a dit exactement que Phi de x c'est égal à la somme. Ici, c'est une action discrète pour g dans g du poids de g fois chi de g moins un x. Voilà. Donc, j'ai une fonction harmonique pour une certaine opérateur qui est assez sûre à un espace dénombrable et c'est une fonction qui est sommable. Et la somme pour x en x des Phi de x eh bien, elle est égal à 1. D'accord ? Donc, j'ai une fonction qui est sommable et qui est harmonique, elle est constante sur les orbites. Phi de... C'est principe du maximum, principe du maximum. Phi est constante sur les orbites. Je prends un point où Phi est maximale et je regarde ce qui se passe, il y a toutes ces images Phi est maximale. Et il y a des points en Phi est maximale parce qu'elle est sommable. Voilà. Voilà. Donc, ça, c'est juste ça. Donc, ici, conclusion. Baro, comme elle est ergodique, elle est portée par une orbite finie. Parce que là, les orbites, comme la fonction Phi est constante sur les orbites, les orbites en particulier, les orbites qui voient du Phi, elles sont finies. D'accord ? Donc, ici, cette mesure par une cité, elle est portée par une orbite finie et cette orbite finie, ça fait une réunion de droite qui est invariante par mon sous-groupe d'arrêt qui danse de la celles de z. Ça n'existe pas. C'est la fortirréductibilité. Voilà. Donc, dans ce cas-là, on a conclu. Maintenant, on va passer au cas général. Donc, pourquoi cette proposition, donc la dérive ici, je l'ai regardée, je n'ai pas l'effacé, je vais travailler sur les côtés. Pourquoi cette proposition implique que, sous les mêmes hypothèses, eh bien, en fait, les mesures sont sont des mesures homogènes. Alors, il y a un premier cas à traiter, c'est le cas qui apparaît pas en la proposition, c'est celui-là. C'est quand nu de l'X est différent de zéro. Et ensuite, ce que j'ai fait, essentiellement, ça va être un raisonnement par récurrence sur la dimension et l'arrivée de cette nouvelle invariance va me permettre de faire un caution à un moment et de baisser la dimension. Mais, en fait, il y a une récurrence qui est cachée. La création d'éléments qui préserve la mesure permet d'incrémenter, de baisser d'un cran dans la dimension parce qu'on va faire un caution à un moment, à partir de cette situation, on va fabriquer un groupe qui préserve la mesure, mais qui préserve nu, qui ne préserve pas les nubés. Et ensuite, on va baisser la dimension et on va raisonner par récurrence. Simplement, il faut traiter le cas de début de la récurrence qu'est le cas au nu de l'X, n'est pas nul. Je ne l'ai jamais parlé. J'ai commencé, et là, dans le cas des torres, c'était trivial, c'était le cas où la mesure était atomique. Donc, par le lemme, par exactement, ce lemme-là, il me dit ce qui se passe dans les torres. Si la mesure est atomique, c'est une combinaison d'orbites finies. D'accord ? Parce que les atomes, il y en a qu'un nombre dénombrable, c'est des points, les seules atomes possibles, c'est des points rationnelles du torre. Voilà. Pardon, je n'ai mal raisonné. Si la mesure est atomique, elle vit sur un ensemble dénombrable qui est gamin invariant et je peux appliquer ce lemme. Donc, en fait, elle est invariante. Ce lemme, il traite aussi dans le cas des torres qu'il n'y a plus de la récurrence. Il n'y a que deux crans de la récurrence, soit elle est atomique, soit elle est le bec. Donc, en général, il faut traiter quand même le premier cas, quel cas au nu de LX et non nulle. Alors, ça, c'est très général. Je ne peux pas dire aucune hypothèse. Vous allez voir, c'est complètement formel. Je n'ai pas eu ce truc énorme. Alors, je vous dis, c'est complètement général. Donc, ça, c'est une proposition. Donc, ça, je suis en train de traiter. Qu'est-ce qui se passe qu'en nu de LX parce que dans le théorème, je n'ai pas fait d'hypothèse de ce cycle-là. Alors, proposition. J est un groupe topologique localement compact. Lambda, dans G, est un sous-groupe discret. Je ne vais rien d'utiliser. Là, c'est vraiment un truc comment formel. C'est comme, dans la théorie de Ratner, quand tu classifies les mesures invariantes par des groupes admis le potent, le premier cas, c'est les mesures invariantes par des groupes centraux. On l'a utilisé ici, dans le cas des torts T2. C'est le cas des groupes centraux. Il n'y a pas du tout besoin de groupe de lits. Ça, c'est un phénomène général de groupe. Une action par un groupe central, on sait très bien quelles têtes sont fermées invariantes, ces mesures invariantes, etc. J est un groupe topologique localement compact. Lambda est un sous-groupe discret. Donc, je note X égale G sur Lambda, comme d'habitude. Mu est une mesure de probabilité sur G. L est le centralisateur. Je noterais comme ça des fois pour aller vite. Le centralisateur d'Angers, du sous-groupe engendré par le support de Mu. Et nu est une probabilité mu stationnaire ergodique sur X, tel que il existe X dans X avec nu de LX, strictement positif. Alors, nu est homogène. Donc, vous voyez, là, il n'y a pas de groupe de lits, il n'y a rien. Et la démonstration va être du même qui habique la presse. C'est-à-dire que je raconte n'importe quoi. La démonstration va être pas très compliquée. Donc, la situation, ça, c'est super bien entourer des groupes. Quand il y a des choses qui sont ergodiques, on a une situation, on a quelque chose qui agit que la probabilité est mu. Il y a quelque chose qui commute à nu, qui est le groupe L. L'action de mu est ergodique, alors il y a beaucoup de rigidité. C'est ça que ça dit. Quand on a une action ergodique et quelque chose qui commute à l'action ergodique, il se passe un truc de rigidité. C'est très général. Donc, je vais les lancer un résultat général qui implique qu'on va utiliser la démonstration de ça. C'est la chose suivante. J'ai X qui est un espace localement compact. C'est très général et je vais le formaliser sous forme de cette proposition. Et j'ai P donc ça va de X dans les probabilités de X. C'est ce que j'ai appelé un opérateur de Markov-Feller. C'est-à-dire une application faiblement continue qui, à chaque point, associe une mesure de probabilité. Maintenant, ce que je vais rajouter, c'est cette situation. P, c'est l'opérateur de convolution par la mesure mu. L'opérateur, à ce, c'est la mesure mu. Donc, j'ai une probabilité nu. Ce sera une probabilité sur X qui est invariante et nu et P ergodique. C'est un point extrêmement. Et maintenant, je vais me donner le groupe L. Donc, je donne un groupe L. Maintenant, ça va être un groupe topologique localement compact. Et puis, peut-être, il faut rajouter alors peut-être tous les espaces sont partout, j'ai oublié. Alors évidemment, ce que les anglais appellent second countable, c'est-à-dire séparable sigma compact. Même chose ici. Pardon, j'ai cassé le plafond. Sigma séparable, j'ai voulu faire un élan ségénéral des cougers. Il faut mettre tout, sigma compact. Et si L est un groupe topologique localement compact, séparable, sigma compact. Et alors, je suppose quoi ? Maintenant, je veux que l'action de L commute à l'action de P. Donc, qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que L commute à P. Et je vais écrire formellement ce que ça veut dire. Idest. Quel que soit L dans L, quelque soit X dans X. Quand je regarde P que j'évalue en LX, donc ça, c'est une mesure de probabilité sur l'espace X. Et bien, c'est la même chose que prendre L et pousser par L la mesure de probabilité PX. C'est une mesure de commutation. Ça, c'est la relation de commutation qui est satisfaite par l'opérateur associé à mu et par le groupe L. Et bien, qu'est-ce qui se passe ? Mais moi, je prétends la chose suivante. Il existe un ensemble, alors, c'est ça de l'M général qui va impliquer mon phénomène de théoré des groupes. Il existe un ensemble E, un Q dans X, qui est un ensemble boréliens qui est de mesure totale de l'E. Alors, je vais noter L nu c'est le groupe des éléments de L qui préserve la mesure nu. Telle que quel que soit L appartenant à L nu L e est égal à E. Les éléments du centralisateur qui préserve la mesure ergodique, ils stabilisent exactement mon boréliens. Et maintenant, les éléments du centralisateur mais qui n'impartiennent pas le centralisateur de la mesure, ils envoient le boréliens sur un autre boréliens mais qui ne le rencontrent pas. C'est-à-dire que ma mesure, ce que je suis en train de dire c'est que ma mesure par dessin ma mesure d'un point de vue boréliens pas d'un point de vue topologique mais d'un point de vue boréliens je peux la couper qui va être invariant par le stabilisateur de la mesure mais dès que je bouge un petit peu par le centralisateur je vais complètement ailleurs. Je l'envoie sur quelque chose de complètement différent. Pourquoi c'est vrai ça ? C'est vrai parce que quand vous avez une transformation un opérateur de Markov que vous avez deux mesures invariantes ergodiques mais qui sont distinctes elles sont étrangères l'une à l'autre. Quand vous avez en général si vous prenez par exemple sur le décalage si vous prenez deux mesures de Bernoulli distinctes associées à deux paramètres différents eh bien ces deux mesures sont étrangères c'est-à-dire qu'il y a un boréliens qui est une mesure 0 pour une et un pour l'autre c'est ça que dit Seulem parce que les éléments du centralisateur ils permutent les mesures ergodiques puisqu'ils commutent ils permutent l'ensemble des mesures ergodiques les points extrémaux du convex donc quand vous prenez le poussé de nu soit c'est la même mesure soit c'est une mesure étrangère donc puisque quand vous travaillez par rapport à un élément du centralisateur c'est très clair qu'il existe un ensemble boréliens puisque la mesure poussée de nu par elle, dès qu'elle ne fixe pas nu c'est une mesure étrangère à nu c'est une autre mesure étrangère donc pour elle fixer l'existence d'un tel ensemble boréliens est claire ce que dit la proposition c'est qu'on peut aller un tout petit peu plus loin et trouver le même ensemble boréliens pour tout le monde d'accord ? l'existence de ce boréliens pour elle fixer c'est juste le théorème de Radon-Nicodyne qui vous dit que quand vous avez deux mesures, si elles sont étrangères l'une à l'autre ça veut dire que vous pouvez trouver un boréliens de mesures 0 pour une et 1 pour l'autre ça c'est juste le théorème de Radon-Nicodyne et ça c'est un théorème de Radon-Nicodyne pour tous les éléments du centralisateur à la fois et c'est parce que je veux un théorème pour tout le monde à la fois que je fais des hypothèses sur le groupe c'est pour faire de la théorème dure c'est à dire que j'en prends un petit peu pour l'un j'enlève, j'ouvre les bouts etc en fait je vais faire, j'ai circuité tout ça j'ai fait un argument massu voilà en tout cas voilà c'est ça l'idée de ce résultat donc je vais le démontrer pour démontrer ça va être trois lignes en fait j'aurais pu ne pas faire d'hypothèses sur elle je suis désolé parce que ce qui se passe c'est que en fait ce théorème c'est un théorème boréliens il n'y a pas de structure topologique là dedans donc d'habitude je suis très formel et je l'énonce pour des actions boréliens sur des espaces boréliens et là j'ai besoin d'une hypothèse pour arriver à me ramener à des situations plus lisses voilà mais en fait là vu comment je l'ai annoncé j'ai pas un hypothèse sur elle vous allez voir attention la preuve c'est trois lignes la démonstration c'est un super truc une fois qu'on l'a vu une fois on l'oublie jamais je vais donner une définition de E E c'est l'ensemble des X dans X tel que pour toute fonction continue à support compact par contre j'ai fait des hypothèses sur X pour toute fonction continue à support compact quand je prends 1 sur n la somme de k égale 0 à n moins 1 des p k phi de X ça tend à l'intégral de phi des nu fin de la démonstration pourquoi ? qu'est ce que c'est que ça ? déjà j'ai fait des hypothèses sur X c'est par abscime compact etc qui me garantissent que cette assertion il suffit qu'elle soit vraie pour un ensemble dénombrable de fonctions donc comme il suffit de prendre un ensemble dénombrable de fonctions pour que ce soit vrai cet ensemble il est mesurable il est boréliens pourquoi il est de mesure 1 ? ça je vous en ai pas la dernière fois c'est parce qu'il y a un théorème ergodique pour les opérateurs qui préservent des mesures ce qu'on appelle le théorème de Tschech-Hannanstein donc E est boréliens car il suffit de tester un nombre dénombrable de phi voilà c'est une première précie de propriété ensuite la mesure de E est égale à 1 par le théorème ergodique de Tschech-Hannanstein donc je vous en ai parlé la dernière fois c'est un théorème qui dit qu'il est temps le théorème ergodique de Birkhoff au cas des actions par des opérateurs qui prévertent des mesures et donc ça dit exactement que pour une mesure ergodique on a cette propriété pour une fonction fiche XC on a cette propriété presque partout pour la mesure nu et donc de nouveau je prends une partie dénombrable qui suffit pour tester ça et je prends un ensemble c'est vrai pour toutes les fonctions dans cette partie dénombrable c'est encore de mesure 1 donc ça veut dire que c'est de mesure 1 et puis par contre qu'est-ce qui se passe ? donc si j'ai un L qui est dans L nu L il agit de façon continue donc il préfère l'espace des fonctions donc si L préserve la mesure il y a un 7 dès que j'ai une transformation continue qui commute à l'opérateur et qui préserve la mesure je préserve cet ensemble ok ? mais en revanche si j'ai L qui n'appartient pas alors je vais l'appeler E nu cet ensemble E nu voilà si L n'appartient pas L nu même si L n'appartient à L nu c'est E du poussin avant de nu puisque L commute à l'opérateur et donc si nu comme si jamais L ne préserve pas la mesure nu cet ensemble c'est là où on voit la mesure nu quand on fait le théorème de Tschech and Einstein si on voit une autre mesure c'est disjoint d'accord ? et donc par définition si nu est différent de nu prime E nu E nu prime c'est égal ensemble de ligne voilà c'est magnifique cette astuce non ? moi je me suis posé ce type de phénomène dans tous ces problèmes de rigidé de mesure etc les cas où ça commute ils sont souvent présents il y a des tas d'endroits où on voit des gens qui font des raisonnements comme ça etc et je ne sais plus où j'ai trouvé ça un jour dans un papier ce truc on a souvent envie de faire des décompositions comme ça Radon, Nicodin qui sont uniformes en fait c'est très facile il n'y a rien il n'y a pas utilisé de la théorie de la mesure c'est juste appliquer le théorème harmonique de Birkhoff ou Tschech and Einstein au bon endroit moi ça m'a pris des années de comprendre ce truc je trouve ça magnifique vous avez le droit de ne pas partager mon enthousiasme chacun sa sensibilité alors qu'est ce que je veux dire pourquoi ça permet de conclure la proposition alors j'applique maintenant j'applique la proposition à la situation qui est ici surtout je ne veux pas effacer je vais me mettre sur le tableau qui est là pourquoi ça permet de conclure la proposition de théorie des groupes alors démonstration maintenant du cas nu de Lx c'est strictement positif ouais c'est le centralisateur ce que je veux dire donc je vais encore poser nu égal l'ensemble des L dans L qui préserve nu et bien ce que me dit le résultat c'est que nu de Lx nu que nu presque pour tout x nu de Lx c'est égal à nu de Lx puisque j'ai mon ensemble E tel que nu de Lx est strictement positif ça veut dire que le Lx il va rencontrer l'ensemble E que j'ai construit d'accord donc les x telles que nu de Lx strictement petits je peux toujours les choisir dans E mais puisque je les choisis dans E et que E est une mesure 1 et bien en fait je peux choisir la partie de L qui compte c'est la partie qui préserve la mesure ok donc qu'est ce que je vois maintenant je vois des orbites d'un groupe qui préservent une mesure et qui sont de mesures strictement positives c'est à dire que ma mesure sur chacun des L nu x c'est un bout de mesure dehors parce que les orbites du stabilisateur sont de mesures strictement positives ok c'est juste là que je suis en train de dire si nu de L nu nu x si jamais ça c'est égal à 1 sinon c'est non seulement strictement positif mais égal à 1 ben j'ai une probabilité qui est portée par une L orbite une L nu orbite et une L nu invariante c'est une mesure homogène c'est ça que je cherche à construire depuis le début c'est des mesures invariants c'est des mesures qui sont portées par des orbites de la stabilisateur donc il faut juste que je traite le cas ou c'est pas forcément de mesures 1 si c'est une mesure 1 c'est terminé si nu de Lx égal à 1 c'est une mesure qui est invariante et portée par une orbite de son stabilisateur nu est homogène quasiment par définition donc en général bon ben déjà si je considère l'ensemble des x tel que nu de L nu x est strictement positif eh bien il est mu un variant donc ce que je veux dire c'est que soit c'est vrai partout ça se résume par ergoticité par ergoticité nu presse oui attendez j'ai déjà dit là c'est euh pardon j'ai du nu Lx et ça c'est vrai par ergoticité eh bien j'ai quelque soit x j'ai nu presque pour tout x nu de L nu x c'est strictement positif voilà alors maintenant je vais faire comme dans la démonstration du cas atomique je vais poser phi de x égal nu de L nu x ok et j'ai encore je sais encore que la somme sur donc il y a un nombre dénombrable ici cette fonction elle prend qu'un nombre dénombrable de valeur et la somme des valeurs de phi j'ai une somme qui est égal à 1 c'est la somme des valeurs de phi sur l'espace des L nu orbite j'écris pas la somme de quoi c'est horrible d'accord donc j'ai une somme qui est égal à 1 et puis j'ai une relation phi de x égale l'intégrale sur g des fit, des minus, des mu g ok donc par principe du maximum eh bien cette fonction elle est invariante d'accord elle est invariante par gamma mu je vous avais dit qu'on allait le refaire dans une minute alors j'ai juste en train de traiter le cas où on n'est pas une seule orbite du centralisateur il va y avoir un nom fini d'orbite du centralisateur si j'étais dans le tort T2 je suis en train de traiter le cas d'une orbite finie pas seulement d'une orbite qui est un point fixe d'accord donc nu phi de x est la somme sur G voilà donc du coup phi est gamma mu invariante par principe du maximum et donc puisque la mesure est ergodique il existe x1, xk appartenant à x tel que nu de l nu de l'xy c'est 1 sur k 1 et gamma mu préserve je suis en train de dire cette fonction il y a une seule orbite et puis tous les points la même masse puisque cette fonction est invariante qui permute l'ensemble x1 xk et nu qu'est ce que c'est nu de l nu x1 union union l nu xk c'est égal à 1 d'accord donc la mesure est homogène c'est à dire que la mesure est nu et gamma mu l nu homogène voilà c'est juste peut-être si vous n'êtes pas familier à ça vous trouvez ça horrible mais c'est juste que je dis c'est que le cas où il y a de la mesure sur les orbites du centralisateur c'est des manipulations formelles quoi je veux dire on a quelque chose d'ergodique et le centralisateur voit le comportement du centralisateur sur quelque chose d'ergodique c'est très facile à décrire c'est la proposition générale si jamais il y a des orbites de mesure strictement positive c'est essentiellement que ça se comporte comme des points fixes donc là j'ai commencé ma récurrence c'est à dire que j'ai traité le cas ou la mesure chargé les orbites du centralisateur donc maintenant quand ça ne charge pas les orbites du centralisateur le point clé vraiment d'un point de vue de théorie ergodique c'est cette proposition c'est on a un machin ergodique on a un groupe qui agit en commutant alors il se passe quelque chose sur la structure de l'action du groupe sur les mesures invariantes c'est central ça vraiment donc maintenant qu'est-ce que je dis voilà donc maintenant j'ai traité le cas au nu de Alix c'était non-nul donc je peux supposer nu de Alix je suis toujours dans les hypothèses qui sont ici je peux attaquer en supposant nu de Alix égale 0 j'applique cette proposition donc maintenant je récupère c'est ce que dit la proposition donc je vais revenir là ici je devrais l'avoir écrit ici je vais écrire ce que j'ai effacé là c'est nu bx et vbx qui est l'exponentiel de petit vbx invariant maintenant on va exploiter ce renseignement alors déjà donc j'ai une mesure qui est invariante par un groupe adnilpotent ça c'est très bien adnipotent j'ai envie d'appliquer Ratner attention il faut qu'elle soit ergodique bon c'est pas grave je décompose je m'en fous parce que la décomposition ergodique c'est uniquement défini donc la relation d'équivariance à laquelle je tiens un mordicus elle sera préservée puisque le b1 il envoie il manque un truc là qu'est-ce que c'est que ça là je m'en prends soin vous pourriez me surveiller quand même il y a les relations d'équivalence il y a l'automorphisme à chaque fois puisque là c'est plutôt celle qui est je sais plus là ça devient trop dur pour moi c'est qui m'intéresse puisque on a cette relation d'équivalence sur le groupe KJ cette relation d'équivalence sur la mesure l'application b1 puis sans son moins 1 elle envoie les composantes vbx ergodique de cette mesure sur les composantes vtb b1-x ergodique de cette mesure c'est unique composante ergodique donc il n'y a pas de problème je peux toujours supposer par une cité de la décomposition ergodique je peux supposer que la mesure vbx pardon la mesure nubx et vbx ergodique donc j'applique Ratner eh bien nubx est homogène alors quand une mesure est homogène ça veut dire qu'elle est portée par une orbite de son stabilisateur et puis ici son stabilisateur il contient un groupe ergodique qui est connex donc ça veut dire qu'on est aussi porté par la composante connex de cette orbite ça c'est important je note sbx ce sera je prends le stabilisateur quand je note g comme ça c'est le stabilisateur de nubx dans g mais je prends sa composante connex je vais préférer vous allez voir pourquoi ça joue un rôle pourquoi ça joue un rôle oui oui ça va jouer un rôle parce que le stabilisateur je vais le voir comme une algèbe de lit ça va être pratique d'ailleurs petite parenthèse donc on a démontré une version péadique de ce résultat et alors là on a souffert parce qu'il n'y a pas de composante connex dans le cas péadique ça nous a posé des problèmes on a mis des mois et des mois sans sortir vous en fichez un peu de notre souffrance vous avez raison mais toujours est-il que maintenant comme là c'est pas des mes situations avec des groupes discrets c'est Ratner donc c'est des groupes connex qu'agissent puisque la mesure est ergodique sous vbx elle est portée par une orbite de ce groupe mais donc elle aussi portée par une orbite de sa composante connex il n'y a pas plusieurs composantes connex puisque l'orbite le support de la mesure est connex on peut se restreindre à la composante connex c'est important ça c'est juste à comprendre comprendre le groupe là c'est comprendre une algèbe de lit sous algèbe de lit et bien évidemment STB par unicité c'est rien d'autre que l'action adjointe de b1 puissance moins 1 alors oui non alors c'est pas de l'action adjointe au niveau de l'algebra de lit c'est b1 moins 1 sbx b1 par équivariance je transmets la relation d'équivariance à ce machin alors qu'est ce que je dis alors je dis proposition en fait on va montrer que s il n'y dépend pas de la mesure il n'y dépend pas de bx et on va montrer même un peu plus donc proposition il existe s un sous groupe de g connex fermé tel que beta presque pour tout b nubé presque pour tout x s est égal à sbx donc cette fonction qui à chaque point associe un sous groupe en fait elle est constante et si je note n le normalisateur une immodulaire de s alors qu'est ce que c'est que cette bête là s alors quand vous êtes dans un groupe vous pouvez regarder le normalisateur d'un sous groupe c'est à dire l'ensemble des gens qui le préservent par conjugaison donc à cause de cette relation là on croit pas mal que le support de la mesure à partir du moment où ce groupe s dépend plus du point ben le gamme amus il va normaliser le groupe quoi et même non seulement il va le normaliser mais il va le normaliser en préservant sa mesure de var c'est ça que j'appelle le normalisateur une immodulaire de s c'est à dire l'ensemble des gens qui normalisent s et qui préservent sa mesure de var et ça j'ai utilisé ça contient s parce que ici s c'est un groupe qui a de mé un réseau les groupes de râteneur quand vous avez une mesure de râteneur elle est homogène sur son stabilisateur ça veut dire que le stabilisateur il contient un réseau le fixateur d'un point dans le stabilisateur de la mesure donc c'est un groupe une immodulaire un groupe qui contient un réseau c'est un groupe une immormulaire donc en particulier s il est inclus dans son normalisateur et une immodulaire c'est à dire à priori un groupe est toujours inclus dans son normalisateur mais quand il n'est pas un immodulaire il n'est pas inclus dans son normalisateur et immodulaire mais ici il n'y a pas de problème s est dans son normalisateur et immodulaire si n est un normalisateur de immodulaire de s eh bien on a gammamuc est contenu dans n et il existe un point x dans g sur lambda tel que la mesure est concentrée sur une stabilisateur d'une immodulaire d'accord donc qu'est ce que j'ai fait si jamais admettons que n c'est g que cet orbite c'est tout le monde ce que j'ai montré c'est que mon sous groupe s c'est un sous groupe normal de g et maintenant comme s il préserve chacune des nus bx mais qui dépend plus de bx c'est à dire qu'il préserve nu ce que j'ai trouvé c'est j'ai trouvé j'avais mon groupe g et j'ai construit s dedans donc quand j'ai trouvé s sur lambda je viens de le fibrer au dessus de g sur s lambda puisque s il y a un point où s rencontre lambda en un réseau donc comme s est normal maintenant s rencontre toujours pour tout point s c'est un sous groupe normal donc s rencontre lambda en un réseau d'accord donc quand on a cette situation un groupe g un réseau ça dit tout de suite que s lambda est un réseau dans g pardon que s lambda est un réseau dans g sur s d'accord donc j'ai fibré ma situation j'ai une base que g sur s lambda et j'ai ici le gros espace que g sur lambda et puis j'ai une fibration dans la fixe la fibre c'est s sur s lambda c'est ça que donne cette proposition la mesure elle est invariante sur s donc en fait elle est complètement définie par sa projection sur la base mais sa projection sur la base c'est encore une mesure stationnaire et comme le groupe s il est ton trivial puisque le groupe s il contient les vbx qui sont des sous groupes de dimension strictement positive ici j'ai baissé la dimension d'un cran donc j'ai fait une récurrence sur la dimension je reviendrai donc une fois que j'ai une fois que j'ai fait la proposition là je vais résonner par récurrence la dimension j'ai terminé parce que j'ai fibré la mesure sur quelque chose de plus petit donc il faut que j'arrive à construire cette orbite du normalisateur c'est le point clé ici c'est qu'en fait on arrive à fabriquer une orbite du normalisateur qui est de masse 1 donc là il y a un petit travail au début je pars d'une situation où j'ai un groupe qui dépend du point d'accord ? il faut que je vois pourquoi ça dépend pas du point pourquoi c'est normalisé etc c'est une question ? je t'oublierais peut-être que là tu as remplacé G par n oui j'ai dit j'ai remplacé G par n j'ai fait une énorme arnaque parce qu'il n'y a aucune raison que le stabiliteur de l'isnance est un réseau de n ben ouais c'est pas vrai on sait pas si c'est vrai donc il y aura un truc à dire j'ai arnaqué, j'ai arnaqué là je vous ai arnaqué là les gens méfiant m'ont eu j'ai super arnaqué parce que j'ai remplacé G par n je sais même pas si cette orbite est fermée je pense qu'elle est fermée mais on apparaît celle démontrée dans le cas général il y a un moment où on a trouvé un argument qui conserquait ça il y a quelque chose à démontrer là je vais revenir là dessus, il y a des choses à démontrer mais la stratégie c'est celle là c'est une fois qu'on a construit ça on a envie de remplacer G par n de dire que comme la mesure elle est un SA variant et que S rencontre dans un réseau on fibre et puis on n'a plus qu'à travailler dans la base et dans la base on a baissé la dimension d'un cran mais j'ai été super vite donc là il y a des points techniques il y a des trucs à démontrer qui sont un peu pénibles je vais expliciter à la fin d'abord me concentrer sur la démonsion de la propulsion parce que la démonsion de la propulsion il y a un argument qui est joli qui est du pur margoulis pourquoi pourquoi ce groupe en fait ne dépend pas du point alors on va passer on va me montrer une propriété des mesures stationnelles dans les espaces vectorielles je vais bien détailler donc d'abord ce SBX est estabillateur d'une mesure nubéX qu'à une mesure homogène alors on sait un truc sur les mesures homogènes c'est à dire ici vous voyez je vous rappelle qu'il y a la relation d'équivariance je vais la récrire là tellement elle est belle égale B1-1 qui pousse en avant nubéX alors ça ça me dit que dans l'espace des mesures de Ratner dans les espaces des mesures qui sont homogènes est ergodique sous l'action des parties unipotentes des parties unipotentes de leur stabilisateur eh bien le groupe G lui-même il agit il permute ces mesures est-ce que je suis en train de dire que la G orbite de la mesure bah elle dépend pas de BX c'est ça que je suis en train de dire ici en particulier mais les G orbites dans les mesures de Ratner on sait combien il y en a il y en a qu'un nombre dénombrable c'est un M qui apparaît dans la théorie de Ratner une mesure de Ratner mesure de Ratner ça veut dire je dirais qu'une probabilité Rho probabilité appartenant à X est de Ratner Si Rho et G Rho U ergodique ou Gero U c'est le stabilisateur de Rho engendré par les sous groupes à un paramètre à du nipotent donc ma probabilité du BX par construction c'est une probabilité de Ratner donc le thérème de Ratner ça dit que les probabilités de Ratner sont des probabilités homogènes mais elles sont toujours de Ratner c'est-à-dire elles ont toujours cette probabilité donc c'est certaines probabilités homogènes toutes les probabilités homogènes sont pas de Ratner les orbites d'un groupe compact en général c'est pas des orbites de Ratner parce que dans le groupe compact il n'y a pas d'aimants nipotents et donc il y a un lème qui apparaît dans la théorie de Ratner je vais l'appeler proposition voire théorème c'est que l'ensemble des G orbites cette notion j'ai fait attention à donner une notion qui est invariante par l'action de G quand je pousse par un aimant de G une probabilité de Ratner je récupère une probabilité de Ratner l'ensemble des G orbites dans l'espace des probabilités de Ratner quand j'ai démontré que l'équidistribution à partir de la non récurrence de la transcience dans le complémentaire des orbites fermées invariantes et de la classification des probats stationnaires je vous expliquais comment montrer l'équidistribution sans doute la dernière fois et je vous ai dit qu'il y a un point important c'est un théorème de dénombrabilité sur les fermées invariantes c'est ça qu'il faut apparaître dans la théorie de Ratner il faut montrer un théorème de dénombrabilité pour montrer que quand on veut que les flows s'équidistribuent il n'y a qu'un nombre dénombrable d'obstacles à éviter et c'est ce résultat c'est exactement ce résultat donc là on ne sort pas le goût c'est exactement le même type de résultat que celui que j'ai noncé la dernière fois c'est plus exactement notre résultat sur la dénombrabilité tout à fait analogue à celui de Ratner on s'en a inspiré et la démonstration c'est le même genre de phénomène ça c'est purement théorie de lit il n'y a pas de théorie ergodique parce que justement en fait c'est pas des probabilités qu'on étudie c'est des espaces homogènes dans lesquels se gérons eu à une orbite dense d'accord et une fois qu'on l'a dit comme ça ça ne vient que des problèmes de théorie de structure des groupes de lit il n'y a pas du tout théorie ergodique la danse c'est que de la théorie de structure des groupes de lit élémentaires il n'y a rien du tout la dénombrabilité il n'y a que quelque part à chacune de ces orbites vous allez la ramener puisque c'est les orbites qui vous intéressent vous pouvez toujours les faire passer par le point bas dans votre g sur lambda et une fois que vous passez par votre point bas cette orbite elle a un stabilisateur et dans un stabilisateur il y a un réseau et ce réseau c'est un gros sous-groupe de type fini du groupe lambda et sous-groupe de type fini du groupe lambda il y en a qu'un nombre dénombrable dans l'ergodicité le réseau caractérise quasiment à un nombre dénombrable de choix prêt le réseau caractérise le stabilisateur c'est ça je vous donne le schéma la dénombrabilité, le point clé c'est que vous devez trouver un sous-groupe de votre groupe lambda qui est un réseau dans un groupe de lit connex et donc il est type fini parce que les réseaux dans les groupes de lit connex sont des groupes de type fini c'est là que la dénombrabilité intervient donc je vous le fais en deux mots c'est un peu plus long quand même à écrire évidemment mais bon c'est ça la structure ensuite c'est casser des groupes de lit en morceaux sortir le radical, le conscience mystère enfin c'est vraiment la théorie de lit un cours de maîtrise de théorie de lit ça n'existe plus maîtrise c'est ça s'appelle les mains voilà grosso modo mais peut y avoir des petites subtilités même dans des caractématiques c'est-à-dire il y a un théorème de chaque qui est dans le caractématique c'est une extension compacte d'un groupe arithmétique qui apparaît donc t'as que pour ressortir à peu près comme ça tu vois ça peut ne pas être un sous-groupe ça peut ne pas être t'as fait un cul sous-groupe il n'y a pas de gag non au moins t'as des composants de connex ça va apparaître t'as des composants de connex de groupe arithmétique peut-être que je pense à des exemples péadiques peut-être que dans le cas réel il n'y a pas de problème tu vois t'as un petit problème il faut prendre des sous-groups dans le cas arithmétique essentiellement tu n'as pas de... ils sont des cul sous-groups c'est des composants de connex de groupe arithmétique c'est des composants de connex de cul group il y a quand on finit les composants de connex oui, d'accord effectivement, dans le cas arithmétique il n'y a pas trop de difficultés on entend des gens de suis ou... oui, alors voilà donc, j'ai ce l'aime donc aussitôt, qu'est-ce que je sais j'ai une relation d'équivariance je regarde une nouvelle fonction je regarde la g-orbitre de nu bx cette fonction elle prend ses valeurs dans un ensemble dénombrable elle est mesurable elle est invariante par la dynamique et je vous avais dit, je crois que c'est ce qu'est... ah, je l'ai effacé c'est que cette dynamique tbb1-ax elle est ergodique pour la mesure pour laquelle je regarde cette relation donc du coup, il n'y a qu'une seule orbite qui apparaît ça c'est hyper classique dans la supérigité et trucs comme ça ça apparaît tout le temps ce type de raisonnement il n'y a qu'une seule g-orbitre donc bilan, à cause de ce l'aime eh bien je commence à construire ce qu'il y a une orbite qui apparaît etc c'est que si je note il existe alpha donc on va les appeler... on va l'appeler r l'ensemble des probabilités de ratteneur r2x, allez il existe alpha appartenant à r2x d'accord tel que beta presque pour tout b nu b presque pour tout x eh bien nu bx il appartient à l'orbite à g-alpha alors maintenant qu'est ce qui se passe qu'est ce qui se passe eh bien nu bx donc maintenant je vais noter r, ce sera le g-alpha, le stabilisateur de alpha dans g donc cet orbite g-alpha c'est une copie de g sur g-alpha donc mon application bx donne nu bx eh bien je peux la voir comme une application qui va de b x dans g sur r et je vais la noter je vais lui donner un nouveau nom parce que nu bx c'est une mesure et quand je veux juste changer le point de vue c'est un point maintenant j'ai pu la regarder comme une mesure mais comme un point dans un espace homogène c'est le même objet mais je préfère le regarder un nouveau nom pour simplifier ça c'est un point dans un espace homogène et maintenant il vérifie toujours donc j'oublie complètement les mesures maintenant je dis juste j'ai une application bx d'un état bx qui est un point dans g sur r et état de tb b1-1x eh bien c'est toujours pareil c'est b1 moins 1 donc maintenant j'ai juste exploité ça j'oublie le contexte mesure mesure de Ratna etc et une dernière chose c'est que r est une immodulaire alors ça ça va jouer un rôle donc voilà j'ai juste cette situation j'oublie complètement d'où ça vient j'oublie que c'est nu bx et je vais juste exploiter ça pour en déduire les conclusions du lem alors je vais noter s de r alors qu'est ce qui se passe dans cette situation eh bien je vais noter état l'intégrale sur b x de état bx d'état b enfin des nu bx d'état de b eh bien état est une probabilité stationnaire je vous avais dit parce que si je commence à intégrer quand j'intègre état bx par rapport à nu bx je trouve une famille étabée qui vérifie toujours ma relation d'équivalence et dont je trouve un champ de mesure qui vérifie la bonne relation d'équivalence c'est-à-dire quand je l'intègre je trouve une mesure stationnaire donc mu première chose, mu et toi l'état est égal à état deuxième chose état est mu ergodique pourquoi ? ben mais est-ce que état il vient de ce truc là donc si je fais la construction j'ai cru que c'est à partir de nu là si je fais la même construction à partir de état ben je vais trouver un caution de cette chose là trouver un système qui vient d'une application mesurable de ça comme c'est un caution de celui-là puisque celui-là est ergodique le système est ergodique ce système est ergodique cette mesure stationnaire elle est ergodique et donc j'ai un espace homogène j'ai un caution de j'ai par un sous-groupe fermé une immodulaire j'ai une probat stationnaire ergodique moi je prétends que avec mes hypothèses sur gamma mu ça implique qu'elle est portée par une orbite du normalisateur c'est juste ça que je vais utiliser alors pourquoi c'est vrai ? c'est-à-dire quelque part depuis le début j'ai effacé non j'ai pas effacé depuis le début je travaille dans des espaces j'ai sur lambda où lambda est un réseau un sous-groupe discret dans une minute on va être obligé de sortir du champ des réseaux vous allez voir avec ce problème de passer à l'orbite NX etc mais en fait je pourrais aussi m'intéresser à cette question quand je travaille sur les probats stationnaires son espace où le stabilisateur est pas discret alors évidemment si je travaille sur SL2 j'ai la probat stationnaire sur P1 et ça je sais que c'est pas une probat homogène donc il y a des cas quand le stabilisateur est pas discret ou j'ai récupéré des probats qui ne sont pas homogènes mais moi ce que je dis c'est qu'en fait ce cas discret c'est la même chose que le cas où le stabilisateur est un immodulaire quand je travaille dans G sur P dans la droite projective le stabilisateur c'est le groupe triangulaire ce pas d'ailleurs qui n'est pas un immodulaire mais dès que le stabilisateur est un immodulaire qu'on a des probats stationnaires en fait ça se revient au cas des stabilisateurs discret parce que c'est ce que dit l'M c'est que la composante neutre essentiellement va se ramener au cas où c'est un sous-groupe normal je vais le démontrer moi je prétends donc l'M G qui est un groupe de lits m'a eu une probabilité sur G sans hypothèses de moments je suppose que l'action adjointe de gamma mu son adhérence de zariski est semi simple sans facteur compact alors là on va voir que c'est là que ça joue un rôle c'est un problème là mais c'est là où ça introduit une complication terrible de rajouter des facteurs compact alors R, un sous-groupe fermé de G qui est un immodulaire S la composante neutre de R N le normalisateur immodulaire de S est à il faut être courageux pour écrire tout ça est à une probabilité stationnaire sur l'espace G sur R qui est ergodique alors il existe un élément G de G il existe un élément de G sur R tel que alors alors pardon excusez-moi non ça va tel que gamma mu est inclus dans GNG-1 et ça va pas dire comme ça non parce qu'il n'y a pas de X quitte à conjuguer gamma mu normalise S de façon unimodulaire et la mesure un nu de état et ça s'appelle maintenant celle-là de Gx voilà je suis en train de dire qu'il y a une N orbit qui est de mesure 1 sauf que peut-être que je suis obligé de changer le point bas c'est à dire ça j'aurais pu dire aussi quitte à tout remplacer par déconjugé la N orbit du point bas est de mesure 1 et en fait on est porté par une seule N orbit ça vous va ou c'est pas clair ce N N c'est un surgroupe de R parce que S c'est un immodulaire donc ça devient un peu groupes de lits méchants en fait N R c'est N aussi d'accord je l'écris N R pour voir que c'est un ensemble dans G sur R ça va ? ce que je suis en train de dire c'est qu'en fait c'est sur une seule N orbit voilà et donc c'est comme ça qu'apparaît ma N orbit ici dans la situation concrète qu'il y a des mesures nubiques ça va ? c'est dénoncé il est horrible non ? je dis si j'ai une orbit il y a cette cette proposition que j'ai effacée où je veux montrer je veux construire ce sous-groupe N tel que j'ai nu de Nx égal 1 dans ma situation G sur lambda etc il vient de celle-là m'abstrait que quand j'ai une probation en question G sur R où R est un sous-groupe unimodulaire si elle est mi-stationnaire avec toujours Gamamu qui vérifie mes hypothèses usuelles et bien en réalité je suis porté par une orbite en fait je peux toujours me ramener je travaille sur une certaine orbite d'un sous-groupe ma mesure est portée par une orbite d'un sous-groupe et dans ce sous-groupe et bien en fait la composante neutre ici du groupe par lequel je vais conscienter est un sous-groupe normal donc c'est là qu'on voit apparaître ces situations de fibration et la démonstration de ce ce lème vous allez voir c'est pas du tout difficile c'est juste si vous le prendre dans le bon sens ça c'est vraiment c'est la linearisation et la margoulisse qu'est-ce que je vais faire et bien je vais introduire la démonstration j'ai introduit sigma qui sera la dimension c'est-à-dire la dimension de S puisque S c'est la composante neutre de R donc il y a une algèbre de l'I S, l'algèbre de l'I de S et je vais remplacer donc j'ai une action de G il agit sur son algèbre de l'I par action adjointe et donc il agit sur la sigma puissance extérieure et puis dans la puissance extérieure sigma je vais, il y a aussi une droite qui est la puissance extérieure sigma de l'algèbre de l'I de S ok mais donc cette droite elle va être R invariante puisque S est un sous-groupe normal de R puisque S c'est la comp... R il préserve son algèbre de l'I donc cette droite elle est R invariante mais non seulement elle est R invariante mais chacun de ses points est schix par R parce que le groupe est un imodulaire donc le groupe est un imodulaire donc il préserve le volume dire qu'il préserve l'élément de volume ça veut dire que il préserve les points là dedans je triche un tout petit peu parce qu'on pourra avoir plus ou moins un pour l'élément de volume d'accord donc il faut remplacer par le carré symétrique maintenant là c'est le carré de l'élément de volume et celui là il est invariant par tous les gens qui préservent le volume donc j'ai appelé cet espace W et je vais choisir V1 Vs qui est une base qui est une base de... qui est une base de quoi une base de l'AGB de l'I S et je vais poser W qui sera ce produit extérieur V1 c'est pas beau ça V1 extraire Vs que j'élève au carré pour le voir comme un élément de cet espace vectoriel d'accord et maintenant pour l'action adjointe, pour l'action naturelle qui est l'action S2 lambda sigma de l'action adjointe sur W eh bien le stabilisateur G du vector W le stabilisateur W c'est exactement le groupe que j'ai noté N le stabilisateur de cette droite c'est exactement les gens qui préservent l'AGB de l'I S mais en y préservant l'élément de volume donc, quand je regarde l'application orbital maintenant, puisque j'ai un point dont je connais très bien un stabilisateur j'ai mon application étabé X là il appartient pardon il s'appelait plus étabé X j'ai la mesure état là il n'y a plus d'eau étabélique là c'est une mesure de probabilité sur G sur R mais maintenant G sur R il s'envoie dans G sur N une autre façon de dire le théorème c'est que si je la projette si je prends ma mesure état et que je la projette dans G sur N N c'est un sur groupe de R je vois un point fixe c'est ça que d'il l'aime j'aurais peut-être pu le dire comme ça état l'image de état dans G sur N est un point fixe d'accord donc maintenant quel est l'avantage de G sur N sur G sur R R je sais pas du tout si c'est stabilisateur d'un vecteur dans une action linéaire d'accord mais N oui N c'est exactement stabilisateur d'un vecteur dans une operation linéaire et donc ça veut dire que cet ensemble c'est une partie d'un espace linéaire que j'ai appelé W et donc si j'appelle cette application Pi l'application qui fait ça eh bien la projection Pi d'état c'est une mesure de probabilité sur un espace W alors maintenant j'ai un groupe qui agit sur un espace vectoriel et la représentation est somme directe de composantes fortement irréductibles bon bah je sais très très bien qu'il y a une dynamique des produits d'éléments de mon groupe sur cet espace vectoriel j'ai étudié ça moi je sais vous vous en avez peut-être assez mais vous l'avez quand même vu là à force bon donc quand je prends et j'ai une mesure stationnaire sur l'espace vectoriel c'est vraiment le point clé c'est l'unimodularité ici si j'étais pas un immodulaire je pourrais faire cette construction mais je me récupérer une mesure stationnaire sur un projectif et ça je sais que ça existe d'accord mais quand vous prenez des produits de matrice aléatoire et que vous les appliquez à des vecteurs d'un espace vectoriel ça a tendance à grandir en norme donc ça peut pas vérifier de la récurrence l'existence d'une probabilité stationnaire elle vous dit que il y a des gars quand vous suivez leur trajectoire par les produits aléatoires il reste là mais ça c'est pas possible parce qu'ils ont tendance à devenir gros ça veut dire que nécessairement vous êtes sur les points fixes c'est la seule solution ce que j'ai dit la théorie Furstenberg c'est là qu'on arrive c'est comme on vit vraiment dans un espace linéaire et pas dans un espace projectif l'existence d'une probabilité stationnaire elle rencontre toute la description du comportement asymptotique des produits de matrice aléatoire qu'on a fait avec la théorie Furstenberg il y a un problème alors Furstenberg qu'est-ce qu'il dit précisément il dit que pour tout u, qu'il y a un clou NW qui est gamamé réductible non trivial et là j'utilise sans facteur compact parce que je dis que dès que je suis réductible et que l'action n'est pas trivial la norme grandit et dans le cas où il y a des facteurs compact il pourrait y avoir des facteurs où je tourne allez voir tout de suite que ça va faire pour toute ce composant irréductible non trivial eh bien quel que soit u différentes zéro dans u beta presque pour tout B quand je prends BN la norme de BN B1 u ça tend vers l'infini d'accord en revanche maintenant si je trempe je regarde le fait que j'ai une probat stationnaire on va lui donner un nom celle-là on va l'appeler Pi Pi comme dans tech il y a VarPi et Pi ça c'est VarPi je l'appelle VarPi le théorème de récurrence de Poincaré qu'est-ce qu'il me dit il me dit que Pi presque pour tout vecteur u j'ai un espace avec une mesure stationnaire eh bien il existe une suite Nk alors Pi pour tout point le terme de récurrence Poincaré qui dit qu'il y a des gens qui ne restent pas trop loin quand je me balade le long de la dynamique donc ça me dit qu'il existe beta presque pour tout B il existe une suite Nk tel que quand je prends BNK B1 appliqué à u ça la norme reste bornée l'orbite ne peut pas partir à l'infini quand j'ai une transformation qui préserve une mesure de probabilité donc conclusion eh bien si je prends un point typique pour la mesure Pi sa projection dans chacune des composantes irréductives non trivial est nul d'accord ? donc ça veut dire que la mesure ne voit que les composantes irréductives triviales donc la mesure est concentrée sur les points fixes ok donc conclusion eh bien vu que les problémates réservatoires des éléments qui ne sont pas invariants ils ont tendance de partir à l'infini ça veut dire que état est concentré sur les points fixes de W dans Gamma U ah mais si état est compensé dans les points fixes elle est ergodique donc ça veut dire quoi ? ça veut dire que état c'est la masse de Dirac en un certain vecteur U qui est un point fixe dans Gamma U ce qui est exactement ce que je voulais c'est à dire que ma mesure état se l'était sur mon orbite J sur N mon orbite J sur N comme elle était du type le normalisateur le quotient par le normalisateur unimodulaire d'un sous-groupe connex de G eh bien c'est une orbite dans un espace vectoriel ah tout tous les quotients de G sont pas des des orbites dans des représentations linéaires mais pour ça c'est bon ok ? donc celle-là c'est un orbite dans un espace linéaire donc du coup je sais que l'image de ma mesure est un point fixe dans G sur N c'est exactement ce que je voulais le point clé c'est ça c'est que quelque part je je suis une présentation hyper vicieuse parce que le point clé c'est que cet espace J sur N qui apparaît en fait c'est une orbite dans une représentation linéaire c'est pour ça que ça marche ce truc là cette J sur N est une orbite dans une représentation linéaire voilà et c'est très bien qu'elle est dynamique dans une représentation linéaire je vous dis c'est du remargoulis ça c'est vraiment si vous lisez la supériéité et truc comme ça etc dès qu'on peut plonger une action comme une orbite invariant dans une action linéaire on fait ça et on utilise des thorèmes d'aljab linéaires voilà qu'est-ce qui me reste à dire là j'ai quasiment terminé non ? je voulais dire un truc oui je voulais dire un truc quand il y a des facteurs compacts qu'est-ce qui se passe bah c'est que vous savez pas que la mesure elle est sur les invariants vous savez et du coup cette propriété que gamma normalise le groupe bah c'est pas vrai d'accord donc vous avez pas vous avez plus un groupe normal le groupe de rappeneurs là aléatoire c'est plus un groupe normal c'est un groupe qui tourne en fonction d'une action par un groupe compact donc ça on voit à peu près ce qui va se passer mais ça devient un peu compliqué et donc ces situations se produisent si on a le temps je vous construis des exemples il y a un facteur compact ce l'aime qui pourtant calère complètement général magique universel il pose un problème on sait très bien conclure ce qui se passe mais vous avez le problème que vous avez des probats stationnaires dans des aljab linéaires parce que vous avez d'être présenté si votre groupe a un facteur qui est SO3 vous avez la représentation de SO3 dans R3 et vous pouvez tourner avoir une belle sphère dans un R2 dans un R3 bon c'était juste l'endroit clé où j'utilise 100 facteurs compact c'est ce l'aime dans ce l'aime pour vraiment avoir quelqu'un qui est normalisé par gamme amus etc on est obligé d'avoir 100 facteurs compact sinon on a ce problème des orbites qui peuvent tourner c'est rédhibitoire pas une complication parce qu'on voit bien ce qui peut se passer mais bon c'est pas insolu mais on galère après bon bref je reviens à quoi pi, oui c'est ça pardon elle s'appelle pi excuse-moi c'est à dire pi c'est ce que j'ai appelé l'image de méta dans jésurène merci dans jésurène et donc dans W parce que jésurène je vois comme un sous-ensemble de W d'accord c'est ce que je dis c'est jésurène c'est une partie de l'espace vectoriel SL2R sur SL2Z c'est pas une partie de l'espace vectoriel par contre c'est un caution bien visé pour qu'il soit une partie de l'espace vectoriel alors je reviens ce que j'ai dit maintenant je vous rappelle la construction on s'était traîné ETA qui était l'intégrale d'ETA BX d'ENU B2X d'EB ETA 2B d'accord et ETA BX c'était un point de jésurère qui était rien d'autre que j'ai alpha ou alpha c'était une probabilité de ratenaire fixe d'accord donc évidemment le alpha on s'en fout complètement c'était un choix arbitraire dans l'orbite je peux très bien supposer que mon point fixe maintenant quand je le vois dans jésurène je peux supposer que mon point fixe c'est le point basse c'est plus simple ce qui m'évite de me trimballer le G donc je peux supposer ce que me dit le lème général qu'est ici c'est que je peux supposer que si je pose donc S c'est la composante de R on peut supposer que gamma mu est inclus dans N qu'est le normalisateur unimodulaire d'accord et que la mesure que B ETA de N alpha est égal à 1 ce qui veut dire que B ETA parce que pour tout B nu B presque pour tout X eh bien quand je regarde nu BX elle est de la forme N B X alpha ou N B X appartient à N je choisis un N B X d'accord alors maintenant je suis en train de terminer la démonstration de l'existence de la N orbite d'Angers sur lambda je l'ai ma N orbite parce que je vais choisir un point Y désolé mais là j'ai déjà D X je vais choisir un point Y qui appartient au support de la mesure alpha d'accord et maintenant eh bien ce que je sais ah oui alors déjà j'aurais dû dire excusez moi en particulier puisque ce N B X normalise le groupe la composante connex du stabilisateur de alpha la S B X d'accord nu B X c'est N B X ou alpha d'accord donc bah nu B X c'est une probate drapeneur et la composante connex de son stabilisateur c'est le conjugué par N B X de la composante connex du stabilisateur de alpha mais précisément N B X il appartient à N donc C S d'accord donc je prends Y dans le support de alpha ce que je viens de dire c'est que nu B X nu B X c'est N B X c'est la mesure de drapeneur qui pousse alpha d'accord donc en particulier nu B X de N Y est égal à 1 d'accord donc maintenant bilan nu comme c'est vrai pour tout B X bah nu de N Y est égal à 1 la mesure de nu nu elle est concentrée sur une orbite de N et puis bah comme nu B X elle est S invariante bah nu elle est S invariante ok alors problème problème c'est que j'aimerais bien oublier le reste de G parce que alors donc tout le théorème que je démonte depuis le début j'ai supposé que lambda était un réseau mais maintenant j'ai un problème parce que le stabilisateur de Y dans N t'as réseau et j'ai des exemples c'est pas vrai donc c'est pas vrai donc c'est pas grave je vais démontrer le théorème en supposant que lambda est un sous-groupe discret ah oui mais j'ai utilisé réseau un endroit mais j'ai utilisé à un seul endroit j'ai utilisé pour dire que quand on prenait la marchatoire associée à mu dans G sur lambda elle passait pas trop de temps dans les endroits de G sur lambda où le rayon d'injectivité était trop petit c'est exactement là, c'est le seul endroit où j'étais le fait pour la classification des mesures stationnaires c'est le seul endroit où j'ai utilisé le fait que lambda était un réseau mais ça s'assérite par N y même si N y est dense ou n'importe quoi il n'y a aucun problème là où le rayon d'injectivité pour G sur lambda N y c'est un orbite plongé dans G sur lambda c'est une orbite immergée mais en tout cas ce qui est sûr c'est que si rayon d'injectivité est minoré pour G N il ne peut pas, c'est-à-dire que vous avez votre G sur lambda puis il y a le cos quelque part mais quand vous restez là, la N orbite elle peut revenir mais il faut qu'elle mette du temps pour revenir puisque localement vous savez vous avez des petites cartes qui sont injectives donc si elles sont injectives pour N et G elles sont injectives pour N donc si jamais donc on appelle ça, on a donné un nom c'est exponentiellement récurrent hors des cusp c'est-à-dire que si G sur lambda est mu exponentiellement récurrent hors des cusp c'est-à-dire que la mesure, la marchéatoire mu revient très très vite dans les endroits où le rayon d'injectivité est minoré et c'est encore vrai sur la N orbite c'est vrai sur N y, la même chose puisque gamma vit dans N donc on peut aussi voir cet espace comme un espace homogène donc vous vous comptagez, cette propriété s'hérite donc en fait, tout le théorème que j'ai démontré depuis début au lieu de supposer lambda à raison on va supposer ça lambda est un sous-groupe discret de G et mu est exponentiellement récurrent hors des cusp et puis on peut me montrer que si lambda est un réseau c'est le cas d'accord ? et donc maintenant, mais comme on veut faire des récurrences et qu'à un moment on a envie d'introduire des sous-groupes et qu'on perd le caractère réseau on est obligé d'introduire cette hypothèse un peu inconfortable voilà mais du coup, comme on sort des réseaux maintenant c'est bon on peut remplacer G par N donc pour classifier les mesures stationnaires on a montré qu'il t'a remplacé sous les hypothèses qui sont là-haut on peut supposer il existe un sous-groupe S de G de dimensions strictement positives qui est normal tel que nu mais S invariante et voilà c'est là qu'on a fabriqué la nouvelle homogénité de la mesure et S interlanda est un réseau de S ça parce que ça c'est pas comme le réseau dans N, on sait que S interlanda est un réseau de S il est là, S il préserve le point bas Y là on sait que ça il vient avec sa mesure alpha donc on sait que S la S orbite de Y est de volume fini voilà bon ben c'est bon parce que maintenant c'est ce que je vous disais au début j'ai introduit G bar il en a quasiment derrière j'ai été bon aujourd'hui là, j'ai fait pile de 2 heures G bar c'est G sur S c'est la situation fibrée là que je dessinais j'ai fait 1 minute quand même il a bien fallu dessin quand on a une situation comme ça on a G un groupe lambda sous groupe discret et un sous groupe S qui est distingué et S interlanda est un réseau de S alors à ce moment là il y a un quotient dans l'espace de réseau donc il y a une fibration la base c'est G bar donc on va poser lambda bar ce sera lambda S sur S c'est à dire lambda sur lambda S donc on a G bar sur lambda A on a une fibre qui est S sur S interlanda c'est proche c'est un machin, c'est un torre et on a une fibration comme ça et ça, cette grosse fibration c'est l'espace total de la fibration c'est G sur lambda c'est dans cet espace qu'on est en train de travailler et donc on a une proba qui est S invariante d'accord et qui est mutationnaire S invariante S invariante sur G sur lambda c'est exactement la même chose que les probas sur G bar sur lambda bar si vous êtes S invariant dans la fibre la mesure conditionnelle sur la fibre c'est la mesure de bar de S et puis voilà vous avez une proba en bas d'accord donc maintenant vous avez une proba et cette bijection naturelle entre les probas S invariant sur l'espace total de la fibration et les probas sur la base elle est équivariante sous le groupe d'automorphisme elle est équivariante sous G donc les probas S invariant qui sont mutationnaires c'est la même chose donc à partir de ma mesure mu je me récupère une mesure mutationnaire sur la base ergodique parce que j'ai changé les probas ergodiques et j'applique la récurrence pour dire qu'elle est homogène c'est d'accord je vous ai vu parce qu'il y a une astuce c'est la récurrence hors des cusp j'ai dit c'est juste comme ça pour voir si vous suiviez c'est qu'il faut montrer que si G sur lambda est mieux récurrent hors des cusp G sur lambda bar c'est lambda bar récurrent hors des cusp ça c'est une difficulté méga technique vous voyez on y arrive au bout de dix heures nous il nous a fallu pas mal de temps pour comprendre qu'on avait un truc à démontrer donc là il y a un truc mais voilà c'était juste pour voir si vous suiviez jusqu'à la fin c'est juste que alors qu'est-ce qui se passe dans cette situation c'est qu'en fait vous avez un problème sur qu'est-ce qui se passe donc bon essentiellement assez après là c'était juste pour vous arnaquer assez après on a terminé à ce petit problème technique que j'ai juste soulevé là pour vous embêter on a terminé si on a la classification en bas il y a ce petit problème de savoir ce qui se passe dans les cusp là dedans par exemple si lambda est ce bout si on a une probate stationnaire homogène elle se relève en une probate homogène et puis c'est fini donc juste il y a un tout petit difficulté c'est que dans cette situation générale avec un sous-groupe normal etc etc qu'est-ce qui se passe comment comparer le rayon d'injectivité en bas avec le rayon d'injectivité en haut si c'était des réseaux on n'aurait aucun problème parce que faire diminuer le rayon d'injectivité c'est sortir des compacts donc si vous sortez des compacts en bas c'est que vous êtes sorti des compacts en haut mais ce qu'il faut montrer c'est que dans le cas général où lambda est un sous-groupe discret si quand on fait diminuer le rayon d'injectivité en bas c'est nécessairement que les points au dessus ont diminué leur rayon d'injectivité donc il y a une petite proposition une petite proposition c'est que sous ces hypothèses c'est la proposition qu'il manque parce que maintenant j'ai voulu oublier le cas où lambda était un réseau parce que je suis obligé de sortir de ce cas là en général eh bien la proposition c'est que si g est un groupe de lits si lambda est un réseau pardon lambda est un sous-groupe discret si s est un sous-groupe distingué de g et tel que g est unie modulaire dans s c'est à dire que non seulement je normalise mais je normalise de façon unie modulaire tel que s inter lambda soit un réseau de s alors maintenant je veux comprendre comment comparer le rayon d'injectivité en bas avec le rayon d'injectivité en haut dans cette fibration j'ai mis les hypothèses qui garantissent que j'ai cette fibration alors je vais poser je vais noter le rayon je vais poser x c'est vrai comme d'habitude j'ai sur lambda et je vais noter le rayon d'injectivité d'un point je vais donner une définition je vais prendre le minimum de l'ensemble des normes de v où v est un élément de la jèpe de lits la norme de v est plus petite qu'un certain r0 je vous donne un minus que c est que r0 et l'exponentiel v de x c'est un élément qui stabilise le point et r0 c'est quelqu'un de suffisamment petit pour que l'exponentiel soit un diffeuomorphiste je fixe un r0 très petit pour que l'exponentiel soit un diffeuomorphiste sur son image et je regarde la norme du petit petit gars j'ai une petite boule dans la jèpe de lits et qu'est ce que c'est que les enrois le rayon d'injectivité est petit c'est des enrois où j'ai des casques ça veut dire qu'à un moment il y a un petit élément dans le stabilisateur de mon vecteur donc je prends une petite carte dans la jèpe de lits et je regarde la norme du petit élément dans le groupe et sinon, si jamais il n'y a pas d'élément là dedans je prends r0, ce qui m'intéresse c'est quand ce rayon d'injectivité est petit c'est qu'est ce qu'il se passe quand je suis loin dans les casques et alors sous les hypothèses que je viens de donner eh bien le rayon d'injectivité on a appelé ça rx domine rx bar ideste alors sous ces hypothèses il n'y a pas de mesure de probables c'est juste un théorème de structure des groupes de lits le rapport entre rayon d'injectivité de g sur lambda et g sur le bar sur lambda data qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que quel que soit epsilon il existe alpha tel que pour tout x dans x x bar c'est g bar sur lambda bar là c'est à dire g sur lambda s eh bien pour tout x dans x si le rayon d'injectivité en x est plus grand que alpha alors le rayon d'injectivité dans la base de la fibration ne peut pas, alors la base de la fibration c'est l'orbite sx, le point le point qui est en dessous, j'ai mon point là sinon le rayon d'injectivité n'est pas trop petit là bah il n'est pas trop petit à la base c'est un théorème de transversalité c'est à dire que vous ne pouvez pas le rayon d'injectivité s'obtient par des mecs qui se décomposent bien ça c'est plus grand qu'un epsilon donc si on peut pas rendre celui-là arbitrairement petit sans aller vers vers zéro dans la fibre quelque part voilà donc ça c'est juste un truc voilà bon c'est juste peut-être que je suis trop technique voilà mais c'est pour dire que ici eh bien je peux bien passer au quotient la récurrence pour des cospes ici me garantit la récurrence pour des cospes dans le quotient parce que si je suis allé quelque part où le rayon d'injectivité était très petit dans la base eh bien ça veut dire que j'étais nécessairement j'avais fait diminuer le rayon d'injectivité dans la fibre voilà donc ça c'est, une fois qu'on a ça eh bien on peut faire implémenter correctement la récurrence alors ça c'est pareil il n'y a absolument rien il n'y a pas d'argument un peu magique théorhargodique tout à coup on met un input qui vient des probats ou n'importe quoi ça c'est de la structure des groupes de lit c'est encore une fois et il n'y a même pas parce que dans le dernier c'est la denominabilité de Ratner j'utilisais fortement dans le sketch of proof j'ai utilisé le fait qu'un réseau dans un groupe de lit connex c'était de type fini quand le groupe, quand c'est pas un réseau co-compact c'est juste un réseau de commune fini c'est un théorème dur ça utilise la rythméticité, ce théorème dans toute sa généralité c'est pas un théorème qui est spécifique du cas réel il y a des groupes de lit il y a des groupes algibriques sur des corps localement compacts de caractéristiques positives qui admettent des réseaux qui sont de type infini c'est un théorème spécifique qui utilise beaucoup de choses c'est pas un réseau dans quelque chose qui est grossomonin un groupe semi simple et type fini il y avait quand même le théorème il y avait le théorème dans la rythméticité de Margulis dans le lème de Ratner c'est pas le cas dans ça ça c'est vraiment que des manipulations élémentaires sur les groupes de lit encore une fois la théorie de structure le quotient pas radical c'est semi simple voilà et ben j'ai fini pour aujourd'hui je m'arrête à une heure extrêmement raisonnable merci beaucoup j'ai dit prochain pour ceux qui sont courageux j'ai dit prochain on fait la dérive j'ai gardé le meilleur pour la fin