 Ok, alors, bonjour à tous et à la première, je voudrais remercier les organisateurs de cette éthique sur le séminaire, les HLS, les Hadamard Fondations. Donc, je vais parler de la récaution topologique, je vais donner un talk blackboard. Je suis aussi un slide, mais je pense que c'est probablement plus facile de comprendre sur le talk blackboard. Donc, le topic contient trois keywords, la récaution topologique, les spaces, les curves. Bon, donc je vais expliquer les trois de eux. La récaution topologique est députée par ces pictures. Et donc, la purpose c'est de voir ce qu'ils veulent dire. Donc, la récaution topologique, bien, juste deux start, donc on commence par une introduction, par une introduction, bien, donc juste ce que c'est pour ça. Donc, la récaution topologique, je vais écrire un TR, ok, c'est juste, bien, pour le moment, juste le prendre comme un blackboard, qui prend une entrée et donne une entrée. C'est un algorithme qui prend une entrée et donne une entrée. La entrée est une curve spectra, qui je vais expliquer en plus de détails plus tard, mais pour le moment, je vais juste donner une vraie idée de ce qu'il est. Le premier, il contient une surface remand, donc je vais prendre S, une curve spectra, il contient une surface remand et d'autres choses. Oh, je veux dire, une surface remand avec une structure, qui je vais expliquer. Et les outils vont être, les outils vont consister dans ce que je n'ai pas appelé invariants. Parfois, je les appelle les T.R. invariants. Et ils sont, je vais les dénoncer, W.G.N. Voilà, donc ils sont W.G.N.S. Et ils sont N-forms, N-forms en sigmar N. Donc, ça veut dire qu'ils sont différentes formes. Et en particulier, il y aura aussi W.G.N.S. qui, presque tout le monde ne dénonce en fait F.G.N.S. qui serait juste, c'est un N-form, donc c'est juste un numéro complexe. Et en fait, on pourrait aussi travailler avec les outils, et ça serait juste un élément d'outil. Donc, de toutes les outils, donc les outils principaux sont les W.G.N.S. qui donneront un nom spécial pour les W.G.N.S. qui sont les N-forms. Et d'autres, on peut aussi créer d'autres quantités. L'un sera appelé la fonction partition, et ça va dépendre d'un paramètre H bar, et ça va être construit comme une série formale. En fait, beaucoup d'outils d'H bar sera une série formale, qui sera expérimentale, en tant que G, d'H bar à la 2G-2N.G.O.S. C'est le fait.G.O.S. Qu'est-ce que le G et la nature ? G et N sont les integers. Nous sommes juste, donc c'est une séquence de invariance. Donc, W.G.N est une N-form. Donc, nous avons une séquence de N-forms. W.G.0 est une série formale, et il y a une séquence indexée par G. Ça sera réellement lié à un genus de la série formale. Une séquence formale de la série formale. Alors, nous défendons la fonction partition au-delà des G et des FG, ce sont juste les questions formales de la série formale. En fait, la fonction partition est seulement une partie partibale, et il y aura une autre quantité, qui sera réellement liée à une fonction partition qui sera réellement liée à une fonction partition qui sera réellement liée à une fonction partition du régime de la série formale. Mais je ne vais pas l'explicer maintenant. Et je vais aussi définir une fonction partition au-delà des H.O.S. qui sera, bon, je vais dire, ça dépend de la série formale. Et ça sera l'expansion du nombre de G et de N de H bar à 2G minus 2 plus N par N factorial intégral. Alors, puisque WGN est une formule N, vous pouvez l'intégrer sur un cycle N, et ça sera juste des copies N de la même intégrale. On peut aussi expliquer ça plus tard. Il y a aussi un t-tatter, ce qui ne l'a pas expliqué maintenant. Donc, tout de suite, sans le t-tatter, c'est quand le sigma a un genus 0, vous n'aurez pas un t-tatter, et quand le sigma n'a pas un genus 0, vous avez un export de termes. Et donc, pourquoi faire ça ? Pourquoi ne pas considérer ça ? Alors, pourquoi nous faisons ces définitions ? Et pourquoi elles sont intéressées ? Bien, elles sont intéressées parce qu'elles ont beaucoup de propriétés et beaucoup d'applications. Le lien aux modules spécifiques est ce que nous allons montrer, ce sont les modules spécifiques. Je vais vous montrer que pour chaque curve spectuelle, il existe un certain module spécifique, qui sera le MGL of S. Je trouverai que ce sera un module combinatoriel. Et il n'y a pas d'existence d'une classe lambda s, qui serait une classe homologationale. Donc, comme ça, WGL of S sera un MGL of S, une classe lambda s. Je vais juste vous donner un hint de ce que vous allez voir. Donc, ce sont ces variants qui sont définis à partir de la surface ringman avec une structure. Et par juste faire des analyses complexes sur la surface ringman, vous définissez des objets qui peuvent être rétendus en couleur des modules spécifiques et qui, dans beaucoup de cas, correspondent à des problèmes intéressants dans les modules spécifiques. Et le lien aux quantisations quantes en curve. Bien, let's imagine que cette surface ringman était définie par une équation P of x, y pour 0. Donc, typiquement, un polynomial, mais pas seulement un polynomial, parfois il y aura une fonction analytique. Donc, évidemment, il y aura un curve emballé dans c cross c ou dans un espace. Et c'est rendu par une équation. Ensuite, le point d'occurrence est que Psi sera satisfaite, sera annihilé par un opérateur. C'est que Psi h bar est annihilé par un opérateur qui s'appelle P hat h bar de x et je vous dis que y hat y hat c'est h bar d dx. Donc, ça signifie que P hat h bar de x y hat Psi pour 0 et la limite quand h bar est à 0 Psi hat h bar de x y equals 0 x y. Donc, donc, c'est ce que les gens s'appliquent pour un curve. Ils commencent avec un curve et, basicement, ils quantifient par un opérateur h bar d dx. Donc, vous avez y x qui s'appelle h bar. Et Psi est annihilé par une quantisation, une quantisation de la curve qu'on a commencé. Donc, c'est juste pour donner une idée. Et c'est typiquement ce que les gens veulent faire dans la TQFT, donc la théorie chronographique d'éducation. Non, c'est pas où le variable x et Psi. Ok, je n'ai pas écrit ça, mais c'est dans la choisie d'un opérateur. La théorie dans l'exponent, c'est la théorie formale ou... La théorie formale. Non, ce n'est pas converse. Alors, on n'a pas réstudié l'absorbinance, mais il y a beaucoup d'espérations que... C'est-à-dire que nous savons que WGN augmente 2G minus 2 plus N factorial. Donc, il y a des bonnes chances que ce sera insombré, mais pour le moment, nous devons justifier des choses formales. Et quand je dis annihilé, j'ai annihilé dans le sens de la série formale. Donc, chaque terme, c'est-à-dire que chaque terme est tué par l'opérateur. Donc, une autre chose intéressante est que vous verrez que quand nous choisissons des curaux de spectre donc, par exemple, dans la théorie née, si nous choisissons les curaux de spectre pour être aussi appelés 8 polynomiaux ou pas, ce... Par exemple, cet H bar est supposé réaliser les polynomiaux de joints, l'expansion synthétique des polynomiaux. C'est un conjecture qui n'a jamais été approché, mais on peut le vérifier pour un peu de haute ordre dans l'H bar, et ça fonctionne. Donc, la deuxième, c'est l'horloge de ça. C'est de la théorie rondométrique. La raison pour laquelle nous avons été prêts à définir cette propagation politique est parce que de la théorie rondométrique. Dans les théories rondométriques, vous avez mis en place le nu de M. Typiquement, vous choisissez une ou l'H bar de la théorie de M. Et ici, le nu de M est en fait le produit. Donc, on travaille sur l'espace de la théorie rondométrique de la théorie de M. Le nu de M sera quelque chose de comme ça, où c'est juste un produit sur l'IMJ de la théorie de M. Un produit sur tous les réels... C'est juste une grande mesure sur l'H bar. Donc, l'intérim de la grande mesure et je vais juste dire la théorie de M. Donc, c'est une théorie rondométrique. Et... Sorry, vous devez l'organiser par une fonction partitione. Donc, la fonction partitione est en plus de M en plus de l'H bar de la théorie de M. Et puis, vous êtes aussi intéressés dans les valeurs d'explication de différentes quantités comme, je ne sais pas, de la théorie de M pour des pouvoirs, de la théorie de M, ou des choses comme ça. Donc, nous sommes intéressés sur des objets. Et la question principale qui a été élevée par les gens de la théorie rondométrique pour beaucoup, beaucoup d'années est ce qui se passe quand la théorie devient large. Donc, ce qui se passe dans la grande mesure. Donc, dans la grande... Well, la grande mesure. Quand je prends la grande mesure pour avoir une bonne décalation, vous aussi voulez que l'H bar soit à 0. Et comme ça, alors, la théorie de M est en plus de 1. L'H bar n est en plus de 1. La théorie de M s'appelle la théorie de M. La théorie de M. Et donc, nous devons travailler avec la théorie de M. Donc, la théorie de H bar est à 0 et va à l'infinité comme la théorie de H bar n reste finie. Et, qu'est-ce que vous pouvez dire ? Well, c'est prévenu que la log Z devrait commencer avec 1 par h bar square. Par contre, la coefficient, ce qu'on appelle F0. Well, c'est généralement, mais alors, sous certaines assumptions sur la théorie de M, donc, sous certaines assumptions sur V, il se termine qu'il y a une série d'expansions qui est de cette forme. La forme de la théorie de G s'appelle 1 à l'infinité de l'H bar à 2G-2FG. Donc, ce n'est pas facile de prouver que, selon la théorie de M, nous avons besoin d'une expansion mais ça a été prouvé dans un certain nombre de cas. Et c'est pour ça, qu'il y a une série d'expansions sur la théorie de M, vous avez toujours obtenu une expansion. Mais la question maintenant est d'assumer une expansion comment vous computez FG. Assuming que vous avez une expansion, comment vous computez FG ? Il y a des équations que vous pouvez écrire, qui sont en fait l'intégration par la partie de cette intégration. C'est appelée l'intégrisation de la théorie de G et qui peut être récoursivement dans la théorie de H bar et qui donne un algorithme récoursif pour compter FG. Donc la question est compter FG. Et en fait, vous ne voulez pas compter seulement FG, vous voulez compter tous les outils d'expectation des valeurs. Alors, si vous prenez que summe de K multiplié par X-K-1 et c'est la même chose que vous avez écrire votre expansion de X-M-1. Donc c'est un réservant. Et on s'appelle W-1-X. Bon, je veux faire une forme donc je multiplie par DX par W-1-X. Donc W-1-X c'est aussi une quantité qu'on veut compter. Et W-1-X c'est, je veux dire, imaginez une partie de W-1-X la discontinuée de votre réservant c'est aussi la densité de vos valeurs. Donc c'est le spectrum de la discontinuée de votre réservant c'est c'est la densité de la densité spectrale de votre métier. Donc quand vous computez la densité spectrale il a comment est-ce qu'il se fait dans les limites grandes? Donc dans les limites grandes dans les limites grandes vous verrez que si on start avec une barbe ou autre et on me appelle W-0-1-X plus, et encore une fois, il y a une série d'expansions de des gens qui vont à l'infinité de 8 barres à 2g-1 W-g-1-X et les gens observent que chaque W-g-1 je veux dire chaque W chaque de ces termes est un fonctionnel algebraique de l'X. Donc la plus fameuse chose est donc si vous portez la densité de l'X donc qui est une barbe à 8 barres de l'X qui est juste la discontinuité je veux dire c'est plus le même que W-1 plus le même bon, à la fin de l'ordre on est généralement un fonction d'un fonction d'un fonction d'un fonction d'un support final donc généralement si vous commencez avec une mesure de la gauche ici ce que vous trouverez est le semicircle un curve quadratique si vous commencez avec une vidéo qui est en train de de la hausse de l'A, vous trouverez un curve à l'alcool de la hausse de l'A mais d'ailleurs c'est un curve à l'alcool et puis vous commencez à conclure les corrections donc en tout cas vous voulez conclure les corrections par par l'A et quand vous avez cette full série en fait il y a aussi des termes exponentielles typiquement la hausse de l'A laissez-moi cette façon donc ce qui correspond au typiquement des termes exponentielles des corrections excusez-moi pour h-minus h bar inverse sorry h-minus h bar inverse bien sûr sur h bar donc typiquement vous pouvez faire ça et ces quantités vont contacter les parts non-alcool donc des termes exponentielles sur les fast oscillations comme ça ok et en général vous pouvez aussi définir Wn de x1 xn pour être la valeur de l'explication de un produit de la trace de xi-m n-1 n-1 n-1 vous prenez la cumulante et multipliez le produit de l'exice pour faire un n formule une forme symétrique donc c'est vraiment un produit et encore une fois vous voulez que vous computez que Wn de x1 xn vous voulez que vous writez cette forme de g equals 0 entre h bar de 2g minus 2 plus n Wgm de x1 xn plus non perturbative part donc ici aussi vous avez un non perturbative part wow une autre valeur d'explication que vous pouvez être intéressé c'est typiquement la valeur d'explication de c'est-à-dire un polynomial caractéristique et ce sera ce que l'on s'appelle psi h bar x donc ce sera psi tout le temps et juste pour vous montrer la relation entre ce et ce ici observe cette valeur d'explication de l'explication de x minus n est la même chose que l'explication de valeur de l'expansion de trace log x minus m ok ce qui est la même chose que l'explication de valeur de l'expansion intégrale dx prime ou x minus x sorry sorry trace de dx prime de x prime non et on va dire que de l'infinité de trace de l'expansion non plus n celui-là je pense que c'est correct 2x tout de suite si vous pensez que c'est l'argument l'argument signifie exactement que c'est l'expansion l'expansion n des ce que vous devez faire Expand la exponentielle à l'extrême de l'une de nos factorials k. Vous avez des termes k comme ça, donc un certain nombre de them. Et la finitie, c'est exactement la saison de notre n de l'une de nos factorials n, l'intégral de ∞2x, de l'EWn de x'1, de l'n. Je vais vous montrer que l'expectation de l'autogénal de l'autogénal de l'EWn est élevé par une formule. Donc, si vous savez comment compter l'expansion de Wn, donc les questions sont Wn, vous le mettez juste dans la formule à l'air, et vous le mettez dans la formule à l'eau. Donc, c'est des choses très simples. Parfois, parfois, vous voulez... Ici, j'ai toujours l'intégral de ∞, mais si vous avez la ratio d'autogénal de l'autogénal de l'autogénal, donc je peux l'écrire x... Bon, laissez-moi écrire un déviseur x-y. Laissez-moi écrire que c'est un déviseur, donc le terme de l'autogénal est m. Donc, c'est minus de log de minus m. Donc, c'est la même chose que l'intégral de y-x. Donc, c'est juste la même chose. Et c'est ce que je vais écrire le déviseur, l'intégral de l'autogénal de l'autogénal de l'autogénal. Ok, donc maintenant, laissez-moi écrire que c'est un déviseur. Donc, tout de suite, les matrices sont des motivations. Donc, par le survier en plus de questions, vous trouverez une ratio de récution entre Wn. Vous trouverez une ratio de récution entre Wn et une ratio de récution de récution. C'est une ratio... C'est pas dépendant de la mesure que vous commencez à écrire. C'est pas dépendant de quel type de métier vous commencez à écrire. C'est totalement universal. Et la seule data que vous avez besoin, c'est de savoir le W01. Donc, c'est tout le data que vous avez besoin. C'est cette curve, qui est là. Donc, il y a une ratio de récution universelle. C'est une ratio de récution universelle. Elle compute chaque Wgn, pour chaque Wgn et N, de W01. Et en fait, aussi de W02, mais aussi de la métier de W02, c'est déterminé par W01. En fait, en principale, c'est le 2. Mais en fait, de la métier de W02, c'est déterminé par W01. Donc, let's me take another example, which does not seem to be related to a matrix integral of that type. In fact, it's related to a matrix integral, which was introduced by Maxime, so we can see which integral. But let me not define it that way. Let's me start with module spaces, what, intersection numbers. So intersection numbers. So let's first consider Mgn, which is a module space of remain surfaces with n, of Ggn's G, with n mark points. So it's objects like that, Ggn's G, and you have n mark points. Let's call them 1, 2, n, OK. So it's the set of remain surfaces, which I would call C, P1, BN, or module is amorphysis. Well, this space is not compact, because when, for instance, when a cycle gets, when you take a family of such curves, cycle can get pinched in the limit, and it's no more smooth remain surface. So we define the compactified module space of remain surfaces, but now you shall allow also nodal, stable. Nodal means that it can be a remain surface made of several pieces like that, connected by a nodal point. You can have also things like that. And stability means that every component must have a large characteristic quickly negative. So for instance, here, it's a sphere with two nodal points, so it's not stable, but that kind of thing, it is zero. So we shall, we need to take a third nodal point, for instance, or add some Ggn's, so this one is stable. All right. And on that space, we can define the cotangent line bundle. So li is the cotangent line bundle, or cotangent line bundle at mark point at PI, at the high mark point. So it means it's a bundle over Mgn bar, whose fiber is the cotangent space of C. So whose fiber, so the fiber is C star C at point PI. Right? For such a cotangent bundle, you can define the cotangent class, but we shall not psi i plus the cotangent class of Li. I'm not explaining how to compute the cotangent class, but it is a two-form in Mgn bar. So it's a two-form in Mgn bar. And that means that you can compute integrals over Mgn bar of psi 1 to the power d1, something like that. It makes sense only if you have a form which is of the same degree as the dimension of your space. So we shall define del d1, del dn. So this is a notation. So if sum of di is 3g minus 3% and we shall also say that it's zero over y's. OK? So let's choose the definition. And now the question is how to compute this and we shall make generating functions. So the written conjecture says that if you put those numbers together from a certain generating function, that generating function will be the t-devita function. It satisfies the Kdv drt. This was proved by Maxime. But here we shall use something else. We shall use another way of writing a generating function for that, which is not directly for the function of a Kdv, but something else. So let me define Wgn of z1, zn. To give a sum over z1, zn. Let me put a 2 to the 2 minus 2g minus n. Product from i equals 1 to n of 2di plus 1 double factorial over zi to 3di plus 2. I will make them differential form. So I multiply by dzi out here. Those numbers are tau d1, tau dn, g. Ok, en fait, let me do something, somewhere tk tau k plus 1g. Let me add some extra parameters. So it could be a little bit some redundancy. And then Wgn would be, will also depend on the times t. So that's a generating function, which I designed for those numbers. Just one remark here. I did not index g for the genus. I don't write the index n, because n is just the number of tau factors. So when I write this notation, this means that you should, in fact, do the Taylor expansion of the exponential. I don't see what you mean, e to this. Ok, I need to have written it larger. Tk tau k plus 1. k larger than 1. So tk tau k plus 1. So it's just redundant. So either I put all the times tk to 0. If I put all the times tk to 0, I already have a good generating function for all intersection numbers. I could also, let's say, take all the zi's going to infinity, which would correspond to take all the d's to 0 here. Then this would also be a good generating function for intersection numbers, while it's a matter of choice. So how there is a redundancy between the t's and the zi's. But let me keep them for the moment. Who can do the more, can also do the less. So what are the tau k plus 1? So tau's are the same symbols as here. So I'm just going to explain what it means. So for instance, let's do the example of w11. It becomes a un invariable z1 on the coming of tithes. So it's 2 to the minus 1, sum over z. It could be this one, the perfect order of tithes. So it's 2 to the minus 1, sum over z. It could be this one, the perfect order of tithes. It could be this one, the perfect order over z to the z1 to the 2tithes plus 2 dz times tau z, exponential sum over k of tk tau k plus 1. G. And remember that we start with k larger than 1 here. So what this means is that you should expand that into sum over n of 1 over n factorial while this to a power n. So let me write just the first two terms. So it's 1 plus t2, sorry, t1 t2 plus t1 squared over 2 t2 squared. Let's say t2 t3 tau3 plus 1. So you have in principle anything in the number of terms. But you can check that there is only a finite number of m which on search that sum of di is 3g minus 3 plus the number of tau factors. So there are in fact only exactly 2 of them which can satisfy this requirement. So what you will find is you have tau minus 1. So you have only tau11 plus which will be with 3 over t4 dz1 plus dz1 over z1 squared t1 tau0 tau2 1. That's the only terms which remain when you take this sum of di equals 3g minus 3%. So this is just a convenient notation for a finite sum in fact. And in fact, those numbers are unknown. It's 1 over 24. And this one is also 1 over 24. So which means this w11 of z1 t is in fact 1 over 16 dz1 over z1 squared. Let me write it this way. 1 over z1 squared plus t1 over 3. So that's by computing, for example, channel cassettes or whatever. So there is a way to compute. There is a recursion satisfied by wgn. They satisfy a certain recursion which is the following. wgn plus 1 of... Let me write the power of z0zn. So you have n plus 1 of n on the times equals with you when another variable is 0 of dz0 over z0 squared and z squared. Let me write that 1 over y of z and this y of minus z. I will write a minute what it is. 1 over... Let me write dx of z on times wd minus 1 n plus 2 of z minus z plus sum from g on h plus h prime equals g and I put wh1 plus cardinale i plus brackets. And here I will put prime. The prime here means that you should exclude the choices that would produce a w01. So every time you have h for instance h equals 0 on i anti-sets this should be excluded from sum. Or if you have h prime equals 0 on i prime anti-sets this should be excluded from sum. So you don't want a w01. And I just have to write what is y of z. So y of z is minus z plus 1 of sum over k equals 1 to infinity tk 2 to the k over 2k plus 1 double factorial. So it's the product of odd numbers z to the 2k plus 1 on x of z equals zz square. So so there is something which probably you find strange there is a dx in the denominator that may look strange but remember that w is a one form in each of its variables so here you have twice the variable z so it's a quadratic differential divided by dx it becomes a one form so it's a quadratic differential divided by one form so that's what you need in fact. So the intersection numbers do satisfy this recursion which is more or less equivalent to the virasoules constraints. Well there are many ways to prove that one is using the concevich integral one is using the decomposition into treble graphs which Maxime used also on just do combinatorics on the treble graph it's like doing cutting edges on what you basically can prove this recursion just by combinatorics so there are many proofs of that and so they do obey that recursion and this is a special case of the treble recursion you see it takes the same structure as I was let me do an explicit example just to show that this is really I mean this is really computable well another just another remark this recursion does it compute everything just starting from W oh sorry I forgot to write W02 W02 of z1 z2 is dZ1 dZ2 dZ1 minus dZ2 plus square ok so yes because in this recursion the value of 2G minus 2 plus n is always strictly lower in the right hand side than in the left hand side so it's decreasing and eventually you always arrive at W02 in 2G minus 2 plus n steps so it really confuse things let me give you the example of W11 of z1 of z0 my notation it's residue when z goes to zero of 2Z dZ0 over Z0 square minus Z square 1 over while here let me replace that minus 2Z 1 minus Z1 over 3 Z square plus I'm going to write the rest and here in that brackets well you can check that this prime in fact excludes all possibilities for that term and the only term which remains is this one since you have 2 equals 1 on n equals 0 that corresponds to W02 of Z over Z ok which is oh sorry and I forgot 1 over dZ 2Z dZ dx on W02 dZ times minus dZ over 4Z square you put all the powers of 2 in front you also put 1 over Z square in front that's 1 over 16 Z0 square times residue when z goes to zero dZ over Z cube so it will be 1 minus Z square or Z0 square plus minus 1 1 minus Z1 over 3 Z square plus minus 1 plus all your times 2 minus 1 but that residue is very easy to compute and it is 1 over 16 Z0 square I forgot there was a dZ0 also in front in fact all I must have forgotten effect of 2 somewhere in fact 1 over n yes I have forgotten 1 over 2 in front sorry 1 over 16 Z0 square on W5 is indeed also dZ0 1 over Z0 square plus 3 1 over 3 which coincide with that so just to show that you can really do computation by hand it's this recursion is extremely easy to use it's a very simple example of a topological recursion and it gives a very good answer of course so I'll probably stop very soon I just want to write what is inside in that case so you see that whenever it computes whenever it computes ah 1 c'est easy to say that every WGN will be a rational function of its variables so WGN will be a rational function will be a rational of the Z guys and let's define let's compute integral from let's say infinity to Z in each variable of WGN so we integrate each variable multiplied by h bar with 2g minus 2% over n factorial take the sum over g on n take the exponential of that call that psi h bar of Z call that psi h bar of X where I remind that X was Z square ok let's compute the first two terms it's minus sorry it's 2 thirds so minus 2 thirds so let's compute it in that case where all the t's are 0 so it's minus 2 thirds X to the 3 half over h bar you have 1 over square root sorry 2X to the power 1 over 4 so it's typically a WKB expansion and you have expansion minus 5H power 48X to the 3 half plus blah blah blah 5 over 64 5H power square root x cube ok, you can compute this expansion by hand sorry le middle term here you integrate it to Z and then you replace Z by square root of X so that's why you have expansion power of X here because they are in fact a rational function of Z so you see so now let's compute h bar square d2 psi over dx square 1 over psi when you do that you could expect to get a former power series in h bar you you can expect to get a former power series in h bar on each term should be a negative power of X should contain possibly a negative power of X but so you compute you can compute by hand the first term you find X and the second term which should contain h bar you find 0 the h bar square you find 0 so in fact the answer is just X and that's the full answer and you can prove it from the question in a way sorry I put one outside before so it means it satisfies a second order differential equation so it just means that it's the area function so psi of X is just area of h bar to the minus two thirds X is that this one or plus two thirds ok it's the area function and there is another way to write that it's introduce again y hat because h bar to dx what we have found is that y hat square minus X psi equals 0 et vous vous souvenez quand j'ai écrit X et y hat quand tout le temps est 0 vous avez y hat et y hat et y hat donc vous voyez c'est la courbe on commence avec la courbe n° c'est une fonction je peux juste dire ce qui se passe quand vous mettez voilà quand vous mettez t1 c'est différent de 0 si vous mettez t1 différent de 0 vous pouvez définir le même signe ici vous avez un expert terme qui sera t1 c'est probablement pour minus t1 over 5 minus t1 plus t1 over 5 c'est probablement 1 over h bar 2 3 5 4 et ici vous pouvez conclure tous les termes ici et puis le signe sera animé par un opérateur qui sera légèrement plus compliqué il ne sera plus la fonction donc ici en termes de h bar vous avez le signe sur t1 ce que je ne vais pas faire mais vous pouvez conclure tous les termes vous vous intégrer le WGS et ce que vous trouvez c'est qu'il y a un opérateur animé par un signe mais c'est plus compliqué mais c'est minus t1 over 3 c'est la courbe donc la question n'est plus la première la question est maintenant la courbe minus t1 over 9 x times x minus 3 over t1 à la courbe c'est 0 donc maintenant c'est la courbe classique et ce sera l'opérateur animé par un signe alors que l'opérateur animé par un signe vous le trouverez comme ça c'est la courbe de h bar minus t1 square over 9 donc x minus 2 square x minus 6 over t1 plus 2u ok multiplied par x minus 2 plus minus h bar 1 hat plus h bar square times a polynomial of dv2 of x but which does not contain y signe is 0 so you have a certain operator animating signe and it's very explicit on u u is a power series in h bar and it's something like 3 over t1 minus h bar square t1 square over 48 plus o of h bar 4 in fact it's a power series in h bar square and it's not a completely arbitrary power series it is solution to a polynomial equation so let's write it this way minus 6 over t1 plus 3 times 3h bar over 2t1 2 over 5 dv of s with s it's just a parameterization of h bar 4h bar to the minus 4 over 5 2t1 over 3 over minus 6 over 5 and then this v satisfies the polynomial equation so v square minus 2vs equals s so that gives the expansion of u into powers of h bar square and so you see that well there is an operator annihilating psi and when you take the h bar going to 0 limit this term and that term disappear so you get a curve which is factorized it's just a factor and if you replace 3 over u by 3 over t1 if you replace u by 3 over t1 this just becomes x times x minus 3 over t1 to square so indeed the h bar going to 0 limit of that point curve and this contains that one as a factor so it will be very similar to what happens in nut theory we will start from a classical curve which is in fact just a factor so I will ok, just to finish so in that case psi is not the error function it's not such a simple function it's more complicated but it is related to this parallel v1 equation so this is the parallel v1 equation this is related to the parallel v1 equation and it corresponds to saying that z the partition function on psi are deeply connected to the parallel v1 to a non linear equation related to parallel v1 which is a reduction of the kdv and in fact it's related to a kdv to a fact that the full partition function with all the times is the kdv function so ok, let's make a break now maybe so let's start again so now I'm going to give the definition of the topological recursion because so far I was just writing an example so the definition so it's my 4 4 4 so I will start by defining what I call a spectral curve you see in those examples I had a function x of z a function y of z w0,2 which was a 1,1 form with a double pole and so the spectral curve will contain all those linear ingredients the spectral curve sorry, which I will call s will contain a remat surface sigma it will contain for the moment a function x a function y, but in fact what I will be more interested in is that eta, which I will write 1 for y dx which I will call eta and another object which I will call b I'm going to explain what it is so sigma is a remat surface sigma will be a remat surface well basically it's where the z the z variable z in the example above z were just complex numbers so my example was just c complex plane or the complex plane compactified so remat sphere but so it's a remat surface and it's not necessarily connected or compact so I don't care or it's compact, connected so typically it can be a collection of disks it can typically be a collection of disks it can have boundaries it can have boundaries it can be also it can be a natural nice move compact remat surface ok but it can be more or less anything you want yes it will have mark points which shall be the zeros of dx so x will be a map from sigma well for a moment let's say it's a map from sigma to c but in fact later it will also be a map sigma to another remat surface which I will call the base so it's a map from sigma which could also have some genus possibly and again it need not be compact it can also be a collection of disks it doesn't matter and such that it's analytical so homomorphic map so homomorphic in sigma so homomorphic on a series of disks so we see upstairs it was z square on locally oh non sorry zeros of dx dx are verification points so let's call r which is a1 am verification points and so indeed they are special points a1, for instance a2, a3 and so on on locally near a x, analytically invertible because the x vanishes so it means that x x is not 1 to 1 it's typically 2 to 1 or 3 to 1 or whatever so x is typically so in a vicinity of each ai x is not 1 to 1 but it's typically 2 to 1 for generic verification points x is typically 2 to 1 or it can be or it can be ra to 1 ra is the degree of ramification point so main point is finite number of verification points is finite yes we take a number of ramification points which is finite we have an extension where it can be we can write a more set but from now let's take finite yes sorry what's our verification next sure that you have finite but typically if sigma is compact we match your face on x is mirror morphic when it's finite when your face is compact you will have finite number so then eta is the one form on sigma we shall also consider its expansion near ramification points which we shall write eta of z in the vicinity of ramification point we shall write its Taylor expansion so t a k so sum over k let me put it to that because they are not exactly the same time as before so let me write x of z minus x of a k over k over 2 if it's a simple ramification point because this would be a square root of x of z minus x of a is a good local coordinate near simple branch point and if the branch point has higher degree let's write tk over r a so for higher order ramification points in fact what we need for eta is not really one form times dx ok to make it one form so what we need for eta is not really one form what we need is just a former one form so former so let me write it former eta is what very often we shall write y dx and since the base for x is a complex plane y is by definition eta over dx but I mean if you take a choice of local coordinates you can also always define y this way so what we need is only former series because what we are going to do is only computing residues so we have no need of a residue we just pick a finite number of terms in the Taylor expansion so you don't care about convergence and then the last one sorry why that means that you want this form to live on the base no eta is on the curve upstairs on the former neighbourhood so eta is on the former neighbourhoods of ramification points so there is no connection you don't impose connection between eta near a1 no that's why I say it's a collection of disks and not necessary connected I mean you will have more properties when they are all on the same compact surface you will have more properties but everything will be well defined there is no connection at all so on b of z1, z2 will be b will be a 1-1 form on sigma square 1 so with a double pole double pole on the diagonal so which means that locally we can write it b z1, z2 equals 1 z1 into z2 like dz1, dz2 over z1 minus z2 to square plus z1 plus o≅ clow you can take any such form technically I would say that b by this product what I mean is written in a transform product i.e. 1 form who is coefficient in the z2 variable it really is a transform product in particular it is symetric il ne soit pas assez similary, c'est similary... Je veux dire que c'est similary. Parfois les B's parlent de sigma² et de sigma. Je pense que toujours les replicateurs qui parlent de certaines producteurs parlent de quand même des facteurs Il s'agit d'un bandage canonique de la première projection et de la seconde projection. Et on va dire qu'il y a une double pole et un diamètre. Donc c'est de cette façon. Donc c'est néomorphique. Oui, néomorphique, parce qu'il y a une double pole. Et il n'y a pas d'autre pole. Donc il n'y a pas d'une seule choisie. Mais quand vous avez une surface compacte, il y a plus ou moins une canonique de la choisie, qui est de la haute couleur sur la surface. Donc de la haute fonction. Donc il y a plus ou moins une canonique. Je n'ai pas d'un point de vue. Donc c'est tout les ingrédients que vous avez besoin. On va le définir. Maintenant, la projection de la table, il sera plus ou moins la même formula que je parlais en dehors. Donc imagine, ou alors, imagine que... ...so, 4,2 émissions de C.R. Alors, lets first assume that all branch points are simple. Simple branch points. Simple branch notation points. C'est à dire que l'axe est localement 2 à 1 à l'arrière de l'aile, ce qui signifie que, si vous voulez, pour que vous ayez... j'arrête cette façon, donc l'axe vit sur la zone 0, et la zone c'est plus là-bas, alors qu'à l'aide des surfaces, et la zone c'est plus là-bas, c'est plus là-bas, et là, il y a des points de ramification, vous devez prendre la zone de ramification qui projette à l'axe de Z. Il y a un autre point, ici, qui est la pointe de la ramification de la zone C'est juste la pointe de l'overbrush. Ce n'est pas nécessairement que vous défendrez la zone de ramification dans le petit biseau de l'opéraille. Vous voyez que si vous continuez de ramasser la zone de ramification de la zone C, et le signe A, nous collons le local Galois institution. Donc, en fait, le groupe local Galois pour ce... donc il signifie que le groupe local Galois est Z2, c'est-à-dire le groupe ZN avec deux éléments. Mais pour les points de ramification de la zone C, vous pouvez avoir les groupes de la zone Galois et en fait, le formulaire pour les points de ramification intervient les groupes local Galois. Donc, c'est un simple cas. Donc, nous allons définir WG W01 avec Vita par définition. W02 sera B par définition. WG N plus 1 avec Z0 et ZN sera A par définition. Nous allons résumer quand Z n'est qu'A d'une colonne qui évoque KZ KA0Z de WG N plus N minus 1 et plus 2 de Z, Z1 ZN plus plus 1 et plus 2 H plus H prime avec T IZ1 ZN avec N avec N W0 WH1 plus I ZI WH prime avec 1 plus H prime ZI ZI prime OK Il juste reste à dire KA KA0Z0 ZPRA Z est intervient de CI Z Z W02 Z0 Donc, l'envers est intervient avec Z prime et intervient avec A prime et intervient avec A prime et intervient avec W01 Z minus W01 de CI Z CI Z CI Z CI Z CI Z CI Z CI Z Il y a toujours un formule un formule unique de variable donc en fait WGN le nombre H0 de Ccm de d'Octe de de KC, en fait vous voyez que Il n'y a pas d'un point de vue qui ne s'occupe plus d'un point de vue. Par contre, Z1 et Zn appuyent par là-dessus, dans un moyen symétrique. Mais donc Z0 semble jouer un rôle totalement différent. Vous pouvez prouver par la recursion que ce qu'on obtient est toujours symétrique dans tous les variables. Donc, il s'appuie juste par la recursion. Ce n'est pas totalement un, pas une question. Mais il n'y a pas d'adjusement par la définition, mais c'est un objectif très symétrique. Et les pauses ? Les pauses, oui, je suis allé pour les pauses. Oui, les pauses. Donc si 2g-2+, n est très positif, les pauses sont seulement sur les pauses de termination. Il n'y a pas d'une pause, en particulier, quand les deux oiseaux coincèdent. Il n'y a pas d'une pause sur les diagonaux excepté pour W02, qui a la pausse sur les diagonaux. Et W01, aussi, il peut avoir des pauses. W01, comme je l'ai dit, est une série formale. Il peut même être totalement... avec des outils essentiels. Et il n'y a pas d'adjusement. Il n'y a pas d'adjusement. Donc les outils de W01 ne transforment pas ? Oui, vous le voyez parce que la pausse, il n'y a pas d'adjusement W01. Le W01 appartient seulement dans le dénominateur, mais il n'y a pas d'adjusement pour les résidus. Donc ça signifie que chaque fois, il n'y a pas d'adjusement d'adjusement d'adjusement W01. Alors, puis je vais définir Fg, qui est Wg0. Parce que dans cette formule, j'ai toujours eu une, ici. Donc cette formule, on ne complète pas Wg0. Pour G, largeur 1, 2, on le définit en 1, en 2 minus 2G. Summe par A, R, résidus, Z plus 2A, Wt1 de Z, 5 de Z, où D5 est W01. Donc, tu prends une formule d'adjusement W01, multiplie par Wg1, qui est complète par plus d'adjusement. Tu prends résidus, un peu d'adjusement, de 2 minus 2G, d'adjusement Wt. Ce n'est pas dépendant de les chocs de file que tu fais, parce que les résidus s'arrêtent. Donc si tu as un compte de file, ça ne change pas le résultat. Donc, c'est la définition. Je ne vais pas faire la définition de F0 et F1. Ils ne vont pas prendre une heure pour faire la définition de F0 et F1, mais tu peux trouver le résultat. Alors, donc, ces objets ont beaucoup, beaucoup de propriétés. Mais, comme je le disais, je préfère le dernier. Donc, comme je l'ai dit, cette recursion peut être aussi, c'est facile de faire cette recursion quand le groupe local Galvo n'est pas C2. Donc, les points de ramification sont de plus en plus, mais c'est ce que Dimas tient, sur les points de ramification de plus en plus. Alors, ici, le groupe Galvo, c'est un groupe général pour les points de ramification d'articles. Donc, j'ai eu des propriétés et j'ai aussi eu des spécifiques. Donc, comme je l'ai dit, cette recursion sort de la grande expérience de plusieurs modèles matrix. C'est aussi un computeur de nombreuses maps d'articles régéniaires et de nombreuses choses. Il s'agit d'aller avec une invariance dans la théorie. Donc, j'ai eu des propriétés. Donc, un propriétaire, comme je l'ai dit, c'est la symétrie. Donc, un autre propriétaire s'appelle l'invariance. L'invariant. Bien, c'est ce qu'il s'appelle l'invariant synthétique. L'invariant synthétique, c'est ce que je veux dire, mais quand tu prends la curve xy, donc ta curve xy c'est quelque chose comme ça, tu as la projection x. J'imagine pour l'instant que la base est c et c. Ok. Alors, quand on fait la compétition on compute les choses à des points de multiplication qui sont des points qui ont une entente verticale. On compute les points. Maintenant, on fait une rotation. Donc, on projecte dans une direction différente. Ok. On fait une rotation, donc on choisit deux coordinates de c cross c et on choisit un x, donc tx, y, y, donc c'est pas, la rotation n'est pas une espèce spéciale, mais en fait, on considère que c'est un synthéctomorphisme, donc on conserve une forme synthétique. Alors, c'est pas l'absence, mais les fjs sont déchirés pour la multiplication. Les fjs sont déchirés. Mais ça n'est pas de petites déformations, non ? Non, non, c'est aussi de grandes déformations. Pour de grandes déformations, vos points de branches peuvent être élevés par les disques, si vous avez une collection. Ok. Je dois dire, mais c'est juste, je n'ai pas fini de le dire. C'est pour le contact avec des petites assumptions, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dégénération dans les branches. Donc, maintenant, c'est bien défendu ? Oui, donc maintenant, c'est bien défendu. Donc, c'est prouvé, dans ce cas-là, on croit que c'est très bien prouvé, mais nous n'avons pas prouvé. Donc, vous ne pouvez pas prouvoir les petites déformations ? Non, pour l'instant, nous n'avons pas pu prouvoir ces petites déformations. Donc, nous n'avons pas de dégénération. Nous pensons que, pour les cartes du championne Goma Food & Theory, ça devrait être prouvé, mais ce n'est pas le cas entre les cartes. Nous pensons que ça devrait être prouvé, mais nous n'avons pas prouvé. Donc, ici, c'est pour le sigmar, c'est-à-dire, parce que le sigmar est un carton collectif, c'est le sigmar. Nous pensons qu'il y a quelque chose d'un propriétaire comme ça, mais nous n'avons pas pu prouvoir. Donc, un autre important propriétaire regarde les petites déformations. Donc, si vous avez une famille des cartes spectraux, alors qu'il n'y a pas d'importance, non, excusez-moi, juste une autre chose. Dans le cas où l'un de les cartes, quand l'un de les cartes base n'est pas le plan complexe, il y a des cartes spectraux qui disent que vous avez votre courbe base, vous avez la courbe base et la courbe hita n'est pas vraiment x sur y, c'est vraiment x sur hita. Et hita est dans le bandel cotangent du sigmar 0. Donc, vous avez et la courbe est maintenant émercée, on dirait, dans le bandel cotangent du sigmar 0, c'est vraiment ce qu'on considère pour l'espectacle curve. En x, c'est la courbe base. Ici, vous avez la courbe cotangent. Et typiquement, vous pouvez choisir hita pour donner la courbe basse de la courbe hita du sigmar 0. Il y a une structure simplétique dans cet espace. Et ce qui veut dire que la variance simplétique doit donner une variance mais ça n'a pas été prouvé pour le cas général, c'est-à-dire que c'est prouvé quand le sigmar 0 est 0. Vous ne changez pas hita. Vous ne changez pas hita. Ah. Pardon ? Vous ne changez pas hita. Hita n'est pas lié à une projection. Alors, maintenant, nous allons considérer d'autres informations. Vous avez une courbe comme ça. Vous avez une courbe à temps d t et vous avez une autre courbe à temps d prime. Mais c'est vraiment que vous changez tout. Vous changez les fonctions x, hita, hibi mais vous aussi changez la structure complexe de la courbe. Vous ne changez pas tout. Question. Vous voulez qu'on compute d'Auron d t ou WGN. Nous allons commencer par définir d'Auron d t d'Auron d t pour pouvoir définir d'Auron d t parce que la courbe est de différentes espèces de différentes courbes. Vous devez expliquer ce qu'il veut. Donc quand vous avez un point z sur le point z sur le point z vous n'appuyez pas à la base puis vous reposez la courbe. La base n'a pas changé. Oui, la base n'a pas changé. Donc ce que vous devez dire c'est que l'Auron d t va à 0 d'1 par epsilon f c'est plus epsilon donc c'est x minus 1 x t plus epsilon c'est plus epsilon minus f t il y a quelque chose comme ça j'espère que je ne l'ai pas dit mais voilà, c'est l'idée. Pour comparer les deux choses vous reposez la courbe. Donc maintenant on compute la forme d t on la compute et c'est une forme une forme de sigma c'est typiquement une forme de sigma et c'est dual dual pour un cycle mais je n'ai pas utilisé la dualité du point carré je vais utiliser un autre dualité qui est basé sur le b et la dualité que je vais utiliser est que je vais require c'est un b donc je vais le dire c'est un b c'est un b c'est un b c'est un b c'est un b c'est un b donc vous intégrer un de vos variables sur le cycle et vous obtenez une forme je ne veux pas interpréter en fait, ce que vous obtenez c'est une forme excusez le cycle omega star c'est défendu à l'arrière de cette map mais la bonne chose c'est que le Gn omega est exactement sur l'arrière donc donc, donc c'est un m des informations c'est que si donc d t b c'est c'est une forme c'est l'arrière , que je peux vous exprimer en secondes puis la nousew les integrations du cycle omega star d WGN plus 1 interburons-vous d'en plus 1À bref etис C'est très utile pour W010 et W02. C'est très utile pour chaque TMI. C'est très utile pour l'AMU. Il peut être utilisé pour conclure D over DTK dans le concept HK et dans l'intersection de K, qui est à l'arrière. Mais si vous voulez conclure D over DTK, vous pouvez utiliser cette TMI. C'est très utile pour l'AMU. C'est très utile pour l'AMU. On peut en gesture sur la dice s'il y a changé. C'est En fait, le modulo est le carnet de cette map, de la map qui co-cycle et associé le formule, comme les gens qui ont des hautes. Mais cette quantité va au ocean. Ok, je ne veux pas entendre le détail de cela, mais c'est juste que ça a un impact sur la façon de généraliser le cyber-battern. Donc, par exemple, si vous appliez cela à F0, vous verrez que F0 est un intégre de W01, qui est votre état. C'est le cyber-battern. Ok. Donc, maintenant, la compréhension que je veux consommer est relative à la spécificité. C'est probablement la fin. Mais quand vous avez une récursion, les communautaires savent que le meilleur moyen d'exploiter la récursion est de créer des graphes. Vous devez créer vos graphes. En fait, la plupart des théoriennes peuvent être éprouvées par les communautaires de graphes. En fait, par dire ce que ça veut dire que la compétition du résilier, c'est de prendre toutes vos fonctions, d'expand-elles dans la série 2, et de prendre des coefficients. C'est très bien encodé par les communautaires. En utilisant les communautaires, vous pouvez atteindre un lien de modulés spécifiques. Donc, comme je l'ai mentionné, dans le début, il y a toujours un certain modulé spécifique, comme le FATOMUKGN. C'est l'intro de ce modulé spécifique. Donc, je vais définir la fin de la compréhension. Donc, je vais assumer que nous avons 10 branches. Donc, je vais assumer que nous avons 10 branches de ramification. Donc, notre modulé spécifique sera un set de surfaces de raménage avec marques points. C'est le plien. Et avec, on le appelle le couleur. Donc, c'est un peu... Mais plus en plus, c'est le théorien de la compétition de graphes. De la compétition de graphes avec marques points. Donc, ce que je veux dire c'est le spécifique de les surfaces de raménage. Avec... Alors, les FG, je vais leur dire que c'est juste de deux points. C'est le localisation de graphes dont vous trouverez des marques points. Donc, c'est un espace modulé. Dans chaque pièce, il y a un couleur. C'est celui de la couleur 1. C'est celui de la couleur 2. Et celui de la couleur 3. Mais, plusieurs pièces peuvent avoir la même couleur. Ce n'est pas un problème. Vous pouvez aussi avoir quelque chose comme ça. Donc, c'est... Donc, c'est un espace de graphes modulés. Vous pouvez aussi voir qu'il y a un espace de graphes avec une fonction de S avec un graph complet avec des points. Pour cet exemple, nous avons deux points, 1, 2, 3. Et donc, c'est des marques de la surface de raménage. Donc, chaque des choses n'est pas en vertex. Chaque des choses n'est pas en vertex. C'est exactement un graph de graphes modulés. Donc, et puis, j'utilise un class de conmo d'un schroiter. Donc, schroiter est donné par graphes. Le graphe correspondant à ça c'est juste le graphe d'avoir une vertex. Donc, c'est... Vous le casiez par edges et ces choses par vertices. Donc, celui-ci a aussi deux extrements necks. Donc, 1H. Donc, nous avons 3 vertices. Ce n'est pas en extrements necks. Ok. Vous avez reculé le genou donc, c'était 3. C'est bien. Vous avez deux marques points qui n'ont pas de couleur. Vous avez des conmo. Oui, oui. Vous avez des conmo qui n'ont pas de couleur. Nous avons deux marques points. Oui, mais vous avez des tables curts. Vous avez des conmo mais vous ne comptez pas. C'est juste des descriptions. Donc, j'ai honte de vous de faire une définition précise mais pour le moment, c'est juste un graph. Ce n'est pas des tables curts. Non. Chaque de ces pièces sont des tables curts. Ah. Donc, chaque pièce est des tables curts. Donc, je définis une pièce basée sur les tables curts. Chaque de ces tables curts est encodée par le graph. Donc, ici, vous avez un genou et deux marques points. Ici, vous avez un genou et quatre marques points. Et vous avez aussi reculé les couleurs. Donc, ici, vous avez couleur 1, couleur 2 et couleur 3. Vous avez un exemple. Il correspond aux marques points q1, q2, q3, pour l'instant, q1, q2, q3. Donc, il signifie que chaque quota est un graph. Et sur ce graph, vous associerez le projet de l'organisation de m, g, v, m, v, bar. Donc, les spaces standard sont des producteurs de vertices. Ok. Et vous devez définir une classe cosmologique ou une classe niche. Et la classe cosmologique est un producteur de vertices d'exponential, un peu de t-hat-k. Donc, je peux admirer cette façon. Et les producteurs sont des paramètres de vertices, d'exponential 1 par 2, un peu de t-hat-k et de l'at-hk, d'adk, d'A, d'A, d'A, d'A, cette façon. Ok. Et bon, le push forward de la classe de la classe chale qui nous définitent les 4 maps, sont aussi appelées capac classes, en fait, c'est un changement de temps en fait, on peut écrire capac classes comme ça. Je vais expliquer ce qu'il signifie. Et puis le CRM, c'est WGN of Z1, ZN, et c'est réveillé pour tout aspect de la classe, c'est un integral over Z1, il y a 2, 3, 2, 3 plus N, c'est un integral over Z1, ZN, l'integrable over NG, c'est MGMOS, c'est londardes, c'est un product de l'1 à M, c'est l'ADI, c'est un product de l'1 à M, c'est l'ADI, c'est l'ADI, et là, c'est l'ADI de Z, c'est le résilier de B de Z, X de Z, minus X de Z, minus D minus 1,5, times which are multiplied by 2 D plus 1 W factorial over 2 to the D, plus 4 convenience, then minus sign. The times T had case basically correspond to the Taylor expansion of Y, your branch point, but that's when I was writing the tiles, but transforming to the capac, it should take the log in fact, so it means that the T had K, so it's defined by the engineering series, sum over K of T had Ks, so I'm just writing the engineering series, it's just a weight from code the Taylor expansion near the branch point, so it's log minus log of the Laplace transform, the Laplace transform of E to minus UX over a steeper descent path which goes to branch point A, I will show an example in a minute. And the coefficients B had K, so the coefficients B had K, A prime L are just again Laplace, sorry, the Taylor expansion of B just correspond to the Taylor expansion of B where the first variable is taken in the vicinity of A and the second variable in the vicinity of A prime, so this is just the question of the Taylor expansion, so which means what you can write it this way B of Z1, Z2, when Z1 goes to A and Z2 goes to A prime, so I mean, you could write the question that's raised use or write the expansion, sum over K on L of B had A K, A prime L on those X of Z minus X of A, so X of Z1 minus X of A over K plus 1, over 2, on could write that, X of B2 minus X of A prime L plus 1, over 2, okay, I'm probably getting times the X of Z1, the X of Z2 and well, there was also the double pole okay, I'm here, there is plus delta A A prime the X of Z1, the X of Z2 over X of Z1 minus X of Z2 to the square or something like that, okay, so we are just the questions in the data expansion let me show you a very quick application of that so the idea is with that theorem in fact that theorem basically gives something which corresponds exactly to the to the grammar free term grammar free term invariance so basically the grammar free term invariance always have a future so you see this theorem decomposes the WGF for every spectral curve into some sum of graphs so what this theorem says is that we have a sum of graphs and at each vertex we take an integral of our standard WGF MGM bar so which is basically intersection numbers of MGM bar so this theorem for instance says that the partition function for every spectral curve can be decomposed as a certain operator acting on the product of K-divital function so in fact this is more or less nearly equivalent to the Givantal formalisable so this was proved by Dean-Martin Armentin Chadrin and Spitz in 2013 when this equivalence on this theorem I could give in fact in 2011 well, I say that it's nearly equivalent to Givantal because to be a really equivalent to Givantal you need to have a equivalence to Givantal does not work for every spectral curve it works only if the W02 and the W01 are related by a certain relationship otherwise you cannot call it Givantal but this theorem is true nevertheless but you can call it Givantal only if, well, that's what's called the arm matrices of certain properties so let me just show you a very quick application so example take the curve x equals z square on one equals sin 2 pi z well, okay take that curve so there is only one branch point which is at z equals zero so there is only one branch point so we can that our NGNOS is just a standard NGNB there is only one color there is nothing you can do all the big head case are vanishing well, b of z1 z2 is z1 z2 under z1 z2 square there is no Taylor expansion so there is no such term and here when you compute this so the only thing you have to compute is the Laplace transform so if you compute the integral of y dx ux 1 c'est just integral of sin 2 pi z so let's write it 1 over 2 i into the 2 pi i z 2 z d z into the minus u z square c'est un point de vue de minus pi square. C'est un point de vue de Gaussian integral. Je vais vous confier. C'est très facile de voir que vous avez un point de vue de minus pi square. Je vais terminer un point de vue de minus pi square sur le 3-2. Je vais terminer un point de vue de plus pi sur le 3-2. Donc, la définition est... ...je veux dire que vous avez seulement le point de vue de minus pi. Vous avez seulement le point de vue de minus pi. C'est à dire que vous avez seulement le point de vue de minus pi. La ha regulation... C'est la掛ine de carrying de pi square de table de Gum� break. C'est une�in de 1 au u et vous avez'minhhmminovi et c'est juste ça. C'est-à-dire que pour cette courbe, WGN, le problème de l'entraînement, c'est l'intergaveur MGM bar de l'entraînement de l'intergaveur Kp1. Le problème de l'intergaveur WGN est le volume de l'intergaveur Kp1. C'est le volume de l'intergaveur Kp1 sur le volume de l'intergaveur MGM bar. C'est le volume de l'intergaveur Kp1. Je sais que je suis en train de faire ça, mais ce que nous avons à propos ici est que, si on commence avec cette courbe, donc la courbe de l'intergaveur Kp1 est la volume de l'intergaveur Kp1. La courbe de l'intergaveur Kp1 est exactement ce que l'on appelle le volume de l'intergaveur MGM bar. C'est juste un moyen de dire que cette courbe, une courbe de l'intergaveur MGM bar, est la volume de l'intergaveur MGM bar de l'intergaveur MGM bar. C'est-à-dire que nous avons prouvé cette courbe de l'intergaveur MGM bar de l'intergaveur MGM bar. C'est WGN ? Ok, si vous voulez faire la courbe de l'intergaveur WGN, vous devez mettre un peu d'id, ok. C'est juste que mon temps est terminé, je n'ai pas voulu faire la courbe de l'intergaveur WGN, mais la courbe de l'intergaveur MGM bar est pour WGN, et vous avez le consensus. C'est-à-dire que ce que ça fait, c'est que 5 pertes de volumes, OK. C'est la courbe de l'intergaveur MGM bar, si vous choisissez la courbe de l'intergaveur MGM bar. Si vous choisissez le courbe de l'intergaveur MGM bar, Nous sommes dans une carrière de corvillage. On peut prendre un X, une galerie de 3 fois. On va prendre la courbe spectuelle et la courbe des mirrors. La courbe de mirrors est la courbe des mirrors. C'est typiquement divisé par une équation de P. Une équation de polymérité, pas de XY, mais de P. Par exemple, si tu prends x equals c3, donc si tu prends x equals c3, ce que tu veux dire, c'est que c'est de la même chose. Ce que nous donnons dans notre curve, c'est très simple. Alors, c3, c3. À la fin de cela, tu peux dire que c'est un curve spécifique. Tu peux joindre la recursion de la topologie et la recursion de la topologie sur les BGNs. Donc la corollerie c'est que le WGN est le corollaire de l'invarence. C'est une corollerie ou un CRM. Ce n'est pas une corollerie totalitaire. Tu veux travailler un petit peu avec un combinateur de gras, mais c'est un combinateur de gras. Donc je voudrais vous remercier.