 तो यह आपके सब सबसे परते हैं सबाल है क्या, an equilateral triangle is filled to the max with n rows of congruent circles. तो यह आपके सामने एक फिगर दर्षाय गया, jaha pe ek equilateral triangle hai, जिस में कुछ सर्कल्स, congruent circles means circles of equal radius. तो सर्कल्स of equal radii से बहरा गया है, तो तो यह सवाल क्या है, आखर कर देकते हैं. सवाल है, what is the limiting case of the area of the circles to area of the triangle as n tends to infinity. तो अगर आपके पास एक एसा ट्रायंगल है, जिस में आपको इन फिनाइत number of congruent circles बहरने की इजाजत है, तो what is the ratio of the area of the circle to the area of the triangle as n tends to infinity. और यह रेश्यो आपको दिया गया है, pi root 3 by k aur k ki value यहांपे निकाल नहीं हैं. तो च़र यह रोस तो आईए सब से पहले समसते हैं, इसके डायग्राम को तोड़ा मोड़ दीटेल में, तो यहाप आप देख पारे होगे की आपके पास जो सरकलस हैं, उसकी जो संख्या है, वो अर्ठमेटिक पोगरेशन से इंग्रीश कर रही है, उरह पहले रोपी आप देख पारे हो कि आप कि आप एक सरकल है, उसे रोपे आप देख पारे हो कि आप एक 2 सरकल है, third rhe pe 3ll, fourth rhe pe 4, तीखे इंठ, तो इसस से तो यह पड़ाट चल जार आए कि घिछू आप सरकलस बरते जार आए, अगर अगर अपकेपास बहुत सक्ट हैं सर्कल यह थोंगा! प्रवाशन कोंदें! सच्या न तलग हैं! अविदा बीद में गईईईईईई. आपको आपको कि के निठर। कोनगे विंझा... बिख्छक काईईईईईईई. आप जो सब ज़़ब तबकोगे सरकल्स हैं रो नमबर एन में जो आपको सरकल दिक पार हैं इनकी डिग्रम में तोडा और दिटेल में भंडाना चाँँ अँगे तोझ तोजतो आप आई यें देखते हैं इनको थोडा सा अँगे धिप्ली तो जोस में आपके आपके साम्ने फिगर में मैं आनेत्रो बना दिया है और इस रो में हमारे पास अन सरकल्स मोजुद हैं जी हैं आप देखे तोस्तो, सब से पहले इंपोट्रन बाद तो यह आगर मैं पतेख सरकल कर रेडिस आर मानता हूँ तो जल यह मान लीजे इसका रेडिस आर हैं तेख हैं और लेद से मैं इसका साईड नेम कर देता हूँ बी और यहापे सी और लेद से the foot of the perpendicular drop from the center of the circle is M और यहापे एक छोटा सा ट्रायंगल में बनाता हूँ यहाप एक छोटा सा ट्रायंगल बन क्या रहा है B,C,M,C being the center तीक है तो मैं खेल सकता हूँ क्या कि यह यह जो आंगल होगा वो होगा 30 दिगरी के बराबर क्योगी यह पुरा एक एक एक एक एकुलेटल ट्रायंगल है अप आंगल 60 धिगरी था वह कि हमें खाँप आंगल दिख रहा है तो यह आंगल होगा आगा 30 दिगरी के बराबर यह 30 दिगरी होगा काई अप उसी पकार से यहाप एक त्रायंगल खं़ीट कर उगे तो यह दो नो ट्रायंगल च्वंग रहें तर्टी तर्टी तो होना ही पडेगा तो दोनो आंगल से आप तर्टी तर्टी हो जाएंगे हलागी, हमें उपर वाले ट्राइंगल के आंगल की जर्वत नहीं है तो मैं असे हदादोंगा, ताकि हमारा डाएग्रेम तोड़ासा साफ दिके तो जो भी जी रड़ंट होगा आर ढ़ीट बाए तंटी डिगरी आर ढ़ीट भाई बीम बी दाईगा दीगरी बीम बीकम जी जी डिगरी नित बागा था गया मैं कह सकताउझी प्रकार से, अगर हम लोगो नहीं यहाँ पे भी एक ट्राइंगल बनाई होता तो यहाँ पे भी लेट से इसको मैं एन मानता हूँ तो C N की लेंथ भी उतने ही होती करेक्त तो C N की लेंथ भी होती Root 3 R तो आप यहां सोच रहोंगे कि मैं B M और C N की लेंथ अखिर निकाल क्यो राहूँ अगर कार हमें साइट चाही आाई फींगे हैं क्यो। उकि आगर हमारे पास अिकोल्ःाट्रल यहांगल का साइड लेंथ हो गा तो हमें उऐसकी एग्यान लिकाल मैं कोई दिखत नहीं आाईगे तो गर बैसिक इकोलाटरल त्राइंगल के अगे लिही अछ़़़ी हमे साईड लेंप वद़ एकुलआटल तर्यंगल चाँईगे होगा तो दूसो आए समस्ते हैं आईची को तोड़ा दीटेल में तो तो आईची समस्ते हैं तोड़ा मन को तोड़ा दीटेल में कोकी बी आम और सी अन माद்की जेगा यापे मैं Cn लिखना जाँँगा क्योकि मैं अल्टी Cn लिखाँवा है एकश्पेशन में तो Bm और Cn हमें अल्टी मालुम है Root 3 R इच तो ये दोनो तो Root 3 R प्लस Root 3 R होंगे अमन कितना होगा देखे अमन को बनाने के लिए हमें चाही होगा YR और YR और बीछ में जितने भी सरकिल बन काएंगे जो N-2 सरकिल में काएंगे, दोस तो दे की N-2 क्यों क्यों कि पहला सरकिल और आपहरी सरकिल हम छोड रहे हैंamiento की वहा से हमें Cn और EqR मेंेगा अर पहले वाले सर्कल से हमें बीम और एक आर मिलेगा तो बीच में जो बचा एं माइनास तू सर्कल वो कंत्रबूट करेंगे तू अर इच जी आ तू अर इच कों की सब के जो दायमीटर्स होंगे वो आद अप होंगे जी आ तो हमारे पास जो एकश्पेशन बनेगा मन का वो बनेगा एन माइनास तू इन्टू तू डूर प्लस ये दोनो जो आर मैं आप को याप तिख माख से दिखा रहा हों तो प्लस तू अर एक अदिशनल बन के आएगा जी आ तो ये बन गया हमारा साईड लेंत अब दे एकविलाट्रल ट्राइंगल तो आएगी एसको तोड़ास दा सिम्लिफाई कर लेते है तो उसको सिम्लिफाई करने से हमें मिलेगा तीख आ, चली तो अगagh side length malum hai, to area of the equilateral triangle kya ho gha एक area of the equilateral triangle hota hai root 3 by 4 into side length square जी आ तो उसकी वालिए होजाएगी root 3 by 4 r square 2 root 3 plus 2n minus 2 the whole square यह धक तो आशा करता हैं कह कोई दिखत की बात नी आएगी अब कोछन में क्या पुचा गया है कोछन में पुचा गया है the area of the circles divided by the area of the triangle when n is tending to infinity so area of the circles क्या होगा? area of the circles आये यहापे लिकते हैं हैं हम area of the circles area of the circles सारे circles का जो combined area हैं हो क्या होगा? तो दोस तो पहले रों में तो pi r square है तुसे रों में 2 pi r square होगा तीसे रों में 3 pi r square होगा और अगर यही चलता रहा, तो हमारे आखरी रो में होगा एं pi r square है, इसका यह मतलव है, के अगर आप pi r square कोमन ले लें तो हमारे पास आएगा sum of natural numbers from 1 to n तो की साभ तोर पे हमें मालुम है, होगा आएगा एं n plus 1 by 2 pi r square, okay तो तुस मुद बखं सम अब the areas of all the circles that we have अगर, चली, अवाई ये, हमें चाही ए limiting case of area of the circles to area of the triangles तो area of circles divided by area of the triangle तो area of the circles क्या होगा, तो area of the circles हम लोगा नहीं अगर नहीं लिख रिख रिख का है, pi r square nn plus 1 by 2 और पूर ने जिल, वह दोंपे तीगा। तो ने वो ड़ेए लिग बहनोगनी दवागता, o briefly, तूस मुद तरकिछ रब, दूश पर सब, वह दोंपे दागा। So friends, we will have some societal issues, होगी और दोस तो यहाँपे लिम्ट नहीं बोलनाचाए है हमें लिम्ट है अन्ट्यन्टिंटींटीं तो आप यहे इसको फ मट्द तुर्टर स्मफलीप़ करतें तो फमट तुर्टर स्मपलफाई के प्रोसेस में सब से पहले तो r-square, r-square गात देते हैं और जो कोंस्टें तर्मस हैं, उनको भी तोडा अज्स करने की कोशिष करते हैं तो यहापे हमें दिखेगा, 2 pi by root 3 n n plus 1 divided by 2 root 3 plus 2n minus 2 the whole square, limit of n tending to infinity. जी आप दुस तो क्योंकी ये दोनो कोडरेटिक एक सप्रेश्यंस यहापे हैं एन में तो हम लोग क्या करेंगे, इस कोडरेटिक एक सप्रेश्यंस में, हम लोग देवाइट कर देंगे, न छीiff of two pi by root 3 तो यहापे मोझुद है ही, अर आगर हम देवाइट कर देवेटाहें, अह एक एक प्रजाएगा? ठो भीसिकले मैं करना क्या चाँ रहा हैं हैं यहापे एस को बी इस चीiff of two pi by root 3 तो यहापे मजुद है ही, और अगर हम मंटगतना दिफते हैं, आप सिम्नले लिएद आप दोगी कुछ अप़ार से दिखेगी जिया आन्तेव है, वो अगर रवाद बाद तु आप, यक तो मगद प्शार आप आप, आप एक यहाद बाद, यक गदगदगदगदगदगदगदगद, आप यहद आप यहद नागे यहद आप गददगद� 2-square की तरा । तो, यह भन जाएगा पाइ भाय 2-rood-3 अमारे पास जो आनुसर लोग कुष्य शितर ने कोच अलक तब दर्षाया हूए आँई पाइ-root-3-b-k मतंप रूध-3 उपर होनांचाए तो, चल यह रूध-3 उपर पाइwalkचाते हैं तो रूट 3 उपर पोचाने के लिए हमें रूट 3 से मल्टीप्लाई भी तो करना पड़ेगा डिनाूमनेटर में तो यह हमारे को देगा पाई रूट 3 बाए 2 into 3 which is 6 और यही तो है हमारा के का वाल्य। this is our K तो here the answer to the value of K is clearly a 6 तो देखा दोस तो आपने किस पकार से इनो ने त्राइंगल किस साथ infinity by infinity का लिमित लगा के एक बहुत ही सुद्नर से सवाल बनाए है तो आशा करता हूँ आपको सुलुषन समझ में आगया होगा और इस वीडियो के माद्धम से कुछ कन सेबस रिवाइस