 Merci beaucoup pour l'introduction. Merci pour l'invitation, c'est un plaisir pour moi de parler aujourd'hui ici. Donc, en fait, je vais parler de modifiations pour NLS, et cela concerne les dynamismes de long terme de la question de non-linearisation. Donc, je vais présenter un travail joint avec Benoît Grébert et Éric Paturelle, qui sont en Nantes. J'ai également mentionné quelques contributions avec Pierre Germain de la Université de New York et Zahar Hani de Georgia Tech. Donc, j'ai commencé par l'introduction. Donc, la question que nous voulons étudier est la NLS cubique. Et je vais donner quelques modifiations sur cela plus tard. Mais je commence avec la NLS sur le guide de la manifold. Donc, c'est R cross T2. Et je travaille sur le torus, qui est identifié avec R sur 2 pi z. Et l'équation de Schöninge est la suivante. Donc, c'est I DTU plus 2... Ici, vous avez la direction dans la variable A. Et ensuite, vous ajoutez l'application dans la variable transverse en T2. Et je considère le Cauchy problème avec une condition initiale dans un espace souble, Hs de R cross T2. Donc, les variables sont dans la forme suivante. Donc, c'est R cross R cross T2. Et nous sommes intéressés dans la dynamique de cette équation. Et je vais commencer avec le résultat d'un résultat de Hany, Pozadert, Tweedkopf et Vichy Glia, qui ont obtenu un scattering pour cette équation. Et le but de ce talk est de voir le rôle de la résonance. Et dans la deuxième partie de le talk, je vais étudier l'équation avec une perturbe random par un potentiel de convolution et je vais montrer que les résultats sont différents. Donc, je vais primero reminder les résultats de Hany, Pozadert, Tweedkopf et Vichy Glia. Donc, pour commencer, je vais vous donner la résonance qui est associée à cette équation. Donc, une équation qui seulement concerne la variable y. Je vais l'écrire et commenter sur ça. Donc, je vous donne un problème d'accoustique. Donc, c'est GNAT P. Donc, si j'identifie une fonction de la série courrier, J est le summe de le GTX et puis l'exponential profession des modèles 1. Et ce J a un transform de fourrier de x à psi, qui est G hat. Donc, G hat est le transform juste dans le variable x. Donc, le variable qui est en R. Et ce J hat doit satisfaire ce système. Donc, comme vous pouvez le voir, le XI, ici, est seulement un paramètre. Donc, même si cette équation aussi dépendant des variables en 3D, R cross T2, le XI, ici, n'est pas un rôle de joueur. Vous pouvez juste le voir comme un paramètre. Donc, en quelque sorte, il n'y a que 2D. Ce que nous voulons voir maintenant est le lien entre ces équations. Et nous verrons que la description précise de ces systèmes vous donneront le comportement de celui-ci pour longtemps. Et ici, c'est le cubic non-linearity mais réduit pour les principales interactions résonantes. Ce sont les fréquences qui jouent un rôle dans les dynamiques de longtemps en ce temps. Les autres peuvent être cancelés par l'intégration des parties ou par un argument normal de la forme bière corporelle. C'est le plus important. Ce sont les principales équations et les espaces que nous utilisons dans la suivante sont mises par un S-norme qui est un S-norme de Y et de X pour un grand N. Dans la suivante, un N est un grand N30 et vous avez aussi besoin d'une localisation de X parce que c'est typique dans des résultats scatters et vous avez aussi besoin d'une localisation. Et ensuite, un S-Plus qui a les mêmes features. Vous avez un peu plus de dévatifs et aussi vous avez dit que la fonction est un peu plus localisée. Finalement, un D-naut par D-naut est le opérateur linéaire. Et maintenant je vais dire le résultat d'un HANI et de l'Ode CIGIÈRE. Donc, le premier résultat, ils ont obtenu des concerns de la behavior d'une quantité de l'équation. Et il dit que si vous avez un petit condition initiale dans le S-Plus et si vous avez une solution de l'équation de la quantité avec cette condition initiale Et puis, U est défendu sur R+, ou même sur R, et H est valuée. Et vous pouvez trouver une condition initiale à cet système. Donc, il y a une G-Nut et une solution J de R-Nut. Donc, cette R-Nut est l'équation résonante, comme que l'U peut être approchée par une G pour longtemps, dans le sens suivant. Donc, si vous considérez que l'U n'a pas une condition initiale à cette équation, et que l'U est une solution correspondante, alors il s'agit d'une sorte d'évolution libre, appliquée à une J de pi LNT, où J satisfaie cette équation, qui est en fait un peu plus simple que la première. C'est un résultat modifié. Donc, si ce n'est pas dépendant du temps, si c'était un élément constant, on aurait un résultat scatché. Mais ici, c'est la modification. Et après, on verra où ça apparaît. Il y a aussi obtenu un résultat converse, qui peut être vu. Donc, c'est une dynamique particulière de l'équation non-inertionnée. Et cet résultat dit que, si vous considérez une solution de cette équation, alors il existe une U qui satisfaie l'équation non-inertionnée, ainsi que cet résultat. Et ensuite, vous pouvez construire une dynamique particulière. Donc, je vais le préciser. Donc, si vous considérez une U, une J0, qui est en S+, et une J, la solution de l'équation non-inertionnée, alors il existe une U, une solution de NLS, ainsi que cet résultat. Et cela a permis de construire des comportements très intéressants. En particulier, ils ont des solutions normes. Donc, comme un corollaire, ils obtiennent une U, une solution de l'équation non-inertionnée, ainsi que l'équation non-inertionnée, et une U qui est en S, et une J, ainsi que l'équation non-inertionnée, et une J, et une J, et une J, et une J, et une J, et une J, et une J, et une J, et une J, une solution comme celle-ci peut être trouvée, et ce système a été étudier par Sahar, et par CKSTT, qui a exécuté des inflexions normes, et après, cela a été précisé par Gardia Kaloshin, avec des techniques dynamiques, et cela a été précisé par Loglog. Donc, pour moi, c'est le premier exemple de grosses normes de SOBOLEF pour des équations de type NLF, avec une non-inertionnée locale. Donc, je vais juste... c'est juste un truc technique. Comment... Si vous avez étudier ce système, donc, sans le paramètre, vous devez faire un petit truc pour ajouter la variable XI, afin d'être intégrable en X. Comme vous voyez, vous demandez que votre solution soit localisée et régulée en X, et ce système est transparent à respect de la variable XI. Donc, si vous avez obtenu la solution de cette équation, j'ai appelé la non-inertion qui dépend seulement de la variable T et de Y, donc, Y est la variable qui est périodique. Ensuite, vous pouvez définir une certaine fonction. C'est XI, Y. C'est juste... ici, vous utilisez le scaling de l'équation. Et FI est une fonction dans la classe de schwarz. Parce que cette équation non-inertion a un scaling, parce qu'il n'y a pas la place termes ou la termes non-inertes ici. Donc, vous pouvez seulement faire le scaling en temps. Vous pouvez scalez avec respect à FI. Vous avez cette fonction. Et puis, si vous demandez que c'est régulier et petit, vous puissiez construire une certaine fonction. Donc, je vais vous donner quelques références sur le développement des normes sublèvres pour cette équation dispersive. Donc, il y avait des résultats par Bourguin pour l'équation de l'équation. Et puis, comme je l'ai mentionné, le travail de Collendeur, Kiel, Stafilani, Takahoka et Taoh, qui ont travaillé pour NLS en 2D. Et ils ont montré que vous pouvez avoir l'inflation des normes. Et plus tard, Zaheur a travaillé sur le système résonant. Et, comme je l'ai mentionné, Gardia et Kaloshin. Et puis, j'aimerais aussi mentionner les résultats pour ce qui concerne NLS. Et concernant l'équation de Kubik Zegur qui travaille par Gérard et Grollier et aussi par Wannap Okofnikou qui avait des solutions de normes en R sur la ligne réelle. Et ils ont travaillé sur les torres. Les deux messages que j'aimerais donner dans ce talk c'est que j'aimerais montrer comment les résonances des termes non-linear dictent la dynamique des équations pour longtemps. Et la deuxième message est que je vais commenter la méthode utilisée par pour cette équation et pour montrer que cette méthode est robuste et s'applique à d'autres modèles comme vous le verrez. Les messages concernent la roule, la roule cruciale des résonances des équations et aussi la méthode de Wichikliya qui travaille sur une grande classe d'équations. Donc, c'est un product manifolds. Donc, maintenant, j'aimerais rester à nos résultats. Nous avons obtenu avec Grébert et Paturelle. Et ce qui concerne maintenant l'équation NLS, mais maintenant j'ai perturbé avec un potentiel typique de convolution. Et nous verrons que ce phénomène ne n'a pas appuyé et que les résonances ont joué la roule cruciale. Donc, je vais vous donner la question. Donc, maintenant, je considère l'opérateur linéaire qui s'appelle D. Donc, previously, c'était D-naut. Et maintenant, je réplace D avec D-naut plus une convolution par un potentiel V. Et la convolution est seulement dans la variable X. Donc, ce qui fait le suivant c'est que vous gardez les mêmes fonctions eigenes avec la convolution et si vous choisissez les fonctions eigenes de V, vous pouvez jouer avec les fonctions eigenes facilement. Parce que... Oui, seulement, oui. Donc, ce qui change c'est que previously, les valeurs eigenes de la place étaient les squares. Et maintenant, c'est les squares plus les fonctions eigenes de V. Si j'avais mis un potentiel productuel, ça serait plus physiquement relevant. Mais après, je vais changer la structure des fonctions eigenes. Est-ce que c'est bon pour vous? Donc, les 3 les 3 fonctions eigenes sont maintenant lambda. Donc, c'est une nouvelle notation. C'est donc les squares. Ça vient de la place opérateur plus Vp hat, la coefficient de V. Et nous faisons la suivante assumption sur Vp ou lambda. Donc, cette assumption est satisfaite quasiment. C'est la suivante. C'est un petit dévers... un petit... Sorry. Une petite assumption déversée. Vous vous demandez que la différence des valeurs eigenes soit 0 ou plus grande que des rates. Donc, c'est la suivante. lambda p, lambda q lambda aire c'est la suivante. Donc, vous pouvez... Z8 Ah oui, ok, c'est bon. C24 c'est tout. Donc, ça peut vanir si p est equal à q, par exemple, ou lambda aire equal à lambda aire. Actuellement, je pense que ça seulement dépend de la module si p n'a pas de rôle. Je peux voir que c'est mon assumption. Donc, ça peut vanir. Et si ça n'est pas, vous demandez que c'est plus grand que la puissance de p. Un nouveau truc est la troisième plus grande entre les 4 termes. Ça signifie que si c'est petit vous demandez que à moins 3 de ces termes soient grandes. Donc, ça vous donne un contrôle. Et cette assumption est très connue et étudie dans le contexte des PDEs pour les gens étudiant des théorèmes KM et des formes normaux. Donc, c'est une assumption que vous pouvez prouver que c'est satisfait quasiment sûrement C'est aussi dans un environnement où p est plus q plus r plus s. Oui, c'est ça. Oui, c'est ça. Oui, c'est ça. Si c'est résonant. Ah, c'est pourquoi en fait, c'est ma faute. C'est résonant. Résonant. Je dirais que c'est un moment conservant. Oui, c'est ça. C'est pas résonant, non. C'est ça. C'est p. Je pense que c'est ça. C'est juste un moment conservant. Donc, un contrôle comme ça peut être assumé. Donc, je le dirais encore. Donc, ça peut se vanifier et si ça ne va pas vanifier, vous demandez que à moins 3 de ces termes soient grandes. Dans le cas précédent, c'est plus ou moins 1 parce qu'on jouait avec les integers. Et puis, le système résonant. Donc, la partie contente de l'équation n'est pas pour la nouvelle équation c'est la suivante. Donc, c'est la même équation. Donc, c'est la même équation. Mais maintenant, je n'ai que cette restriction avec les termes résonants. Donc, je ne le fais pas chaque fois. Parce ici, vous avez les termes résonants sont les suivants. C'est ça. Donc, si vous voulez que ce soit exactement les cancels, ils doivent avoir la même équation. Donc, c'est le système résonant mais vous avez beaucoup plus de termes que précédent. Je ne sais pas. Je l'ai évoqué mais vous avez une condition avec les termes résonants. Mais maintenant, c'est une large restriction. Donc, ce système est beaucoup plus bien comporté. Et nous verrons qu'il n'y a pas de solution. Donc, vous avez évoqué la plupart des résonants et pour les conséquences, nous pouvons prouver les résultats suivants. Donc, les résultats que nous avons obtenus avec Grébert, Paturiel et moi-même sont les mêmes conclusions qu'au TOM 1 et TOM 2. Avec D0, nous avons répliqué la variété D. Et comme un corollari donc, si vous considérez une condition initiale qui est assez régulière et petite, puis la solution correspondante de NLS, celui-là. On le appelle la solution de NLS qui est boundée dans d'autres normes et vous avez même prouvé que la norme tend à un constance quand le temps va à l'infinité. Donc, vous trouvez que la solution est boundée. Donc, pour presque toute la perturbation par un potentiel. C'est dans une grande partie avec l'existence d'une perturbe équation. Donc, comme vous voyez, les résonances jouent ici un rôle important. Donc, si il y a suffisamment de résonances exactes, vous pouvez prouver l'existence de l'orbitage mais ici, avec cette assumption typique, vous prouvez que quelle solution reste bas dans d'autres normes. Nous avons maintenant quelques idées de la preuve et je vais commencer de vous donner quelques idées de méthodes que vous pouvez utiliser pour obtenir un comportement de long terme d'équations de type NLS. Donc, j'ai demandé comment obtenir l'access d'un comportement de long terme donc, une méthode que vous pouvez utiliser c'est l'utilisation d'une forme normale de Birkhoff. Donc, par exemple, si vous travaillez en T2 donc, let's consider, for example, this equation. So, on T2. So, using Birkhoff normal formes and and Greber have proved that if you add a typical potential so, like previously you can prove that for almost all potential V does any solution remains bounded for large time. So, say if you begin in some sub-left norm, so it's also in a large sub-left norm then it remains small for times which have any polynomial time in epsilon. So, this is in the spirit of the Birkhoff normal formes. Another type of results are the Keim results. So, Eliasson and Cooke's have proved that there exist solutions to this equation. So, again, using a typical potential V they have proved that there exist quasi-paillodic solutions. So, those remain small for all times but there are only some to ride. These concerns all small initial conditions and Keim results concern some of them. Ok, so, but for all time. But for all time. So, this is quasi-paillodic solution. But the case V equals to 0 is open. So, this is the picture in the context of periodic variables. But now, if you consider on the other hand the equation on Rd then you expect scattering results. So, let me just give you an aspect of this. So, if you consider the equation on Rd or say R3 then then you expect scattering results. And such results go back to Geneva and Vélos. And here the idea to consider product manifolds is to see situations in between. And this study has been initiated by Thredkoff and Vichy Glia pour NLS. So, in the case so, the idea is the following. In 1d, you have the dispersion estimate. So, the L infinity norm in x is less than 1 over t to the power 1,5. This is the dispersion estimate if you believe to the fact that you looks like a linear solution. And then, if you consider the non-linear term like a potential term then this should behave like 1 over t times u. And so, either the dimension is higher or the non-linearity has a larger power then this becomes integrable and you can prove scattering results. And here you are exactly in the limit case and actually the log term which is in this result comes from the 1 over t which appears here. So, in some sense you could see if you have a stronger power this becomes integrable and here this to infinity appears like a constant and here you see the scattering appear. But here you are just in the limit case. So, now I will try to give you an idea so how we can make resonances appear. So, in the part I call the effective dynamics. So, we consider the profile of u. So, you conjugate with the linear operator then the function f solves an equation where the linear part has been cancelled. So, it looks like this. So, I denote this non-linearity which depends on time by n t this is n n of t and in order to study it you can do Fourier decomposition. So, both in the x variable and in the y variable. So, if I take the Fourier from x to xi of the non-linear term this can be written as let me write it and then I will comment on it. So, the Fourier the product Fourier of the product is a convolution so, you have these such terms appearing. So, this is the so, here you have the terms this is the Fourier the typical Fourier condition. So, the momentum here those are the eigenvalues of the linear operator and here is the convolution which appears since you have the product. And now, let me give you an idea of the long time behavior of such terms. So, what you can prove is that using integration by parts so, you can divide by this factor. So, integration in time and actually, if the this factor is large then they will have a smaller contribution and in any case I can control them using the resonant assumption I made. So, this will give me a loss of derivatives but not more. So, the first assumption you can restrict to resonant terms resonant terms which are lambda p, lambda q lambda s equals to 0 and this implies that p has the same length as q up to permutation so, this is what I had written previously, so p and q and s maybe it's just the good time to say it so, here I had a control I said that I have to control by the third largest and this plays a key role you see when you want to study multilinear terms you are not allowed to hit the frequencies you want so, if you want to study a term which looks like j of u v w and you want to make some l2 estimate of it so, to have a l2 estimate you do it by duality and if you have four terms so, a, u, v and w and you want to make a good estimate duality so, you are not allowed to hit a derivative on the first term because it's it's forbidden, it's a test function actually so, the first largest is not allowed and the second largest is not allowed also because if you want to do the same the same estimate hs norm then you would like to hit only on the term which has less influence so, the second is also not allowed but then you can hit here and here you may lose the derivative I have denoted by gamma this plays no role and this shows that then you are able to obtain a good fixed point argument in some gamma norm this is roughly speaking the thing and this key estimate with the with the third largest was crucial and previously used by works by by Greber and collaborators so, this was the restriction to the reasoning terms and the second restriction comes from a phase formula a a stationary phase formula here you apply the stationary phase to the phase phi is eta kappa and so, the state is stationary if eta is kappa is 0 and then this non-initi looks like roughly speaking when time is large enough so, you have this factor p1 over t comes from the first stationary phase formula in 2D so, the two dimension here a kappa and eta and then you still have the contribution with eta equals to 0 so, it's u hat of xi f r hat of xi and f s hat and xi and here we have obtained the resonant system so, you see where it comes from and you have the pi over t you can cancel out by a change of variable you obtain the pi ln do you have some questions yes so, in the 5 remaining minutes I will just comment on some other models you can study with such ideas so, such arguments also work on the product manifold r cross s2 so, you take the Laplacian on a sphere mentioned in the paper of Annie Posaderts, Redcoff et Vichyglia so, this has been done for dx2 plus the half wave operator so, dy absolute value and this has been done by Haihan Chu and in this context the resonant equation which is associated is the Zegur equation and this allowed her to construct growing orbits also you can also study systems so, this so, coupled NLS equations and this is under investigation by Victor Villasa Darusha et avec Zahir Hani et Pierre Germain on a obtenu des résultats pour la Groszpitejski equation donc, c'est un NLS equation mais avec un potentiel confiné donc, vous pouvez le dire comme ça donc, vous avez un potentiel qui est un square et cette équation est étudiée dans le contexte de l'équation la plus basse de l'équation la plus basse de l'équation et ça nous permet de constructer une solution particulière de cette équation aussi donc, merci beaucoup il y a-t-il des questions est-ce que vous avez des questions ? j'ai une question sur comment vous avez de la F sur différents paramètres de la G sur le même paramètre comment vous avez expliqué ça dans votre dernière blackboard vous avez une équation pour la G une équation pour la R et une équation pour la R il y a un paramètre pour la C oui, je l'ai fait c'est un convolution de trois fonctions donc il y a deux paramètres C et ATA mais l'argument de l'argument il fonctionne le même donc, j'ai une question sur la équation R qui n'est pas une équation c'est en fait une famille continuum d'équations chaque une a besoin d'une solution c'est vrai ? la C est un paramètre oui et pour toute la C la solution est donnée oui donc, vous avez besoin d'une condition résonance qui résiste le paramètre non, je ne marche sur l'équation sans le paramètre et puis je peux transformer je ne marche pas je n'étudie pas l'équation avec le paramètre je n'ai pas la complete description je construis une solution particulière sur l'équation qui ne dépend pas du paramètre et puis je peux l'adresser je le vois donc je peux faire une paramètre, une C ou plusieurs C mais ce n'est pas toujours une C oui, je ne le vois pas vous ne voyez pas comme je le vois ok, ça ressemble à la discussion après si quelqu'un d'autre a une question vous avez travaillé sur vos questions pour le talk n'est-ce pas ? ok, bien c'est un long jour merci, un très bon premier jour merci