 En 1992 Bernard Verbert publie le jour des fourmis, deuxième épisode de sa célèbre trilogie des fourmis. Dans ce roman, il met en scène l'énigme suivante, compléter la suite 1, 11, 21, 1211. En fait, cette suite a été inventée et étudiée dix ans plus tôt par le génial John Conway et regorge de surprises mathématiques insoupçonnées. Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. Donons tout de même la clé de l'énigme. Comment est-on censé compléter cette suite 1, 11, 21, 1211 ? Eh bien, dans cette suite, chaque terme s'obtient en regardant puis en lisant à voix haute le terme précédent, en débutant par le terme 1. En regardant ce premier terme, on voit donc une fois le chiffre 1, ce qui va donc se lire 1, 1. Maintenant, en regardant le nombre 11, on voit deux fois le chiffre 1, on lit donc 2, 1. On continue de la même façon en lisant 1, 2, puis 1, 1. Pour compléter cette suite, il faut donc dire 1, 1, 1, 2 et 2, 1. Pour générer la suite, il suffit donc de la regarder et de la lire. C'est pourquoi Conway l'abattisait la suite Loukensay. Cette suite entretient des liens très métaphoriques avec les éléments chimiques et leurs désintégrations naturelles, si bien qu'elle porte aussi le nom de suite audioactive. On pourrait s'arrêter à cette simple devinette, mais ça serait passé à côté de ce qui fait tout son charme mathématique. Tiens, par exemple, peut-on trouver le chiffre 3 dans la suite ? Eh bien oui, il ne suffit pas d'aller chercher plus loin puisque le chiffre 3 apparaît pour la première fois lors du 6e terme, puis ne disparaît plus jamais après. Et le chiffre 4, alors, peut-il apparaître ? Là, il faut réfléchir un peu plus. Pour apparaître, il faudrait que le terme précédent possède 4 chiffres identiques consécutifs comme 1, 1, 1, 2, 2, 2 ou 3, 3, 3, 3. Mais pour que la chaîne 1, 1, 1 apparaissent, il faudrait que la ligne précédente soit 1, 1. Sauf que 1, 1 ne se lit pas 1, 1, 1 mais 2, 1. Bref, la chaîne 1, 1, 1, 1 ne peut pas apparaître. On peut faire le même raisonnement pour 2, 2, 2, 2 et 3, 3, 3, 3, ce qui explique que le chiffre 4 ne peut pas apparaître naturellement dans la suite. C'est ce que Conway appelle le théorème du jour 1 qui permet de dire que 4 chiffres consécutifs ne peuvent pas apparaître dans la suite et que l'on est donc restreint à utiliser les chiffres 1, 2 et 3. Bien sûr, on peut toujours s'arranger pour faire apparaître un peu ce qu'on veut dans la suite. Il suffit pour ça de changer la graine de la suite, c'est-à-dire son terme initial. Si je parle de la graine 42, je vais forcément trimballer ce chiffre 4 tout au long de la suite. Mais malgré la possibilité de choisir la graine que l'on veut, 4 chiffres identiques n'apparaîtront jamais consécutivement. Jamais. Mais les motifs 1, 1, 1, 2, 2, 2 ou 3, 3, 3, 3 ne sont pas les seuls motifs qui n'apparaissent jamais. On peut aussi citer le motif 3, 3, 3, 3 ou 3, 1, 3. John Conway a catégorisé ces motifs impossibles sous le nom de théorème du jour 1 et théorème du jour 2. Mais ce qui est encore plus intéressant qu'ils n'apparaissent pas, ce sont les motifs qui apparaissent effectivement. Le théorème qui réagit ces motifs possibles porte le nom de théorème du jour 24 ou un peu moins prosaiquement le théorème cosmologique. Pour comprendre ça, reprenons la suite de graines 1. À partir de la 7ème étape, on obtient 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1. Ce qui est intéressant, c'est que à partir de cet instant, la suite va se cinder en deux parties indépendantes, entre le chiffre 2 et le chiffre 1. Si on ne s'intéresse qu'à la partie de gauche, on peut voir que le dernier chiffre sera toujours le chiffre 2. Du côté de la partie droite, la suite commence par 1, 3. A l'étape suivante, elle commencera donc par 1, 1, 1, 3, puis 3, 1, 1, 3, puis retombe à nouveau sur quelque chose qui commencera par 1, 3. La boucle est bouclée et le chiffre 2 n'apparaîtra donc jamais au début de cette suite de droite, en pêchant toute possibilité de raccorder les deux parties. Bref, à partir de cette 7ème étape, la suite de Conway se cinde en 2 parties indépendantes. En poussant un peu plus loin les investigations, on peut voir que quelques étapes plus tard, c'est en 3 sous-parties que la partie de gauche se cinde, et ainsi de suite. Mais ce phénomène ne fonctionne pas seulement pour la suite débutant par 1, mais pour n'importe quelle graine. En partant de 2, la scission apparaîtra à partir de la 7ème étape. On peut alors regarder les différentes sous-parties qui peuvent se former après chaque scission. En observant attentivement, on peut s'apercevoir que ce sont toujours les mêmes motifs qui apparaissent et qui s'enchaînent. Ces motifs se dénombrent et on peut même montrer qu'il en existe exactement 94. Et c'est d'ailleurs parce qu'il y en a 94 que Conway a les chaque motifs par le nom d'un des 94 éléments chimiques naturels. C'est ainsi que le motif 3-2-1-1-2 est appelé cobalt, et que le motif 1-1-1-2 est baptisé potation. Certains éléments sont cependant un peu plus complexes que d'autres. Ainsi, si on reprend la suite de graines 1, on peut voir qu'au moment de sa scission à la 7ème étape, la suite devient un alliage de afnium 1-1-1-3-2 et d'étain 1-3-2-1-1. A l'étape suivante, le afnium se désintègre en lutetium 3-1-1-3-1-2, tandis que l'étain devient de l'indium 1-1-1-3-1-2-2-1. A l'étape suivante, on obtient un alliage itérium cadmium, puis un alliage tulium argent et enfin un impressionnant composé herbium calcium cobalt palladium. Après 37 étapes, chaque élément du tableau périodique de Conway est apparu au moins une fois dans la suite. Et après seulement 44 étapes, la chaîne est composée de quasiment 31 000 éléments où chaque élément commun apparaît au moins une fois. A noter tout de même que, avant d'atteindre sa 7ème étape, la graine passe par une phase où les termes de la suite ne sont composés d'aucun élément du tableau périodique. Ces éléments que sont 1-1-1-1-1-2-1 sont appelés des éléments exotiques et l'en existe une infinité puisqu'il dépend du choix de la graine initiale. Heureusement, quelle que soit la complexité de la graine initiale choisie, ces éléments exotiques sont toujours condamnés à la disparition. Au profit d'un assemblage des 94 éléments naturels. C'est cette propriété que Conway appellera le théorème cosmologique. Quelle que soit la graine que l'on choisit au départ, elle finira tôt ou tard par être composée uniquement d'éléments naturels qui n'interagissent pas les uns avec les autres. Et que c'était bien sûr cette inutile suite débutant par 2-2. Il semble même que l'on peut prouver qu'il faut au maximum 24 étapes avant qu'une graine ne se soit complètement transformée en un alliage d'éléments naturels et 44 étapes supplémentaires avant que chaque élément commun n'apparaisse quelque part dans l'alliage. Une conséquence du théorème cosmologique est l'existence d'une constante d'expansion. A chaque étape, le nombre de chiffres est en moyenne multiplié par 1,3. Ce nombre correspond à l'unique racine d'un polinum de degré 71. C'est peut-être un détail pour vous, mais l'existence d'un problème ou la solution et la racine d'un polinum de degré 71 pour les mathématiciens, ça veut dire beaucoup. Le théorème cosmologique a été prouvé pour la première fois en 1987 par John Conway. Malheureusement, sa démonstration manuscrite a été perdue. Heureusement, Mike Guy, qui travaille avec lui, l'a aussi démontré, prouvant au passage que toute graine devait un alliage d'éléments naturels en moins de 24 étapes. Malheureusement, cette démonstration manuscrite a, elle aussi, été perdue. La malédiction sera levée par Eka des Elbergeurs, qui prouve une bonne fois pour toutes le théorème cosmologique en 1997. Mais le type de démonstration utilisé pour ce théorème a longtemps fait débat dans la communauté mathématique puisqu'une énorme partie de la démonstration passe par l'énumération exhaustive de tout un tas de suite. Une telle énumération serait particulièrement laborieuse à faire la main, si bien que cette partie du travail a été confiée à un ordinateur. Pour beaucoup de mathématiciens, laisser un ordinateur faire une démonstration mathématique peut être considérée comme une hérésie. C'est d'ailleurs pour cela que Thomas Hall, après avoir démontré la conjecture de Kepler en 1998 à l'aide de l'outil informatique, a passé 16 ans supplémentaires à démontrer formellement que sa preuve était bien correcte. On ne compte plus aujourd'hui les théorèmes qui s'appuient sur l'ordinateur, comme le théorème des quatre couleurs, la solution optimale de la Rubix Cube, ou la non-existence de plans projectifs finis d'endredis. Aujourd'hui, ces démonstrations à un fortes teneurs informatiques font l'objet d'un consensus et sont davantage acceptées, surtout quand, à côté de ça, des démonstrations comme celle de la classification des groupes finis pèsent plusieurs milliers de pages et demandent des années pour être complètement validées. Bref, le théorème cosmologique explique finalement que, dans un univers régie uniquement par la suite audioactive, n'importe quelle graine finit par engendrer la création de l'univers tout entier. Ça a quand même plus de gueule qu'une théorie des Bogdanoff.