 Bien, bien, merci beaucoup d'être revenu. Donc ce que je vais raconter aujourd'hui, c'est d'abord donner plus de détails sur la construction des espaces de Ch'touka. Les champs de Ch'touka, pardon. Donner la preuve que les opérateurs de Heckeux au place noramifiée sont des cas particuliers d'opérateurs d'excursion, plus précisément qui sont obtenus en composant opérateurs de création, morphe de foremenus partiel et opérateurs d'annihilation que je vais définir aujourd'hui. Et donc ça sera la partie technique de l'exposé d'aujourd'hui, la preuve de cette égalité. Et alors si parmi vous il y a des idées de une preuve plus simple, je serais vraiment preneur parce que je trouve cette preuve vraiment compliquée pour un résultat qui devrait, enfin, d'ailleurs une preuve plus simple, mais malheureusement je suis pas arrivé. Et puis la semaine prochaine, ça sera plus agréable. Je vais expliquer comment on applique l'âme de Drinfeld, malgré le fait que les champs de Ch'touka ne sont pas finis. Donc il faut définir la comologie écofinie, qui est une espèce d'alternative, d'Arzatz de la comologie cuspidale, en fait, partie cuspidale de la comologie. Je vais rappeler les notations. X, donc en fait je repars vraiment à zéro. Donc l'exposé précédent, j'avais déjà commencé à définir un peu les champs de Ch'touka. Donc là je vais recommencer, mais bon, excusez-moi pour les répétitions. X est une courbe projective lisse sur FQ. F sont encore de fonction. Et j'ai un groupe réductif déployé. Donc là dans l'article, le canon déployé est traité dans le chapitre XI, et je donnerai à la fin la prochaine séance des indications sur le canon déployé. Mais pour ne pas mélanger les difficultés, là, je me limite au cas où le groupe est déployé. Donc il est sur F, donc sur FQ, donc sur X. N est un sous-chéma fini, le niveau. Et puis L est un nombre premier de ne divisant pas Q, et E, une extension finie de QL, tel que E contient une racine de Q pour pouvoir tendre les... fallait pas normaliser les faisaux berverts, et les équivalences d'attaquer géométriques. Et puis toujours XI, un réseau de Z2A sur Z2F où Z est le centre de G, et A, c'est les ADEL. Voilà. Donc je rappelle que Bonne G est le champ classifiant les G-torseurs sur X, c'est-à-dire que c'est pour toucher ma S, Bonne G2S, il y a un groupe au vide des G-torseurs sur X2S, et puis on aura besoin d'une notion de Bonne G avec niveau. Donc Bonne GN, d'abord, avec le N qu'est là, c'est la même chose, plus une trivialisation sur N2S. Et alors en fait, cette notion existe en famille. On peut faire varier le diviseur, vous voyez. N, c'est un diviseur plus effectif, on peut le faire varier. Donc si j'ai une base, je ne sais pas, moitié, et puis Q, non X, moitié, alors là, un diviseur effectif relatif, enfin, vous voyez, en chaque fibre, c'est un diviseur effectif, ou un sous-chéma fini dans chaque fibre, c'est plat, je pense. Voilà. Donc on peut définir Bonne GQ comme champ au-dessus de T. Donc en fait, c'est un G indiscut-torseur sur Bonne G fois T. Bon, G indiscut, c'est la restriction à la veille de G de Q à T. Et donc donc c'est un G indiscut, c'est un chemin en groupe lisse, sur T, de dimension, la dimension de G, il faut à un degré de Q, d'accord ? Il y a un problème, Hamid ? Voilà. Pour I1, IQ, une partition de I1 et K, une partition ordonnée de I, je rappelle que j'avais introduit EQ, I1 et K, comme les champs de EQ avec une suite de K modification, donc c'est un N champ, tel dont les points sur S classifient les suites de modifications, c'est-à-dire bon d'abord, donc ça, ça classifie d'abord des points XI, bien sûr, les points où on fait une modification, donc c'est-à-dire des morphismes de S dans X, donc de S dans XI, on les met ensemble, et puis donc d'une suite de modifications G0, G1, GK où les GIs sont des G-torseurs sur X et S, et donc ça, je vais appeler ça FI1 jusqu'à FIK et FIJ de GJ-1 dans VGJ, donc la flèche est un peu abusive, en fait, elle est définie seulement, c'est un isomorphisme d'ailleurs de G-torseurs, en dehors de la réunion des graphes des XI pour I dans IJ, la même chose. Donc on se... Qu'est-ce que c'est que ce champ est que... modification intermédiaire, donc c'est à donner d'une famille de points dans grand I, puis d'une suite de modifications de G-torseurs sur X, S, tel que la GM modification, c'est une modification le long de la réunion des graphes, des XI pour I dans IJ. Et alors, si W est une représentation irréductible de G-chapeau-puissance I, que j'écris sous la forme W, produit tensoriel et WI, alors on peut définir, cette fois-ci, un vrai champ de localement de type fini. Donc c'est un sous-champ fermé-réduit, et donc qui en plus est localement de type fini. Donc sous-champ de I que sans le W, qui est définie par la condition suivante. En fait, on le définit d'abord si les XI sont 2 à 2 distincts. Si les XI sont 2 à 2 distincts, alors les modifications sont complètement indépendantes mais une des autres. Bien sûr, si les graphes ne s'intersectent pas, les modifications sont complètement indépendantes que les unes des autres, et la modification en un des XI, on peut l'avoir avec comme diviseur élémentaire pour GALN, on voit qu'il y a des strates fermées qui sont données par les copois dominants de G. Les copois dominants de G, ils sont en projection avec les poids dominants de G-chapeau par définition du groupe dual. Donc là, en XI, on peut imposer la condition que la modification en XI est inférieure ou égale aux copois dominants de G associés aux poids dominants de WI. Donc ça définit bien ce champ qui est donc réduit, pour ça qu'il n'y a pas d'ambiguïté. Lorsque les XI sont 2 à 2 distincts, et puis en général, on prend la dérange de Zariski. C'est ça, la dérange de Zariski. Bon, c'est la définition de Merkel-Wylondon. On peut faire pareil pour les Grasmagnanaphine que je vais définir maintenant, c'est la définition de Merkel-Wylondon. Donc, qu'est-ce que c'est que la Grasmagnanaphine ? C'est la même chose que les Grasmagnanaphine de Berlinson-Rinfeld. Donc sans le W, c'est un 1 de schéma, avec le W, c'est un schéma. Je vais mettre le W, là, par exemple. Ça, c'est un schéma sur XI. C'est formé des éléments comme ça, donc XI, puis la suite de modification, dans Echeur, I, W, I, K, plus une trivialisation de GK. Une trivialisation de GK sur X, Y, S. C'est-à-dire que la Grasmagnanaphine, c'est une suite de modification du G-torseur trivial. Et donc en particulier, je rappelle que lorsque I est un singleton, Grue I, bon là, il n'y a qu'une seule partition possible. Grue I, donc là je vais mettre sans le W. Donc ça, c'est au-dessus de... C'est un 1 de schéma au-dessus de X, dont la fibre en un point petit X et la Grasmagnanaphine usuelle, c'est-à-dire G de Fx sur G de Ox, le quotient FPQC, je crois. Et donc on peut voir Echeur, si vous voulez, comme une vibration au-dessus de bun G. On les fixe en Grasmagnanaphine. Et alors, qu'est-ce que c'est maintenant que le chant de Jtuka ? Jtuka I, I, I, K. Puis bon, ça sera pareil pour W, on va rajouter en W. Ça a classifié, donc les points c'est un... Avec W, on va dire c'est un chant, localement type fini. Non, les points seraient chez ma S classifié, bon bah toujours pareil. D'abord, les X, I et la suite de modifications G0, GK, donc ça dans Echeur, I, I1, IK, W puisque je l'ai mis là-bas, de S. Plus, un isomorphisme entre tau G0 et l'image inverse par identité de X fois Frobenius de S de GK. Non, qu'est-ce que je raconte ? Un isomorphisme, excusez-moi. Un isomorphisme entre tau G0 et GK où tau G0 désigne l'image inverse de G0 par l'identité de X fois le Frobenius de S. Oui, voilà, j'ai appelé ça partition, mais c'est une partition ordonnée, quoi. Composition, on dit. On verra ensuite que quand on considère la comologie, le résultat ne dépend pas du choix de la partition. Voilà, et en fait pourquoi on introduit ces partitions, c'est pour avoir l'émorphisme de Frobenius partiel. Je rappelle que gamma XI, c'était le graphe de X, I, en X fois S. Alors là, je vais introduire une notation qui n'est pas habituelle, mais j'ai trouvé que c'était celle qui convenait le mieux pour cet article, mais pour les épécissements des graphes, gamma somme des Nix, I. Donc c'est un diviseur de quartier effectif, puisque le parti-finition, donc, c'est le donné par l'équation produit de TI, puissance N, I, CTI. C'est localement une équation de gamma XI, voilà. Et puis gamma somme des infini XI, c'est la limite projective, vu comme chez ma formelle. Mais dans l'article, j'ai fait en sorte de l'utiliser le moins possible, mais dans l'exposéorale, comme c'est un peu plus intuitif, je vais utiliser davantage les groupes formels. Donc, G, un diviseur somme des Nix, I, c'est un schéma en groupe lisse sur XI, qui est la restriction à la veille de G, de gamma somme des Nix, I, VX, VX, I. Donc, vous voyez ça, comment dire, si les XI sont des morphices de S, VX, gamma, ça, c'est un sous schéma de XOS, mais si les XI sont les XI universels, c'est un sous schéma de XI. Le gamma, donc, donc pour ça que j'ai dit, c'est un schéma en groupe lisse sur XI, puis dès qu'on a un morphice de S dans XI, on a un schéma en groupe lisse sur S. Donc, j'utiliserai la notation dans les deux cas, je m'en excuse, sans écrire des images inverses. Et voilà, c'est ça. Et donc, en passant la limite, on a aussi le G, un diviseur somme des infinies XI, dont les sections, sur S, disons, sont les sections de G sur ce schéma formel. Et alors, de S ou de XI, ça dépend, enfin, de S, on va dire, et puis on peut prendre S et Galaxy, si on veut. J'utilise la notation dans les deux cas. Donc, on a une action, voilà. Donc, on a une action de ce groupe, G, un diviseur somme des infinies XI, sur la grâce manienne affine, grue I, I1, IK, parce que, d'après Bouville-la-Slo, ça, c'est grâce à Bouville-la-Slo, l'âme de descente, les points sur S de la grâce manienne, donc je rajoute les points sur S, sont aussi donnés par les modifications G0, GK, avec trivialisation de GK, mais où les GI sont des G torseurs, non pas sur XOS, mais sur Gamma, Somme des infinies XI, vu comme à l'intérieur de XOS. Et donc, par changement de trivialisation de GK, on obtient une action de Gsomme des infinies XI sur la grâce manienne affine. Alors, si vous voulez, dans le cas où I est un singleton, je rappelle que grue I, parenthèse I, la fibre en X, c'est G de FX sur G2OX, où OX est complété en X, et puis FX, encore de fraction, pour X, un point géométrique de la courbe. Et puis, bon, ce schéma, la G, Somme des infinies X, puisque là, il n'y en a qu'un, sa fibre en petit X, c'est G2OX. Et donc, l'action, là, c'est simplement l'action par mythification à gauche de G2OX sur le quotient G2FX sur G2OX, dont on sait que les strats sont les orbites, pardon, sont indexés par les copois dominants de G et voilà. Et donc, en particulier, dans ce cas-là, W est une représentation, I est un singleton, donc W est une représentation irréductible de G chapeau. Donc la fibre en X, bon, c'est la strade fermée, c'est-à-dire l'adhérence de la G2O orbite sur G2FX sur G2OX, je dis oralement, associé au point dominant de G qui correspond au point dominant de W. D'une question, qu'est-ce qui se passe quand tous les lexices sont les mêmes ? Justement, on ne les distingue plus. Sauf... On distingue quand même à cause du W, donc... Non mais ce schéma, là, il dépend plus de... Si tous les XI sont égaux. Donc dans le même, il y a un 10G, quoi. Voilà, s'il y a plusieurs, s'il y a deux XI égaux dans le même... Non, mais sans tous égaux, elle est ordinate. C'est oubliable, les lavarices. Qu'est-ce qui se passe ? Dans ce cas-là, donc, d'abord, je n'ai pas défini ce qui se passait dans ce cas-là puisque j'ai dit qu'il fallait une adhérence de la risque. Voilà. Mais donc, maintenant, je peux répondre à la question, quand même. Ce qui se passe dans ce cas-là, c'est dans les conséquences de Mercos-Géonem. C'est qu'on restera un W par le morphisme diagonale. Si, par exemple, il y a deux points... Elles mettons que, voilà, je prends la... Je vais répondre à la question. En fait, donc je vais répondre dans le cadre le plus général possible. C'est-à-dire que je vais prendre une application de zeta de Y dans J. Parce qu'en fait, la question a trait, justement, à coalescence des pattes. La coalescence des pattes, habituellement, tout appelait fusion. Mais c'était pas mal à avoir un mot différent, mais... Donc, une application de zeta de Y dans J arbitraire. Donc, cette application de zeta définit un morphisme diagonale Delta indice zeta de XJ dans XI. Qui a une famille X indice J pour J dans J. A ceci, la famille X zeta de Y pour Y dans Y. Et, donc, je peux considérer... Donc, je vais considérer les grâces magnénafines avec la partition grossière. Donc, je peux considérer le produit au-dessus de XI avec XJ. C'est ça, la question. Donc, la réponse, enfin, la première partie, la question, la réponse, c'est que ça, c'est exactement un gros J, J. La question, ça avec le W, parce que... La première, la question avec le W. Donc, si je mets le W, ici, j'ai W zeta. Ou W zeta, c'est une représentation de G chapeau, puissance J. Obtenu à partir de W, grâce au morphisme diagonale de G chapeau-puissance J vers G chapeau-puissance Y. Alors, W zeta n'est plus forcément irréductible, bien sûr. Mais, par définition, je dis cette notation, lorsque W n'est pas irréductible, je dis que c'est la réunion des... Mais c'est vraiment l'adherence de Zorozki. Je crois, oui. C'est, en fait, c'est caché dans l'article de Merkel Wilhelmann. Voilà. L'adherence de Zorozki par fusion, quoi, des strates, c'est ça. Bon, il suffit de le faire pour deux, hein. La ponte des multiplicités dans le visage, c'est-à-dire pour l'inquisition. Là, on prend tout réduit. Tout réduit pour les souvenirs, c'est des... C'est quoi ? C'est des supports de faisceaux éladiques. On va pas s'embêter. Tout réduit. Donc, effectivement, on s'y était non réduit, alors il y aurait des subtilités, mais... Oui, oui, non, non. Là, c'est vraiment réduit. Quand tout est... Quand tout est... Il faut revenir à la question du rac, quand tous ici sont égaux, ça permet de faire le tour, mais en changer de levée. Oui, voilà. Et alors, non seulement... Non seulement on a ça, mais surtout, ce qui est beaucoup plus remarquable dans l'isomorphisme, dans lesquels on s'attaque à géométrique. Il y a un problème. Ce qui est d'autant... Ce qui est encore plus remarquable dans lesquels on s'attaque à géométrique, c'est qu'on... On a une compatibilité des faisceaux d'intersection de ces strates à l'isomorphisme, à la coalescence des pattes. Mais ça, je l'ai déjà dit à la dernière fois, mais bon, je vais peut-être le rappeler. J'avais pas prévu de le rappeler, mais... J'ai chapeau, c'est le duale de l'anglance de G que je vois comme défini sur QL. Donc, je rappelle que... que, la dernière fois, j'avais expliqué que l'isomorphisme de s'attaquer géométrique indique qu'on a un vrai foncteur qui... a doublevé, associe un faisceau pervers j'ai somme d'infini-exie-équivariant sur la... sur la grâce manienne affine qui est supportée exactement par groi-doublevé et qui a les propriétés suivantes. D'abord, il y a évidemment un morphisme d'oubli d'oubli des modifications intermédiaires, c'est-à-dire qu'on compose Phi1, Phi2, PhiK. D'accord? Ça, c'est l'oubli des modifications intermédiaires à G0, etc. GK. On associe juste la modification de G0 vers GK par PhiK, etc. Phi1. D'accord? Donc, l'image directe de ce faisceau donc j'appelle ça, disons, Pi pour le tableau l'image directe c'est par ce morphisme qui est propre du moins sur les supports donc parce qu'il en voit aussi comme ça et l'image directe de ce faisceau c'est le même en oubliant les modifications, voilà. Donc ça, c'est justifié en GVN, il suffit de faire pour 2 pattes et c'est parce qu'il y a un morphisme c'est un morphisme petit en fait donc parce que j'ai oublié de dire que lorsque W est irréductible, ce faisceau et le faisceau d'intersection de grouille W I1 IK et le morphisme d'oubli, là, des modifications intermédiaires est petit d'après le maire que je viens d'un donc... Je ne dis pas qu'il faut petit il faut petit par rapport à une stratification etc. Oui. En tout cas, ça c'est l'énoncé du produit de fusion non mais je crois qu'il démontre effectivement dans l'article dans l'article, il démontre qu'il est petit relativement à la stratification il me semble. Donc c'est l'article de Myrkogenon de 2005-2007 je sais plus. C'est faisceau, W, etc. on est plein de propriétés en particulier non, je crois que j'avais annoncé la dernière fois mais c'est tellement important que je content de le réécrire la grasse manienne comme ça, mettons que W c'est un produit tempsoriel de Wj ou Wj c'est une représentation de G-chapo, puissance Ij donc le quotient de la grasse manienne affine par G de somme d'infini XI finalement, qu'est-ce que c'est que ce quotient ? Il va intervient beaucoup ce quotient ce quotient c'est les suites de modification comme ça avec les GI qui sont des G-torseurs sur le graphe de somme d'infini XI puisque avec la trivialisation de GK c'est un point de la grasse manienne affine mais en quotientant par ça j'enlève la trivialisation de GK tous les XI et à ça justement je peux envoyer ça vers le produit pour G égal à K des greux Ij avec la même partition Ij bien sûr Wj divisé par G, cette fois-ci somme d'infini XI pour I dans Ij qui a à ça ceci la famille des Gj moins 1 et en fait, là on les restreint effectivement à gamma somme d'infini XI pour I dans Ij en plus c'est la modification 2 puis en plus on les restreint et donc l'image inverse donc l'image inverse de ce fait de du produit extérieur pour J allant de 1 à K des S Ij Ij Wj et bien ça, tout est canoniquement tout est canonique tout est géométrique donc ça c'est I, W, I, K et puis la dernière propriété c'est la fusion c'est-à-dire pour répondre à la question de Gérard Laumont donc si on a de zeta de I dans J je rappelle que donc delta de zeta c'est le morphe diagonale de XJ dans XI je rappelle donc il induit bien sûr ce morphe diagonale induit un morphisme de XJ XI avec grue Ii vers grue Ii bien sûr l'inclusion diagonale au niveau de la base et on ne fait rien dans la fibre mais ici c'est égal à grue Jj donc j'ai annoncé la fusion avec les parties sont grossières mais bon pour nous on pourrait l'annoncer de manière plus générale mais bon de façon plus générale mais ça serait un peu lourd voilà donc l'annoncer c'est que l'annoncer fondamental c'est que l'image inverse du faisceau S, I, I W qui est là qui vit là dessus donc l'image inverse de ce faisceau par ce morphisme c'est le faisceau S, J W zeta W zeta c'est l'appontation de G chapeau puissance J tenu par le morphe par terre de W par le morphisme diagonale de G chapeau puissance J non G chapeau puissance I c'est vraiment le résultat principal de leur article disons c'est-à-dire qu'ils définissent sur la catégorie des faisceaux G2OI succulériens sur la grâce mania la fine le produit de fusion de convolution c'est à peu près la même chose ils ont l'asomorphe, l'avantage de convolution ça revient à prendre l'image direct comme là vers I1 et K vers I quand il y a confusion, ça consiste à prendre le prolongement intermédiaire les deux sont isomorphe, l'avantage de la fusion c'est que ça dépend pas de l'ordre alors que la convolution dépend de l'ordre et comme la fusion ça donne un contraint de commutativité important donc ça leur fournit une structure de catégorie tensorielle sur la catégorie des faisceaux pervers G2OI succulériens sur la grâce mania la fine en plus il y a un foncteur fibre qui est la comélogie totale il faut faire un petit peu attention à la partie impère, la comélogie il faut changer un signe dans la structure de commutativité pour que ce soit vraiment un foncteur tensoriel donc la convention je ne le redirais pas je l'apprends comme tout le monde dans les dans ces langues géométriques donc ils ont cette catégorie tensorielle les faisceaux pervers G2OI succulériens sur la grâce mania la fine avec un foncteur fibre il démontre que c'est la catégorie des représentations d'un certain groupe et il montre que ce groupe j'échappe au mais là t'as besoin mais il suffit de comprendre pour 2 et puis je ne suis pas sûr que il y a peut-être le problème de vérifier la sociétivité je ne sais pas si ça a été écrit dans les notes de Bélin Sandrinfeld de 1999 il y a des énoncés très généraux un peu dans ce style et puis il y a aussi l'article de Gates Corey qui s'appelle Hans de Jong Conjecture où il y a un énoncé de type qui balance la catégorie géométrique avec un nombre de points de pâtes arbitraires et donc ce que fait Gates Corey c'est encore plus fort, encore plus puissant que ce que j'ai énoncé là qui réussit à décrire la catégorie des faisceaux pervers sur les grâce mania la fine de Bélin Sandrinfeld qui sont équivalents par le G de Somme et Infinixi uniquement en termes de Géjapo plus puissant donc en fait on me référend à ces articles je me trouve dans un cas particulier de quelque chose qui est déjà écrit alors il y a amorphisme, oui donc il y a quelque chose qui est très important pour la suite je crois pas que j'ai dit encore c'est que l'action de G donc je rappelle que G Somme et Infinixi agit sur la grâce manienne I, I1, IK modif par changement de la trivialisation de GK mais bon, ça c'est un Anne Schema, là c'est un groupe formel c'est quand même un peu compliqué alors ici si je mets un W je le suis dans un Schema le point c'est que dès qu'il y a un W à droite cette action se factorise par celle d'un quotient fini lorsque les Annie et l'action de G Somme et Infinixi se factorisent par G Somme et Annie XI si les Annie sont assez grands en fonction de W bon ça vous comprenez bien pourquoi c'est vrai vous voyez bien que l'action de G2OX sur la G2FX sur G2OX quand on prend une orbite ça se factorisent par un quotient fini de G2OX voilà ça c'est très bien parce que ça va fournir un morphe naturel de Stuka I W I A I K donc je rappelle qu'il y avait un morphe évident de verre G Somme et Infinixi simplement à Stuka à donner des XI plus G0 etc GK isomorph à taux G0 là ce sont des G torseurs sur XOS donc à ça je rappelle qu'on associe la suite de modification G0 GK on oublie complètement l'isomorphisme entre GK et taux G0 et puis en plus on les restreint au voisinage formel des XI d'accord donc ça c'est exactement un point là-dedans mais c'est comme l'action ici de G Somme et Infinixi sur cette strade fermée par le quotient fini ici je peux mettre Somme et Infinixi et alors le point crucial c'est que ce morphisme est lisse alors peut-être qu'on aurait pu s'en sortir avec des groupes formels mais ça me dépasse donc là on a des champs d'artine les deux à gauche à droite sont des champs d'artine localement de type fini à droite il y a même de type fini et chez Stuka ils sont de type fini ils sont avec une troncateur de Vardar Naraziman un caution tant par ci donc voilà donc ça on a vraiment un morphisme lisse alors je vais donner une esquise de démonstration donc en fait je dois dire que Varshavski dans son article fondamental de 2005 je crois a montré que localement pour la topologie étale les champs de Stuka sont isomorphes à des strades fermées grâce à l'inaffine donc c'est pas canonique localement pour la topologie étale et comme pour les applications que Varshavski avait en vue à l'époque c'était pas gênant ça prouvé que les deux fessaux d'intersection étaient les mêmes mais maintenant on a vraiment besoin pour l'argument que tous les isomorphistes soient canoniques donc dans la nouvelle version de l'article donc j'utilise plus le résultat plutôt les morphismes lisses qui lui est canonique oui oui oui ça ressemble beaucoup au modèle local tout à fait à part que justement puisque tu as fait cette remarque j'ai quand même dire qu'il faut faire attention parce que là on est dans un cas de bonne réduction même pour un groupe déployé même pour un groupe non déployé on resterait avec des X, Y qui sont là où le groupe est réductif donc par contre dans cette situation de bonne réduction les modèles locaux de rapoporting qui seraient lisses mais ici c'est pas lisses parce qu'on n'est pas minus qu'une donc la singularité ne sont pas du tout liées au niveau voilà alors comment on démontre que c'est lisse comme l'énoncé local pour la topologie lisse sur l'espace d'arrivée il suffit de le démontrer donc on se donne à un schéma S un point Z dans la crasse manienne affine et pas dans le quotient d'accord et alors je veux montrer que le produit fibré avec S au dessus du membre de droite je veux montrer que le morphe de sa vers S est lisse il suffit de montrer ça pour S est pour lisse au dessus de la crasse manienne affine et pour tout point Z et alors en fait ce champ là c'est l'égalisateur de demorphisme dont le le premier est lisse et le deuxième se factorise par Frobenus donc c'est l'égalisateur d'humorisme doublé du niveau de bun G somme d'nix I il faut quand même prendre le produit par S au dessus du XI vers bun G S ça c'est un morphe c'est même un torseur sur G somme d'nix I c'est simplement l'oubli du niveau en l'nix I et puis d'humorisme la composition suivante je pars de bun G somme d'nix I S au dessus de XI donc j'applique un indice Z fois identité de S je vais expliquer ce que c'est que un indice Z c'est la modification en Z grâce à Z donc un indice Z donc ça arrive vers bun G fois S et après je vais appliquer le Frobenus de bun G fois l'identité de S j'arrive vers bun G fois S et alors qu'est-ce que c'est que un indice Z si j'ai un point de la grâce manienne à fines c'est-à-dire un moyen une modification du G torseur trivial et puis j'ai un G torseur avec une structure de niveau suffisante en l'nix I et bien je peux le modifier grâce à Z le moment que la structure de niveau est suffisante ça résulte du fait que cette action se factoriser par G somme d'nix I donc si j'ai un G torseur avec une structure de niveau suffisante en l'nix I et un point Z qui indique une modification en l'nix I je modifie ce G torseur j'obtiens un nouveau G torseur qui n'a plus structure de niveau ou la perdu donc on est en bun G donc vous voyez pourquoi c'est vrai parce que vous voyez ici pourquoi c'est légalisateur bon bah ici c'est quoi ici c'est va être GK avec une structure de niveau ici c'est GK sans structure de niveau ici c'est GK avec la structure de niveau ici c'est la modification de GK donc GK GK-1 GK-2 jusqu'à G0 et après on applique le front-menus partiel le front-menus en bun G on trouve taux G0 donc le S ne joue pas le même rôle que j'aurais pas dû appeler S ce schéma donc ils sont à taux G0 puis ils sont à GK et on demande qu'ils sont égaux donc taux G0 et GK condition d'être un schtouka voilà donc on a l'égalisateur d'un morphisme lisse et d'un autre qui se factorise par le front-menus bon bah donc l'égalisateur est lisse on peut calculer la dimension la dimension d'ailleurs c'est la dimension de ça la dimension de ce morphisme c'est la dimension de G somdnix bien sûr puisque j'ai dit que localement pour la toupoujietale le schtouka c'est pareil que l'extrait de fermé donc mais on peut le retrouver par par la démonstration donc donc je réécris ce morphisme j'aurais pas dû lever le tableau donc je réécris ce morphisme et donc je rappelle qu'ici j'ai le faisceau de Myrcovivione faisceau pervers et donc le définit l'image inverse donc ça c'est l'image inverse donc c'est un faisceau pervers toujours relativement au morphisme VXI toujours donc c'est un faisceau pervers et lorsque W est réductible c'est le faisceau d'intersection voilà c'est fonctoriel en W aussi c'est E linear en W on va dire que tous les faisceaux sont des E faisceaux donc c'est un foncteur en fait c'est même mieux que le problème quand on dit que si on définissait comme le faisceau d'intersection c'est très bien mais ça définit seulement pour W réductible pour la classe d'isomorphisme ça définit pas un foncteur si on définit pour W réductible en disant que c'est la comogie faisceau d'intersection c'est pas un vrai foncteur parce que si on tensorise W on pourrait tensoriser W c'est un fait historiel dimension 1 et alors le point c'est que les représentations réductibles d'après Mercut W l'équivalent de cette aquaye géométrique c'est la comogie totale des faisceaux de Mercut W sur la grâce mania nafine c'est le foncteur fibre qui donne l'équivalent de cette aquaye géométrique de façon canonique c'est à dire qu'en fait le faisceau d'intersection canoniquement c'est l'image de W disons en mettant que 8 soit un singleton donc le faisceau d'intersection le faisceau d'intersection c'est l'image de la présentation réductible W qui est canoniquement la comogie totale du faisceau de Mercut W sur la grâce mania nafine et c'est comme ça qu'on a un vrai foncteur canonique des représentations de gêchapo puissance I dans les faisceaux pervers sur les espaces de stuka alors je vais énoncer l'isomorphise de coalescence c'est quand même important la fusion donc stuka j W zeta c'est le produit fibré de stuka I W I xj au dessus de xi ou je rappelle qu'on a choisi une zeta et le morphisme du xj dans xi c'est le morphisme diagonale et à ce moment-là le résultat c'est que f I W que l'I pardon je vais écrire le chaque faisceau en dessous du champ où il vit fj W zeta donc là j'ai choisi la partition grossière c'est l'image inverse de la restriction si vous voulez de f I W I à la diagonale dans la base les faisceaux sont uniformément localement ainsi cliquent relativement au morphisme vers xi en plus donc c'est pour ça que les restrictions restent perverses donc ça c'est la fusion alors il y a aussi la convolution c'est-à-dire que si on oublie les modifications intermédiaires il y a I k vers I l'image directe de ce faisceau c'est celui pour la partition grossière et puis il y a encore autre chose en fait c'est que qui reservira quand même parce que je vais parler des fonds de menus partiels tout de suite c'est que vous voyez ce morphisme-là on peut aussi le définir en cassant en morceaux les modifications on voit vers le produit des grosses I g I g W g donc là j'ai supposé que W c'est le produit transorial et W g divisé par g il y a 10 sommes des Nix I pour I dans I g et donc le faisceau F I W I I k c'est donc l'image inverse du produit des faisceaux de mercredi violemme donc ça c'est important pour le morphisme de pour l'action de morphisme de fonds de menus partiels sur la comologie que je vais maintenant définir donc j'appelle P comme patin P le morphisme de je tout cas I W I I k vers X I alors j'ai quelque chose que je n'ai pas dit c'est que bien sûr quand les pattes sont dehors de N on peut définir les je tout cas avec niveau c'est donc je tout cas N I W donc cette fois ci c'est un champ sur X moins N à la puissance grandie c'est simplement qu'on trivialise le je tout cas là où il n'y a pas de patte donc c'est un G2ON torseur c'est juste un G2ON c'est un revêtement étal sur le je tout cas c'est comme les variétés de chimura c'est un revêtement étal le groupe de galois G2ON sur le je tout cas sans niveau restreint avec la puissance grandie et puis il y a aussi la troncature de Harder-Naraziman donc on tronque par rapport à mu c'est un moins un coup de poids dominant de G on tronque pour G0 donc c'est pas exactement les mêmes que celle de Laurent qui était plus globale bon la raison c'est que bon on n'a pas se préoccupé du bord ici donc sans doute pour et puis d'autre part c'est vraiment important que les morphismes d'oubli des modifications intermédiaires ne modifient pas la troncature enfin bon de toute façon les systèmes sont comparables donc là c'est une troncature vraiment sur le polygon de Harder-Naraziman de G0 et puis bon je quotient de parxi et donc ça c'est un champ de type un champ de type fini donc un champ de 2 lignes même fort de type fini alors donc voilà et puis un veilleur annu et alors la comologie l'admission c'est le R0 P inférieure annu point d'exclamation il n'y a que de la comologie à sport compact c'est pour ça que je n'indique même pas j'ai indiqué dans l'article mais je ne vais pas l'écrire au tableau toute la comologie à sport compact donc de ce faisceau restreint donc au je tout cas inférieure annu et divisé parxi voilà donc ça c'est un faisceau constructible sur x-n à la puissance i alors quelles sont les structures le plus important enfin bon tout est important mais vraiment le crucial c'est le phisme de coalescence c'est-à-dire que je rappelle que zeta de i dans j et une application delta zeta de xj dans xi c'est l'inclut morphys diagonale donc l'énoncé c'est qu'on a un isomorphisme canonique entre delta zeta étoile de ce faisceau le zéro c'est pour dire qu'on a pris le milieu mais bon je vais l'enlever au tableau d'accord dans l'article j'ai mis un zéro parce que sans zéro c'était l'objet de la catégorie dérivée mais là au tableau je vais l'enlever je considère que la comogie en degré moitié enfin degré zéro mais comme c'est la normalisation perverse relativement en xi c'est en degré moitié voilà donc en w il est réductif c'est juste la comogie d'intersection en degré moitié voilà donc voilà donc ça c'est isomorph canoniquement c'est vraiment essentiel que ce soit canoniquement sinon tout l'argument s'effondre nj et w zeta c'est w restreint j'échappe au puissant j par le morphys diagonale j'échappe au puissant j dans j'échappe au puissant xi donc ça c'est fonctoriel en w relative à la composition de zeta et alors d'autre part je vais indiquer les actions d'hémorphismes de Frobenus partiel donc si j est une partie de i frobj ah oui non j'ai oublié de dire quelque chose c'est que comme la notation l'indique puisqu'il sait qu'il n'y a plus de partition en iaika ça ne dépend pas du choix de la partition c'est l'histoire d'hémorphismes petits vous savez enfin où l'image direct vous savez df iaika quand on oublie la partition enfin on place pas la partition trivial c'est le f la partition trivial donc voilà alors maintenant comment on définit les morphys de Frobenus partiel mais là on a besoin des partitions mais de partitions judicieuses justement pour le définir alors donc j soit j une partie de i ce que j'appelle Frobenus j c'est l'hémorphisme Frobenus partiel donc de xi vers xi qui a xi une famille xi associe la famille x primi avec x primi c'est Frobenus Frobenus normal c'est relativement fq de xi si i est dans i si i est dans j et sinon c'est égal à xi voilà et alors maintenant je prétends qu'il y a un morphisme de faisceau que je vais noter fj dans l'article mais bon je le rappellerai avant d'utiliser la notation hein de Frobenus j étoile de ce faisceau constructible il y aura nu ni w vers vers lui même à part que mu est augmenté mu plus qu'à part alors pourquoi eh ben je rappelle que le morphisme de Frobenus partiel de stuka i1 ika iw vers stuka iw i2 ika i1 simplement à g0 gk isomorph à tog0 ce morphisme associe g1 etc tog0 tog1 ça fait une permutation circulaire de main en si on fait ça 4 fois on trouve le Frobenus total c'est pour ça que ça s'appelle Frobenus partiel c'est vraiment magnifique c'est vraiment magnifique et alors grâce à cette propriété là que j'avais écrite exprès vous voyez que le faisceau f machin l'image inverse de ce produit on obtient que le morphisme de Frobenus partiel bon ben l'image inverse du faisceau f ronde iw c'est le faisceau f ronde iw et donc du coup par je sais pas moi le père Jean-Lône Basse-Praub qui joue comme ça c'est très facile on obtient cette action des Frobenus partiels sur la homologie en prenant n'importe quelle partition telle que j égale i1 voilà et ça dépend pas un mot il y a aussi une action des opérateurs de véco des correspondances de véco entre champs de shukka c'est la même chose que pour les varietés chiqmura donc ça donne une action des opérateurs de véco donc pour toute function f g2a divisé par kn donc kn c'est le sous-groupe compact ouvert associé à n d'accord oui c'est le niveau donc kn c'est le noyau de g2o les adalentiers vers g2o n donc les opérateurs de véco ils sont là-dedans disons qu'ils agissent par des correspondances donc en fait ils vont, ils agissent sur ces faisceaux mais seulement a priori sur la reste sur x-t la puissance grand t où t contient n mais contient aussi les places où c'est un peu non trivial et alors ce qui se passe c'est que ça résultera la deuxième partie l'exposé c'est qu'en fait ça se prolonge avec ce moins-n tout entier que ça peut se définir bon et puis qu'on définira d'une autre manière les opérateurs de véco au place non ramifié et en plus on démontera et cherchez-moi fait une petite pause bon moi je continue alors là je vais accélérer un peu enfin je vais sauter des choses plutôt voilà et plus sage donc je vais introduire une notion d'opérateur de création d'annihilation donc c'est des créations de patte parce que les opérateurs d'excursions je vous ai rappelé que c'est des opérateurs sur la comlogie cuspidale qui sont obtenus en passe des opérateurs sur la forme automorque cuspidale qui sont obtenus en passant par la couche en créant des pattes puis en vegeant agir des groupes de galois en détruisant les pattes donc là je vais introduire les opérateurs de création d'annihilation donc c'est pas une notion première c'est une notion dérivée dérivée des isomorphises et coalescences c'est juste une notation comode en fait il n'y a rien de nouveau mathématiquement donc j'ai doublevé une représentation de Gêchapo-Puissance I qui va jouer le rôle du mort et puis par contre j'ai eu une représentation de Gêchapo-Puissance J où J est un autre ensemble et c'est celle qui va servir à créer les pattes et puis j'ai X donc ah oui je vais appeler Zeta indice J le morphisme de J vers un ensemble à un élément que je note zéro il faut bien le noter d'une façon ou d'une autre mais la lettre soit 0, 1, 2 ou ce que vous voulez n'a aucune importance non non, à un élément c'est le seul élément non non mais alors là on en sort plus donc là c'est Zeta J et alors donc X c'est un morphisme de la représentation triviale vers U Zeta J alors ça c'est façon savante de dire que U Zeta J c'est U avec la représentation diagonale de Gêchapo et donc ça ça veut juste dire que X est dans U c'est un vecteur de U qui a un variant par Gêchapo diagonal voilà tout ce que ça veut dire tout ce que ça veut dire et puis de même on se donne XI amorphise de U Zeta J vers 1 c'est à dire XI dans U étoile, une forme minère qui est invariante par l'action diagonale et alors on va définir amorphise de création c'est amorphise de faisceau de de ces espaces de comologie donc ça c'est un faisceau déjà sur X-n à la puissance I et puis je le retensorise par le faisceau constant sur X-n parce que bon les pâtes il faut bien les créer en un point donc ça c'est le point où on va créer les pâtes et donc on a ce amorphise de faisceau qui va vers le l'espace associé à I union J réunion disjointe W alors ça c'est un faisceau sur X-n puissance I union J donc c'est trop gros mais je restreins X-n à la puissance I fois delta de X-n où delta c'est le amorphise diagonale de X dans X J d'accord donc c'est juste qu'on a créé les pâtes indexées par J on les a créées tout au même point voilà donc ça c'est amorphise de faisceau sur X-n à la puissance grand i fois delta fois X-n on a créé les pâtes au même point alors comment on fait techniquement on dit que ça c'est pareil par le I union 0 W Tense 1 parce que ajouter une pâte en plus avec la représentation trivial ça c'est isomorph oui le E c'est une extension c'est le faisceau constant E c'est une extension de QL donc vous voyez là si vous voulez ça c'est l'isomorphise de coalescence associé au morphisme de I dans I union 0 peu importe c'est évident que s'il y a une pâte qui correspond à la représentation triviale elle ne joue aucun rôle parce qu'il n'y a pas de modification en la pâte mais sinon ça c'est un isomorphise de coalescence puis ça on l'envoie vers H N W Tense U Zeta J pas juste par le H2X d'accord c'est la functorialité l'isomorphise de I dans U Zeta J et puis ça c'est l'isomorphise de coalescence associé à Zeta J alors de même on a des morphises d'annihilation donc ça c'était le morphisme de création il a été noté comme ça et puis on a un morphisme d'annihilation que je note c'est un 10 XI et puis bémol 10 pour la création bémol pour l'annihilation donc il va dans l'autre sens je ne le définis pas on fait la même chose en sens inverse sauf qu'ici on va dans l'autre sens parce qu'on applique H2XI et XI va dans l'autre sens alors en fait je vais quand même le dire rapidement il y a une dualité entre ouais j'appelle Teta ils sont duos transposés l'un de l'autre en un certain sens que je vais définir maintenant donc Teta c'est l'involution de chevalet donc l'avantage de Teta c'est que W star Teta vous voyez c'est isomorph à W lorsque W est réductive mais pas canoniquement parce que l'involution de chevalet ça change alors que le Christmastre partait dans Témoinsin donc la contragrédient d'une façon inductible composée de Géchappau composée avec Teta c'est isomorph à avantage d'un type mais pas canoniquement alors il se trouve que la dualité dans le 15 de Mercos-Villennon j'ai dit une bété la dualité dans Mercos-Villennon et la dualité de verdier se traduit comme ça c'est à dire que le dual de verdier Là, j'écris pour les j'te cas, mais c'est pareil sur la crasse manénafine, ça vient de là. C'est canoniquement fn i w star theta. Vous voyez qu'en w, il est réductif, c'est l'effet sur l'intersection, donc c'est normal qu'il y ait le même à gauche à droite. Mais dit comme ça, c'est canonique et notamment, il faut qu'on toille l'en w. Compatible à la coalescence, voilà. Et donc ça donne du coup des accouplements que je vais noter B comme bilinaire, des morphes de faisceaux, de n i w inférieur à mu. Donc là, je mets star theta, tend le même faisceau sans star theta. Et ça, ça va vers le faisceau constant sur x moins n à la puissance i. Les deux, j'ai pas parfait, j'ai juste une forme bilinaire. Et c'est pas non, non, j'ai dit que c'est parfait. Et donc évidemment, création et annihilation sont transposées l'un de l'autre relativement à cette forme bilinaire. Alors maintenant, je vais énoncer le résultat qui est absolument crucial dans l'article, qui s'exprime à posteriori en disant que les opérateurs de éco au place non ramifiés sont des cas particuliers d'opérateurs d'excursion. Les opérateurs d'excursion, je rappelle que bon, pour avoir l'action du produit des groupes de galois, il va l'appliquer de l'amnodrine FELN. Et il y a des frobenus partiels qui intervenaient. C'est pour ça que dans l'énoncer que je vais donner maintenant, il n'y a pas de groupes de galois, il y a juste un frobenus partiel, mais c'est au frobenus partiel ensuite, dans les opérateurs d'excursion, il se traduit dans ce produit du groupe de galois, d'accord. Donc voilà l'énoncer maintenant, donc V est une place non ramifiée. Grand V, une représentation irréductible de G-chapo. Bon, par ailleurs, on a IW comme précédemment, qui joue essentiellement le rôle du mort. Et alors, je vais regarder, donc j'ai, ah oui, l'isomorphisme de s'attaquer, j'appelle HVV, la fonction qui lui est associée, d'accord ? Ça, c'est la fonction associée à V par l'isomorphisme de s'attaquer. Et alors, T de HVV, T comme opérateur de l'écœur, je sais pas, bon. T de HVV, donc c'est un morpheus de faisceau de HN IW inférieur à mu, restreint à X moins N union V à la puissance I vers la même chose, mais inférieur à mu plus capa, ou capa dépend de F, dépend de HVV. Donc ça, c'est l'opérateur qui est donné par la correspondance de l'écœur entre les champs de Stuka, correspondance de l'écœur par modification en V. Donc pour quitter cette correspondance, il faut que les pattes soient différentes de V. Donc ça augmente mu, puisque c'est pas étonnant, puisque cette correspondance, elle change le G0 de Stuka, donc elle augmente mu. Mais même que j'ai oublié de le dire pour les fourbunus parcels, les fourbunus parcels, ils changaient le G0, donc ils augmentaient mu. Vous voyez, on augmente mu quand on change le G0, ce qui malheureusement arrive souvent. Bon, donc ça, c'est le premier morpheus, mais puis on va définir un deuxième morpheus SVV, qui va, c'est la même chose, mais cette fois-ci restreint seulement à X-n, à la puissance I. Et donc je vais le définir, et donc comme composé d'un morpheus de création, d'un fourbunus parcels et d'un morpheus d'annihilation. Et l'énoncé, ça sera l'égalité entre les deux. Plus précisément, l'égalité entre T et HVV et la restriction de SVV au produit de la courbe moins V. Comment on définit SVV ? Eh bien, on va créer, l'idée, c'est de créer deux pattes en V, associées à la représentation grand V et grand V étoile, d'appliquer le fourbunus parcels à l'une et les détruire. Donc pour ça, j'ai besoin d'une petite notation qui vient de lignes, par exemple. Delta V, c'est le morpheus de la triviale dans V temps V étoile. Et l'évaluation de V, c'est le morpheus de V temps V étoile dans 1. Bon là, je ne précise pas l'ordre. De toute façon, j'ai dit que, bon, ce qui est important, on a le droit de permuter les pattes, mais ça utilise la contrainte de commutativité modifiée de Mercos Julio Nen, qui sert dans l'énoncé et l'angle en géométrique. Donc c'est pour ça qu'ici, je peux me permettre de ne pas préciser l'ordre. Donc, comment on crée ces pattes ? Je vais l'écrire, quand même. Alors, on compare de N, I, W, inférieur à mu. Donc, produit extérieur avec EV. Donc, si V est degré 1, ça ne change rien. Sinon, il faudra rajouter quelque chose après, parce que je suis quand même obligé de créer des pattes en V, donc je suis quand même obligé de partir au-dessus de V. Donc ensuite, je crée les pattes en V. Donc c'est l'opérateur de création associé à Delta V. Donc j'arrive dans N, I, union de pattes. Bon, les pattes, je les appelle 1 et 2. W extérieur, V extérieur, V étoile. Mais je restreins à X moins N à la puissance I. Et ici, non seulement je restreins à la diagonale, mais je restreins même à V. Je restreins à Delta de V, donc. C'est-à-dire que les pattes, je les crée dans seulement au même point, mais je les crée en plus en V. Et égale. Ce qui est plus fort que V fois V. Delta de V, c'est à l'intérieur de V fois V. Si V est degré plus grand que 1. Vas-y, stricte au moins inclus. Donc voilà. Ensuite, j'applique le frobenus partiel. En 1, en la patte 1, à la puissance de gris de V. Parce que sinon le frobenus partiel, il ne préserverait pas le point Delta de V. Il faut que je revienne en Delta de V. Donc le frobenus partiel a la première patte à la puissance de gris de V. C'est la même chose. Je ne sais pas pourquoi j'ai récris. Et puis j'applique le morphisme d'annihilation. Et j'arrive dans l'espace de départ. Alors, oui. Ici, c'était inférieur à mu. Et ensuite, avec le frobenus partiel, c'est inférieur à mu plus k. Mu plus k pas. Et puis après, donc l'annihilation, donc encore inférieur à mu plus k pas. Et cette fois-ci, seulement ni w. Et produit extérieur avec ev. Alors, la question, c'est comment on fait pour se débarrasser de ce ev ? En fait, il y a une écurrence de catégorie entre les faisceaux là-dessus qui sont équivariants par le frobenus partiel en V et puis les faisceaux sur le truc de gauche. Il y a une équivalence, pardon. Je voulais dire, sur les faisceaux là-dessus. X moins n puissance i fois V. Il vaut mieux que je l'écrive. Il y a une équivalence entre les faisceaux sur X moins n puissance i fois V équivariant par le frobenus partiel en V et puis faisceaux sur X moins n puissance i. Et donc, ce qu'il faut vérifier, cette composition commute au frobenus partiel en V. C'est clair que le frobenus partiel en V correspond ici au frobenus partiel en 1,2. Il n'est pas en grandit. Le frobenus partiel correspondant à la partie 1,2. Et ce produit partiel correspondant à la partie 1,2, donc f, indice, 1,2, quoi. Il commute à f1. Donc en particulier à f1 puissance de gré de V. Donc, vous voyez, ici, j'ai le frobenus partiel par rapport à V. Je sais pas comment l'écrir. f1, indice V, c'est pas terrible. Ici, j'ai f1, 2. Ici, j'ai encore f1, 2. Et puis, en bas, j'ai fV. Donc, c'est entrelacé par les différents morphismes. Donc, finalement, la composée est commute à f1 puissance partiel en V. Et elle se descend donc en ce morphisme que j'avais écrit là. Donc, les non-C dont je vais maintenant esquisser la démonstration, c'est l'égalité entre... Je vais l'écrire. Là, je l'écris là. Donc, proposition, égalité entre T de HVV et la restriction de SVV à la x-z union V puissance grandie, en dehors de V. Donc, le SVV, il prolonge l'opérateur de V ce qui, dans le cas de la comgile de variété de Chimura est connu. Dans certains cas, ça sert pour une oncèche sur Chimura. De toute façon, il y a quelque chose comme ça dans Chai Faltings. Aussi, je n'étais éthilouin dans un article. Puis, dans des cas plus simples, c'était fait bien avant, bien sûr. Pour l'abord, en général, on commence par le lieu ordinaire. Oui. Alors, qu'est-ce qui est... Je ne sais pas. C'est comme ça. Là, c'est complètement différent. Oui, c'est complètement différent. Oui. Et... Et en plus, donc, l'énoncée de la Cherche Chimura, pour l'énoncer, on a besoin d'un SVV. Mais en fait, ce qui se passe est que, grâce à la définition d'un SVV, l'énoncée de la Cherche Chimura, c'est essentiellement la démonstration de la mutate calais. C'est pas plus dur. Alors, je vais commencer par esquisser la preuve de la proposition dans un cas simple ou tout élice. Donc, en fait, lorsque V minuscule est degré de V égalin, j'ai vu un petit truc à corriger dans l'introduction de mon article. Parce que, en fait, j'avais voulu ruser en mettant en plus W minuscule pour que tout soit vraiment lisse, ce qui n'est pas vraiment nécessaire. Mais j'ai oublié de rajouter la partition de grandit en singleton. Mais, en fait, la bonne approche, ce que je vais rédiger, j'ai un peu changé l'introduction, ce que je vais vous expliquer, c'est que, bon, on va réaliser SVV comme une composée de trois correspondants scomologiques. Correspondants, création, fromus parcé à l'annihilation. Donc, il s'agit de composer ces trois correspondants scomologiques du champ de Jtukka vers lui-même. Et ces correspondants scomologiques, elles vont d'un faisceau d'intersection vers le faisceau d'intersection. Et en plus, on va montrer qu'elles sont supportées par le graphe de la correspondance de VQ. Ça, c'est un calcul de support de ces trois. La composée des trois correspondants scomologiques qui définit SVV, on va montrer qu'en fait, la composée des trois est supportée par le graphe de la correspondance de VQ. Ça, c'est un calcul que je vais expliquer. Et du coup, comme c'est étal sur les champs de Jtukka et qu'on a une correspondance du faisceau d'intersection vers lui-même, il suffit, donc c'est le produit par une fonction localement constante. Et il suffit de déterminer cette fonction localement constante sur le lieu lisse du champ de Jtukka. Donc, c'est pour ça que l'hypothèse que W est minuscule n'est pas nécessaire. Voilà. Bon, je rappelle qu'une représentation minuscule c'est une représentation telle que il n'y a qu'une seule orbite de poids. Tous les poids sont conjugés au poids dominant et ça implique que la strade correspondante dans la grasse moyenne affine est lisse, donc tout est fermé en fait. Alors, l'orbite correspondante dans la grasse moyenne affine est fermée, donc la strade fermée est lisse, monsieur, parce que c'est l'orbite. Et donc, tous les champs de Jtukka sont lisses, dans le cas minuscule. Oui, alors, pour GLR, ça suffit. Voilà. Pour les autres groupes, non. C'est un peu, de toute façon, c'est juste pour commencer la démonstration. Après, je suis bien conscience que ce n'est pas suffisant. Mais c'est quand même un cas agréable, parce qu'on a juste à intersecter il y a les lampes d'A.I. Il y a les lampes d'A.I. Ça suffit pour tout engendrer. Après, pour d'autres groupes, non. Voilà. Donc, non, mais c'est pas ça le but. Le but, c'est pas de se ramener au cas minuscule, c'est une idée. Voilà. Donc, j'appelle Z.I. Excusez-moi pour cette nouvelle notation, mais elle est quand même moins encombrante que celle qui va suivre. C'est la restriction de, sur tout cas, I.W.I. à la courbe X moins puissance grandie. D'accord. Et donc, le lieu lisse, je vais l'appeler Z.I.0, là-dedans, d'accord. Ça, ça dépend que des modifications la partie lisse. Ça se détecte seulement sur les modifications en I. Donc, toutes les correspondances que je regarderais, les correspondances de VECA, etc., ça préservera le lieu lisse. Donc, le lieu lisse, ça sera le même pour tout le monde, en quelque sorte. Donc, ça, c'est le premier champ. Et puis, il va y avoir un deuxième champ que je vais appeler Z.I.1.2, quoi. C'est les jetoukas avec qui interviennent dans la construction intermédiaire. Vous voyez, là, un SVV, bon, ben, au milieu, je suis obligé et donc, je restreins à la même chose X-N union V à la puissance grandie, fois delta de V, ou delta, c'est la diagonale. Et puis, je vais introduire un autre dont j'ai besoin, c'est Z. Donc, oui. Donc, ce champ, c'est aussi, vous voyez, l'ordre entre 1, 2 et I n'importe pas. Parce que les pattes I ne sont pas en V, et les pattes 1, 2 sont en V. Donc, la seule chose qui importe, c'est l'ordre des pattes 1 et 2. Alors, et j'vais, et d'autre part, j'vais introduire un champ qui est Z, disons, I, 2, 1. Donc, c'est la même chose, mais cette phase, sinon, c'est pas le même champ, c'est la même définition, mais avec la partition I, 2, 1, mais, comme j'ai déjà dit, il n'y a que l'ordre de 1 et 2 qui intervient, qui importe. Donc, il y a deux champs, Z, I, 1, I, 2, 1, 2, I, et puis Z, I, 2, disons. C'est un peu plus comode d'écrire comme ça, avec I à droite, en premier cas, à gauche, dans le deuxième cas, mais ça ne change pas les espaces. Et alors, on va réaliser SVV comme la composée de trois correspondances cosmologiques, avec ici Z, I, ici Z, I, ici Z, I, 2, I, et ici Z, 1, 2, I, puis ici Z, I, 2, 1, voilà. Donc, ici, c'est le frobenus partiel. Donc, je rappelle que je suis dans le cas où degré de V est égal à 1, donc, il n'y a pas de faire de produits par V, et puis le frobenus partiel, il n'y a pas besoin de le mettre à la puissance degré de V. Donc, qu'est-ce que c'est que les diagrammes classifiés par Z, I, 2, 1, c'est des correspondances comme ça, où je... Donc, avec G0, G1, G2 et puis taux G0, comme d'habitude. Alors, pourquoi j'ai fait cette pointe au lieu de tout écrire en ligne? Donc, les modifications sont la patte 1, la patte 2 et puis les pattes I. D'accord? Donc, ça, c'est les stucas que classifie Z, I, I, 2 avec les pattes 1 et 2 qui sont en V et puis les pattes dans I qui sont en beurre de V. Et alors, pourquoi est-ce que j'ai introduit cette notation bizarre? C'est que, à l'intérieur de Z, I, 1, 2, je vais introduire un champ que je vais appeler YB parce qu'il va réaliser le morphe d'annihilation qui va s'en... un sous champ qui va s'envoyer vers Z tel que la correspondance ici va être le morphe d'annihilation. Il classifie les... le YB, il classifie les... Je trouve qu'à comme ça, tel que ici, ce soit un isomorphisme. C'est-à-dire que les pattes 1 et 2 font des travaux opposés de ce qu'on pense. Les modifications 1 et 2 se compensent. Donc c'est une condition fermée. Et puis évidemment, il y a un morphe de YB vers les Z, I en contractant, là, vous voyez. Donc ça envoie ça sur G0 tout G0. Voilà. Donc cette correspondance, en fait, réalise exactement le morphe de création, vous voyez. Morphe de création, il va de la comologie de Z, I, non, d'annihilation, pardon. Morphe d'annihilation vers la comogine de Z, 1, 2, I vers la comogine de Z, I, et il est réalisé par cette correspondance. Ça résule de Mercosvenon. Dans le cas minuscule, c'est vrai. C'est vrai. C'est même pas une correspondance comologique. C'est une vraie correspondance puisque là, c'est lisse. Au moins, si on se restreint au-dessus du lieu lisse de Z, I, brumez. Et en général, c'est une correspondance comologique. Donc l'argument que je vais donner ici, il va justifier la proposition dans le cas où le lieu est dans le cas minuscule. Et dans le cas général, il va justifier le support la composé, qui est déjà une étape importante. Donc ça, c'est la première correspondance, donc morphe de création. Alors par exemple, je vais quand même donner un exemple, c'est tout cas de Laurent. Ici, I, c'est l'ensemble vide. Donc là, c'est juste des formes automorphes. D'accord? Donc là, le champ, le champ discret, des fibrés, quoi. Fibrés sur la courbe. Et ici, c'est les jetoukas avec deux pattes considérées par Laurent. Et qu'est-ce que c'est que ce YB qui donne les jetoukas comme ça? E égaleuronde. E prime. Et puis E seconde qui égale à E. Égale à tout E qui égale à E. Vous voyez, E, et là, c'est E. Et en haut, tous les jetoukas E seconde égale tout E. Donc vous voyez, les cycles là, c'est dimension moitié. C'est la condition E égaleuronde, quoi. Donc les deux modifications se compensent. Et du coup, c'est des PR moins 1, tout simplement, pour GALR, c'est des PR moins 1 au-dessus de points. Donc ces cycles, c'est des PR moins 1. Vous voyez, dans l'espace des jetoukas qui est dimension 2R moins 2, des PR moins 1, qui donne la correspondance depuis ce champ discret vers les champs de jetoukas considérés par Laurent. Voilà. Donc ça, si on apprend le fourmenus partiel, bon bah là, j'ai déjà dit plusieurs fois parce que c'était que le fourmenus partiel, mais j'ai quand même l'écrit. J'ai quand même l'écrit en ce cas-là. Vous voyez, ça envoie le fourmenus partiel, on voit ce diagramme vers celui-là, en fait, avec G1, G2, taux G0 et taux G1. Et en fait, ici, j'aurais pu compléter, c'est pareil, puisque I commute à 2. Donc ici, je peux compléter aussi. Donc ce diagramme, je peux aussi faire comme ça avec ici, un nouveau, je sais pas, moi, j'ai prime. D'accord ? Les deux modifications commutent. Et donc, ici, j'arrive, fourmenus partiel, j'arrive dans Z1, 2 qui classifie donc des jetoukas. Là, je vais utiliser les jetoukas I, 2, 1. Et ça, ça contient Y 10. Y 10 est donnée par la condition ici isomorphisme. Et Y 10 s'envoie vers Zd par contraction de modifications. Donc, vous voyez, on garde seulement ce point-là et ce point-là avec le... D'accord ? Et alors maintenant, qu'est-ce que c'est que la composition de ces trois correspondances ? Eh bien, on regarde d'abord un diagramme comme ça avec ici, un isomorphisme. Donc je vais quand même écrire les points. J'ai 1, j'ai 0, j'ai 1, j'ai 2, j'ai 3, qui est donc taux, j'ai 0, puis taux, j'ai 1. Voilà. Et puis ici, je complète pour le faire un parellogramme, si vous voulez, avec un point que je peux appeler j'ai 1 prime, je sais pas, j'ai 2 prime. Voilà. Donc, donc, sans mettre d'isomorphisme-là, ça, c'est juste un point général de Zd1, 2. Ensuite, je mets l'isomorphisme. Ici, ça veut dire que ce point est dans Yb. Et ensuite, je veux que son image là-dedans soit dans Yd pour composer les correspondances. Donc je veux qu'ici aussi, il y a l'isomorphisme. Eh bien, vous voyez, on contracte tout, on obtient juste un parellogramme, j'ai 0, taux, j'ai 0, j'ai 1, taux, j'ai 1. Ici, une modification en V, c'est la correspondance de l'écœur. Et horizontalement, c'est les fourruines ? Et horizontalement, c'est les champs de Ch'touka. C'est-à-dire que ça, ça, c'est le Ch'touka. C'est un point de Ch'touka pour I, quoi, de Zd, du champ Zd, des Ch'touka avec les pattes dans I. Ça, c'est un point du même champ. Et puis, le parellogramme, c'est une modification de l'écœur en V d'un point vers l'autre. Voilà. Alors, ils savent que en fait, c'est commode de composer les deux correspondants. Donc, ici, en fait, il y a une correspondance entre ça et ça. Si on compose correspondance pour le fourmenu sparsiel, donc la correspondance pour le fourmenu sparsiel, c'est une correspondance qui va dans l'autre sens. C'est une correspondance image-inverse. Donc, en fait, vous voyez les correspondances au niveau des faisceaux, ça va de là vers là vers là vers là. Et donc, c'est commode, en fait, de composer les deux d'introduire que j'appelle y2 là. Et tout à l'heure, le ybmol, il sera aussi appelé y1. Donc, ce qu'on a fait, c'est juste d'intersecter y1, y2. Y2, c'est l'image inverse de y10 par le fourmenu sparsiel. Le fait que sous ces correspondances agissent sur cette homologie du complexe d'intersection, c'est pas totalement évident, en priori. Alors justement, là, c'était le calis que j'ai expliqué. Donc, là, c'est plus clair que le y1, y2 sont transverses. Et il n'empêche que la projection n'est pas propre. Il faut faire quand même attention. La projection. Non, mais la comologie, le H, c'est de la comogie à support compact. Oui. Donc justement, je vais rappeler ce que c'est une correspondance. Oui, oui, mais je vais rappeler la notion de correspondance comologique. Je vais rappeler la notion de correspondance comologique. Correspondance comologique. D'abord, une correspondance entre deux champs à un à deux. C'est un diagramme comme ça. Donc, supposons maintenant qu'on est f1, f2, les objets, la catégorie délivée bornée pour a1 et a2. Une correspondance comologique, c'est la donnée d'une flèche de a1 étoile en haut de f1 vers a2 point d'exclamation en haut de f2. Ou de manière équivalente par adjonction de a2. Donc, d'un à deux point d'exclamation en bas à un étoile en haut de f1 vers f2. Alors, l'énoncé, c'est que si a1 est propre et supposons qu'il y ait des morphismes p1 et p2 vers une base S avec des hypothèses quand même pour rester dans la catégorie délivée bornée, ce sera le cas pour nous. Alors, si a1 est propre, une telle correspondance comologique envoie la comologie r p1 p1 je n'ai pas mis de verre p1 point d'exclamation en bas de f1 vers p2 point d'exclamation en bas de f2. On peut composer les correspondances comologiques et ces actions sont compatibles à la composition. Donc, voyez, c'est pas compliqué. Pourquoi il faut que l'hypothèse de a1 soit propre? C'est évident parce que, en gros, ce qu'on fait, c'est une image inverse et puis une image directe. Et pour que l'image inverse conserve la propreté, il faut que l'a1 soit propre. Voilà. C'est quand même compliqué. Donc là, tous les morphismes, ils seront propres. C'est compliqué. C'est pas compliqué. Il y a le risque de la nation réalisée de l'hypothèse. Donc, maintenant, je vais expliquer, dans le cadre général, comment est définie cette correspondance supportée par Yreg Bémol? Donc, la correspondance qui réalise l'opérateur d'annihilation. Correspondance comologique. Bon, l'idée, c'est simplement qu'on va la réaliser au niveau que tous ces faisceaux, ils sont des images inverses à des faisceaux de Merkel-Wilondane et qu'on la réalise au niveau de Merkel-Wilondane et là, c'est encore grâce à la machine. De toute façon, tout est déjà fait par Merkel-Wilondane. Je vais l'appliquer. Alors, d'où ça vient, d'où vient ce techniquement? Donc, sur Z, I1-2, là-haut, j'ai le faisceau habituel et F1-2 pour être cohérent. Et sur Z, I, j'ai le faisceau F, I. Donc, la correspondance comologique supportée par Y. Bémol va aller du 1er vers le 2e. Et donc, elle va être définie de la manière suivante. Eh bien, Z, I, 2, 1, ça s'envoie vers un quotient de Grassmann et Lafine par les groupes habituels, les groupes lisses, là. Et les pattes I-2 et la patte I, je vous déroulent complètement indépendants. Donc, ça s'envoie, il y a par amorphisme lisse. Donc, vers la Grassmann et Lafine 1-2, lorsque je vais noter grue 1-2, bon, non, je vais noter vraiment grue 1-2 avec, pour la partition, 1-2, vous voyez, pour V times V étoiles et je restreins un delta de V. Et je divise ça par GNV. D'accord ? Donc ça, c'est ce qu'on obtient par la, regardant la modification en V pour les pattes 1 et 2. Et puis, par ailleurs, il y a la même chose en I, donc je vais noter K par hantès I. Dans mon article, j'ai mis un K gothique, mais je ne sais pas écrire au tableau. Donc, le K gothique, c'est pareil, c'est le caution de la Grassmannienne I-W, partition grossière divisé par G, sommes des Nixi. Voilà. Donc ce morphisme est lisse. Et les effets sauts qui m'intéressent, là, ce sont les images inverses des effets sauts de M.W. De même, Zi s'envoie, il envoie seulement vers KI. Donc, ce que je vais expliquer, c'est qu'il y a une correspondance homologique de gross 1-2, pour la, donc la partition en haut, 1 puis 2, c'est pareil. V, toi, la restreinte delta de V avec le faisceau de M.W. que je veux, que je vais appeler faisceau d'intersection, ici, parce que je vais l'appeler S. Je vais quand même l'appeler S, comme ça. Donc, j'ai qu'il y a une correspondance homologique de ça vers V.E.V. Ça, c'est une correspondance au niveau du champ tout entier, en fait, à la fin. Non, mais là, oui, mais à la fin, c'est des oeuvres, donc ça... Ah oui, après, je restreins par mu. Oui, oui, mais sûr. Ça, ça va pas changer. Non, non, non. La correspondance au niveau du champ tout entier, puis après, on restreint par aux troncatures de la norme Araziman. En gardant une proproté quelque part. Oui. Une déflage doit être. Tout de façon, les... Avec le mu, il faut faire quand même attention, une déflage doit rester propre. Oui. Oui, oui. Mais bon, le... Le seul moment où il y a un changement de mu, c'est dans le front-menus partiel. Donc, bon, ça a... C'était caché dans le... Comment dire, j'ai pas justifié le fait que le front-menus partiel agissait sur la commogéa sport propre. Bon, c'était caché là-dedans, quoi. C'est seul problème. Sinon, le mu reste le même dans les créations annihilations. Parce qu'on change pas le G0. On change seulement les modifications intermédiaires. C'est seulement le front-menus partiel, mais bon, là, c'est pas un problème. Effectivement, on utilise que le front-menus partiel envoie mu dans mu plus qu'a et son inverse aussi, en fait. Alors, c'est peut-être l'inverse, en fait, qu'on utilise, en fait. C'est ça, oui. L'inverse aussi envoie le stucca inférieure à mu dans stucca inférieure à mu plus qu'a pas. L'inverse aussi. Puisque, de toute façon, bon, la composée, c'est le front-menus total. L'image inverse de stucca inférieure à mu par front-menus partiel c'est stucca inférieure à mu plus qu'a pas. Voilà. Donc, il faut définir cette correspondance comologique. Ici, j'ai oublié de mettre V et ici, E-V. Parce que maintenant que je suis dans le cadre général ou le degré de V n'est plus forcément un galin, il faut rajouter V, là, partout, en bas. Voilà. Précis. Donc, comment elle est définie cette correspondance comologique ? Bon, bah, d'abord, elle est supportée par un... ce que je vais appeler encore Y bémol. Dans mon article, c'est un Y gothique bémol, mais je sais pas l'écrire. Qui, évidemment, la condition que les deux modifications se compensent. Et ensuite, comment elle est obtenue cette correspondance comologique ? Bah, en fait, on écrit juste un carré cartésien. Ça, ça s'envoie vers gros 1, 2. Mais en haut aussi, je mets 1, 2. Je sépare pas les deux. Donc, c'est la V-tense V-étoile, à être un delta de V. Donc, c'est à dire, il n'y a plus qu'une seule modification. D'accord ? Et ici, j'ai V-E-V. Et ici, j'ai le même faisceau de mercredi vélodome pour cette partition. Et là, comme j'y restreins la diagonale par l'isomorphisme de coalescence, ce truc-là, c'est pareil qu'une seule grasse manienne pour, disons, une patte que je vais appeler zéro, disons, V-tense V-étoile, la restriction du produit extérieur à la diagonale avec le faisceau de mercredi vélodome pour V-tense V-étoile. Des V-tenses V-étoiles, ils contiennent la triviale. Donc, ça, c'est une somme des règles de faisceaux, ou plus, ou moins deux. Donc, ils contiennent en particulier la triviale. Et donc, le faisceau content la triviale, il est supporté par le point V là-dedans, parce qu'en fait, V s'inclut là-dedans. Et en plus, le faisceau supporté en ce point s'inclut là-dedans. Donc, ça, ça donne la correspondance comme il y a un carré cartésien avec cette fois-ci yb. C'est-à-dire, yb, c'est l'image inverse du point V inclut là-dedans, dans ici. Donc, c'est ça qui donne la correspondance comologique. Je ne peux pas écrire les détails au tableau, mais... voilà. Et de là, c'est bien cette correspondance comologique. Yb, donc Yd, c'est pareil. La correspondance comologique ça, c'est plus un complexe d'intersection. Une fois que... C'est un faisceau pervers qui est une somme directe qui contient en particulier le... Pour avoir une correspondance comologique, quand on a des faisceaux pervers, il faut faire attention. Pour des flèches, ce n'est pas automatique. C'est-à-dire, ici, il y a une correspondance comologique. Et, d'accord, puisque le faisceau EV est supporté en V et prolongé par zéro, un facteur direct, canoniquement, de celui-là. Et ensuite, par le théorème de changement de base propre, par adjonction, quoi, plutôt. Non, pas un théorème de changement, par adjonction, on en déduit la correspondance ici. Parce qu'en fait, qu'est-ce que c'est qu'une correspondance comologique entre ça et ça? Ça veut dire que le faisceau, là, on le restreint à Yb, et on le pousse. Et on l'envoie dans le... dans EV. Alors, par le théorème de changement de base propre, restreindre à Yb et pousser, c'est pareil que pousser et restreindre à V. Et là, on sait que, quand on pousse, on obtient ce faisceau qui contient, avec V, en zétoile, quand il y a un trivial. Et donc, en restreignant à V, on obtient canoniquement EV. Plus autre chose, mais... Non? C'est bon, là, ou... Bah, c'est-à-dire que le diagramme est cartésien, puisque Yb c'est l'image inverse de V, comme le diagramme est cartésien. Donc, pousser, pardon, prendre l'image inverse à restriction, puis pousser à support propre, c'est pareil que pousser de gauche à droite puis prendre restreindre à V. Voilà. C'est bon. Donc, voyez, le problème, donc maintenant, qu'on a défini ces 3 correspondances, euh... Ah oui, il faut quand même que je dise que c'est que la correspondance associée au Frobenius partiel. C'est, en fait, elle va dans l'autre sens. Donc, elle va de z i de 1 avec le faisceau f i de 1. Donc, c'est une correspondance de ça vers z 1 de i, que le faisceau f 1 de i. Et c'est une correspondance donc qui est supportée par z i de 1, flèche z 1 de i. Et là, c'est la flèche identité vers z 1 de i. Parce que, on sait que... Et ici, c'est le Frobenius partiel. Parce qu'on sait que l'image inverse du faisceau f ronde par le Frobenius partiel s'envoie dans le faisceau f ronde. Donc, ça donne cette correspondance. Donc, c'est une correspondance d'image inverse. Voilà. Donc, finalement, on a cette correspondance d'IS, puis Frobenius partiel, puis B-mol. Il s'agit donc la composée des 3 est supportée par le grave de la correspondance de Wecke. Il s'agit de montrer que c'est la correspondance de Wecke, et qu'il y a une fonction localement constante qu'il faut calculer. Et alors là, malheureusement, la démonstration que j'ai donnée dans mon article... Ah oui. Oui. La démonstration qui est donnée dans mon article est assez compliquée. Parce que l'idée, c'est que, premièrement, c'est local. C'est un problème local. Vous voyez, tout ce qui se passe en dehors de V ne joue aucun rôle. Donc, techniquement, on l'écrit avec des... Stoukal restreint. C'est un analog de barcetail tronqué, si vous voulez. J'aurais aimé le faire avec des Stoukal locaux, mais je ne savais pas comment manipuler ces espaces d'immensions infinies avec des groupes d'automorphisme infinies. Donc, j'écris avec des Stoukal restreint. Un analog barcetail tronqué. Il y a des morphismes des Stoukal globaux et des Stoukal restreint qui sont lisses. Et ces correspondances, cette composée qui donne SVV, on peut l'exprimer au niveau des Stoukal restreint. Donc, on peut la calculer au niveau des Stoukal restreint. Et ensuite, grâce à ces morphismes lisses, les Stoukal globaux et les Stoukal restreint. Donc, ça prouve que l'énoncé de la proposition est de nature locale. Et il suffit de la démontrer pour I, ensemble vide, et W, égalin. Donc, quand on part des formes automorphes. Et ensuite, quand on part des formes automorphes, l'idée, c'est que le champ des Stoukal il est inclus dans le champ de équeux fois les champs de équeux. Simplement, un Stoukal on peut l'écrire comme ça. Donc, il n'y a plus que les pâtes 1 et 2. Il n'y a plus de pâtaille. Il n'y a plus de grandit et vide. En tout cas, on peut l'écrire comme ça. Ça, égale tout où j'ai pris. Puis, un peu comme mon frère. Donc, j'ai 2. Égale tout, j'ai 1. Vous voyez. Donc, par rapport à équeux fois équeux, il y a 2 équations. Ça et ça. Parce que, vous voyez, ça, c'est un élément de équeux. Ça, c'est un élément de équeux. Chant de équeux. Et puis, il y a 2 équations. C'est des équations lisses, si je puis dire. Enfin, c'est-à-dire que, quand on impose ces équations, par rapport à... quand on ne les impose pas, la différence, c'est le produit par quelque chose de lisse localement. Ce qui fait que la composition des correspondances, on peut la calculer sans imposer ces équations. Donc, on se ramène à calculer une composition de correspondance dans équeux fois équeux. Et là, il se trouve que ça donne la composé. Donc, H, il y a une... entre le point, disons, le point, c'est V, on a dit, équeux fois équeux, muni du faisceau, disons, que je vais appeler grand F, produit extérieur des duales de verdiers de F, pour être bien canonique. Donc là, on a une correspondance que je vais appeler correspondance de création qui est supportée par la diagonale. C'est simplement le... enfin, c'est très facile à définir, d'accord, par définition du duale de verdiers. Et puis, après, ici, sur le champ vers lui-même, on a le Frobenius partiel, correspondance Frobenius partiel, qui consiste juste à faire agir le Frobenius sur F et puis rien sur DF. Et puis après, on a la correspondance CbMol, qui va vers le point, qui est aussi supportée par la diagonale. Là, par exemple, celle-là, c'est vraiment le fait que F tends DF sans voie vers le faisceau canonique. Parce que, vous voyez, quand on écrit la correspondance sur la diagonale, la restriction de F extérieure DF à du manage de F tends DF, il faut l'envoyer vers l'image avec inverse exceptionnelle du faisceau constant dans le faisceau canonique. Et donc, il est bien connu que la composée de ces 3 correspondances est supportée par les points sur FQ de F et elle est donnée par produit par une fonction qui est la trace de Frobenius sur le faisceau grand F. C'est l'énoncé local sous-jacent à la trace, c'est-à-dire les traces de Groténik Lefsched. Donc, cette démonstration est assez compliquée, mais l'avantage de se ramener à une oncète bien connue qui est Groténik Lefsched. Alors, il y aurait eu des alternatives à cette démonstration qui aurait été, disait, dénoncée plus avant. Parce qu'en fait, il s'avère que, comme j'avais déjà dit, les champs de Stuka, ils s'en isomorphent localement pour la topologie étale des strates fermées de Grasmanienne à fines. Donc, je vais dire qu'il y a la strate fermée pour la batte 1, la strate fermée pour la batte 2, la strate fermée pour la batte i. Donc, l'idée, c'est que le z, i, en bas, là, vous voyez, je vais réécrire le diagramme, mais c'est en gros, c'est la strate fermée, ce que je vais appeler grueux, disons, strate fermée pour la batte i. En haut, grueux, grueux, grueux, pour la topologie étale. Et ici, pareil, grueux, grueux, grueux, grueux. Et ici, j'ai grueux. Et puis, les correspondances entre les deux, c'est le frobenus partiel qui, essentiellement, c'est le frobenus sur grueux 1 et puis identité sur les autres. Et puis, la correspondance entre les deux, bon, essentiellement, ça, ça se comporte comme grueux, grueux, et l'autre, comme grueux, il faut à grueux. Il faut faire, techniquement, ça va plus compliqué parce qu'il y a deux façons d'envoyer, faire grueux qui correspondent à ces deux, ces deux-là. Donc, bon, il y a deux copies de grueux et je ne vais pas entrer dans les détails, j'ai expliqué dans l'article en souvent, on ne remarque à la fin du paragraph qu'on s'est créé la démonstration. Et alors, vous voyez que c'est... Donc, ça, c'est le frobenus partiel, on peut prendre voir ça comme une correspondance. En fait, composer ces deux correspondances, donc ici, c'est ce que j'avais appelé Y2, là, ce que j'avais appelé Y1, qui était aussi Yb, et puis Y2, c'est le support de la composé des deux correspondances, création et frobenus partiel. Donc, vous voyez que Y2, c'est comme grueux, il faut à grueux, Y1, c'est comme grueux, il faut à grueux, on intersecte dans le grueux, il faut à grueux, il faut à grueux, c'est transversé dans un certain sens. Même si les champs sont plus lisses, on peut dire en un certain sens puisque, vous voyez, on intersecte gros 2 fois grueux et gros 1 fois grueux dans gros 2 fois grueux et 1 fois grueux. Ce qui veut dire que l'intersection, c'est comme grueux, ce qu'on savait déjà, puisque c'est la correspondance de véco qu'on obtient, qui étale sur ZD. Donc, localement, ils ont morphe, ou j'étale à grueux. Et bon, après, peut-être, il y a des méthodes, des choses que je ne connais pas dans la littérature qui permet de calculer cette composition, parce que l'idée, c'est comme ces transverses, cette fonction localement constante qui donne la composition, elle se calcule vraiment sur les faisceaux. Donc, il y a l'article de Warschewski, sur la preuve de conjecteurs de deux lignes, où il étudie des points fixes de correspondance contractante en montrant que, quand on intersecte, donc, la diagonale, en fait, avec le graphe, quand on prend les points fixes, cette correspondance, mais c'est aussi une intersection, ça se calcule sur les fibres des faisceaux. Parce que la diagonale est transverses, à la fois. Oui, c'est ça. Voilà. Mais ici, c'est transverses. Donc, c'est pas du tout un argument à la conjecture de deux lignes. On sait que c'est transverses, en un certain sens. Donc, la composée, toi, se calculer simplement sur les fibres des faisceaux. Mais comme j'avais pas de référence pour ça, bon... Si quelqu'un a une idée de référence, je serai content, c'est-à-dire que ça serait une preuve géométrique de la proposition ? Bah, une autre manière de la démontrer, oui. Non, mais parce que donc, la proposition, c'est un énoncé homologique. De toute façon, non. De toute façon, l'énoncé... Il y aura un énoncé géométrique. Non, non, non. De toute façon, l'énoncé que je démonte, c'est une égalité de correspondance homologique, qui implique la proposition. Donc, l'énoncé de correspondance homologique, c'est que la composée, ces trois correspondances homologiques, c'est la correspondance homologique de VQ. De toute façon, on démonte cet énoncé. Ensuite, pour démontrer cet énoncé, donc, yes. Oui, mais ton argument de formule des traces, là, c'est moins géométrique quand elle peut sortir, il faut... L'argument groténique-lefchette. Non, l'énoncé que j'ai donné avec l'énoncé qui est sous-jacent à un groténique-lefchette, c'est que la composée de ces... trois correspondances, c'est une correspondance de V vers V qui est supportée par l'âge de FQ, le point sur FQ de H et qui est donné par le produit par la fonction trace. Dans la formule de congruence, il y a cet aspect géométrique, donc, des correspondances qui sont égales. Oui, oui. Mais j'ai compris. J'ai compris. Mais ce qui se passe, c'est que, ici, cette composition est supportée par le... le grave de la correspondance de VQ, donc, une fonction localement constante, qui suffit de déterminer. Alors, la première partie de la démonstration qu'il y a dans l'article, il y a deux étapes. Première partie, c'est-à-dire, cette correspondance, on peut la calculer au niveau des ch'tucarrestreins et au niveau des... des ch'tucarrestreins, ça s'est remplacé en gros par point sur G2ON, ici par point sur G2ON, avec la correspondance de VQ entre les deux, et on a la fonction localement constante. Mais on sait pas la calculer. Et pour la calculer, on regarde le cas particulier où i est égal et ensemble v, W est la triviale, et en plus de gré de V, égalin. Ça suffit, puisque c'est un élancé local, pour démontrer un élancé local, on peut choisir une courbe ou le gré de V, égalin. Et puis, par ailleurs, une fonction dans la jeppe de VQ est déterminée par son action sur les formes automorphes hospitales à condition que on puisse mettre un niveau assez grand ailleurs, ce qui est le cas. – L'autre argument que tu cherches à faire ? – L'autre argument, lui, il aurait calculé directement le produit et trois correspondances. Mais bon, j'avais pas de référence, donc... Si ça vous intéresse, je peux donner plus de détails, mais je vois qu'il est... Je vais peut-être définir ce que c'est qu'un stucca restreint. Je peux prendre 5 minutes pour vous donner une idée, quand même. D'accord. Donc, qu'est-ce que c'est qu'un stucca restreint ? C'est très joli. Donc, en fait, dans l'article de Laurent, il y a des barres, des nanologues barres qui aillent tronquées, en fait. Ça s'appelle les structures de niveau naïve. Donc, ça, c'est très joli, mais malheureusement, pour généraliser à d'autres groupes, c'est un peu plus compliqué. Il faut donner un peu de mou pour avoir la modification. Donc, qu'est-ce que c'est qu'un stucca restreint ? Bon, disons, gros, je vais dire, dans un cas très général, je regarde un quotient comme ça, x plus n x v. Et ici, il y a union 0 et w extérieur v, disons. Je ne vais mettre qu'une seule patte en v. Là, il y en a deux dans le problème, et si je mets les deux pattes en v, enfin, il y a des finitions où on ne contient rien de plus que quand il y en a une, non. Je préfère donner un défi avec une patte en v. Donc, voyez, on a ce champ. Et par ailleurs, comme ça, c'est un jettorceur sur, en particulier, au voisinage de v, on peut envoyer ça vers point sur g sur mv. Oui, oui, oui. La conscience des champs. Alors, en fait, c'est plutôt m qu'il faut mettre là et n là. Et m va être très grand en fonction de m. En fait, si m moins n est suffisamment grand, le gnv torseur naturel qui est, en fait, la structure en niveau en v de g0. Ça, c'est une suite de modification g0-gk. Ce machin-là, c'est le torseur gk. Mais, celui-là, c'est g0, vous voyez. Et... Donc, qu'est-ce que c'est qu'un, maintenant, un stucca restrein ? C'est la donnée d'un point ici. Et puis après, il y a deux morphices. Il y a le morphice vers point sur gnv. Mais on peut aussi envoyer vers point sur gmv. Juste parce qu'ici, on avait un quotient. Vous voyez, ça correspond au torseur gk. Et, en particulier, ça, ça s'envoie vers point sur gnv. Ici, en plus, donc non seulement on oublie, mais en plus, on fait agir le... Pardon. C'est pas ça que je voulais faire. Ça, ça s'envoie vers m le plus grand. Et ici, j'ai le frobenus. Voilà. Ici, j'ai le frobenus. Ici, j'ai l'oubli. Et je demande que les deux soient égaux. C'est-à-dire, en gros, l'idée, c'est que c'est qu'un jetouka. Un jetouka local, ça serait g0, gk. Et puis, je demande que gk est égal à taux g0. Et donc, ici, gk, c'est un torseur là-dessus. Mais, comme on a fait la modification, on a beaucoup perdu. Et donc, g0, ça va être juste un torseur sur gnv. Et donc, cette égalité, on la demande seulement sur gnv. Voilà. C'est qu'un jetouka restrain. Donc, avec jeunesse, c'est échant le jetouka restrain pour montrer la compatibilité, la paramétrisation locale et la compatibilité locale globale. Pour exprimer tous les opérateurs d'excursion en termes au niveau des jetouka restrains. Du moment que les gammaïs sont dans le groupe de veille locale. Pas seulement les opérateurs svv. Donc, la partie de la preuve que svv est nature locale, c'est en particulier du futur article avec Génestie. Merci beaucoup. Excusez-moi. La fin a été un peu accélérée.