 اسلام علیکم. تو آج شروع کرتے ہیں 43rd لیکٹر مسکورس کا اور وہی ڈیئز میں دسکس کریں گے جو ابھی تک کیے جا رہے ہیں پشتر لیکٹرز کے حوالے سے وہ ہیں جی انفنٹ سیریز وغرہ کی بات چیت کریں گے. سیکونسز کی بات ہم کر چکے ہیں اس کے بارے میں ہم دسکشن کر چکے ہیں پشتر لیکٹر میں ہم نے سیریز کی بات کی تھی جناب سیریز کیا چیز ہوتی ہے انفنٹ سیریز کیا چیز ہوتی ہے ان کو سم کیسے کرتے ہیں اور اس کے لیوہ اس کے پھر کنورجنز کا ایک concept دوالب کیا تھا کنورجنز کے لیوہ اسا ساتھ ایک corresponding جو concept تھا وہ تھا دیورجنز کا تو وہ بھی دوالب کیا تھا اور اس کے لیوہ ہم نے دیکھا کہ جی اس کے لیوہ کچھ کرکٹرسٹکس تھے کچھ سرٹن سیریز کے جو دسکس کیے اور اس کے حوالے سے پھر ہم نے دیکھا تھا کہ کون سیریز کس سیٹویشن میں کنورج کرتی ہے اور کس سیٹویشن میں دیورج کرتی ہے کچھ بیسک ٹیس تھے جو ہم نے دیکھے تھے اور آج کے لکچر میں ہم مزید انی آئیڈیس کو دیوالب کریں گے اور بیسکلی جو کنورجنز کے ٹیسٹ ہوتے ان کے بارے میں مزید بات کریں گے کچھ اور ٹیس ٹیسے ہوتے ہیں جو آپ کو ٹیٹرمین کرنے میں help دیتے ہیں کہ آپ کی جو سیریز ہے وہ کنورج کر رہے ہی ہے یا دیورج کر رہی ہے اور جو پشل ہم نے دیکھے تھے ٹیس اس سے زیادہ درہ سی انٹرومیشن ان ٹیسٹ میں ہمیں ملتی ہے تو ان کے بارے میں آج ہم بات جیت کرتے ہیں تو as usual اپنے اجندہ بنا لیتے ہیں ایک دیکھ لیتے ہیں کہ آج کیا دیسکشن کریں گے ہم topic کیا ہے لکچر کا تو آپ یہ لکھ لیتے ہیں جناب آج بیسکلی topic ہے جناب additional convergent tests and the limit comparison test یہ دو topics زیرہ ہور رہیں گے اور اس کے لیوہ جو اجندہ ہے جو topics دیسکشن ہم جن کی کریں گے وہ ہیں سب سے پہلے تو ہم دیکھیں گے کہ جیسے ہم کہتے ہیں the comparison test تو یہ comparison test کیا چیز ہوتی ہے اس کے بارے میں بات کریں گے چونکہ وہ ہی میں نے کہا تھا کہ tests جن کی ہم پہلے دیسکشن کر چکیں اس سے ریلیڈ بات ایج کرنیے تو the first thing we'll see is the comparison test اس کے بعد ہم دیکھیں گے جناب the ratio test اور دیکھیں گے کہ یہ کس طرح سے ہمیں help کرتا ہے determine کرنے میں کے series جو ایک آپ کے پاس ہے وہ convert کر رہی ہے diverge کر رہی ہے اس کے بعد جناب ہم ایک اور test دیکھیں گے جسے ہم کہتے ہیں the root test اس میں ایک square root تو نہیں بلکہ ایک kth root involved ہوتا ہے تو اس کو بھی دیکھیں گے کہ یہ کس طرح help کرتا ہے اس کے بعد جناب ہم دیکھیں گے ہم بات کریں گے ایک informal a principle ہے جس کو ہم دیسکش کریں گے اور وہ کس حوالے سے ہوگا یہ of course ابھی ہم لکھ دیتیں کہ some useful informal principles and we'll see what they are and how they help us with convergent tests اس کے بعد ہم آخر میں دیکھیں گے اپنا جو ہے ہمارا limit comparison test وہ کیا ہوتا ہے بلکہ آخر میں تو نہیں بلکہ second last چیز ہے limit comparison test اور پھر اس کے بعد ہم دیکھیں گے the comparison test تو یہ آپ نے note کیا گا کہ جو comparison test یہ دو دفعہ ہم نے جنڈے پہلک ہے اس کی کیا وجہ ہے کہ comparison test دو دفعہ ہے ایک سب سے پہلی topic ہے اور سب سے آخر میں ایک topic ہے تو why are we doing it this way اس کی وجہ ایک simple c ہے اور وہ یہ ہے کہ شروع میں ہم بات کریں گے ابھی جب لیکچا سرات کریں گے تو سب سے پہلے ہم comparison test کو ایک طرح سے دیکھیں گے اس کی definition دیکھیں گے کیا ہے اس کو proof بھی کر لیں گے بلکہ اس کے بعد جو اس کی application ہے comparison test کی اس کے لیے جو ہم نے informal principles کی بات کی تھی ابھی تھوڑی در پہلے ان کو ہم ذرا گور سے دیکھیں گے کیونکہ ان principles کو استعمال کرتے ہوئے پھر ہم جب اپلائے کریں گے comparison test کو تو examples اس حوالے سے کریں گے کہ شروع میں ہم پہلے سب definition اور theorem دیکھ لیں گے کہ یہ comparison test ہوتا ہے اور اس کے بعد applications کے حوالے سے examples کے حوالے سے آخر میں ہم پھر سے اس کی طرف آئیں گے keeping in mind کے بیچ میں ہم یہ جو useful informal principles introduce کریں گے ان کو ہم مد نظر رکھے اس کو apply کریں گے تو جناب یہ ہو گیا آپ کا جنڈہ تو اس میں اب یہ یہ کہ وہی بات کے series کی بات ہو رہی ہے اور پہلے بھی جیسے میں نے کہا تھا کہ it's a very interesting topic اگر اس کو غور سے دیکھا جائے سب سے بڑی interesting بات تو یہ ہوتی ہے philosophically speaking کہ اگر کوئی infinite series ہے تو اس کو some کیسے کیا جا سکتے ہے کیا یہ سوال ہو گا پوچھنا کہ ایک infinitely many چیزیں ہیں terms ہیں ان کو اگر میں add کرتا ہوں تو کیا result میں finite answer میں لا سکتا ہوں یا نہیں ایک دو چیزیں ہوتی ہیں سب سے پہلے تو یہ کہ infinite چیزوں کو add کیسے کریں گے یہ پہلے بھی میں نے پشلے لیکچر میں کہا تھا کہ this is a very heavy question کہ infinitely many چیزیں ہم کائنات ختم ہو جائے گی لیکن ہماری edition خب ہی ختم نہیں ہوگی تو یہ چیز کیسے ہم تکل کرتے ہیں how do we do this اور سیکن بات یہ کہ once you determine how to actually tackle the problem of adding infinitely many things how do you determine if this edition is actually going to give you a finite value you know جس کو ہم کہتے ہیں convergence کا جو idea کہ تھی کہ میں add کر لی تو کوئی finite value آ بھی رہی ہے یا میرے جو answer ہے وہ بڑا ہی بڑا ہوتا جائے گا اور eventually کوئی infinite جواب آئے گا that was another thing تو یہ دو چیزیں main topics جو main theme ہے ان دو چیزوں کی ہے اس سارے جو پشلے لیکچر میں بھی اور اب جو ایک دو لیکچرز اور ہیں اس میں یہی تھیم ہے کہ essential idea یہ ہے کہ convert infinite series ہوتی ہیں ان کی دو ان کے بارے میں بات کی جا سکتی ہے دو سوالات اٹھائے جاتے ہیں وہ یہ ہے کہ جی اگر یہ ہے ہمارے پاس infinite some تو کیا ہم اس کو کوئی short کر تریکے سے add کر سکتے ہیں اور اگر add کر بھی لیا تو پھر جواب ہے کیا وہ کوئی finite value آتی ہے یا diverge کرتا ہے تو یہ اس کے بارے میں ہم obviously پشلے لیکچر میں دیسکرشن کر چکے ہیں convertions کیا چیز ہوتی ہے اور کہ اور کو کون سے طریقے ہوتے ہیں جس کے ذریعے ہم یہ addition کر سکتے ہیں infinity many terms کی تھیکہ جی تو یہ وہ ہوگئی تھی ہماری اب ہم شروع کر دیتے ہیں بات چیت اپنے topics کی آج کے تو پہلہ اپنے topic ہے جناب comparison test جس کے بارے میں ابھی ہم نے بات کی تھی کہ یہ تھوڑا سا ایک important in the sense کے اس کو ہم پہلے انٹریوز کرا دیتے ہیں اس کی statement لکھ دیتے ہیں اس کا proof کر لیتے ہیں اور application کیلئے بیچ میں آگے چلکے ہم ایک تھوڑا سے informal principles کچھ انٹریوز کریں گے جن کے ذریعے پھر ہم اس کو apply کریں گے real life میں real life سے مرادی ہے کہ کچھ theoretical problems کریں گے تو ان کی examples جب کریں گے تو we'll use this test تو آئے پھر اس کو لکھ لیتے ہیں اس comparison test کو اس کے بارے میں بات کرتے ہیں تو مخصد یہ ہے comparison test کا جناب کے سوالی ہے کہ convergence کی بات ہو رہی ہے کہ ساری ہماری جو بھاک دور ہے سوالے سے ہے کہ جی کوئی اگر infinite series ہے میرے پاس مجھے دی بھی ہے تو اس کو میں کیسے determine کر سکتا ہوں کہ converge کر رہی ہے یا diverge کر رہی ہے سب سے بڑے بات تو یہ ہوتی ہے تو اس کے لیے اس testing کے لیے ہم comparison test بناتیں اور اس میں بیسکل یہ ہوتا ہے کہ ہم دو series کو given series کو test کرتے ہیں compare کرتے ہیں ایک دوسرے کے ساتھ اس سے یہ ہوتا ہے کہ جناب آپ دیکھتے ہیں کہ ایک جو ہے اس سے وہ اگر converge کر رہی ہے تو in response to that what's happening to the other one in vice versa تو اس کو formally لکھ لیتے ہیں تھیرم کی form میں اور دیکھتے ہیں کہ اس کے بعد اس کا proof بھی کر لیتے تو ہی دیکھتے comparison test ہے جناب let some a k and the summation b k b series with non-negative terms تو یہاں پہ اسٹیپلیشن ضروری ہے کہ آپ کی جو series ہے دونوں series جہاں اس کی جو terms ہیں وہ non-negative ہوں یعنی وہ zero you've سے بڑی ہوں نیگڈیف نہ ہو اور ایک اور سپوزیشن ہے کہ اگر ہم کہتے ہیں کہ جو terms ہیں summation a k series کی انکی اوپر کنڈشن یہ لگاتے ہیں compare کرتے ہیں with the terms of the series b k in the following way ہم کہتے ہیں کہ جی a1 is less than equal to b1 a2 is less than equal to b2 a3 is less than equal to b3 and this pattern follows all the way to the k term in which case we say that a k is less than equal to b k and of course the process continues to infinity تو دو چیزیں ہاں پہ ہیں جو ہم اس تھیورم میں لکھ رہے ہیں comparison test کے پہلی چیز ہے کہ جی if the bigger series اور یہ بگر سے کیا مراد ہے یہ ابھی ہم نے اس کو courts میں لکھا ہے کیونکہ اس کی وجہ ہے اس کی خاص definition ہے اگر بگر سیریز b k converges تو بگر سے مراد یہ ہے کہ بیک جو ہے وہ summation b k it's a bigger series because all its terms are bigger than or equal to these terms of the other series which is summation a k so if the bigger series converges then the smaller series a k also converges smaller سے مطلب وہ ایک اس کی terms جو ہے ایک ایکی وہ چھوٹی ہیں for all values than the terms in the b k series part بھی ہے جی کہ if the smaller series summation a k diverges than the bigger series summation b k also diverges یہ جناب آپ کا ہو گیا statement comparison test کی اس کی تیورم کی اور اس میں یہ ہے کہ idea تھوڑا سا automatically clear ہو جا نا چاہیے کہ ایک دن کا comparison ہو رہا ہے comparison کیا ہو رہا ہے وہ یہ ہے کہ جی اگر آپ کے پاس دو سیریز ہیں اور آپ ان دونوں کو compared کرتے ہیں تو ان میں سے ایک اگر بڑی ہے دوسری سے اور ایک چھوٹی ہے اور اس کا کیا مطلب بگر اور smaller کا بڑی چھوٹی کا مطلب یہ ہے کہ ایک کی تیورم کی جو ہوں گی وہ for all values of k وہ ہوں گی جناب less than or equal to of than all the terms of the other series which is summation b k جیسے ہم نے آپ لکھا تھا کہ a1 is less than equal to b1 a2 is less than equal to b2 and so forth تو یہ پاتر نگل حوال کرتا ہے for all values then we say that summation a k is smaller than summation b k and vice versa we can say summation b k is bigger than summation a k تو اس کی سیٹویشن میں ہم کہا سکتے ہیں کہ اگر چھوٹی والی جو ہے وہ آپ جو بڑی والی اگر وہ کنورچ کر رہیے تو اس کا مطلب ہوتا ہے کہ جو چھوٹی سیریز ہے وہ بھی کنورچ کر رہیے اسی طرح سے اگر چھوٹی والی دیورچ کر رہیے تو بڑی والی بھی دیورچ کرتی ہے تو اس بات کو تھوڑا سا اس طرح سمش رکھتے ہیں کہ اس کا پروفہ بھی کر لیتے ہیں سمجھنے کی بات اس طرح سے اگر آپ کہیں کہ جی ایک سیٹس کی بات کرتے ہیں ایک طرح کی جیسے کہتے ہیں سایا ایک بڑا درخت ہوتا ہے وہ چھوٹے درخت کے اوپر سایا اپنا دال دیتے ہیں لیکن چھوٹا درخت جو تا ہے وہ سایا نہیں دال سکتا بڑے درخت پہ تو وہی بات ہے کہ اگر بڑا درخت جو ہے وہ سایا دال رہا ہے تو اس کی جو پروپٹیز ہیں ایک طرح سے ایک طرح کی نالجی میں بنا رہا ہوں doesn't have to automatically make sense لیکن نالجی ہے کہ جی جو بڑے درخت کی پروپٹیز ہیں وہ چھوٹے درخت کی بھی ہوں گی چیک جی اس طرح سے کہہ سکتے ہیں کہ اب یہ چونکہ ہم سٹرچ کر رہے ہیں نالجی کو so we can say جی جو بڑا درخت ہے وہ چونکہ فلی گرون ہے بڑا ہو چکا ہے تو اس کی پروپٹیز ایک طرح سے فکس ہو چکی ہیں چیک جی مزید development نہیں ہوگی لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ جو بڑے درخت کی پروپٹیز ہیں وہ آگے چل کے چھوٹا والا adopt کر لے گا تو ایک طرح کی ای بات ہے کہ بڑا جو ہے وہ اگر کنورچ کر رہی ہے تو چھوٹی بھی کنورچ کرے گی پروپٹیز انہرٹ کرے گی لیکن ہم یہ کہ سکتے ہیں کہ اس کا اولٹ صحیح نہیں ہے کیونکہ اگر چھوٹا درخت ہے اس کی پروپٹیز بڑے درخت میں نہیں ہوگی کیونکہ along its development چھوٹا درخت چونکہ develop کر رہے تو ہو سکتا ہے وہ کچھ ایسی پروپٹیز adopt کر لے جو بڑے درخت نے اپنے بچ پنے میں adopt نہیں کیونگی تو ہم کہا سکتے ہیں کہ جیہا چھوٹے درخت نے تو جو جب چونکہ divorce کر رہا ہے تو بڑا بھی divorce کرے گا ایک طرح کی rough سی analogy ہے if it makes sense that's good تو میں کوشش کر رہا تھا کہ کوئی اس طرح کی analogy بنائے تو I think this kind of makes sense اب ایسا کرتے ہیں کہ اس کا proof دیکھلے دیں formally maybe that'll make more sense جب اس کا proof کریں گے اس تیورم کا تو جی پہلہ جو پارٹ ہے وہ یہ کہتا ہے کہ اگر بڑی series کنورج کرتی ہے تو چھوٹی بھی کنورج کرتی ہے اس کا proof کر لیتے ہیں آئی لکھ لیتے ہیں اس کو part a proof کا جو proof ہے وہ ہے کہ جی اس طرح سے کرتے ہیں کہ suppose that the series summation bk converges and we know that bk is the bigger series and the converging of the series leads to its sum your limit equal to the number b then for all n b1 plus b2 plus all the way to bn یہ ایک partial سم ہے is less than equal to the summation from k equals 1 to infinity of bk تو چونکہ partial سم میں جو ترمز ہوتی ہیں وہ ظاہر infinity سے کم ہے لہذا partial سم ہمیشہ infinity سم سے چھوٹا رہے گا یا اس کے برابر ہو جائے گا اگر n کی value infinity تک جا رہی ہے تو ہم کہا سکتے ہیں کہ partial سم is less than equal to the whole sum which is of course equal to b تو اب یہاں پہلے بہت ہی ہے کہ جناب چونکہ ساری ترمز a1 یا a کی جو جتنی بھی ترمز ہیں وہ ساری ترمز بی کی ان سے چھوٹی ہیں according to what we saw تو ہم کہا سکتے ہیں جو partial سم ہوگا n تک a series کا a1 plus a2 plus all the way to a n is definitely going to be less than equal to the partial sum b1 plus b2 all the way to bn or of course یہ b کا جو partial سم ہے b1 سے لے کے n تک that's less than equal to capital B which was the number which the sum was the limit of the bigger series تو لہذا یہاں ظاہر ہوتا ہے کہ each partial sum of the series a کے is less than or equal to b تو جتنے جو پرشل سم آپ بنائیں گے تو یہ چھوٹے ہوں گے than the partial sums مثلہ a کے جو پرشل سم ہے وہ اس total series b کے کی limit سے چھوٹے ہوں گے اور یہ imply کرتا ہے کہ summation a کے کنورج کرتیے by a certain theorem we saw earlier which is theorem 11.4.6 in your textbook تو یہ ہوگیا اس کا proof سیمپل سی بات ہے کہ اگر کوئی چھوٹی چیز یہ جو چھوٹی سیریز ہے اس کے جتنے بھی partial sums ہے وہ b کے سارے partial sums سے کم value رکھتے یا برابر کی تو چونکہ b کے partial sums اس کے limit کی برابر ہیں اس سے چھوٹے لہذا سیمپل سی ان equality کی بات ہے کہ a کے جو a کے جو سیریز ہے اس کے سارے partial sums لیمٹ سے کم ہوں گے تو ظاہر سی بات ہے کہ a کے سامس چونکہ چھوٹے ہیں partial sums series b کے partial sums سے تو ہم کہا سکتے ہیں کہ سیمپل ان equality والی بات ہے کہ یہ جو سیریز ہوگی a کے یہ کنورج کرے گی اچھا جی تو یہ تو ہوگیا پروف پارٹ a کا اس ثیورم کے now part b کا ثیورم part b جو اس ثیورم کا اس کا proof بڑا سیمپل سائے اس کی statement میں اگر لکھے آپ کو دیکھا ہوں تو میرے خالصے امپیکٹ زادہ ہوگا اس کے بارے میں بول بھی لیں گے اس کو رپیٹ کر لیں گے اس کی statement جناب اس طرح سے ہے کہ the condition جو ہمارے پاس ایک ہے یہ جو ہماری series ہے a کے suppose کریں کہ یہ دیورج کرتی ہے تو اس کا مطلب ہوگا کہ b کے must diverge یہ ہمیں شو کرنا ہے تو اس میں سیمپل سی بات ہے کہ suppose کریں کہ اگر b کے diverge نہیں کرتی جو بڑی series ہے اگر وہ diverge نہیں کرتی تو اس کا مطلب ہے کہ ہم suppose کرتے ہیں کہ converge کرتی ہے تو اگر بڑی series converge کرتی ہے تو سیمپل سی بات ہے from what we have just proved that summation bk convergence of summation bk would imply convergence of summation ak but that's contrary to what we are trying to prove so therefore ہم کہیں گے کہ ایک اگر diverge کرتی ہے تو bk b diverge کرے گی چیک جی تو یہ ایک سیمپل سی بات ہی کہ اگر ہم کہتے ہیں ہمیں شو کرنا ہے کہ a کے series جو چھوٹی والی اگر وہ diverge کر رہی ہے تو بڑی والی بھی diverge کرے گی تو کس طرح سے ہم نے prove کیا سیمپل سی بات ہے کہ اگر ہم کہتے ہیں چھوٹی والی diverge کر رہی ہے fine لیکن بڑی converge کر رہی ہے اگر بڑی converge کر رہی ہے تو جو ہم نے already prove کر دیا partے میں وہ یہ ہے کہ نہیں جی اگر بڑی converge کرتی ہے تو چھوٹی بھی diverge کرے گی لیکن وہ تو ہم نے assume کیا کہ diverge کر رہی ہے لہذا it has to follow that the bigger one also diverges تو this is basically a process called prove by contradiction تو وہ ہم نے apply کیا بڑا سیمپل سا prove تھا there was nothing to nothing fancy nothing mathematical just a simple twist of logic and things work out اچھا جی تو اب ہم next test کی طرف جاتے ہیں convergence کے اور وہ ہے جناب آپ کا ratio test تو ratio test کے بارے میں بات کرتے ہیں as usual right away اس کی statement لکھلتے ہیں a theorem کی form میں اور پھر اس کو discuss کر لیں گے اس سے پہلے کی کریں یہ پھر سے میں remind کرا دیتا ہوں کہ جو ابھی ہم نے comparison test کیا ہے اس کی statement لکھی اور اس کا proof جو تھے وہ ہم نے دیکھ لیے اس کے جو examples ہیں وہ ہم آخر میں کریں گے لیکچر کے ابھی نہیں کریں گے اس کی وجہ میں پہلے بھی بتا چکا ہوں لہذا اس کو بھولیے گا نہیں will come back to it اب ہم چلتے ہیں ratio test کی طرف تو اس کی جو statement ہے اس کو a theorem کی form میں لکھلتے ہیں اور پھر اس کی examples کریں گے آئی لکھتے ہیں اس کو جناب theorem ہے ratio test کا تو اس کی statement ہے کہ let summation uk be a series with positive terms and suppose that row یہ چھوٹا ساک پی لگر ہے لیکن this is the Greek letter row which actually stands for r corresponds to the English letter r equals limit k goes to positive infinity uk plus one divided by uk in that case if that's the case we have this limit تو اب یہ limit کی equation ہمارے سامنے ٹھیک ہے اب اس کے بارے میں ہم کیا کہ سکتے ہیں اس کے بارے میں a theorem یہ کہتا ہے کہ تین چیزے ہو سکتی ہیں رو اگر one سے چھوٹا ہے یعنی row is less than one then we can say the series converges second thing is if row is greater than one or row turns out to be plus infinity it's a huge number plus infinity then the series diverges اور جو تیسی سی چیویشن ہو سکتی ہے وہ یہ ہے کہ if row equals one the series may converge or may diverge so basically we don't have any information and we have to use another test or some other argument تو یہ ہوگئے آپ کی statement ratio test کی تو یہ ایک طرح سے ہم نے جب سیکونس اس کی بات کی تھی تو آپ کو یاد ہوگا کہ اسی طرح کا ملتہ جلتا ہے ٹیسٹ ہم نے دیکھا تھا جو سیکونس سی کنورجنس وگرہ کے بارے میں بات کی تھی تو اس میں یہ تھا کہ کی پلس فرس ٹرم لیکے اور کیتھ ٹرم لیکے آپ ان کی رشو بناتیں اور پھر دیکھتے ہیں کہ ان سے کیا رزلٹ نکلتا ہے یہاں پر ہم یہ کر رہے ہیں کہ ہم رشو بناتیں ان کی اور دیکھتے ہیں کہ جو limit لیتے ہیں as k goes to infinity تو کیا رزلٹ آتا ہے depending on the result پھر ہم تین سیچویشنز ہو سکتی ہیں چونکہ لیمٹ لے رہے ہیں ایک فورمولی کا تو رزلٹنگ یا تو ایک فائنائٹ نمبر آسکتا ہے یا وہ بلکل بہت بڑا نمبر آسکتا ہے تو اس میں بات یہ کہ رشو کی بات ہے تو اس میں ہم یہ دیکھنا چاہ رہے ہیں کہ جو نمبر جو جو ویلیو ہمیں چاہیے جس سے ہم دیٹرمن کریں گے کنورجنس وغیرہ وہ one سے آس پاس one کی آس پاس ہوتی ہے کہ اگر one سے بڑی ہے تو کنورج کر رہے ہیں one سے چھوٹی ہے یا plus infinity ہے اگر one سے چھوٹا ہے result آپ کا لیمٹ کا تو series کنورج کرتی ہے اگر row جو ہے وہ one سے بڑا ہے یا plus infinity ہے تو diverge کرتی ہے اور exactly equal to one اگر result آتا ہے اس رشو کا تو پھر ہم کہتے ہیں کہ we don't have any information تو اب یہ test کی میں نے جب یہ row رشو test جب ہم دیکھ رہے ہیں تو تھوڑا سا آپ کا idea ہو رہا گا کہ series of sequences میں اتنا فرق نہیں ہوتا کیونکہ جب یہ ہی اسی طرح کا test ہم نے ایک دیکھتا جب ہم sequences کی بات کر رہے تھے تو وہاں پی ای مقصد تھا ہم ہی دیکھنا چاہ رہے تھے کہ monotonic sequences کی بات کر رہے تھے اور ہم یہ دیکھ رہے تھے کہ کوئی جو monotonic sequences ہیں ان کو ہم کیسے دیٹرمن کرتے ہیں کہ یہ monotonic ہیں کہ نہیں ہے اور monotonic sequences کی دیفنیشن یہ ہی تھی کہ increase ہوں, decreasing ہوں تو strictly monotonic ہوتی ہے, non increasing اور non decreasing ہوں تو صرف monotonic ہوتی ہے تو وہ اس کی definition اگر آپ دیکھیں increase and decreasing کی تو اس میں بھی ایک طرح کا convergence or divergence کا idea ہے تو وہی ایک طرح کی relationship ہے ان درمیان کیوں کہ series جہاں وہ ایک summation ہے some ہے sequence کی terms کا لہذا automatically this kind of test should be there اچھا جی تو اب ٹیکہ سٹیٹمنٹ لکلی تھیورم کی ہم نے اب ہم کیا کرتے ہیں اب ہم یہ کرتے ہیں کہ اس کو proof نہیں کرتے اس کا proof تھوڑا سا involved ہے تکس بک میں دیا ہے آپ کی you're welcome to look at it and ask questions about it لیکن یہ کہ ہم ابھی نہیں کریں گے ہم درکلی ایسا کرتے ہیں کہ assume کرتے ہیں کہ obviously this is the true تھیورم it's in a textbook has to be true تو ہم اس کو درکلی بس apply کرتے ہیں اور ایک دو examples کرتے ہیں اس کے حوالے سے تو پہلی example جہاں وہ ہم لکلتے ہیں دیکھتے ہیں کیا ہے آئی رکھتے ہیں پہلی example ہے جناب use the ratio test to determine whether the following series converge or diverge یہ آپ کے سامنے چار series دیوییں اس example میں اور یہ ہے جناب ایالی پہلی والی جو ہے وہ ہے some k equals 1 to infinity ساری infinite series ہیں one over k factorial دوسری ہے k over 2 to the power k اور تیسری ہے k to the power k divided by k factorial اور چاہتی ہے 2 times k factorial the whole thing factorial divided by 4 raised to the power k تو یہ چار series ہیں ان کو determine کرنا ہے کہ یہ converge کر رہے ہیں diverge کرنی using the ratio test اچھاہاں فکٹوریل پھر سے رمائن کر آدم کے فکٹوریل جو ہوتا ہے پہلے بھی ہم نے بات کی تھی پہلے اکنی میں کیا یہ جو ایک نمبر ہے کہ آپ دیتے ہیں فکٹوریل ٹیکٹوریل just equal to that number multiplied by all the numbers preceding it مثال کے طور پہ 5 فکٹوریل جو ہوگا وہ ہوگا 5 times 4 times 3 times 2 times 1 آیا بین کو دیکھیں کیا سی ان کا determine کرتے ہیں convergenceہ divergence تو پہلے حالہ جو ہے اس کو دیکھیں کہ اس میں ہم اس کو determine کرنا چاہتے ہیں کنورچ کر رہی ہے یا نہیں تو رو اگر اس میں ریشو ٹیس کی رو جو ہے value وہ ہے limit as k goes to infinity of the k plus first term divided by the kth term of the series this is equal to the limit as k goes to infinity of one divided by k plus one quantity factorial all of that divided by one divided by k factorial this is equal to limit as k goes to plus infinity k factorial divided by k plus one factorial یہ کیسے آیا یہ ایک سمپل سی بات ہے کہ جو فکٹوریل کی پروپٹی ہے کہ کے پلس یہ جو ریسی پروکل ہے اس میں actually فکٹوریل کی پروپٹی استعمال نہیں ہوتی یہ دو ریسی پروکل ہیں one over something divided by one over something تو ان کو اگر آپ انورٹ کرتے ہیں تو یہ result آتا ہے k factorial divided by k plus one factorial اس کا لیمٹ آپ لینا چاہر ہیں تو یہاں پہ دیکھیں کہ یہ جو result ہے یہ ایک بڑا سمپل سی ایک فکٹوریل پروپٹی استعمال کرتے ہیں کہ کے پلس one factorial is equal to کے پلس one times کے فکٹوریل جس طرح سے آپ کہتے ہیں کہ five factorial divided by six factorial اگر لکھا ہو تو اس میں five factorial six factorial کی جگہ ہم لکھ سکتے ہیں six times five factorial and the five factorials on the top and the bottom cancel same things happening here we get limit as k goes to plus infinity of one divided by k plus one and that happens to equal zero now this is zero is less than one therefore we say that the series converges تک جی پہلہ پہلے سیری سی جو ہم نے دیکھیں کہ کنورج کر رہیے using the ratio test یہاں پہ فکٹوریل کا استعمال ہم نے کافی کی ہے اس میں hopefully سمجھا گیا ہوگا آپ کو پہلے دیکھ چکے ہوں گے یقینن I'm sure you've seen this property کے کے پلس one فکٹوریل جو ہے اس کو ہم لکھ سکتے ہیں اس کے پلس one times کے فکٹوریل کیونکہ ہر بار ایک ہم لو جاتے ہیں تو اس لی ہم یہ ایسا کر سکتے ہیں اور یہ پروپٹیو فکٹوریل میں نے یہاں استعمال کی ہے آئیے پارٹ بی دیکھیں پارٹ بی ہے جناب اس اگزامبل کا کہ رو معلوم کرنی ہے for the series کے اوہ two to the power کے تو result آتا ہے limit as k goes to infinity of کے پلس one divided by two کے پلس one multiplied by two to the power کے اوہ کے میں نے درک لی ملٹپلائے کر دی ہے اس کو کیونکہ دیویشن ہونی جائے تھی اور دیویشن میں کو اگر میں ریسی پروکیٹ کروں تو result اولٹ ہو جاتا ہے so i have instead of having a k over two to the power کے i have two to the power کے divided by k اب اس میں تھوڑیسی simplification اگر کریں cancelations power of two کی تو result آتا ہے one half times that limit کے پلس one over k and of course that goes to one using لپرٹوز رول and that equals to one half which is also less than one so this one also converges اب پاٹ سی کر لیتے ہیں پاٹ سی ہے جناب اس کی کالکلیشن سامنے کے لیمٹ اس کے گوز تو infinity of کے پلس one to the power کے پلس one divided by کے پلس one فکٹوریل times کے فکٹوریل over کے پلس one کے کانسل کریں پاورس کو فکٹوریل کی کی جو پروپریٹی سیں وہ استعمال کریں تو لیمٹ بن جاتا ہے کے پلس one to the power کے divided by کے پلس کے لیے ایک ہم نے ایک ثیرم استعمال کیا یہاں پہ جو ٹیکس پوک میں آپ کو مل جائے گا یہ ہے کہ یہ جو لاسٹرم آئی تھی یہ برابر ہے one plus one over کے پلس کے کی چیک جی اور خیر یہ تو بیسک کالجبریک ملیپلیشن سے بھی ہم کر سکتے ہیں لیکن جو ثیرم ہم نے استعمال کیا ہے وہ اس لیے استعمال کیا ہے کہ result of یہ جو لاسٹرم آئی اس کا گر لیمٹ لیتے ہیں تو یہ برابر ہوتا ہے number e کے which is approximately 2.7 and that is of course greater than one so this one diverges اچھا جی تو یہ تیسری والی بھی ہم نے کر لیے اور اپھرا سا ایڈیا اور اگر کے ریشو ٹیسٹ کافی useful ٹیسٹ ہے کافی ساری جو سیکون سیریز ہوتی ہیں ان کو ہم تکل کر سکتے ہیں اس کے ذریعے تو یہ اب لاسٹ والا جو ہے اس کو بھی کر لیتے ہیں finish کرتے ہیں last ہے جی اس کی روہ جو ویلیو آتی ہے وہ ہے limit sk goes to infinity uk plus one over uk جو results ہے وہ بنتا ہے یہ تھوڑا messیس آئے آپ کے سامنے لکھا ہے اس کے اندر factorials کے ذریعے cancellation کریں اور power of four کو cancel کریں تو result آتا ہے ایک ایسا limit جو divergent ہے plus infinity آتا ہے تو لحاظہ ہم کیا کہتے ہیں کہ یہ سیریز دورج کرتی ہے ایکارڈنٹو the ریشو ٹیست جناب یہ ہوگلی آپ کا ایسا اگزامپل جس میں ہم نے دیکھا کہ ریشو ٹیست کے ذریعے ہم نے دیترمین کر لیا کہ گفن سیریز کنورج کر رہے ہیں یا دیترمین کر رہے ہیں اچھا یہاں پر ہم نے اس اگزامپل میں یہ نہیں دیکھا کہ کوئی ایسی اگزامپل نہیں تھی کہ جس میں رزل جو تھا وہ اندیترمینڈو جس میں یعنی وہ روی کلز تو لحاظہ ایک ایسی اگزامپل کر لیتے ہیں جہاں پر ایسی سیٹویشن ہو اور دیکھتے ہیں کہ ایسی سیٹویشن میں ہم کیا کر سکتے ہیں تو ایسی اگزامپل بھی کر لیتے ہیں اگزامپل ہے جناب دیترمین whether the سیریز 1 plus 1 over 3 plus all the way to 1 over 2k minus 1 and all the way to infinity converges or diverges یہاں پر اگر میں ریشو ٹیست اپلائے کرتا ہوں تو رو کی value آتی ہے جناب یہ کالکلیشنز آپ کے سامنے ہیں اس کی اندر value آتی ہے اس لیمٹ کی one because i don't know anything about this series converging or diverging using the ratio ٹیست لہذا کوئی اور ٹیست اپلائے کرتے ہیں میں یہاں پر ایسا کرتے ہیں کہ انٹگرل ٹیست اپلائے کرتے ہیں جو ہم نے پچھلے لکچر میں دیکھا تھا اس کی ذریعہ ہم بیسکل ایک corresponding انٹگرل بناتے ہیں جو ہوگا 1 سے لے کے انفنڈی تک ڈی x over 2x minus 1 کا اس کو improper integrals کے حوالے سے اگر value it کریں the result comes out to be plus infinity and that basically means that this series diverges ٹیکے جی تو اس اگر میں ہم نے دیکھا ایک ایسا case جہاں پہ ratio ٹیست was unable to tell us whether a given series converges or diverges but the integral ٹیست was able to tell us if it does converge or diverge or یہاں پہاں actually diverge کرتی تھی اچھا جی یہ ٹیست بھی ہم نے دیکھ لیا useful ٹیست ہے but it does have its limitations as most of the ٹیست too ایک اور ٹیست ہے convergence divergence کا series کا وہ بھی دیکھ لیتے ہیں یہ ہے جناب root ٹیست so root ٹیست کیا ہوتا ہے یہ بھی ایک theorem کی form میں لکتے ہیں اور پھر دیکھ دیں اس کی examples کیا ہوتی ہیں تو آئی اس کو لکھ لیتے ہیں root ٹیست ہے جناب آپ کے سامنے theorem کی form میں let summation uk be a series with positive terms and suppose that rho equals limit sk goes to infinity of the kth root of the kth term of the series which is another words equal to the limit sk goes to infinity of the kth term raised to the power 1 over k اگر یہ سیچویشن ہے تو اس میں کیا values آ سکتی ہیں limit کی اور کیا اس کے conclusions ہوتے ہیں وہ 3 ہیں پہلہ تو یہ کہ رو لیس than 1 ہے اس کا مطلب ہے جیسے root ٹیست میں تھا اسی طرح سے یہاں بھی اس کا مطلب ہوگا کہ series کنورج کرتی ہے اگر رو 1 سے بڑا ہے یہ infinity ہے تو یہ diverge کرتی ہے اور یہ جو ہے third case وہ بھی وہ یہ جیسے پہلے والے میں تھا کہ اگر 1 آتا ہے اس کا result تو پھر ہم کہتے ہیں series کنورج ہے diverge کر رہی ہے اور ہمیں پتہ نہیں دونوں میں سے کچھ ہو سکتا ہے لہذا کوئی اور ٹیست تمال کرنا چاہیے تو جناب یہ اب آپ سوچ رہے ہوگا کہ اس کے conclusions اور idea تو وہی ہے جو root ٹیست میں تھا ratio ٹیست میں تھا تو ہمیں root ٹیستی کیا ضورت ہے اسی ضرورت اس لیے پڑتی ہے کہ کبھی کبھی ratio ٹیست کافی ڈیفکلٹ ہو جاتا ہے اپلائے کرنا لہذا root ٹیست کی جو limit کی equation آتی ہے اس کو manipلیٹ کرنا آسان ہوتا ہے conclusions وہی ہوتے ہیں جو ratio ٹیست کے بھی ہوتے ہیں so that's why we need to have a root ٹیست اب اس کی ایک ڈیمپل کرتے ہیں تو پڑھا چل جائے گا کہ یہ کیوں تھوڑا سا آسان ہے اپلائے کرنا آئی ڈیمپل دیکھتے ہیں ڈیمپل ہے جی کے ایک series ہے ہمارے پاس summation ڈیی کلس ٹی سے لیکن ڈیٹک اس کی ہمیں ڈیٹرمین کرنی ہے convergence here ڈیورڈینس تو اس میں ڈیمپل ہے اس کا آپ کے سامنے ہے 4k-5 divided by 2k plus 1 rest of the power k اس کو اگر ڈیٹرمین کرتے ہیں let's ڈی잔塊 کی ہمیں ڈیٹرمین کرتے ہیں let'srarply the root ٹیس جو ابھی ڈیٹروز کی ہمیں اس کے حوالے سے ڈیڈر کی value جو ہے وہ ہورگی limit is k goes to infinity of the k th root of the k th term تو یہاں دیکھ لے کتنا simpl ہو جائے گا ماملا کیا چونکہ پوری series جو ہے وہ k.k' کی power کو ڈیٹ کی گئی اگر میں k th root ڈیٹرونٹ لیتا ہوں تو وہ power ختم ہوجاتی ہے اور میرے پاس a simple limit ڈیٹرم cooker becoming او300 جو شام رہا ہے دو حیeے اس plants unser Aus شاید ر Тем مدن انکسر allen but ا Whoopsربی claws اس مدن انکسر come سا eigentlich انکسر اگر اتمن ایک ناظر اس charms اس Ort جاتا ہے. اچھا جی اب ایسا کرتے ہیں کہ آگے چلتے ہیں یہ بھی ہم نے کر لیے روٹ تست اور اب یہ کرتے ہیں کہ دیکھتے ہیں کہ مزید کیا بات کرنے تھے آج کے لیکچر میں. مزید بات یہ ہے کہ جی اب ہم نے کہا تھا کہ کمپریزن تست ابھی تک اپلائے نہیں کیا ہے تو وہ ہمیں اپلائے کرنا ہے اور وہ آخر میں کریں گے اس کے لیے تھوڑی سی بیچ میں کچھ انٹردکشن دیتے ہیں چیزوں کی کونسپٹس کی. ایک تو بیچ میں ہم تھوڑی سی انفارمل پرنسپلز ہم نے کہا تھا کہ ہم انٹردوز کریں گے وہ بھی کرلے تھے ساتی ساتھ ایک لیمٹ کمپریزن تست آئے گا وہ پہلے دیکھ لیں گے اور آخر میں دیکھیں گے کہ کمپریزن تست کیسے اپلائے ہوتا ہے تو کچھ انٹردکشن کرتے ہیں ان انفارمل پرنسپلز کی اور لکھلے تھے ان کو تاکہ ہم دیکھ سکیں یہ کیا ہے تو آئی دیکھتے ہیں انفارمل پرنسپل جو پہلہا ہے وہ جناب ہے ہے کہ کونسٹن ٹرمز ان the denominator of the kth term of a series can usually be deleted without affecting the convergence or divergence of the series کہنے کا مقصد یہ کہ اگر کچھ ٹرمز اس میں سے نکال دی جائے کونسٹن ٹرمز دن آمنیٹر میں سے kth term کی series کی kth term میں سے تو divergence of convergence پہ آم تھوڑ پر پیفکٹ نہیں پڑتا ہے تو اس کی اکسامپل کرتے ہیں جہاں ہم دیکھتے ہیں کہ واقی ایسا ہوتا ہے آئی اس اکسامپل کو دیکھتے ہیں ایکسامپل ہے جی کہ use this principle we just saw to guess whether the following series converge or diverge اچھا پہلی جو آپ کے سامنے series ہے یہ ہے کہ جی 1 over 2 to the power k plus 1 اور یہ 1 سے لیکن infinity تک جاری ہے اس میں دیکھ لی جی ہے کہ اگر میں دن آمیٹر میں کانسٹن ٹرم ہے اور وہ کیا ہے کانسٹن ٹرم صرف صرف 1 ہے کیوںکہ دوسی ٹرم جہاں وہ 2 to the power k ہے اور اس کے اندر ایک variable and one لہذا I can't do anything with it but what I can do is that I can delete the 1 in it and when I delete the 1 the constant 1 from the denominator مخصد کہہنے کہ یہ کہ the original sequence then becomes the same as not the same as but it behaves like the series 1 over 2 to the power k تک جی تو اس سے یہ ہوتا ہے کہ اب آپ کہہ رہے ہیں کہ ایک 2 کے 2 to the power k plus 1 جو ہے series جس کے دن آمیٹر میں یہ ٹرم تھی یہ بحیف کر رہی ہے similar to 1 over 2 to the power k اس لئے کوئی پروف اگرہ تو نہیں ہے مخصد صرف یہ کہ اس principle کے تحت ہم یہ کیا سکتے ہیں کہ واقی it's a case کیونکہ divergence convergence پر افکت نہیں پڑتا اگر آپ constant terms کو نکال دیں اب آپ یہ دیکھیں کہ یہ جو نیکسٹ والی جو ہم کہہ رہے ہیں کہ given series جو ہے وہ 1 over 2 to the power k کی طرح بحیف کرتی ہے تو 1 over 2 to the power k جو ہے وہ a geometric sequence ہے series ہے لہذا اس کے بارے میں ہم کچھ کہہ سکتے ہیں وہ یہ ہے کہ یہ converts کرتی ہے کیونکہ اس کی ratio جو ہے وہ one half ہے which is less than one تو مخصد کیا ہوا کہہنے کا مخصد تھا مخصد یہ تھا کہ اگر modified series جو آپ کے پاس آئے یہ جو کہ geometric series تھی اگر یہ converts کر رہیے تو most probably original والی بھی converts کرے گی تھوڑا سا ڈیا ہو گیا ہوا کہ یہاں پہ کمپیرزن test کا concept میں develop کرنا چاہ رہا ہوں تو خیر اس کو بھی اور کریں گے یہ تھوڑیسی introduction تھی سا ڈیا کی ایک اور informal principle ہے جس کو ہم دیکھنا چاہیں گے وہ بھی لکھ لیتے ہیں اور دیکھیں کہ اس کو بھی apply کریں گے آئی لکھ لیتے ہیں اس کو یہ جناب ہے informal principle if a polynomial in k یعنی مخصد یہ کہ polynomial آن طور پہ ہم x میں ہوتے تھے f of x لکھتے تھے p of x اب ہم p of k یا f of k لکھیں گے یعنی variable جو ہوگا وہ k ہوگا if that polynomial appears as a factor in the numerator or denominator of uk all but the highest powers of k in the polynomial may usually be deleted without affecting the convergence or divergence of the series تو مخصد یہ ہے کہ اگر polynomial آپ کے پاس ہے تو اس کی highest power کے لیوہا جتنے بھی series کے اندر جتنے بھی powers ہیں k کی وہ affect نہیں کرتے ہیں convergence یا divergence کو ان کو ہم ڈلیٹ کر سکتے ہیں ایک طریقے سے تو اس کی بھی example کرتے ہیں دیکھتے ہیں یہ principle کہاں پہ ہم ہم help کرتا ہے convergence and divergence ڈیٹرمین کرنے میں آئی دیکھتے ہیں example ہے جنا use this principle we just saw to guess whether the following series converges or diverges series ہے summation from 1 to infinity of 1 divided by the square root of k cube plus 2 k تو اب یہاں پہ ہم کیا ڈلیٹ کریں گے اس میں ہمارے پاس ایک polynomial ہے denominator میں ٹیک ہے جی اس polynomial کی highest power کے لیوہا جتنے بھی terms ہے اگر میں ڈلیٹ کر دوں تو میرے پاس اس میں basically a کی ہے وہ ہے 2k جو k k cube جو ہے وہ highest power ہے اس کے بعد 2k ہے تو 2k کو میں ڈلیٹ کر دوں تو میرے series جو ہے وہ بن جاتی ہے one over square root of k cube only k goes 1 to infinity اس کو میں لکھ سکتا ہوں ایک کا طریقے سے as 1 over k to the power 3 halves تو یہ سیریز اب جو originل تھی اس میں کے کیو پلس 2 کے تھا سکوی روٹ کندر اب ملتی جلتی ہے ایک سیریز سے جو ہے 1 over کیوب روٹ آف سکوی روٹ آف کے کیوب تو کی اس کو میں لکھا ہے اس کے to the power 3 halves تو یہ پی سیریز ہے اور پی جو ہے جو نئی جو سیریز آئی یہ پی سیریز ہے اس کے اندو جو پاور ہے او one سے بڑی ہے لہذا ہم پی سیریز کے بارے میں یہ جانتے ہیں کہ اگر one power بڑی ہو one سے تو وہ کنورج کرتی ہے اور چونکہ یہ موڈفائٹ سیریز کنورج کر رہے so should the original one that is the idea اچھا جی تو اب comparison test کو آخر میں پھر سے دیکھ لیں گے ایک تھوڑی سی اور ایک سامپل کر لیں گے لیکن اس سے پہلے یہ کرتے ہیں کہ limit comparison test جو ہے وہ بھی اندروس کر لیتے ہیں وہ کیا کہتا ہے اس کو بھی ایک تھیورم بھی فورم میں لکھتے ہیں دیکھ لیتے ہیں سٹیٹمنٹ کو پھر اس کی ایک سامپل کر لیں گے آئی دیکھتے ہیں limit comparison test جناب کہتا ہے کہ let a k summation a k and summation b k be سیریز with positive terms and suppose that row equals limit as k goes to infinity of the ratio a k divided by b k یعنی آپ بیسکل کیتھ ایک سامیشن a k and summation b k کی ان کا رشو بناریں اور ساتھ میں اب یہ ہے کہ اگر row finite ہوتا ہے یعنی limit کی value finite ہے اور zero سے بڑی ہے then the series both converge اور both diverge مقصد یہ ہے کہنے کا کہ اس رشو میں اگر result آتا ہے کہ finite ہو اور zero سے بڑا ہو تو دونوں series کے بارے میں آپ کو انفرمیشن مل جاتی اور وہ یہ ہے کہ یا تو دونوں converge کریں گی یا دونوں diverge کریں گی تو اس کی ایک سامپل کرتے ہیں دیکھتے ہیں کہ یہ کیسے ہمیں help کر سکتا ہے how can we use it to determine some things تو ایک سامل آپ کے سامنے جی کہ use the limit comparison test to determine whether the following series converge اور diverge تو یہ آپ کے سامنے ہے کہ پہلی والی جو ہے وہ ہے کہ summation from one to infinity of one over 2 k square minus k چیک جی اب اس میں کرتے ہیں کہ جو in formal principle ہم نے انٹریوز کیا تھا جس میں ہم پورانومیلز کی جو ہایس پاورز کے لعا ترمسی ان کو دلیٹ کر دیتے ہیں اس کے تیہت ہم ایسا کرتے ہیں کہ 2k square minus k کی جگہ ہم اب ایک comparison کرتے ہیں اور وہ یہ ہے کہ اگر میں لکھ دوں اس کو as one over 2 k square only چیک جی لیکن again وہی بات کہ constant terms جی ان کو میں ہٹا سکتا ہوں using a previous principle تو میں یابل کیا ایسا کہ سکتے ہیں کہ بجائے اس کو principle کو use کرنے کیا چونکہ 2 multiply ہورا ہے ہم ایسا کرتے ہیں کہ اس کو factor out کر لیتے ہیں as a one half and we get summation of one over k square تو یہ اگر آپ نوٹ کریں کہ one over k square جو ہے p series ہے اور p series converge کرتی ہے for powers bigger than one تو یہ جو ہے یہ converge کرے گی most likely کہ converge کرے گی تو اب یہ کرتے ہیں کہ now prove کرنے کے لیے ہم یہ جو see room ابھی دیکھتا تھا limit comparison test یہ apply کرتے ہیں اس میں دیکھیں کہ جی دو terms دو series ہونی چاہیے پہلی جو ہے وہ آپ کے پاس ہے original وہ ہے one over 2k square minus k اور جو ایک نئی ہم نے بنائیے comparison کے لیے وہ ہے bk which is one over 2k square اب اس میں اگر ہم ان دونوں کی ratio بنائیں as a k over bk اور limit لیں as k goes to infinity تو result آتا ہے 2k square divided by 2k square minus k limit لیں اس کا تو result آتا ہے one اب چونکہ رو one آیا ہے اور یہ finite ہے اور positive ہے یعنی zero سے بڑا ہے تو it follows from this theorem جو limit comparison test ہے کہ یہ جو given series ہے یہ کنورج کرتی ہے basically کیوں کرتی ہے اس لیے کہ corresponding جو اس کی وہ تھی نئی ہم نے series بنائی تھی one over k square وہ a p series تھی وہ بھی کنورج کرتی تھی لہذا یہ بھی کرے گی اچھا جی تو اب ہم آخری بات کر لیتے ہیں comparison test کی جو میں نے کہا تھا ہم اس پر باپس آئیں گے تو comparison test جو ہے وہ basically ایک طرح کا last resort ہوتا ہے جب ہم convergence کی بات کرتے ہیں series وغیرہ کی تو یہ کوئی تھوڑا سا مشکل ہے میرے خالصے مشکل تو نہیں ہے بلکہ تھوڑا سا complicated ہے استعمال کرنے کے لیے لہذا پہلے باقی جتنے بھی ہم نتیس دیکھیں وہ اپلائے کرنے چاہیے اور سب سے آخر میں comparison test پیانا چاہیے صرف جب پشلے والے سارے فیل ہو چکیوں تو ایک دو چیزیں اس کے بارے میں جو ہم لکھلتے ہیں جو ہمیں بتاتی ہیں کہ کب استعمال کرنا چاہیے ایک سیٹویشن میں ہمیں comparison test استعمال کرنا چاہیے اور کیا requirements ہوتی ہیں اس کی آئیے دیکھیں جناب اس میں ہے کہ two basic steps are required to apply the comparison test to a series summation uk which has positive terms first is to guess whether the series converges or diverges and he is right from the start جو given series اس کو guess کرنا ہوتا ہے he converge کر رہیے he diverge کر رہیے second step find a series that proves the guess to be correct so basically if the guess is divergence we must find a divergent series whose terms are smaller than the corresponding terms of the given series summation uk and if the guess is convergence we must find a convergent series whose terms are bigger than the corresponding terms of the summation uk یہ سیٹھا ہی بگہ اور سمولر کی بات آئے کیونکہ ہم نے دیکھتا کہ there is a requirement of this test تو اب ایک سمپل کرتے ہیں نو دیکھتے ہیں کہ کیا رزلٹ اس کو کیا آتا ہے کہ اگر اس کو اپلائے کریں کسی سیریز پر تو کیا ہوتا ہے یہ ایک سمپل دیکھتے ہیں use the comparison test to determine whether the series converges or diverges سیریز ہے جناب one over k minus one fourth summation k equals one to infinity اچھا جی تو اس میں اب یہ کرنا ہے comparison test کے تحت کہ ہمیں guess کرنا ہے کہ یہ سیریز کنورچ کرتی ہے تو اس میں اور یہ دیکھنا ہے کہ ایک ایسی سیریز بنانی ہے جو اس سے ملتی جلتی ہو اور diverge کر رہے ہو according to our requirement تو سب سے پہلی بات تو یہ نوٹ کریں کہ یہ سیریز جو دیوی ہے یہ ہے one over k minus one over four تو اگر اس میں سے میں constant term ہٹا دوں یہ جو one over four کی ہے جس طرح پرنسپل ہم نے دیوز کیا تھا اس کے تحت تو یہ بن جاتی سیریز one over k تو میرے guess یہ کہ یہ بہت کرے گی one over k کی طرح ان the long term یہ overall تو مقصد اب کہنے کہ یہ کہ آپ ڈیٹرمین یہ کرنا ہے کہ one over k جو سیریز ہے وہ مجھے پتا ہے diverge کرتی ہے تو کیا یہ والی بھی diverge کرے گی تو اس میں دیکھیں کہ one over k minus one over four جو ہے اس کی terms جو ہیں ساری for all values of k وہ ساری بڑی ہیں one over k سے کیونکہ آپ ایک denominator میں denominator میں number ہے اس میں سے one fourth minus کر رہے ہیں a fraction لے رہے تو result چھوٹا آئے گا compared to the fraction with a bigger number تو مقصد یہ کہ one over k minus one over four جو ہے وہ بڑی ہے one over k سے اور لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ according to the comparison test since one over one over k diverges so does the bigger one which is one over k minus one over four ٹیکہ جی تو یہ ہو گیا آپ کا comparison test کی example اور اب میرے خالصے کافی ہمارے پس arsenal جمع ہو گئے جس کے تحت ہم سیریز کو ٹیکل کر سکتے ہیں and heavy weights کو جو میں نے کہا تھا تو یہ لیکچر اب ہم یہاں ختم کرتے ہیں اور next time آپ سے ملاقات ہوگی اسی حوالے سے باقی بات چیت کریں گے thank you Allah Hafiz