 اسلام علیکم لیکچر نمبر 5 کالکلس 1 ورچر نیوزٹی کے کور کے ساتھ پھر سے حاضر ہوں میں ابھی before we start talking about the topics in lecture 5 میں تھوڑا سا یہ جاننا چاہوں گا کہ آپ لوگ کیسا فیل کر رہے ہیں ابھی تک ہم نے جو لیکچرز دیکھیں اس کے بارے میں یعنی ابھی تک ہم چار لیکچر کر چکیں ہم لوگوں نے real numbers کے بارے میں بات چیٹ کی ہے اس کے علاوہ ہم نے lines کے بارے میں بات کی ہے اور کافی جو بیسک ڈیف اور جو طوپکس ہیں mathematics کے جو ہمیں کالکلس میں help کریں گے اس کے بارے میں بات کی ہے تو ہو سکتا ہے آپ کو محسوس ہو رہا ہوں کہ mathematics کافی مشکل ہے یہ کالکلس کافی مشکل ہے لیکن یقینن جو ابھی تک طوپکس میں نے ابھی تک جو ہم نے بات کی ہے چار چیپٹر لیکچر جو پہلے کی ہیں یقینن اس کے جو طوپکس ہیں وہ تھوڑ سے ڈرائی ہیں لیکن یہ کی ہے فیت in this that once you're done with them آگے جب کالکلس شروع ہوگا کافی موضیدار mathematics دیکھیں گے ہم لوگ mathematics کے بارے میں صرف یہ ہے کہ کہنا چاہوں گا کہ it's a very interesting subject اس میں تھوڑی سی مہنت کرنی پڑتی ہے ایک چھوڑی سی مثال دینا چاہوں گا میرے ڈیچر تھے when I was in states america میں when I was doing a masters تو topology کے ایک مست instructor تھے Steve Blyler تو وہ sets کے بارے میں کچھ ایک بڑے مزیگی کہاوت تھی ان کی جو ہم سب کو بتاتے تھے just to show how interesting mathematics really is ابھی آپ کو یاد ہوگا کہ لیکچر number one ڈیے ڈیو میں ہم نے انٹرولز کی بات کی تھی تو اس میں اگر آپ نے ریڈنگ کیا ٹکسٹ کی اپنی تو اس میں انٹرولز کے بارے میں کہا گیا تھا کہ جی بہت سی قسموں کے ہوتے there's something called an open interval something called a closed interval and so forth تو اگر آپ نے بھی تک وہ نہیں دیکھا ہے کیا ہے closed or open intervals تو definitely go back and look at it لیکن یاد رکھیں کہ انٹرولز جو ہوتے ہیں وہ بھی sets ہوتے ہیں تو لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ open interval is an open set or closed interval جو وہ closed set ہے تو جو بات شروع کی تھی میں نے اپنے انٹریکٹر کی professor کی جنو نے topology پڑھا ہی تھی مجھے وہ sets کے بارے میں کہا کرتے تھے کہ a set is not a door a set can be open a set can be closed and a set can be both open and closed very much unlike a door actually تو یہ ایک چھوٹیسی بات تھی جو بڑے خوشی سے ہمیں بتاتے تھے کہ جب میںہت ہم پڑھتے ہیں تو we should look forward to things that are both open and closed دور تو ایسا نہیں ہو سکتا so a door is a very uninteresting object as far as mathematics is concerned but sets are very interesting تو I hope یہ چھوٹیسی ایک میں نے بلکہ ہمارے ستات تھے ان کی جو ایک بات تھی it's supposed to give you some idea کہ how interesting can mathematics be تو we'll keep that in mind for future reference اور آئیے اب شروع کرتے آج کا لیکچر تو آج لیکچر نمبر 5 میں ہم کیا بات چیت کریں گے ہم بیسکلی دو چیزوں کے تین چیزوں کے بارے میں بات چیت کریں گے اس کو دیکھلے تھے آپ کی سکرین پر بھی ایک بولیٹٹ لیسٹ آ رہیے which will tell you all the stuff we'll cover today so let's look at that تو سکرین پر بھی جو ہمارے topic سے آج کے وہ ہیں جناب بیسکلی جو پورا لیکچر ہے وہ ہوگا ناہت چیزوں کے بارے میں وکرٹرٹک آج کے بارے میں تو جو کچھ شاٹسی لکسٹ ہے جو ہم دیکھیں گے جو چیزیں آج کے لیکچر میں ان میں شاہمہل ہے کہ جی ایک طرح ہم دیرائف کریں گے پورمیلہ اپنے دیسٹنس میں دو چیزوں کے بارے میں جو کارڈنٹ پلین یہاں ہم سب آپ کو کلی دیسٹنس فورمیلہ اس کے بعد ہم دیکھیں گے ہم دیکھیں گے ہمیدی تک ایسٹنس فورمیلہ اس میں کچھ دیتیلز ہوں گے کچھ ایکزامبلز کریں گے اور اس کے بعد آخر میں ہم دیکھیں گے کوڈرائٹک ایکویزنز اور ان کے گرافز اور دیکھیں گے ان کے کیا پوپٹیز ہیں اور کیسے گرافز ہوتے ان کے بیسکلی تو یہ سرارٹ کرتے ہیں اس کو آگر آپ کو لیکچہ number 2 سے یاد ہو کہ ہم نے جب ایک لیکچر ریل لائن درو کی تھی یعنی کوڈرائٹ لائنز کی بات کی تھی ہم نے تو اس میں ہم نے گا تھا کہ distance معلوم کیسے کرتے ہیں یعنی کوڈرائٹ لائن جو تھی وہ اس پر ہم نمبرز مارک آف کرتے تھے we would mark off some numbers تو جہاں ہم تھوڑھ سا جنرل ہوئے تھے تو ہم نے گا تھا کہ اگر ہمارے پاس دو points ہیں کوڈرائٹ لائن پے let's call them capital A and capital B اور ساتھ میں ان کے number values کچھ ہو سکتی ہیں could be 1 or 2 لیکن ہم تھوڑھ سا جنارک بات کریں گے ہم کہیں گے کہ coordinate values جو ہیں ان points پے capital A اور capital B پے وہ ہے small a اور small b respectively تو capital A کا coordinate ہوگا small a اور capital B کا coordinate ہوگا small b تو اب یہ ہمارے پاس جب انفرمیشن ہے تو اس کی سوال یہ تھا کہ جی ہم distance کیسے معلوم کرتے ہیں between a and b تو اس کا فارمولہ اگر آپ کو یادو absolute values تمال کرتے ہم نے define کیا تھا کہ the distance between the point a and b was defined as the absolute value of b minus a b minus a سے مطلب small b minus small a جو کہ coordinate values ہیں تو یہ ہم نے فارمولہ درائف کیا تھا for distance between two points on the coordinate line یہ سکن پے بھی آپ کے سامنے آرہ اس کو بھی دیکھ لی جے just for reference the formula was absolute value of b minus a تو اس کو تمال کرتے ہوئے this is how we found and defined the distance between two points on the coordinate line اچھا اب ہمارا مقصد یہ ہے کہ یہ تو ہم نے ایک one dimension میں ایک طرح سے بات کیا ہے اس میں صرف length کی بات تھی ایک طرح سے right اس کے بعد جو ہم نے coordinate line کی بات کر لی تھی تو اس کے بعد lectures follow کیے تھے جس میں ہم نے coordinate plane describe کیا تھا define کیا تھا تو اب اس میں پھر ہم نے points define کیا تھے کہ کیسے points define ہوتے ہیں plane میں تو مقصد یہ ہے کہ اگر اب plane کی اندر میں پس دو points ہوں let's call them a and b تو how do we find the distance between these two points اب آپ کو اگر یاد ہو کہ جب ہم plane میں بات کرتے ہیں تو ہم notations سمار کرتے ہیں p or break parentheses میں ہم لکتے ہیں اس کی p کی جو point کی x or y coordinates ہیں تو مثال کے طور پر اگر one two لکھا ہے point define by the coordinates one two تو ہم لکھیں گے capital P for the point اور اس کے ساتھ ہم parentheses کے اندر دال دیں گے values one comma two تو اب مقصد یہ ہے کہ اگر میں پس دو points دیے ہیں p جس کی coordinates ہیں a comma b اور ایک اور point دیا ہے یہاں میں ساگی طور پر ایسے کہلی جی ہے کہ ایک point ہے p one جس کے coordinates ہیں a subscript one comma b subscript one اور ایک اور point دیا ہے p two p subscript two جس کے coordinates ہیں a two comma b two تو ان کے دل میں آن ہم ایک formula define کرنا چاہیں گے for the distance that'll tell us how what the distance is between these two points آپ پروسہ دیکھئے کہ اب ہم two dimension میں ہیں تو ظہرہ کچھ زیادہ complicated لگنی چاہیے سارے جو formulas آپ کی آن گے تھوڑے سے complicated ہونا چاہیں گے لیکن مزے کی بات یہ کہ we'll just use the idea developed on the coordinate line for finding distance between two points and generalize it so to speak اور اس کو اس idea کو استعمال کرتے ہیں ہم ایک formula define کریں گے for finding the distance between two points in the plane so let's see how we do that اچھا ایسا کرتے ہیں کہ ایک triangle بناتے ہیں ایک right angle triangle یہ اس کو اس طرح بھی دیکھ لی جی کہ اگر آپ کو میں کوئی ایک line بناتے دیتا ہوں یا آپ کو کوئی دو points دیتا ہوں میں plane میں and you connect them with a line آپ ذائر ایسی بات ہے کہ جو ہم نے کہا distance معلوم کریں گے ہم point p1 and p2 کے بعد درمیان تو وہ distance وہی ہوگا جو میں a line draw کی تھی that line between the points p1 and p2 will define the distance between the points p1 and p2 تو اب یہ ہے کہ اس کو تھوڑا سامنے اس کو concrete کر لیا کہ آپ ہم distance سے کیا مراد ہے ہماری تو اب ایسا کرتے ہیں کہ اس line کو reference لیتے ہوئے let's draw a right angle triangle اس line کو لیتے ہیں اس کے دو points لیتے ہیں جو ہمارے پاس ہیں p1 and p2 and let's make a right angle triangle based on this information we have تو سکین پی آپ کے سامنے بھی a right angle triangle آرہا ہے یہ آپ کو بتایا گا کہ what exactly is it that I am talking about تو یہ پکچر آپ کے سامنے آئی سپین پہ اس میں اب دیکھیں کہ آپ کے پاس horizontal concept ہے horizontal distance کا جو کہ horizontal coordinate coordinate پہ ہے جس کو ہم x axis کرتے ہیں تو یعنی آپ ایک distance آپ travel کر رہے ہیں in the horizontal direction جب آپ p1 سے p2 کی طرف جاتے ہیں اور ایک distance آپ travel کر رہے ہیں vertical direction میں یعنی y axis کے اوپر اور یہ وہ distance ہے جب آپ وہی vertical distance ہے جب آپ travel کرتے ہیں when you move from p1 to the point p2 تو یعنی آپ کے پاس دو directions دیوی ہیں for distance right تو جو horizontal side ہے اس کی length ہم بڑے رام سے معلم کر سکتے ہیں جو horizontal distance ہم کبر کریں گے وہ ہوگا the difference between the x coordinate of the final point and the x coordinate of the initial point تو وہ ہمارے پاس بڑا simple result ہے a2-a1 اور اس کی absolute value تو یہ تو آپ کے پاس horizontal distance آجائے گا اسی طنا سے آپ vertical distance یہ جو کبر کریں گے آپ یہ جو length ہے vertical side پے وہ بڑا رام سے معلم کر جا سکتے ہیں اس میں simple formula ہے آپ کے پاس اس کے اندر جو y value سی b1 b2 ان کا آپ difference لے لیں تو آپ کے پاس آگا b2-b1 اور اس کی absolute value لیں گے تو جو horizontal side یہ جو horizontal distance آپ کبر کریں گے جب آپ move کریں گے from the point p1 to the point p2 اس کو تو بڑا رام سے ہم معلم کر سکتے ہیں کیونکہ it's a simple formula formula ہے جی جو x coordinates میں difference ہے آپ وہ difference معلم کریں اور اس کی absolute value لے لیجے تو یہ formula بنے گا جناب a2-a1 چونکہ یہ a2 اور a1 جو ہمارے x coordinates تھے p1 p2 کی points کے تو یہ آپ کے پاس آجائے گا horizontal distance یہاں لیکن لیکن لیکن لیکن لیکن اسی طرح سے آپ vertical distance ہی معلم کر سکتے ہیں یہ جسے کہہ لیکن length of the vertical side جو آپ نے distance cover کیا ہے vertical direction میں وہ بہت سیمپل سا ہوگا وہ بھی similarly it'll be b2-b1 and the absolute value of that difference تو یہ آپ کے پاس length of the vertical side آجائے گی تو یہ آپ کے پاس آگا distances covered in the horizontal direction and the vertical direction in the y direction تو یہ آپ کے پاس آپ کو چل گئے دونوں تو آپ ان کو استعمال کرتے رہے آپ جو distance معلم شروع میں ہم کرنا چاہ رہے تھے وہ کیسے کریں گے how do we use this information to find the initial find the answer to the initial question we asked ہمارے initial question ہی آدے آپ کو تھا کہ the length of the line we drew between the points اوہ روح پیٹو اوہ دی تو یہ دی کی ویلی کیسے معلم کریں گے تو یہاں پہ آپ کو وہ یاد ہوگا بہتا فیمس تھیرم یہ یہ یہ اس کو جس کو ہم کہتے ہیں پتھائگرس تھیرم اور اگر یاد ہو آپ کو ہم نے پتھائگرس کی بات بھی کی تھی شروع میں پہلے لکچر میں جیسے یہ بھائی سار بین جنو نے اپنے ایک student کو well he drowned his student because پتھائگرس بھی لیکن خیر وہ کوئی افسوث ناک بات ہی لیکن we still over lot to پتھائگرس اور اس کا تھیورم we see that we keep using it again and again تو اسی تھیورم کو استعمال کرتے رہا ہم یہ پروف ہم معلوم کر سکتے ہیں کہ دی کی لنٹ کیا ہوگی تو یہ دیکھتے ہیں وہ کیسے کریں گے اگر سکین پر ہم دیکھیں تو سکین پر دیکھیں کہ پتھائگرس آپ کی جو پکچر ہے اس میں آپ کے پاس ایک right angle triangle بن گیا ہے this is exactly what we started with ایک right angle triangle میں اس کی جو بیس ہے اس کی لنٹ پتھا ہے یہ لنٹ ہے جناب a2-a1 absolute value میں جو opposite side کلاتی right triangle کی وہ ہے ہمارے پاس b2-b1 absolute value میں تو لہذا ہمارے پاس we know two sides the lens of the two sides of the right angle triangle and that's exactly all we need to actually find the length of the third side because it's actually called the hypotenuse of a right angle triangle تو جو ہماری d ہے that is the hypotenuse and that is exactly what we are trying to find the length of that hypotenuse تو how do we do that we use the famous pathagoras theorem اس کی equation یہ ہے اور اس کو ہم استعمال کرتے ہیں کیسے معلوم کرتے ہیں آئی دیکھیں سکین پر تو pathagoras theorem کی تھیرم کی ستیٹمنٹ ہے x y z تو in x y z کی درمیان رلیشنشپ ہوتی ہے جی x square plus y square equals z square تو یہ this is a famous pathagoras theorem تو ہارڈو ہی use it to actually help us in finding d let's look at that also اب آپ کے پاس جو right angle triangle تھا اس کے اندر آپ کی جو بیس تی جو جو ایک سائی تی جس کو ہم x کہہ رہے ہیں اس اجامبل میں پر pathagoras theorem کی ستیٹمنٹ ہم نے x کہا وہ ہمارے پاس ہے the absolute value of a2 minus a1 جو آپ کے پاس vertical side ہے جس کو ہم y کہہ رہے ہیں تو وہ ہمارے پاس ہے b2 minus b1 in absolute value اور ان دو لنس کو استعمال کرتے رہے ہم formula میں استعمال کرتے ہیں پر pathagoras theorem کی تو ہمیں پاس ستیٹمنٹ آتی ہے d square equals the square of absolute value b2 minus a1 plus the square of absolute value b2 minus b1 تو یہ تو آپ کے پاس ستیٹمنٹ آگی this just follows from pathagoras theorem کیونکہ ذائر ہے ہم نے بھی جو اجامبل کی اس میں بھی ایک right angle triangle تھا اور pathagoras theorem exactly applies to right angle triangles تو ہم بڑے رام سے استعمال کر سکتے ہیں ہم نے کر لی اب ہمارے پاس ایک equation آئیے جس میں 2 squares ہمارے left hand side میں ایک d square on the right hand side ہمیں پاس سن کریں لیکن ہمیں صرف d چاہیے ہمارے پاس آرہا ہے result d square کیلئے تو how do we get rid of the d the square on the d well we take square root لیکن اگر آپ کو یاد ہو lecture number one سے I hope you are paying attention یہ وہی بات ہے کہ I hope you keep remembering you remember what we talked about earlier کہ ایک کوئی بھی real number ہو اس کے 2 square roots ہوتے plus or minus square root لیکن یہ جب ہم distance کی بات کرتے ہیں تو دیسٹنس کن never be negative اور that is exactly what we are talking about right now دیسٹنس سو when we take the square root of d square we will only consider the positive square root اور when we do that we get this result on the screen we get d equals the positive square root of the absolute value of a 2 minus a 1 absolute value square plus b 2 minus b 1 absolute value squared تو یہ آپ کا d کی value آگے آپ کے پاس اور that is exactly what we are trying to find out تو اس سپ کو ہم استعمال کرتے بھی ہم نے دیکھا کہ we have finally found a way to actually find the distance between any 2 given points in the coordinate plane they can be any points as long as you use the Pythagoras Theorem زیرہ ہم نے بہتی جنرکسی argument کیا یہاں پے تو this works for any point p 1 p 2 in the plane تو یہ آپ کا تھا distance how to find the distance between 2 points in the coordinate plane آگے چلتے ہیں دیکھیں اور کیا کرنا ہے آج تو اگر آپ کو یاد ہو lecture number 1 میں ہم نے بات کی تھی absolute values کے حوالے سے ایک relationship تھی between the square of an absolute value of a real number or the square of a real number the relationship یہ تھی بسکل کہ the absolute value of any real number squared is equal to that number squared itself تو سکین پہ دیکھلتے ہیں really quickly what I'm saying سکین پہ آپکہ سامنے ہوگا the absolute value of a squared equals a itself squared تو یہ کافی elementary سی ایک چیز دیکھی تھی تو اس کو ہم یہاں پہ استعمال کرتے ہیں اور جو distance d ہم نے اس کا ایک formula ڈفائن کیا تھا جس میں absolute values تھے جیسے میں ابھی تھوڑی در پہلے کہا تو ہم اس کو those absolute values کو ہٹا دیتے ہیں تو دیکھلتے ہیں تو سکین پہلے کیا ہے کہ کیا ہے کہ وہ distance formula ہوگا دیکھلتے ہیں ہمارے پاس رجونلی تھا square root of a2-a1 absolute value squared plus b2-b1 absolute value squared اس کو ہم لکھ سکتے ہیں as the square root of a2-a1 quantity squared plus b2-b1 quantity squared تو اب آپ نے absolute values ہٹا دیے ہیں اور you just have the distance formula i.e distance between a formula for finding the distance between 2 points in terms of squares only یہاں پہ ہم ختم کرتے ہیں my distance formula کی distance کی جو ہم نے بات کی تھی between 2 points and this is what we define as the distance formula اس کو theorem کی form میں لکھ لے تھے this is the distance between 2 points in a coordinate plane is given by that formula اور اس کے اندھرم نے اسم کیا ہے کہ یہ جو coordinates ہوں گے ان دو point کے وہ اس formula میں جو لکھ لے ہیں وہ ہوں گے تو اب آگے چلتے ہیں ایک ایک اجامبل بھی کر لیتے ہیں زیرے چونکہ تھیورم اور کافی abstract سی باتے کی ہیں تو اس کی اجامبل کرتے ہیں let's find the distance between 2 points that are given in the coordinate plane let's just do it on the screen really quick ایک اجامبل ہے جی کہ find the distance between the points minus 2 3 and 1,7 تو let's call x1 y1 as let that be the point negative 2,3 and we'll say that 1 and 7 1,7 is the point x2 y2 یہ ہم نے اس لی کہا تھا کہ ہم جو formula میں ہم نے ہم نے پہلے a1 b1 a2 b2 سمال کیا تھا اب ہم یہاں پہاں x1 y1 x2 y2 سمال کرنے تو we'll use those points those abstract points ان کو ہم رینیم کریں گے جو ہمہیں پس real values دیتی as abstract points to use them in the formula تو let's go back to the screen تو screen پہاں ہمہیں پاس ہے کہ جی اب جو distance معلوم کرناوں گا اس کا formula یہ ہے distance formula ہمیں پتہاں ہمیں پتا ہے کیا ہے تو یہاں پہاں ہم اس کے اندر values plugin کریں گے تو ہمہیں پاس result آئے گا absolute value تو a root of 1 minus the 1 minus minus 2 quantity squared plus 7 minus 3 quantity squared and that is equal to basically square root of 25 which is 5 تو یہ آپ کے پاس distance آگیاں دو point کے درمیان اچھا بھی آپ ایک بات آنوٹ کیجئے کہ یہ کوئی فرق نہیں پر پہاں کہ میں x1 y1 kiss point کو لیبل کروں یہ a x2 y2 kiss کو لیبل کروں کیونکہ آپ کی square یہ جو distance formula ہے اس میں quantity ساری سکویر ہو جاتی ہیں تو it doesn't matter کہ آپ کہیں غلطی سے چھوٹی value پہلے نہ لکھ دیں کیسی real number کی یعنی اگر x2 جو وہ چھوٹا اور x1 بڑا ہوتا تو negative result آتا ہے right لیکن it doesn't matter because you actually end up squaring the result eventually that's part of the formula تو it doesn't matter which way you label them it all works out nicely تو اب آگے جلتے ہیں اچھا اب ایک اور topic دسکس کر لیتے ہیں یہ ہے جناب the mid point of a line تو how do we define that مقصد یہ ہے کہانے کہ کہ اگر آپ کے پاس کوئی دو point دیے ہیں again p1 p2 اگر coordinates کلتے ہیں اب ہم کے x1 ہوں گے x1 y1 for p1 x2 y2 for p2 مقصد یہ ہے کہ اس لائن کا میں middle point کیسے معلم کروں mid point یعنی کوئی ایسا طریقہ ہے formula جو مجھے exactly center میں ایک point دے اس لائن کے اور point کے coordinates دے یعنی how do I find the coordinates of the mid point تو اس کو سب سے before we look into the trying to find the formula for the mid point of a line in the plane let's see if you can find the mid point or the coordinates of the mid point on the coordinate line basically any one dimensional case میں تو I'll screen پر دیکھیں کہ how do we do that basically ایسا کیجے کہ start with the two numbers a and b doesn't matter a چھوٹا ہو سکتا ہے بھی say a vice versa اُس میں پہلے تو آپ یہ کیجے کہ you first half the distance between a and b تو یہ تو بہت سیمپل سے باتا ہے کیونکہ آپ دیسٹنس آپ کو پتا ہے اور b کا وہ ہوتا ہے b minus a آپ یہاں پہاں ہم نے سوم کیا کہ a is less than equal to b تو b minus a جو وہ positive ہوگا تو absolute value کوئی ضرورت نہیں ہے تو اب اس دیسٹنس کو جو ہم نے b minus a معلوم کیا ہے between a and b اس کو ہمیں half کرنا ہے تو we just divide it by two تو جب آپ two سے divide کریں گے b minus a کو تو ظہرہ آپ کے پاس you get the half the distance from the point a to the point b تو یہ اب آپ کے پاس half distance آگیا لیکن آپ کو اس coordinate معلوم کرنے this half the distance جو آپ اگر اس کو mark off کریں coordinate line تو اس mark جو آپ کریں گے اس کا coordinate کیا ہوگا یہ کیسے معلوم کریں گے بہت سیمپل سے باتا ہے کہ آپ کے پاس half distance ہے تو اس کا مطلب ہے کہ یہ half distance یہ a and b کے درمیان ہے تو it is half from the starting point right یعنی a سے آپ اس دیسٹنس پر you get to the half point midway point between a and b تو اسی coordinate معلوم کرنے کا برا سان سے طریق ہے take the coordinate a of the beginning starting point and to that coordinate which is a add the half distance so let's see what happens when you do that on the screen آپ کے پاس basically formula آتا ہے کہ جی a plus that distance half distance which is one half b minus a can be simplified being one over two multiplied by a plus b تو یہ آپ کا formula آگیا to find the coordinates of a point of the mid point of two numbers on the coordinate لائیں یہ تو بڑا آرام سے ہو گیا کوئی مشکل نہیں تھی اور یہ بھی نورت کلی جیے کہ یہاں پہ ہم نے assumption کی تھی کہ a is less than equal to b it doesn't matter if b is less than equal to a یعنی ان کو آپ ان کی relationشپ کہ ہم ایک میٹ پوệnٹ اس کا لین we assume کریں گے کہ we know the میٹ پوینٹ where it lies on the line and the real thing we are interested in is basically trying to find the coordinates of that میٹ پوینٹ۔ تو یہاں پہ Him assume کر لیں گے کہ چونکہ P1 اور P2 دیے لیں تو ان کا میٹ پویںٹ جو ہے وہ m ہوگا capital M اور اس کے ابھی فلحالم arbitrary value جو دیتے ہیں اس کے coordinates کو we will call them x and y اور اس کے بعد ہم کارڈنٹس معلوم کرتے ہیں کیسے ہوں گے تو یہ جو x اور y ہے اس میں اب ہم اس کی جو کارڈنٹس معلوم کریں گے یعنی اس کی value کوئی formula ہم چاہتے ہیں کہ ہمیں ملے x کے لیے اور y کے لیے جو کہ کارڈنٹس ہیں m کے مٹ point کے تو اس کو ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں ہمارا مقصد یہ ہوگا اس کو ان کے value معلوم کرنے کا ہم جو process follow کریں گے وہ یہ ہوگا کہ ہم آپ کا مٹ point ہے y value اس کا جو آپ کی point ان کی y value اس کا تو یہ پکچر میں دیکھتے ہیں کہ exactly ہے کیا یہ سارہ تو یہ پکچر ہے جو آپ کو بتا رہی ہے کہ what we are trying to do so how do we do it let's prove it یہ ہم کیسے نا prove کریں گے پروف جو ہوگا اس کا وہ بڑا elementary سا ہوگا ہم prove یہ کرنا چاہ رہے ہیں کہ x equals one half x one plus x two that is what it means to be the mid point of x two and x one جو ہم نے ابھی پچھلی example دیکھی کہ horizontal case یعنی جو آپ کی one dimensional case ہوتا ہے جہاں پر صرف ایک line ہوتی اس پر دو points ہوتے ہیں اس کا mid point کا formula کیسے معلوم کرتے ہیں یہ ہم show کرنا چاہتے ہیں تو یہ ہم similar triangles کا جو idea geometry سے elementary geometry سے وہ استعمال کرتے ہیں پروف کریں گے یہ آپ کی exercise ہے کہ using this fact آپ کیسے نقیز ہے کہ x is indeed equal to one half x two plus x one and y is indeed equal to one half y one plus y two a y two plus y one تو یہ آپ کیسام لیک ہے کہ تھیورم ہے ثیورم ہے ایک the mid point of the line segment joining two points پیوین پیوین with coordinates x one y one that is for p one and x two y two forزکتا کی بتا پہلے کی سالات پر اس میں پریشار ہوتا ہے کہ مثل پر خودی جذبہ ہے اس لئے بات کسٹ میں پہلے کی طرح چاہتے ہیں دیکھنے کے حقیث میں پیشان دے ہیں گا ج潮 Stacy میں پیشان کی بانکا ہے جس ایسی بارہ چاہتے ہیں تیارے کے حقیث میں اپنا اکسٹ کے حقیث میں پیشان کے حقیث میں بہت لکھا ہے کہ ایک کیلک تو چاہتے ہیں مجھے جو سوچ ہتا ہے جس میں کبا ساتھ لکھا ہوتا ہے تو ایک ایک بہت جو73 دینگی اور معلومت ہے جب کہ بارے میں ہوکاراگا ہے کی توریہ خود بھی بس تو ہی جو ہوگا اچھا جی تاہرکلس کی بات کرتے ہیں اب ہم آگے چلتے ہیں ایک سرکلس کی ہوتے ہیں میرے خالص ہے سب سے آسان طریقہ سرکل identity خود میں ناہی تھا میں بھی ہاتے ہوں میرے خالص ہے اovan کی جی کے اسی ہے اویٹی باہر اعز پرمیویہ اوہی کے دن میں نکرنے والا اوہی کے دنہوں والا لیکن ایک لائن ہے، اس کی لینتی تنی ہے یہ ہے اس کو عمل ہے اس میں بھی پوائن ہے بھی پوائن پی2 now I will fix this one point I will hold onto it with my other hand this will be my favorite point let me move the rest lines then what do you see I get this sort of emotion right تو خیر یہ چونکہ انسان ہوں تو I can't actually go all the way around وہ مو بی ایکزرسیسٹر تھی اس میں تو گردن پوری مور جاتی تھی but I can't do that لیکن یہ ہے کہ آپ I think you get the idea that my hand if I was to continue would move all the way around and come back and stop right here where I started تو this is how you define a circle یعنی آپ کے پاس ایک center point ہے اس کو center point کہلیجے اس کو center کہتے ہیں سرکل کا اور یہ سرکل بنا basically یہ میں جب ہاتے ایسے گھما کے واپسلا کے روکہ تو I got a circle اور وہ سرکل کلسٹی دیفائن ہوا basically center of the circle ایک fixed radius which is my hand in this case اور ایک trace of all points basically that lie on the circle اور وہ بیسکل وہ point سے جو میں نے trace out کییں جب میں نے اپنا ہاک گھمایا تو that's how you get a circle سرکل کیا ہے؟ سرکل is the set of points you get when you have a fixed length ایک radius from a certain fixed point اور سرکل کیا ہے؟ تو you get a circle تو اس میں نوٹ کیجے کہ اس میں distanced formula انوالد ہے یعنی اگر میں نے جیسے یہاں پر میرے پاس center تھا اور ایک لائن تھی تو جتنے بھی میرے پاس نمبرز آئے یعنی جو میں نے ہاتے سے گھمایا تو ایک سرکل بنا جتنے بھی point سے سرکل پہلائے کر رہے ہیں ان سب کیا distanced from the center point is the same fixed length this one تو یہ بیسکل آپ کی ایک definition منجاتی سرکل کی کہ the circle is the set of all those points in the coordinate plane which are a fixed distance from a fixed point in our case it was actually p1 with some coordinates اور اگر distanced fixed ہے تو آپ کیا مطلب اس کو کس طرح سے لکھ سکتے ہیں اس کی جو definition اس کو کوئی equation منہا سکتے ہیں بالکل کیونکہ آپ نے distanced کا mention کیا یہاں پر بیچ میں تو it is very obvious that we are going to use the distance formula دیسنس فرمیلہ استعمال کرتے ہوئے دیکھئے کیا ہم لکھ سکتے ہیں ایک equation defining a circle وہ equation ہے سکین پی دیکھتے ہیں the equation will be اگر ہمائے پاس fixed point تھا with coordinates x0 y0 یعنی x subscript 0 y subscript 0 اس کو ہم کہہ لیں گے point p0 تو اس سے جو distanced ہے اس point کیا اور باقی سارے point کے درمیان ہماری equation بنیگی جو جتنے بھی point سے x y وہ are distanced ہونے چاہئے from x0 y0 تو ہم بیسکلی x's کے درمیان distanced فرمیلہ کر لیتے ہیں using the distance formula اور y's کے درمیان distanced فرمیلہ کر لیتے ہیں using the distance formula again اور result آنا چاہئے square root of x minus x not or x0 quantity squared plus y minus y subscript 0 quantity squared equals are تو یہ آپ کے پاس formula آگیا for the distance between all the points on the circle and the fixed point لیکن ہم a square roots پر سن نہیں ہے تو ہم square کر دیتے ہیں دونوں sides کو and we get the following equation ہمیں پاس آئی گی square both sides to get are square equals x minus x subscript 0 quantity squared plus y minus y subscript 0 quantity squared and that will define your equation of a circle تو اس کا pictorial ساک picture بھی بنانا رہتے ہیں pictorial idea ہو جائے گا کہ ہو کیا رہا ہے یہ آپ کے سامنے picture ہے and that is exactly what's happening یہ a relationship ہے ہم نے geometric picture سے start کیا and now we have a algebraic equation for that picture تو یہ آپ کے پاس آگیا جناب relationship between distance and circles basically circles are defined in terms of distance formula اور اب یہ دیکھ لیں کہ جو بھی equation ہم نے دیکھی circle کی this is actually the standard form of the equation of a circle آگے چلتے ہیں اچھا اب یہ جو ہمارے پاس آئی ہے ابھی equation of a circle اس میں بڑے مزے گی چیز ہے آپ نوٹ کیجے it makes life so easy اس میں picture اور جو equation ابھی ہم نے دیکھی تھی اس کو اگر آپ دیکھیں تو نوٹ کیجے کہ equation میں جو x0 y0 these are the coordinates of the central fix point جو میری کونی تھی elbow تو یہ تو آپ اگر equation آپ کو ایسے لیکھی you know the value for x0 y0 then you know the center of the circle یعنی center ہی تھا جس کو ہم نے fix کیا تھا اور پھر line کو rotate کیا تھا اس کے آس پاس تو یہ آپ کو right away بتا دیتا ہے center کیا ہے similarly آپ اگر r square کو دیکھیں تو وہ آپ کو radius بتا دیتا ہے کہ ظاہر a radius کیا ہے circle کا تو یہ standard form بڑے مزے کی equation ہے جو standard form of this circle equation it tells you all the information right away تو we should keep this in mind آگے circles آگے دیکھتے example ظاہر ہے سب سے پہلے جو چیز دماؤ میں نے چیئے کہ کچھ theory کیے تو let's do an example تو here's an example on the screen for you example ہے جناب آپ کی find an equation for the circle of radius 4 centered at minus 5 and 3 تو اس کا سلوشن کچھ ہی ہوگا کہ ہم مارے پاس center کے point سمے دیے میں تو ہمارا x subscript 0 یعن x not جسے کہتے ہیں x not will be minus 5 y not y subscript 0 y 0 کہلے ہیں y not کہلے ہیں is equal to 3 and r equals 4 کیونکہ radius بھی دیا ہے تو یہ تو بڑی سمبر سی بات ہے کہ you just plug the values into the equation and we will get x plus 5 quantity squared y minus 3 quantity squared equals 16 اب نوٹ کیجئے کہ یہ جو equation آئیے اس کو آپ اگر quantities جو squared ہیں ان کو expand کریں تو آپ اس کو expand it form میں بھی لکھ سکتے ہیں اور وہ expand it form یہ آپ کے سامنے سکین پہ ہے x squared plus y squared plus 10x minus 6y plus 18 equals 0 یہ آپ کی اس کی expand it form آگی کبھی کبھی ہم اس کو بھی استعمال کریں گے اور ابھی آگی چلکے دیکھتے ہیں کہ how can we go backwards also اگر آپ کے پاس expand it form دیوی ہے how can you go back to the standard form so let's move on تو before we move on ایک تھوڑی سی دو چیز ایک چیز بتا دا چلوں کہ ایک چیز ہوتی unit circle unit circle جس کا مطلب ہوتا ہے کہ آپ کا ایک ایسا circle جس کا center جہا ہے وہ origin ہے in the x y plane coordinate plane اور اس کا radius one unit یعنی one تو circle with radius one and center at the origin in the x y plane is called the unit circle very important again وہ ہی باتا ہے کہ simple سی باتا ہے لیکن very important and we'll see why it's important later on ابھی ہم نے دیکھا کہ ہم نے ایک مثل کی جس میں circle کی ہم نے equation معلوم کی given the radius and the points تو اب ایسا کرتے ہیں کہ اس میں ہم نے دیکھا کہ ہم نے equation لکھی پھر اس کو ہم نے expand کیا تھا ایک expanded form آئی تھی تو میں نے کہا تھا کہ ہم اس کو reverse بھی کر سکتے ہیں تو ایسا کرتے ہیں ہم دیکھتے ہیں کہ ہمار پاس ایک expanded form میں equation دی ہے circle کی اور question ہے کہ how do we go backwards and form a standard form for that equation اس پروسس میں ایک پروسس ہوتا ہے اس پروسس میں involved ہے اس طریقہ جس کو کہتے ہیں completing the square شہد آپ نے پہلے بھی کیوں میں اس process میں کافی weak ہوا کرتا تھا تو I hope you are not that way لیکن تھوڑا سا complicated لگتا ہے but it's very simple تو ہی ایک example کرتے ہیں جس میں we see the whole process that is involved تو let's go to the screen تو اب یہ ایک example جو screen پہا ہے یہ ہے جی کہ find the center and the radius of the circle with equation x square plus y square minus 8x plus 2y plus 8 equals 0 تو اس کو کیسے کریں گے سوال؟ اس میں basically ہم a square complete کرنا ہے so we can write in the standard form تو اس میں سب سے پہلے آپ first group together the x terms and group together the y terms and take all the constants to the right-hand side of the equation to get this equation basically and now we do the completing the square part how do we complete the square in this process in this equation what we do is we take the coefficient of the power of the first power یعنی جو آپکہ پاس x ہے جس کی power 1 ہے مثال کے طور پر دو ویریبلز ہیں x اور y آپ دونوں کو جب x کی بات کرتے ہیں تو take x with the power 1 on it اور اس کا coefficient لیلیجی یعنی جو نمبر اس کو multiply کر رہا ہے in this example it happens to be minus 8 تو آپ minus 8 کو 2 سے دیوائٹ کیجے اور جو result آتا ہے اس کو square کر دیں or add it to both sides of your equation similarly آپ power 1 دیکھے y کی اس کا coefficient ہے 2 divide that by 2 get the result in this case it will be 1 square it add it to both sides of the equation تو یہ جو نمبر آپ نے add کی ہے بھی on both sides of the equation یہ بیسکلی these numbers complete the square at least I mean the complete the square on the left-hand side of the equation اور ان کو آپ دیکھئے میں سکین پر لکتا ہوں result کی آتا ہے and you'll see what I mean تو result آپ کا آئے گا eventually x minus 4 to the power quantity squared plus y plus 1 quantity squared equals 9 اس میں ایک انٹمیڈٹ سٹیپ ہے جو میں miss کر چکوں لیکن I have written it on the screen you can look at that and convince yourself that the algebra is correct تو یہ آپ کا ایک process تھا جو آپ کو reverse میں بتاتا ہے اور اسی process کے ذریعہ آپ بتا سکتے ہیں کہ center کیا ہے اس کا circle کی جو equation originally دیتی آپ کو دیوی گئی تھی اور اس کا radius کی ہے تو I will let you do that اب ہم آگے چلتے ہیں quadratic equations کی بات کرتے ہیں let's see what quadratic equations are اس کی ایک definition یہاں کچھ دیکھتے ہیں screen پر کیا ہے تو quadratic equation آپ کی بیسکل ہوتی ہے any equation that looks like y equals ax squared plus bx plus c where a is not equal to 0 and a b and c are all real numbers تو یہ بیسکل آپ کے پاس this is what a quadratic equation is this is the form of it a جو ہے وہ 0 کی برابر نہیں ہوتا کیونکہ آپ نوٹ کریں a 0 ہو تو اسکن the power 2 on the x which you have goes to 0 and you're basically you have a line تو ہم lines کی بات نہیں کر رہے ہیں اب ہم more complicated چیزہ کی بات کر رہے ہیں تو یہ آپ کا quadratic equation ہوگی اس میں نوٹ کیجئے ایک picture سبھی آپ کے سامنے میں بناتا ہوں اور اس کے ساتھ کچھ statement سکھی بھی آنگی وہ بیسکل idea یہ ہے کہ اگر آپ کا coefficient your leading coefficient کلاتا ہے the a which is the coefficient of the highest power of x وہ اگر positive ہے تو آپ کی picture کچھ ایسی آپ تیے کہ ایک u بنتا ہے یعنی اسے کر کے imagine کیزی جیسے ہم میں نے سرکل بنایا تھا ابھی تھوڑے در پہلے تو اب آپ imagine کریں کہ آپ کے پاس ایک یہاں سے لے کے ایسے کر کے آپ rotate کریں یہاں تو اس طرح کی ایک picture بنتا ہے u تو یہ آپ کا this is called a parabola basically اور یہ u shape کا ہوگا اگر a positive ہے اگر a negative ہے یا a is less than 0 than your parabola turns out to be an upside down u it'll be something like this تو that's also a parabola but it's opening upside down it's called a parabola opening down and in the first case it's called a parabola opening up اچھا اب بات کرتے ہیں this line of symmetry کی parabola کی یا quadratic equation کا جو گراف بنا تھا parabola اسے کچھ cemeteries ہے وہ دیکھتے ہیں یا اس کی properties دیکھتے ہیں اس گراف کی کیا ہوتی ہیں تو آپ نے گراف کی picture سے دیکھتے ہیں اس میں not کیجیسے اگر آپ اس کی گراف کو middle میں کاتیں there is a middle to the graph تو ایک straight line سے بنتیے اور یہ line ایسی ہے کہ اس کے left-hand side اور right-hand side پیچھر ہے وہ symmetric ہے یا دیکھتے ہیں mirror images جو straight line بنای ہے وہ ایک طرح کا شیشہ ہے mirror ہے اور آس پاس جو وہ گراف بنائے اس کی جو picture ہے وہ symmetric ہے یا نہیں there is a certain kind of symmetry to that ہم نے جب symmetry کی بات کی تھی تو یہی بات کی تھی کہ there is a certain symmetry تو اس کو آپ کنمتز کر لیجے اپنے آپ کو کہ it is symmetric about the line the پرابلہ the graph of the quadratic equation it is symmetric about a line which is parallel to the x-axis اب اس لائن کے بارے ہم بات کرتے ہیں یہ لائن کیا چیز ہوتی ہے اس سے پہلے ایک تصری دیکھ لیتے ہیں کہ میں کیا کیا رہا ہوں سل میں the picture is that here is the پرابلہ اور یہاں پریک straight line اس کے center میں سکت کرتی ہے یہ لائن parallel to the y-axis ہے and you can see this obvious symmetry that you can basically conclude from the picture تو یہ تو آپ کی لائن ہو گئی اب اس لائن کے بارے میں کیا کر سکتے ہیں یہ لائن basically جب آپ اس کو draw کریں all the way down to the x-axis تو نوٹ کیجئے کہ یہ ایک x-axis کو انٹرسپٹ کرے گئی eventually تو کیا ہم اس کا point x value معلوم کر سکتے ہیں کہ یہ کنسہ coordinate کیا ہے اس لائن کا x coordinate تو یہاں یہ بھی کہا لی جیے کہ ایک طریقہ کہنے کا یہ ہے کہ یہ جو لائن جہاں چس point کے through گزری ہے پرابلہ میں سے اس کا ٹیکنکل word ہوتا ہے اس کو کہتے ہیں ہم vertex تو یہ vertex جہاں ہم اس بات میں انٹرسٹر دائن کہ اس vertex کا x coordinate معلوم کرنا چاہتے ہیں how do we find that اس کا ایک formula ہے we won't prove the formula it's provable we can derive it ایک آپ کی textbook میں exercise ہے جو آپ کو it helps you find the vertex لیکن ہم اس کو بس define کر دیتے ہیں ہم define کریں گے the x coordinate of the parabola is given by the formula x equals minus b over 2a تو اس کو screen بھی دیکھ لیتے ہیں formula ہے جی for the vertex of the parabola the formula is x equals minus b over 2a تو یہ b کیا ہے اور یہ 2a کیا چیز ہے b آپ کو یاد ہوگا جو quadratic equation تھی جو پرابلہ کی corresponding equation ہے اس میں b جو تھا وہ coefficient تھا x کا یعنی x to the power of 1 کا تو یہ وہ b ہے اور جو a ہے وہ coefficient ہے x to the power of 2 کا تو یہ سب کچھ جو جو formula بھی آپ نے vertex کا define کیا ہے define in terms of the coefficients defined initially by the quadratic equation اچھا جی تو یہ آپ کے پاس ابھی ہم نے گراف دیکھا اب ایک اگرامپل اور کرلتے ہیں بہت quick سی اس میں ہے کہ ہم یہ چاہتے ہیں کہ quadratic equation تو ہمارے پاس ہے آپ ہم یہ دیکھنا چاہتے ہیں کہ کیا ہم اس کے y-intercepts اور x-intercepts معلوم کر سکتے ہیں یعنی آپ کو جو پرابل ہے ہی quadratic equation کا جو گراف ہوتا ہے اس کے x اور y-intercepts کیا ہیں تو y-intercept تو بہرہا رام سے معلوم ہو جائیں گے آپ نوٹ کریں کہ جہاں y-intercept کی definition کیا تھی previous lecture میں کہ it is the point where the x coordinate is 0 تو آپ اپنی quadratic equation میں x کو 0 سیٹ کر دیجے تو آپ کے پاس بڑی quickly ایک result آجائے گا y-intercept کی value ہوگی c جو constant تھا آپ کی term میں آپ کی equation میں y equals c will be your y-intercept آپ زیادہ کاملکیٹ کی اس ہوتا ہے جب آپ x coordinate اس کا x-intercept معلوم کرتے ہیں quadratic equation کا تو آئی اس کو screen پر دیکھتے ہیں ہوتا کی ہے بیسیکلی یہ بتاتا چلوں کہ when you find the x-intercept for the quadratic equation you end up using the famous یا notorious کیلی جی quadratic formula یہ I'm sure you all know what it is and let's do an example and see what actually we can do with this let's go to the screen جی y equals x square minus 3x plus 2 اس کا ہمیں x-intercept معلوم کرنے y-intercept بڑا سان ہے یہاں ہی پی دیکھ لیں بڑے اسانی سے کہ y equals 0 I'm sorry x equals 0 ہوگا تو آپ کے پاس y-intercept آجائے گا تو y equals 2 آجائے گی آپ کے پاس value x اگر 0 ہے and that will be your y-intercept اگر آپ کو x-intercept معلوم کرنے تو you set y equals 0 and you get the result x square minus x plus 2 is equal to 0 اب یہاں پہ آپ کو کوڈرائٹک فرملہ استعمال کرنے ہوگا کیونکہ اس equation کو فکر نہیں کر سکتے لہاں آپ کے فرملہ ہے اگر آپ استعمال کریں x equals minus b plus or minus square root of b square minus 4ac divided by 2a تو یہ بڑا فیمس کوڈرائٹک فرملہ I hope you're okay so far پرشانی کی بات نہیں ہے we'll probably just use it right now for a while you know an example or hopefully by the time we're done you'll be convinced because it's a very easy thing to do easy to remember and easy to work with تو آئیس example کو solve کر لیتے finally اگر آپ کو اب اس میں دیکھئے کہ a کی value 1 ہے اس example میں جو equation b کی value minus 3 ہے and c is equal to 2 اس کو سپسٹوٹ کر دیجی فرملہ تو یہاں پے ہم نے بات کرلی کافی اب یہاں پر ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو اس کا ریکاب کرلیتے ہیں تھوڑا سامنے کیا سیکاج آج ہم نے باتے کی basically ہم نے start کیا midpoint formula معلوم کیا ہم نے distance پہلی ڈفائن کیا between 2 points in a plane ہم نے یہ بھی بات کی کہ پھر ہم نے midpoint معلوم کیا between of a line joining 2 points b 1 p 2 پھر ہم نے اس کے بعد circles کی بات کی پھر ہم نے quadratic formula اور اس کی graphs دیکھے تو یہ آج کا سارہ لیکچر تھا circles کی بات کرتے ہیں میرے حال سے میں سر یہ کہوں گا I hope you're not seeing circles right now اتنا مشکل لیکچر نہیں تھا point وہی ہے کہ یاد رکھیں کہ you do your exercises you do your homework and I think all will be well تو we'll see you next time تتک یہ جازت اللہ حافظ