 Gracias por la invitación para participar. La idea del curso está pensada para personas que no tienen mayor conocimiento en álgebra, sea álgebra lineal. Con eso deberíamos entender al menos las dos primeras charlas. Y la última, como va a ser una aplicación, ahí nos vamos a ir un poco más rápido y vamos a usar otras herramientas, pero vemos en la marcha. Entonces, el curso se llama Introducción a las Algebras Obviamente es un área extremadamente extensa. Vamos a tratar de dar un pantallazo muy por arriba de los conceptos básicos sobre las álgebras delí. Y bueno, como les dijo, Martín, son tres charlas. En la charla de hoy lo que pretendo es dar algunos conceptos básicos que son los que vamos a usar. O sea, me voy a concentrar en estos en particular porque son los que voy a necesitar para la charla de mañana donde quiero mostrarles cómo uno trata de entender cuántas álgebras delí tenemos en dimensiones bajas. Lo que queremos es dar una lista completa en dimensiones bajas de álgebras delí. Esto no se puede hacer en dimensiones grandes. Obviamente hay una clasificación mucho más compleja donde ya empezamos a estudiar los conceptos de simple y semisimple que no vamos a tratar en este cursito. La idea es dar completamente cuántas álgebras delí que tengo en dimension 1, 2 y 3, que es en las únicas dimensiones que vamos a poder hacer eso, que es lo que quiero hacer mañana. Y en la última charla dar un ejemplo de una de las tantas aplicaciones que tiene las álgebras delí en otras áreas. En particular, me voy a concentrar en una aplicación que es de finanzas, economía. Me pareció interesante porque en general uno cuando estudia álgebras delí suele ver ejemplos principalmente de física, que son la motivación que uno suele ver de forma más natural. Y bueno, entonces me pareció como nos íbamos un poco de las referencias usuales de álgebras delí poder contarles este ejemplo que va a ser el viernes. Entonces como les dije, vamos a dar conceptos básicos para entender los objetos que queremos clasificar. Primero, ¿qué va a ser un álgebra delí? Un álgebra delí básicamente va a ser un espacio vectorial sobre un cuerpo. Acá no le puse condiciones al cuerpo, pero vamos a pedir que tenga característica cero para que todo funcione sin problemas, aunque la mayoría de los resultados que voy a decir funcionan sin necesidad de pedir eso. Pero pensemos que es de característica cero, así todo camina. Y bueno, ¿qué es? Es un espacio vectorial sobre este cuerpo donde obviamente va a tener una estructura adicional, que es la que nos va a permitir decir que este espacio es un álgebra delí. ¿Cuál es la estructura? Es un producto, pero que no se va a comportar como un producto usual. Si tenemos una operación bilineal que va del espacio por el espacio en sí mismo, que se llama corchete delí, generalmente, ¿qué condiciones les vamos a pedir a esta operación? La primera es que si uno multiplica un elemento por sí mismo, eso siempre da cero, ¿OK? Y la segunda, que es lo que se llama la condición de Jacobi, que es lo que ya nos muestra que no se comporta como un producto usual, porque no vamos a tener la propiedad de asociatividad, sino que vamos a tener una propiedad diferente que lo que nos está diciendo es que si tenemos 3 elementos del álgebra y multiplicamos 2x por el pari por z, le sumamos el producto de i por zx y luego le sumamos el producto de z por x y toda esa suma nos tiene que dar cero. No sé si observan, la relación es cíclica. Es una forma fácil de acordarse de la condición de Jacobi. Si tenemos 3 elementos del álgebra, la relación nos dice los movimientos cíclicos de estas 3 variables, cómo se tiene que comportar esta operación para que sea una álgebra delí, ¿OK? No sé si están familiarizados con el concepto de álgebras de lí. A veces si uno mira las referencias que hay en la propiedad 1, en muchos lados se escribe así o se escribe diferente usando 2 elementos, que es lo que se dice que el producto es antisimétrico. No sé si lo han visto. Pero justo esa propiedad se puede probar, que ahora lo voy a hacer, que es equivalente a la que escribimos ahí. Y el hecho de eso es justamente de que el producto delí o el corchete delice antisimétrico es lo que nos va a permitir dar esta definición. Uno dice que una álgebra delí es abeliana si damos cualquier par de elementos que ustedes consideren el producto delí es cero. O sea, básicamente me dice que las estructuras abelianas en el contexto de álgebra delí son estructuras triviales. El producto tiene que ser cero. Naturalmente, uno entiende por un producto abeliano o un producto commutativo, ¿no? La estructura sea commutativa. Y eso justamente es equivalente a la definición que dimos reciente observando esa cuentita que está ahí arriba. Esa cuentita que está ahí arriba justamente nos da la condición de antisimetría que es una condición equivalente a la que nosotros dimos de que el producto de dos pares de un elemento con sí mismo, perdón, de cero. Es muy fácil lo que dice ahí. Estoy usando las propiedades de biliñalidad de esta operación. Tomo dos elementos genéricos, x6 y del álgebra. Considero la suma de ellos. Si aplico la linealidad de las dos componentes para deducir que sí tenemos que la condición 1 se cumple, entonces el producto de x por 10 menos el producto de y por x. Es claro que es equivalente, ¿no? Porque si tenemos esta condición para cualquier par de elementos deducimos la que llamamos por condición 1. Y ahora, bueno, ¿dónde estaremos? Perdón, no sé qué pasó ahí. Aparte de que pasan cosas raras se apaga, ¿eh? El reviso cada tanto se me apaga. ¿Dónde estaba? Acá. Como les dije, la condición 1 la podemos reescribir de esta otra manera, que también aparece en las referencias, que es la que dice que el producto es antisimétrico. ¿Por qué digo que esta definición o esta condición equivalente a la 1 nos permite entender lo que dijimos como álgebra de Líabeliano? Si uno le pide al producto del y que sea conmutativo, ¿qué quiere decir que un producto sea conmutativo? Si uno intercambia las variables, quiero que me dé lo mismo. Entonces, la condición 1 prima, ¿qué me está diciendo cuando yo pido esa propiedad sobre el corchete del y? ¿Qué es lo que tiene que pasar sobre el corchete para que esta propiedad se cumpla? Por lo que dice ahí, este producto tiene que ser a su vez lo mismo que este. Entonces, ¿cuánto puede valer este elemento de mi espacio vectorial si él es igual a su opuesto? Cero. Exactamente. O sea, es equivalente pedir que el corchete sea cero a pedir que conmune. O sea, por eso es que decimos que esa es la definición de álgebra de Líabeliano, ¿OK? Nada de una observación inmediata, ¿no? No hicimos nada muy extraño. ¿Qué quiero mostrarles ahora? Lo que hice acá en este párrafo, obviamente, todo el mundo sabe. Tengo un espacio vectorial dimensión finita y tomo una base, cualquier elemento se puede escribir como combinación lineal de la base. Nada. Pero lo que quiero mostrarles es que uno, cuando tiene la condición de estar trabajando en dimensión finita, puede simplificar un poco las operaciones que no tiene que verificar para mostrar que una álgebra verifica las condiciones que llamamos condiciones de lío, sea que el producto es antisimétrico y que se verifica la condición de Jacobi. ¿Cómo uno lo hace? Si uno conoce una base como espacio vectorial, lo que uno tendría que verificar, por lo que dice esta observación, es muy fácil de ver, que los elementos de la base verifican las dos condiciones que definen a la álgebra de Líabeliano. En muchos de los ejemplos, esta es la forma que uno tiene de probar que realmente tengo una álgebra de Lí en mi definida sobre un espacio de vectorialidad. ¿Qué es lo que digo acá en este cálculo? Lo único que estoy tratando es de convencerlos que la afirmación es correcta, o sea, que basta verificar las condiciones 1 y 2 sobre todos los elementos de la base que elegí para garantizar que tengo una álgebra de Lí. Acá lo único que estoy mostrando es la condición 1, que uso, tengo un elemento cualquiera de mi espacio vectorial, lo escribo como combinación lineal de la base. Como yo estoy trabajando con una operación que es bilineal, las propiedades me dicen que ese producto se puede expresar como la suma de tomar los corchetes de los elementos de la base, de cualquier par de elementos de la base. Y ahí tranquilamente digo que es 0. Alguien, alguna de ustedes, se da cuenta por qué realmente esa suma me tiene que dar 0. Que es cierto, es 0. Y eso es lo que me permite probar que, si yo sé que los corchetes de los elementos de la base verifican las condiciones de Lí, tengo automáticamente al menos la primer condición probada. La de Jacobio es mucho más engorrosa que esta. Voy a tocar tres elementos, escribo como combinación lineal, aplicar el corchete a 2 y luego al tercero se me va a quedar sumas entre síndices que luego tengo que reescribir de manera de ver que realmente esa suma me da 0, sabiendo que la condición de Jacobio se verifica en la base. Pero qué es lo que estamos usando en esta propiedad para poder garantizar que esta suma es 0? ¿Se dan cuenta? Exactamente, estamos usando que primero que si sumo sobre la diagonal, o sea, si es igual a j, directamente puedo usar la condición 1 que me dice que el producto de i con i es 0. Y después, cuando estoy sumando en el resto de los síndices, lo que hay que observar, como dice el compañero, es la propia de antisimetría. Pero cuando tengo el producto de eso y con eso j, eso es lo mismo que menos el producto de j con eso v. Y eso es lo que hace que 2 a 2, todos estos términos se me estén cancelando. Por eso es justamente que uno deduce la condición 1 a partir de la propiedad sobre los elementos de la base. Es un cálculo muy elemental, pero sí es muy útil a la hora de construir ejemplos. Entonces, la idea ahora es seguir mostrando estructuras que nos van a permitir trabajar la clase que viene. Y a partir de lo que acabamos de decir, hay una estructura particular que tiene este nombre, estructura constante, que básicamente lo que me dice es lo que acabo de decirles en la propiedad anterior. Si uno conoce cuánto vale el corchete sobre los elementos de la base, eso me determina completamente la estructura del i. Entonces, lo que dice ahí es que justamente a lo que va a valer sobre la base va a ser lo que vamos a llamar estructura constante del álgebra. Está clara esa afirmación que si yo conozco cuánto valen estos escalares a su hijota, puedo reconstruir toda la estructura del i. Sí, pero justamente lo que acabamos de mostrar es que si uno tiene las propiedades sobre los elementos de la base, lo podemos extender a los elementos genéricos de mi álgebra. Una observación inmediata, esta construcción va a depender de la base. Si yo cambio la base, mis coeficientes claramente van a cambiar. La observación que dijeron ustedes hace un ratito, el hecho de la antisimetría, me dice que en realidad no necesito conocer en el cuadro de escalares, sino que solo necesito conocer la mitad. Bueno, ahora vamos a dar una lista de ejemplos para familiarizarnos con este concepto para los que no lo han trabajado nunca y para los que sí lo han trabajado para refrescarle la memoria de los ejemplos más elementales que aparecen o los más usados, al menos los que vamos a usar nosotros para clasificar. El primero es solo motivacional. Es para decirles que ustedes ya han trabajado con álgebras del i, aunque no les hayan puesto ese nombre. Pero lo que digo es que si ustedes piensan en R3 con el producto vectorial, producto usual de R3, de 2 vectores, es fácil ver que eso me da un álgebra del i. Ni siquiera tenemos que hacer las cuentas. Es básicamente por geometría, por la geometría del problema. Y por lo que dijimos recién, uno puede observar que realmente esta operación me da una estructura del i. Primero, si ustedes quieren garantizar que se cumple la propiedad 1, o sea que el producto de un elemento con sí mismo me da 0. Eso sabemos que en R3, si estamos trabajando con el producto vectorial, es cierto, ¿no? Dado un vector, si lo multiplican por el mismo, saben que eso siempre les da 0. Y cómo podemos garantizar la condición de Jacobi. Pesemos en R3 y el producto vectorial usual. Cómo uno puede, usando lo que dije recién, cómo uno puede convencerse de que esta operación define una estructura del i. Podemos hacer la cuenta, sale, que agarramos 3 vectores de R3, calculamos los 3 productos posibles que aparecen en la descomposición de Jacobi y lo sumamos y da 0. Pero geométricamente, si uno quiere evitar hacer esa cuenta, ¿cómo podríamos observar que realmente me verifica la condición de Jacobi? Lo que dijimos recién es que si uno ve las propiedades sobre una base que es automáticamente garantizado que verifica las propiedades del i sobre cualquier elemento, ¿no? Entonces, si tomamos la base canónica y calculamos las operaciones que aparece en la descomposición de Jacobi, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Tengo que agarrar 2 vectores de la base canónica, calcularles el producto vectorial y a ese nuevo vector, ¿sí? Exactamente, como estamos, la base canónica es ortogonal con respecto a este producto. Cuando hacemos esa operación, ¿qué es lo que está pasando con el producto de los 3 vectores de la base canónica? ¿Cuánto da? Siempre da 0. O sea, cada uno de los 3 sumandos que aparecen en la descomposición de Jacobi da 0, por lo tanto, tenemos que se cumple la propiedad 2 directamente usando la geometría nada más. Y el resultado que dijimos recién que basta verificar la condición sobre una base. Esto es un primer ejemplo que ilustra que, realmente, lo que dijimos sobre base simplifica bastante el cálculo. Otro ejemplo trivial, básicamente, lo que me dice que es todo espacio vectorial, puede pensarse como una algebra de lí, donde la estructura que estamos dando es la veliana. Si le damos el corchete 0, eso le da estructura de algebra de lí. Y en particular, el cuerpo sobre el cual estamos trabajando se puede pensar como una algebra de lí dándole esta estructura. Para ejemplos un poco más interesantes, tenemos un espacio vectorial y consideramos las transformaciones lineales del espacio en sí mismo. Queremos ver que este espacio vectorial admite una estructura de lío. ¿De qué manera vamos a definir el corchete en este ejemplo y en el que viene lo vamos a definir de igual forma? Vamos a tomar el conmutador. El conmutador, de qué cosa, las transformaciones lineales, uno tiene una operación natural que es la composición. Si componemos dos transformaciones lineales de un espacio en sí mismo, me sigue dando un objeto de mi espacio vectorial. Entonces, tengo derecho a definir esta nueva operación que general se dice que es el conmutador, lo que hace es medir la diferencia entre componer dos funciones de un sentido y componerlos al revés. Entonces, lo que afirma este ejemplo, es que esto me da una estructura de álgebra de lí sobre el espacio de las transformaciones lineales. Bueno, acá no voy a tomar elementos de la base, pero vamos a ver alguna de las condiciones que me permite garantizar que realmente este es un álgebra de lío. ¿Qué es una operación bilineal? Está claro, ¿no? Porque estamos trabajando con la composición de transformaciones lineales, la composición cuando uno deja variar las dos funciones, me queda una operación bilineal. Por lo tanto, tenemos la primera condición que es que la función que tengo que definir tiene que ser bilineal. La otra condición que me pedí es que, si le calculo el corchete a un elemento con sí mismo, tiene que dar cero. Es claro, ¿no? Porque estamos componiendo la transformación con sí mismo. Y la otra condición es la de Jacobi. Acá dejenme, aunque sea en este caso, hacer la cuenta para que vean que suele ser bastante tedioso verificar esa condición en general. Y no la voy a volver a hacer nunca más. Pero veamos en esta que es bastante fácil. Queremos probar que, si uno calcula estos tres corchetes y lo suma a cero, esa es la condición 2 que nos estaría faltando para garantizar que realmente esto es una algebra L. Este dioso, pero es muy fácil, ¿no? Porque por la definición del corchete en este caso, esto nada más que lo que tenemos que hacer es componer en las sentidos posibles lo mismo con los otros dos humanos y finalmente y observen que milagrosamente todo se cancela. ¿Por qué? Realidad, esto es la composición de la transformación T con S con U menos la de T con U con S y así sucesivamente. Y si miramos cuando sumamos estas tres expresiones, podemos observar que cada término tiene su opuesto en la suma. Dejenme mirar alguno al menos. Esta TSU está acá, TSU, justamente con el signo opuesto. TUS aparece donde? Acá me falta una S, perdón. Aparece acá. Menos con menos más o si se cancela con este. Y así sucesivamente podemos observar que cada uno de los términos tiene su opuesto en la expresión. Por lo tanto, tenemos la condición de Jacobi garantizada. Entonces tenemos las transformaciones lineales de un espacio en sí mismo. Es un ejemplo de una algebra del I. Otro ejemplo son las matrices, matrices cuadradas, donde voy a definir el conmutador o el corchete del I de igual forma que este como el conmutador, pero ahora de matrices. Si quieren verificar las condiciones en exactamente las mismas que hicimos acá, la única diferencia es que en lugar de la operación ser la composición es el producto, pero automáticamente se verifica las tres condiciones de igual forma. Y acá aparecen algunos ejemplos que se construyen a partir del primer ejemplo que hay recién, de matrices. Vamos a considerar algunas matrices. SLN, que suele llamarse el álgebra lineal especial, son las matrices que tienen la propiedad de que su traza es 0. Este es un subespacio de las matrices. I, la propiedad que dice I, que si uno tiene dos matrices cuales quiera y les calcula el corchete y luego les toma la traza, eso me da 0, me garantiza que yo puedo restringir mi operación a este subespacio vectorial. Y por lo tanto, tener ahí, definir una estructura de álgebra del I. Está claro, ¿no? La propiedad de que si uno calcula la traza de E por N y le resta la traza de N por M, justamente eso es uno de los ejercicios de álgebra lineal 1, que suele aparecer, es que eso da 0. Entonces, podemos restringir nuestra corchete a ese subespacio y tener, definir una estructura del I sobre este subespacio. De igual forma, podemos restringirnos el lugar a trabajar con las matrices de traza 0, trabajar con las matrices triangulares superiores. Nuevamente, es fácil ver que podemos restringir el corchete a ese subespacio. Y tenemos definida una estructura del I ahora sobre este nuevo subespacio vectorial y hay una restricción particular es que el lugar a trabajar con las matrices triangulares superiores trabajamos con las triangulares superiores estrictas. O sea, que también le pido que la diagonal sea 0. Ahí también podemos definir el mismo corchete y vamos a tener otro ejemplo de álgebra del I. ¿Qué tienen de particulares estos dos ejemplos con respecto al anterior que los construyo como subespacios del primero? Entonces, estos dos nos motivan en cierto sentido o a preguntarnos si existe la noción de su álgebra del I. Sobre acá estoy diciendo que estos subespacios, sobre los cuales voy a trabajar, les voy a dar la misma estructura que tenía el espacio vectorial de las matrices. Bueno, si existe, obviamente, el concepto de su álgebra del I y la condición que le vamos a pedir a un subespacio para que sea una subalgebra del I, es justamente lo que verificábamos recién en los dos ejemplos. Que si uno toma un par de elementos, cual es que era del subespacio y les calcula el corchete del I, eso tiene que caerme en mi subespacio. Caramente, los dos ejemplos anteriores verificaban esa condición, por lo tanto, teníamos una subalgebra del I. Al igual que uno habla de su álgebra, también podemos hablar de lo que son los ideales. ¿Qué vamos a pedirle a un subespacio de una álgebra del I para que sea un ideal? Bueno, la diferencia es, para los que están familiarizados con la noción de ideal, es que uno lo que quiere es que cuando multiplico un elemento del ideal por cualquier elemento del álgebra, eso me cae en el ideal. Bueno, es lo que vamos a pedir acá. Dado cualquier elemento de un subespacio vectorial, si yo lo multiplico con el corchete del I por cualquier otro elemento de mi álgebra, obtengo un elemento en el ideal. De los ejemplos que mencionamos recién de estos, claramente los tres son sus álgebras, ¿no? Alguno de ellos es un ideal de alguna otra álgebra del I o del álgebra de matrices, o sea, qué es lo que habría que verificar. Habría que verificar sistemas de un elemento, por ejemplo, del álgebra del I al especial. Si yo agarro un elemento de mi álgebra, de mi subalgebra y la multiplico por un elemento cualquiera de mi álgebra del I que voy a considerar las matrices. Eso. Multiplico me refiero a aplicarle el corchete. Eso me da un elemento de mi su álgebra, ¿sí o no? Sí, ¿no? El real es la afirmación que está ahí escrita, porque esa vale siempre para cualquier par de matrices que nos tomemos. O sea, si me tomo dos matrices cualesquiera, cuadradas, ¿no? Y le calculo el corchete y luego les tomo la trasa, me va a dar cero. Eso siempre va a caer en mi subalgebra lineal especial. En particular, si uno de los dos elementos ya estaba en esa, va a tener que verificar la misma propiedad. Por lo tanto, el primer ejemplo es un subalgebra, pero también es un ideal. Los otros, ya no es cierta la afirmación y ahora, si quieren, lo vemos a una observación también para los que están un poco más familiarizados con los conceptos de álgebra. Uno, en general, cuando tiene una operación álgebraica, se obtiene un producto que no es comutativo, cuando hablamos de ideales, hablamos de ideales a izquierda e ideales a derecho. Acá en el contexto de álgebras del I, uno no hace esa distinción. No es necesario hacerlo. ¿Por qué? Porque justamente la propiedad 1 o 1 prima, como quieran, que son equivalentes, nos dice que multiplicar x por i no es y por x, pero casi. En la diferencia de un signo, entonces, esto nos permite decir que si uno tiene un ideal a derecha, también lo va a hacer a izquierda usando esta anticomutatividad. Entonces, uno solo habla de ideales. Ay, como les dije, ahí ha escrito un ejemplo, el que mencionamos recién, el álgebra especial lineal es su álgebra de las matrices. Pero si miramos las triangulares superiores o inferiores, es lo mismo. Podemos ver que no es un ideal de las matrices. Cómo uno puede probar que las matrices triangulares superiores no son un ideal de la álgebra de matrices, la de álgebra del I de matrices. Ahí se que la formación vale para n mayor que 2, no, pero vale para n mayor igual que 2. En el caso 2 también uno puede probar. Basta tomar un elemento de su álgebra, un elemento de la álgebra, calcularles el corcheta y ver que me salgo, ¿no? Y es muy fácil construir un ejemplo que no cumpla la condición de ideal. Consiremos E1, 1. La matriz que tiene 1 en la entrada 1, 1 hicieron todo lo demás, estrangular superior. Y tomemos la matriz que tiene una entrada 1 en la posición 2, 1. O sea, fila 2 columna 1. ¿Qué pasa si uno calcula el corchete de estas dos matrices? Por definición hay que multiplicarlas en las dos sentidos. Y queda. Multiplicar estas dos matrices, si se acuerdan de la regla de producto, la única forma que los elementos de la base de las matrices A y J por KLD diferentes de 0 es que el índice del medio sea el mismo. Entonces son diferentes, por lo tanto, da 0. Y estas, el índice del medio, así coincide. Entonces lo que nos queda en la matriz que tiene entrada no nula en la fila 2 columna 1. Y esta no está en mi subespacio. Porque tiene en la fila 2 columna 1 un término no nulo, sea no estrangular superior. Entonces esto me prueba realmente que no es un ideal. Eso es un ejemplo de una subalgebra, pero no de un ideal de la algebra de matrices. OK. Ahora estamos. Otra construcción asociada a las álgebras del I que vamos a necesitar es lo que se llama el centro de la álgebra. ¿Qué va a ser el centro de la álgebra del I? Van a ser los elementos de mi álgebra, tales que cuando les calculo el corchete del I con cualquier otro, me da 0. A los elementos que verifican esta propiedad son los que vamos a llamar el centro del I. Una observación bastante inmediata es que el centro es un ideal. Realmente es un cálculo muy sencillo. Yo es un ideal de mi álgebra del I, L, que lo que hay que ver es que si tomamos un elemento del centro y lo multiplicamos por cualquier elemento del álgebra del I, eso vuelve a caer en el centro. Pero, ¿abusaron que si uno tuvo un elemento o cualquiera del centro y lo multiplica por un elegimento del álgebra del I, por definición de centro, ese producto me da 0. O sea, lo que habría que ver es que el 0 está en el centro de la álgebra I. Y eso es claro. Algo también inmediato por la definición, pero que a veces está bueno tendrán lo presente, es que pedir que la álgebra sea abeliana es equivalente a pedir que coincida con su centro. De vuelta es, automáticamente, la definición abeliana era que el corchete fuera anulo. Y pedir justamente que el centro coincida con el álgebra es pedir que el producto de cualquier par de elementos de mi álgebra merece 0. Por lo tanto, es exactamente lo mismo que pedir que el corchete sea anulo. Bueno, si uno piensa en las álgebras del I, caramente, naturalmente uno piensa en las funciones entre álgebras del I. ¿Qué vamos a decir? Que es un omomorfismo entre álgebras del I. Primero, tenemos como información base que estamos trabajando con espacios vectoriales. Por lo tanto, lo primero que le voy a pedir a este omomorfismo es que sea una transformación lineal. Pero aparte de ser una transformación lineal, quiero que respete las estructuras del I que tiene cada uno de estos espacios. Cada uno tiene definido un producto o un corchete del I y yo quiero que esta transformación lineal respete esa estructura. ¿Qué quiere decir que respete la estructura del I? Bueno, lo que dice ahí es que si uno toma dos elementos cualesquiera del álgebra y le calcula el producto o el corchete del I y les aplica el omomorfismo, eso queremos que sea lo mismo que primero aplicarle el omomorfismo a cada uno de los elementos y luego aplicar el corchete pero de la segunda álgebra. O sea, ven acá hay dos estructuras del I diferentes. Esta es la que está definida sobre el I y esta es la que está definida sobre el II, que no tienen por qué ser iguales, que el I y el II son dos álgeoras del I cualesquiera. ¿Qué? Bueno, cuando va a ser un isomorfismo, cuando la transformación, aparte de verificar las condiciones, sea billectivo. Un omomorfismo particular que lo quiero mencionar porque lo vamos a usar es interesante de por sí, pero hay muchas cosas interesantes en la teoría que no voy a mencionar porque nos da el tiempo, pero esta en particular sí porque la quiero, la voy a usar mañana. Entonces un omomorfismo que uno puede construirse entre el álgebra del I y el álgebra del I y las transformaciones sobre ella misma es el omomorfismo adjunto. ¿Qué es lo que hace esta transformación lineal? Lo que va a hacer es, es una función que da un elemento del álgebra del I, me tiene que dar una transformación lineal de ella en sí misma y la transformación lineal que voy a definir es justamente calcular el corchete del I a X con I. Acá está la cuentita de por qué realmente esto me da un omorfismo de álgebras del I. Lo que quiero verificar es que justamente si uno toma dos elementos del álgebra L y les calcula el corchete y luego les aplica la transformación adjunta, eso me debería de dar lo mismo que primero calcular la transformación adjunta a cada uno de ellos y luego tomarles el corchete. Pero el corchete del I definido en las transformaciones lineales, que si se acuerdan lo habíamos definido como el conmutador. Por eso acá lo que habría que verificar es esta condición. Eso, un cálculo sencillo que básicamente lo que usa para garantizarlo es la condición de Jacobi. La primer igualdad es la definición, la definición de la adjunta de un par de elementos, luego la condición de antisymmetría y pasar del primer renglón al segundo es usar la condición de Jacobi con los elementos X y Z. Y una vez que uno pasa usando la condición de Jacobi, ya después lo único que tiene que es reinterpretar esas corchetes como la adjunta de la variable que corresponde. Y automáticamente tenemos que esta transformación lineal es un homomorfismo de álgebra L. ¿Qué es lineal? Creo que todos lo podemos crear. De vuelta son cálculos inmediatos por los propiedades que tenemos. Pero lo interesante es verificar que realmente me da un homomorfismo de Lí y ahí juego justamente con la propiedad de Jacobi y la propiedad de antisymmetría. O sea, las dos condiciones las uso para garantizar que tengo una estructura que respeta los corchetes de los dos álgeuras que están en juego. Un pequeño resultado que no dice nada muy interesante, pero está bueno mencionarlo al menos. Dice que en el caso particular de tener álgeuras de Lí avelianas, decir que ellas son isomorfas como álgeuras de Lí, es equivalente a decir que tienen igual dimensión como espacios vectoriales. En dimensión finita trabajemos todo en dimensión finita, que es donde vamos a trabajar nosotros al menos mañana. Entonces, ¿por qué es cierto esto? Porque alcanza que tengan igual dimensión estas dos álgeuras para garantizar que son isomorfas como álgeuras de Lí. Isomorfas como álgeuras de Lí, por lo que mencionamos recién, que es tener una transformación lineal, un isomorfismo lineal, si quieren entre ellas, que respeta las estructuras de Lí de cada una. Pero acá estamos trabajando con álgeuras de Lí avelianas. ¿Qué quería decir que fueran avelianas? Que la estructura de Lí que estoy tomando es la trivial, o sea que los corchetes son cero. Entonces, pensemos en alguna de las dos direcciones, las dos son imediatas cuando uno empieza a pensar la información que tiene. Si tenemos dos álgeuras de Lí isomorfas, en particular, tenemos un isomorfismo lineal. Necesitamos en dimensión finita si tenemos dos al dos espacios vectoriales isomorfos que sabemos de sus dimensiones, que son iguales. El directo es automático. La vuelta, tenemos las estructuras álgeuras de Lí avelianas y sabemos que tienen igual dimensión. Como uno, a partir de esta información, deduce que son isomorfas como álgeuras de Lí. Si tenemos dos espacios vectoriales de igual dimensión, ¿qué es lo que podemos decir sobre ellos? Como espacios vectoriales, nada más. Y eso nos permite definir entre ellos qué cosa, de qué manera, qué va a ser cómo. Un isomorfismo, ¿no? Dados dos espacios vectoriales de igual dimensión uno siempre puede construir un isomorfismo entre ellos. Como dice el compañero, mandando un elemento de la base de uno en correspondiente elemento de la base del otro. Entonces, tenemos naturalmente definido un isomorfismo lineal entre estas dos álgeuras. ¿Qué es lo que habría que verificar para garantizar que el recíproco de este teorema vale? ¿Qué es lo que tiene que satisfacer este isomorfismo lineal para que las álgeuras sean isomorfas, como álgeuras de Lí, que preservan la operación? Pero ¿cuál es la operación en este caso, la trivia? Por lo tanto, como los corchetes son cero, automáticamente esta transformación lineal va a verificar la condición de que respete las estructuras. Además, basta verificarlo en la base. Aunque no lo dijimos, ¿no? Porque no dijimos que para probar que algo es un isomorfismo de Lí necesitaba la condición sobre la base. Pero sí. Entonces, es automática este equivalencia, ¿no? Decir que dos álgeuras de Lí son isomorfas. Obviamente, cuando son abelianas, si acamos la condición abeliana, esto no funciona. Bueno, el directo sí. Pero la vuelta ya no. Saber que tengo un isomorfismo lineal entre dos álgeuras de Lí no es una condición suficiente para garantizar que yo pueda construirme uno que respete las estructuras de Lí. Seguimos con construcciones asociadas al álgebra. ¿Qué vamos a decir que es el álgeura derivada de un álgebra de Lí? Bueno, va a ser esa su álgebra. Vamos a tomar el corchete de Lí del álgebra por sí mismo. Lo que ahí está escrito específicamente, ¿qué quiere decir tomar el corchete del álgebra por sí misma? Ciertomando el espacio vectorial generado por los corchetes de pares cualquiera de elementos del álgebra. Y esta su álgebra aparece de forma muy natural cuando uno trata de clasificar las álgebras de Lí. Que eso espero mañana convencarlos. Y un ejemplito muy sencillo para calcular el álgebra derivada de un álgebra de Lí. Concieremos, en lugar de pedirlos tomar los complejos, representemos los complejos de forma matricial para ser lo más rebuscado. Matrices triangulares, superiores estrictas, 2 por 2, un solo coeficiente, no nulo. Y usando la definición del corchete que vimos recién, es fácil ver o es automático ver que cuando uno calcula el álgebra derivada de esta, me da trivial. Uno puede hacer esta construcción siempre, ¿no? Cualquier ejemplo que uno considere de álgebra de Lí podemos calcular su álgebra derivada. Y asociada a la álgebra derivada viene esta construcción que es la serie de derivadas de una álgebra de Lí, que lo que hace es iterar el proceso de tomar el álgebra derivada para construir una cadena de subalgebras de la álgebra original, observa que en el paso 1 lo que estoy tomando es de la álgebra derivada, en el paso 2 estoy tomando el álgebra derivada de la álgebra derivada y así sucesivamente. Entonces voy construyendo toda esta secuencia de subalgebras que en el caso que estabilice o que cheia 0, que en algún momento esta sucesión termine, se dice que la álgebra de Lí es resoluble. No siempre termina. Acá creo que ahora vamos a ver dos ejemplos donde uno termina y el otro no, un ejemplo de una álgebra resoluble y un ejemplo de una álgebra de Lí que no es resoluble. Sí, justamente. Acá vamos a ver un ejemplo de una álgebra de Lí que sí es resoluble. Acá estoy dando la definición general de la álgebra de Lí de Heisenberg, pero ahora cuando quiera haber un ejemplo concreto, voy a fijar n para que no nos compliquemos mucho con los cálculos. Estoy definiendo la álgebra de Lí real de dimensión 2n más 1 y la estoy definiendo sobre una base. Yo estoy diciendo básicamente que verifica el corchete sobre los elementos de la base que elegí y por lo que dijimos al principio de la charla eso alcanza para entender, definir la estructura de Lí. Básicamente digo que todos los corchetes son 0 salvo cuando calculo el corchete de P sub y por Q sub j. Y todos esos productos me van a dar el elemento de la base C. Después todos los otros corchetes que tomemos de elementos de la base me dan 0. Y concentrémonos en el caso n igual a 1. Veamos cuál es esta álgebra en dimensión 3. Cn es igual a 1. Estoy diciendo que la álgebra tiene dimensión 3. Justamente lo que hice ahí, mi base PQC. Y la voy a representar nuevamente como matrices. Y las matrices que voy a considerar son las que me generan que es su álgebra. ¿Cuál va a ser mi su álgebra ahora en este caso concreto? Que definimos hace bastante rato de la charla. Exactamente, son las triangulares estrictas. O sea, vamos a ver que las triangulares estrictas son justamente una álgebra de Heisenberg de dimensión 3. Que es la cuentita que aparece ahora a continuación. Uno escribe un elemento cualquiera de mi álgebra Lí. Como dijo él, son las triangulares estrictas. Y es fácil ver que, si uno define la operación de Lí que vimos al principio, o sea que estamos multiplicando las matrices en los dos órdenes posibles y restándolos, nos da justamente la propiedad que definía la álgebra de Heisenberg. El producto de PQC me da C y todos los otros productos me dan 0. Veamos en este ejemplo si esta es una álgebra resoluble. O sea, lo que necesito es calcular primero la álgebra derivada y luego seguir iterando el proceso para ver si en algún momento terminó en 0 o no. Para calcular la álgebra derivada, necesito calcular el corchete de dos álgebras cualesquiera de mi álgebra de Heisenberg. Eso me da las matrices que tienen entrando nulas solo en la entrada fila 1, columna 3. Y si teramos de vuelta, si hacemos ahora de vuelta el corchete de dos elementos cualesquiera de H1, ¿qué es lo que pasa cuando uno multiplica estas matrices? Dan 0, ¿no? Por lo tanto, que acabamos de mostrar en este ejemplo que es una álgebra resoluble y se estabiliza en 2. A partir de 2, todos son 0 los elementos de mi serie derivada. Bueno, ahora un ejemplo donde no pasa. Consiremos las matrices que tienen trazos a 0, 2 por 2, con coeficientes complejos, si quieren. En este caso, uno puede ver que la álgebra derivada coincide con la álgebra, y por lo tanto, ¿qué es lo que va a pasar cuando uno empieza a iterar el proceso? Siempre queda estabilizado ahí, ¿no? Nunca decrece. Entonces, este es un ejemplo de una álgebra que no es resoluble. Cómo uno puede convencerse de forma rápida que la álgebra derivada coincide con la álgebra del I? Una forma bastante sencilla es tomar los elementos de la base de mi álgebra y calcularles a ellos el corchete. Y una base de esta álgebra del I, ¿cuál sería? Estas son las de tras a 0, matrices cuadrados por 2 tras a 0. ¿Qué base podemos tomar con espacio vectorial? Una base de este espacio vectorial. Esa es una base de SL2. Entonces uno lo que puede verificar es que cuando calcula los corchetes de cualquiera de ellas con cualquiera de las otras, me va a dar un elemento de L. Por lo tanto, tiene que todo elemento de L está en el álgebra derivada y así deducir que son iguales. Es un cálculo bastante inmediato. O hacen la cuenta en general tomando elementos cuáles quieran del especial lineal, calculan el corchete y ven que representa cualquier elemento del álgebra del I. Me parece mucho más fácil este cálculo, porque tenemos que calcular los corchetes de estas para construir los elementos de L. Entonces acá vimos dos ejemplos de una algeoreal y resoluble y una no resoluble. ¿Cómo sigue esto? Algunas propiedades y ya terminó. Entonces esta es la última hoja. Todo lo que vimos hoy, lo que vamos a ver hoy, lo voy a usar mañana. Traté de minimizar la información requerida para poder trabajar mañana. Yo no di nada adicional a lo que necesitamos mañana para poder clasificar las algeoras de dimensión 1, 2 y 3. Un primer teoremita que aparece acá en esta última presentación es, si tenemos dos algeoras de L y un isomorfismo entre ellas, este resultado en realidad es más general, no necesitamos pedir isomorfismo. Hay que pedir sobreyectiva para que una de las dos valga se puede debilitar un poco, pero nosotros lo vamos a usar mañana en este contexto con isomorfismo. Por lo tanto, lo enuncio acá en términos de un isomorfismo de algebras de L. Lo que dice es que los isomorfismos preservan tanto centro como algebra derivada, las dos cosas. O sea, si uno toma un elemento, toma el centro de la algebra y le aplica el isomorfismo, me da el centro de la otra algebra y si uno toma la algebra derivada de la inicial y la calcula el isomorfismo, tiene la algebra derivada de la segunda. Y les dejo para ustedes este ejercicio, que es un ejercicio muy idealgeora lineal, definimos lo que es la suma directa de dos algebras de L y tanto el corchete, lo definimos de la única manera posible, dado que yo tengo definido el corchete sobre L1 y sobre L2, voy a definir el corchete sobre la suma de la forma obvia. Lo que uno tiene que probar es que realmente esto me define en estructura de Lí sobre la suma directa y, en particular, si uno quiere calcular el centro de la suma directa, me da la suma directa a los centros y si uno necesita calcular el algebra derivada de la suma directa, me da la suma directa de las algebras derivadas correspondientes. Si tienen ganas, lo pueden pensar. Es muy sencillo, es directamente la definición, sale todo muy naturalmente. Y, bueno, como les dije, todos estos resultados ni cerca de darles un pantallón general de la teoría de Lí, pero al menos le da los conceptos básicos que necesitaremos mañana. Es todo. ¿Alguna pregunta?