 es la primera vez que habló en castillano por una charla entonces le pido de ser indurgente y bueno mi charla es una introducción a las curvas elípticas y es la primera parte del tema como dijo el señor sobre las funciones l y etc y la segunda parte va a ser presentada por Marc-André en la próxima semana para empezar voy a hacer algunos preliminarios de gel de geometría y vos voy a explicar lo que son espacios a fines en todo ese curso va a ser un cuerpo y cavar una clausura algebrica y lo que llamamos el espacio a fines de dimensión en sobre ese caso es el que denotamos a n cavar o a n es solo eso cavar a la n o sea el conjunto de los n y el espacio proyectivo de dimensión n sobre k denotado de n es es un consciente de el espacio a fines de dimensión en plus uno por una relación de equivalencia que dice que un en plus uno en plus uno y es equivalente a a un otro si y solo si existe lambda en cada tal que x y igual a lambda y griego y bueno es es un ejercicio de demostrar que es una una relación de equivalencia y y vamos a denotar así con dos puntos la clase de del del en plus uno uplé x x 0 x n ahora lo que vamos a estudiar son curvas a fin a fines y proyectiva plana o sea lo que que llamamos curvas a fin a fines planas son el lugar se en pedos de los cerros de un polin polinomio con coeficientes en cavar digamos y bueno y curvas proyectivas son el lugar en pedos de los cerros de un polinomio homogéneo o sea tal que no sé cómo se dice h h de lambda x lambda y griega lambda z a igual a lambda a la potencia de grado de h de h x y griega y entonces por esa relación vemos que es que tiene sentido de hablar de los cerros de estos polinomios en pedos ok ahora vamos a ver cómo pasar del de la fina al proyectivo y vice versa y por eso vamos a ver que las aplicaciones siguientes quedan del lugar de el conjunto de los puntos en pedos donde x 0 es no 0 si ponemos un punto así sobre el punto en a 2 así obtenemos un punto un punto en a 2 y en el censo inverso si ponemos un punto y puedo obtener un punto en este conjunto agregando 1 así y esas aplicaciones definen una abyección desde este conjunto que vaya a llamar un 0 y así definen varias creo que se llama incrustaciones de a 2 de 2 en d a n de n porque puedo hacer lo mismo con 0 u 1 u n donde y igual este con x y no nulo y bueno y llamamos esos conjuntos las cartas alfinas alfinas de pedos de n y por cada carta y llamamos eso el hiperplano en el infinito no se puede leer por ejemplo vamos a ver qué es precisamente de uno de uno es son los puntos x 0 x 1 entonces en eso podemos considerar el la carta fina u 0 y la carta fina u 0 es eso que podemos escribir también uno algo eso variando en este puñón el hiperplano en el infinito en este caso es sólo el punto 0 otra cosa pero otra cosa es lo mismo que uno porque puedo dividir por entonces es el punto en el infinito y eso es la carta miro pedos pedos lo que va a ser la carta fina u 0 unión al infinito lo que vemos es tenemos que escribir eso y hay dos posibilidades aquí la primera posibilidad es que x no no no no 0 entonces en este caso puedo dividir por x y encontrar puntos así con en griega variando en a uno pero falta el punto obtenido con x igual tu 0 tu 0 y eso da un punto que es el punto en el infinito este entonces es y uno aquí se ve la carta la carta fin y aquí el punto en infinito y ese entonces es una recta en el infinito que de la de la misma manera una curva proyectiva entonces se es la unión no es la unión de de tres curvas a fin planas donde se y se y es la intersección con las cartas a fines y puede ser considerada como una curva y llamamos se y la carta a fines de c y c menos se y los puntos en el infinito de reciprocamente si si tengo una una una curva a fin definida por una ecuación digamos f puede puedo definir una curva proyectiva asociada que se llama la complesión eso no sé si es la buena palabra en español la usura la usura proyectiva la usura proyectiva de ser de ser donde hache es el no sé cómo se dice el el polinomio polinomio homogéneo asociado a f en así donde de es el grado de eso da un polinomio homogéneo puedo mirar la curva asociada es una curva proyectiva y se ve que en este caso se es la carta a fin asociado a donde se está es diferente de por eso alguna vez es digamos sea la curva proyectiva de ecuación tatata con tatata una ecuación a fin sin decir por ejemplo decir muy seguido que que vamos a considerar una curva de ecuación una curva proyectiva de ecuación eso por ejemplo y cuando digo eso quiero decir que miro la ecuación homogénea por ejemplo lo que vaya a llamar una recta proyectiva es una una curva de ecuación del tipo siguiente y y por ejemplo si si miramos si miramos a la carta a fin el interceptado con u2 obteníamos v de a x de c eso es la carta a fin y en esa carta a fin los puntos en el infinito son son los puntos obtenido con z e igual a 0 o sea los puntos tal que eso o sea hay un solo punto el punto menos p a 0 por favor dime si la escritura es de nuevo pequeña voy a probar otra cosa digamos que una curva es definida es definida sobre k si la podemos definir con un polin mío en con coeficiente en k lo mismo por una curva proyectiva y en este caso podemos hablar de los puntos k racionales porque hay una acción del grupo de dialogado sobre la sobre la ecuación sobre c solo en porque hay una acción sobre sobre los coeficientes de f y lo que llamamos c k es son los invariantes por esa acción de la misma manera definimos p en k y a en k y la otra cosa que que de que tengo que hablar antes de hablar de curvas elípticas es que es que cuando estudiamos curvas queremos saber más de las singularidades de la curva para simplificar las cosas vaya a suponer que que se es definida por un polinomio sin factor cuadrado y por el momento estoy con una una curva y digamos que un punto p en c es un punto singular el ya cobrián ya cobriano es vale cero en p y para una curva proyectiva que quiere nada continuando más decía que había un balde para la moto pero gracias por tu intervención que me que me dejo de descansar tres 30 segundos bueno y si se es una curva proyectiva digamos que p es singular si lo es en una una carta fin que lo contiene que lo contiene no importa cual carta no es no eso no depende de la carta bueno y como lo saben la tangente en un punto no singular es la recta en el caso a fin es la recta así y en el caso proyectivo no voy a escribir todo pero es lo mismo aquí más donde p es el punto x 0 y 0 0 0 bueno vamos a ver sobre un ejemplo de este tipo vamos a hacer las cosas en el caso a fin pero como lo han visto es la misma cosa en el caso proyectivo y vamos a estudiar la curva esa curva muy simple cuando cuando miran en el decomiano eso es menos tres x y menos y 2 y y así se ve que se tiene un solo punto singular que es 0 y ahora para estudiar las como son las tangentes en este punto para hacer una un estudio local más preciso vamos a usar el desarrollo de de teilo y cuando entonces si llamo f y menos tres para un f más general puedo siempre escribirlo como sumas de polinomio de homogéneo de grados 1 2 3 etcétera así eso es el desarrollo de teilo con f y homogéneo de grado y y en este desarrollo si f1 es 0 significa que el punto es singular y el por ejemplo aquí no tenemos nada del grado 1 sólo y griega 2 como grado 2 y entonces eso es f2 x y y las tangentes son dados por este o sea las tangentes hay uno una solo tangente la recta y griega igual 0 si hago un dibujo significa que la curva hace así aquí y digamos que es que es 00 un punto doble porque el más pequeño y donde f y es non cero es 2 y que 00 es una punta porque es así voy a tomar uno otro ejemplo ejemplo 2 una vez más se ve que el único punto singular es 00 pero esa vez cuando escribo el desarrollo de teilo veo que hay un f2 aquí el f2 se escribe como como el producto de dos rectas de dos polinomio de grado 1 que son diferentes y menos x y más x y entonces hay dos tangentes esa dos recta la recta v de y de menos x y la recta v de y de más x y si hago el dibujo esa vez aquí son los tangentes y la curva de hacer algo así digamos que 00 es un punto doble porque una vez más f2 no es cero y que es un nodo se llama así y ahora estamos listos para empezar a hablar de curvas elípticas o primero de curvas que tienen este tipo de ecuación como yo escribí antes y que se llaman ecuaciones de vallas tras vallas tras entonces es el número 2 curvas elípticas propiedades geométricas y voy a hablar en primer lugar de las curvas definidas por ecuación ecuaciones de vallas tras tengo sólo 20 minutos digamos que se es una curva definida por una ecuación de vallas tras si se es una curva plana proyectiva con de ecuación a fin eso lo voy a leer donde los coeficientes ahí son a priori en cavar y como lo como lo dije cuando digo eso significa que eso es la la carta a fin no es la curva entonces o sea dada por el polinomio homogéneo asocial que no voy a escribir bueno así pueden ver que en el infinito pueden hacer el ejercicio en el infinito hay un solo un solo punto que es 0 1 o 0 y luego lo vamos a denotar o digamos que la curva se es definida sobre k si los coeficientes ahí son bueno las curvas que como quedado como ejemplos son ejemplos de curvas y y no vaya a dar todos los detalles de lo que sigue pero se pueden se pueden ver los detalles en el libro por ejemplo de sildar man pero voy a dar a darlos una bibliografía más completas la próxima vez lo que quiero decir es que en el caso donde la característica del cuerpo no es 2 podemos obtener por cambios de var de variable y que cambia por uno menos dos eso da una otra ecuación más simple que se escribe y2 igual x3 donde la segunda etapa la primera etapa es esa donde vedo es igual a eso no tienen que escribir pero tienen que recordar que hay fórmulas y que sonan en las notas y además cuando la característica es diferente de dos o tres con un otro cambio obtienen una fórmula todavía más simple una ecuación y2 x3 más algo en x más constante donde c4 igual a eso y c6 igual a eso cuando hice esos cambios de variables ven que y se cambios que no que no tocan a la parte infinita que no que dejan fija fijo el punto en el infinito esos tipos de cambios se llaman cambios admisibles son cambios de variables que dejan o invariable se pueden demostrar que todos los cambios admisibles en las formas siguientes donde ahora vamos a dar una condición para que esas curvas no sean no tienen singularidad y por eso tengo que definir lo que se llama el discriminante de la ecuación de la ecuación que llamó que llamé que llamo ahora estrella por definición delta es igual a una fórmula horrible pero que es más simple en el caso donde la característica es diferente de dos o tres si todavía no no duermen han notado que no he definido este p8 que vale eso y los se puede ver que los índices son elegido para que que corresponde a un peso es otro uno a la dos dos más dos o pero uno más seis hace otro 2 más 6 y la proposición es la la escribo aquí así como ejemplo cuando cuando tenemos una ecuación más simple de la forma obtenida cuando la característica no es 2 o 3 o sea una ecuación de esta forma el discriminante es menos 16 por 4 a 3 por 27 de 2 eso es el discriminante del polinomio de grado 3 y así se puede entender que hay una relación entre los singularidades y el discriminante mirando en el en este caso fácil la curva proyectiva definida por por la ecuación de ver estas es no singular si sólo si delta no es 0 tiene un singular con un solo con una punta solo una y una punta si delta y igual 0 y si 4 igual 0 y singular con si delta y igual 0 si 4 no 0 lo les dejo ver este esa proposición como ejercicio es la misma cosa que lo que hicimos en los ejemplos porque quisiera al menos dar la definición de una curva elíptica básicamente las curvas elípticas son los casos donde la donde no hay singularidades pero voy a voy a dar una una definición brutal se dice brutal se dice una curva elíptica y o es el dado dato de una curva proyectiva de grado 3 pero no no es no singular lo que digamos lisa de género 1 lo voy a explicar más un punto racional sobre que sobre que a un cuerpo cualquiera más un punto racional o bueno voy a explicar un poco no voy a dar la definición del del género es un un invariante geométrico que que permite de clasificar las curvas algebraica pero puedo dar la definición en el caso muy simple de de una curva si se es una curva lisa el género de c que vaya que vaya de notar gc o g de grado de el grado es el grado del polinomio que la definen y en este caso es solo de menos uno por de menos dos sobre dos si si la curva es singular si tiene si se tiene singularidades hay que agregar hay que agregar aquí algo que depende de la de la singularidad que no vaya bueno así al menos con esa con esa definición aquí se puede ver que y lo dejo como ejercicio también que si se es dada por por una ecuación de varias tasas etual con discriminante non cero en este caso es la curva de lisa y podemos calcular que el género es uno no es no es un ejercicio inmediato se puede ver que si no no no entonces que igual uno y lo que en y podemos tomar como como punto racional el punto en el infinito entonces las curvas que tienen una ecuación de varias tras con discriminante no cero son curvas elípticas y reciprocamente se puede mostrar no lo voy a hacer porque usa el teorema de rima no rock que no que no es el programa de este curso se puede mostrar que que cada curva elíptica con mi definición brutal admite una ecuación de varias tras así reciprocamente el teorema de rima no rock implica que toda curva elíptica puede ser definida una ecuación delta y con punto racional o igual a 0 1 0 para terminar voy a dibujar dos ejemplos de curvas y bueno por ejemplo si si dibujo los puntos racionales r racionales los puntos reales de la curva definida por por y2 igual a eso más 3 y de otra parte por y2 igual x menos menos x bueno empezamos por este ejemplo vemos que este polinomio tiene tres raíces reales si si quiero dibujar esta voy a obtener algo así bueno ya se vuelve algo así eso es y pero si pongo un 2 aquí tengo que no hay coloras no encuentro tengo que licear un poco todo eso y tomar sólo la parte positiva y entonces voy a obtener algo algo así y eso va a desaparecer en este caso hay que no me acuerdo dónde está bueno hay sólo un raíz real digamos aquí y entonces eso será sin el 2 y con el 2 voy a licear un poco todo eso y obtenemos obtenemos este dibujo la próxima vez mañana vamos a ver que podemos poner sobre este esas curvas una ley de grupo y vamos ahora a hablar más de aritmética y con menos calculos espero que hoy día