 Bueno, va arriba. Bueno, muchas gracias por el aguante, por estar acá, por haber sobrevivido hasta acá. A ver si llegamos a hacer algo imponente hoy. Vamos a empezar con ejemplos fáciles, lo que es el conteo de Gauss. ¿Qué es lo que se pregunta a Gauss? Es una cuestión bastante simple. ¿Cuántos pares enteros tengo en la bola de Centros A de rayote? Bueno, esto crece, obviamente crece con T, ¿no? La pregunta es, la pregunta que se hace a Gauss es ¿Cómo crece con T? La pregunta es ¿Cómo crece con T? La pregunta es esto. Obviamente que va infinito, cuando tengo infinito obviamente. La pregunta es ¿Cómo? ¿A qué velocidad? Entonces es una pequeña observación que hace Gauss. Es que bueno, ¿qué es lo que yo puedo hacer? Puedo agarrar, ¿vale? Alrededor de cada antero. Alrededor de cada antero pongo un cuadradito así de lado uno, ¿no? Que sería como la igreja dual de esta que tengo acá. Entonces básicamente esta cantidad de números es la cantidad de cuadrados que caen adentro de la bola, ¿no? Salgo que le voy arrando más o menos, ¿no? Algunos quedan por defecto y otros por defecto. Por defecto, ¿no? Defecto y exceso de eso, mucho macho. ¿Qué diabo es esto? Acá está sobrando, acá está faltando, ¿no? Acá está sobrando. Entonces básicamente la moral es, ¿qué es esto, qué es? Es el número de cuadrados, cuadrados en la bola. Yo le estoy arrando, ¿no? Entonces la pregunta es ¿cómo lo estoy arrando? Son los que le tocan los que tocan los que tocan el círculo, ¿sí? Entonces si la bola es enorme, enorme, enorme, los cuadrados que tocan el círculo son así, bien chiquitos relativamente al tamaño total. Así que esto es como pequeño anillito alrededor del círculo, que es borde de la bola, ¿sí? Entonces este pequeño anillito básicamente que va a hacer, va a hacer una cosa que va a tener área tipo, X y el entre comillas por la longitud del círculo, ¿sí? Entonces la moral es que esto es, esto es como el área de la bola y le estoy arrando por la longitud de un círculo, y le estoy arrando y le derro por la longitud del círculo, ¿sí? El área de la bola, esto es pi de cuadrado y esto es pi t. Así que lo que le derro es este, no es relevante al área total. Entonces es que lo que dice Gauss básicamente dice eso, ¿no? Esa es básicamente la prueba que es este número dividido el área t, esto tiende a 1. Así que la cantidad de enteros en la bola es entonces de raya t, este crece como el área de la bola, ¿no? Lo expliqué un poco, lo expliqué un poco más, se puede hacer a la mano, ¿no? Te fijas cuántos hay, para que el cuadrado caiga adentro tiene que estar, esto tiene que ser t-1 o una cosa así, lo haces a la mano, te fijas cuánto le arraste y ya está, no lo voy a hacer porque no me va a salir con este calor. Una pequeña observación es que acá hay uno que aparece ahí, hay uno que aparece acá que es el número de cuadrados en realidad es el área de cada cuadrado, sumo el área de cada cuadrado, esa es la cantidad de cuadrados que tengo adentro, ¿no? Si yo quisiera contar otra grilla diferente, que fuera una grilla pero que fuera más rectangular, yo qué sé, ¿no? Fijo un rectángulo y lo empiezo a copiar para todos lados, acá tengo el cero, yo qué sé, por ejemplo. Ahora cuento los centros de estos rectángulos, si quisiera contar eso, lo argumento es exactamente igual, solo que ahora más que el número de rectángulos tengo que poner, tengo que poner el número de rectángulos por el área de cada rectángulo. ¿Entiendes? Pues acá lo que va a pintar es esa intersección, vamos a llamarle gama por cero si quieren, a los centros de... vamos a llamarle gama por cero si quieren a los centros de todos estos rectángulos, ¿sí? Esto acá está acá, esto va a ser algo del estilo, tengo que poner el área del agua, por supuesto, como antes, y ahora esto me va a atender al área de rectángulo base. Tiene más o menos el amor del resto del asunto, ¿no? Entonces, bueno, uno puede agarrar y empezar a mirar este problema en situaciones un poquito más complicadas, que es, por ejemplo, ahora vamos a usar algo parecido, pero en vez de mirar Z2 actuando en R2, vamos a mirar, por ejemplo, un subgrupo discreto de isometrías, o mejor dicho, vamos a hacer algo... Sí, exactamente. Más que pasar, esto quiero decir, la otra cosa es cuando miramos este grupo actual, el consciente de R2 por Z2 es un toro, ¿no? Esto ya lo sé, esto es un dominio fundamental, ¿sí? Entonces, cuando miramos que están acá, los elementos de la grilla que está dentro de la bola, la recta que hay unos dos puntos dados ahí, y eso en el toro que es, va a ser una curva cerrada, que va a ser geodésica para la métrica plana, del objeto menor que este. O sea, esto en el toro, lo que estoy haciendo es... agarrando un punto base, y miro, por ejemplo, y voy a mirar las geodésicas cerradas para la métrica plana, las geodésicas cerradas en el toro que salen de acá y vuelven, pasan por acá, y escuche los objetos menor igual que este, y voy a contar cuántas hay, eso es lo que está haciendo. Esta, esta otra, y después lo que da una vuelta a cada lado, etcétera, etcétera, ¿sí? Entonces uno puede prontarse a la misma pregunta, por ejemplo, para una superficie hiperbólica, ¿no? Esa superficie hiperbólica, vamos a ponerla que sea de aire finita, completa. Entonces, vamos a tratar de hacerla en la misma pregunta, digamos, vamos a mirar, acá no vamos a elegir un punto, lo que vamos a hacer es, vamos a mirar cuántas geodésicas cerradas hay de los que tomen el igual a este. Vamos a llamarle X. Esa es la superficie topológica, X es la métrica, es la estructura hiperbólica. Entonces el teorema acá, es un teorema de Selberg, para este caso de 82 nomás, es que esto crece, es mucho más que polinomiales, y acá no aparece el área, esto tiene a uno nomás. Esto es un teorema que es difícil de mostrar, es mucho más difícil que esto que está acá. Esto debe ser Selberg, probablemente, no más cosa. ¿Cómo estamos? Entonces es una superficie hiperbólica, la cantidad de geodésicas cerradas que hay es exponencial, la cantidad de geodésicas cerradas que hay es exponencial, son muchísimos. Ahí aparece un teorema de polinomial, un término 1 sobre polinomial. Entonces ahora, volviendo más relacionado a lo que viene con esto, es un teorema de Mesacani en 2008. Entonces lo que ella va a hacer va a contar la cantidad de geodésicas simples, no va a contar todas, y ahora va a ser lo mismo, de longitud, vamos a empezar a introducir un poco de notación, gama geodésica cerrada simple, de longitud, no igual que T, esto es, vamos a hacer la respuesta, esto es la longitud de la clase de motopilla libre social de gama, o si quieren o de la geodésica, que es la única geodésica cerrada en la clase de gama para la métrica de X. Entonces yo te pregunto cuánta geodésica cerrada simple es ahí, ya más o menos se tenía la idea de antes de que son muy poquitas, de hecho hay un teorema de Virma en Sirias que dice que si vos agarrás en una superficie, no, agarrás tu superficie, y vamos a hacer conjunto de puntos, tal es que una geodésica cerrada simple pasa por ahí, eso tiene la dimensión de hardware 1, no repoquito los puntos, casi nunca pasas, ya más o menos se intuía de que ya son repoquitas, pero lo que ella muestra es que justamente estamos precisos de que esto es polinomial en T, y esto es 1 sobre T, y acá hay que poner un 6G menos 6 más N, y esto tiende, esto va a atender a una constante que depende de G y de N, ahora digo quiénes son G y N, y una constante que depende de la métrica de base que yo agarré, y G y N son, es el tipo otopológico de S, S es una superficie de género G con N pinchaduras, que ya era finita, quiere decir que va a ser una superficie de género G con N cusp, N es la cantidad de cusp que hay, y esto es género G, y aparece este número que está acá, este número que está acá solo depende del modelo de G y de N, este número depende de la métrica, su cambio de métrica ahora y la constante va a ser diferente. Entonces vamos a hacer una cosa un poquito más fina, o sea, ella hace una cosa un poco más fina, empieza a deserrir un poco más, en vez de contar toda la jerésica cerrada simple les voy a empezar a separar por tipo, no sé, ¿desacuerdan lo que hicimos el primer día es, cuando tenemos una clase de motopiarión en su superficie, la corto, la corto por esa curva, mira la toporejera del complemento, sí, entonces yo sé que hay dos curvas, el complemento es homiomorfo, sí solo sí, en un elemento, en un ambiente de superficie que lleva una a la otra, vamos a separarlas por tipo, vamos a hacer algo un poco más fino que es deserrir las curvas simples por su tipo. Entonces acuérdense, gama clase de motopía libre, en ese el tipo el tipo de gama es la topología del complemento sí entonces lo que hayamos hecho lo que hayamos hecho la otra vez, es que Díen dice que dos curvas siempre son del mismo tipo, sí solo sí existe un difio de la superficie que vanda una a la otra, le dijemos conombio pero ahora vamos a decir difio va a quedar claro por qué, es un poquito más fino con difio pero no importa gama y sigma tienen igual tipo si solo sí existe un difio de la superficie y acá vamos a abrir un poquito más acá tenemos estas componentes que son pinchaduras las componentes de los puntos que están faltando se le puede pedir que el difio preserve cada una de estas componentes que manda una a otra entonces acá lo que pasa es obvio todo esto en realidad eso lo depende de la caso de motopía de las cosas la curva se la mueva un poco seguro que no cambia y se la mueva un poquito lo que va a pasar es que el difio va a pintar es eso tópico de la identidad lo que importa no es el grupo de difios sino el grupo de difios, el módulo de motopía eso es lo que se llama el módulo de la superficie el perfil difios de ese GN que fijan cada pinchadura cosentado por este tópico de la identidad entonces aparece este grupo acá este es un grupo y lo que está pasando es que dos curvas, yo puedo mirar la acción del grupo por ejemplo a este grupo en el espacio de curvas por ejemplo en el espacio de curvas cerradas simples en el espacio de clases de motopía cerradas simples y lo que está diciendo esto es que el tipo tópico es una órbita esto es lo que dice esto pero que está acá clases de motopía libre de curvas cerradas simples y acá siempre que poner que no sea motópica que no sea motópica de la pinchadura entonces lo que está diciendo es el tipo de la curva es lo mismo que la órbita dos curvas tienen el mismo tipo si solo si están en la misma órbita de este grupo tanto en este espacio entonces ahora lo que vamos a hacer no es contar todas las curvas simples sino que contarlas las que son de un cierto tipo fijamos un tipo entonces ahora vamos a contar de un cierto tipo de un tipo dado entonces ahora vamos a escribir lo mismo pero vamos a escribir una forma un poco más objetiva que es es agarrar una clase de motopía libre gama vamos a aplicarle vamos a aplicarle el grupo modular o sea, miramos todo el caso de motopía libre que obtengo cuando fijo ese y empiezo a aplicarle el grupo y agarro el elemento de ahí y le mido su longitud y miro cuántos son los nombres iguales que te esto de vuelta como decíamos antes es de la única que desica es cerrada simple en la clase de alfa no hicimos muchas cosas hasta ahora simplemente separamos las curvas simples por tipo nada más y entonces lo que ya demuestra es que algo parecido es t a las 6g menos 6 más n esto va a crecer porque viene realmente con t igual ahora esto de vuelta es misacánio que esto va a atender ahora sí, hay que decirle un poco malas constantes para hacer una constante que depende del tipo de la curva yo no me lo racional eso quiero demostrarlo también aparece otra constante que sí que depende de vuelta de g d n y aparece otra constante que depende de la métrica en sí entonces este fíjense este pequeño truquillo acá esto ya vamos a tratar de pensarlo como es lo que hicimos a principio que es así, o sea el alfa el alfa se va a escribir como un h por g y este h es un elemento del grupo modular de la superficie es un difio módulo de formarlo un poco así que esto que está acá la longitud de alfa para la métrica de x es la longitud de esta clase que se ha checaba por la definición de la métrica de x y ahora lo que voy a hacer es cambiar el difio en las curvas lo voy a hacer actuar en las métricas voy a dejar la curva fija y voy a actuar en la métrica y esto lo hago con el pullback de h esto que es es la longitud de la gdsica en la clase alfa en la clase gama perdón para la métrica hacha la métrica es que la curva fiesta hay que cambiar la métrica no parece muy no parece muy interesante pero lo que vamos a hacer ahora justamente es el espacio de curvas es una cosa que está ahí es un conjunto discreto de cosas, yo qué sé no tiene mucha estructura más que un conjunto de numerables el espacio de métrica es un espacio que forma tiene una familia es una variedad entonces vamos a mirar la acción de malprincar el grupo ese es el punto entonces consideramos lo que se llama el espacio de tecnular en la superficie que va a ser que estructuras hiparbólicas completas en sgn digamos algo parecido que hacemos con el grupo que es dividirlo por las isometrías que son esotópicas de la entidad si dos métricas son esotópicas entre sí las considero como la misma entonces cuál es el sueño por el sueño del pibe esto es un espacio así un espacio de la variedad este es el sueño del pibe este es el espacio de tecnular acá actúa el grupo modular está complicado se despertaron muchachos lo conseguí entre cuál es el sueño del pibe este espacio va a ser un espacio una variedad de dimensión finita donde actúa mi grupo modular y con la mejor de la suerte va a tener un dominio fundamental compacto así en el espacio de tecnular tengo mi función mi caso de motopía ahora está fija en el espacio de tecnular tengo mi función nojitú de gama que es a una métrica miro cuánto mide la geodésica en esta clase entonces con la mejor de la suerte esto es una cosa así yo tengo mi ex acá voy a suplicar los elementos del mapping class group el modo de grupo modular perdón esto se cubre como los míos fundamentales entonces yo estoy mirando cuántas curvas hay cuántas curvas hay ¿no? quiero ver cuántas curvas simples hay en este tipo tengo que ver agarrar esta función y mirar la primargen de esta función y ver cuántos elementos de la órbita de x caen adentro de la primargen de esto en mi igual a tec esto azul sería nojitú de gama lo que antes era bola de centro cero radio t entonces la gran esperanza sería decir bueno cuántos elementos de la órbita hay acá y bueno es como el volumen volumen de esta bola azul este por el volumen de un mío fundamental si para empezar hay que tratar de entender eso y para empezar antes de empezar hay que tratar de entender qué quiere decir esto porque tiene que ser invariante por la acción de grupo o sea en realidad esto no funciona sin de casualidad este dibujo es falso como ha creído acá para que claro dibujo falso en realidad las cosas son mucho más complicadas la acción del grupo modular no es cocompacta hay que pensar hay que pensar este este mejor negociar pensar en superficies que tienen un cubo muy chiquito si en una cosa se empieza a chicar eso se comprejería una cosa que no es una superficie entonces no va a estar cocompacto pero vamos a tener la suerte para volumen que vamos a definir va a tener volumen finito o sea que va a ser más bien una cosa así la imagen que uno tiene de espacio probólico lo que decíamos la otra vez en el espacio probólico esto tiene la finita por eso lo dibujo así no tiene nada que ver con esto tiene una punta que apunta y eso sería un dominio fundamental como que se pegan y tiene volumen finito esto lo vamos a ver y lo otro que tampoco pasa es que esto que está acá sea una cosa así esto que está acá no es un conjunto compacto va a ser una cosa más bien así no hay que pensar capaz que tengo que poner esto así para que sea más correcto lo que hay que pensar es en el siguiente en el siguiente uniforme que teníamos no acuérdense tenemos la superficie tenemos una curva una clase de motopía una clase de motopía que se fijamos se fijamos en esa clase que está ahí y queremos entender la longitud de la unidad geodésica en esa clase y la variabilidad métrica entonces fíjense que lo que pasa es que tenemos aquí los uniformes este es el primer día que son los tweets los tweets de den entonces se fijan el tweets de den a lo largo de gama si yo se lo aplico a gama no cambia eso quiere decir que la longitud de gama para el tweets de den de una métrica acá tengo el mismo gama las dos veces esto lo aplico acá y no cambia así que el longitud es la misma así que si yo agarro el tweet de den a lo largo de gama justo a la curva que yo quiera medir y empiezo a aplicarle el aplico de x eso se me va a ir a infinito pero sin embargo la longitud no ve nada de eso o sea, todos estos tipos que están acá agarro un x acá esto sería el tweet de gama de x la longitud no ve eso para todos esos tipos la longitud es la misma por eso la primagem de t no es compacto porque hay una dirección que va infinito donde la longitud no cambia esa es la otra del otro problema y ese problema que está acá más o menos se arregla normalmente se arregla medio fácil que es en vez de considerar todo el espacio de text mirror consideras un consciente intermedio consideras el consciente que sería conscientar justamente por los elementos que estabilizan la curva acá ah, chacho no hay que pensar en eso porque se va a infinito igual es una cosa que quedeis no es del todo elemental, pero hay que demostrarlo pues a ver si esta curva que está acá eso tiene la sotenojitú después, después tranquilo, tranquilo todavía igual no demostré no dije porque se va a infinito, dije que se va a infinito es creíble vamos a empezar a aplicarle tweet de gama a esta curva y va a ser algo así como decíamos antes, viene acá, se todo igual y ahora se enrolla acá entonces para la nueva métrica esta curva tiene lo que me diera la otra curva ahora le sigo aplicando estoy básicamente mostrando como un proceso que parece que no convergiera nada eso es lo que hace que se va a infinito le aplico dos veces y esto va a dar dos vueltas ahora y esta curva ahora va a medir lo que me diera la primera de todas antes se va arrosando más, se va arrosando más parece que hubiera una cosa que no termina de convergir hay que demostrar hay que demostrar pero es cierto para arreglar ese problema ese problema de que la primagem de esto no es compacta no son compactos no puedo contar acá adentro porque si cuento con esto acá adentro me da infinito se consigue a general este cubrimiento intermedio que es dividir por este presor de gama estoy matando esto ahora como que me mato por esto esto vamos a llamarle stage gama ese gn estoy matando esta órbita esta órbita ahora estoy igual ahora va a ser como unas cosas más así enorme y la cosa azul va a ser una cosa más así esto es muy moral maté por un grupo cíclico así que pinta una cosa y esto ya empieza a tener una cuestión más compacta pero esto es bien moral esto ya no no hay nada formal en todo esto es algo esta definición que la vamos a usar este presor de gama es eso es tu idea este si no es cíclico es un grupo garante no le importa una cosa ahí tiene topología vamos a tener así hacemos así para que tenga topología se entendió esta idea ¿no? estamos motivados ahora para calcular algún volumen tengo que definir yo quiero definir volumen vamos a empezar por definir esto todo lo que vamos a hacer vamos a hacer este espacio y le vamos a dar coordenadas a este espacio vamos a hacer las coordenadas de fecha anise que es esto vamos a hacerlo para ese g no más sin pinchaduras para simplificar y después vemos como se generaliza estos son coordenadas de este espacio vamos a darle coordenadas a este espacio entonces lo que vamos a hacer tenemos la superficie entonces el paso cero que vamos a hacer es un paso de pa, mira como estoy muchacho que calor vamos a hacer primero un paso topológico el paso topológico el primer paso de componer la superficie de los pares de pantalones es que quiere decir esto vamos a agarrar la superficie vamos a agarrar curvas simples así por ejemplo entonces se fijan se fijan acá lo que hay acá es un par de pantalones es una cosa así corto por esta curva pinto una cosa así grande se entiende como pinta ese pantalón ahí más o menos capaz que hacemos otro caso que sea más fácil este caso es más fácil que hay un pantalón acá y otro y se pegan los tres un cada uno por cada lado o si no el otro que me gusta a mí que en este caso no es compacto pero lo hacemos igual es agarramos el toro pintado con un cusp si agarramos esta curva cortamos por ahí, esto lo hicimos ayer aparece un pantalón ahí no con un cusp especie de sombrero ahí pero esto lo vamos a hacer ahora entonces qué es lo que pasa que lo que hicimos ayer es que en un pantalón la métrica queda terminada por el objeto de los bordes únicamente terminada por el objeto de los tres bordes esto lo hicimos ayer, no lo demostramos pero lo dijimos por lo menos entonces ¿qué pasó? ¿ya agarró una métrica? sg0 voy a mirar ¿cuánto mide el objeto en esta clase? ¿cuánto mide el objeto en esta clase? ¿cuánto mide el objeto en esta clase? y eso me voy a terminar una métrica en este pantalón únicamente y también en este pantalón que está acá abajo bueno escondere cuando fije entonces vamos a decirlo así en una descomposición pantalones hay tres g-3 curvas eso es una cosa que hay que mostrar, no es muy difícil se puede ver en cada caso acá entonces lo primero que vamos a hacer es asociarle para cada curva le miro cuánto mide el objeto de esa curva miro todos los pares voy a asociar el take va a ir a un producto de cosas para cada curva en cada pantalón el primer parámetro va a ser un número real que va a ser la longitud de la curva y el segundo parámetro lo voy a explicar que es el parámetro twist entonces esto es un producto que es así longitud de gama x y acá va a ser un parámetro twist ahora lo explico cuál es entonces es eso ¿no? agarro, vamos a estar en este caso por ejemplo agarro, corto por acá aparece en dos pantalones cada uno con cierta longitud cada uno con cierta longitud eso me termina únicamente de longitud en el pantalón entonces la longitud más o menos es en todo lo que está por acá la médica en todo lo que está acá y en todo lo que está acá ya le queda determinado sólo por estos tres números por lo inicialmente que es el pantalón lo que tengo que hacer es intentar revertir el objeto con mogo para pegar de vuelta y recuperar la médica de eso te da principio me parece un parámetro ahí acá tenemos este otro pantalón que está acá entonces lo que tengo que hacer para recuperar de vuelta el vitoro que tenía acá principio es pegar este uno con este, pegar este con aquel y ahí tendría la médica que tenía principio el tema es que depende como yo pegue si voy a tener diferentes métricas o no entonces ahí parece lo que le llama el parámetro de twist parámetro de twist a ver con esta curva quién es lo que voy a hacer es así pero en este pantalón hay una única jevísica que va de acá hasta acá de un lado para el otro retogonal y lo mismo acá entonces yo en realidad tengo una arbitrariedad total al momento que yo quiero pegar estos dos puedo pegarlo para que encajen puedo pegarlo para que estén corridos no puedo pegar así o no puedo pegar así esto es arbitrario, yo tengo la libertad de hacer esto porque lo importo en la propiedad local es corre esto, recorta y pegue lo que pasa localmente de cada lado del pantalón si yo pego este con aquel, estoy pegando dos pequeños disquitos de H2 con un borde geodésico que los pego como hicimos allá con el papel como hicimos acá con el plano entonces aparece un parámetro acá que yo tengo libertad de elegir y una cosa acá que no es elemental es que este parámetro es real y no es un círculo entonces lo que pasa cuando yo hago un parámetro que es toda la vuelta lo que está pasando cuando tengo un parámetro una vuelta como un parámetro que sería dar toda una de estas vueltas la métrica va a ser isométrica pero la entidad va a ser isométrica por el twist por esa curva cuando el parámetro twist es toda una vuelta y la vuelta es parámetro que quería decir que yo la longitud de gama las métricas son isométricas pero por un difio la entidad entonces los particulares son diferentes de acá porque acá si son isométricas no, no pero de acá ahí es exactamente eso que vamos a hacer pero si se fijan digamos dentro de todo acá pinta una pinta más o menos como es la acción del twist a lo largo de gama en take cuando mi gama aparece en los pantalones si gama si gama en p entonces el twist en gama en x la acción en el testmueller ahora lo puedo codificar mirando las coronadas estas y más fácil de entender si gama está en la compusión que sucede que es todas las nocturnas quedan igual estos quedan todos igual los parámetros twist quedan todos igual vamos a verlo así mejor esto queda igual después la longitud de gama queda igual porque el twist no cambia la longitud de la entera curva por la que estoy por la que estoy girando pero el twist cambia por la longitud de la entera curva o sea en el fondo los parámetros xt la acción es x tema x entonces acá pinta tremendo de terema probablemente sea estos de wall part o de goldman según como se lo mire pero esto está tremendo de terema no me dio para que quería explicarlos por lo menos explicar más o menos un poco de por qué esto pintaba pero no no me va a dar el tiempo en la casualidad entonces qué es lo que pasa acá yo tengo el testmueller acá esto es un difio, no lo dije pero es un difio hay que decirlo importante este es mi tengo el testmueller acá y tengo unas coronadas para el testmueller si cuando yo miro la acción de mape que la grupa acá de un grupo a un modelo acá puedo mirar a ver qué es lo que me da acá aquí hicimos un caso por ejemplo para unos elementos simples fáciles de grupo modular es simplemente trasladar una coordenada para otro no se entiende nada qué pasa pero preserva volumen esta no es la forma usual de anunciar este terema pero si no nos volvemos loco pero es un viaje de hecho es mucho más profundo que esto o sea no digo que preserva una forma de volumen preserva la forma que es DLDT y la prueba de esto en realidad pasa por una definición intrínseca de lo que quiere decir el volumen acá para esa definición intrínseca se usa análisis complejo por eso hablamos análisis complejo de primer día pero ahora yo no me da el tiempo de usarlo y está es eso entonces si quieren por hoy vamos a definir eso como el volumen de va de perte son es eso si y esto entonces un volumen en el espacio de tres mil obviamente un barante por el grupo modular y esta vez el volumen se llama el volumen de palpitas y eso esta de piezo terema su huevo de hecho podría agarrar el volumen acá mirar traerlo para acá atrás y agarrar y escribir el espacio de tres mil en otras coordenas de la fecha en Nielsen y lo mando y me da y me va a dar de vuelta la misma forma de volumen o sea de otras coordenadas diferentes o sea ese terema es es un viaje es un huevo esta es la razón por la cual volpite son teremias que no están interesantes porque tienen una fórmula simple para calcular en estas coordenadas es DX1, DX2, DX3 no hay que hacer más nada no hay que agregarle una densidad bueno lo que queda fácil es la forma simplectica esa es la historia más realidad esa es la historia más realidad este y lo que el verdadero terema de atrás de todo esto es desvieja forma simplectica usando un enlaces complejos me dieron trínsecas y probás que el jamiltoniano de de la longitud de una curva, esta función el gama es hacer el twist a cargo de esa curva esa es el verdadero terema que está atrás de todo esto pero eso no da tiempo para hacer para ni siquiera para definir entonces está casi que estamos para calcular el volumen del grupo modular del espacio modular 1-1 cero, esto es por definición esto es esto es el tempular ese 1-1 este encosientado por este grupo modular básicamente es métricas y probólicas en el toro pinchado completas de ellas finitas este cero que está acá es que el borde tiene un gito cero por eso está el cusco después puedo ponerle acá y va a hacer otra cosa métricas y probólicas con borde geodésico de los gitos ¿Faltan 15? por lo menos va a dar para hacer esto bueno entonces un pequeño recuerdo de curvimientos y medidas esto es general de que hiciese un espacio esto es lo que quiera compacto no porque esto no es compacto esto es un curvimiento hay una forma si yo tengo una medida en I tiene una medida mu entonces yo puedo tirar para atrás así no puedo tirar porque obviamente me va a dar infinito hay una forma de levantar la medida de I a X que es más fina que si por entrarla para atrás si la privagem de un punto tiene infinito ya está, marcha entonces la forma de tirarla para atrás es la siguiente voy a definir ponte integral en una función medible entonces cuando yo tengo una función que va de X a R si este es lo que puedo hacer esta función me va a inducir en una función en I que simplemente es sumar en todos los puntos que va a dar para el mismo abajo suma p de X igual a I f de X esto es lo mismo en todos los puntos los órbitos así que ya está definido abajo según los piensas en la función constante I y ahí marchas pero si tuviera soporte compacto esto está bien definido con un poco de suerte esto está en L1 esto también tiene sentido la definición del levantado esto induce una medida mu barra en X que es por definición se define así la integral de f de mu barra o sea la integral de esta que yo tenía a principio respecto de mi medida que me voy a inventar va a ser la integral del que yo bajé por la medida que tenía abajo ese es el definición este es el procedimiento que se usa para definir medidas con curimientos hay que probar que esto está bien definido hay que probar que esto está bien definido es un teorema es un poco fino hay que hacer unas cuentas pero esta vez es la definición eso es bueno, casi que ya estamos este que dice el teorema de Max Shane que hicimos ayer creo que decía Max Shane decía bueno agarramos una métrica aprobólica en el toro pinchado completa y yerefinita consideramos una métrica así agarramos un X en take 1 1 este que vamos a hacer cha cha no no no que vamos a hacer agarramos gama fidecica cerrada simple 2 sobre 1 más es a la longitud de la fidecica esto da 1 esto es lo que hicimos ayer esto que está acá una cosa que pasa en el toro pinchado es en el toro pinchado hay solo un tipo de curva cerrada simple cuando yo agarro cualquier curva cerrada simple el complemento me queda un pantalón así que esto que está acá es una suma en una órbita fijo fijamos una fijamos una clase que nos guste por ejemplo esta todas las demás son a pecar una órbita a pecar un elemento del grupo modulero y como hicimos antes pasamos a la fada para acá entonces bueno acá tenemos justamente lo que hicimos antes lo que hacen aquí está alrededor de gama estas no cuentan por eso tengo que agarrar el grupo que es el grupo modulero que estabiliza gama obviamente y esto corresponde a el cubrimiento intermedio este es milor dividido tengo acá el cubrimiento intermedio y lo que esta apientando acá que es lo que yo tengo tengo una función que va de acá un r que quien es f de x es 2 sobre 1 más tera que tú de gama de x y la gama esta fija entonces aplico aplico el enunciado s integro esto respecto al volumen de Mike Peterson acá tengo uno que es el volumen acá aplico la fórmula McShine esto sumar en los puntos de una órbita todos los levantados de un punto así que ahora me saco la suma de arriba y voy al cubrimiento ahora quien es este lo que vamos a hacer justamente vamos a agarrar en el caso de que tú lo pinchabas estabiliza gama si es el twist este que esta acá porque no hay otros twist que se pueden hacer entonces cuando vamos fengen Wilson con este pincho que esta acá es fácil encontrar un estabilizador de gama en el pacho que este es miula usando fengen Wilson que me queda lo que decíamos antes, no fengen Wilson que es acá son solo dos coordenadas es la longitud de gama y el parámetro twist y el estabilizador de gama acá como actúa como dijimos antes actúa esto de haquito y este de otro lado por este o sea que en estas coordenadas este tipo tiene un dominio fundamental que es así de x más t así que el núcleo que tengo que integrar es esta función en este dominio fundamental que es la integral del tercero infinito de la integral entre cero y x de 2 sobre 1 más c a la más c a la de x de t de x y esto le preguntan a google y da y cuadrado sobre 6