 اسلام علیکم تو آج لیکچر 28 شروع کرتے ہیں اور اس میں ہم ایریہ اس کے بارے میں بات کریں گے یعنی جو ہم نے ایک topic start کیا تھا انتگریشن کا topic شروع ہو چکا ہے تو اس میں ہم میں نے کئی دفعہ گا تھا کہ ایریہ جو ہے under the curve یہ ایک لیکچر میں ہم نے دیکھا بھی تھا کہ اگر آپ کے پاس ایک گراف دیا ہوا ہے کسی فنکشن کا اور تو اس کے نیچی جتنا بھی ایریہ ہے اور اس گراف کے نیچے اور x axis کے اوپر اس کو ہم معلوم کرنا چاہیں گے تو اس میں یہ تھا کہ کچھ ہم نے دیکھا بھی تھا کہ انتگریشن کے حوالے سے بھی یہ تھا کہ ہم انتگریشن کو استعمال کرتے ہوئے یا انٹی دفنشیشن کو ہم نے اس کو تھوڑا سا دیکھا تھا کہ کیسے معلوم کر سکتے ہیں اس میں یہ ہے کہ جو نیوٹنر لیبنٹس کی کچھ ڈیس تھے وہ انوالف تھے یہاں پر ہم تھوڑا سا اس کو تھوڑا فردر ڈیوالب کریں گے اچھا تو اس میں آچ کا جو ڈوپکس ہیں ان کو لکھ لیتے ہیں پہلے دیکھ لیتے ہیں کہ کیا ہے ڈیٹیل میں کہ کیا بیسکل ڈینڈا کیا ہے اس لیکچر کا تو آج ہم بات کریں گے سب سے پہلے ڈیٹیل کی اور ایک پرٹکلر point ڈیٹیل ان کو دیکھیں گے ہم بیو ڈیٹیل میں دیکھیں گے اس کے لہذا اور اس کو دیکھنے کے لئے جو ہم ڈیٹیل میں دیکھیں گے وہ ہے جنہ آپ سب سے پہلے تو ہم ڈیٹیل میں دیکھیں گے what is the definition of ڈیٹیل یعنی مطلب یہ کہ ایک لیکچر میں ہم نے تھوڑا سا اس کے بارے بات چیت کی تھی لیکن اس میں یہ تھا کہ ہم نے ڈیٹیل ڈیٹیل ڈیٹیل ڈیٹیل ڈیٹیل ڈیٹیل اب ہم اس کو تھوڑا سا بات چیت کی تھی لیکن اس میں یہ تھا کہ ہم نے انٹویٹیو لیول پہ کہا تھا کہ بھئی ایریہ کیا چیز ہوتی ہے اب ہم اس کو تھوڑا سا کونکریٹلی دیفائن کرنا چاہیں گے اور کریں گے بھی اس کے لیوہا کچھ ٹیکنکل چیزیں ہوں گی جو یہ جو ہم دیفنیشن دیں گے ایریہ کی اس میں کچھ ٹیکنکل چیزیں ہیں جنکہ ہم دیسکس کریں گے وہ دیکھیں گے اس کے بعد ہم آخر میں دیکھیں گے نمیریکلی ہم کیسے اپروکسیمٹ کر سکتے ہیں ایریہ کو ایریہ سے مرادی ہے کہ ایریہ کنفائن بای سم گراف of سم فنکشن یا ایسی کوئی چیز تو ٹیک جی اب اس کو ہم شروع کرتے ہیں اس لیکچر کو تو سب سے پہلے بات کرتے ہیں ایریہ کی تھوڑی سی اچھا تو ایک فیگر ہے اس فیگر کو دیکھی ہے درغور سے اس میں دیکھیں کہ اس فیگر میں there is a region bounded below by the x axis on the sides by the lines x equals a and x equals b and also above by a by a curve یا a graph of a continuous function y equals f of x and this function also has the property that it is non negative on the interval a b. تو یہ ایک پکچر ہے اس کے اندر یہ بات ہی کہ یہ جو ڈیفائن کی گئی پکچر یہ جو اس میں ایک ایریہ انوالبڈ ہے ایک region انوالبڈ ہے اس میں یہ تھا کہ یہ region جو تھا یہ top پر کنفائن تھا by the graph of a continuous function any breaks نہیں اس گراف میں اس کے گراف میں اور ساتھ ہی میں ایک ایسا گراف ہے جس کی values non negative ہیں یعنی کہانے کا مقصد یہ ہے کہ ساری جو values ہیں y values ہوتی ہیں function کی وہ x axis سے پوپر ہیں یعنی نیچے کوئی نہیں ہے لہذا نگیٹف نہیں ہے 0 ہو سکتی ہے اس لی ہم کہہ رہے ہیں non negative ساتھ ہی میں یہ region جو ہے یہ باوندورو ہے on the left and right by the lines x equals a and x equals b a اور b کیا ہیں they are basically the end points of a closed interval تو یہ ایک طرح سے ان کو lines کے طور پہ بھی دیکھا جا سکتے ہیں vertical lines اور نیچے وہ ظاہر x equals 0 جو لائن ہے i'm sorry y equals 0 جو لائن ہے horizontal line وہ کنفائن کرے ہیں basically جیسا ہم x axis بھی کہتے ہیں so یہ ہمارے پاس ایک picture ہے اچھا اب ہم نے ایک previous lecture تھا جس میں ہم نے دیکھا تھا کہ ایریہ جو ہے اس کو ہم compute کر سکتے ہیں using antiderivatives ہم نے بات کی تھی وہ ایڈیہ جو نیوٹن اور لیبنٹس نے دیا تھا کہ جنا اب آپ ایریہ معلوم کرنا چاہر ہیں آپ کو نہیں معلوم کہ وہ ایریہ کیا ہے تو اس کا ایک function کے طور پہ دیفائن کیا تھا ہم نے خاص طریقے سے اور پھر ہم نے کہا تھا کہ یہ function ہمیں معلوم کرنا ہے لیکن function معلوم کرنے کے لیے ہم نے پہلے اس کا derivative معلوم کیا اور derivative معلوم کرنے کے بعد ہم نے کہا کہ بھئی اس کو integrate کر لیتے ہیں یعنی اس کا antiderivative معلوم کر لیتے ہیں تو ظاہرہ پھر original function آجاتا ہے تو بات یہ تھی کہ derivative معلوم کرنے کے لیے آپ کو function پہلے معلوم ہونا چاہیے ہم نے تو یہی دیکھا ہے ابھی تک جو ہم نے پہلے examples کی تھی اس میں دیکھا تھا کہ function دیا ہے آپ نے اس کا derivative معلوم کر لیا لیکن یہاں پہ یہی creative spark تھا جو یہ creative break through تھی leave nits or newton edge develop کی وہ یہ تھی کہ آپ don't worry about the original function we don't know it and we're trying to find it but let's take another route yet another root and see if we can actually define find the derivative of the function and then go backwards using antiderivatives and we'll know what the function is تو اس میں ہم نے یہ دیکھا تھا کہ جب یہ process جو اس میں involve تھا اس میں یہ تھا کہ جی ایک area جس کی ہم بات کر رہے تھے وہ confined تھا وہی جو ابھی ہم نے ایک example دیکھی ریجن کی کہ on the top it was confined by the graph of a continuous function اور ہم نے دیکھا تھا کہ وہ جو derivative آتا تھا area function کا a prime of x happened to be the function whose graph was confining the region یہ جو area کو confine کراتا اور اس سے پھر ہم نے اس function ہمیں پہلے چل گیا ہم نے اس کو integrate کر لیا یہ اس کا antiderivative معلوم کر لیا تو ہمارے پاس آگیا تھا result area function کا اور پھر everything was wonderful and life was beautiful اچھا اب یہ idea اس کو ہم مزید develop کرتے ہیں اس کو ہم اس لیکچر میں دیکھتے ہیں کہ ابھی کیسے کریں تو یہ concept ہے یہ idea ہے اس کو پرسائیسلی ڈفائن کرنا ہی کوحش کرتے ہیں تو کچھ چیزیں دیکھلتے ہیں کچھ points ہیں جو ہم دیسکس کرنا چاہیں گے جس کو ہم دیکھتے ہیں بھی سب سے پہلی بات تو یہ کہ آپ کو limits کی جب ہم نے بات کی تھی تو آپ کو یاد ہوگا کہ یہ جو تنجنٹ لائن کا slope ہم نے معلوم کیا تھا اس میں ہم نے limit کا idea انولف کیا تھا یعنی اس کے تنجنٹ لائن کا slope جو تھا would define تھا as a limiting process of the slopes of the secant lines on a given interval یعنی آپ کے پاس ایک interval تھا اس میں آپ نے ایک line بنائے تھی secant جو ڈراف ایک اور function کے ڈراف کو cross کر رہی تھی ڈو points پر آپ نے اس کو ایسے move کیا تھا such that the outer point turn into the initial point اور وہاں پر tangent line میں بن جاتی a secant line and you found the slope of the tangent line اچھا اب اسی طرح سے ہم area of a given region are اس کو بھی ہم اسی طرح سے define کریں گے in terms of limits اور ایک طرح کا limiting process ہم اس میں involve کریں گے جو کہ ہمیں ایک کچھ بہت سارے areas ہمارے پاس ہوں گے regions ہوں گے جن کے ہم areas معلوم کر لیں گے آسانی سے یعنی ایک concept یہ کہ اگر جنرل کوئی region ہے جیسے ابھی آپ نے دیکھا picture میں تو اس کا geometry کو ایسی ایک geometric shape تو ہے لیکن کوئی formula simple نہیں ہے جس کے ذریعے ہم یہ area معلوم کر سکیں اس region are کا جو ابھی ہم نے دیکھا تھا تھوڑی در پہلے یعنی اگر یہ region are square ہوتا تو میں اس کی dimensions figure out کر لے تھا and I could have found the area very easily dimension square کی multiply کر دیں ایک دوسر سے تو آپ کے پاس results ہوتا ہے area کا لیکن یہ چیز اس region میں مشکل تھی کیونکہ اس کا بھی formula نہیں ہے the concept یہ کہ آپ اس region کو break up ایسے کریں گے کہ یہ simpler regions میں convert ہو جائے بہت سارے اور اس میں یہ ہوگا کہ ایسے regions ہوں گے جن کا formula ہمارے پاس ہوگا area معلوم کرنے کا اس کے بعد ہم یہ کریں گے کہ جب یہ regions بن چکیں ہمارے پاس تو پھر ہم ان کا ایک limiting process رکھیں گے اس میں involve کریں گے وہ limiting process یہ ہوگا کہ یہ جو regions آپ نے بنائے ہیں جو اس طرح سے بنائیں گے کہ جو are region تھا اس کو break up کریں گے into say rectangles اور rectangles جو انگے وہ 5-6 اگر break up کرنے are کو into 5-6 rectangles تو ان rectangles کا area معلوم کریں ان کو add کریں تو approximation آجائے گی آپ کے پاس of the region are لیکن approximation وہ اتنی اچھی نہیں ہوگی کیونکہ ظاہر ہے rectangles اور جو graph ہے جو region ہے are ان میں تھوڑا سا offset ہو جائے گا ابھی ہم دیکھیں گے کیسے ہوگا picture بنائے گے لیکن point یہ کہ تھوڑا سا گر سوچیں تو غور کریں کہ اگر یہ rectangles بہت سارے ہو جائیں بہت باریگ باریگ اور بہت سارے rectangles ہو جائیں تو آپ کے پاس بہتر بہتر approximation آنے لگے گی area کی of the region are یہ یہاں پر limiting process سے ایک involved ہے over limiting process یہ ہے کہ آپ کے جو rectangles جو آپ نے 5-6 بنائے شروع میں ان کو infinitely many لے لیں make those rectangles go to infinity the number of them and you will get a basically you will get the exact approximation to the region are تو اس کو formally تھوڑا سا لکھ لے تھے let's write this down جو ابھی چھوڑ تھوڑی سی میں نے بات چیٹ کی اور پھر دیکھتے ہیں کہ اس کو اور اس کے بارے میں کیا بات ہو سکتے ہیں so the idea is that we will break up the region are into rectangles and then we will find the area of each rectangle in are and then add all of these areas up so basically ان سب کو add کر کے ہم اکھٹا area معلوم کر لیں گے the result will be an approximation to the region are and let's call this approximation are سب ن یا رن just to distinguish between that region and the original region are now notice that if we let n go to infinity or n کیا چیز؟ the n is basically the number of rectangles basically any n جو ہے وہ رکھتے ہیں کتنے رکھتے ہیں so if we let n go to infinity the resulting area are n will give a better and better approximation to are as the rectangles in the region are n will get thinner and thinner and the gaps will be filled in تو یہ بیسکلی ہم نے لکھلیا سا idea گا جو تھوڑی دے پہلے دیسکرس کیا تھا اب یہ سوال کہ یہ تو ہم نے intuitivesی ایک بات کی ہے اس کو ہم mathematically کیسے دیفائن کر سکتے ہیں یعنی ہم ایسے دیفائن کرنا چاہتے ہیں کہ کوئی theoretical problems اس میں اکرنا ہوں اور بہت اچھے سے ہمارے پاس formula بھی آجائیں اسی idea کے تاکہ ہم پھر calculations کر سکیں اور پھر اس کو apply کر سکیں تو اس کو تھوڑا سا formal کر لیتے ہیں let's look at what we have اس کو ہم ایسے formalize کرتے ہیں کہ بلکہ اس کو formalization کو ہم تھوڑا سا لکھ لیتے ہیں تاکہ ہمیں clear رہا ہے کہ ہم کس چیز کی بات کر رہے ہیں تو point یہاں کہ ہم ایسے ہم ایسے ہمارے پاسیٹی بینٹیجر n and divide the interval ab into n sub intervals of width b-a divided by n by inserting n-1 equally spaced points and say that the points we can call x1, x2 and xn-1 اچھا جی ٹیک ہے یہ ہمارا پہلہ سٹیپ ہو گیا تو اس کا کیا مطلب ہے مطلب یہاں کہ ہمارے پاس جو ہم نے تھوڑی دے پہلے ایک پکچر دیکھی تھی بیسیک idea شروع ہوتی ہم نے ایک پکچر بنائی تھی اس میں وہی point تھا کہ ایک area آپ کو ایک area معلوم کرنا ہے اور وہ area defined تھا on a given interval a اور b کے درمیان confined تھا یادہ آپ کو میں نے کہا تھا کہ left side right side پہ x equals b line a vertical line on the left hand side was the line x equals a تو point یہ تھا کہ hee interval بھی define کر رہا ہے on the x axis تو مقصد یہ کہ سب سے پہلے ہم اس کو interval کو break up کر لیتے into equally spaced sub intervals تو اس کا کیا مقصد ہو گا اس break up کا مقصد یہ کہ ہم ظاہر ہے rectangles کی بات کر رہے تھے تو point یہ ہوا کہ ہم equally spaced sub intervals بنائے ہم نے انسے کیا ذریہ ہم rectangles بنانا چاہیں گے خیر وہ next step ہے یہ سب انٹرولس کیسے بنیں گے ایسے بنیں گے کہ آپ ایک number choose کیجی n کوئی بھی ہو سکتا ہے اور کہ گئے کہ اس جو آپ کا انٹرول ہے اس کی width معلوم کریں یعنی width کا مطلب ہے کہ a اور b کے درمیان کتناہ فاصل ہے تو وہ ہم نے کیا تھا کہ b minus a تو بہت پرہا لانا concept ہے اب تو ہمے سمجھا چکا ہے کہ distance جو ہوتا ہے between two points is just the outer minus bigger minus smaller بھی آپ کو بنے گے گا length یا width of the interval a b اور اس کو آپ döبائٹ کر لیں n سے تو آپ کے پاس ایک number آجائے گا n is an integer اور ضروری نہیں ہے کہ آنسر an integer آیا لیکن ایک number ہوگا اور اس یہ number جو ہے اس سے آپ ایسا کریں گے کہ a پہ a سے start کیجے گا یہ جو number آیا تھا which is going to be the width of the sub-interval a میں اس کو add کر دیں تو آگے تھوڑا سموف کریں گے آپ that will be your first sub-interval یعنی چونکہ جو بڑا انٹرول اورجنل ہے وہ a سے start ہو کے b تک جا رہے اب آپ نے اس کو break up کرنا ہے تو اس میں جو آپ نے وٹھ معلوم کی ہے ہر sub-interval کی اس میں پہلے آپ a سے start کریں گے اتنی وٹھ پہ جائیں گے تو پہلہ sub-interval آجائے گا پھر اس point سے اس point میں اتنی b minus a divided by n add کریں گے تو next sub-interval آجائے گا اور اس طرح پرسیٹ کرتے کرتے بھی تک پہنچ جائیں گے اس طرح سے آپ کے پاس یہ sub-interval آجاتے ہیں اچھا تو یہ x1 x2 اور یہ x subscript n minus 1 کیا چیز تھیں جو میں نے ابھی لکھی تھی یہ بیسکلی جو میں نے آپ سے کہا point سے کہ a میں آپ اس وٹھ کو ایٹ کریں گے تو آگے جاکے ایک point لگا دیتے ہیں اس پہلے point کو کہا لیں x1 چی کہ next point جائے گا اس کو کہا لی جی x2 اس طرح کرتے کرتے جو second last ہوگا وہ ہو جائے گا x subscript n minus 1 اور x sub n جو ہوگا وہ صرف b ہوگا تو اس طرح سے ہم یہ division کرتے ہیں اب یہ اس کا بھی تکنیکل ورد ہے this subdivision that we have formed is called a partition of the interval a comma b اچھا اب next step کیا ہے اب ہم یہ کریں گے کہ یہ جو ہمارے پاس sub-interval آئے تھے ان میں ان کو استعمال کرتے ہیں ہم ان سے شروع کرتے ہیں lines draw کرتے ہیں جو آپ کا جو گراف ہے کرف function کا اس تک extend کریں گی تو وہ بنالتے ہیں اس سے کیا ہوگا اس سے یہ ہوگا کہ جو آپ کا region r ہے which is confined on the top by the graph of the continuous and non-negative function and at the bottom by the interval ab I'm sorry by the x axis and on the left by b and on the right on the right by b on the left by a یہ دیوائد ہو جائے گا into small sub regions تیک ہے جی کہلی جی r1 r2 r3 r4 all the way to rn تو تیک ہے یہ بھی کر لیتے ہیں اس کی ایک پکچر بنالتے ہیں to get you to get make sure that we understand the idea یہ آپ کے سامنے پکچر ہے this is basically what we are looking at اچھا جی تو باگے چلتے ہیں لیکن چونکہ کافی involved lecture ہے کافی ہیوٹی ہے تو میں بیٹ جاتا ہوں تاکہ میں تھک نہ جو اچھا جی ٹھیک ہے اب اس میں ایسا کرتے ہیں کہ ہم نے ریجن آر کو بریکپ کر لیا انٹو سمولر ریجنس اب مخصد ہمارا یہ ہے کہ جو چھوٹے چھوٹے سب ریجنس بنے r1 r2 r3 وغا را جو تھے ان کو یہ بیسکلی ایک طرح کی ریکٹانگلز بن گئے اگر آپ وار کریں تو دیسا ریکٹانگلز لیکن یہ ایک ایسا ریکٹانگلز نہیں ہیں کیونکہ یہ اوپر سے کنفائنڈ ہے بای دھر کرف بای دھر گراف of the function f of x لہذا لیکن اگر ہم ایسا کریں کہ تھوڑی دیر کے لیے بھول جائیں کہ یہ کنفائنڈ ہے یہ جو سب ریجنس ہیں اور ان کو فورس کریں کہ بھئی ریکٹانگلز میں کنورٹ ہو جائیں تو اس میں یہ کہ جو تھوڑا سا ایریہ بچ رہا ہے اس کو ہم بھر کے فلن کر کے ہم ریکٹانگلز بنالتے ہیں جو پشلی پکچر میں ریجنس بنے تھے ان کو اب میں نے فورس کر دیا ہے انٹو ریکٹانگلز ٹیک جی ریکٹانگلز بن گئے لیکن یہ کہ point یہ کہ یہ ریکٹانگلز میں نے اس طرح کیوں بنائے اور کسی اور طرح کیوں نہیں بنائے یعنی اس پکچر میں دیکھا ہوگا آپ نے کہ کچھ جگہوں سے میں نے ریکٹانگلز جو گراف ہے فنکشن کا اس سے نیچے رکھیں کچھ جگہوں پہ میں نے اس سے اوپر رکھیں اس کی کیا اس کی جو کنسٹکشن کی ہے اس کی لوجک کیا ہے اس کی لوجک کیوں ہے ایسا کرتے ہیں کہ جو سب انٹرولز بنے تھے اس میں ایک آربیٹرری پوینٹ چوز کر لیں کوئی بھی یعنی اگر جو آپ کا انٹرول تھا بہلا انٹرول ٹیک اے سے لیکے x1 تک اس میں ایک پوینٹ چوز کر لی جے x1 x subscript 1 star ٹیک star کا مطلب یہ کہ اس سپیشل پوینٹ پر ایسا ٹوٹلی آربیٹرری یعنی میں نے کوئی خاص پوینٹ چوز نہیں کیا ہے میں نے آخے بند کرکے انٹرول میں ایسے انگلی رکھی اور جہاں میری انگلی رکھی اس کو میں نے کہا کہ اس پوینٹ کو میں لوں گا as x1 star ٹوٹلی آربیٹرری اچھا پوینٹ آگیا اب اس سے ہم کیا کریں اب ہم یہ کریں گے اس پوینٹ سے اس پوینٹ کو استعمال کرتے ہوئے ہم ایک لائنڈوہ کرتے ہیں جو اوپر تک جاتی ہے اور ہم یہ دیکھیں گے کہ یہ کہاں پر تچ کر رہی ہے گراف کو یعنی جو گراف ہے فنکشن کا اس کو کہاں پر تچ کر رہی ہے تو ہی will do that جہاں پر یہ گراف کو تچ کرے گی وہاں پر ہم کچھ کر سکتے ہیں وہ کیا کر سکتے ہیں مطلب یہ کہ اگر ہمیں x1 star پتا ہے تو اس کے corresponding جو y value ہے on the graph we can find that by using the function یعنی فنکشن تو ہمیں دیا ہوئے تو اس کے اندر اگر میں x1 star ڈال دوں value x کی جگہ تو میرے پاس یہ corresponding value آجائے گی on the graph of the function ٹیک ہے تو ایک طرح سے مخصد یہ کہ میرے پاس height آگئیے اس ریکٹانگل کی جو a سے لے کے x1 تک ریکٹانگل form ہوا تھا اس کی height آگئیے میرے پاس تو یہ ان points کو چوز کرنے کے بعد آپ کہہ سکتے ہیں کہ میں نے وہ جو میں نے کہا تھا کہ logic کیا تھی کہ ایسے ریکٹانگل بنائے جو شہد گراف سے نیچوں یا اوپروں وہ logic یہ ہی کہ یہ point پہلے چوز کیجئے اس کی corresponding value معلوم کریں گراف پے اور اس کے حصاب سے ریکٹانگل کمٹیٹ کر لیں مخصد یہ کہ height جو ہوگی it doesn't matter کہ وہ نیچے ہو یا اوپروں وہ کوئی اتنا خاص ضروری بات نہیں ہے point یہ کہ اس کی height جو ہوگی will be defined height of the rectangle will be defined by an arbitrary point in a given sub-interval ٹھیک ہے جی اچھا اب ہمارے پاس بہت سارے ایک ریکٹانگل بن گے اب ان سب کا اگر union میں لوں ان سارے ریکٹانگل کا تو میرے پاس ایک region آجاتا ہے جس کو ہم کہہ سکتے ہیں جس کو ہم نے کہا تھا شروع میں Rn ٹھیک ہے جی تو یہ ان سب کا ابھی تھوڑے در پہلے میں نے کہا کہ سب regions کو نام دے دیں R1, R2, R3 all the way to Rn میرے خالصے وہ اتنی اچھی notation نہیں ہوگی کیونکہ Rn کو ہم نے define اب ایسے کرناے as the union of the of all these rectangles ٹھیک ہے جی تو ایک طرح کا نیا ریجن آجائے گا میرے پاس تو ایسا کرتے ہیں یہ جو سب divisions نہیں جو ریکٹانگل بنے تھے سب regions بنے تھے ان کو کوئی اور نام دے دیتے ہیں آپ ان کو کہہ لی جی اکجی P1, P2, P3 all the way to Pn اور اس کے لیوہ Rn کو ہم دیسگنیٹ کریں گے as the region defined by the union of all these rectangles اب اگر میں کہو کہ جی Rn جو ہے یہ اس کا یعنی جو Union ہے سارے ریکٹانگل کا یہ جو region defined by اس کو میں نے Rn کا نام دیے اس کا میں area معلوم کرنا چاہتا ہوں how will I how can I find the area of the region Rn which is basically defined by the union of all these rectangles تو اس میں کوئی بڑی بات نہیں یہ تو سمپل سی بات ہے area کیسے معلوم کر سکتے ہیں اس region Rn کا آپ individual rectangle کا area معلوم کریں سارے جتنے بھی ریکٹانگل سے اور ان سب کو ایٹ کر دیں تو آپ کے پاس area جاتا ہے of the region Rn یہ تو میرے خار سے سٹیٹ فاورٹسی بات ہے کوئی خاص دیب بات نہیں ہے سارے ریکٹانگل کا area معلوم کریں اور ان کو ایٹ کر دیں تو آپ کے پاس region Rn کا area جاتا ہے اور ہم کہا سکتے ہیں کہ یہ بڑی اچھی اپروکسیمیشن ہے to the original region R جو ہمیں دیا ہوا تھا I'm sure you can you will agree with this کہ Rn جو ہے it's a good approximation to the original region R اچھا آپ یہ نوٹ کریں آپ نے دیکھا بھی ہوگا اور ابھی کر لیجی اگر نہیں کیا نوٹ ابھی تا کہ یہ جو ہم نے Rn کنسٹرکٹ کیا تھا region یہ ریکٹانگلز کی وجہ سے بنا تھا یعنی it was the union of these ریکٹانگلز تو ان میں یہ تھا کہ کچھ ریکٹانگلز ایسے تھے جو گراف سے نیجے تھے اور کچھ ایسے گراف سے بہار دے تو یعنی بھی ریکٹانگلز اور گراف کے درمیان کچھ گاپس آئے تھے تو یہ آفسیٹ کر رہے تھے آپ کی کالکلیشنز کو اور آپ کی پروکسیمیشن اسی لیے اتنی اچھی نہیں آ رہی تھی to the region R because there's a gap between the ریکٹانگلز and the grass of the function given function تو اس کو کیسے رمیڈی کریں ہم اس میں ہم یہ کر سکتے ہیں کہ اگر ہم ریکٹانگلز کو یہ کافی چڑے ریکٹانگلز سے ان کو اگر پتلا کرنا شروع کر دیں تو کیا ہوگا اگر ہم پتلے ریکٹانگلز لیں گے تو اس کا مطلب ہے کہ given interval a سے لے کے b تک ہم بہت سارے ریکٹانگلز بنا سکتے ہیں یعنی مقصد کہانے کہ یہ کہ جو آپ نے سب دیویشنز سب وہ بنائے تھے سب انٹرولز وہ آپ نے اگر بڑے بنائے تھے ان کو چھوٹا بنالیں تیک اس کا مطلب ہے کہ آپ کی n کی value زرا بڑی ہونی چاہیے right کیونکہ جو width تھی ریکٹانگلز کی were defined کی گئی تھی by the formula b-a divided by n تو اگر آپ n کو بہت بڑا لیں گے اتنا بڑا لیں کہ b-a سے بہت بڑا ہو جائے تو ظاہرے بہت چھوٹا جواب آئے گا اور اس کا مطلب ہے کہ آپ کی سب انٹرولز بہت چھوٹے ہون گے لہذا آپ کے ریکٹانگلز کی width بہت چھوٹی ہوگی اور آپ بہت سارے ریکٹانگلز بنا سکتے ہیں چی کہ اور نوٹ کریں کہ جتنے زیادہ ریکٹانگلز بنائیں گے اتنے ہی جو گاپ تھا آپ کے گراف میں اور ریکٹانگلز کے دمیان وہ پور ہو جائے گا اس میں گاپ نہیں رہے گا اس کا یعنی یہ کیا میں کہنا چاہ رہا ہوں اس کا ایک پیچھر بنالتے ہیں اور آپ کو idea ہو جائے گا کہ میں کیا کہا رہوں یہ تصویر اس کی ہے اس میں دیکھ لی جیے کہ جیسے جیسے زادہ سے زادہ ریکٹانگلز بنائیں گے اتنے زادہ approximation آپ کی بہتر ہو جائے گی to the region r اچھا اب یہ ہے کہ اگر میں n کو یعنی n کا مطلب یہ تھا اس میں میں نے کہا بھی کہ n جو ہے اس کو اگر بہت بڑا لومے تو ایسا ہو سکتا ہے ممکن ہے اگر میں n کو infinity کی طرف جانے دوں تو پھر کیا ہو گا تو ظاہرے وہ ہوں گا جو ہم چاہتے ہیں کہ as جیسے جیسے n بہت بڑا ہو گا اتنے چھوٹے ریکٹانگلز آپ کے پاس آنے لگیں گے اور آپ کی approximation بہتر سے بہتر سے بہتر ہوتی رہے گی and there is the whole idea that we are looking at تو اس میں ایک طرح کا limit involved ہے اس کو لکھ لیتے ہیں کیا ہے یہ limit اس میں دیکھئے کہ as n goes to infinity the approximation gets as good as the real thing which is basically what is the real thing the real thing is the area of the region r so basically we can write down area a which is the area of the region r is also is going to basically equal to the limit as n goes to positive infinity of the area of the region r n تیک جی that is the whole idea کہ اگر آپ جتنا بڑا جتنی زادہ n کی value کریں گے اتنا زادہ بہتر approximation آئی گی اور n جب infinity کی طرف جائے گا تو approximation will be the same thing as the real area اس میں نوٹ کریں کہ n goes to positive infinity because n is an integer to begin with has to go to positive infinity negative infinity کریں گے تو کوئی sense نہیں لے گا کیونکہ n جو ہے وہ ایک width دیفائن کرے گا ایک طرح سے which cannot be negative اچھا اب ہم چاہتے ہیں computations کرنا right تو اس میں یہ کرتے ہیں کہ اب ہم یہ وہی بات ہے کہ region r کمپیوٹ کرنا تھا ہمیں how do we compute it ہمیں کچھ idea تو ہو گیا ہے تھوڑا سا کہ اس کی یعنی تھیوری کیا ہونی چاہی ہے اور کس طرح سے اس کو تکل کیا جائے problem کو تو اس میں ہم نے دیکھا کہ approximation کر سکتے ہیں rectangle کو استعمال کر کے اور اگر rectangle کو بہت زیادہ مختار ملیں تو یعنی اگر ہم n کو infinity کی طرف اپروچ کرنے دیں تو ہماری approximation will be exactly the same thing as the region we are looking for any area of the region we are looking for تو اس میں ایسا کرتے ہیں یہ تو ہم نے ابی define کی تھی equation لکھی تھی کہ area of the region r is equal to limit as n goes to positive infinity of the area of the region r n اب اس کو ایک different form میں لکھتے ہیں تاکہ ہم compute کچھ computations کر سکیں تو کیا لکھنا چاہیں گے ہم ہم دیکھتے ہیں کیا لکھنا چاہتے ہیں سب سے پہلے تو یہ کہ ہم نے کہا تھا کہ جو width تھی rectangle کی وہ ہم نے define کی تھی as وہ basically define کی تھی in terms of the width of the sub intervals you made out of the original interval ab تو اس کو ہم نے سب سے پہلے سب division ایسے کی تھی کہ ہم نے کہا تھا کہ b-8 divided by n اگر ہم کریں where n is a positive integer ہماری چویس پہ تھا whatever that may be تو وہ define کی تھی width of the sub division یعنی sub interval or of course کیونکہ rectangle ذنین کی basis پر بنایا گئے تھے تو obviously representing the width of the of your rectangles they are all equal width rectangles تو اس کو ہم لکھ لیتے ہیں as delta x چیک جی لکھ لیتے ہیں اس کو we will call this quantity b-a divided by n as delta x delta usually represent کرتا ہے mathematics میں as the as a change of some sort yeah as a width of sorts تو یہ ہم لکھ لیتے ہیں delta x equals b-a divided by n اچھا اب یہ بھی ہم نے کیا تھا کہ جو heights ہم نے define کی تھی rectangle کی they were defined by some arbitrarily chosen points in each sub interval چیک جی یعنی ایک sub interval جو تھا کوئی بھی تھے کوئی بھی ایک sub interval اگر آپ لیں اس میں کوئی ایک arbitrary point چویس کیجے اور اس کو استعمال کرتے ہیں آپ height معلوم کریں گے define کریں گے اس rectangle کی by the fact that you will look at where the corresponding value of the function lies corresponding to the arbitrary point اگر آپ نے پہلے rectangle ملی ہے تو آپ کہہ سکتے ہیں x one star is your arbitrary point اس کے corresponding کیا value ہے on the graph of the function تو اس سے آپ کی height define ہوتی تو ہم ایک طرح سے اگر ایریہ معلوم کرنا چاہ رہے ہیں اب ہم نے ایریہ کی بات کی تھی of each rectangle تو وہ کیا ہوگا area of a rectangle is defined as width multiplied by the height چیک جی اب ہم چونکہ ہم یہ چیزیں معلوم ہے یہاں سے construction کے تحت تو ہم ان کو لکھ سکتے ہیں تو کیسے لکھیں گے ہمیں نے ہم ان کو لکھ سکتے ہیں کہ جی پہلے rectangle جو اس کی اگر width ہے delta x اور زیرہ سارے rectangle کی width delta x ہوگی چونکہ برابر کے ہیں تو وہ اس کی width delta x ہو جائے گی height کیا ہوگی height ہوگی f of x one star چی کہ next rectangle میں x two star اگر arbitrary point ہے اس کی اس کی جو اچھا I'm sorry we're talking about the area of the rectangle first of all تو height معلوم کر لی پہلے rectangle کی f of x one star that's the height width ہمیں باتا ہے delta x area کیا ہوگا اس rectangle کا f of x one star multiplied by delta x سمولرلی جتنے بھی ریکٹانگلزیں ان میں بھی ای process کریں گے so we can write down the following we can basically say that the جب آپ آرین کے ساتھ آنے سے حُنخص حکم کریں ساتھ جاننایاں کے برسٹ within میں فوج میں ڈال تاکس فوج میں ڈال تاکس بچیں ڈال تاکس بچیں ڈال تاکس برسٹ ڈال تاکس بچیں ڈال تاکس آنے کے بلکہ اس کی پکچر آپ میں ایک بلاک سالے یہ بچیں ڈال تاکس جو یہ آپ ہم بہت میں نسی پر حانکہ مجھے لحظہ اب ہم ٹوٹل ایریہ ررین کا اس کی ایک اکویشن لکھ سکتے ہیں ایریہ of the region r n ہم نے دیفائن کیا تھا as the some of the areas of each of the rectangles so we can write down the following we can say that the area of the region r n is equal to f of x 1 star delta x plus f of x 2 star delta x plus dot dot dot all the way to f of x n star delta x لیکن یادرکھیں کہ پسلے لیکچر میں ہم نے سگمہ نوٹیشن کی بات کی تھی جو large sums کو compact form میں لکھنے میں ہمیں help کرتا ہے لحظہ اس some کو جو اب ہم نے لکھا ہے which defines the area of r n we can rewrite this as area of the region r n equals summation لیکن کے ایک روز 1 to n of the quantity a formula f of x کے start times delta x لیکن بیسکل میں لکھا ہے کے کو انڈیکس کا طور پر لیے تو میرے پاس ارбیٹری جو پوانٹ سائے ان میں سپسکریپٹ کے ہوجا ہے جیسا ہے جیسا آپ کی کی وجہ ڈالیں گے you'll get all the different heights of the rectangles اب یہ فاملہ ہمار پاس آگے for the area of the region r n اب ہم ایریہ of the region r ایک خاص فرملے کے تحت لکھتے ہیں اگر ہم اس کو اس طرح لکھیں گے ایریہ a of the region r can be now written as a equals limit as n goes to positive infinity of the summation k equals 1 to n of f of x k star times delta x یہ ہمارے جناب definition ہو گئی ایریہ کی this is exactly how we will precisely define the area of the region under a given under the graph of a given continuous function which has non negative values اور یہی ہمارا سارہ point تا کہ ایریہ کس طرح معلوم کیا جائے اچہ کچھ technical considerations کے بارے میں بات کرتے ہیں so what can they be what are these considerations let's look at them let's write them down کسیدریشنز ہماری کچھ یہ ہے کہ جی یہ جو پویٹس تھے x1 star x2 star all the way to xn star یہ ہم نے عربیٹری طور پہ چوز کیے تھے یعنی دیور any point کوئی بھی point ہم سب انٹرول میں سے چوز کر لیتے تھے اچھا آپ سوال یہ کہ چونکہ یہ عربیٹری پویٹس ہیں تو اگر میں کوئی اور عربیٹری point چوز کرتا وہی بات تھی کہ اگر میں انگلی رکھ کے ایسے کہتا جی یہ point میرا point ہے لیکن اگر ہو سکتا ہے کوئی اور انگلی رکھتا اور موف کر کے کہتا یہ point that would have been a different point تو مقصد یہ کہ کیا جواب ہمارا پھر بھی وہی آتا جو ہم چاہتے ہیں کہ وہ آئے مقصد یہ کہ اگر ہمارے جو ایریہ کی جو equation ہے would define in terms of these points x1 star and all that تو اگر یہ different points ہوں گے تو کیا جواب different آئے گا different area کے result آئے گا یہ ایک اچھا سوال ہے اس کا کیا جواب ہے اس کا جواب کوچیوں ہے کہ high level courses advanced calculus کے ان میں ہم یہ پروف کرتے ہیں اگر function آپ کا continuous ہے اور basically continuous function ہے باقی جیزے non-negative ہونہ ضوری نہیں ہے تو اس میں یہ جو ہمارا سوال ہے کہ different x1 stars یا چوز کریں تو کیا جواب علاق آئے گا یا نہیں اس کا جواب یہ ملتا ہے کہ جی it doesn't matter which point you choose in the given interval یعنی وہ کوئی اور point بھی ہو as long as the function is continuous area کا result وہی آئے گا جو کسی اور point کی ذریعہ سکتے it's a good interesting result or very useful result کیونکہ ہماری ایکویشن جتی وہ بلکل ناکارہ ہوتی اچھا اگر اب ہم یہ different points یعنی arbitrary points کوئی بھی ہو سکتے ہیں تو ہم differently بھی چوز کر سکتے ہیں یعنی عام طور پہ یہ ہوتا ہے کہ ٹھیک ہم کر سکتے ہیں لیکن عام طور پہ یہ ہوتا ہے کہ چونکہ یہ result ہے ہمیں ملت چکا ہے کہ کوئی بھی point اور جواب ایکی آتا ہے تو آسان کرنے کے لیے اپنے زندگی کو اور اپنے calculations کو ہم یہ کرتے ہیں کہ ہم انٹرول کی جن کی وجہ سے جو سب انٹرولس تھے جن کی بیسس پر ہم نے ریکٹانگل دیفائن کیے تھے اس کے یا تو ہم left-end point کو لیتے ہیں as the arbitrary point یا ہم اس کے right-end point کو لیتے ہیں as the arbitrary point یا ہم mid point کو لیتے ہیں as the arbitrary point that we are talking about اب اس میں تھوڑی سی بات چیت کرتے ہیں مزید ایسا کرتے ہیں کہ ایک انٹرول لیتے ہیں ab closed interval اور اس میں ہم اس کو ڈیوائٹ کر لیتے ہیں into sub-intervals یعنی اس کو لکھ لیتے ہیں ہم کرنا کیا چاہ رہے ہیں ہم یہ چاہتے ہیں کہ ab انٹرول کو ہم ڈیوائٹ کر لیں by the points x1, x2 all the way to x sub n-1 اس میں x0 کام لیلیں گے as the left-end point of the original interval a اور x subscript n جو ہے وہ ہم لیلیں گے b اور ہم یہ equal parts لیں گے یعنی ان کی ڈیوائٹ جو ہوگی وہ equal ہوگی which is defined by delta x تو اس کی ایک تصویر ہے یہاں پر آپ دیکھلیجے which conveys basically we are trying to do here اب اس میں یہ ہے کہ یہ جو تصویر ہے اس میں نوٹ کریں کہ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اگر میں xk کی بات کرتا ہوں یعنی ایک arbitrary point لیتا ہوں یہ جو point some its subdivision کے لیے تھے x1 سے لے کے x x0 سے لے کے xn تک اس میں میں arbitrary point لیتا ہوں xk تو اس کی equation بنے گی a plus k delta x for k equals 0, 1, 2 all the way to n تو یہ equation کیا define کر رہی ہے basically یہ کوئی خاص بڑی بات define نہیں کر رہی ہے میں نے آپ سے کہا تھا کہ اگر آپ انٹروالس آپ کے equal bit کییں تو پہلے جو initial value ہے a اس میں آپ delta x ایٹ کریں گے پہلہ point آجائے گا x1 اس میں ایٹ کریں گے delta x تو دوسرا point آجائے گا اسی کو آپ اگر picture میں بھی دیکھیں پھر سے غور سے تو یہ دیکھیں گے کہ یہ جو equation آئی یہ اس پرسیس سے اس کو repeated ڈلی کرنے سے آپ کے پاس یہ result آتا ہے تو اب اس کا کیا مقصد تھا ہمارا اس کا مقصد یہ تھا کہ ہم جو left end point right end point اور mid point کی بات کی تھی تھوڑی در پہلے کہ ہم ان کو بھی استعمال کر سکتے ہیں as arbitrary points ان کو ہم یہاں پہلے اس formula کے تحت ان کا بھی ایک formula لکھ سکتے ہیں تو اس کو بھی لکھ لیتے ہیں اس میں دیکھیں کہ اس formula کے تحت ہم کہہ سکتے ہیں کہ xk star جو ہوگا جو کہ arbitrary point ہے وہ برابر ہوگا xk subscript k-1k اگر ہم xk star کو ٹریٹ کر رہے ہیں as the left end point of a given sub interval تو اس کی equation بن جائے گی a plus k-1 delta x زیاری سی بات ہے اگر xk کی a plus k delta x ہے تو xk minus 1 کی a plus k minus 1 delta x ہوگی سیملوڈی اگر right end point کو لے رہے ہیں آپ as your arbitrary point xk star تو یہ صرف xk کی برابر ہوگا اور اس کی equation وہی آئے گی جو آپ کے سامنے ہے a plus k delta x اور اگر mid point لے رہے ہیں xk star کو تو mid point کا فرملہ ہے ٹیمٹ ٹیمٹ ٹائمٹ xk minus 1 plus xk which will give you a plus k minus one half delta x یہ جناب یہ بھی ٹیکنیکل کرنے کی لئی جو ہم نے دیکھ لی یہ سب صحبولی بات تھی کہ ہے آپ arbitrary point آپ if differently چوز کریں تو کیا ریزرل дیفرنٹ آئے گا نہیں آئے گا اور ہم عamتور پہ lefth end point right end point یا mid point چوز کرتے ہیں سب انٹروال کا اور ان کے فرملے آپ کے سامنے تھے یہ فرملے کیوں چاہیے تھے آپ کو اس لئے چاہیے تھے کہ آپ کو ان پویںٹس پے اپنے فنکشن کی value معلوم کرنے ہوتی ہے لہذا آپ کو یہ فرملے کے تحیط ہوتی ہے یہ ان فرملے کے تحیط آپ کرسکتے ہیں اور پھر آپ کو جو آپ کو ٹیوری پر ہم مجھے واقعہ کیا ہے اور خوبصورت کیا ہے اور آج کیا ہے اور بہت ہی ہمارے جیسے جو بہت اچھا اب ایسا کرتے ہیں ایک ایک اگزمپل کر لیتے ہیں تھیوری تو ہم نے دیوعلپ کر لیتی کہ جی I think it was an interesting تھیوری اور آپ کو سمجھ بھی آگئے ہوگی It looks complicated but it's really interesting اور ایک بار تھوڑا سا کلک کر جائے تو باقی جو سب کچھ ہے وہ بڑے حسانی سے سنس اس کا بن جاتا ہے تو اگزمپل کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ اس تھیوری کو ہم کیسے اپلائے کرتے ہیں for finding areas of regions defined as being under the graph of some function ایک سامل ہے جی use the definition of the area that we just saw and use x k star as the right end point of each sub interval to find the area under the line y equals x over the interval 1,2 تو یہ نہیں مقصد یہ کہ آپ کے پاس ایک لائن دیویہ اور آپ کو سب انٹرولز بنانے of the انٹرولز 1,2 اور جو آپ عربیٹری پوینٹ جس پر فنکشن کو اویلیٹ کریں گے وہ آپ کا ہونا چاہیے وہ پوینٹ ہونا چاہیے right-end point of the انٹرول آئے اس کو کرتے ہیں سب سے پہلہ سٹپ تو یہ جی کہ آپ اس کو سپ دیوائٹ کریں انٹرولز کو 1,2 کو into n equal parts n کیا ہے کچھ بھی ہو سکتا ہے we don't care then each part will have length یا width کہلیں وٹا نیہ سکتا ہے it's equal to 2 minus 1 divided by n and that's just equal to 1 over n اچھا آپ کے پاس دلٹا x تو آگیا سارے جو انٹرولز آپ نے دیوائٹ کیا انٹرولز جو آپ بنائیں گے انٹرولز آپ نے اس کو بڑی کریں انٹرولز جو آپ بڑی کیا بھی one over and اب ہمیں right-end point استمال کرنے as the arbitrary point upon which we can evaluate the given function ہے y equals the x line دیتی تو function ہے f of x equals x so it's a continuous function and it's also non-negative on the given interval 1,2 اب اس کا x k star کا فرمالہ لکھ لیتے ہیں یہ جناب ہے x k star is equal to a plus k delta x یہ ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے لکھا تھا کہ یہ فرمالہ ہوتا ہے اگر آپ x k star کو ٹریٹ کر رہے ہیں as the right end point of each sub-interval اس کے تیہت ہم کہہ سکتے ہیں کہ اس کی expression ہوگی 1 plus k divided by n یہ بھی ساتھی ایک پکچر دیکھلی جیے کہ which is telling you basically what's happening یعنی وہ گراف کانسا ہے جو ہم دیکھنا چاہ رہے ہیں اور ہمارے جو ریکٹانگلز بنیں گے وہ کیسے بنیں گے یہ آپ کے سامنے پکچر ہے and that's the situation اب ہمیں ایریہ معلوم کرنا ہے تو کیسے معلوم کریں گے سیمپل سی بات ہے پہلے تو آپ ڈفائن کریں کہ f of x k star ڈیلٹا x کیا چیز ہوتی ہے تو اس کو بھی لکھ لیتے ہیں let's write this down f of x k star times ڈیلٹا x جو ہوگا for some arbitrary point x k یہ برابر ہوگا x k star times ڈیلٹا x کے کیونکہ f of x جو ہے وہ x کی برابر ہے that's the function so you get f of x k star times ڈیلٹا x equals x k star ڈیلٹا x and if you substitute the values you get one plus k over n times one over n as the expression for that arbitrary as the area of the arbitrary rectangle defined at the kth point and the sum of the of the areas of all the n rectangles is now going to be written as summation k equals one to n of f of x k star times ڈیلٹا x that's the that's the definition and that tells you اس کو آپ ایک سبین کریں گے تو یہ تھوڑا سا کomplicated ہے I won't read this لیکن آپ دیکھ سکتا ہے کہ کیا ہورا ہوں ایک سبین کیا ہورا ہوں you can do this calculations also point ہے کے اس میں اب آپ simplify کریں گے تو results اطاہ flu 2 was 3 over 2 plus 1 over 2n یہ result کیسے آیا وہ بات ہے کے چھوم بیچ میں آپ نے دیکھیں کچھ calculations تھی I will leave these calculations to you and of course when you do it you'll see that the result is what we get 3 over 2 plus 1 over 2n اگر آپ انفنٹی دالیں گے رزالٹ is 0 and you get the result as 3 halves جناب آپ کا اس ریجن آر کا جو آپ نے دیکھا بھی تا پکچر میں اس کا ایریہ آتا ہے 3 over 2 ایک بات یہ آپ یہ دیکھ لیں کہ اس کو آپ اس ریجن کو as a trapezoid بھی تریٹ کر سکتے ہیں with certain values trapezoid کا فرملہ آپ کو یاد ہوگا ایریہ کیسے معلوم کرتے ہیں اس کا ایریہ ہوتا ہے 1.5 times height times the sum of the two bases that are given تو اس کیسے میں کیا ہے وہ ساری چیزے اس کیسے میں آپ کے پاس height 1 آتیے پہلی base b1 is 1 base 2 b2 is 2 and from basic geometry we have that the area of this trapezoid region is 1.5 times 1 times 1 plus 2 and lo and behold that also comes out to be 3 halves تو یہاں پہ ہم نے دیکھ لیا کہ جو ایریہ کا فرملہ ہم نے define کیا تھا it does work اور وہ وہی جواب دیتا ہے جو basic geometry سے بھی کچھ situations میں آتے ہیں ہمارے پاس theoretically بھی ہم نے دیکھا کہ ہماری theory sound theory ہے of course it has to work اچھا جی تو یہاں پہ ہم ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو کافی crucial lecture ہے اس میں ایک بہت major concept develop کیا ہے ہم نے of area finding areas اور ہم نے لیمٹس کیا ہے اب وہی بات ہے انتگریشن کا اس میں کیا تعلق ہے اس لیکچر میں تو ہم نے کوئی ایسا تعلق نہیں دیکھا لیکن اگلی دفعہ ہم دیکھیں گے کہ انتگریشن بھی اس میں انوالگ روٹی ہے خیلے دیکھ تو چکے ہیں پہلے میں نے شروع میں بات کی تھی کہ جی لیبنٹسر نیوتن کے جو ہم نے لیکچر میں ایک دفعہ بات کی تھی اس میں انٹی دفنسیشن انتگریشن انوالگ رہے لیکن یہاں پہ ہم نے اس کی ایڈیہ کی دیویلپنٹ کی تھی ایڈیہ ہے اور ایڈیہ ہے ہم ایڈیہ ہم پہلے پہلے تو پھر اب اگلی دفعہ تک کیلئے اجازت آپ سے نکس طیام ملغات ہوگی شکر بہت