 Comme du temps a passé depuis les dernières séances, on va repréciser les énoncés et puis les deux dernières séances, donc aujourd'hui et la semaine prochaine seront consacrés à cette démonstration que j'annonçais dès le départ, un théorème de Lévi Gromov non lisse. Donc le but de ce qui reste c'est le théorème qui suit, Cavallet Timon Dino, soit X dé nu, un espace métrique mesuré vérifiant la condition CD star de KN pour K strictement positif et N appartenant KN. Alors pour tout, sous ensemble boréliens de X, on a, alors on va lui donner un nom, A de X, on a, alors je vais écrire ça comme ça, nu plus de déron A sur nu de X, supérieur au égale A dérombé divisé par SKN. SKN est l'espace modèle SN de R avec R égale Pi racine de N-1 sur K et l'espace modèle courbure sectionnelle constante avec une courbure de Ritchie qui coincide avec KFOR, la métrique, et B est une boule dans SKN, vérifiant que B sur SKN est égal à nu de A sur nu de X, 2015. En d'autres termes, la fonction isopérimétrique associée à X est supérieur au égale à la fonction isopérimétrique KN associée à SKN, donc profil isopérimétrique de SKN. Alors remarque l'espace métrique, pardon j'ai oublié une hypothèse ici, ici il faut rajouter une hypothèse essentiellement nombre en champ, ok donc on rajoute ici essentiellement nombre en champ comme hypothèse et puis on verra ce que ça veut dire plus tard. Alors remarque, ce théorème s'applique par exemple à tout espace R, c'est des étoiles de KN, il reste un espace tel que à la fois on a la condition de courbure dimension KN et en plus on a que l'espace de Cebolev W12 est un espace de Hilbert. Par exemple un espace d'Alexandrov fera l'affaire. Ça c'est la première remarque. Deuxième remarque, si X des nu est une variété riemannienne lisse avec nu égal volume, on retrouve le théorème isopérimétrique de Lévi Gromov. Le tout est de le faire et de faire une preuve sans régularité. Et puis remarque suivante, on peut aussi généraliser la toute valeur de N° W1 pas forcément un entier et K appartenant à R, éventuellement K négatif en incluant en ajoutant une contrainte de diamètre avec un D strictement positif et dans ce cas on obtient les profils isopérimétriques généralisés qui ont été étudiés par Emmanuel Milman. Un NSPA dans ce cas-là, il faut regarder, i KND de alpha est égal à l'inf, on va noter ça comme ça, volume de la frontière de A pour A incluant R, nu de A égal alpha, nu mesure de probabilité sur 0D, nu est égal à une certaine mesure de probabilité multipliée par la mesure de Lebesgue et celui-ci vérifiant une condition que je vais noter ici c'est des stars KN en dimension 1 et on verra plus tard pour la définition précise, en tout cas on peut se ramener à dimension 1. Bon et puis dernier remarque, il y a rigidité au sens où on peut caractériser les cas d'égalité. Ok donc ça c'est le but, cette séance et la séance suivante, comprendre comment on démontre ça et notre plan sera le suivant. Premièrement on va définir ce que c'est, les espaces CD et KN, deuxièmement les propriétés élémentaires, troisièmement un exemple simple qui sera le critère CD0N, quatrièmement comment passer du local au global et ce qu'on va appeler le dilemme de la direction manquante, cinquièmement méthode de localisation KLSK, Canon Levas Simonovitz-Clarthag, sixièmement partition MK1 pour manche-quantorevich pour l'MD1, septièmement localisation de la courbure, localisation de la condition de courbure, huit, la preuve donc de ce qu'on va appeler du théorème de Lévi Gromov non lisse, quelques généralisations et puis lesquelles d'égalité, rigidité, ok, tout va bien, eh ben on va se lancer dans les définitions, il me faut une brosse, voilà, et voilà. Alors premièrement, espace non lisse, c'est des étoiles KN, définition, soit XD un espace métrique géodésique compact, avec une mesure de borrel, nu, une mesure de borrel finie sur X. On dit que XD nu, vérifie, c'est des étoiles de KN, si quelque soit mu 0 et mu 1, deux mesures de probabilité sur X, avec support de mu i inclus dans support de nu, on a, il existe, muté, compris entre 0 et 1, géodésique dans l'espace de Wasserstein P2 de X, Telkisch, il existe, ok, si vous voulez, MK2, Space, whatever, c'est la solution du problème de minimisation avec seconde, avec quadratique cost, quadratique cost. Mais effectivement, à un moment ici, on va utiliser la coste qui est distance, distance and distance square. Et un couplage PI de mu 0 mu 1 associé tel que. Alors, d'abord, je précise que c'est couplage PI de mu 0 mu 1 associé. Ça veut dire, d'abord, on regarde W2 de mu 0 de mu mu prime, égale 1 de l'intégrale double de distance de XY, carré PI de DX, d'Y. Parmi toutes les mesures PI, tel que la, on va appeler ça comme ça, la première projection de PI est égale à mu, et la deuxième projection de PI est égale à mu prime. Et puis on prend la race, il ne carré de tout ça, avec E0 de X, X prime est égale à X, E1 de X, X prime est égale à X prime. Donc, le coût de Monjkantorovic d'ordre 2, et puis ça, ça définit une distance, et puis ça définit une distance sur les mesures de poabilité sur X, et quand on appartient au moment où j'ai le concept de distance, j'ai le concept de géodésique. Là, on comprend, maintenant, reste à savoir ce que ça veut dire quand je dis qu'il y a un couplage PI qui est associé. Ça veut dire ici qu'il existe grand PI, mesure de poabilité sur les géodésiques de X, tel que d'une part, quand je regarde l'évaluation autant T, et que je fais la mesure image de PI par ça, j'obtiens muté, et d'autre part, quand je regarde E0, E1, mesure image PI, j'obtiens PI qui est un couplage optimal. Donc, quand les 3 objets PI, muté et grand PI vont ensemble, et grand PI contient les uns et les autres, et on dit quand on a ça que muté et PI sont associés. Alors, un couplage PI de mu0, mu1 associé tel que, pour tout T, appartenant à la non-linéarité, des placements convex d'ordre n, l'espace non-linéarité, et pour tout T appartenant à 01, u nu de muté est inférieur au égal à 1-t u. Alors, ici, c'est PI nu beta 1-t étoile kn de mu0 plus T nu beta t kn de mu1. Et on va préciser les notations. Alors, u nu de mu est égal à l'intégrale de u rho de x nu de dx, plus éventuellement la partie singulière de mu, qui est multipliée par la valeur de la dérivée de u à l'infini. Ça, c'est limite de u prime de r quand r tend à l'infini. Donc, ça, c'est pour expliquer ici. On est en train essentiellement de prendre l'intégrale de u appliqué à la densité, et puis u PI nu beta de mu est égal à l'intégrale double de u de rho de x sur beta de xy, beta de xy, PI de dx sachant x nu de dx, plus u prime de l'infini nu s de x. Autrement dit, c'est la même chose, mais il y a un coefficient de distorsion qui nous informe, qui dépend de ce qui se passe entre le point x et le point y. Alors, et puis on continue. Dccn, c'est l'ensemble des fonctions u allant de r dans r, convexe avec u0 égale 0, qui vérifie que s puissance n u2s puissance moins n est une fonction convexe de s. Et typiquement, c'est la fonction u2r égale moins nr 1 moins 1 sur n. On a presque tout défini. C'est s mesure image PI ou s de xy égale yx. C'est juste une façon de dire qu'on échange les deux variables. Et puis il reste juste pour comprendre, pour que tout se définit dans la définition, ici j'ai oublié l'étoile, définir les coefficients beta étoile knt de xy est égal à sinus t racine de k sur n distance de xy divisé par t sinus racine de k sur n distance de xy. Tout ça à la puissance n. Alors, on va commenter. Donc il est, donc ça c'est une version intégrale avec des mesures de probat de l'idée que quand on regarde l'ensemble des géodésiques qui relient un mesure muséro ou un ensemble A0 disons un ensemble A1 et bien l'ensemble des points intermédiaires va être assez gros volume minové. Donc ça c'est la première remarque. Et puis on va voir plus tard plusieurs reformulations mais déjà un cas particulier si k égale 0 cela se simplifie en unu de muté inférieur ou égal à 1-t unu de mu0 plus t unu de mu1. Alors on sait pas dire grand chose on ne sait pas aller très loin dans l'analyse des espaces sans hypothèses de non-branchement. Alors on va faire des hypothèses de non-branchement. Qu'est-ce que c'est le non-branchement ? Définition, xd est non-branchant si 2 géodésiques gamma, gamma tilde coincident sur un intervalle st non trivial coincide sur l'intersection leur domaine de définition sur tout, on va mettre qu'elles sont sur 0,1, sur tout 0,1. Soit encore, il est impossible d'avoir une configuration comme ça avec gamma et gamma tilde qui coincident sur un espace non trivial. Autre définition possible si gamma et gamma tilde sont deux géodésiques tels que gamma 0, gamma tilde 0 gamma 1, gamma tilde 1 gamma 1,5, gamma tilde 1,5 alors gamma et gamma tilde variante qui est exactement pareille pour ce qui nous intéresse. Autrement dit, impossible d'avoir ça avec une géodésique gamma ici et puis gamma tilde ici. L'hypothèse de non-branchement elle va être très utile pour pouvoir localiser les inégalités sur des géodésiques. Quand on a le non-branchement on va pouvoir partir des inégalités intégrales et désintégrer pour obtenir des inégalités sur les géodésiques et puis y vers ça, réintégrer des inégalités qui sont vraies sur les géodésiques pour obtenir des inégalités intégrales. Avant de continuer, on va expliquer ce que ça veut dire essentiellement non-branchement. Définition fxd est essentiellement non-branchant. Un sous-ensemble comme on va l'appeler gamma des géodésiques. Ce sous-ensemble est non-branchant et tout grand-pi comme celui qui apparaît dans la définition le grand-pi qui est mesure de probat sur l'espace des géodésiques et supporté dans gamma. Autrement dit, si pour toutes sortes de calculs on peut supposer que on n'a que des géodésiques non-branchantes. Autrement dit pour tout ce qui relève du transport optimal on peut supposer qu'il n'y a pas de branchement qu'il a jeté des ensembles négligeables. Bon, donc ça c'est la définition. Alors notre job c'est de montrer sans rien supposer d'autre et en particulier qu'une hypothèse de régularité qu'on a une égalité comme celle-ci une égalité de Lévi Gromov. Alors on va commencer par les propriétés élémentaires. Alors premièrement même si je n'ai pas le fait ici cette définition est stable par topologie de Gromov Hausdorff mesuré. Si xk dk nu k en verre je verre xd nu et que chaque étape cd étoile kn alors celle-ci sera cd étoile kn. Deuxièmement xd égal variété rimanienne lisse on retrouve le classique cd kn lisse qui se dit Richie plus sn de v moins grade v tenseur grade v sur grand n-n supérieur ou égal à k g où g est la métrique n la dimension la vraie dimension de la variété grand v est tel que nu est égal à exponentiel moins v fois le volume. On garde ça en tête, on ne s'en servira pas nous ce qui nous intéresse maintenant c'est de travailler juste sur la partie non lisse. Alors sans perte de généralité on peut normaliser la mesure nu pour avoir nu de x égal 1 donc en faire une mesure de probat et puis toujours sans perte de généralité on peut supposer que le support de nu est égal à x tout entier c'est assez facile à traiter. L'idée c'est que si le support de nu est plus petit que l'espace tout entier on regarde le sous-espace et constitué par le support de nu. Étape suivante, première étape de tout traitement c'est le contrôle du volume. Étape suivante on va démontrer Bishop Gromov dans ce cadre généralisé en disant que pour tout x0 appartenant à l'espace nu est on a d'abord la mesure de la boule ouverte de rayon r de centre x0 est égal à la mesure de la boule fermée de centre x0 de rayon r je mets comme ça la boule fermée et que nu de br de x0 divisé par intégral de 0 à r de skn de t est une fonction décroissante de r avec skn de t est égal à sinus racine de k de t et puis tout ça la puissance n-1 ça c'est pour k strictement positif étant entendu que pour k égal 0 ça serait t puissance n-1 et puis pour k négatif on aurait la même chose en mettant un sinus hyperbolique à la place du sinus alors comment on démontre ça on va faire juste le k k égal 0 les autres k étant similaires mais juste un peu plus compliqués exemple k égal 0 donc on se donne x0 on veut montrer que nu de br de x0 divisé par r puissance n est une fonction décroissante de r pour ça on va regarder la configuration suivante on va poser mu 0 égal masse de Dirac en x0 et puis mu r mu 1 égal la mesure restreinte à la boule donc 1 fois la boule la fonction indicatrice de la boule de centre x0 de rayon r divisé par nu de br de x0 et tout ça multiplié par nu alors je note pareil b de x0 r égal br de x0 bon et on va appliquer et on applique l'inégalité nu de mu t inférieur ou égal à 1-t nu de mu 0 plus t nu de mu 1 et on va prendre nu de r est égal à moins r puissance à moins insurène évidemment que u prime de l'infini est égal à 0 donc quand j'applique nu à mu 0 qui est une masse de Dirac il me reste 0 quand j'applique nu à mu 1 maintenant on va regarder ce qui se passe donc nu de mu 0 est égal à 0 nu de mu 1 est égal à alors bon ben r c'est égal à 1 sur nu de br donc c'est égal à moins l'intégral de 1 sur nu de br puissance à moins insurène fois d nu et donc ça ça va sortir et il va me rester un nu de br puissance 1 sur n-1 fois l'intégral de nu sur br qui vous paraît que nu de br donc c'est égal à nu de br de x0 puissance 1 sur n donc ça ça s'avoue pour le dernier morceau et puis maintenant il nous reste juste à regarder nu de muté qu'est ce qu'on va pouvoir dire d'intéressant dessus alors muté c'est l'interpolation entre Dirac x0 et puis la boule tout entière bon évidemment si je regarde l'interpolation un point qui va partir de la distance de x0 de là une géodésique qui va aller quelque part dans la boule de rayon r quand je regarde autant t la distance donc si gamma t0 t1 est une géodésique issu de x0 bien sûr la distance de x0 à gamma t est égal à t fois la distance de x0 à gamma 1 à la supérieure ou égale à t r autrement dit autrement dit la muté est supportée dans la boule de centre x0 et de rayon t r ok alors donc on peut écrire nu de muté est égal à moins l'intégrale sur la boule de rayon t r la distance 1-insurène des nu ça c'est la rotée de x égale de muté sur des nu et puis ça je vais dire que c'est égal à moins le volume de la boule de rayon t r fois l'intégrale de rotée 1-insurène des nu sur t r et ici j'ai bt r j'identifie nu divisé par bt r comme une mesure de probabilité et j'applique Jensen pour dire que ça c'est supérieur ou égal donc il y a moins nu de bt r qui reste là et puis j'ai ici l'intégrale de rotée des nu sur nu bt r à la puissance 1-insurène qu'est ce qui va se passer maintenant l'intégrale de rotée contre des nu va s'intégrer pour faire 1 donc tout ce qui restera c'est moins nu de la boule de rayon t r fois la contribution de ça qui est nu bt r fois 1-insurène moins 1 et donc il reste seulement nu bt r puissance insurène donc tout pris en compte ce qu'on a obtenu donc ce qu'on a obtenu c'est tout simplement que moins nu de bt r puissance insurène est inférieur au égal la t nu br puissance insurène soit encore alors il y a un signe moins ici soit nu de bt r nu de bt r puissance insurène et supérieur au égal à diviser pardon nu de br puissance insurène est inférieur au égal nu bt r puissance insurène sur t et donc ça on peut encore dire tout simplement que c'est nu de br puissance insurène alors nu de br sur r puissance saine inférieur au égal nu de bt r divisé par t r puissance n bon c'est exactement ce qu'on voulait pour t compris entre 0 et 1 donc on a bien cette inégalité de Bichop Gromov dans le KK et comme je vous disais le K général s'en déduit pareil nu de bs sur s puissance saine est une fonction décroissante de s alors un corollaire x d nu est doublant au sens de la théorie de la mesure à savoir que nu de b de x0 de r est inférieur au égal à une constante nu de b x0 r ça en général c'est la première propriété qu'on cherche à avoir quand on fait de l'analyse non lise dans les espaces maitriques mesurés première c'est qu'on veut que ce soit doublant la deuxième c'est qu'on veut une inégalité de point carré en l'occurrence elle est vraie aussi même si je ferai pas la démonstration parce qu'elle nous servira pas question alors propriété suivante c'est donc je vous la citer inégalité de point carré inégalité de point carré l1 qui nous dit que l'intégrale renormalisé sur la boule de centre x0 rayon r de h moins la moyenne de h sur la boule rx0 des nu est inférieur ou égal une constante fois r fois l'intégrale normalisé sur la boule de centre de x0 rayon 2r de gradient u des nuces celle-ci a été démontrée par Rayala dans cette généralité dans cette généralité même sans l'hypothèse de non-branchement bon et puis on va ajouter aussi d'autres propriétés on a unicité presque partout des géodésiques nutenceur ce qui veut dire que nutenceur nu presque partout il existe une unique géodésique minimisante reliant x a y donc celle-ci comme conséquence de l'hypothèse de non-branchement cela vient cela vient de ce que d'abord si x et br sont fixés pour tout est compris entre 0 et 1 strictement il y a unicité de la géodésique reliant x a l'interpellation entre br si vous regardez ici j'ai x ici j'ai un autre point j'arrête autant t je regarde l'ensemble des points qui vont d'ici et ici là j'aurai unicité de la géodésique parce que sinon j'aurai un problème de branchement et donc ça ici c'est interpolation et nut de l'interpellé entre x et br t envers nut de br comme conséquence également de bichop Gromov et on ne va pas s'attarder là dessus alors ça c'est les propriétés élémentaires et maintenant la question suivante qu'on se pose c'est montrer l'isopérimétrie donc regardons sous l'hypothèse cd0n et puis on définit par abus de notation nut plus de déromoie est égal à l'hympsup quand epsilon tend vers 0 de nu de a epsilon moins nu de a sur epsilon bon en fait nut plus de la bonne la en fait on devrait noter nut plus de a j'utilise l'abus de notation juste pour rappeler que c'est là pour donner une mesure à la surface de a et ici a epsilon c'est l'élargie où a epsilon est égal l'ensemble des x telles que distance de x a a est inférieure ou égal a epsilon bon et autre problème problème de l'isopérimétrie établir une borne nut plus de déromoie supérieure ou égal à quelque chose où on veut que ce soit aussi optimal que possible choisissons rho 0 est égal à 1 a sur nu de a rho 1 est égal à 1 a epsilon sur nu de a epsilon qui ici j'ai a ici j'ai a epsilon j'ai une première mesure ici qui est uniforme sur a une deuxième mesure qui uniforme sur a epsilon et je vais regarder muter l'interpolation entre rho 0 et rho 1 et si je regarde une géodédenque mutée ça va être e t mesure image p ou p est une mesure sur les géodésiques et si je regarde gamma 0 appartenant a gamma 1 appartenant a epsilon alors distance de gamma 0 à gamma t pour gamma t donc une mesure sur les géodésiques jointant à a epsilon distance de gamma 0 à gamma t est égal à distance de gamma 0 à t distance de gamma 0 à gamma 1 est inférieure ou égal la t epsilon si distance de gamma 0 gamma 1 est inférieure ou égal à epsilon alors en utilisant cela on peut chercher une inégalité sur a nu de a t epsilon puissance insurène même genre de raisonnement qu'est ce qu'on peut espérer avec le même genre de raisonnement on peut espérer prouver une convexité une concavité de la fonction qui a t associe nu de a t epsilon puissance insurène même genre de choses avec la l'inégalité en moins intégrale de puissance insurène qu'on va appliquer si on regarde la ça va se traduire par nu de a epsilon puissance insurène inférieure ou égal la nu de a puissance insurène plus t fois alors si je pose phi de t pardon nu de a t epsilon puissance insurène ici je vais avoir des plus phi sur d t et quand on regarde ce qu'on va obtenir ici c'est pas t c'est 1 fonction concave je dis que phi de 1 est inférieure ou égal à phi de 0 plus phi prime de 0 et là ça va être a puissance nu de a puissance insurène plus epsilon surène nu plus de déron a fois a puissance insurène moins 1 soit encore nu de a epsilon puissance insurène est inférieure ou égal à nu de a puissance insurène 1 plus epsilon nu de déron plus a sur n fois nu de a bon tout semble bien se goupiller on se dit que on se dit que tout est en ordre et on se dit que finalement la l'inégalité isopérimétrique elle va résulter de cette inégalité de convexité tel qu'on l'a écrite mais maintenant on va se poser la question qu'est ce qui se passe pour 4 différents de 0 alors si l'inégalité isopérimétrique elle découle l'inégalité de convexité tel qu'on l'a écrite eh bien tout doit découler de la propriété caractéristique qu'on a donné tout à l'heure et c'est le moment de passer à ce problème de la direction manquante quatrièmement local global et dilemme de la direction manquante cherchons à obtenir une inégalité sur les volumes et sur face en partant de cd étoiles de kn cd étoiles de kn d'abord pour avoir une meilleure idée on va restreindre cette inégalité à une géodésique on va restreindre cette inégalité alors comment on fait ça ben je prends de mesures mu0 et mu1 bon et puis il y a un certain nombre de géodésiques qui sont tenues par le transport optimal les géodésiques sur lesquelles les géodésiques du support de grand-pi et puis je vais savoir ce qui se passe selon d'une géodésique en un certain point alors je vais prendre ici un y une petite boule ici de rayon r et je vais conditionner par la boule en regardant juste les géodésiques qui passent par cette petite boule donc là ça me fait une mesure, une sous mesure et ici une autre mesure qui est obtenue en restraignant les mesures mu0 et mu1 au point qui donne par transport un passage par la boule BR de Y et puis une fois que j'ai fait ça je vais écrire l'inégalité correspondante pour le transport de cette sous mesure ça va être un transport optimal et ça va être l'unique transport optimal entre ceci et ceci donc je vais pouvoir réécrire l'inégalité sur ce transport et ensuite je vais faire tendre la diamètre de la boule VR0 jusqu'à obtenir une égalité qui sera valable juste le long de la géodésique alors par non branchement le sous transport obtenu en conditionnant Pi par le passage par BR de Y et l'unique transport optimal et donc on peut appliquer l'inégalité c'est des stars KN à ce sous transport avec juste cette partie de la mesure obtenue à partir de cette partie de la mesure et puis je fais tendre BR VR0 et on obtient tendre VR0 on passe à la limite en utilisant la propriété de doublement ça nous permet d'appliquer la théorie de densité de le Begg en particulier muté de BR de Y divisé par nu de BR de Y converge vers roté de Y nu presque partout théorème de densité de le Begg et on trouve que le long de la géodésique le long d'une géodésique gamma presque sûrement 1 sur roté de gamma t puissance 1 sur n supérieur ou égal à 1-t beta 1-t de gamma 0 gamma 1 puissance 1 sur n divisé par rho 0 de gamma 0 plus t beta t de gamma 0 gamma 1 divisé par rho 1 de gamma 1 puissance 1 sur n ok alors on regarde ça dans le blanc des yeux et on examine alors d'abord pour k égale 0 donc ça on va l'appeler étoile pour k égale 0 c'est juste la convexité la concavité de 1 sur roté de gamma t puissance 1 sur n en t c'est pour cd 0n pour k différentes zéroes cela nous donne un coefficient de distorsion en comme on l'a vu tout à l'heure sinus t racine de k sur n distance xy divisé par sinus racine de k sur n distance xy à la puissance n alors quand vous regardez quand vous regardez ça ici c'est pas bon au sens où c'est pas le coefficient de distorsion dans l'espace de référence en effet ce coefficient de distorsion il aurait un des n-1 partout celui-ci il traduit le fait que la courbure se fait sentir dans n-1 direction et dans celui-ci on fait comme si la courbure se sentait dans toutes les n-directions donc là on perd une direction par rapport à l'ensemble alors pourquoi est-ce qu'on choisit cependant ce coefficient-là plutôt que celui-là celui-ci il a une propriété de localité déterminisme si l'on veut alors le coefficient ainsi obtenu à l'avantage de vérifier un principe local vers global et ceci parce que on a l'identité suivante parce que si vous regardez le coefficient qui est là donc là j'ai un sinus de quelque chose puissance n je prends la puissance 1 sur n donc là ça va être un truc qui est linéaire en sinus et si vous regardez l'inégalité alors je vais l'écrire ici f2 en lambda t0 plus lambda t1 supérieur au égal ici un coefficient qui sera sinus de 1 moins lambda racine de lambda majuscule t0 moins t1 divisé par sinus racine de lambda t0 moins t1 xf de t0 plus quelque chose d'analogue sinus de lambda etc xf de t1 si je demande ça pour tout t0 t1 et puis lambda appartenant à 0,1 ça c'est équivalent à demander que f point point de t plus lambda f de t est inférieur ou égal à 0 et ça c'est une belle inégalité différentielle qui s'exprime localement localement bien définie si je vérifie cette inégalité là sur chaque petit morceau ça sera vérifié évidemment sur l'ensemble autrement dit quand je travaille avec ces coefficients là il y a un principe de localisation qui marche bien et tout ce qui est vrai sur des petits intervalles marche bien aussi autrement dit c'est la base de la preuve de si c'est localement ça vérifie cdkn alors c'est pareil que dire que ça vérifie cdstar de kn globalement ou quand je mets le lock ça veut dire que ça le vérifie juste pour un petit voisinage autour de chaque point alors voyez ici le dilemme voilà donc ici l'inégalité est donc équivalente à f point point plus lambda f inférieur ou égal à 0 ou f de t égal 1 sur roté de gamma t puissance 1 sur n est égal à k sur n distance de gamma 0, gamma 1 carré c'est de l'inégalité qu'on a déjà vu dans une phase antérieure du cours alors voyez maintenant le dilemme ici cela on les appel les beta stars cela on va les appeler beta kn si je prends les beta stars j'ai le localité je peux passer du local au global mais comme j'ai utilisé n direction j'ai perdu sur les constantes et si je prends beta je peux espérer avoir des choses qui sont optimales sauf que je suis incapable de localiser et je suis incapable d'avoir des inégalités qui vont bien se prêter une analyse fine alors c'est ça que j'ai appelé dilemme de la direction manquante et qui a empoisonné les choses pendant bien des années après la, qu'est ce qu'on va dire première définition par Carl Theodor Sturm utiliser cette ces coefficients là puis après on s'est dit que pour la localité il va mieux avoir cette définition là c'était barrer Sturm et puis on s'est retrouvé coincé si on veut faire des inégalités optimales on a envie d'utiliser ça mais si on utilise ça on sait pas comment localiser et cette situation a été débloquée donc par Cavalletti Mondino en contournant le problème par un argument qu'on va appeler de localisation et ça va être l'étape suivante pour contourner un argument de localisation alors on va mettre KLS pour Canon Lovas Simonovitz on va rajouter K pour Clarktag parce que c'est lui qui a compris comment l'appliquer dans le cadre du transport optimal et Cavalletti Mondino qui a montré que ça fonctionnait quand même même dans un cadre non lisse et puis on va noter que Canon Lovas Simonovitz c'est 1995 Clarktag 2014 et on va noter qu'il y a un ancêtre qui est un article de Gromov et Milman 1987 avec le même genre d'idée où on restreint les inégalités à des lignes et puis aussi Pine Weinberger loin avant Pine Weinberger dans les années 1960 donc notre boulot ça va être de décomposer l'inégalité sur des courbes sur des lignes et de recoler plein de petites inégalités dimension 1 ensemble et on va voir comment on va le faire alors ça va être notre partie 5 5 méthodes de localisation c'est une technique très générale qui a permis à Cavalli Timondino de résoudre un grand nombre de problèmes avec Constant Optimal qui semblait hors d'atteinte auparavant alors comment ça va fonctionner on se donne x des nuls qui vérifie le même hypothèse que précédemment et puis supposons qu'on se donne une fonction f de x dans r intégrable de moyenne nul alors on peut décomposer x en deux morceaux le premier morceau c'est une union diodesique union de gamma de 0,1 union un ensemble négligeable alors ici pour des gammas qui sont dans un ensemble grand omega donc on va écrire ça comme ça alors ça ce sont images de la géodésique ça c'est un ensemble de géodésiques et ça c'est un ensemble négligeable plus précisément pour tout B boréliens nu de B va s'écrire comme l'intégral sur omega de nu gamma de B omega de D gamma donc ici une mesure de probabilité sur les géodésiques alors on va donner un nom à cette partie là tout ça on va l'appeler grand g donc mesure de probabilité sur les géodésiques qui constituent grand g ici c'est une mesure supportée par gamma et les gammas constituent une partition de g et puis qu'est ce qu'on a d'autre alors premièrement omega de D gamma presque sûrement, presque partout intégral de f des nu gamma est égal à 0 et puis nu de D y presque partout f de y est égal à 0 ou y appartenant à n autrement dit mon espace est fibré par un ensemble de géodésiques qui ne se croise jamais et on peut restreindre la mesure à chacune de ces géodésiques et réintégrer pour par rapport à une certaine mesure de probabilité pour obtenir nu en fait ici ce qu'on a écrit c'est une désintégration de la mesure conditionnellement à cette fibration non lisse qui est faite par toutes les géodésiques et on peut faire ça de telle sorte que sur chacune de ces géodésiques la mesure conditionnelle obtenue donne toujours une moyenne nulle à f sur chaque ligne on a une moyenne nulle pour f et puis d'autre part l'ensemble qui reste le n est inégligeable au sens où f vaut toujours 0 voilà donc ça c'est ça c'est l'idée ça c'est ce qu'on va construire et ce que montre Cavaletti Mondino c'est que en outre je vais cuire ici en outre Gamma associé Nu Gamma sera une cédétoile KN désintégration c'est-à-dire que quand on va regarder la densité H Gamma de Nu tiré qu'est-ce qu'on va dire oui densité Nu Gamma de Nu je vais tirer en arrière sur R c'est pas correct on va dire ça Lu sur R vérifiera n° suivante H Gamma de 1-s T0 plus ST1 puissance 1 sur n-1 supérieur ou égal la beta-star KN-1 1-s de T0 T1-T0 puissance 1 sur n-1 c'est comme ça H Gamma de T0 1 sur n-1 plus la même chose beta-s étoile KN-1 T1-T0 puissance 1 sur n-1 H Gamma de T1 puissance 1 sur n-1 la situation est comme ceci donc là on a toutes nos géodésiques et on a une application G pour chaque géodésique Gamma c'est pour répondre la droite R à la géodésique de sorte que nu Gamma sera égal à G Gamma mesure image d'un certain truc H Gamma L1 et ce H Gamma c'est lui qui va nous intéresser c'est lui qui va nous intéresser et ici ce sont les bons ce sont les coefficients de distorsion les mêmes qu'on avait avant c'est dans mais cette fois avec n-1 au lieu de n autrement dit le long de chaque ligne on a la bonne inégalité avec les n-1 direction qui se font sentir c'est comme si on regardait la mesure conditionnelle au transport long des géodésiques et on montrait qu'il y a la courbure qui se fait sentir dans n-1 direction alors on va revenir sur cette décomposition est-ce que c'est la fonction F moi je vous ai dit on se donne une fonction F et on construit tout ça la fonction F on va la construire c'est celle qui va donner l'inégalité isopérimétrique donc l'idée est de choisir f de x égale 1a de x moins alpha ou alpha est égal à la mesure de A et on suppose que alpha est compris strictement entre 0 et 1 et d'écrire pour cette fonction F x comme d'abord une union de géodésiques une partition une ensemble négligeable avec nu de n égale 0 et puis nu égale intégrale de nu gamma omega d gamma sur omega et puis de prouver l'isopérimétrie comme ça en se ramenant à l'isopérimétrie sur une ligne pour la mesure conditionnée alors qu'est-ce que ça va donner on écrira alors nu de A epsilon moins nu de A divisé par epsilon est égal à 1 sur epsilon intégrale de 1 A epsilon moins A nu de dx est égal à 1 sur epsilon intégrale sur omega de l'intégrale de 1 A epsilon moins A de x nu gamma de dx ici j'applique ma désintégration omega d gamma et je vais continuer en me ramenant à chaque fois à R donc chaque fois que j'ai quelque chose ici sur une ligne je ramène à une intégrale sur R en utilisant cette application G une façon de une façon sur chaque géodésique de me ramener à à droite réelle et qu'est-ce que je vais avoir ici donc nu gamma je vais écrire que c'est la mesure image de ce H gamma L1 donc 1 sur epsilon intégrale sur omega sur R de 1 A epsilon moins A H gamma de t L1 de dt omega de d gamma alors ici ça c'est pareil que l'intégrale sur omega de alors H gamma L1 de G gamma moins 1 de A epsilon ici juste en utilisant la définition d'images moins H gamma L1 de G gamma moins 1 de A ici on divise tout par epsilon il y a un omega de d gamma et c'est ici qu'il y a une inégalité pour l'instant j'ai écrit que des égalités la seule inégalité qui va venir maintenant c'est de minorer ça par H gamma L1 de G gamma moins 1 de A epsilon moins H gamma L1 alors ici je ne change rien alors qu'est-ce que j'ai fait là là ce que j'ai dit c'est que j'ai mon ensemble A ici j'ai A epsilon bon et si je regarde sur un ensemble de géodésiques qui font des choses comme ça donc j'ai un ensemble de géodésiques qui fibre tout l'espace je regarde une égalité sur une géodésique qui est là et je vais me ramener à vouloir démontrer une égalité isopérimétrique sur la mesure conditionnelle portée par cette géodésique bon et maintenant la clé de tout c'est que si je regarde ici ça c'est une distance qui est toujours supérieure ou égal à epsilon il se pourrait que je prenne le truc de manière oblique et que j'ai comme ça quelque chose de large ça c'est supérieur ou égal à epsilon si ça c'est une distance epsilon mais c'est pas grave ça va faire juste que cet ensemble là il sera gros et ici je vais pouvoir mettre un supérieur ou égal et minorer ça parce qu'il est obtenu en regardant juste quand on déborde d'un ensemble d'une distance epsilon ce qui veut dire que si j'ai le solution du problème isopérimétrique sur R ici solution du problème isopérimétrique sur la ligne voilà avec mesure alpha et bien je pourrais résoudre tout ça et l'intégrer bon donc la méthode elle marche parce que sur chaque ligne sur chaque géodésique la quantité alpha a été conservée n'oubliez pas qu'on a pris f de x qui est égal à 1a de x moins intégrale de moins nu de a et donc ça ça revient à chercher la solution du problème isopérimétrique pour un ensemble dont la fraction de masse est égal à alpha et sur chaque géodésique ça va aussi être la solution du problème isopérimétrique pour un ensemble dont la masse est égal à alpha donc les problèmes en dimension 1 ils seront tous les mêmes et le problème isopérimétrique ici ça sera à chaque fois le même et je vais pouvoir le sortir de l'intégrale si je sais résoudre le problème en dimension 1 alors il nous reste plusieurs choses à comprendre comment on construit cette partition en géodésique et les intégrations qui vont avec pourquoi elle a les bonnes propriétés de courbure et celle qui est là et comment on traite le problème monodimensionnel mais d'abord avant tout oui non on va prendre ça dans l'ordre donc reste à comprendre je vais écrire explicitement ce que j'ai dit à l'oral donc on ramène le problème isopérimétrique à masse relative alpha quand je dis ça alpha égale nu de a sur nu de x dans x a un ensemble de problèmes isopérimétriques portés par des géodésiques donc en dimension 1 reste à comprendre comment on construit la décomposition en géodésique pourquoi elle vérifie la courbure la propriété de courbure celle que j'ai donnée là et comment on traite le problème 1D qui a priori la partie la plus facile dans l'histoire alors la décomposition en géodésique pour le dire en un mot on va l'obtenir en résolvant un problème de monge cantorovic avec exposant 1 et c'est là que c'est la partie la plus surprenante dans l'affaire et au départ il y a une idée de cartagre donc on va dire 6 partitions mk1 pour construire la partition en géodésique on va donc c'est pas partition de vérité c'est pour le nouvel partition de mesure mais pas partition de vérité c'est une nouveauté de cartagre pour voir on peut faire ça on peut faire partition d'espace mais ici c'est partition de mesure oui mais c'est c'est une partition d'espace métrique mesuré finalement c'est toujours l'espace oui à un ensemble de mesures négligeables prêts il y a peut-être un ensemble qu'on jette qui est de mesure nulle alors pour construire la partition en géodésique on va utiliser un problème de monge cantorovic avec exposant 1 et de faire ça on revient à cartagre dans un cadre lisse et le long en géodésique la fonction duale de cantorovic augmentera linéairement alors on va faire on va le construire comme ça ça sera une conséquence une conséquence du fait que c'est optimal oui oui dans les vies on va sortir comme ça on va sortir ici ici aussi on est en train de faire ici ce qu'on va moralement ce qu'on fait moralement on va disons pour les opérimétrices ce qu'on va faire c'est qu'on va résoudre le problème de monge cantorovic c'est un problème de monge cantorovic un entre A et A complémentaires on veut faire sortir tout A pour l'envoyer sur le complémentaire et on le voit parce que on va le voir alors étape 1 on va résoudre le problème duale alors étant donné F tel qu'intégrale de F des nu égale 0 on résoudre supe de l'intégrale de F des nu sachant que Phi va de X dans R et nombre de Phi Lipchitz inférieur ou égal à 1 donc ça c'est le problème de cantorovic duale c'est le problème de cantorovic duale pour le transport F plus nu et F moins nu donc c'est ça qu'il faut garder en tête alors quand on a posé F égale 1A ou un nu de A c'est comme si on c'est comme si on faisait le transport entre un moins Alpha fois 1A nu et Alpha fois 1 X moins A nu soit encore transport entre Alpha un moins Alpha nu restreinte A et Alpha un moins Alpha nu restreinte A X moins A donc c'est ça moralement ce qu'on est en train de faire on se donne F et on en déduit Phi et maintenant on va travailler sur Phi pour savoir pourquoi Phi existe Phi existe par argument de capacité classique capacité anthropologie uniforme parce que sans perte de généralité on peut supposer que Phi de X0 égale 0 comme l'intégral de F du nu est égal à 0 je peux toujours enlever une constante à Phi ça ne change rien si on en place Phi par Phi moins Phi de X0 donc on se trouve Phi et maintenant on va utiliser Phi pour définir la partition et l'idée c'est que juste on va suivre les lignes de niveau de Phi et c'est ça qui va nous donner les géodésies correspondantes transport ici c'est pour l'intervisual et ici avec coup d'égal distance de XY donc j'insiste là-dessus c'est là ça a été la surprise dans la preuve ici c'est pas le coup carré c'est le coup de D et l'argument est marchement avec le coup de D alors on définit alors il y a de l'extrême case parce que le Y est de l'extrême case mais le N est de l'autre ça veut dire quand le Y est de l'extrême case il y a de l'extrême case oui c'est critique quand c'est critique il va se terminer que quand j'ai un optimal comme ça pour cost 1 pour certaines classes de mesures aussi la solution de la cost 1 est la solution de la cost 2 et vous pouvez c'est ok pour constater les catégories spécifiques de mesures pour obtenir une curvature de l'équalité c'est l'idée alors on définit alors mais c'est en fait tous les cas intéressants il y a de l'extrême case le reste est négligeable on définit alors gamma de phi égale l'ensemble des x, y appartenant à x, x tel que phi de y moins phi de x est égal à distance de x, y bon et on montre que si gamma est une géodésique avec gamma de 0 égal x, gamma de 1 égal y et x, y appartient à gamma alors pour tout s pour tout t gamma de s gamma de t appartient aussi à gamma autrement dit le transport s'effectue le long de géodésique s'effectue le long de géodésique bon et puis on définit aussi les cours de transport qui sont les x, y tel que soit x, y est dans gamma soit y c'est dans gamma on ne veut pas orienter l'affaire et puis on définit les points extrêmeaux et finaux extrêmeaux les points extrêmeaux comme ceux qui sont dans gamma sans être intérieur entre guillemets si vous avez quelque chose comme ça et bien ça ça va être un point extrêmement avec une géodésique gamma une autre gamma-tile ici et puis l'ensemble du transport te comme l'ensemble comme la projection de gamma privé de la diagonale c'est-à-dire les points qui bougent vraiment une fois qu'on a fait ça on enlève les extrémités dans te et on enlève aussi les points de branchement pour obtenir l'ensemble de transport non-extrémal ils ont enlève les points extrêmeaux et de branchement et on obtient ici un ensemble t et sur cet ensemble un ensemble t qui est fait de géodésique et les points extrêmeaux on montre que ça c'est de mesure nul pour ça on réutilise ces des stars KN avec un argument de même genre que ce qu'on avait tout à l'heure et puis sur cet ensemble sur te les rayons de transport les relations d'équivalence forment une relation d'équivalence donc peut-être qu'il y a des géodésiques là comme ça qui font des choses comme ça elles peuvent jamais se croiser ça ça n'arrive jamais sauf si on s'en mesure nul peut-être qu'il faut enlever ce point-là enlever ce point-là enlever ce point-là et comme ça une fois qu'on a enlevé tous ces points on a une relation d'équivalence bon et qu'est-ce qu'on fait ensuite donc étape 2 des intégrations alors la relation d'équivalence vous l'appelle R des intégrations on va définir omega comme étant l'espace quotient T sur R application quotient Q qui va de T dans omega et qui a un point X associé la géodésique correspondante on définit omega comme étant la mesure image par Q de nu mesure image sur omega bon et on écrit comme ça les intégrations associées donc nu restreint à T sera égale intégrale sur omega de nu gamma omega D gamma nu gamma est porté par la fibre correspondante par la classe donc nu gamma concentré sur la géodésique gamma bon il faut vérifier que tout est mesurable etc et qu'on peut définir la désintégration et une fois qu'on a fait ça on va choisir aussi une section mesurable S pour chaque gamma on choisit un représentant de manière mesurable on choisit une section S un X égale S de gamma un X égale S de gamma tel que X appartient à gamma bon donc peut-être j'ai comme ça plein de géodésiques et je choisis une ici le grave de S qui pour chaque géodésique me choisit un élément de la géodésique de manière mesurable bon et maintenant en étape 3 on va appeler ça l'application rayon comme rayon de lumière on va dire que c'est une application G gamma pour chaque gamma elle est définie sur R G gamma on voit donc R sur gamma et tout simplement je regarde si je veux ici 0 0 je l'envoie en X le point que j'ai choisi sur gamma et T je l'envoie en Y tel que la distance signée tel que la distance de X à Y est égale à T si T est strictement positive tel distance de X est égale T alors qu'est-ce que je vais faire ici plus ou moins T il faut que je choisisse un sens chaque fois oui distance de X à Y est égale la valeur absolue de T et on compte par ici pour l'été strictement positive et par ici pour l'été strictement négatif et on choisit une quantisation sur chaque gamma alors quand on fait ça on a que gamma T associe G gamma de T est boréliène si je regarde à gamma fixé G gamma de T est une isométrie également gamma T associe G gamma de T est inversible sur son image et puis dernière propriété c'est que quand on regarde nu gamma est absolument continue par rapport à la mesure de Hausdorff restreinte à G gamma de R restreinte à la géodésique si l'on veut bon donc là ça c'est la décomposition clé on utilise ce problème de transport L1 pour faire la décomposition alors il y a un problème fondamental maintenant pour l'instant on a juste dit qu'il y avait une décomposition qu'elle était bien mais il faut encore prouver les bonnes propriétés et en particulier cette propriété de courbure alors on passe à la partie cette localisation de la courbure on est en train de faire un transport L1 mais un courbure est exprimé par transport L2 bon et donc vous êtes bien embêté pour réconcilier les deux sauf si votre transport L1 se trouve coincidé avec un transport L2 alors donc incompatibilité sauf si on se ramène à un transport L1 qui est aussi un transport L2 alors voici l'idée j'ai mes différentes géodésies qui sont comme ça et ici j'ai ma section S et je vais construire une mesure mu 0 comme ça en recollant des morceaux le long de la parallèle à la section si on veut mu 1 mu 0 mu 1 et on va l'obtenir avec de telle sorte que ceci sur chaque géodésie gamma quand je lis sur R ça se ramène tout simplement à quelque chose comme ça le transport d'un intervalle vers un autre intervalle un transport tout bête effectué par une fonction affine si je fais ce transport par une fonction affine quand je passe de là à là et que je regarde la façon dont ça varie le long de la géodésique ça varie de la même façon sur toutes les géodésiques avec juste la même quantité qui va être augmentée à chaque fois si par exemple les deux intervalles sont égaux je suis juste en train de faire une translation et quand je lis dans les cibles ça va juste faire augmenter la distance d'une quantité fixe qui dit augmenter une quantité fixe dit que la fonction phi va elle aussi augmenter d'idée faire que phi varie identiquement sur chaque fibre et puis nous avons un lem et puis je vais démontrer le lem qui va être tout bête à la pour aujourd'hui le lem soit phi un lipchitz sur x,d et delta inclus dans le gamma de phi donc delta inclus dans l'ensemble des x,y tel que phi de x moins phi de y est égal à la distance de x,y bon si phi de delta est un ensemble des phi de x,y et norme carré cycliquement monotone alors ça c'est un ensemble de r2 alors delta est décarré cycliquement monotone et on rappelle que cycliquement monotone donc si c'est cycliquement monotone si quel que soit x1,y1 etc x1,y1 somme des c2,xy pas si gamma somme des c2,xy qui est inférieur au regard somme des c de xy,y1 et on rappelle aussi que ça c'est le critère d'optimalité l2 c'est-à-dire que s'une mesure somme qui est décarré cycliquement monotone alors c'est optimal pour le problème l2 alors la preuve du lm est toute simple somme des d de xy,y2 carré c'est égal à la somme des phi de y,y2 moins phi de xy,y2 carré donc par c cycliquement par cyclique monotonicité dans r2 de ce truc là c'est inférieur au regard à la somme des y,y1 moins phi de xy, carré et maintenant j'utilise le fait que phi est un Lipschitz ça c'est inférieur au regard à la somme des d de xy,y1, carré et ceci conclut la preuve donc ce lm il est tout simple mais il nous montre que si on contrôle les valeurs dans le transport les valeurs de la fonction phi donc juste le long des géodésiques on se souvient que la fonction phi elle varie linéairement le long du transport alors mon transport L1 sera aussi un transport L2 et l'idée ce sera de prendre des mesures très simples pour lesquelles on sait comment phi augmente et comme ça on aura un transport L2 et on pourra appliquer l'inégalité de courbures et après on va faire comme on faisait tout à l'heure restreindre en prenant des boules de plus en plus petites et en obtenant quelque chose de long d'une géodésique je vais m'arrêter là pour aujourd'hui et je terminerai la preuve la semaine prochaine donc là on a compris comment on construit la décomposition en géodésique ça on a compris il me reste à comprendre pourquoi je lui ai dit la propriété de courbures donc là je lui donnais juste l'idée et puis traiter le problème mono dimensionnel et puis après traiter les cas d'égalité et donc si je résume premièrement il y avait cette histoire qui était considérée comme le point de blocage en péchant de continuer le fait que dans les coefficients de distorsion soit on regarde des coefficients de distorsion qui prennent en compte toutes les directions en gros alors on a une bonne algebre et tout ça soit on regarde les coefficients de distorsion qui prennent une direction en moins mais alors on ne s'est pas localisé l'affaire donc la façon de contourner c'est de regarder les mesures conditionnelles porter le long du transport et de vérifier que c'est bien courbé dans une moins une direction transversalement donc ce qu'on va faire maintenant c'est le travail de la courbure transversale par rapport à ça et ce qui donne la bonne et une raison pour laquelle personne avait vu pendant longtemps comment faire l'affaire c'est que la décomposition était basée sur un transport L1 et pas un transport L2 ce qui aurait dû mettre la puce à l'oreille et ce qui a mis la puce à l'oreille et la clartag certainement c'est cette affaire que pour le transport L1 et seulement pour le transport L1 le transport s'effectue le long de géodésique et ça fait une partition alors après il connaissait les techniques à la KLS il s'est dit qu'il voulait avoir une partition il s'est dit qu'elle était là et ce qui est remarquable quand on y réfléchit c'est que là on a une partition qui définit de manière intrinsèque dès qu'on donne une fonction F tout ce qu'on veut c'est la fonction F qui intégrale nul et tout de suite le procédé basé sur Monchekantorovich vous fournit une décomposition une partition en géodésique et vous permet de localiser votre inégalité alors là je le fais pour l'isopérimétrie et ça s'adapte à d'autres inégalités aussi quand on veut récupérer les constantes optimales et bien voilà merci