 اسلام علیکم لیکچر نمبر 34 سٹارٹ کرتے ہیں اچھ کالکلس کا اور آج آپ نوٹ کریں گے کہ میں نے ٹائی نہیں پینی تو اس کی وجہ یہ کہ گرمی بہت زور گی پڑھے گے تو اگر میں تھوڑا سا اکورڈ لگ رہا ہوں تو کوئی بات نہیں کیونکہ اگر گرمی کی وجہ سے میرا دماغ تھوڑا سا گھوم جائے تو پھر میں آت تو صحیح نہیں پڑھا سکوں گا نا تو بہتر یہ کہ ٹائی نہ پینی جائے تو ہوبفلی دیت سوکے ویدیو اور اس کے لائے ہے کہ اب لیکچر 34 شروع کر جانتا ہے وہ دیکھ لیتے ہیں کہ آج کیا ہے وہ آج کا بیسکلی طوپک جو ہے مین وہ وہی ہے جو ابھی تک کرتے ہیں یعنی انٹیکرال کالکلس اور اس کی اپلکیشنز کیا جہاں پر ہم کھاں پر لگا سکتے ہیں بلکہ ہم نے دیکھایا بھی پریویس لی پچھلے لیکچر میں کہ ابھی تک ہم نے جو تیوری دیویلپ کی تھی ڈیفننٹ انٹیکرال کی اس کو ہم نے استعمال کیا ایریہ معلوم کرنے کے لیے ایک طرح سے ایریہ پہلے تو معلوم کیا پھر یعنی ایریہ under the graph of a given continuous function اور ایسا تھا جس میں اوپر ایک continuous function کا گراف تھا bottom پے وہ confined تھا region by the by some interval on the x axis اور اس کا ہم نے پھر ایک تیوری دیویلپ کی تھی کہ جو ڈیفنٹ انٹیکرال ہوتا ہے یہ کیسے use کیا جا سکتا ہے for finding the area of this region confined by a graph of a certain function on the top اور نیچے ایک انٹرول x axis پہ جو ہوگا اچھا اسی کو پھر ہم نے idea کچھ جنرلائس کیا تھا اس میں ہم نے دیکھا تھا کہ جی یہ جو ہے نیچے confinement جو ہے region کی وہ ضروری نہیں ہے کہ وہ کسی انٹرول سے کی جائے ایسا بھی ہو سکتا ہے کہ آپ کوئی دو گراف سو آپ کے پاس function کے اف اور جی اور اوپر اف کا ہو نیچے جی کا ہو اور ان کے درمیان جو region ہے یعنی جو region بنتا ہے اس کا ایریہ کیسے معلوم کر سکتے ہیں یہ ہم نے پیچھر لیکچر میں دیکھا تھا کہ اس کی تھیوری کیا تھی کوئی خاص فرق نہیں تھا یہ تھوڑی سی جنرلائیزی تھی اس concept کی جو ہم نے کچھ لیکچز میں پہلے دیکھی تھی جہاں پہ ہم نے ابھی جو میں نے کہا کہ ایریہ معلوم کیا تھا اس ایریہ کا اس region کا جو ایک function کی نیچے ہے اور کنفائنٹ ہے نیچے function کے گراف کے اور اوپر سے اور نیچے سے جہاں وہ ایک ڈرول سے x ڈس پر تو اب اسی کو جنرلائیز کر کہ ہم نے کہا تھا کہ جی اب آپ کے پاس دو function سہیں اور ان کے گراف سہیں function فن جی کہ لی جے اور ان کے گراف کے درمیان جو region کنفائن ہوتا ہے اس کا ایریہ کیسے معلوم کریں گے تو یہ بھی جنرلائیز ایش تھی اس concept کی اور ہم نے دیکھا کہ اس کو ہم کیسے کر سکتے ہیں اور ہم نے کر بھیلیا تھا بلکہ اس کی ڈیے امپلز بھی کی تھی اور سارا کچھ ٹیٹیل میں work out کیا تھا تو آج کے لیکچر میں اس انٹیکری کرشنڈ کو جو ڈیئییے היה جو ڈیفنٹ انٹیکرل ہے اس کو اب ہم مزید applied کچھو چیزوں کے لیے کچھ ہور آم حاصل پرgrassوبم کیلیں ان کو حل کرنے کی لئے ہم اس کو استمال کریں گے کہ کتنا انٹرسٹنگ طوپ ایک اپ جو ہم آج دیکھیں گے اور اگلے دو تین لیکچرز میں بلکے دیکھیں گے اس سے آپ کو ظاہر ہو جائے کہ جو انٹیکرال ہوتا ہے یعنی جو انٹگریشن یا انٹیکرال کالکلس کہلیں یہ کتنا انٹرسٹنگ ہے اس کی کتنی یعنی تھیوری جو ہے یا فلوسپی جو ہے کتنی خوبصورت ہے کم اس کم میرے خالصہ تو ایسے یہ میرے خالصہ جب آسطا آسطا پریکٹس کریں گے problems دیکھیں گے اور آسطا آسطا جب سمجھائے گے آپ کو کہ سارے کیا بات ہو رہے گے تو you will actually see the beauty in this whole process تو آج کا بیسک طوپک یہ ہے کہ ہم انٹیکرال استعمال کریں گے یعنی ڈیفنٹ انٹیکرال to find volume of certain things ایک دیمشنل آبیٹس جو ایک دفعہ بل کے پہلے بھی ہم دسکر چکیں کہ ایریا کو اگر 3 دیمشنل میں لے جائیں تو آپ کے پاس volume آجاتا ہے یعنی ایک اوطری کا کہنے کا یہ ہے کہ 3 دیمشنل ایریہ جو ہے وہ ایک طرح سے volume ہوتا ہے رفلی speaking یعنی وہ بات ہے کہ ایک concept surface area develop ہوتا ہے 3 دیمشنل میں اس کے بارے میں بھی ہم بات چیت کریں گے آگی کچھ لیکچھوز میں اور دیکھیں گے کہ جو پرپر جنیلیزیشن ہے 2 دیمشنل آیریہ کی وہ 3 دیمشنل surface آیریہ بنتا ہے لیکن رفلی speaking یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ جو 2 دیمشنل آیریہ ہے اس کا 3 دیمشنل جو جنیلیزیشن ہے وہ volume بھی ہے یعنی وہ ایک cube کی اگر آپ ذہن میں رکھیں جس کو ہم نے بل کے ایک دفعہ دسکرز بھی کیا تھا کہ کیسے ہم cube تک پوشتے ہیں lower dimension سے تو یہ ہی ظاہر ہوا تھا کہ جیہاں آیریہ جو ہے 2 دیمشنل وہ volume سے correspond کرتا ہے 3rd dimension میں خیر یہ ابھی اور باتیں کریں گے اس طرح کی مزدار یہ جو dimensions اور solids کییں اس میں یہ ہے کہ آج کا جندہ پہلے دیکھلتے ہیں کیا ہے اس کو تھوڑا سا detail میں دیکھلتے ہیں کہ ہم کیسے کون سے processes ہوں گے جن کو ہم استعمال کریں گے for finding volume of certain objects اور اس میں definite integral کہاں پے role play کرے گا تو یہ دیکھتے اچھا آج کا topic جو ہے وہ ہے basically volume finding volume of objects اور basically اس کو ہم لکھ سکتے ہیں as volume by slicing اور topic ہے volume by slicing this and washers تو کہنے کا مقصد یہ کہ volume ہی معلوم کرنے ہمیں 3 dimensional objects کا solids کا لیکن اس میں یہ ہے کہ کچھ جو processes involved ہیں وہ یہاں پے میں لکھ دیتے تھے topic کے اندر ہی اور وہ ہے process by discs and process by washers تو یہ ابھی ہم دیکھیں گے دیٹل میں آئی دیکھتے ہیں باقی کچھ باتیں کرنے آج اس میں سب سے پہلے ہم دیکھیں گے definite integrals to find volumes of 3 dimensional solids تو 3 dimensional solids جیسے میں پہلے کہا تھا ان کے ہمیں volume معلوم کرنے تو یہ جو volume جب ہم معلوم کریں گے ان 3 dimensional solids کے ان کے ان کے اندر کچھ چیزیں ہیں جنکے ہمیں دیکس کرنا ہوگا پہلے تو اس میں سب سے پہلی چیز تو ہم دیوز کریں گے a concept cylinders کا یہ سلنڈرس جو یہ سب سے بیسک type of 3 dimensional solids ہوتے ہیں تو ان کے بارے میں تھوڑی سی بات چیٹ کر لیں گے اس کے بعد ہم دیکھیں گے the method of slicing یعنی slicing کو کیا method ہے وہ جس کے ذریعے ہم volume معلوم کر سکتے ہیں using of course the definite integral اس کے لابا پھر ہم دیکھیں گے volumes by cross sections perpendicular to the x axis volumes by cross sections perpendicular to the y axis یہ اس وقت تھوڑا سا formal لگ رہا ہے شہد کچھ دادہ سمجھنا ہے کہ کیا کہنا چاہ رہا ہوں میں یہاں لیکن جب ہم دیکھیں گے تو یہ سب کلیر ہو جائے گا اس کے بعد ہم دیکھیں گے جناب volumes of solids of revolution تو یہ solids of revolution کیا ہوتے ہیں یہ بھی تھوڑی سی ٹیکنیکل بات ہے اس کو بھی جب ہم topic دسکس کریں گے تو دیکھ لیں گے اور ان کے these solids of revolution کا volume معلوم کرنے کی چار طریقیں جو یہاں پہ آپ کے سامنے ہیں volumes by discs perpendicular to the x axis discs perpendicular to the y axis اور پھر washers استعمال کریں گے which are perpendicular to x axis and then of course washers perpendicular to the y axis تو یہ جناب ہے ہمارا آج کا جندہ تو ان چیزوں کے بارے میں بات چیٹ کریں گے تو اس میں وہ ہے کہ ابھی جو یہ بہت ساری چیزیں دیکھیں اس وقت شہد سنسنا بنا وزادہ کہ بھی یہ ساری کیا چیزیں تھیں سلنڈرز کیا ہوتے ہیں یہ ابھی ہم پہلہ topic ہے دسکس کریں گے یہ جو solids of revolution ہوتے ہیں یہ کیا ہوتے ہیں یہ ابھی ہم دیکھیں گے تھوڑی دیر میں جب topic دسکس کریں گے لیکن یہ ہے کہ سب سے انٹرستنگ میرے خالصے جو part ہے اس لیکچر کا وہ یہی سے شروع ہوتا ہے جب ہم solids of revolution کی بات شروع کرتے ہیں کرنا یعنی بیسکلہ idea ہے کہ اگر آپ کے پاس کوئی two dimensional کالیں کوئی picture ہے اور اس کو اگر rotate کریں تو کیا solid a 3 dimensional picture کیسے بنتی ہے تو یعنی اس طرح سے سوچ سکتے ہیں کہ اگر میرے پاس یہ ایک remote control ہے اس کو اگر ہم imagine کریں تھوڑی دیر کیلے کہ یہ بالکل چپٹا ہے اس کے اندر کوئی thickness نہیں ہے totally flat تو اس کو اگر میں ایسے کر کے گھماتا ہوں 360 degrees اور واپس آکے یہاں پر روک دیتا ہوں تو میرے پاس ایک اس نے آپ نے نوٹ کیا ہوگا کہ اس نے imagine ڈورپہ اگر آپ سوچیں کہ اس نے a trace out کیا solid جیسے میں ایسے rotate کرتا ہوں تو یہاں سے ایک solid کیسی ایک image بن رہی ہے ایک طرح کی آپ کالیں photographic imprint ایک طرح کا بن رہا ہے اور وہی بات ہے کہ جب میں اس کو واپس آکے روکوں گا میرے پاس ایک band ڈا بن جائے گا ایسے goals تو یہ بیسکلی solid of revolution ہوگا خیر اس کے بارے میں detail میں بات کریں گے آگے چلکے ابھی ہم بات شروع کرتے ہیں سلنڈرز کی آئی سرات کرتے ہیں اچھا جی تو سلنڈرز کی جب بات ہم شروع کر رہے ہیں تو یہاں پر وہی concept ہے جو ابھی تھوڑی دے پہلے میں نے کہا تھا کہ یہ جو جیسے remote control کو میں گھماتا ہوں تو میرے پاس ایک 3 dimensional image آ جاتی ہے ایک solid آ جاتا ہے تو اسی کے بارے میں اب ہم تھوڑے بیسک level سے بات شروع کرتے ہیں کہ کس طرح سے ایسا idea کی idea کیا ہے کیسے develop ہوتا ہے idea تو اس میں یہ بات ہے کہ کچھ تھوڑی سی preview ہم اس کا لے چکیں کچھ earlier lectures میں ایک lecture میں جب ہم نے definite integral کو introduce کیا تھا اور اس میں area کے بارے میں بات کی تھی کہ area کیسے معلوم کر سکتے ہیں تو اسی lecture میں میرے خال سے میں نے یہ تھوڑا سا ذکر کیا تھا کہ اگر آپ ایک zero dimensional point سے start کر کے higher dimension میں کیسے جا سکتے ہیں یعنی کہان کا مخصد یہ کہ اگر آپ کے پاس ایک نکتا ہے جسے ہم کہا لیتے ہیں کہ zero dimensional ہے یعنی اگر آپ اس کو پین سے لے کے پیبر پر بنائیں گے تو ظاہر ہے اس کی تو کوئی dimensions ہوں گی کیونکہ اس میں وہ سرکل بنے گا actually بہت چھوٹے radius کا لیکن ideally speaking, mathematically speaking ہم imagine کر سکتے ہیں کہ نکتا جو ہوتا ہے اس کی کوئی dimension نہیں ہوتی نہ لمبائی ہوتی، نہ چڑای ہوتی، نہ گہرای ہوتی ہے تو ہم کہتے ہیں یہ zero dimensional ہو گیا پھر ہم یہ کر سکتے ہیں کہ نکتے کو لے ایسے ایک لکیر خیش سکتے ہیں اس نکتے کو استعمال کرتے ہیں اس point کو استعمال کرتے ہیں تو ہمارے پاس ایک line آجاتی ہے of course line کی ایک dimension ہے لمبائی کہلیں اب لمبائی ہمارے پاس one dimension لیکن ایک object آگئے اس کو اگر میں دون ان end point سے اپر کی طرف extend کرتا ہوں تو line جو ہے وہ ہر ایک point پے ایک trace out کرتی ہے solid کو یہ نہیں بیسکلی کہانے کا مقصد یہ ہے کہ اگر یہ line تھی میرے پاس یہاں سے لے کے یہاں تک اس کو پوری line کو میں extend ایسے کروں جیسے ایک طرح سے ہم لوگ کرتے ہیں بچمن میں کرتے تھے یقینن اور ابھی شاہت کچھ لوگ کرتے ہیں شاک ہے لوگ کلاسروم میں جو chalk ہوتی ہے اس کو اگر آپ black board پہلے جاکے آپ chalk board پہلے جاکے ایسے رکھیں اور ایسے کھیچیں گے تو ایک صفید رنگ کا ایک solid سے بنتا ہے تو exactly وہی concept ہے یہاں پے کہ line جو وہ ایک طرح کی chalk ہے اس کو اگر میں ایسے اپر کی طرف کھیچتا ہوں گسیٹتا ہوں ایک طرح سے تو ہمارے پاس ایک solid کیا بن جاتا ہے 2 dimensional solid جو کہ ایک square بھی ہو سکتے اس کو ہم square کیا سکتے ہیں بلکہ وہ square ہی ہوگا جیسے chalk اگر آپ ایسے کھیچیں تو ایک rectangle بن جاتا ہے اسی طرح سے میں ایک rectangle بھی بنا سکتا ہوں یا square بنا سکتا ہوں using a 1 dimensional line اچھا اب یہ بات ہے کہ اب اگر میرے پاس square آگئے یا rectangle آگئے تو اس کو استعمال کرتے ہوئے میں ایک 3 dimensional object بنا سکتا ہوں یعنی اگر میرے پاس وہ square ہے اپنے میرے پاس تو اس square کو میں نیچے سے ایسے اگر کھیچ تکھیچ سکتا تو میرے پاس ایک آجاتا cube یعنی جسی accordion ہوتا ہے یعنی وہ ایک زمانے میں ابھی بھی ہوتا ہے بلکہ ایک hand held accordion جو ہوتا ہے اس ایسے بجاتے ہیں تو بلکہ italy میں italians جو ہوتے ہیں وہ کافی ان کے cartoon میں میں دیکھتا ہوں کہ ایک بندر بیٹ ہوتا ہے اور ایک جو بندہ ہوتا ہے ایسے ایسے hand accordion میں جا رہا ہے تو وہ hand accordion جو accordion ہے اس کی exam اس کو ہم استعمال کر سکتے ہیں as an analogy کہ اگر آپ اس کو imagine کریں کہ وہ بلکہ flat ہے اور پھر یوں کھیچیں ایسے کر کے تو ایک طرح کیو ریکٹانگلر cube ایک طرح کا ریکٹانگلر cube کہا سکتے ہیں اسے create کرتا ہے جو کہ accordion کے بیچ میں جو وہ کپڑا ہوتا ہے یا کاغز اس سے create ہوتا ہے اسی طرح میں اگر ایک square لیتا ہوں two dimensional totally flat اور اسے ایسے کھیچوں گا تو میرے پاس ایک cube آجائے گا اور یہی بیسک idea ہے cylinders کا تو یہ cylinder کیا چیز ہوتی ہے cylinders جو ہوتے ہیں یہ بالکل جو ابھی آخری بات میں نے کی تھی کہ اگر آپ ایسے کر کے square کو یعنی جو flat two dimensional square ہے اس کو اگر آپ پکڑا ایسے کھیچیں اوپر کی طرف تو آپ کے پاس ایک میں نے اس کا کیا تھا rectangular cube لیکن اصل ٹیکنکلی اگر دیکھا جائے تو اس کو ہمیں کہنا چاہیے cylinder کیونکہ cylinders جو وہ آبیس سی بات ہے کہ ہمیں پتا ہے cylinders کیا ہوتے ہیں یہ گاس کی cylinder ہمیں ملتے ہیں بزار میں وہ بیسکل سرکیلر ہوتے ہیں اور لمبوٹرے ہوتے ہیں اسے ٹیکنہ لیکن اب یہ ہے کہ ضروری نہیں کہ وہ سرکیلر ہوں ہوسکتا ہے کہ وہ square ہوں جیسے یہاں میں ایک square cylinder بنایا ہی ہونی چاہیے کہ میں نے ایک square کو استعمال کرتے ہوئے اس کو جب خیچا third dimension میں تو میرے پاس ایک square cylinder آگیا cylinder ایک ایسی چیز ہوگی جو اسی طرح کے processے کریٹ کی جائے گی یعنی میرے پاس ایک 2 dimensional figure ہوگا ٹیک ہے اور اس کو اگر میں خیچوں گا اوپر کی طرف یا نیچے کی طرف تو جو resulting object ہوگا third dimension میں جس کی height ہوگی وہ اس کو ہم cylinder کہیں گے اچھا جی تو اب اس کو کوئی جو concept ابھی تک ہم نے develop کیے cylinders کا اس کو تھوڑا سا ٹیکنکلی اور define کر لے تھے یعنی میں نے ابھی تک کہا آپ سے جو idea ہم نے discuss کیے وہ یہ تھا کہ اگر میرے پاس کوئی 2 dimensional figure ٹیک ہے یعنی جو بالکل flat ہے square بھی ہو سکتا ہے circle بھی ہو سکتا ہے کسی کی سم کی بھی چیز ہو سکتی ہے as long as it's flat تو اس کو اگر میں خیچ کے third dimension میں لے جو resulting object جو وہ اس کو ہم کہیں گے cylinder ٹیک جی تو ایک عام جو اس طلاح میں ہم استعمال کرتے ہیں cylinder covered وہ ہوتا ہے جو gas کی cylinder جیسے ہمیں ملتے ہیں cng والے وہ والے نہیں وہ بھی cylinders ہوتے ہیں لیکن more generally it's any object that you get by extending a 2 dimensional object into the third dimension لیکن یہ کس طرح اس کے اندر یہ سوار ہوتا ہے کہ کیسی طرح سے بھی خیچ لوں میں یعنی مخصدی ہے کیا پتا میں یہ جو میرے پاس اس کو اگر میں یوں کر کے کشتوں تو کہ یہ جو resulting solid ہے یہ بھی cylinder ہے it's a good question کہ یہ جو اگر اس طرح کی کوئی چیز بن رہی ہے تو یہ cylinder تو ظاہر ہے ہے لیکن نہیں بھی یہ ایک طرح سے کیونکہ cylinder ہمارے ذہن میں جب بھی ہم بات کرتے ہیں تو ایک ایسا solid آتا ہے جو بالکل سیدہ ہوتا ہے تو ٹیک ہاں کہہ سکتے ہیں کہ یہ جو curve جو میں solid create کیا ہے یہ cylinder شہد نہیں ہیں ہمارے ذہن میں دیفائن کر لیتے ہیں کہ جب یہ جو کھیچنے کا طریقہ to get a cylinder اس کو ہم اس طرح سے دیفائن کرتے ہیں کہ جو میرے پاس two dimensional figure ہے ہو سکتا ہے square ہو سکتا ہے rectangle ہو سکتا ہے triangle ہو سکتا ہے جناب ایک washer ہو یعنی circle with a hole in it ان کے بارے میں بات کریں گے بھی تو اس کو ایک اس طرح سے کھیچا جائے کہ یہ جو object مثال کے طور پر پر ہم لیتے ہیں میرے پاس flat two dimension میں اس کے center سے اگر میں ایک line کھیچوں اوپر کی طرف اور نیچے کی طرف یہ ہمارا ایک طرح کہ axis ہو گیا یہ line جو ہے it's an axis perpendicular to the object in 2d ساتھ ظاہر سی بات ہے کہ اگر یہ flat ہے ایسے کر کے تو اس سے جو میں line کھیچ رہا ہوں یہ perpendicular ہے اس کا line کا اور just solid ہے اس کے درمیان 90 degree کے angle بنتے ہیں تو اب یہ line میرے پاس اگر آگا یہ اور this line کو میں as my axis تمال کرتا ہوں اور اب کھیشتا ہوں کو this کو flat object کو into the third dimension then I will have to follow this line as my guide تو یہ جو result in solid اب ہوگا that is what we will call a cylinder یا نیہاں پر concept آگے ایک axis کا which is perpendicular to the flat object and if you extend or pull that flat object into the third dimension using that axis as a guide the resulting object is called a cylinder تو یہاں پہ کچھ کچھ ڈیمپلز ہیں جو دیکھ لیتے ہیں ابھی کہ کس طائف کی cylinder ہو سکتے ہیں یعنی مثال کے طور پر اگر ہم دیکھیں کہ یہاں پہ ہمارے پاس یہ جو figure ہے یہاں پہ note کریں کہ پہلے figure میں ایک washer ہے میرے پاس which is my two dimensional object اور اس کے perpendicular ایک line ہے جو horizontal ہوگی ظاہر ہے اور اب washer کو اگر میں move کرتا ہوں اس لائن کے سلنڈر ہے ایک سلنڈر ہے ایک سلنڈر ہے جس کو میں move کرتا ہوں تو ایک ٹرائنگلر پرمیٹ کیا لیں ایک ٹرائنگلر اس کو کہا سکتے ہیں سلنڈر کیا لیں ایک سکویر ہے جس کو move کرتے ہیں تو ایک سکویرکل سلنڈر آجاتا ہے ساتھ میں ایک بڑی جیب سی ایک form ہے ایک ایک two dimensional object ہے جس کا کوئی نام نہیں ہے لیکن ایک region اس کو اگر میں extend کرتا ہوں پرپنڈیکلر to the line that we have here which is the axis تو ایک اور مزدار کسی سلنڈر بن جاتا ہے تو جناب یہ آپ کے ہوگئے کچھ examples of سلنڈر کیا ہوتے ہیں اب ان کے مزید آگے ان کے بارے بات چیت کرتے ہیں نوٹ کریں کہ اگر میرے پاس ایک سلنڈر ہے تو میرے پاس ایک سلنڈر ہے تو میں اس کا ایریہ کیسے معلوم کروں گا تو یہ ایک اچھا سوال ہے کہ میرے پاس ایک سلنڈر میں نے بنایا اسی پروسس سے اب اس کے اندر وہی بات ہے کہ پہلے جو فلیٹ آبجیک تھا اس کا تو ایک ایریہ معلوم کر سکتے تھے اب میں اس کا جو ریزلٹنگ سولیڈ بنائے اس کے اندر ایک volume جو بیسکل وہ چیز ہوتی ہے یعنی ایک طرام جو کہ ایک سولیڈ اپنے اندر کنتین کر سکتے ہیں یعنی اگر میرے پاس ایک سلنڈر ہے اور اس میں پانی بھر دوں تو ایک سوال ہی ہوگا کہ اس کے اندر کتنا پانی آ رہے تو اس کے اندر کتنی کوئی مقدار آ سکتی ہے تو اس کے اندر کتنی کوئی مقدار آ سکتی ہے تو that's what we're trying to find out تو نوٹ کریں کہ سیمپلسی بات ہے کہ اگر اس کا ایریہ اگر آپ معلوم کر لیں تو find the volume of the resulting solid is سیمپل as as simple as saying volume equals area multiplied by the height of the object of the cylinder تو یہ ایک سیمپلسہ بن جاتا ہے یہاں سے ہم تھوڑی سی ابھی اس کو یہ بہتی کروشل ساکتا ہے اس کو لکھ لیتے ہیں یہ دیکھ لیں کہ جس طنا کی ہم نے باتے کیا ہم نے بھی دیکھتا کہ 2 دمیشن سے ہم 3 دمیشنل سلنڈر بنا سکتے ہیں اس کے حوالے سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ volume جو ہوگا ان objects کا solids کا وہ ہوگا area times height تو یہ ہمارا ہوگیا volume اب اس میں یہ دیکھیں کہ اب ہم جنلائس کرنا چاہتے ہیں اس بات کو کہ ہم volume a given ایک solid ہے گا میرے پاس تو اس کا میں volume کیسے معلوم کروں تو عام طور پہ سلنڈر ڈائب کے ہو سکتے ہیں یعنی اگر کوئی object ایسا ہے آپ کے پاس 3 دمیشنل جس کو آپ سلنڈر کے اندر جس کی shape اگر آپ اس کے اندر سلنڈرز نکال سکیں یعنی اماجن کر سکیں کہ اس کے اندر بیٹھے میں تو ہم volume بڑے اسانی سے معلوم کر سکتے ہیں اور سلنڈر کا volume بڑے اسانی سے اس طرح معلوم کر سکتے ہیں کہ اگر آپ مثال کے طور پہ یہ جیسے remote control یہ بھی ایک سلنڈر جیسے جیسے اب اس کو اگر میں ایک cross section لیتا ہوں یعنی cross section لینے کا مطلب یہ ہے کہ میں ایک اپنا کیا لیں اس کو ایک plane لے کر ایسے اس کے طور گزارتا ہوں solid کے تو جہاں سے solid اس کو کرتے گا جو plane اس کو کرتے گا یعنی جسے آپ ایک چھوری لے لیں اور اس کو ایسے کرتے ہیں تو کٹیوی shape کالک کر کے دیکھیں گے تو شیپ بنی ہوگی سائیڈ میں that is what we call a cross section تو cross section جو ہے وہ وہی چیز ہے جو جس سے ہم نے سلنڈر جنریٹ کیا تھا ظاہر سی بات ہے کہ اگر میرے پاس ایک gold بالکل pure gold سلنڈر ہے gold shape کا round shape اس کو اگر میں ایسے کرتا ہوں تو cross section will obviously be a circle تو مقصد کہنے کہ یہ کہ اگر مجھے cross section معلوم ہو جائے اور سلنڈر کی ہمیں بڑھ ایسانی سے معلوم کر سکتا ہوں because cross section کیا اگر میں سرکل ہے تو ایریہ بڑے عام سے معلوم کیا جا سکتا ہے اس کا فرمولا پتا ہے pi r squared جہاں پہ r جو ہے ریڈیس ہے سرکل کا لیکن یہ ہے کہ ہو سکتا ہے کہ کوئی ایسا سلنڈر ہو جس کی شیپ بڑی کمپلکی ریڈ ہو یعنی جس سے ابھی ایک ازامپل لیکھی تھی ہم نے سکرین پر اور اس کا ایریہ معلوم کرنا مشکل تھا ونہاں ہیٹ تو ہمیں معلوم تھی سرینڈر کی تو یہ اس طیب کے سوالات ہیں جو اب ہم ادریس کرتے ہیں using the ideas we have discussed so far اچھا جی تو یہ اب سوال یہ ہے کہ اگر ہمارے پاس ایک solid object ہے جس کا cross section وہ کوئی خاص کیسام کی شیپ نہیں ہے جس کا ایریہ ہم عام سے معلوم کر سکیں یعنی جیسے سرکل اگر I cross section تو ایریہ اور پھر ملٹپلائ کر دیں height سے resulting volume آپ کے پاس آجائے گا سیمبرلی اگر triangle ہو cross section کی شیپ تب بھی volume معلوم کر سکتے ہیں کیونکہ triangle کا ایریہ بڑے حسانی سے معلوم ہو جائے گا لیکن کوئی اگر irregular see شیپ ہو نہ triangle نہ کوئی اور circle بلکہ کوئی عجیب اغریب گول you know گول گول see اور میرے خال سے ہو سکتا ہے کوئی تکونی see بھیو شامل mix ہوکے introduce کرتے ہیں the idea of slicing یعنی جو ہم نے کہا تھا تھوڑی در پہلے کہ the method of slicing وہ ہم یہاں بھی استعمال کرتے ہیں اور اس کو now develop کرتے ہیں اچھا یہاں پہ اب ایک تصویر بناتے ہیں اب چونکہ ہم slicing کی بات کر رہے ہیں شروع تو ایک تصویر سے شروع کرتے ہیں جس سے آپ کو تھوڑا سا idea ہوگا کہ ہم کیا کرنا چاہ رہے ہیں تو آئی اس تصویر کو دیکھتے ہیں اس تصویر میں دیکھیں کہ یہ ایک ایسا سولیٹ ہے ہمارے پاس جس کا اگر میں کہیں بھی کسی جگہ different جگہوں سے if a cross section لیتا ہوں تو میرے پاس different قسم کے ریکٹانگلز آئیں گے یعنی ایک سولیٹ یہ ایک طرح کا square ہے اس ریکٹانگلر وہ ہے اپنا ریکٹانگل ہے three dimensional لیکن اس کی چھت جو ہے جو ہائیٹ ہے وہ different ہے at different points تو کہنے کا مقصد یہ ہے کہ اس سولیٹ کا اگر میں cross section لوں گا شروع شروع میں جیسا ابھی تصویر آپ نے دیکھی تو اس میں ریکٹانگلز آئیں گے جن کی height different ہوگی from rectangle rectangular cross sections if I take the cross section much further in the solid تو یہ ایک problem یہاں پہاں ایسی آئی ہے کہ چونکہ height uniform نہیں ہے اس سولیٹ کی تو لہذا جو resulting cross sections ہیں ان کا area different آئے گا ہر دفعہ تو problem یہ ہے کہ چونکہ ہر دفعہ cross section کا area different آئے گا تو میں سمپلی وہ جو فورمولا بھی ہم نے دیکھا تھا surrender's کے case میں کہ height of the solid multiplied by the area of the cross section وہ نہیں کر سکتے کیونکہ ہر دفعہ cross section کا area different آئے گا چونکہ ظاہرہ اس کی height different ہوگی cross section کی شروع آئی different ہوگی تو یہاں پہاں ہم slicing کا method introduce کرتے ہیں in order to find the area the volume of the solid without actually using the simple formula actually کہنا یہ چاہے تو سمپل فورمولا ہی سمال کریں گے لیکن تھوڑے سے interesting way میں جو کہ ہم اس کو solve کرنے کے لیے allow کرے گا کہ ہم اس کو معلوم کر سکیں volume کو تو ایسا کرتے ہیں کہ this solution اس کا معلوم کرنے کے لیے کہ process کو کس طرح develop کریں ایسا کرتے ہیں کہ جو ابھی ہم نے figure دیکھا تھا this is solid بنایا تھا جس کے different cross sections آتے ہیں اس کے نیچے ایک x axis impose کر لیتے ہیں یعنی اگر x axis بنا رہا ہوں اور جہاں پہ solid شروع ہو رہا ہے وہاں پہ اس کو point کو designate کر رہا ہوں as some number a اور جہاں پہ ختم ہو رہا ہے اس کو designate کر رہا ہوں as the number b تو اس کو دیکھ لیتے ہیں بناا کے یہ سمپل ایک solid ہے جو ابھی تھوڑے دیر پہلے ہم نے دیکھا تھا فرق سے فتنا ہے کہ اب اس کے نیچے ایک axis بنا ہوا ہے x axis اور یہ axis line کیلیں اور lower end point وہ ہے x equals a اور جو right end point ہے یہ highest level پہ جو ایک point ہے جہاں ختم ہو رہا ہے solid وہاں پہ ہم x equals b کی value استعمال کریں گے تو اب ایسا کرتے ہیں کہ یہ اب ہم نے بنالی ہے axis کے اوپر solid کی اوپر اب یہ جو ابھی حب تک ہم نے بات تو کری لیے کہ ہر different point پہ cross section اگر لیں گے solid کا تو جو cross section ہوگا اس کا area different آئے گا اس کو بلکے بنا بھی لیتے ہیں تصوید کو کہ یہ idea ہے کیا تو جو اب ہمارے پاس اس solid کی نیچی ایک axis کی لائن آگئی تو یہاں پہ اگر different points پہ in the interval a and b اگر میں cross sections لیتا ہوں تو میرے پاس different heights کی rectangles آتے ہیں اور یہ دیکھیں کہ یہاں پہ rectangles کا کوئی میں ایک area کونام دے سکتا ہوں اس کو ہم کہا سکتے ہیں a of x تو یہ جو a of x ہے یہ area representing کر رہا ہے of the cross sectional rectangles that we are getting and notice that for different points along the x axis the values of a of x will be different depending on the height of the resulting cross section اچھا جی اب اس کو اب ہم ظاہر ہے problem تو پہچل گئی کیا ہے تو اس کو results کیسے کرتے ہیں وہی سارہ مخصد ہے ہمارے کہ slicing کے method کو استعمال کرتے ہیں اس کو ہم results کریں تو slicing کو ہم اس طرح سے کرتے ہیں کہ وہی بات ہے کہ slicing سے ظاہر سے بات ہے image clear ہوگی کہ آپ کے پاس solid ہے آپ اس کو different slices لیں اس کے solid کے اور ایچھ سلس کو آپ کنسٹر کریں اور پھر دیکھیں کہ اس سے کیا result اخص کیا جا سکتے ہیں تو ہم اس کو develop کرتے ہیں further this idea کو اس میں یہ کرتے ہیں کہ جو ابھی ابھی تک ہم نے جو x axis impose کیا on the solid with an interval a to b اس کو ہم ایسا کرتے ہیں کہ سب ڈیوائٹ کر لیتے ہیں in two smaller pieces تو یہاں پہاں پہاں پہاں ہم نے جو ڈیوائن ڈیوائل ہے اس کو سب ڈیوائٹ کر لیتے ہیں تو ظاہر سی بات ہے آپ کے دہر ذہن میں آ رہو کہ definite integral یہاں پے role play کرے گا اور بالکل کرے گا اور اس کو ہم دیکھنے کیسے کرے گا تو آئے اس کو further develop کرتے ہیں let's divide the interval ab into n sub intervals of width delta x1 delta x2 all the way to delta xn اور ہم اس طرح سے کریں گے کہ b a جو delta x1 وغر آئے width یہ ہمارے پاس اس لی آئی کہ ہم نے یہ جو point سے x1 سے لیکے xn تک ان کو ہم نے بیچ میں impose کر دیے insert کر دیے between the end points a and b now we can pass a plane perpendicular to the x axis through each of these points بالکل کر سکتے ہیں and then notice that these planes will subdivide the solid into slices s1 s2 all the way to sn یہ آپ کے سامنے ہے فگر دیکھ لیجے کہ exactly وہی ہو رہا ہے کہ آپ کے پاس ہر different interval سے correspond کرتا ہر different point پہاگر آپ cross section لیں گے تو آپ کے پاس ایک وہاں آئے گا solid آئے گا جس کے جو basically slices ہوں گے solid کے تو یہ ابھی تک ہم نے develop کیا idea کہ آپ کا جو interval ہے اس کو آپ نے subdivide کر دیا اس کے اندہ چھوٹے چھوٹے اس کے pieces لے لیئے interval کے آپ نے جب points اندیوز کیا تو ذوری نہیں سب برابر کیوں ہوسکتا ہے برابروں doesn't matter لیکن یہ ہوا کہ جب آپ نے وہ اندیوز کیا points x1 سے لے کے xn تک between a and b تو آپ کے پاس sub intervals آگے ٹھیکے جی اب ان سب اندیوز پہاں آپ نے cross sections لیے solid کے آپ نے basically plane لیا ایک چھوری لی اور آپ نے ایسے کر کے solid کے through چھوری ماری آپ نے sub points بھی کیا ایسے تو آپ کے پاس cross sections آگے بہت سارے ایسے cross sections جنوں نے basically break کر دیئے آپ کے solid go into small chunks یعنی جسے مکھن کو اگر آپ کرتے ہیں ایسے ایسے کر کے تو آپ نے plane چھوری جو آپ کا plane اور جب آپ کرت دیتے ہیں تو result کیا ہوتا ہے آپ کے مکھن کے اس کے اب pieces بن گئے جن کی کوئی خاص width ہے اور وہ pieces جو ان کو ہم نے designate کیا as slices ان کو ہم slices کہہ رہے ہیں جیسے double ot کرتے ہیں اس میں بھی slices ہوتے ہیں اسی طرح ان slices کو ہم نے name دیئے دیئے اس one سے لے کے s n تک آپ یہ جو slices بنے ان کو تھرا سا analyze کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ اس سے کیا result نکلتا ہے یہی مقصد تھا سارا ایک general arbitrary slice کو ہم اس کو analyze کرتے ہیں کہ اس کے ذریعہ ہم کیا کر سکتے ہیں اچھا اب یہ آپ کے سامنے ہے slice sk اور اس میں دیکھیں کہ یہ ٹیک ٹھاک thick slice ہے موٹا سا slice ہے اس کو کچھ اس طرح imagine کرتے ہیں کہ اگر یہ تھوڑا سا پتلا slice ہوتا یعنی اگر یہ slice کافی باریخ ہوتا یعنی اس کی width چھوٹی ہوتی تو اس میں ہوتا کہ اس کا اگر ایک cross section لیتا یعنی this slice کو پھر سے میں تو جو resulting cross section ہوگا جو ہوتا یا کہلیں ہوگا وہ بہت زیادہ اس کے اندر فرق نہیں آئے گا یعنی کہ لیکن مقصد یہ کہ اگر اس کی موٹای بہت کم ہے slice sk کی تو اگر اس کے 3-4 cross sections میں بناتا ہوں تو ان کی height میں بہت زیادہ فرق نہیں ہوگا کیونکہ ظاہر ہے وہ اتنا چھوٹا باریخ سا slice تھا to begin with کہ اس کے اگر مزید چھوٹے ٹکڑے تو ان کے شیپ میں زیادہ فرق نہیں ہوگا جیسے ڈبلوٹی کو آپ ٹھیکر کے دیکھ لیں اس میں بریٹ کو لےکے آپ اس کے اندر slices کریں مزید تو اگر slice پتلا ہے تو اس کے زیادہ slices نہیں کیے جا سکتے یعنی slice کی جو cross section بنتا ہے وہ ویری نہیں کرے گا اب سیدیسی بات ہے کہ یہ جب ہی ہوگا جب آپ کا جو ڈلٹا XK کا強دہopherہة کرنائی اس کی سلسلت ہے جو سے صلحا کرنا جو فرق نہیں ہے ان اس میں وہی بات ہے کے اگر ثکنس کم ہوگا ڈلٹا XK کی تو ہم کہا سکتے ہیں کہ اس کی ڈلٹاSuper ڈلٹاXK اللہ سلسلت کی وہ زیادہ بیری نہیں کریں گے جیسے تو اب مقصہ صرف یہ ہے جناب آپ کو آپ نے ایسا انٹرول此 کیا کرنا جو سلائیس آپ دیکھتے ہیں اس کے وہ اتنا پتلا ہو کہ اس کے جو سلائیسز لیے جائیں اور اس سے جو رزالٹنگ کروس سیکشنز بنتے ہیں ان کی شیپ میں زیادہ فرق نہ ہو اور یہ جب بھی ہوگا جب دلٹا ایکس کے بہت باریق ہوگا to begin with تو یہی اب ہم اس کو مزیر دیوالپ کریں گے اب یعنی اس میں ایک چیز اور ہے دیکھنے کی وہ یہ ہے کہ اگر میں اس ایماجن کرتا ہوں کہ دلٹا ایکس کے بہت باریق ہے اب چونکہ وہ باریق ہے تو اس میں اگر میں کوئی بھی ایک point چیز کرتا ہوں ایکس کے سٹار تو جو میرے پاس اس سے کیا ہوگا یعنی اس کو جیسے ہم نے پہلے جب ایریہ معلوم کیا تھا بھی ہم نے آپ کو یاد ہوگا ایکس کے سٹار ایک چیز کیا تھا یہاں پر اگر ہم چیز کریں گے تو اس سے کیا ہوگا اس سے یہ ہوگا کہ اگر میں پتلے سے ایک چھوٹے سے انٹرول میں ایک اور point چیز کرتا ہوں ایکس کے سٹار اور اس پر اپنہ سلائیس ایک بناتا ہوں already باریق سلائیس کا تو ارجینل سلائیس اور اس سلائیس میں زیادہ فرق نہیں ہوگا یعنی کہنے کا مقصد یہ ہے کہ کراس سیکشن جو بنے گا اس point پر وہ اس کی ہیٹ زادہ چینج نہیں ہوگی اپنے ارجینل سلائیس سے تو اب اس میں یہ ہوگا کہ اب ہم اس ایکس کے سٹار پر جو سلائیس لیتے ہیں اس کا ایریہ ہم معلوم کر سکتے ہیں وہ کس طرح کریں گے ابھی دیکھتے ہیں لیکن اس کو پہلے یہ کرتے ہیں کہ اس کو دیزگنیٹ کر دیتے ہیں as ایریہ at the point xk star اور اب ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا volume ہم کیسے معلوم کریں گے یعنی مقصد یہ کہ جو سلائیس ہے آپ کے پاس sk اس کا ہمیں volume معلوم کرنا ہے چونکہ اس سے یہ ہوگا کہ اگر ہم sk کا volume معلوم کر لیں گے تو ہم اسی فرملے کے تحت باقی ساری سلائیس اس کا بھی volume معلوم کر لیں گے اور جب add کریں گے تو ہمارے پر سلٹنگ جو volume آئے گا وہ original solid کا volume ہوگا تو اب اس اگر sk کا سلائیس کا ہمیں volume معلوم کرنا ہے تو اس کے لیے ہم پہلے اس کو بہت کہتے ہیں بہت باری کر دیں اور پھر اس باری ک انٹرول کے اندر جو کورسپورننگ انٹرول ہے نیچے اس کے اندر ایک point چوز کریں xk star اس پر ایک slice لیں اور پھر دیکھیں کہ اس کا ایریہ معلوم کر سکتے ہیں کہ نہیں اور کر سکتے ہیں تو پھر volume بڑے سانی سے آجاتا ہے by this equation the volume of the slice sk will be approximately vk which is the same which is approximately equal to a of xk star times delta x یہ نہیں وہ فرملہ ہے جو آپ کو cross section کا ایریہ آپ نے جو xk star پے معلوم کیا ہے multiplied by the thickness of the interval will give you the volume of the slice sk اور اسی process کو استعمال کرتے ہیں ہم پورے solid کا volume معلوم کر سکتے ہیں as v equals v1 plus v2 plus all the way to v sub n and that's of course equal to the summation from k equals 1 to n of the area of the cross section at xk star times delta xk تو یہ آپ کے پاس آگیا formula volume کا of all the slices یعنی جتنے بھی slices کا آپ معلوم کریں گے volume ان کو جب add کریں گے تو original solid کا volume آپ کے پاس آجائے گا problem یہ ہے کہ یہ جو equation لکھی summation کی اس میں delta xk اور xk star جس پر ہم area معلوم کر رہے ہیں cross section کا تو وہی بات ہے کہ delta xk ہم چھوٹے سے چھوٹا لینہ چاہتے ہیں تو یہ ہم کیسے کریں گے یہ اسی طریق سے کریں گے جیسے ہم نے پہلے area معلوم کرتے وقت کیا تھا اگر ہم یہ جو delta xk ہم نے بنائے تھے بہت سارے subdivisions ان میں جو سب سے بڑا ہے اس کو اگر ہم کہیں کہ اس کو 0 کی طرف جانے دیں تو اٹمیٹیکلی باقی جو چھوٹے ہوں گے وہ بھی 0 کی طرف جائیں گے یعنی وہی کہنے کی بات ہے کہ اگر آپ اپنے جو انٹرول آپ نے impose کیا تھا اپنے solid پے اس کے بہت سارے چھوٹے چھوٹے چھوٹے چھوٹے پیسس کردیں بہت باریگ ہوگی اور چونکہ وہ بہت باریگ ہوگی تو جو آپ نے slicing بنائے تھے x k جو ہم نے جس کو s k کہا تھا وہ slices جو ہوں گے وہ بہت باریگ ہو گے لہاں زام اس کےcross section کے یہی ریس بڑے ہمیں پس پھر volume آجائے گا پورے solid کا تو مکسل یہ کہ میکسیم دلٹا ایکس کے گوز تو زیرو تو اگر ہم اب ہم یہ کرتے ہیں کہ میکسیم دلٹا ایکس کے گوز تو زیرو تو ہمارے پاس ایک ایک ایکویزن آتی ہے جس کو ہم لکھ لیتے ہیں یہ ایکویزن بیسکل آپ کو ولیم دے گی of the solid we are talking about and this is going to equal limit as the maximum دلٹا ایکس کے گوز تو زیرو of the summation یہ جو summation کی ایکویزن لکھی تھی ہم نے تھوڑی در پہلے تو جب ہم اس کا لیمٹ لیں گے تو ہمیں پتا ہے کہ ریزلٹ کیا ہوگا limit اس summation کیا ہم پہلے بھی دیکھ چکیں کہی دفعہ تو یہ جب لیمٹ آپ لیں گے تو ریزلٹ آئے گا the definite integral from a to b of the area of the cross section which we will call a of x times dx تو یہ جناب آپ کی تھیوری ہو گی جو ہمیں آج دیسکنے تھی major part لیکچر کا اور اس میں ہم نے ابھی تک جو باتے کیوں یہ دیکھا کہ سلیسنگ کے ذریعے کیسے ہم نے اپنا یہ جو volume معلوم کی ایک سولیٹ کا تو اس سارے باتوں کو فرملائس کر لیتے ہیں in two statements جو نے ہم volume formula کیا سکتے ہیں تو یہ دیکھ لیتے ہیں ان کو لکھے یہ دو volume formula ہے آپ کے پاس ایک پہلہ کیس جو ہے وہ آپ جب استعمال کرتے ہیں جب آپ کے cross sections جو ہیں وہ perpendicular ہیں to the x axis جو ہم نے ابھی اس اگمپل میں دیکھے اور دوسرا فرملہ جو ہے یہ آپ استعمال کرتے ہیں جب آپ کے cross sections ہوں perpendicular to the y axis تو یعنی دو کیس ہو سکتے ہیں کہ ایک کیس میں شاہد آپ نے آپ کا solid x axis سے perpendicular ہو اس کے cross sections کبھی کبھی ایسے بھی ہو سکتا ہے کہ cross sections y axis سے perpendicular ہوں اگر یہ دو فرملہ ہیں دونوں ایک سے کام کرتے ہیں صرف فرق یہ ہے کہ جو function ہوتا ہے وہ پہلے کیس میں area function جو ہے وہ x کا function ہے second case میں area جو ہے وہ function ہے y کا اچھا جی تو یہ ایک چیز ہم نے دیکھ لی کہ ہم basically volume معلوم کیسے کرتے ہیں solids کا using the cross sections اور وہ cross sections ایسے ہوتے ہیں جن کی different height ہوسکتی ہے different area ہوسکتا ہے at different points in the solid تو لہذا اس کے لیے slicing کا method ہم نے develop کیا اور یہ آپ کے سامنے اب بات کرتے ہیں solids of revolution کی تو ان کا volume کیسے معلوم کرتے ہیں تو سب سے پہلے تو یہ کہ volume یہ just solids of revolution ہوتے ہیں یہ ہیں کیا تو یہ میں نے کہا تھا بڑی interesting چیزیں میں an example دیتی کہ اگر یہ ہے میرے پاس ایک two dimensional imagine کرتے ہیں figure اس کو اگر میں rotate کرتا ہوں ایسے تو میرے پاس ایک solid تو شہد نہ آئے کیونکہ اس کی thickness solid ہی ہوگا ایک چلی کیونکہ آپ کے پاس ایک three dimensional object آجائے گا اس کی شہد thickness کوئی نہ ہو کیونکہ آپ imagine کر رہے ہیں کہ یہ بہت باریکسی چیز ہے اچھا اب اس میں زادہ بہتر example تو ایسی ہوگی جس کو ہم actually بنالتے ہیں یہ اس کی remote کی اچھی اچھی example نہیں تھی ایک بنا کے دیکھیں کہ ہم کیا کیانا چاہ رہے ہیں تو اس میں دیکھیں کہ آپ کے پاس اگر ایک x y axis ہے اس میں آپ کے پاس ایک function ہے f جو کہ non-negative ہے اور ساتھ میں continuous بھی ہے ایک interval a سے b تک اس کے اوپر اور اب یہ کرتے ہیں اس میں دیکھیں کہ ایک region یہاں پر natural سا بنتا ہے جو ہم پہلے ایسی examples دیکھ چکیں the region r which is bounded above by the graph of the function f on the sides by the lines x equals a x equals b and at the bottom by the interval a comma b تو یہ آپ کے پاس ایک picture ہے اس کو اگر میں imagine کریں کہ اس کو میں rotate کرتا ہوں around the x axis یعنی کہانے کا مخصد یہ کہ آپ کے پاس اگر ایسا ایک region ہے جیسے آپ نے بھی تصویر میں دیکھا اندازن اس کو اگر میں یہ ایسے کر کے region ہے آپ کے پاس اس کو اگر میں ایسے گھماتا ہوں rotate کرتا ہوں around the x axis تو میرے پاس کیا رزلٹنگ solid create ہوتا ہے یہ تھوڑا یہاں پہ سوچنے والی بات ہے تھوڑی سی imaginative thinking creative thinking لیکن آپ نے شہد imagine کر لیا اس کو بنا لیتے ہیں تصویر کو rotate کر کے دیکھتے ہیں کیا ہوتا ہے آپ کا جو رزلٹنگ object بنتا ہے یہ solid وہ آپ کے سامنے در یہ ایک طرح کا کیا کہ سکتے ہیں اس کو وہ blow horns جیسے ہوتے تھے ایک زمانے میں اس طرح کی کوئی چیز ہے یہ اور اس میں آپ یہ نوٹ کریں سیدی سی بات ہے کہ چونکہ اس کا آپ کے سامنے تصویر بنیے اس کا جو cross section اگر آپ لیں this solid کا so that is going to be a circle ظاہر سی بات ہے کہ ایک solid ایسا ہے جس کے اندر کوئی صراح نہیں ہے یہ آپ کے سامنے بنا تھا اس کا اگر میں ایک cross section لیتا ہوں تو result جو ہے وہ سرکل بنتا ہے اس سرکل کا جو ریڈیس ہے وہ ہے the function f of x کیوں ہے اس لئے کہ یہ جو x axis سے لے کے اس کی height جو بنے گی جہاں پہ آپ کا cross section کی height ہوگی وہ وہاں پہ جاکے رکھتی ہے جہاں پہ گراف جو ہے f کا ختم ہو رہا ہوتا ہے یا شروع ہو رہا ہوتا ہے تو ظاہر سی بات ہے کہ اس کا ریڈیس جو ہوگا وہ function f of x ہوگا اور چونکہ ریڈیس پتا ہے تو ہم اس کا cross section کا area معلوم کر سکتے ہیں area is just pi r squared تو in this case r جو ہے وہ f of x کی برابر ہے تو ہم لکھ سکتے ہیں اس کا area as a of x equals pi times f of x quantity squared اور اب جب area ہمارے پاس آگیا ہے تو آپ ظاہر ہے جو slicing method ہم نے ابھی دیکھا تھا اس کو استمال کرتے ہوئے ہم پورے solid کا volume معلوم کر سکتے ہیں وہی بات ہے کہ slice ہمارے پاس آگیا area معلوم کر لی ہم نے اس کا cross section کا اب ہم volume معلوم کر سکتے ہیں solid کا اور اس کی equation بنے گی volume is equal to the integral from a to b of pi f of x squared dx تو یہ جناب آپ کے پاس آگیا ہے ایک اور process جس میں solid of revolution involved تھا اور اس میں ہم نے دیکھا کہ ایک ہمارے پاس فگر بنا جس کا cross section جو تھا وہ ایک disk تھی disk یعنی وہی بات کے ایک طرح سے جیسے cds ہوتی ہیں compact disk تو ایک طرح کی disk بنی تھی اس disk کا ہم نے radius معلوم کر لیا تھا اور اس کے بعد ہم نے slicing کا process استعمال کر کے volume معلوم کر لیا of the resulting object اچھا جی اب یہ disks تو ہم نے دیکھ لی اب یہ ایک example ہم نے دیکھی اب ایسا دیکھتے ہیں کہ ایک situation ایسی بھی ہو سکتی ہے کہ special case تھا کہ آپ کا جو region تھا r جس کو آپ نے rotate کیا یہ نیچے bounded تھا ایک interval سے that was on the x axis تو اس میں یہ کہ اب ایسا ہو سکتا ہے کہ بجائے اس کے کے نیچے x axis ہو سکتا ہے کسی اور graph کا function ہو یعنی اب ہم ایسی بات کرتے ہیں کہتے ہیں کہ جی آپ کے پاس ایک region ہے جو کے confined ہے between the graph of a function f continuous and non-negative function f and another function the graph of another function which we can call g which is also non-negative and continuous on ab تو اب اس کو اگر ہم rotate کرتے ہیں اس region کو around the x axis تو کیا result ہوگا کیا process ہوگا تو پہلے دیکھتے ہیں کہ situation ہے کیا کچھ تصیرے بنا کے دیکھتے ہیں یہ دیکھیں آپ کے سامنے پہلے فگر میں تو آپ دیکھ لیں کہ آپ کے سامنے book situation ہے جہاں پہ top پیک function کا graph ہے bottom پیک function کا graph ہے اور ان دونوں کے درمیان میں ایک region ہے r اب اگر اس کو میں rotate کرتا ہوں اس region کو x axis کے around تو جو result آتا ہے وہ میرے پاس ایک solid ہے اسی طائب کا solid ہے جو ابھی پشلی example میں دیکھا صرف فرق اتنا یہ ہے کہ اس solid کے بیچ میں ایک صراح ہے یعنی ایک طرح کا whole ہو ہوا ہے یعنی جیسے ایک دانت ہوتا ہے اس کے اندر cavity اگر لگ جائے تو ایک صراح کا صراح سو جاتا ہے اسی طرح یہ وہی solid ہے جو ایک طرح کا آپ سمجھلے دانت ہے اس کے اندر ایک صراح ہو ہوا ہے تو اس کا اب ہم volume کیسے معلوم کر سکتے ہیں تو وہی process ہے جیسے ابھی ہم نے پشلی example میں دیکھا تھا جہاں پہ cross section تھے وہ disk تھی اگر اس solid کا cross section لیں گے تو کیا آئے گا آپ کے پاس result آپ کے result آئے گا آپ کا cross section ہوگا وہ ایک washer بنے گا یعنی وہ ایک disk ہوگی لیکن اس کے بیچ میں ایک صراح ہوگا تو ایک طرح کا washer بن جائے گا اور اس کا وہی بات ہے کہ اگر washer کا آپ کے پاس area آجائے تو solid کا volume معلوم کرنا بڑا سان ہے just take the integral just as we have done before تو اس washer کا area کیسے معلوم کریں گے اس کو ایسے دیکھ سکتے ہیں کہ ہے تو یہ circular اور لیکن بیچ میں ایک صراح ہے تو یہ اب بیچ میں صراح ایک ہے اور بڑا سرکل ہے تو اس میں آپ اس کا ہم یعنی area کیسے معلوم کر سکتے ہیں washer کا سوال یہ ہے تو اس میں note کریں کہ آپ اگر جو بیچ میں ایک صراح ہے اس کا اگر area معلوم کر لیں اور جو بڑا سرکل ہے اس کا area معلوم کر لیں اور بڑے میں اسے چھوٹا minus کر دیں تو جو remaining area آئے گا وہ area ہوگا آپ کے washer کا کیونکہ جو چھوٹا صراح ہے وہ تو empty ہے وہ صراح ہے تو آپ صراح کا area معلوم کر کے solid میں سے minus کر دیں تو آپ کے پاس washer کا area آجائے گا تو اب اس میں ایک لکھ سکتے ہیں اس کی equation as the following area of the cross section which is a washer will equal pi times f of x quantity square minus pi times g of x quantity square چونکہ f of x جہاں وہ radius ہے بڑے سرکل کا اور g of x جہاں وہ radius ہے چھوٹے سرکل کا تو یہ formula بن گیا area کا اس cross section کے اس کو simplify کریں pi common لے لیں دونوں میں سے تو result آتا ہے pi times f of x square minus g of x square تو اب volume بڑے سانی سے معلوم کر سکتے ہیں یہ جو area آگیا equation ہے area کی اس کا آپ integral لے لیں from a to b and you'll get the volume of the solid that we have تو اس کو لکھ لیتے ہیں volume will equal the integral from a to b pi times f of x square minus g of x square quantity تو یہ جناب آپ کا ہو گیا finding the volume using the washer method یا کیجھ دفعہ ایسا ہوتا ہے جیسے ہم نے disks دیکھنی پہلے which arose as a cross section اسی طرح سے اب آپ کے پاس washers بھی آسکتے ہیں اور اس کی situation میں کیسے معلوم کرتے ہیں یہ آپ نے ابھی دیکھا جناب یہ آج کا ہو گیا lecture اس میں ہم نے کافی باتیں کی area volumes کی تو hopefully it was clear اس میں یہ ہے کہ جو concepts ہیں وہ تھوڑے سے abstract ہیں کیونکہ جو solids بنتے ہیں ان کو تھوڑا سامجھن کرنا پڑتے ہیں اور corresponding جو ان کے cross sections ہوتے ہیں لیکن at least it's fun میرے خال سے تو یہ کافی مزدار بات ہے تو کوئی problems ہوں تو please پوچھ لی جے گا تو ٹیک ہے جی پھر آپ سے اگلی دفاہ ملاقات ہوگی next lecture میں اور پھر ہم انی مزیر ڈیس کو develop کریں گے تو I will see you next time Thank you for your time Allah Hafiz