 Ok, on se lance dans la dernière séance avec les irréductibles qui sont ici et c'est aujourd'hui que l'on va boucler la boucle sur une question isopérimétrique non-lisse. On va faire un petit rappel pour se remettre dans le bain et donc on va appeler ça rappel partition MK1 comme monchekantorovich ordre 1 donc c'est pour se remettre dans le bain comme je disais on se donne F sur un espace métrique mesuré X des nu un espace géodésique mesuré et on suppose que F est un lipschitz on ne suppose pas que F est un lipschitz c'est le dual qui va être un lipschitz F tout ce qu'on suppose c'est que son intégral est nul intégral de F des nu égale 1 égale 0 bon on se donne ça qu'est ce qu'on fait on résout de intégral de F des nu parmi tous les filles telles que normes de fi lipschitz est inférieure ou égale 1 sur fi on trouve un fi soit fi optimal et si on est réfléchi fi égal solution du problème de monchekantorovich dual entre les mesures F plus nu et F moins nu et problème de monchekantorovich avec exposant 1 qui revient à se donner une comment on sait ça dépend pas de mu et de nu séparément mais de pas de mu 0 et mu 1 séparément mais de mu 0 moins mu 1 qui doit être intégral nul donc ici c'est F nu la mesure qui contient parfois la partie positive et la partie négative tel qu'on fait le transport entre l'un et l'autre alors oublions le fait que peut-être il y a des subtilités aux endroits où F s'annule que peut-être ça a une mesure de nu positif on suppose sinon c'est bon c'est ça c'est pas un problème c'est pas un problème parce que la ouf nu est égal à 0 on ne le verra pas alors on a on a déduit un ensemble de transport donc gamma de fi égal l'ensemble des coups x y telle que fi de y moins fi de x est égal à distance de x y bon et puis à partir de là donc ça correspond au c sous-différentiel de fi et si on veut c'est ça correspond au point de départ point d'arrivée tel qu'il va y avoir un transport et puis après quitte à considérer aussi les yx à renverser et à éliminer à écarter à éliminer des points fixes extrémités ou points de branchement en supposant que x des nu est essentiellement non branchant on dit que les points de branchement sont négligeables qu'on peut se limiter un ensemble de jeu d'ésit qui ne branche pas on a une partition de x en d'une part un ensemble comme on va l'appeler t comme transport union disjointes de géodésique non trivial appelons les gammas ou fi augmente linéairement avec la distance même identiquement qu'est ce qu'on veut dire fi de gamma témoin fi de gamma de s est égal à témoin s et puis un ensemble n comme négligeable presque sûrement aucun transport n'a lieu dans le problème de monge quant au riche bon donc on se représente la chose on a un géodésique disjointe donc formant une certaine partition et puis des points par ailleurs je vais mettre comme ça c'est un ensemble continu à priori et il faut penser à ça comme les points n et à ça comme une géodésique gamma et donc l'ensemble t qui est l'union de ces géodésiques le transport avec exposant un il se fait selon les géodésiques ce qui veut dire que sur chacune de ces géodésiques on effectue un transport de masse et que donc la restriction de f à chacune de ces géodésiques va elle même être d'intégrale nul pour la mesure nu conditionné à la géodésique pour tout gamma on a intégrale de f des nu gamma égal 0 où ça si on veut c'est la désintégration de nu sur gamma et alors pour tout gamma il faut donner un nom à cet ensemble on va appeler grand omega l'ensemble de ces géodésiques tout gamma appartenante à grand omega et puis presque partout pour y appartenante à n on a f de y égal 0 je vous en a dit la raison intuitive c'est que la masse est bougée au long de ces géodésiques on va faire une on va donner le schéma d'une petite démonstration donc ça ça s'appelle le bilan de masse on va on peut appeler ça bilan de masse localisé disons c'est que c'est un transport qui est conservatif il n'y a pas de masse qui se crée donc le long du transport toute la masse qu'on a mise on la retrouve à l'arrivée la masse qui en a mis au départ on la retrouve à l'arrivée alors pour justifier ça d'abord que je donne une formule plus précise pour ce qui est de la désintégration des intégrations c'est quand on écrit nu égale intégrale sur omega de nu gamma omega de dé gamma ou celle ci est une mesure qui est concentrée sur gamma et celle ci une mesure portée par omega et ça va être sur les bonnes hypothèses de régularité de la mesure ça sera unique à modification près de nu gamma pour un ensemble au méga négligeable de gamma théorie de désintégration de la mesure quand vous avez une une relation d'équivalence qui plus général aussi alors donc l'idée c'est d'écrire la mesure nu donc quand j'écris ici bilan de masse localisé c'est nu restreinte à thé l'ensemble de transport que je les intéresse comme ça et puis il y a aussi nu qui est la partie restreinte à n et qui elle on s'en fiche un peu voilà parce que de su f sera égal à 0 c'est pas ça qui nous embêtera alors comme je comme promis une petite justification une petite justification disons que donc justification c'est le genre d'argument qu'on peut trouver dans les articles sur le traitement du problème de monchek antorovitch comme depuis évance gangbo et autres à la fin des années 90 disons qu'un ensemble a est saturé si q moins 1 de a interté est inclus dans a ou q c'est l'opération quotient bon saturé ça veut dire en clair que c'est une union de géodésie du omega c'est-à-dire en clair a est une union de gamma appartenante à omega de sorte que le transport laisse l'ensemble a stable il n'y a rien qui sort de a rien qui rentre dans a l'une sort de a ça c'est comme ça qu'on comprend et donc on veut montrer intégrale sur a de f des nuches est égal à 0 bon dès que a est saturé si on s'est montré ça cela montrera d'abord par des intégrations à la lebeg que le long d'une géodésique gamma on a effectivement l'intégrale de f des nuches gamma est à 0 parce que ici c'est vrai pour tout à cela montre alors je vais écrire après non cela montrera d'une part que l'intégrale de f des nuches gamma est égal à 0 par des intégrations à la lebeg ici on est juste en train de dire que pour toute partie omega inclus dans omega on aura intégrale on aura que la mesure f nu appliqué à l'union sur omega des gammas est égal à 0 bon et comme l'union pour gamma appartenant à omega et comme ça c'est pour n'importe comme pour omega quelconque comme c'est pour omega quelconque on en dédura que presque sûrement ah oui je n'aurais pas les prendre omega parce que c'est aussi le nom de ma de ma mesure ici omega prime ça c'est pour omega prime quelconque on en dédura que presque sûrement f nu de gamma est égal à 0 j'ai pas très bien écrit mais c'est pour on va dire ça f nu gamma voilà de gamma est égal à 0 alors et aussi d'autre part que f nu s'annule sur n car n est saturé c'est l'ensemble des points où ça bouge pas donc je vous prends n'importe quoi dedans rien entre rien ne sort alors comment on va montrer ça intégrale de f des nu égal à 0 pour un ensemble a qui est saturé bien sûr par symétrie il suffit de montrer que l'intégrale sur a de f des nu est positif et puis après il suffira de renverser f en moins f et on en dédura pareil que l'intégrale de a est négatif intégrale sur a de f des nu est négatif bon alors montrons ça soit k un compact inclus dans a si on montre que l'intégrale sur k de f des nu est positif alors par régularité de la mesure la conclusion en découlant donc on sait pas que k est saturé mais on sait que a est saturé on sait que k est compact après on pourra toujours approcher k par un compact qui est intérieur et puis la par par limite on aura que l'intégrale sur a est positif alors définissons fi delta de x est égal à l'inf sur y de fi de y plus d de x y moins delta fois l'indicatrice y appartenant à k on note que fi 0 de x on note que fi delta de x est évidemment inférieur ou égal à inf sur y de fi de y plus distance de x y qui est inférieur ou égal à fi de x soit fi delta est toujours inférieur ou égal à fi et puis on voit facilement aussi que fi de x est inférieur ou égal à fi delta de x plus delta ça c'est pour toujours parce que fi est un lipsitz bon alors l'intégrale de fi delta f des nu est donc inférieur ou égal à l'intégrale de fi f des nu un truc bizarre oui ça c'est pas parce que fi delta est un ça c'est vrai ça c'est vrai mais c'est pas parce que fi delta est inférieur ou égal à fi c'est parce que fi est solution du problème du hall pourquoi c'est pas conséquence de ça ben simplement parce que f est parfois positif parfois négative bon alors intégrale de fi delta f des nu est inférieur ou égal à fi f des nu puisque fi par construction c'est c'est le ça maximise intégrale de fi f des nu donc quand je regarde intégrale de fi delta moins fi sur delta fois f des nu et ben ça c'est positif et par ailleurs fi delta moins fi fi delta moins fi c'est c'est le contraire c'est fi moins fi delta absolument et fi moins fi delta comme on voit ici c'est inférieur ou égal à delta donc ceci c'est inférieur ou égal à 1 et je passe à la limite par convergence dominée passe à limite quand delta tend vers 0 et on peut montrer que la limite existe on va l'appeler psi psi de x égal limite en delta tend vers 0 de fi de x moins fi delta de x sur delta et c'est un truc qui vaut 0 en dehors de 1 à l'intérieur de k et une certaine valeur psi qui est comprise entre 0 et 1 dans a moins k ça c'est k on a a qui est ici et puis quand delta tend vers 0 le truc ici vaut 1 ici 0 à l'intérieur et entre les deux ben quelque chose qui entre 0 et 1 bon alors donc quand je passe à la limite là dedans par convergence dominée on trouve que 0 est inférieur ou égal intégrale de psi f des nu qui est égal à l'intégrale sur k de f des nu plus intégrale de psi f des nu sur a moins k et comme on est en train d'approcher a par un compact k qui est presque égal à a cette dernière intégrale est toute petite psi étant compris entre 0 et 1 en prenant le compact suffisamment proche de a elle est au aussi petite qu'on veut arbitrairement petit conclusion intégrale sur k de f des nu super égal à 0 et par approximation intégrale sur a de f des nu est égal à 0 et parce que on ne peut pas qu'est ce qu'on va qu'est ce qu'on va dire si j'essaie tu vas me dire si je mets directement si je mets delta égal 0 de façon je vois rien il reste phi il n'y a que phi alors tu vas me dire il ya si c'est disons disons le truc qu'on a construit le truc qu'on a construit c'est si on veut une approximation de l'indicatrice de k adapté à fi c'est une approximation c'est une approximation de l'indicatrice qui est adapté à fi et le fait d'avoir écrit phi delta on l'a utilisé ici quand on a comparé quand on a comparé à fi ça c'est cette présentation là si je dis pas de bon alors là on a compris alors précisons un peu l'image là encore une fois ce qu'on s'est donné au départ c'est une fonction f d'intégrale nul et de là on a déduit une décomposition de l'espace avec des géodésies gamma qui représentent des classes d'équivalence dans l'ensemble de transporté grande omega l'ensemble des classes d'équivalence et puis on peut paramétrer donc on peut paramétrer chacune de ces géodésies par les valeurs que prend la fonction phi donc si on veut là j'ai r et mettons que ici par exemple j'ai une certes ici c'est à b je sais pas mais donc ici ce soit c ici c'est x tel que phi de x égal c ici c'est x tel que phi de x égal à sur la géodésie gamma donc si on veut on a une application qu'on va noter g gamma qui est l'inverse de phi restreinte à la géodésie restreinte à gamma inverse pardon ouais paramétrage on paramète chaque géodésie non trivial par les valeurs de phi et donc par un intervalle de r par r tout entier un intervalle correspond aux valeurs minimales et maximales que prend phi là dedans si on veut on peut aussi triturer on peut phi on peut toujours ajouter une constante le long de la géodésie qu'on peut changer le paramétrage pour vu qu'on fait ça de manière mesurable mais à la fin des fins à constante près disons ça sera les valeurs de phi qui vont servir qui vont nous servir qu'est ce qu'on va dire d'autre et donc cette application g gamma et alors on va lire la mesure nu gamma sur r qu'on définit h gamma densité sur r tel que la mesure image par g gamma de h gamma fois la mesure de le bec est égale à nu gamma bon on se vient que phi ellipside phi est linéaire long de la géodésique donc notre g gamma si on veut c'est une isométrie de l'intervalle de r sur la géodésique elle va varier de manière mesurable en fonction de gamma et tout ça quand gamma va décrire omega et donc ce h gamma ça sera ça sera une façon de représenter alors on va le mettre ici voilà c'est la densité si on veut de la mesure nu sur la géodésique gamma comme la mesure de le bec c'est aussi la mesure de hausdorff sur r bien évidemment et comme g gamma est une isométrie on peut aussi se représenter h gamma modulo composition par g gamma comme étant la densité de nu gamma par rapport à la mesure de hausdorff porté par la géodésique gamma ou encore h gamma alors h gamma rongé gamma moins 1 est égal à des nu gamma sur d h 1 ici c'est et je vais mettre ça h1 gamma la mesure de hausdorff h1 la longueur quoi restreinte à gamma ça c'est bien h gamma de g gamma de t ça c'est bien est-ce qu'il y a une petite bêtise non j'en parais bien voilà ah ah si un truc il va pas des nu gamma sur d h gamma c'est un truc ici h gamma c'est un truc qui est là donc il faut que je mette 6 oui c'est ça c'est bien c'était bien ça quitte à composer par g gamma h gamma c'est la densité de nu gamma par rapport à la mesure de hausdorff bon et si on se souvient que nu gamma c'est la désintégration de nu on voit que ce qu'on a c'est qu'on est en train d'écrire ça on peut le réécrire si on veut nu comme étant intégrale sur omega de je vais écrire ça h gamma h1 restreinte à gamma omega de dé gamma et il faut juste ici le composé par g gamma moins 1 vous allez me dire g gamma moins 1 ou ce qui est pareil c'est composé par la restriction de phi à la géodésique et puis auquel on rajoute la restriction de nu à y voilà donc ça c'est une décomposition qui est associée de manière canonique à notre fonction f alors modulo le choix du modulo le choix de phi s'il ya s'il y en a plusieurs on se donne f hop on trouve phi et de phi on fait la décomposition et comme ça on a décomposé nu en une combinaison de mesures de longueur portée par des géodésiques avec une fonction qui de densité plus une partie qui est portée par un ensemble sur lequel f s'annule et c'est une décomposition extrêmement puissante alors ça c'est bien donc jusqu'ici ce qu'on jusqu'ici ce qu'on a fait c'est la c'est la mise en oeuvre dans dans un cadre non lisse de ce qui avait été fait aussi par clartag dans un cadre lisse donc l'histoire comme je dis la dernière fois c'est que depuis longtemps il y a cette idée que dans certains problèmes de géométrie avec des convecs des choses comme ça c'est intéressant de décomposer l'espace en une partition avec des segments quoi des compositions en aiguille comme on dit et puis un jour clartag c'est aperçu qu'en utilisant le transport de monche cantorovitch on pouvait faire une décomposition de ce même style mais pas dans hrn mais dans un cadre géométrique général donc il a fait ça dans un cadre une géométrie riemannienne lisse et il a montré certaines hypothèses que la décomposition est lisse que les géodésiques varient de manière lisse et tout ça en utilisant des théorèmes de régularité de transport et puis ça c'est la version entièrement non lisse mesurable telle que formalisé par cavaletti mondino une fois qu'on a fait ça on se dit que c'est bien mais que on va pas pouvoir traiter des problèmes de courbures avec ça parce que la courbure c'est basé sur le transport l2 et chaque fois qu'on prononce courbure et à tout de suite quadratique qui arrive alors comment faire pour recoller les morceaux entre cette décomposition qui est basée sur un transport l1 et toutes nos inégalités de courbure qui sont basées sur des transports l2 et la clé c'est que on va appliquer les inégalités de courbure dans un cas où la solution de ce problème l1 est aussi une solution du problème l2 et maintenant on va expliquer ça aller de mk1 à mk2 propriété soit f telle que l'intégrale de f des nu égale 0 et puis comme si dessus et donc la décomposition mk1 associée avec les mêmes notations bon sur chaque gamma appartenant à grand omega notons t gamma le transport monotone associé donc si vous voulez t gamma c'est le truc qui envoie f plus nu gamma en f moins nu gamma et qui alors ça c'est un problème de transport en dimension 1 mais qui en plus est monotone c'est-à-dire juste croissant comme on sait bien dans le transport optimal avec exposé en 1 il n'y a pas unicité de minimiseur mais la perte d'unicité est trivial il suffit juste d'imposer que ce monotone l'ont des lignes pour la récupérer donc on a t gamma transport dans chacune des dans chacune des lignes dans chacune de ces jeux désiques pour tout gamma et gamma prime dans omega on a phi 2 et puis pour tout x appartenant à gamma pour tout x prime appartenant à gamma prime donc si on a alors ici quand j'écris que ça appartenait à gamma j'identifie gamma son image si on a phi de t gamma prime du x prime moins phi de t gamma de x fois phi de x prime moins phi de x positif alors à reparamétrisation près remettre par une utilisation triviale et renormalisation près la géodésique mk1 est aussi une géodésique mk2 et transport le transport est aussi un transport optimal pour le coup quadratique j'ai dit que mk1 est aussi géodésique mk2 le transport est aussi le transport et est aussi optimal pour le coup quadratique autrement dit si on veut résumer les choses de manière concise pour savoir que l'optimum mk1 est aussi un optimum mk2 il suffit de vérifier que le transport est phi monotone quand vous regardez deux jeux désiques comme ça vous regardez la valeur de phi ici la valeur de phi ici et vous comparez ça à la valeur de phi ici et la valeur de phi ici si ça envoie ça là et ça là vous vérifiez que cette différence là fois cette différence là est toujours positive en général ça aucune raison d'être vrai et on connaît plein d'exemple dans lesquels un transport optimal pour le coup 1 n'est pas optimal pour le coup 2 ou vice versa mais si il se trouve que on a une information selon laquelle le transport est monotone dans la variable phi alors on peut passer de 1 à 2 on va expliquer pourquoi et on mettra un exemple après donc est ce qu'il se dépreuve premièrement la condition qui est écrite ici dit que l'ensemble des phi de x phi de t de x on va l'écrire comme ça distance au carré monotone et tout simplement mon tonne mon tonne si oui ou distance au carré monotone on va l'écrire comme ça carré monotone dans r2 et évidemment un ensemble monotone dans r2 c'est un truc qui est inclus dans un graphe complet de fonction croissante autrement dit c'est la même chose qu'un ensemble cycliquement monotone donc c'est inclus c'est dire que phi dans un graphe monotone complet je veux dire avec peut-être des machins comme ça quoi c'est dire que cet ensemble là on va appeler delta c'est dire que delta est inclus là dedans et c'est pareil que de dire que delta est carré cycliquement monotone à savoir que quand je prends des x1 y1 etc xy qui xn yn dans delta ben j'ai la somme des xie moins y qui carré qui est inférieur ou égal à la somme des xie moins y qui plus un carré ou i variant de 1 à n avec la convention que yn plus un est égal à y ça c'est une particularité de la dimension 1 c'est pareil de regarder la monotonie la cyclique monotonie en n'importe quelle autre dimension ça serait pas vrai alors maintenant qu'on sait que carré et cycliquement monotone on va en déduire en combinant cela avec le fait que norme de l'hypsis de phi est inférieur ou égal à 1 on en déduit que gamma l'ensemble de transport est décarré cycliquement monotone en effet si je regarde la somme des décarrés de y qui pour cette fois les xie y qui sont tous dans gamma sont des décarrés alors quand xie y dans gamma ben ça veut dire que ils sont tous les deux x1 y1 est sur une certaine géodésique parce que le transport se fait de l'onde géodésique l'onde géodésique on sait que phi varie linéairement et donc ça en fait c'est rien d'autre que phi de xie moins phi de y qui phi de y qui moins phi de xie carré parce qu'ils sont dans l'ensemble de transport donc phi de xie moins phi de y qui est égal à la distance de xie à y qui bon et là je suis dans la situation où j'ai des éléments delta donc je peux appliquer le fait que c'est ce que c'est cyclique carré cyclique monotone et dire que ça c'est inférieur ou égal à la somme des phi de y y plus 1 moins phi de xie carré le génie de l'affaire c'est que les phi de xie sont des nombres réels et donc là je suis ramené à 1d mais maintenant j'applique je reviens à nouveau dans l'espace de départ en utilisant le fait que phi est un ellipsis pour dire que ça c'est plus petit que la somme des distances de xie à y qui plus 1 carré et voilà comment avec ce tour de passe-passe on a déduit alors si on si si on récapitule du fait que quand on a quand on a pris l'image par phi on a obtenu un ensemble de r2 à partir d'un ensemble de x croix x la propriété de monotonie de cet ensemble de r2 allié au fait qu'on avait une fonction un ellipsis qui était saturé précisément sur l'ensemble de transport la contrainte s'atturait précisément sur ensemble transport ça nous a permis de montrer que l'ensemble de x croix x gamma si qu'on regarde ensemble transport est décaré cycliquement monotone et maintenant on applique résultats général du transport optimal avec ou quadratique c'est que cette condition garantit l'optimalité cela par des théorèmes généraux que t est optimal parce que t est porté par gamma gamma est décaré cycliquement monotone et pro théorème général sous les hypothèses très générales comme celle qu'on a avec par exemple avec un coup qui est continu savoir que lorsque la mesure jointe qu'on regarde est supportée par un ensemble décaré cycliquement monotone c'est suffisant pour savoir qu'elle est optimale maintenant vous allez dire dans quel cas est ce qu'on va savoir que le transport est chiffre monotone et dans les cas qui vont nous intéresser ici et qui vont nous intéresser on va pouvoir construire le transport en construire les mesures de telle sorte qu'on soit garantie sa garantie la monotonie si vous voulez la décomposition sera donnée on touchera pas la décomposition géodésique mais on choisira les mesures de manière très simple le long de chaque géodésique pour être sûr qu'il est monotonie et les plus simples applications monotone c'est les applications affines et donc on va choisir les applications qui seront affines avec les mêmes paramètres pour toutes les courbes gamma de sorte que quand on regardera l'application de transport dans sur n'importe laquelle de ses lignes par laquelle on a paramétré les géodésiques on verra une application affine et application affine elle est évidemment monotone donc exemple si T gamma lu dans un intervalle de r via fi restreinte à gamma s'écrit quelque chose comme t associe lambda t plus c application affine avec l'onda et c fixé alors la proposition s'appliquera plus généralement elle s'appliquera dès que j'impose un profil commun sur chacune des fibres un profil monodimensionnel commun pour le transport sur chacune des fibres si on impose un fil commun sur chacun des je vais noter ça g gamma moins 1 de gamma alors allons-y avec ça on va maintenant s'occuper de localiser la courbure et de passer d'une condition de courbure globale définie dans tout l'espace à une condition qui sera définie sur chaque géodésique localisation de la condition de courbure on va regarder dans les valeurs de fi vous allez me dire fi prend des valeurs différentes d'une géodésique à l'autre et c'est pas bien grave on va fixer une valeur commune vous allez me dire il n'y a aucune valeur commune sur laquelle on puisse se reposer on va dire que c'est pas grave on va bien trouver des intervalles de air qui fonctionnent pour l'ensemble des géodésiques et on va s'occuper trouver une quantité d'innombrables de valeurs une quantité d'innombrables d'intervalles telle que pour chaque géodésique l'ensemble des valeurs puisse être inclus dans cette intervalle alors on n'a que fi prend des valeurs variées le long des géodésiques gamma mais on peut toujours trouver une quantité d'innombrables d'intervalle il tel que disons fi prend ses valeurs dans l'un des IEL et on va partager l'espace X en une quantité d'innombrables de morceaux disjoints tel que pour chaque morceau appelons le XL et bien le transport quand on lit dans fi il se passe sur l'intervalle IEL fixé dans un intervalle AB on choisit des densités mu0 et mu1 des mesures mu0 et mu1 dont la densité par rapport à la mesure de le bague vu dans fi gamma de gamma et comme ceci comme ceci alors là j'ai ma droite mon intervalle mettons qu'ici soit A mettons qu'ici soit B et je vais tout simplement prendre deux petites fonctions du plateau ici A0 et ici A0 plus L0 A1 et ici A1 plus L1 et je vais aussi faire un choix sur l'intervalle AB je vais choisir une certaine valeur C et je vais paramétrer la géodésie gamma par le point ici dont la valeur ici il faut que je choisisse quand j'ai mon ensemble de gamma qui est dans omega il faut que je choisisse une façon de représenter les géodésies gamma la géodésie gamma je peux la représenter par le point ici dont la valeur correspondra à C et disons que c'est le représentant de la classe gamma on choisit omega alors on choisit pour représenter gamma le x tel que gamma de x est égal à C et de sorte que l'intégrale sur omega de sorte que si vous voulez omega je dis que c'est à peu près la même chose que un morceau d'une ligne de niveau de fi sous ensemble de fi moins un de C on a des géodésies qui sont là comme ça il faut bien que je trouve une façon quand je veux faire mon intégrale de les représenter plutôt que de juste dire que j'interviens un ensemble de géodésies façon commode c'est de prendre une ligne de niveau de fi c'est quelque chose qui soit si on veut transversale à l'ensemble des géodésies et de faire mon intégrale sur cette ligne de niveau je ne peux pas faire ça globalement parce que rien me dit que je vais trouver une ligne de niveau qu'on viendra globalement sur l'ensemble de l'espace mais localement une fois que je me suis réduit à travailler sur l'intervalle AB qui est fixé avec une valeur C qui va être fixée aussi à l'intérieur je vais pouvoir avoir un paramétrage de mon ensemble de géodésies par ce petit morceau d'hypersurface de ce petit morceau de ligne de niveau de fi et ça ça va nous permettre de représenter la mesure omega la mesure petite omega qui était une mesure sur un ensemble de géodésies un machin abstrait comme une mesure sur un boréliens de l'espace y qui sera juste un morceau d'une ligne de niveau de fi alors continuons le transport si je suis en dimension 1 le transport qui va de là à là il est tout bêta c'est juste une application affine qui multiplie les distances par un facteur l1 sur l0 et qui translate à 0 en A1 Tegama est une application affine bien sûr et puis qu'est ce qu'on va dire d'autre mu 0 à pour densité quoi alors j'ai pas mis les hauteurs mais il faut que ce soit des mesures de probabilité donc là la hauteur c'est 1 sur l0 et puis il faut souvenir que quand on regarde sur l'espace x il y a la mesure h gamma qui intervient donc mu 0 à pour densité 1 sur l0 1 sur h gamma de t et soit je lis ça sur r et je vois ça comme la densité par rapport à la mesure h gamma fois le bec soit je lis ça dans mon espace x et je vois ça comme la densité par rapport à la mesure de longueur portée par la courbe gamma et bien voilà mu 1 à pour densité 1 sur l1 1 sur h gamma alors j'écrit t voilà un sur h gamma au point considéré on va d'un côté ou de l'autre par l'application g gamma bon on applique le l'aime et on trouve une géodésique le l'aime donne une géodésique et qu'est ce que ça nous dit mu s pour s qu'on prie entre 0 et 1 il y a l'intégral sur omega l petit bout d'hypersurface de 1 t appartient à is divisé par ls fois la mesure de hausse d'orf restreinte à gamma fois omega de des gammas avec des mu s sur des nu aussi vous voulez des mu s sur des nu est égal à 1 sur ls h gamma du t ou ls est égal à 1 moins s l0 plus s l1 et is est égal à 1 moins s y0 plus est égal à 1 moins s à 0 plus s à 0 et puis la même chose donc on va l'écrire comme ça et où ls est égal à a s a s plus ls et a s est égal à 1 moins s à 0 plus s à 1 donc tout tranquillement se balade de manière affine le long de la géodésique ce qui est extraordinaire je dois dire dans la preuve et dont je ne suis pas revenu c'est que on ne peut pas se permettre de juste prendre un petit l0 un petit l1 ou ce qu'on veut tout ce qui va faire marcher la preuve c'est qu'on va choisir l0 et l1 bien comme il faut au cours de la preuve on les laisse libre pour jusqu'au dernier moment et après on optimisera par rapport à l0 et l1 bon j'ai une géodésique l2 comme je suis dans un espace non branchant c'est l'unique géodésique entre ses points intermédiaires espace non branchant c'est l'unique géodésique l2 entre disons nu epsilon et mu homo et epsilon quel que soit epsilon et on peut écrire les conditions de courbure on peut écrire une condition courbure pour muséo pour pour mu s et on peut désintégrer la condition et la restreindre et la restreindre localement et la restreindre localement au voisinage de géodésique à une géodésique et appliqué et si on est dans un espace ce qu'on avait noté cd étoiles cd star de kn appliqué localement la condition cd l'une des conditions cd alors elles sont toutes les trois équivalentes il y avait cd cd étoiles cde localement elles sont équivalentes globalement on ne sait pas mais localement elles sont équivalentes on prend celle qui nous arrange cd e ou cd toile ou cd et on va l'appliquer par exemple alors ça va nous donner que pour presque tout presque partout par rapport à gamma on trouve que 1 sur roue ts de gamma ts puissance insurène quand j'écris gamma ts c'est gamma évalue en ts et supérieur au égal à 1 moins s beta 1 moins s de gamma t0 gamma t1 sur roue t0 de gamma t0 puissance insurène plus s beta s de gamma t0 gamma t1 divisé par roue t1 de gamma t1 puissance insurène celle ci c'est la condition cd loc cd alors ça c'est la condition cd de kn à qu'on le reconnaît à ce que ici j'ai mis les coefficients beta et pas beta étoiles alors et cette condition là elle va être vraie disons pour t0 et t1 suffisamment proche dès que t0 moins t1 assez petit et comme je disais la dernière fois et que je répétais que je radotais le grand drame c'est que c'est pas parce que cette condition est vraie pour t0 et t1 suffisamment proche qu'on sait qu'elle est vraie pour t0 et t1 grand parce que c'est pas associé à un principe de convexité simple du genre passé de la convexité locale à la convexité globale on va appliquer cette relation aux problèmes qui nous intéressent ici roté c'est toujours démuté sur des nu dans cette écriture et on sait quelle est la densité de muté par rapport à nu c'est ce qu'on avait écrit tout à l'heure qui doit être là derrière encore voilà on a la densité de mu s c'est toujours un truc 1 sur ls h gamma de t h gamma c'est la densité le long de la le long de la géodésique et donc on va se retrouver avec une inégalité différentielle qui lit les valeurs de h gamma le long de la géodésique dans laquelle interviennent les valeurs l0 et l1 bon on va l'écrire pour s égale 1 de mi d'abord on va alors l'écrire avec ça on l'écrit juste avec s égale 1 de mi d'habitude dans les arguments de convexité suffit de vérifier que le point milieu ce qu'on porte bien par rapport aux deux extrémités et ainsi de suite et donc avec des nu s sur des nu est égal à 1 sur ls h gamma et qu'est ce que ça nous donne alors je vous dis je vous donne les étapes non je vous donne pas les étapes je vous donne directement donc voyez que là il ya un ls qui va sortir ls c'est une combinaison convex de l0 et l1 ici un l0 qui va sortir ici un l1 qui va sortir bon et le résultat ça va être h gamma de t0 plus t1 sur 2 puissance insurène supérieur ou égal à 1 de mi de beta 1 de mi de gamma t0 gamma t1 puissance insurène ça c'est notre avantage de prendre s égale en mi c'est qu'on a le même coefficient beta et puis ici je vais trouver je vais trouver 2 l0 sur l0 plus l1 puissance insurène alors qu'on est l0 divisé par l en de mi fois h gamma de t0 puissance insurène plus 2 l1 sur l0 plus l1 puissance insurène et tout ça tout ça voilà c'est comme c'est bien comme ça soit encore h gamma de t0 plus t1 sur 2 supérieur ou égal à 1 sur 2 puissance saine beta 1 de mi de gamma t0 gamma t1 fois un 2 qui va sortir donc là en fait il ya 1 sur 2 puissance n moins 1 fois l0 sur l0 plus l1 puissance insurène h gamma t0 puissance insurène plus l1 sur l0 plus l1 puissance insurène h gamma t1 puissance insurène et tout ça on prend la puissance grandaine bon une fois qu'on est arrivé là on voit que bien évidemment ça ne dépend de l0 l1 que via le paramètre theta égal l0 sur l1 disons sur l0 plus l1 et ben qu'est ce qu'on fait comme d'habitude on optimise ça par rapport à theta on prend le sup sur theta de ça tout ce qui est là bon monsieur un petit calcul habituel et une fois qu'on a fait l'optimisation et qu'on réécrit ce que ça ce qu'il en découle pour h gamma tout calcul fait on trouve h gamma de t0 plus t1 sur 2 puissance 1 sur n moins 1 supérieur ou égal à 1 demi de beta 1 demi de gamma t0 gamma t1 puissance 1 sur n moins 1 fois h gamma t0 puissance 1 sur n moins 1 plus h gamma de t1 puissance 1 sur n moins 1 je suis en train de c'est le moment de remplacer beta par les valeurs beta 1 demi de x y c'est sinus de alpha sur 2 sur 1 demi de sinus alpha tout ça à la puissance n moins 1 avec alpha égal racine de k sur n moins 1 fois distance de x y c'est la définition du coefficient de distorsion ça c'est le vrai beau distorsion de coefficient de distorsion celui qui est optimal et donc quand on regarde ce qui se passe là j'ai un demi de beta 1 demi à la puissance 1 sur n moins 1 donc le coefficient qui est ici vaut sinus de alpha sur 2 sur 1 demi de sinus alpha voilà sinus alpha sur 2 sur 1 demi de sinus alpha voilà c'est ça et cela est exactement égal donc si je ouais et ça c'est pareil que attendez que je dis pour le bêtise ouais aussi sa surface sur 2 sur 1 demi de sinus alpha voilà alors quand on avait on va comparer ça on va comparer ça à ce qu'on avait avant alors les coefficients ça c'est le coefficient k n et puis les coefficients k étoile on va écrire le coefficient k n 1 demi x y avec une étoile lui c'est un autre truc c'est sinus de racine de k sur n distance de x y divisé par un demi de ici à 1 sur 2 ici à racine de k sur n distance x y et il y a une puissance n est-ce coefficient comme on disait il est pas terrible parce qu'il ya le n le du n moins 1 mais maintenant si vous regardez le coefficient beta étoile k n moins 1 un demi ben je vais le faire juste ici n moins 1 moins 1 ici moins 1 ici moins 1 bon et quand vous prenez la puissance 1 sur n moins 1 vous retrouvez quoi et ben exactement ça autrement dit dans l'affaire qu'est ce qu'on a fait finalement en passant par cette procédure d'optimisation par rapport à l 0 et l 1 on est donc passé d'une relation avec des beta à la puissance 1 sur n qui vérifier rien de bon et beta k n la puissance 1 sur n a une relation avec des beta étoiles k n moins 1 à la puissance 1 sur n moins 1 on a gagné une dimension on a gagné une dimension et on est passé aux beta étoiles qui eux sont associés à un bon principe de localisation voilà on a gagné et beta étoile est associé à un principe local global c'est à dire si je sais ça veut dire quoi ça ça veut dire la relation h gamma de tesir au plus t1 sur 2 puissance 1 sur n moins 1 supérieur ou égale à un demi de supérieur ou égale à beta un demi étoile k n moins 1 de gamma t0 gamma t1 fois h gamma de tes alors ici une puissance 1 sur n moins 1 on se perd dans toutes ces puissances h gamma t0 1 sur n moins 1 plus h gamma de t1 1 sur n moins 1 cette relation là il faut que je mette un demi ici je dis par deux voilà cette relation là elle elle vérifie un principe local vers global si elle est vrai pour tes 0 mointer un petit alors elle est vraie globalement pour tout tes 0 t1 et donc tout le long de la géodésique je vais pouvoir écrire ça et ce qui nous a permis de faire ça c'est le fait d'avoir le l 0 et le l1 et pouvoir optimiser dessus sachant que la bonne la valeur optimale de theta theta optimale était égale à h gamma t0 sur h gamma t1 h gamma t0 puissance 1 sur n moins 1 sur h gamma t0 puissance 1 sur n moins 1 plus h gamma t1 puissance 1 sur n moins 1 ce qui veut dire qu'on a pris des ici les longueurs dépendent de la densité de la mesure telle qu'elle est de la mesure vu sur r une fois qu'on a ça une fois qu'on a globalisé la formule ben on écrit juste je vous écris juste le résultat alors d'abord je vais réexpliquer je vais écrire le résultat et expliquer encore une fois pourquoi est-ce que celle là se globalise alors que l'autre on sait pas c'est parce que celle là est associé à une équation différentielle on trouve quelque soit t0 t1 h gamma de ts puissance 1 sur n moins 1 supérieur ou égale à un moins s beta étoile k n moins 1 un moins s de gamma t0 gamma t1 h gamma de t0 puissance 1 sur n moins 1 plus s beta étoile k n moins 1 s gamma t0 gamma t1 h gamma t1 puissance 1 sur n moins 1 et ça c'est équivalent à dire que d 2 sur d t2 de h gamma puissance 1 sur n moins 1 plus qu'a sur n moins 1 h gamma 1 sur n moins 1 est inférieur ou égale à 0 là on retombe sur les formules qu'on avait rappelé dans la première séance du cours sur la façon à interpréter la courbure de ritchie ici c'est exactement ça on regarde l'interprétation donc c'est qu'on regarde le volume mais pas le volume complet le volume en dimension n moins 1 qui est transversal à direction laquelle s'effectue le transport il y a une certaine distorsion de volume qui est associé à ça cette distorsion de volume elle évolue avec le déplacement cette distorsion du volume transversal on regarde et ça se voit bien quand on regarde le donc ça s'il faut l'interpréter comme un Jacobien on regarde la puissance 1 sur n moins 1 de ce Jacobien donc c'est comme si on regardait une sorte de distorsion moyenne puisqu'on a n moins une dimension et on prend la puissance 1 sur n moins 1 et il y a une équation différentielle du second degré voilà avec la courbure apparaissant comme coefficient dans le terme d'ordre 0 de l'équation donc pour récapituler pour récapituler on s'est donné au début récapitulons on s'est donné f tel que l'intégrale de f des nus égal 0 on a construit on a construit une décomposition de nu en intégrale de nu gamma au mégade des gamma plus nu restreinte à quelque chose qui est négligeable avec intégrale de f des nu gamma égal 0 f restreint à n égale 0 à des ensembles négligeable près et cette inégalité valable pour la densité h gamma qui est des nu gamma sur la mesure de Hausdorff voilà voilà le long de gamma et on est parti d'un espace x des nu qui était cd étoiles kn non branchant ou essentiellement non branchant on est parti d'un espace toute fonction f qui est ça on peut associer une décomposition qui est bien une décomposition dans laquelle non seulement on a gardé les équilibres des masses mais en plus on a la bonne inégalité de la courbure pour ce qu'on va appeler le Jacobien même si on est dans un cas non lisse de la mesure de référence le long de chacune des géodésiques donc ça c'est ce que cavalia timondino appelle cela une cd étoiles de kn une cd étoiles kn des compositions des intégrations de la mesure si vous voulez et des intégrations ouais bon alors ça là ça résout cinq problèmes à soit tout seul ça résout cinq problèmes ouverts de mon gros livre sur le transport optimal et je vous expliquais comment ça marche donc 8 dans notre liste preuve du théorème de le vie gromov non lisse via réduction 1d et donc le grand principe maintenant ça va être chaque fois qu'on voit une égalité de se demander si on peut la ramener à une égalité monodimensionnelle contestera le long des géodésiques pour une mesure qui la mesure induite par la mesure de référence sur les géodésiques alors les vigromov ça traite d'ensemble avec une masque qui est fixée et donc on va poser f de x égale à 2x indicateuris moins alpha avec alpha égale nu de A et si on fait ça bien sûr l'intégrale de f des nu égale 0 on suppose que alpha est compris entre 0 et 1 strictement nu donc une mesure de probat vérifiant cd étoile de ka n non branchant voilà bon et on veut montrer que quand on élargit à le volume croit au moins aussi vite que le volume dans l'espace de référence et bien comme f est d'intégrale nul j'applique la décomposition donc cela revient alors on applique la décomposition et ça revient à ça revient à transporter si vous y réfléchissez ça revient à transporter nu restreinte à A sur nu restreinte à x moins A à des coefficients près qui sont sans importance donc le principe cette preuve c'est qu'on parle d'un transport élin entre l'objet et son complémentaire bon on applique la décomposition on se retrouve avec une fibration non lisse de l'espace de transport l'espace de transport on se trouve comme ça donc t est ainsi fibré en géodésique gamma et la condition intégrale de f des nu gamma égale 0 elle se traduit par le fait que nu gamma de 1 inter gamma est égal à alpha quel que soit gamma quand je regarde donc là j'ai mon ensemble A sa masse par rapport à nu c a mais en plus quand je vais regarder sur chacune des géodésiques la masse que nu gamma lui attribue ça va aussi être alpha alors ensuite je vais écrire que nu de A épsilon qui est l'élargie de A d'une distance epsilon moins nu de A c'est égal intégrale sur omega l'espace quotient de h gamma alors h gamma l1 ça correspond à la densité nu sur r de nu gamma de quoi de g gamma moins 1 de A epsilon moins h gamma l1 de g gamma moins 1 de A omega d gamma 1 j'avais déjà fait cette écriture la dernière fois ici je la reprend donc je me suis contenté de réécrire une fois que comme nu est décomposé comme une intégrale de nu gamma ben nu appliqué à un truc qui est l'indicatrice de epsilon moins l'indicatrice de A ben c'est une intégrale sur l'ensemble des géodésiques et pour chaque géodésique ben je regarde la densité de la mesure correspondante et j'applique ça à A epsilon moins A à epsilon de moins A juste intersecté par la géodésique juste coupé par la géodésique bon et maintenant donc là j'ai un ensemble de regarder l'ensemble A j'ai cet ensemble là et puis comme je l'avais dit ce qui fait marcher tout c'est que là la distance entre ça et ça c'est supérieur ou égal à epsilon ce pourrait qu'on attaque de biais bien sûr en général c'est ce qu'on va faire de sorte que distance sera plus grande que epsilon mais ça ça correspondra à un élargissement de ça lu dans la géodésique qui sera de taille supérieur ou égal à epsilon bon et donc ça c'est supérieur ou égal à l'intégrale sur omega de si vous voulez h gamma l1 de lui écrire ça b epsilon moins h gamma l1 de b bon évidemment l'élargissement est encore plus grand et donc ici j'ai majorer en mettant juste l'élargissement égal à epsilon et là je me retrouve ici j'ai une intégrale sur gamma pardon j'ai fallu que je mette là il faut que je mette aussi oui non c'est une mesure tel qu'elle est indiquée donc ça c'est une si vous voulez ça c'est une mesure sur gamma et ça c'est la même mesure donc je suis en train là à l'intérieur de l'intégrale de regarder juste le bête problème isopérimétrique enfin le problème de lévi gromov en dimension 1 bon vous imaginez bien que c'est la dimension 1 je vais pouvoir le résoudre explicitement c'est pas tout de suite immédiat alors sur chaque géodésique c'est minoré à la lévi gromov en dimension 1 avec une mesure dont l'hypothèse c'est que ben elle vérifie cette inégalité et je vais vous dire qu'on résoudre ça explicitement donc on va dire que c'est supérieur au égal à l'intégrale sur omega de la fonction isopérimétrique en dimension 1 on va noter ça comme ça nk de alpha omega de d gamma et puis je vais mettre ici oui il faut une fois epsilon quelque part alpha epsilon ça c'est ensemble de taille de taille alpha qu'on élargit des epsilon voilà omega d gamma et c'est le même truc qu'on va retrouver partout à l'intérieur donc ça sera la même chose que i1 nk de alpha et epsilon voilà profil isopérimétrique 1d alors profil isopérimétrique 1d tout ce qu'on a besoin c'est de savoir c'est ça pour une mesure disons lambda sur r tel que si je pose h égale d lambda sur d l1 sur la mesure de le beg ben j'ai d2 sur dt d2h sur dt2 plus k sur n moins 1 alors ça c'est puissance 1 sur n moins 1 h puissance 1 sur n moins 1 est inférieur au égal à 0 bon alors on peut appliquer pour le coup facilement la méthode qu'on avait vu la première fois dans le cadre lisse si tout est lisse là c'est beaucoup plus simple on n'a pas besoin d'acquisibilité tout ça les ensembles optimaux c'est juste d'intervalle la frontière c'est deux points alors il y a juste un truc à comprendre c'est que h est pas forcément lisse mais on peut toujours régulariser qui t'a remplacé h par h epsilon qui va être h puissance 1 sur n moins 1 convolez avec une approximation de l'identité au sens des distributions et tout ça la puissance n moins 1 on prend ça bien sûr plutôt que de bêtement convolez h avec par une approximation d'identité parce que c'est h puissance 1 sur n moins 1 qui vérifie une égalité différentielle linéaire et donc ça passera à travers la convolution sans la moindre difficulté on qu'on régularise on se ramène à un problème lisse après on a tout ce qu'on veut alors on a tout ce qu'on veut et on peut le comparer à la mesure de référence ben mesure de référence on a envie de dire que c'est ce qui va donner l'égalité là dedans quand je résume ça qu'est-ce que ça va me sortir ben la puissance 1 sur n moins 1 bien sûr ce sera un cocinus et on va trouver l'ambdate des x mesures de référence l'ambdate des x égal à un cocinus et puis je prends la puissance n moins 1 cocinus n moins 1 racine de k sur n moins 1 x d x bon ça c'est ce qui on obtient quand on fait le cas d'égalité là dedans mais ça on reconnaît on reconnaît c'est rien d'autre que la mesure de volume de la sphère projeté sur un axe vertical qui passe par le centre de la sphère autrement dit on est en train de comparer on est en train de comparer si on veut tranche par tranche il faudrait imaginer que si ça serait un truc comme ça que l'un de niveaux de fils serait comme ça on est en train de comparer tranche par tranche notre ensemble à un sous ensemble de la sphère alors voilà voilà pour les étapes de la démonstration très vite un petit point sur la rigidité rigidité et diamètre rigidité et diamètre jusqu'ici l'hypothèse était cd étoile de kn non branchant essentiellement non branchant pour la rigidité pour les cas d'égalité on suppose plus et plus c r cd étoile kn je rappelle que la différence entre cd étoile et r cd étoile c'est que dans le cas de r cd étoile on impose en plus que ça soit Jean-Rymanien et que l'espace de ce boulet fw 1 2 soit un hilbert et si on veut faire les cas d'égalité quitte à redimensionner quitte à faire un risque ligne quitte à redimensionner supposons que k est égal à n-1 alors voici le théorème qui est vraiment très net si x est un espace r cd étoile n-1n avec n supérieure égal à 2 sinon c'est une guerre d'intérêt et qu'il existe alpha appartenant à 0 à 1 tel que i de alpha profil isopérimétrique dans l'espace x est égal à la fonction isopérimétrique dans l'espace x est égal à i n-n de alpha ici c'est la fonction isopérimétrique pas définie par élargissement mais par surface en passant à la limite quand epsilon tend vers 0 alors d'abord la fonction isopérimétrique de x est égal à la fonction isopérimétrique de référence n-n identiquement donc il y a égalité pour tous les alphas et l'espace x est une suspension comme on dit c'est un truc qu'on va se représenter comme ça on prend l'intervalle 0 pic est là et on fait le produit avec une fonction sinus se produit de alors le mot anglais c'est warping mais j'avoue que je sais pas quel est le mot français produit tordu je pense c'est une fonction de torsion ou quelque chose comme ça donc sinus et puis ici avec une un exposant n-1 fois un espace y qui va être fixé donc si vous voulez on met bout à bout des copies de y qui sont dilatées d'un facteur qui dépend de la hauteur sur la sur 0 pi le facteur c'est un sinus si on met dessus une mesure qui par rapport à la mesure produit à une densité sinus puissance n-1 bon et en plus l'ensemble ensemble a qui vérifie les cas d'égalité pourra s'écrire 0 r croix y pareil avec la même la même torsion du produit autrement dit on a le théorème complet qui nous dit que non seulement non seulement il a la régilité est très particulière elle se produit que pour des trucs qui ressemblent à des cas d'autre sphérique cet énoncé est beaucoup plus élaboré que le précédent les cas d'égalité et demande théorème délicat dit de diamètre maximale qui vous dit que quand vous regardez cône et si vous trouvez deux points qui sont pardon qui vous dit quand vous regardez un espace rcd étoile kn et que vous trouvez deux points qui sont à la distance maximale dans le cas ici n-1 n pour les deux points qui sont à distance pi alors l'espace est une suspension comme ça donc c'est un dans un élève de ch'tourne qui a démontré ça il s'appelle quai terreur et le théorème est délicat ce théorème lui-même repose sur la caractérisation des espaces rcd étoiles n-1 n en termes de cône donc ce théorème je vais écrire là l'enchaînement quand même qui parce qu'il est intéressant donc ça utilise le théorème du diamètre maximale qui dit que si vous avez un espace x qui est rcd étoile n-1 n et qu'il existe xy telles que distance de xy égal pi alors x est une suspension donc quai terreur ce théorème à son tour utilise un autre théorème qui dit que si x est rcd étoile de n-1 n ben c'est pareil que de dire que le cône sur x est rcd étoile 0 n plus 1 et il utilise aussi le théorème de le théorème de splitting non lisse de gilet alors comment ben si vous savez quel espace est comme ça vous regardez son cône et son cône il est rcd étoile 0 n plus 1 donc les courets positivement dimensionnent plus 1 mais d'autre part s'il ya deux points qui sont à distance pi quand vous regardez la distance du cône ça veut dire qu'il y a une droite complète dans votre espace de la même façon que quand vous regardez un cône comme ça quoi mettons que vous regardez un cône basé sur basé sur un segment dire que vous trouvez deux points à distance maximale c'est dire que vous avez les deux points qui sont à l'opposé l'un de l'autre et quand vous faites votre cône vous allez avoir l'espace tout entier si vous voulez là j'ai expliqué un peu de manière dégoutante mais c'est l'idée les deux points vont se retrouver si vous voulez l'un à l'opposé de l'autre et il y aura toute une droite dans le cône qui passera par là et maintenant le théorème de splitting vous dit que s'il ya une droite minimisante infinie alors vous pouvez factoriser par cette droite et donc vous allez factoriser le cône par votre droite et l'espace factorisé l'espace par lequel vous factorisez l'espace base il vous servira à construire la suspension qui est ici alors ça c'est un théorème difficile ça c'est un théorème difficile et ça c'est aussi un terme difficile donc on a là trois théorèmes assez sophistiqués qui viennent les uns sur les autres et qui servent à éterminer les cas d'égalité et c'est un problème intéressant de savoir si l'ensemble ne peut pas être simplifié bon dernière chose les généralisations alors je lui ai dit qu'il y avait plein de problèmes ouverts qui étaient résolus avec ça et donc je vais juste les lister et vous expliquer et vous expliquer pourquoi alors on avait à un moment je vous avais fait une liste d'inégalité fonctionnelle d'inégalité avec des mesures avec des ensembles et tout ça généralisation alors l'une des inégalités est fondamentale c'est Brunminkowski je dirais que les deux inégalités gémetrie qui capture le mieux la courbure au sens volume distance c'est Levi Gromov et Brunminkowski et Brunminkowski ça vous dit que quand vous regardez la mesure de l'interpolé authenté entre deux ensembles A0 et A1 à la puissance 1 sur n c'est supérieur au égal à 1 mointé x1 des béta un mointé kn de x0 x1 pour x0 x1 appartenant à 0 croix 1 tout ça à la puissance 1 sur n nu de A0 puissance 1 sur n plus un machin similaire avec un nu de A1 à la puissance 1 sur n à la fin bon et ce que montre avec cette avec la même technique cavaletti mondino dans un autre article c'est que même si on part du CD étoile de KN donc avec les coefficients sous optimaux beta étoiles et bien on arrive à démontrer c'est une guérité de Brunminkowski et coefficient optimaux c'est-à-dire les beta si x des nu vérifie cd étoiles KN non branchant alors il vérifie Brunminkowski avec les bons avec les coefficients optimaux beta KN ce qui suggère ce qui est un encouragement à supposer que en fait les cd étoiles et les cd c'est les mêmes dans le cas de non branchant qui apparaît un peu comme l'un des derniers gros problèmes ouverts pour compléter le tableau dans l'affaire comment ils font comment ils font ça et bien vous avez à 0 à 1 bon qu'est ce qu'on va prendre comme fonction f ben f égale indicatrice de A0 divisé par nu de A0 moins un indicatrice de A1 divisé par nu de A1 et ça c'est d'intégral nulle et donc on déroule la machinerie ça nous donne plein de bonnes géodésiques dans lesquels le transport optimal l1 va s'effectuer pour envoyer si on veut la masse de A0 dans la masse de A1, la masse normalisée de A0 dans la masse normalisée de A1 et on va regarder sur chacune de ces géodésiques on va avoir aussi une notion d'espace interpollé un problème de Bruninkowski en dimension 1 et on va ça va nous donner une mesure donc se ramène se ramène à un Bruninkowski en dimension 1 ça n'a pas donné des informations sur l'interpollé de A0 à 1 mais ça donnera des informations sur un ensemble plus petit donnera des infos sur nu de on va noter ça avec un prime t c'est à dire seulement les interpolations en suivant les géodésiques gamma et pas n'importe quel géodésique par exemple parmi les points milieux je regarderai celui ci, celui ci, celui ci mais je ne m'intéresserai pas au point milieu entre ça et ça je suis en train de regarder sur un ensemble beaucoup plus petit à priori mais c'est ensemble beaucoup plus petit s'il est déjà assez gros c'est que le gros ensemble est encore plus gros qui est a priori plus petit que ce qu'on cherche et donc ça va dans le bon sens donc ça c'est Bruninkowski ensuite quoi ah truspectral truspectral on aime bien alors pour courser les choses non seulement on va faire le truspectral l2 mais on va faire le truspectral lp truspectral inf regardons inf de l'intégral des gradients u puissance p des nu sur l'intégral de u puissance p des nu parmi tous les u disons lipschitz et lp tels que l'intégral de u fois u puissance p moins deux des nu est égal à zéro généralisation du problème du truspectral quadratique habituel bon et ben exactement pareil cette fois on prendra f égal u fois u puissance p moins deux problème vous montre vous donne une fonction intégrale nulle et ben voilà c'est là qu'on va prendre et nouvelle interprétation si on veut du truspectral comme étant qu'on est en train de majorer des accroissements de des variations le long d'un ensemble de géodésique bien particulière celle qui corresponde à un problème de transport l optimal entre la partie positive et la partie négative modulo des puissances de la fonction qui nous intéresse alors pourquoi ça marche donc pas si on veut là je représente ça comme f plus nu et ça comme f moins nu si on veut donc on va se retrouver avec des géodésiques et tout ça et ça marche donc à chaque fois il faut comprendre pourquoi le problème multidé et jamais pire que le problème 1d et ici la raison c'est parce que quand je regarde le gradient u c'est toujours supérieur au égal à u prime qui va être la dérivé dans la direction de gamma quand je regarde des accroissements c'est que dans la direction de gamma que je vais faire des différenciations ça va me faire dériver dans une direction au lieu de un certain nombre et donc l'inégalité sera sera pas sera pas pire bon alors après qu'est ce qu'on peut faire ce bolèf avec ce bolèf ou avec le truspectral on est sur des problèmes qu'on savait même pas traiter qu'on savait pas traiter par transport même dans le calice c'est plus là les questions de subtilité entre bêta et toi les bêta au qui c'est quoi même sur une variété rimanienne chaque fois qu'on essaie de traiter par transport il y avait une constante qui plantait bon alors ce bolèf disons quelque chose du genre alors il ya une famille d'inégalité dans laquelle ça serait un alpha dépendant de p dépendant de q divisé par p moins q et on veut trouver la meilleure constante alpha avec intégrale de u puissance p dénu mettons h puissance p dénu q sur p moins l'intégrale de h puissance q dénu quand est-ce que tout ça est inférioregal intégrale de gradients h puissance q dénu bon et trouver le meilleur alpha dépendant de de bornes cdkn et si on veut voir du diamètre bon alors et ben pareil on retrouve les constantes la constante optimale on trouve la constante optimale pour ça pour tout p pour tout q et ce qui va cette fois servir de fonction f cf égale en moins u puissance p divisé par intégrale de u puissance p dénu ce qui veut dire quand vous dirait fait chisser qu'on est en train de transporter les valeurs de transporter l1 les valeurs u supérieure ou égal à norme de u lp vers u inférieure ou égal à norme de u lp on est en train de séparer les valeurs de u selon qu'elles sont plus grandes ou plus petites que la norme lp de u est transportée donc on regarde la mesure nu conditionnée au premier ensemble ça nous fait une mesure on regarde l'autre mesure on transporte l'une sur l'autre ce qui est réminissant de la preuve du d'une preuve de une égalité de point carré par ray à la très très belle preuve d'une égalité de point carré l1 habituel dans laquelle on prend une médiane de la fonction u et on transporte les valeurs plus petites que la médiane vers les valeurs plus grandes que la médiane et si on veut cet argument c'était un peu la variante pour p égale 1 de ce truc là voilà dernière chose aussi ce boulef logarithmique ce boulef logarithmique marche aussi et cette fois ça sera juste f égale h moins 1 qui est d'intégral nulle si on écrit sur la forme l'une égalité sur la forme intégrale de h logage des mules inférieure ou égal etc bon donc le plus le choix le plus simple qu'on veut le choix le plus simple en un certain sens et voilà donc ceci règle si l'on veut tous les problèmes en tout cas avec tous les problèmes qui avaient été identifiés comme ouvert dans les inégalités dans la dimension dans la dépendance des inégalités en la dimension on va dire et en particulier le fait qu'il y avait systématiquement une dimension qui manquait avant d'avoir l'optimalité ceci permet d'avoir aussi des théorèmes d'urgilité associés d'avoir aussi des théorèmes de stabilité maintenant dans un cadre où on sait qu'on a de la convergence d'astabilité par grommet fausse dorf on va pouvoir démontrer des choses telles que par exemple il s'amuse à faire ça montrer que si dans l'inégalité de trousse spectrale ou dans l'inégalité de point carré pq on est proche de la valeur limite alors dans un certain sens l'espace est proche d'être une suspension dans laquelle il y aura égalité dans le théorème et pour le commentaire final bon donc tous ces problèmes d'ouvert sur les constantes ça va résolu il y a une question qui reste qui est un peu agaçante c'est cette histoire de cd cd étoiles les coefficients beta c'est une question qui est de dimension plus grande si on veut parce que là toutes ces inégalités elles se ramènent on veut bien croire à des problèmes dimension 1 qui t'a regardé une fonction mais là il s'agit de regarder toutes les coefficients ça pourra jamais se ramener à une juste une inégalité sur une fonction et on peut-être que c'est pas la fin de l'histoire en particulier sur les liens entre l1 et l2 et peut-être que il y a une autre décomposition analog à trouver dans le cas où une dans le cas juste de la d'une optimisation l2 théorème de perturbation de kaffarelli est aussi quelque chose qu'on peut remettre sur le tapis maintenant qui a cette bonne compréhension du théorème de les vigromov voilà bon et bien voilà on a bien travaillé pas de questions tout va bien voilà là c'est la dernière la dernière garde voilà très bien