 Let's start the afternoon. Yes my friends, let's start the afternoon. This afternoon, as the same as the whole conference, we'll be making some of the themes that Poincaré liked a lot. This afternoon we'll hear about analysis and geometry. We'll hear about arithmetics. We'll hear about probability with a lot, with many young speakers starting with Ludovic Riford from Université de Nice and Institut Universitaire de France telling us about the lignes de partage nowadays called cutlocus, but much more elegant in the old days of lignes de partage and the convex earth theorem. Thank you. So first I would like to thank the organizers for the invitation. I'm very pleased and honoured to participate in this conference in honor of Henri Poincaré. So I had a difficult choice to make ever to give a talk in English or in French and so I decided to do both. I'm going to give a talk in French but with English slides. So I apologize to those who don't speak French very well but I'm sure they will understand what I'm speaking about. So I would like to talk... Donc je voudrais parler d'un papier qui a publié Henri Poincaré en 1905 dans les transactions de l'IMS. Donc ce papier s'intitule sur les lignes géodésiques des surfaces convex. Donc Poincaré explique dans l'introduction, comme vous pouvez le voir, qu'il a eu à faire face à étudier les particularités des solutions du problème des trois corps et donc il se propose ici d'étudier un problème plus simple qui contient quand même quelques-unes des difficultés du problème des trois corps. Donc il se propose d'étudier le problème des lignes géodésiques sur les surfaces convex. Donc c'est un problème de dynamique amyltonienne dans lequel on a moins de liberté dans lequel on n'a pas de point d'équilibre et dans lequel on n'a pas par exemple le phénomène de collision. Pardon ? Donc je vais juste dire que Poincaré, ici, s'est dit qu'il était concerné avec l'étudie du problème des trois corps et donc il a dû faire face à un nombre de problèmes différents sur ce problème. Et donc il propose d'étudier un problème plus simple qui est le problème des lignes géodésiques sur les surfaces convex. Et donc dans ce problème, on peut trouver des problèmes qui apparaissent dans le problème des trois corps mais pas tous les lignes géodésiques. Donc je dis que par exemple dans le problème des lignes géodésiques sur les surfaces convex, on n'a pas de collision, on n'a pas de point d'équilibre et on n'a plus de liberté de lignes géodésiques. Donc c'est pourquoi il explique qu'on pourrait étudier un problème simple qui est plus simple. Pour comprendre, il y a peut-être quelques points qui semblent qu'il y a des problèmes dans le problème des trois corps. Donc il explique que Jacques Adamard a étudié un problème des lignes géodésiques sur les surfaces avec des négatives ou des lignes géodésiques. Et donc il dit ici que dans sa opinion le problème des trois corps est plus concernant avec des lignes géodésiques sur les surfaces avec des lignes géodésiques. Donc c'est pas si clair parce qu'on peut trouver les deux phénomènes, les phénomènes de lignes géodésiques et négatives. Donc de toute façon Poincaré propose de étudier ce problème. Et donc les papiers sont concernés avec deux choses. Le premier part du papier est étudier ce qu'il appelle l'indepartage. Et dans le deuxième part qui n'est pas il étudie l'existence des lignes géodésiques sur la sphère, la sphère two-dimensionale. Donc en fait j'aimerais parler du problème de lignes géodésiques. Et j'aimerais vous dire la histoire de lignes géodésiques qui se sont mis en place et pour continuer la histoire que Poincaré a commencé dans ce papier. Il a éprouvé quelques factures sur les lignes géodésiques up to now where we are still facing a lot of problems concerning the lignes de partage. So that's the point of his talk. Ah, sorry. So now I'm speaking in French I'm very sorry. Donc comme vous avez peut-être pu le remarquer, ce papier comme vous avez pu le remarquer en note de bas de page ce papier en fait est issu d'un exposé qui a donné Henri Poincaré donc le 17 septembre 1904 à Saint-Louis. Donc je me suis interrogé sur le pourquoi de cette exposé à Saint-Louis en 1904. Donc en fait pour la petite histoire le 17 septembre est un samedi pas très intéressant mais ce jour là Poincaré donnait un exposé dans le cadre de la 11ème conférence de l'AMS qui se tenait les vendredis et samedi 16 et 17 septembre 1904 à Saint-Louis. Mais en fait Poincaré n'avait pas fait le déplacement spécifiquement pour cette conférence. A l'époque la société mathématique américaine regroupait moins de 500 membres 50 personnes se sont déplacées à Saint-Louis pour insister à l'exposé de Poincaré bien sûr il y avait d'autres speakers mais l'audience était assez réduite Poincaré venait à Saint-Louis cette année là pour participer à une conférence bien plus importante qui aura lieu la semaine suivante à Saint-Louis même. Parce qu'en fait l'année 1904 est une année très importante pour les Etats-Unis comme vous le savez en 1803 Napoléon a vendu la Louisiane aux Etats-Unis en 1804 la Louisiane est devenue un territoire américain à part entière et donc en 1904 le gouvernement américain a décidé de commémorer en grande pompe le centenaire de l'achat de la Louisiane à la France. Donc il a été décidé d'organiser tout un nombre de manifestations en Louisiane et en particulier à Saint-Louis. Donc cette année là en 1904 Saint-Louis accueillera les Jeux Olympiques accueillera une exposition universelle et quelqu'un a également demandé aux sociétés savantes d'organiser des conférences afin de faire rayonner la science américaine et d'organiser et de faire venir les plus grands scientifiques du monde à cette époque. Donc c'est comme ça qu'a été organisé une conférence qui s'intitulait International Congress of Hearts and Sciences donc dans la conférence à laquelle participait 10 000 personnes donc de nombreux scientifiques furent invités et donc la conférence était divisée et donc dans la section mathématique voilà le plateau qui avait été réuni qui représente la fine fleur des mathématiens de l'époque comme vous pouvez le remarquer en fait la star c'était Poincaré il y a 3 Français Picard, Darbou, Poincaré c'est peut-être dû au fait qu'on commémorait le centenaire de l'achat de la Louisiane à la France Pardon ? Oui Boltzmann c'est bien, c'est très bien aussi Boltzmann il n'y a pas d'Allemands et en fait vous pouvez remarquer vous ne le savez peut-être pas parmi tous ces gens là un seul a fait sa thèse aux Etats-Unis je crois que c'est Cassner bien que tous bien que 2 ou 3 d'entre eux sont américains Boker est américain, Pierpont est américain et donc à cette époque les américains venaient en Europe à Guttingen en particulier pour faire des thèses avant d'entraîner aux Etats-Unis voilà donc ça c'était pour la petite histoire et donc Poincaré a donné un exposé dans le cadre de la conférence qui portait sur les lignes géodésiques des surfaces convex une semaine plus tard le samedi 24 il donnait un deuxième exposé plus grand public qui s'intitulait l'état actuel et l'avenir de la physique mathématique et comme vous le savez peut-être c'est dans cet exposé qu'il a employé l'expression principe de relativité et donc il a parlé de ce qui pourrait être fait en physique un an avant le papier célèbre de Einstein de 1905 voilà donc là j'ai trouvé une photo de Poincaré en Amérique et là c'est une photo de l'exposition universelle de Saint-Louis de 1904 voilà donc revenons à mon bouton donc ce dont je vais vous parler c'est l'étude des lignes de partage faite par Poincaré sur les surfaces convex donc Poincaré se donne une surface analytique convex qu'il suppose à courbure strictement positive c'est à dire qu'en tout point le produit des courbures principales est strictement positive d'accord donc c'est quelque chose qu'on doit visualiser comme ça dans l'espace il y a 3 dimensions et donc il va proposer d'étudier sur ce type d'objet ce qu'il appelle les lignes de partage alors vous verrez que par la suite en fait on peut étendre son étude on peut étendre ce qu'il va définir à toute dimension à tout ce qu'on appelle les paraîtaires humaniennes donc allons-y donc lorsque vous avez cette surface donc qui vit dans l'espace ambiant P3 si vous vous donnez 2 points vous pouvez définir ce qu'est la distance ici entre 2 points P et Q qu'est ce que c'est c'est l'infimum des longueurs des courbes que vous pouvez tracer sur S pour aller de P à Q d'accord donc c'est ce qu'on appelle la distance géodésique sur la surface S et cette distance va être atteinte par un chemin il sera le plus court chemin pour aller de P à Q et ce chemin va satisfaire à ce qu'on appelle l'équation géodésique qui dans ce cadre là prend cette forme là d'y arriver seconde étant tout point orthogonal à l'espace tangent à la surface là où vous êtes d'accord donc de cette manière vous construisez des courbes qui minimisent la distance entre 2 points et dont la vitesse a une norme constante d'accord donc ayant définit cette distance géodésique on va pouvoir commencer on va pouvoir définir ce que Poincaré appelle les lignes de partage donc Poincaré dit la chose suivante soit OM une géodésique quelconque passant par O on pourra trouver sur cette géodésique un point P à partir duquel la géodésique ne sera plus minimisante donc ok donc en commençant avec un point qui est donné O on regarde une géodésique en commençant avec une vitesse initiale on dirait V avec une norme unique ok et donc pour chaque fois T vous êtes en dessous de la surface de la surface donc pour un petit temps la géodésique est minimisée entre ses endpoints pour un petit temps T vous savez que la courbe plus courbe de O pour l'instant est cette courbe donc peut-être après un peu de temps vous ne pourrez pas minimiser plus entre les endpoints de la courbe pourquoi ? parce que depuis que vous êtes sur une surface compact vous savez que cette surface a un diamètre et donc pour un très grand temps votre géodésique ne peut pas être minimisé ok, cela signifie que pour chaque vitesse initiale il y a un premier point entre la géodésique qui est P à ce point il y a un autre géodésique avec une même vitesse qui se termine au point P ok et donc point carré s'appelle l'indepartage donc dans ce slide donc c'est la partie du papier de point carré il donne plusieurs proportées du set de l'indepartage j'aimerais juste parler de deux de eux le premier c'est le premier c'est le premier c'est le premier c'est le premier c'est le premier c'est le premier le premier c'est le premier l'ensemble des lignes de partage ne divise pas la surface S en deux régions qui signifie que le complément de l'indepartage est connecté ok et le second c'est le premier l'ensemble des lignes de partage ou une partie de ces lignes ne peut donc jamais constituer un polygon fermé vous ne pouvez pas avoir un curve dans le set de l'indepartage et c'est vraiment un type de cisterbra un type de tricot et puis vous étudiez ce qui se passe quand vous faites un limites de points qui belongent à ces tricots et qui convergent à un end d'un tricot et donc il dit que représenteront alors les extrémités des rameaux donc appelons R l'extrémité au point R nous aurons des chemins qui se confondront en un seul il explique que à la fin des tricots les points seront des points conjugés donc vous avez votre surface donc là ce qui est représenté en noir c'est l'ensemble des lignes de partage vous vous êtes fixé un point O comme je vous ai dit tout à l'heure pour chaque point de l'ensemble noir nous savons qu'il existe deux courbes géodésiques entre O et ce point donc ce que nous dit point carré c'est que cet ensemble S il ne divise pas la surface en deux composantes effectivement je pourrais toujours si je prends deux points hors de l'ensemble noir construire une courbe qui ira du premier je passe par O je prends la géodésique minimisante entre le premier point et O je sais qu'elle ne passe pas par le cut par les lignes de partage et ensuite je prends une courbe géodésique minimisante entre O et le deuxième point de cette manière l'ensemble noir ne peut pas diviser l'ensemble aux deux composantes ce que nous dit également point carré donc c'est qu'on a affaire à un arbre je reviendrai là dessus plus tard et il nous dit aussi que les extrémités des feuilles de notre arbre tout à l'heure c'était R maintenant je me suis trompé je l'ai appelé Q donc si je prends un point Q qui est à l'extrémité d'une des feuilles qu'est-ce que ça signifie ça signifie que je peux construire des points R aussi proches que je veux de Q et qui sont sur les lignes de partage pour chaque point R j'ai deux courbes géodésiques minimisantes qui vont de O à R quand ces points R vont converger vers Q les deux géodésiques vont converger l'une vers l'autre et ils vont faire de Q un point conjugé qu'est-ce qu'un point conjugé un point conjugé c'est un point quel que vous prenez la géodésique à long de O à Q minimisante vous perturbez un peu la vitesse initiale vous transformez la vitesse V initiale en V plus delta V à l'arrivée au temps P correspondant à la longueur la géodésique vous avez effectué un déplacement en espace qui est de la forme delta V au carré si vous voulez donc là, point carré nous donne un certain nombre d'informations sur les lignes de partage et donc nous on va continuer cette histoire et raconter un peu différents types de propriétés qu'on peut obtenir alors en fait aujourd'hui on ne parle plus de lignes de partage comme la dissédrique tout à l'heure on parle de cutlocus le cutlocus est défini en fait comme l'ensemble est en union des lignes de partage et de leurs extrémités c'est-à-dire en fait l'adhérence des lignes de partage c'est aussi le cutlocus donc c'est un objet qui a été introduit par Wackhead en 1935 et donc je vous fais remarquer que les définitions que je viens de donner s'étendent en toute dimension en toute dimension vous pouvez définir la notion de lignes de partage dire que étant donné un point O fixé il s'agit de l'ensemble des points P pour lequel j'ai au moins 2 géodésiques minimisantes pour aller de O à P et définir alors le cutlocus comme l'adhérence de cette ensemble alors donc à partir du papier de 1935 de Wackhead donc c'est ce papier donc un certain nombre de gens ont travaillé sur le cutlocus alors cette liste n'est absolument pas exhaustive j'ai mis quelques noms alors par exemple Arnold n'apparaît pas parce qu'il n'y a pas spécifiquement travaillé sur le cutlocus mais j'aurais pu peut-être indiquer son nom donc en fait si vous regardez cette liste on peut distinguer 3 groupes de mathématiciens les 3 premiers et Klingenberg sont plutôt des géomètres topologues donc ce sont des gens qui ont cherché à relier les propriétés topologiques du cut, à des propriétés géométriques de l'espace sur lequel ils travaillaient des choses comme ça Einstein fait aussi partie de cette catégorie ensuite les gens comme Tom Gluckseinger, Buchner, Wohl Jumdin, Mazer sont des gens qui s'intéressent plutôt aux singularités c'est à dire que comme on va le voir le cutlocus c'est un ensemble qui est très peu régulier il peut être assez boche donc on peut se demander est-ce que génériquement ou est-ce que dans des bonnes situations est-ce que par exemple pour des surfaces analytiques qui ont certaines bonnes propriétés de régularité est-ce qu'on peut dire quelque chose sur les singularités de ces ensembles-là donc c'est à ce genre de choses que ça intéresse les singularistes, Tom, jusqu'à Mazer et ensuite il y a un 3ème groupe qui correspond peut-être plus aux analyses dont je fais partie cédric également donc qui s'intéresse au cut à travers ces propriétés analytiques et surtout à travers le fait que la régularité du cut va être liée à la régularité de solution de Dp auquel il s'intéresse donc c'est par exemple le cas de Li et Nirenberg voilà donc reprenons notre travail sur le cut alors il peut être utile de visualiser le cut non pas sur la surface comme je l'ai fait jusqu'à présent donc on a un point A à la surface donc je reprend ma surface je fixe mon point A en ce point A j'ai un espace tangent qui est dessiné ici et maintenant en utilisant l'application exponentielle je vais pouvoir représenter ce cut dans l'espace tangent donc je me donne un vecteur tangent unitaire V donc comme je l'ai dit tout à l'heure lorsque j'ai un point A en O cela définit de manière unique une géodésique partons de O avec une vitesse V que je suppose de norme 1 donc cette géodésique je vais la dessiner sur ma surface à un moment elle va toucher le cut elle va taper l'adhérence des lignes de partage c'est à dire ici l'ensemble noir le premier temps pour lequel cette géodésique tape le cut je peux le représenter de cette manière je prends le vecteur V bleu ici de norme 1 qui est multipli par cette distance cela me donne un vecteur rouge ici je fais cela pour chaque vecteur V bleu je dessine de cette manière un ensemble qui est en fait un bord ensemble qui est la ligne noire qui correspond à l'image de chaque vecteur V bleu que je peux prendre en O en fait ce qui se passe c'est que l'image par l'application qui envoie un vecteur vitesse initial à son point arrivé va être l'image qui envoie le bord l'ensemble noir sur le cut ici si vous voulez l'ensemble noir donc je prends par exemple ce vecteur rouge je prends la géodésique commençant en O avec le vecteur vitesse initial le vecteur rouge autant 1 cette géodésique va se retrouver sur l'ensemble noir donc l'image autant 1 de toutes les vitesses de l'ensemble noir c'est le cut sur l'espace tangent et l'exponentiel replie l'ensemble noir sur le cut donc en fait ce qu'on a défini ainsi l'ensemble jaune et l'ensemble noir l'ensemble jaune c'est ce qu'on appelle le domaine d'injectivité en O et l'ensemble noir c'est ce qu'on appelle le cut locus tangent parce qu'en fait c'est le cut locus visualisé dans l'espace tangent vous verrez par la suite que c'est vraiment utile comme représentation parce qu'on va pouvoir parler de régularité du cut donc ça voudra dire régularité du cut vu dans l'espace tangent est-ce que cette application se grave de fonction en fait en polaire est-ce qu'il aura une certaine régularité voilà c'est ça qui va m'intéresser par la suite alors comme le dit point carré d'ailleurs dans son article on peut définir un système de coordonnées polaires en O l'ensemble jaune par l'application exponentielle est envoyé sur le complémentaire du cut de telle manière que si je me prends un point sur la surface qui n'est pas dans le cut je peux le représenter de manière unique par une vitesse dans l'ensemble jaune ce qu'on appelle les coordonnées polaires de M en O donc je peux faire ça pour tous les points sauf pour les points de l'ensemble noir parce que les points de l'ensemble noir sont par exemple des points des lignes de partage et là il se pourrait que j'ai 2 vitesses qui ont la même image lorsque je les regarde à travers l'application exponentielle voilà alors maintenant on a défini la distance à ce qu'on appelle le cut locus on peut faire la même chose pour ce qu'on appelle le conjugait locus donc rappelez-vous tout à l'heure je vous ai dit que une vitesse ou un point était conjugué si cette vitesse quand on l'a perturbé de manière infinitive les vitesses proches étaient envoyées au premier ordre sur le même point donc on va pouvoir définir de cette manière la distance donc au temps conjugué je prends une vitesse unitaire et je regarde le premier temps pour lequel les géodésiques proches ont tendance à se refermer sur la géodésique que je considère par exemple comme point carré considère des surfaces à courbures strictement positifs ce phénomène va toujours se produire pour toute vitesse v pour toute vitesse v il existera un temps pour lequel j'ai un phénomène de focalisation c'est à dire les géodésiques ont tendance à un même point pour un certain tenté de la même manière précédemment je visualise ce tenté dans l'espace tangent en multipliant la vitesse considérée par et ça me définit le graphe d'une application que j'appelle distance au lieu conjugué d'accord et lorsque je regarde maintenant l'image de ce graphe violé ici par l'application exponentielle qui envoie une vitesse sur un point d'arrivée cela me dessine ce qu'on appelle la première caustique d'accord il y a ce genre de forme voilà et donc la différence fondamentale entre donc l'ensemble rose c'est ce qu'on appelle le domaine non focal et l'ensemble violé c'est ce qu'on appelle quête locus conjuguette locus tangent parce que ça correspond à la première caustique visualisé dans l'espace tangent on aurait pu l'appeler première caustique tangent voilà alors la différence fondamentale entre les domaines non focaux et ce que j'ai défini précédemment c'est que les domaines d'injectivité dépendent de la structure globale de la surface sur laquelle on travaille d'accord c'est à dire qu'il dépend du fait que peut-être que donc je pars du point haut avec une certaine vitesse peut-être qu'en étant parti dans l'autre sens j'aurais pu trouver un chemin plus court ça dépend vraiment de la structure globale de la surface sur laquelle on travaille ici on a une notion qui dépend pas de la structure purement locale mais qui dépend de ce qui se passe localement autour d'une géodésie la différence fondamentale qui existe entre ces deux objets donc cet objet vous pouvez montrer facilement que lorsqu'on le regarde dans l'espace tangent le bord il est très régulier c'est une application très simple du théorème des fonctions implicites au moins pour les surfaces vous pouvez montrer que la courbe ici qui correspond au grave de l'application distance au lieu conjugé et bien elle essaie infinie si la bétrique est e elle essaie infinie si la surface essaie infinie ce qui n'est pas du tout le cas de la distance au cut qui elle dépend de la structure globale et donc qui est beaucoup plus difficile à appréhender voilà donc revenons un petit peu à point carré point carré en fait nous a dit la chose suivante souvenez-vous il nous a dit qui tendonnait une surface analytique je fixe un point haut je regarde l'ensemble des lignes de partage et il nous a dit les extrémités des lignes de partage sont nécessairement des points conjugués correspondent à des points conjugués donc ça ça va signifier que on fait naturel de l'ensemble jaune dans l'ensemble rôde donc ça c'est dû aux propriétés bien connues du calcul des variations et point carré nous dit donc que ces deux ensembles donc les bords de ces deux ensembles dans son cas particulier doivent nécessairement se toucher en au moins deux points il y a au moins deux vitesses donc celles-ci, alors le dessin est pas très joli je suis désolé il y a au moins deux vitesses qui sont à la fois conjugués et à la fois dans le cut locus c'est à dire extrémité de feuilles de l'arbre de point carré d'accord et ces vitesses donc sont envoyées sur des points qui correspondent à des extrémités voilà ce que nous dit point carré sorry oui effectivement alors j'y viens, oui effectivement alors voilà donc sur une sphère effectivement donc prenons des exemples sur la sphère donc je prends par exemple la sphère de rayon 1 donc dans r3 ou même la sphère de rayon 1 dans Rn ou Rn plus 1 donc comme vous le savez si je fixe comme point de départ le pôle sud eh bien tous les grands cercles tout au moins tous les demi grands cercles vont être minimisants du pôle sud jusqu'au pôle nord une fois que je prends un grand cercle si je me fixe une vitesse de départ au pôle sud je vais décrire un grand cercle la géodésique correspondante va décrire un grand cercle et quand elle va arriver au pôle nord elle va arrêter d'être minimisante c'est à dire que si je poursuis un peu je peux trouver un grand cercle plus court ça signifie que dans le cas d'une sphère tous les domaines d'injectivité donc par symétrie sont tous les mêmes sont des disques donc le rayon p leur bord sont des cercles et l'application exponentielle effectivement envoie les cercles sur un même point pour le pôle nord si on regarde maintenant les lieux conjugués pour la sphère en fait on a exactement la même situation parce que vous savez qu'effectivement quand on part du pôle sud qu'on arrive à un tempi on a affaire à un point conjugué la géodésique tendance se regroupe effectivement au pôle nord donc toutes les vitesses de longueur p au pôle sud sont conjugues donc en fait le domaine d'injectivité et le domaine non focal coïncide pour la sphère et leur bord coïncide et donc ce sont deux disques à bord parfaitement régulier alors vous pouvez regarder le même genre de sauce par exemple pour un tord de révolution alors je n'ai pas mis le dessin je n'ai pas mis le dessin en espace tangents parce qu'il n'est pas si simple que ça à réaliser donc je vous ai dessiné donc en trois dimensions le cut locus donc sur la surface d'un point qui est l'extrémité qui se trouve ici de cette droite rouge d'accord ? l'extérieur c'est un point qui est sur le plus grand des cercles qui est à l'extrémité de cette droite rouge donc en fait vous avez deux cercles et vous avez un petit bout d'arc ici donc la longueur va dépendre de la courbure le long du grand cercle plus le tord sera fin plus cet arc aura tendance à tendre vers le point haut de départ alors on peut regarder aussi ce qui se passe sur le tord plat alors pour le tord plat donc vous prenez le carré sur lequel vous identifiez les deux bords horizontaux et les deux bords verticaux de cette manière et donc vous voulez regarder vous dites que la distance entre deux points de ce carré c'est c'est c'est le minimum des segments qui permettent d'aller du premier non pardon c'est le minimum des longueurs du cours qui permettent d'aller du premier point au deuxième point sachant que vous avez le droit de sortir du carré c'est à dire par exemple si vous êtes là vous avez le droit de sortir là donc vous ressortez là et donc vous pouvez aller là par exemple si vous prenez un point qui est là et un point qui est là ils sont très proches parce que vous pouvez faire ça et ça c'est un point du tord en fait le cut locus va être un joli carré il aura un bord qui ne sera pas très régulier qui est au moins Lipchix et maintenant si vous vous intéressez au lieu conjugé donc en fait les géodésiques dans ce cadre là sont des lignes droites les géodésiques sur ce tord plat ne sont rien d'autre que des lignes droites qu'on reprojette sur le tord plat donc si vous vous intéressez au temps conjugé des géodésiques sur le tord plat c'est exactement la même chose que de s'intéresser des géodésiques dans le plan R2 et comme vous le savez donc les géodésiques sont des droites et donc si vous prenez une vitesse de départ que vous la perturbez en delta V les droites vont s'écarter à vitesse constante donc vous n'aurez jamais de temps conjugé donc dans le cas du tord plat il est remarquable que le cut est un carré et le domaine non focal est tout R2 donc ça c'est typique des objets à courbures négatives c'est ce qui va rendre l'étude du cut locus beaucoup plus simple dans le cas où on a de la courbure négative que dans le cas où on a de la courbure positive donc je poursuis donc en fait les problèmes auxquels on fait face quand on veut étudier le cut locus on peut regarder différents types de problèmes premier type de problèmes calculer le cut locus d'une surface donnée ou d'une variété dimension plus grande donnée mais absolument pas simple ça nécessite de calculer et d'intégrer le flow géodésique notamment on ne peut pas faire par exemple le calcul du cut locus sur des ellipsoïdes n'a été résolu définitivement qu'en 2004 par Ito et Kio Harag j'ai cité tout à l'heure dans ma liste d'auteurs qui avaient travaillé sur le cut locus donc c'est un problème extrêmement difficile on peut s'intéresser à la taille du cut locus est-ce qu'il a une mesure nulle est-ce qu'on peut dire mieux que de mesure nulle est-ce qu'on peut dire quelque chose sur la dimension de Hausdorff, ce genre de choses on peut s'intéresser à sa régularité donc qui est aussi reliée à la taille quelle est la régularité du cut par exemple est-ce que si je visualise le cut dans un espace tangent est-ce que je peux dire quelque chose sur la régularité de la fonction qui me donne le bord est-ce qu'elle est continue, est-ce qu'elle est ellipsiste est-ce qu'elle est mieux que ellipsiste etc et enfin on peut s'intéresser à des problèmes de perturbation c'est-à-dire de stabilité donc vous partez par exemple d'une surface pour laquelle vous avez un cut qui est très joli donc par exemple la sphère comme on l'a vu, tous ces cuts locus ou tous ces domaines d'injectivité sont des disques donc leurs bords sont des jolis cercles est-ce que si je déforme un peu cette surface est-ce que cette propriété de convexité par exemple des domaines va être stable est-ce que je pourrais dire des choses quand je vais perturber la maîtrise quand je vais perturber la surface un genre de choses auxquelles on peut s'intéresser quand on regarde le cut alors Pito et Tanaka ils ont montré indépendamment à quatre années d'écart mais qu'on liait à Nier and Berg et qu'ils ont écrit leurs papiers ils n'avaient pas connaissance du papier de Pito et Tanaka donc ils ont démontré indépendamment parce qu'ils figurent dans des communautés ils sont dans des communautés très différentes que les domaines d'injectivité sont toujours à bord ellipsiste ce qui signifie que les cut locus visualisés dans les espaces tangents sont toujours ellipsiste donc c'est un théorème absolument pas facile à obtenir alors la question qu'on peut se poser c'est est-ce qu'on peut dire mieux par exemple dans le cas du torre on a vu qu'on avait un domaine qui était en carré donc il est effectivement ellipsiste il est plus que ellipsiste par exemple il est convex en fait est-ce que est-ce que le cut locus tangent est un ensemble à courbure c'est un ensemble donc si vous avez un ensemble de ce type alors on a à faire un ensemble pour lequel on a chaque point de l'ensemble je peux dessiner une petite boule de rayon uniforme qui touche l'ensemble au point que je me suis donné donc vous voyez que ce type d'ensemble ce type de propriété interdit d'avoir des pics rentrants que si j'ai un pic en trans je peux pas dessiner une petite boule qui passe par le point qu'il y a une petite boule donc des ensembles à courbure donc comme vous le voyez comme on l'a vu tout à l'heure un domaine qui est donc en carré et qui vérifie cette propriété ce que je vous ai montré ici c'était un domaine à bord ellipsiste qui ne vérifie pas cette propriété donc la question qu'on peut se poser c'est est-ce qu'on a ça est-ce qu'on a mieux que ellipsiste alors en fait c'est un truc pas facile à obtenir assez difficile à démontrer et facile à obtenir si on travaille en courbure négative ou si plus généralement on suppose qu'on n'a pas de problème de focalisation c'est à dire que lorsque vous regardez les lieux les lieux de tangents conjugés et les cut locus tangents donc dans l'espace tangents il ne s'intersecte pas je vous rappelle qu'on avait ça donc là vous avez l'espace tangents vous avez zéro l'origine vous avez le domaine d'injectivité et donc je suppose que le domaine non focal pardon ellipsiste a un bord qui ne rencontre pas le bord du domaine d'injectivité ayant en tête que pour les torres on a vu donc on n'a pas de temps conjugé donc en fait pour les torres l'ensemble violet n'a pas de bord donc en particulier son bord ne touche pas le bord de l'ensemble blanc donc c'est ce que je voudrais vous expliquer comment en courbure négative ou alors en absence de ce qu'on appelle la focalisation c'est le genre de propriété facile à obtenir alors là j'ai mis un dessin de montagne qui est censé représenter la fonction distance proche d'un point du cut locus alors ce qui va se passer c'est la chose suivante donc par exemple supposons qu'on ait un cercle j'ai un cercle je m'intéresse à la fonction au cut locus pour le point haut donc bon on connaît la réponse c'est ce qu'il y a ici maintenant ce que je peux dire je peux essayer de représenter à quoi ressemble la fonction distance au point haut au voisinage de ce point alors cette distance il va être commode de la représenter de la manière suivante si je prends un point ici là dedans je peux regarder la distance par la face est donc c'est pour ça que je fais l'analogie avec une montagne appelons distance par la face est au point haut le minimum découpe qui permet d'aller d'un point qui est ici au point haut mais en passant par la face est donc je ne sais pas s'il est c'est là bas donc en fait c'est une fonction qui va ressembler à je vais essayer de la dessiner au dessus du cercle un truc comme ça là elle fait 0 et puis maintenant je peux regarder pour ces mêmes points on se met même ensemble la fonction distance à haut mais où je n'ai que le droit de passer par la face ouest c'est à dire si je suis là je n'ai pas le droit de passer par là j'ai juste le droit de faire ça donc j'aurai une deuxième fonction qui sera comme ça d'accord donc ce qui va se passer c'est que j'ai à faire maintenant lorsque je veux construire la fonction distance au point haut pour n'importe quel point j'ai deux fonctions d'accord c'est à dire que si je prends un point ici si je veux connaître sa distance au point haut je prends le minimum des deux fonctions que j'ai définie et donc ça me donnera la distance au point haut si j'ai un point ici ça sera celui là et donc je vais avoir à faire à deux fonctions bon les graves seront transverses quand je vais travailler sur le cut donc j'ai deux fonctions dont les graves sont transverses elles vont définir leur intersection va être une jolie courbe très régulière d'accord cette courbe je vais pouvoir la ramener dans l'espace tangent donc je vais peut-être faire un nouveau dessin maintenant imaginez que vous n'êtes plus sur un cercle, sur un truc plus compliqué vous avez haut vous avez une certaine courbe ici vous savez que si vous prenez une vitesse peut-être à un moment elle va passer la courbe mais dès qu'elle va dépasser la courbe ça voudra dire qu'en fait il va aller mieux passer par la face ouest donc ça va vous permettre de montrer qu'en fait au bord du domaine vous pouvez mettre des paraboles vous allez pouvoir construire une fonction au dessus de laquelle vous pourrez toujours mettre des fonctions très régulières support, d'accord ça va vous donner la propriété requise donc pour faire fonctionner ce type de méthode qui est très simple vous avez besoin de pouvoir dire que au voisinage d'un point du cut vous pouvez représenter votre fonction distance d'une certaine manière pour faire cela vous avez besoin de ne pas avoir de points conjugués je ne vais pas se m'étendre mais c'est absolument très simple voilà donc pour dire qu'en courbure négative ou en absence de focalisation la situation est assez simple alors maintenant qu'on a regardé ce problème de régularité on peut se poser maintenant qu'on a résolu ce problème de régularité en courbure négative ou en absence de focalisation on peut se poser la même question en général les choses vont devenir beaucoup plus complexes parce que ce qui va se passer c'est que par exemple dans le cas de la sphère de dimension 2 vous aurez effectivement des graves qui seront transverses mais lorsque vous allez prendre un point qui est au bout de l'arbre de point carré la transversalité va dégénérer derrière la courbe que vous allez construire ici va dégénérer, elle va pouvoir osciller vous n'allez plus la contrôler donc vous n'allez plus pouvoir contrôler les rayons des boules uniformément que vous pouvez poser sur le graphe et sur la trajectivité donc c'est une chose qui ne fonctionne absolument pas par exemple si vous prenez une métrique sur la sphère S2 voilà donc en fait Vanstein a montré donc ça en fait c'est un travail qu'il a réalisé dans sa thèse sur la direction de Cherne qu'en fait si vous prenez une variété compacte lisse qui n'est pas S2 en un certain point vous n'avez pas focalisation c'est à dire qu'en un certain point les deux bords, les deux domaines que j'ai définis ne s'intersectent pas vous pouvez toujours faire ce genre de choses alors sa preuve est magnifique mais en fait il faut le faire en un seul point et la situation est beaucoup plus mauvaise c'est à dire que vous n'échapperez pas à la focalisation par exemple il y a ce résultat de Klingenberg qui vous dit que si vous prenez une variété compacte lisse sectionnelle strictement positive alors forcément vous aurez un point pour lequel les deux bords s'intersecteront c'est à dire que forcément si vous voulez faire marcher ce genre d'argument vous aurez à faire face à des problèmes de dégénérescence et vous n'y arrivera pas vous n'y arrivera pas à obtenir des résultats de régulter dans ce cas-là c'est incroyable le lieu de coupure oui effectivement il écrit comme ça mais effectivement il se touche il s'intersecte pas mais il s'intersecte mais il se touche donc je termine vous inquiétez pas c'est bientôt terminé donc comme je le disais la situation n'est pas idéale parce que dès que vous allez travailler sur des variétés compactes qui ont certaines propriétés géométriques vous ne pourrez pas échapper au problème de focalisation c'est à dire que vous ne pourrez pas faire marcher ce genre de preuve il s'agira d'étudier précisément ce qui se passe au voisinage des points conjugués c'est une chose assez difficile à faire qu'on ne sait pas faire aujourd'hui cette stabilité qui justifie le titre de mon exposé donc en fait je vous disais lorsqu'on prend la sphère qu'on regarde les domaines d'injectivité donc on a affaire à des jolis disques à bord très réguliers qui sont uniformément convex en combuste même constante on peut se demander ce qui pourrait se passer si on perturbait un petit peu par exemple la sphère 2 dimensionnelle on l'a fait un tout petit peu bouger est-ce que cette compréhété de convexité est préservée la réponse c'est oui donc sous certaines conditions de perturbation qu'on a obtenues donc récemment avec Alessio Figali et Cedric Villani qui était là et donc on a un résultat de convexité qui s'est enfui et donc qui se traduit de la manière suivante vous perturbez votre surface ou même la sphère en dimension quelconque vu dans l'espace tangent cette nouvelle sphère est tout à fait convex c'est à dire que les domaines d'injectivité sont des ensembles convex qui sont envoyés par l'application exponentielle sur toute la surface mais quand vous travaillez dans des ensembles qui sont convex dans les espaces tangent vous avez une certaine forme de régularité vous avez de la courbure positive même plus donc je vous remercie pour votre attention les conditions de déformation pour lesquelles le théorème final que vous citez sont valables sont larges ? non effectivement elles sont relativement restreintes on a besoin de déformation en termes de déformation de métriques pas en termes de déformation de sous-varité de l'espace ambiant en termes de métriques on a besoin de déformation en topologie C4 petite en topologie C4 c'est 5 en termes de déformation donc on a besoin de déformation vraiment petite avec 4 dérivées et on ne sait pas si on peut le faire avec 3 dérivées on n'a pas de... moi j'ai une question sur les ellipsoïdes tu as mentionné un travail relativement récent il y a un peu plus longtemps il y a une question d'Arnold sur les cospes des lieux conjugués successifs c'est-à-dire pas seulement en premier mais les autres est-ce que cette question a été résolue ? la question d'Arnold je ne sais pas il y avait une question initiale de Jacobi ce qu'on appelle le last Jacobi statement parce que je peux faire un commentaire là-dessus parce que Arnold appelle ça la congiture de Jacobi j'ai été voir l'article de Jacobi en question je ne parle pas très bien allemand je peux garantir que le chiffre 4 d'accord, moi je n'ai pas vu l'article donc je pense que c'est une invention d'Arnold personnellement donc ce que je peux dire c'est que les deux personnes que j'ai citées donc Keith Ho et Kiwara donc calcul le cut montrent en fait que c'est un segment et calculent aussi le lieux conjugués la première caustique et donc vérifient ce qui dit être le last Jacobi statement donc la première caustique mais qu'en est-il pour les suivants ? parce que numériquement j'avais testé ça il y a quelques années ça a l'air extraordinaire ça marche à la cinquantième caustique il y a encore que 4 points singleisés ouais je ne sais pas c'est assez mystérieux tout ça mais eux ils ont fait les calculs ils ont intégré le flow géodésique il faut travailler avec les fonctions elliptiques voire hyper elliptiques c'est une chose difficile à faire pardon ? oui donc eux ils ont poursuivi les calculs l'étude et ils ont obtenu ce résultat dans le cas où il y a de la courbure négative est-ce qu'il y a des résultats généraux ou générés que plus ? pour la courbure négative déjà on n'a pas de problème de focalisation donc en fait par exemple ce qu'on peut espérer de mieux sur la régularité des domaines d'injectivité c'est des choses qui sont à bord c'est ce que j'ai présenté des choses qui sont à courbure bornées par en dessous par exemple Tor a des domaines qui sont convexes mais on peut facilement construire des surfaces pour lesquelles les domaines vont être des choses non convexes et qui seront cette propriété d'avoir une courbure bornées par en dessous c'est comme de régularité ça peut arriver on peut pas avoir lisse en courbure négative on a ce qu'on souhaite avoir le problème c'est ce qui se passe en courbure positive c'est à dire en présence de focalisation là on ne sait pas si en général on aura des domaines dont les bords sont plus réguliers que les chips c'est une chose qu'on ne sait absolument pas on sait que ça marche lorsqu'on est proche de la sphère on sait que ça marche dans plein de situations dans lesquelles on peut faire les calculs