 Comme l'exposé précédent de Jean-Pierre Serre, cet exposé va être hybride, mi-historique, mi-mathématique, et je prendrai moi aussi la liberté de utiliser les mathématiques d'aujourd'hui pour raconter des mathématiques d'autrefois. Donc ce que je voudrais essayer de vous expliquer, c'est la continuité qui conduit des travaux de galois aux représentations galoisiennes, tels que les utilises et les arithméticiens d'aujourd'hui. Donc rapidement, je commencerai à me réussir par Gauss, mais là aussi maintenant il y a d'autres précurseurs très importants, Abel et Jacobie. Je saisirais dire quelques mots sur ce que Galois a dit dans sa fameuse lettre à Auguste Chevalier, sur des questions qu'on va vraiment avoir avec les points de torsion des variétés abéliennes, discuter un peu la postérité au XIXe siècle de ces questions et puis expliquer comment elles conduisent aux travaux de veille sur les courbes âgébriques et les variétés abéliennes qui donnent les premiers exemples, si on peut dire, de représentations galoisiennes ou de systèmes de représentations galoisiennes. Et si j'ai un peu de temps à la fin, j'essaierai d'expliquer un résultat majeur qui montre que ces représentations sont très riches, qui sont les conjectures de thé sur les variétés abéliennes. Donc le thème commun à tout ça, c'est l'action du groupe de Galois sur les points de torsion d'une variété abélienne. Donc c'est un sujet, je voudrais insister sur le fait que c'est un sujet qui est extrêmement riche, j'en dirais qu'une toute petite partie et même si, du point de vue des exposés de ces après-midi, c'est un sujet qui est considéré comme classique et bien compris, il reste encore une foule de questions extrêmement profondes et extrêmement intéressantes qui vendent la géométrie du offrencien, à la théorie des modèles, etc., qui les concerne. Donc typiquement, le type de situation qu'on aura, c'est qu'on considère un corps, on considère que c'est une clôture, une variété abélienne, un entier inversible sur le corps et on regarde l'action du groupe de Galois sur le point de torsion. Et voilà, beaucoup de gens, très bien, ont démontré que notamment dans des situations arithmétiques, le groupe G a tendance à agir beaucoup. Voilà. Alors, le début de notre histoire, c'est le tout début du XIXe siècle. Là aussi, le premier, comment dire, l'histoire commence, enfin comment dire, je pense que pour des gens comme Galois, la statue du commandeur, c'était Gauss. Donc je vous rappelle, en 1801, il publie les recherches arithmétiques et du point de vue qui nous concerne, c'est pas vraiment la reciprocité, c'est vraiment la cyclotomie qui est l'espèce de référence permanente aux gens qui après vont étudier les points de torsion des variétés abéliennes. Donc c'est le septième chapitre sur la cyclotomie. Donc je vous rappelle, par exemple, que Gauss démontre les réductibilités des plumes cyclotomiques. C'est peut-être le premier endroit où il y a une notion claire des réductibilités et une démonstration de non-trigiales des réductibilités. Il démontre, donc il travaille avec les extensions engendrées par des racines inénielles de l'unité et il se limite dans une discussion à une première. Mais on sait que Gauss connaissait la théorie générale et une foule de ses arguments s'adapte d'ailleurs immédiatement. Donc en substance, il démontre que le groupe de Galois, il construit le caractère cyclotomique, si vous voulez, et il fait en un certain sens la correspondance de Galois, de façon explicite, pour cette extension en construisant les sous-extensions en partie de Somme de Gauss. Et il fait une chose qui à l'époque était un scoop et qui aujourd'hui nous paraît une curiosité, c'est d'appliquer tout ça à la théorie des polygones réguliers. Voilà. Donc ça, c'est quelque chose de simple que je pense nous avons tous en tête. Je voudrais maintenant passer un tout petit peu de temps, oui, alors peut-être un petit mot, ça a été traduit en français et après en 1807. Et je pense que, voilà, c'est vraiment Galois a dû travailler avec ce livre qui était la version française. Et vous voyez à quoi ça ressemble. On voit peut-être pas très bien. J'ai choisi la page où il explique que le polynome cyclotomique est irréductible et il donne la démonstration. Voilà. Donc ça, c'est... J'imagine que Galois a dû beaucoup pratiquer ce livre et ses pages. Alors, une autre chose qu'il faut avoir en tête pour comprendre la fin de la lettre à Auguste Chevalier, c'est qu'est-ce qu'est-elle la théorie des fonctions elliptiques, des courbes elliptiques, vers 1830 ? Alors, d'abord quelques rappels modernes. Les anciens n'avaient pas des notations et c'est différentes des nôtres. Et quand on regarde les vieux textes, on est d'abord un peu perturbé. Alors qu'il n'y a aucune raison de se faire peur et ce suffit d'avoir quelques notations en tête. Donc je vous rappelle du point de vue moderne. On a tendance à avoir des courbes elliptiques sur C. Donc on a tendance à aller voir comme des objets en géométrie analytique, comme des surfaces de Riemann, qui sont le conscient de C par un réseau muni de la loi d'addition. Et elles ont une forme différenciée à la variante, qu'on voit physiquement des aides sur la surface de Riemann. Alors bien sûr, ça c'est l'histoire faite à l'envers. Ces données sont algebraisables pour toutes les raisons du monde, plus ou moins générales. Mais bien sûr, le début de la théorie a été fait du côté algebraique. Donc pour comprendre le début de la théorie, il faut voir comment on peut algebraiser. Donc aujourd'hui on présente une façon d'algebraiser qui date plutôt de la fin du Niveau-Messais, qui date de Weier-Strasse. On prend par exemple la fonction de Weier-Strasse qui satisfait l'équation différenciée à l'épée prime 2 égale 4p3 – g2p – g3. Et on s'en sert pour fabriquer un plongement projectif comme une cubique dans p2. Donc on voit apparaître la cubique d'équation affine que vous avez sous les yeux et l'équation projective, ce qui est plus correct, qui est en dessous. Et la loi d'édition, bon j'ai pas envie d'écrire les formules, il suffit de dire que 0 c'est le point à l'infini et que 3 points sont de somme 0 si vous pouvez les obtenir comme l'intersection au sens du divisa avec les multiplicités avec une droite. Donc ça, ça donne tout. Et la différenciée à la variante cdx sur y. Bien. Alors 2 points supplémentaires à bas en tête. C'est la fonction p, vous la retrouvez comme inverse d'une intégrale elliptique que vous avez sous les yeux en faisant le changement de variable x égale p de t. La courbe elliptique, c'est un revêtement à deux feuillettes p1. Ça correspond exactement à l'opération de faire le quotient par la multiplication par moins 1 sur la courbe elliptique. Donc cp1 revêtue en 4 points. Et un autre point que vous avez tous vu certainement, c'est que vous avez la variante j qui classifie, disons, les courbes elliptiques complexes à isomorphisme près. Alors les anciens travaillaient autrement, ils travaillaient avec ce qu'ils appelaient la courbe elliptique de module k qu'ils écrivaient comme ça. Donc vous voyez le paramètre qu'ils écrivent comme un carré. Il est dans p1 à 3 points. Donc vous avez 4 points de ramification mais l'infini n'est pas vraiment bien foutu. C'est pour ça qu'on abonne ces notations. Par contre, et la différencie à la variante, c'est dx sur y. En revanche, ce qui est très agréable dans les vieilles notations, c'est que vous n'avez pas une fonction compliquée pour une variante j qui classifie, les gens pensent à k ou k² comme le paramètre. C'est ce qu'ils appelaient le module et c'est de là que vient la terminologie espace de module. Donc vers 1830, la théorie avait déjà eu deux grandes étapes. La première étape qui date du milieu du 18e, c'est la théorie des intégrales elliptiques comme celle que vous avez sous les yeux. Et les faignanaux, et l'air, c'était rendu compte qu'elles sont des formules d'addition et le genre avait développé toute une théorie. Et puis Gauss, mais de façon complètement non publiée, puis Abel et Jacobie, très peu de temps avant Galois. On fait faire une étape considérable à la théorie en introduisant les fonctions elliptiques comme inverse de ces fonctions. Donc c'est ça l'analogue des fonctions P qui ont le mérite d'être des vraies fonctions uniformes qu'on ne parle pas des problèmes de multiformité de l'éopériode. Et surtout, ce qui est extrêmement spectaculaire, c'est qu'ils ont développé l'étude algébrique de ce qu'ils appellent les transformations qu'on appellerait aujourd'hui des isogénies entre courbes elliptiques. Donc du point de vue analytique, les isogénies, c'est très simple. Vous cherchez que ce sont les morphismes de groupes et homomorphes d'une courbe elliptique vers une autre. Alors elle envoie la différentielle invariante vers la différentielle invariante avec un facteur lambda. Il vous en dit du Z que ça doit envoyer la classe de Z vers la classe de lambda Z où lambda est un complexe qu'on voit le réseau dans le réseau. Donc c'est un problème de similitude de réseau. Alors évidemment, du point du classique, on n'a ni les nombres complexes, ni l'interprétation topologique, ni l'auravagement, ni rien du tout. Donc ce que se donnaient les anciens, enfin les anciens, pas si anciens, Jacoby et Abel sont presque contemporains en un certain sens si on les compare aux mathématiciens du 18e. On se donne deux courbes elliptiques avec les modules K et K' et puis il faut trouver l'exprime Y' comme expression rationnelle en XY. Ce n'est pas du tout du tout trivial. En fait, fondamentalement, ce qu'ils pensent comme ça, il faut trouver plutôt X' en fonction de X et puis racine carré de 1-X2 à 1-KX2 qui s'attissons ce type d'équation. Et c'est comme ça que travaille Abel et Jacoby. Donc Abel et Jacoby étudient notamment les questions suivantes. La n torsion, ils arrivent à comprendre que c'est un groupe cyclique, enfin pas cyclique, c'est un groupe Z sur NZ au carré. Abel découvre que certaines courbes elliptiques admettent des endomorphismes non triviales. C'est la multiplication complexe. Dans le premier exemple, c'est Y2 égale à moins X4 qui correspond au réseau Z2i. Et Jacoby découvre l'existence de P isogénie pour tout premier P. Donc c'est une histoire assez frappant. Donc c'était connu pour P égale 2, c'est très vieux. Et par P égale 3, c'était une des grandes découvertes de le gendre. Et donc quand le gendre apprend que ce jeune mathématicien allemand Jacoby sait faire ça pour n'importe quel P, même P égale 5, il fait en sorte qu'en 1827, un article soit publié dans Le Globe. Le Globe, c'est une espèce de journal qui est une espèce d'interpolation entre le monde et le journal officiel qui explique au public français stupéfait l'existence d'une transformation avec des mots du P premier quelconque. Alors, ce qui fait que ce sont des tours de force et que ce sont des méthodes essentiellement algebraiques, même aujourd'hui, ce n'est pas du tout trivial. Et qu'il y a un autre point qui faut avoir en tête. Pour la suite, c'est que les travaux d'Abel et surtout de Jacoby sont remplis de formules absolument merveilleuses. Mais bien sûr, il y a un certain flou sur la nature des coefficient, dans quel corps on vit, etc. La preuve qu'il y a un flou, c'est que bien plus tardé, tu as pu dire qu'après tout ce qu'il y a dans Fondamenta Nova, on peut le voir sur les périodiques et inventer la géométrie rigide. Pendant mentalement, ce n'est rien à y changer. Alors, venons à un point qui est un des points culminants de la théorie des fonctions elliptiques quelques années avant Galois, l'équation modulaire. Alors, en 1829, Jacoby publie son gros livre, Fondamenta Nova, qui est un livre absolument merveilleux à lire, qui a deux parties. La première partie, en termes d'aujourd'hui, c'est sur la correspondance de Hecke et la deuxième partie, c'est sur la courbe de T. Limitons-nous à la première partie, c'est la théorie des isogénie, et le point culminant, c'est les toutes dernières sections sur l'équation modulaire. Alors, qu'est-ce que l'équation modulaire ? Jacoby se donne P1. Les premiers dans Jacoby sont toujours différents de 2, c'était quelqu'un de plus dents. Il regarde le diagramme suivant. Vous regardez les espaces de module des paysogénie qui sont donnés par une courbe elliptique, une deuxième, une paysogénie, une isogénie de noyaux cycliques, et vous avez deux flèches vers l'espace des modules des courbes elliptiques et consiste à regarder le but et la source. Voilà. Alors, c'est une correspondance symétrique, c'est ce qui explique que Jacoby, ce n'est pas tout à fait trivial, c'est l'autodualité des courbes elliptiques, et de degré P plus simple et plus simple. Pourquoi c'est de degré P plus simple et plus simple ? Parce que c'est le nombre de points du projectif sur FP, vous devez trouver le nombre de ce groupe cyclique d'ordre P dans FP au carré. Et alors, l'équation modulaire, c'est l'équation, vous voyez cette correspondance comme une courbe tracée sur un produit de deux courbes, de deux copies de l'espace des modules des courbes elliptiques. Alors, suivant comment vous décrivez les modules des courbes elliptiques avec l'invariant J, avec l'invariant K et K', et en fait, dans Jacoby, c'est assez compliqué. Il travaille avec des structures de niveau, en puissance de deux, un peu tordues, et il écrit l'équation en K puissance en K', K' une puissance en K'. Et c'est ça l'équation modulaire. Voilà. Donc, c'est vraiment le sommet de la technologie quand Galois a étudié au moment où Galois travaille. Alors, il y a une variante qui est de tout ça, bien sûr, qui est la division complète par P, qui correspond, je ne sais pas quoi, X1 de P ou je ne sais pas quoi. Donc, vous regardez un point d'ordre exactement P, en plus de la donnée d'une courbe elliptique. Donc, ça, c'est un revêtement. Donc, c'est du point de vue galoisien, c'est très intéressant parce que c'est évidemment des revêtements non galoisiens. C'est ça qui en fait le charme. Donc, tout à l'heure, de greppé plus sain, et ici, de greppé un demi de P2 moisins. Il y a un demi qui traîne parce que vous avez le moisin qui agit. Alors, l'aspect galoisin de ces questions faisait vraiment l'objet des soucis mathématiques de au moins deux personnes, Abel et Jacobie, et aussi d'une troisième, plus ou moins le genre. Et en fait, on dispose, et c'est quelque chose d'absolument merveilleux à lire, de la correspondance de Jacobie et le genre qui a été publiée dans des idées scientifiques de l'économie, je pense, et que vous vous trouvez dans le premier volume des œuvres de Jacobie. Donc, c'est tout à fait merveilleux. Le genre d'écrire français, un peu 18e, non, Jacobie écrit un français assez 18e, le genre est beaucoup plus moderne, mais c'est un vieux monsieur qui manifestement est très généreux, qui s'inquiète beaucoup de son jeune ami. Par exemple, il y a toute une section sur les célestes perturbations au moment où Jacobie explique à le genre qu'enfin il va se marier. Et d'ailleurs, à propos, c'est un point historique qui est rarement observé sur galois. À ma connaissance, c'est la première personne qui s'intéresse aux fonctions elliptiques et qui ne s'intéresse pas à la mécanique céleste. Des gens comme le genre, Gauss, et aussi, dans une certaine mesure, Jacobie, étaient des fanatiques de mécanique céleste et leur travail, l'intersection, avec la théorie des fonctions elliptiques, était pour eux très important. Bon, il y en a eu d'autres, plus tard, dans une catégorie et dans l'autre. Donc, dans la lettre de Jacobie et à le genre, voilà ce qu'il explique. Donc, d'abord, il y a tout un tas de choses intéressantes. Donc, au début de la lettre, Jacobie explique que l'équation, pour trouver les paramètres sur la courbe elliptique, c'est-à-dire sinus amplitude, c'est correspond à x, si vous voulez, pour un point en fonction du paramètre en question, paramètre agébrique de son multiple d'ordre n. Pourvu, vous connaissiez toute la n-torsion conduit à des équations qui l'appellent résolubles. Et si j'entends bien ce qui veut dire par résolubles, ça veut dire abélienne. Et que c'est du type des équations liées à la cyclotomie. Plus tard, plus loin dans la lettre, Jacobie explique qu'en revanche, si vous vous intéressez à déterminer la toute la n-torsion d'une courbe elliptique, donc ici ncp, c'est un premier. Vous allez tomber sur des équations, mais que vous allez pouvoir ramener une équation de graine plus simple et une autre abélienne de de graie n-moisan au carré, ça correspond vraiment à regarder le problème de module que j'ai mentionné tout à l'heure de la division par paix au-dessus de la correspondance de éco, de graie paix plus simple. Et ce qui explique, Jacobie c'est que voilà, Abel, tout ça c'est clair que ça doit pas être résolu comme équation. Le groupe de Galois n'est pas résolu, que Abel doit savoir le faire, qu'au moins en général, et que dans les cas particuliers c'est très intéressant mais qu'il n'a pas le temps de s'en occuper, et qu'il explique aussi qu'il y a aussi une équation abélienne par-dessus. Bon, alors en résumé, ce qui explique Jacobie à Legende, donc Legende aurait bien aimé avoir des méthodes de résolution pas radicaux pour faire des tables. Legende a passé une immense partie de sa vie à faire des tables et il explique vraiment que c'était très malheureux que cette théorie conduise à des équations non résolues à cause de l'aspect non calculatoire de tout ça. Donc si vous connaissez, enfin si vous êtes sur un certain corps, K, et que la haine torsion est K rationnelle, pour diviser par L, vous allez tomber sur des équations abéliennes. Donc ça on le sait bien, c'est souvent aujourd'hui on appelle ça de la théorie de Kuhmeur ou je ne sais pas quoi. Et en revanche, si vous vous mettez dans le cas général, donc si vous regardez la courbe générique sur le point générique de l'espace des modules, le groupe de Galois de l'équation modulaire ou de la division par N sont absolument pas résolues. Donc ça c'est manifestement très clair. Bon, c'est pas clair que, comme il dit Jacobie, je me suis convaincu donc à quel point ils avaient des preuves, c'est pas très honnête. En tout cas c'est très clair quelques années avant la fameuse lettre de Galois. Donc je vous rappelle dans cette lettre, Galois discute l'équation modulaire. Il explique ce que doit être le groupe de l'équation modulaire, que ce groupe, ce groupe d'indices 2 simple, sauf quand P égale 2 ou 3, et en plus il explique à la fin que dans certains cas le degré peut s'abaisser de P plus 1 à P et que c'est vrai que pour 5, 7 et 11. Alors en termes modernes, la première partie ça veut dire quelque chose comme le groupe de l'équation, l'équalité. Alors il y a un peu de mou, on sait pas trop ce qu'il veut dire, s'il veut dire qu'il passe avec du PGL2 ou du PSL2. Et ici par PGL2, je veux dire GL2 sur FP étoile, c'est pas des points de bon. Donc l'un ou l'autre agissent par permutation sur pain de FP. Et alors bien sûr c'est normal qu'il y ait du mou parce que suivant que vous mettez le, comme corps de constant de Q ou Q bar ou C, ça vous fait une petite modification. Ensuite il explique ce qu'est bien connu aujourd'hui, bien sûr que ces groupes PSL2 de FP sont simples à partir de 5 et puis qu'il a de même un sous-groupe d'un 10P si et seulement si P appartient à 5, 7 et 11. Voilà. Alors la mise au point de ces résultats a suscité une littérature tout à fait considérable. Le cas qui est vraiment en un certain sens facile à comprendre, à vérifier, c'est le cas 5 parce que là vous tombez sur le groupe PSL2 de F5 et on peut vérifier, on sait voir qu'il est simple ou qu'il est d'ordre 60, c'est à 5. Donc il a bien évidemment un sous-groupe d'un 105. Après les cas suivants sont plus compliqués, ils ont été faits par Betty, Hermit, Briochi, enfin toutes sortes de gens très très bien, Cronnaker, Jordan a mis les choses à peu près, enfin expose tout ça dans son traité des substitutions et Klein aussi c'est beaucoup intéressé à ça. Donc on pourrait passer beaucoup de temps à discuter tout ça et je voudrais mentionner simplement quelques-uns des aspects de cette discussion. Je vais peut-être insister sur Hermit pour plusieurs raisons d'abord parce que c'est rudement agréable de parler d'Hermit dans l'enfi Hermit. Ensuite, Hermit, la personnalité de Hermit est très intéressante du point de vue mathématique au sens où même s'il y a des aspects où il est très différent de Galois il est aussi très très proche de formation mais sans doute de style et de goût de Galois. Et Hermit, comme vous savez, a toujours été fasciné par l'étude systématique et la classification des noms algébriques. Il explique qu'il y a dans ses lettres agrécobies il explique en substance qu'il s'intéresse à Galois de cubar sur cul. Et il est aussi très fasciné par les combinaisons de méthodes algébriques et analytiques. Et vraiment aussi un des sujets de la journée aujourd'hui. Et un point sur lequel il exprime son intérêt qui est justement le point qu'il contrepartie de l'exposé précédent. Un des points qui fascinent Hermit, c'est la possibilité d'utiliser la théorie des espaces de module des courbes elliptiques pour fabriquer des extensions non résolubles. Un point rigolo sur Hermit, c'est par exemple dans Darbou en 1907 qui est dans un volume, un petit texte en mémoire à Hermit. Il cite la chose suivante, il explique si quelques géomètres venaient lui demander une direction et il lui assignait comme but de devenir un vir ellipticus. Nous sommes tous des vir ellipticus. Et c'est aussi ce qui est très intéressant, c'est les relations que Jacobi avait commencé à mettre en évidence entre les transcendants elliptiques et l'arithmétique supérieure qui, bien sûr, aujourd'hui, se sont développées dans la théorie des vérités de Shimura et leurs relations aux problèmes de l'anglance. Donc revenons à Hermit. Alors, Hermit fait des choses très très remarquables. D'abord, il reprend l'étude des cas particuliers où l'équation modulaire se réduit, non seulement du point de vue des groupes, qui est un problème combinatoire assez vache mais qui est de la combinatoire des groupes. Enfin, il faut sortir, on a un groupe avec plein d'éléments et puis il faut arriver à voir. Mais il écrit les équations. Et surtout, il écrit de très jolies équations. Donc il a écrit une suite de notes au compte-rendu en 1859 là-dessus. Donc je voudrais mentionner que le Kp égale 5 a été très largement prolongé par les travaux sur les extensions icosaédriques qui ont été mentionnés de Klein, qui ont été dans un des aspects, a joué aussi un rôle dans la conjecture d'artils, des exemples. Donc c'est un sujet qui est très très étonnant par sa longévité. Donc Serre a écrit il y a quelques années un article qui expose en termes modernes un ensemble de résultats classiques et qui fait un certain nombre de liens. Et en fait, il y a des références qu'il ne met pas puisque elles sont bien postérieures. J'ai faite qu'on était là. On écrit par exemple en 97 un article fantastique dans lequel ce type de construction lié à ce groupe PSL2 de F5 et les formules d'Hermit du genre rôle essentiel. Alors un autre point pour lequel Hermit mérite d'être discuté c'est qu'il semble que Hermit est le premier à avoir vraiment compris de façon très précise le lien entre monodromie et groupe de Galois. Donc le point de départ d'Hermit, c'est un article de Puyseux qui est paru au journal de Lyuville en 1850. Et Puyseux établit Gaga pour Pizero. Il montre qu'une courbe algébrique plane définie par un punaume irréductible est connexe dans la topologie complexe. Ce qui est essentiellement équivalent. Il montre qu'une fonction, comme il dit, algébrique uniforme et rationnelle. Et Hermit voit tout de suite ou presque tout de suite. Il a écrit un petit texte très, très, très ramassé quelques temps après pour expliquer que ça implique. Et c'est vrai que c'est une fois que vous avez ça, c'est la seule chose difficile, c'est d'avoir ce résultat de connexité, que le groupe de Galois d'une équation Puyégal 0, donc complexe, que vous voyez comme une équation en Y sur le corps des fractions rationnelles en X, c'est la même chose que la monodromie de la fonction algébrique. Alors il est extrêmement vraisemblable en fait, enfin bon, c'est clair que ce type d'argument permet de calculer topologiquement le groupe de Galois d'équation modulaire. Et il est extrêmement vraisemblable qu'en fait Abel Jacobier et Galois avaient songeé à ce type d'argument lorsqu'ils sont convaincus de la nature non résolupe de l'équation modulaire. En fait ils font tout comme si c'était presque clair que c'était se grouper. Et effectivement en un certain sens c'est clair si on considère clair qu'une courbe algébrique irréductible est connex. Alors en fait, si on y réfléchit bien, il y a une inclusion qui est élémentaire capable d'être connexité qui suffit à démontrer que le groupe de Galois est gros. En fait, donc tous ces résultats de Hermite sont complétés relativement tardivement par Jordan 1868 qui analyse effectivement les autres cas pour démontrer qu'il n'y a pas de ce groupe d'indispé. Et Jordan donne effectivement un exposé d'ensemble de toutes ces questions dans le traité des substitutions des équations algébriques qui à ma connaissance c'est le premier endroit où est bien écrit proprement le calcul du groupe de Galois par Namono Dromi avec tous les détails. Jordan est très très swing. Alors un autre auteur dont je vais aller rapidement là-dessus qui s'est beaucoup intéressé à ça, c'est Claene qui a écrit un centre d'articles notamment sur la situation du degré 7. Alors je vais très rapide. Les degrés 7 et 11 n'ont pas eu de postérité arithmétique. Et pour moi c'est un mystère. Je serais vraiment très très étonné qu'à partir des fantastiques formules notamment d'Hermite et de Claene, ils ne puissent pas faire quelque chose en utilisant la technologie moderne. En tout cas ce que fait Claene, lui c'est pas quelque chose d'arithmétique mais c'est l'idée de base de l'uniformisation il l'a en étudiant l'exemple de degré 7. Donc je vous explique. Claene regarde la courbe X2-7 le cossant de demi-plan par SL2 enfin le groupe de congruence défini par SL2-2F7. Et c'est une surface de Riemann est pointée. On rajoute les pointes. On obtient une surface de Riemann une honnête surface de Riemann compact de jour 3. Il identifie cette surface de Riemann à une très jolie quartique XYZ³ plus ZX³ égale 0. Et elle arrive avec une dissection en triangle qui provient de l'image inverse de P1 de R par le morphisme J. Et cette dissection en triangle elle permet de fabriquer un groupe co-compact de SL2-R qui uniformise la courbe. Donc là il y a un truc très très bizarre. On a une courbe uniformisée par un subgroupe de SL2-Z. On rajoute les pointes et il y a un groupe remarquable co-compact. Et donc bien sûr pour Claene explique que c'était le Kp égale 7. C'est ça qui lui a été pour lui le premier exemple de l'uniformisation qui lui a fait croire en l'uniformisation des courbes. Alors un auteur très très important dans toute cette histoire qui a été mentionné tout à l'heure c'est Cronnaker qui lui aussi s'est beaucoup intéressé à la correspondance modulaire. Cronnaker fondamentalement observe que les points d'intersection de la correspondance modulaire de l'équation modulaire et de la diagonale sont liés à des nombres de classes de corps quadratiques imaginaires. Si vous avez une courbe elliptique qui est paysogène à elle-même il faut qu'elle ait la multiplication complexe. Il y a beaucoup d'aspects de Cronnaker qui sont liés à une autre histoire. Alors le problème avec Cronnaker c'est que c'est extrêmement difficile de comprendre ce qu'il fait vraiment de ce qu'il a en tête, etc. J'ai passé beaucoup de temps à essayer de préparer quelque chose et je suis arrivé à rien. Alors j'ai eu un lot de consolations en voyant que Jordan expliquait que lui-même n'est pas arrivé à mettre dans son traité des substitutions pourquoi il ne pouvait pas mettre les résultats de Cronnaker. Et donc il explique notamment qu'il parle des théorèmes de Cronnaker comme des résultats qui font l'envie et le désespoir des géomètres. Il y a une formule qui gagne à être retenue, il me semble. Bon. Donc un autre point qui est très important chez Cronnaker et qui va jouer un rôle essentiel dans la suite de notre histoire c'est que Cronnaker accorde une importance centrale à ce qu'on appellerait aujourd'hui. Les schémas de type fini sur Z. Pour lui, c'est ça les objets vraiment un vrai statut ontologique en mathématiques, tout le reste de méthode analytique pourtant dans lequel il est très expert et qui l'utilise avec énormément de talent. Bon, du point de vue philosophique il a un peu d'édoute sur ce que ça signifie, etc. Alors les schémas de type fini sur Z, qu'est-ce que c'est ? Disons, en dimension zéro, c'est les corps finis, c'est les corps de Galois. En dimension 1, vous avez deux situations où le corps des fractions est de caractéristiques zéro ou de caractéristiques positives. En caractéristiques zéro essentiellement c'est vous regardez des entiers de corps de nombre ou des S entiers ou des ordres dans des S entiers. Et en caractéristiques P, vous regardez des courbes, disons, géométriquement intègres sur un corps fini. Alors, cette façon de voir, de donner un rôle essentiel au schéma de type fini, chez Kronecker, a eu certainement beaucoup d'influences chez ses élèves et ses petits élèves, Hansol, Artyn, Hassan. Et notamment, vous voyez, à l'époque de Kronecker ou à peu avant, des Dekin, des Weber avaient développé l'analogie entre courbes algébriques et puis à nos dentiers de corps de nombre. Mais le point de vue de Kronecker donne un rôle particulier aux courbes algébriques sur les corps finis. Et à partir du début des années 1910, un certain nombre de mathématiciens allemands, donc qui sont vraiment dans l'affiliation de Kronecker, développent une théorie analytique sur les corps de fonction d'une variable à corps de constante finie, donc Kornblum, Artyn, Hassan, F.K. Schmitt, donc qui considèrent des courbes projectives lisses, géométriquement intègres, de Georgé sur un corps fini, et il leur associe l'analogue d'une fonction zeta, l'analogue de la fonction zeta de Dekin. Donc en termes modernes, pour chaque point fermé de la courbe, on peut considérer sa norme le cardinal de son corps résiduel, donc une puissance de cul est fabriquée en copiant la définition de la fonction zeta de Dekin, la fonction zeta de la courbe. Alors, une grande découverte des géomètres allemands à cette époque-là, c'est qu'on peut vraiment faire la théorie des courbes algebraiques en caractéristiques positives, et que notamment on a un thérème de Riemann Rohr, et que le thérème de Riemann Rohr se traduit par le fait que cette fonction zeta est en fait une fraction rationnelle en Q puissance-S, que vous avez sous les yeux, donc dont la partie mystérieuse est le numérateur pour P1, ce P, ce numérateur, c'est 1, et en général c'est un polinôme de degré 2g et qui satisfait cette relation un peu biscornue, qui correspond en fait exactement à l'équation fonctionnelle de Riemann pour la fonction ou de Hecke pour les fonctions de zeta de corps de nom. Alors, un des sujets brûlants auxquels on s'est consacré Assa et Wey dans les années 30, c'est l'hypothèse de Riemann pour ses fonctions zeta. Et donc Assa démontre d'abord qu'elle a lieu en 1936 en genre 1 pour les courbes elliptiques, et Wey démontre de 40 à 48 que c'est le cas en général. Donc l'hypothèse de Riemann, je vous rappelle, ça s'écrit, c'est l'hypothèse de Riemann, c'est le fait que la fonction que j'ai écrite tout à l'heure à ses éros, simplement pour partir réelle de S égale un demi. Alors, ça se traduit en quelque chose sur le polinome P ou ça se traduit aussi en quelque chose sur le décompte des points fermés sur la courbe en fonction de leurs normes ou le décompte des points rationnels sur les différents corps finis de la courbe C. Donc ça se traduit en cette inégalité, l'inégalité de Assa Wey. Alors, ceci est évidemment équivalent à l'hypothèse de Riemann pour toutes les courbes, mais pour une courbe donnée, il faut prendre l'inégalité pour Q et toutes ses puissances. Alors, l'histoire de la démonstration de Parveil de cette inégalité est vraiment bien documentée. Dans ses œuvres, on voit les idées qui se développent, d'abord sous forme d'une note au crasque, il a écrit en prison, il n'est pas si clair qu'il savait démontrer ce qu'il affirme de savoir démontrer, puis il a un progrès après... Oui, il dit, voici un l'âme important. C'est un peu comme Zatz, d'Artine, c'est la philosophie. Bon. Donc parmi ces travaux, j'ai mis entre parenthèses ou des chums sur la géométrie, donc son grand travail sur la géométrie algebraique où il développe une notion abstraite de variété algebraique et de théorie de l'intersection sur ces variétés qui marchent sur les corps des caractéristiques positives. Bien sûr, dedans, il n'est absolument pas question d'hypothèse de Riemann, mais bien sûr toutes les techniques qu'il donne sont utilisées. Et puis, c'est à la fin dans ces deux livres. Alors, c'est une histoire très, très intéressante et très, très fascinante. Donc Veil écrit des choses différentes à différentes époques. D'abord, en 40, il explique que c'est la théorie des correspondances, notamment à la sévérie, qui joue un rôle très important dans toute cette histoire, mais qui ne suffit pas et qu'il faut développer ce qu'il appelle la théorie transcendante de Hurwitz sur les corpes, sur les corphines. Il reprend tout ça un peu plus tard, donc ça va être arti dans 42. Donc vous pouvez regarder ça dans les œuvres de Veil. C'est absolument, c'est un texte absolument extraordinaire qui contient une foule de choses fabuleuses, notamment les dernières lignes expliquent ce que doit être la théorie d'Iwazawa. C'est frappant. Donc la structure du texte en tout cas est un peu étrange qu'on l'a lié la première fois. Veil d'abord passe beaucoup de temps à exquisser sa preuve de l'hypothèse de Riemann en faisant la théorie de l'intersection. Et après, il explique que c'est la partie élémentaire et qu'après cette partie élémentaire, il y a une partie transcendante qui, manifestement, l'intéresse beaucoup plus. Alors, je voudrais expliquer un peu ce dont il s'agit, ce que c'est que la partie élémentaire et puis après dire un mot sur ce que faisait Hurwitz. Ce que fait Hurwitz. Voici ce que Veil appelle élémentaire. Donc ce que je vais raconter pas exactement la façon qui a finalement été faite par Veil, mais c'est une simplification qui est essentiellement due à T et Grotendick, de l'approche de Veil. Le point de Veil, c'est que si vous travaillez sur une courbe C, projective lisse, la théorie de l'intersection sur la surface C croissée suffit à démontrer l'hypothèse de Riemann. Donc, d'un point de vue moderne, ce qu'on utilise, c'est la façon peut-être la plus simple d'y penser, c'est de penser à l'indice de Hodges. L'indice de Hodges, je vous dis que si vous regardez la forme d'intersection sur les diviseurs, sur C croissée, bon, vous pouvez un diviseur pas avoir une autre intersection, s'il est ample, donc vous avez sans doute que vous regardez des formes quadratiques définie un C et un diviseur plus, mais que sinon c'est toujours moins, des moins. Dès que vous êtes orthogonal à quelque chose d'ample, il y a des signes moins. Alors, quand vous avez C croissée, c'est une surface sur laquelle vous avez des diviseurs pour rien, puisque c'est un produit. Vous pouvez considérer un diviseur vertical, produit d'un point et d'une copie, un diviseur horizontal, le produit de l'autre côté. Vous pouvez considérer la diagonale. Et puis, si vous êtes sur le, si votre courbe est définie sur le corps FQ, vous avez le morphisme de Frobenius, qui envoie dans un plongement projectif les coordonnées d'un point de la puissance QM, et vous pouvez regarder le graphe de Frobenius. Alors, c'est pas difficile de voir que c'est transverse à la dégonarie. Et alors, vous pouvez calculer les nombres d'intersections. Alors, il y en a quatre. Alors, V, H, Delta et le graphe de Frobenius. Alors, certains de ces nombres d'intersections sont très vieux à calculer. Par exemple, V, V, ça fait 0, H, H est 0, H est... C'est de la fond 1. Ça aussi, ça aussi, qu'est-ce que c'est le dégraphe ? Ça aussi, ces nombres-là sont faciles. Il est un tout petit peu plus difficile de calculer l'auto-intersection de la dégonale. Mais enfin, bon, c'est la caractéristique de la dernière point carré. C'est 2 moins de G. Et puis, vous avez aussi à calculer le nombre d'intersections du graphe de Frobenius et de la dégonale. Mais le graphe de Frobenius et la dégonale, c'est N. C'est le nombre de points sur FQ. Donc, il vous intéresse. Donc, ici, vous avez N. Et ici, vous avez N. Et ici, c'est très facile de voir que c'est Q fois 2 moins de G. Alors, l'intersection... Si vous croyez en l'intersection sur un corps fini et que vous croyez en l'indice de Hodge, vous voyez, si vous regardez l'espace de dimension 4 engendré par ces quatre machins, vous avez une forme quadratique dessus. Dans la matrice, c'est la suivante. Alors, il y a une partie qui est positive, parce que vous voyez, plus H au carré, ça fait 2. Donc, le déterminant se fourbille. Prendez le déterminant se fourbille. Donc, la signature, c'est plus, moins, moins. C'est peut-être dégénéré auquel cas le déterminant fait 0. Mais en tout cas, vous obtenez que ça, c'est négatif. Et quand vous avez fait ça, vous pouvez calculer. C'est l'inégalité de... C'est l'inégalité de... À surveil, puisque ça, vous vérifiez aussi tôt que ça fait ça. D'accord ? Donc ça, c'est les mathématiques élémentaires. Nous y veille. Alors, la théorie transcendante, ça correspond à un papier de Horvitz, de 1887, qui est... Voilà. Alors Horvitz, c'est la chose suivante. Il se passe dans une situation algebraique, mais il utilise, comme on dit, les méthodes transcendantes de Riemann. Il est vraiment en géométrie analytique complexe. Il utilise des fonctions theta, des choses comme ça. Il a eu la théorie de Klein. Donc ce que fait... Ce que dit Horvitz, c'est la chose suivante. On prend une correspondance algebraique sur la courbe, de b° AB. Donc cette correspondance induit un morphisme entre Jacobienne et de la courbe. On peut la regarder au niveau infinitesimale. C'est introduit à un morphisme sur l'Agebe de Lid, des Jacobiennes. Et à l'intérieur de l'Agebe de Lid, des Jacobiennes, vous avez le réseau des périodes. Donc ça vous induit un morphisme entre H1. Et ce qu'affirme, et que démontre Horvitz par des méthodes analytiques, c'est que le nombre de points fixes de la correspondance, donc vous pouvez définir comme le nombre d'intersections sur la surface, c'est croisé entre sigma et la diagonale, c'est A plus B moins la trace. Donc ça vous reconnaissez les formules de ce qu'on appelle aujourd'hui les formules de trace de l'échette, c'est-à-dire bien sûr qu'il n'existait pas du tout à l'époque, et mais qu'ils se sont développés plus tard. Alors, c'est ça, la théorie transcendante, et le point que fait Veil, c'est exactement celui-là, c'est de développer dans le monde de la caractéristique P l'analogue de cette théorie. Alors comment fait Veil ? Donc peut-être un mot sur les Jacobiennes, donc la situation complexe, si vous partez d'une courbe de degré de Georgie, donc vous y pensez de façon complexe, c'est une surface de Riemann, de Georgie, et la G forme holomorse indépendante, et on peut considérer le plongement Jacobien de C dans un tord complexe, la variété abélienne, la variété Jacobienne, qui consiste à vous choisissez un point de base, et vous intégrer ces formes sur un chemin qui va du point de base au point donné. Donc tout chemin d'intégration vous définit une forme linéaire sur les informes holomorse globales, il y a une ambiguïté qui correspond au période des lacets, mais vous avez un plongement de cette courbe C à l'intérieur de ce tord complexe. Donc ça c'est une surface de Riemann de Georgie, c'est une surface qui est compliquée du point du topologique, mais qui est de dimension 2, et ça c'est un tord complexe qui est de dimension complexe G, si vous voulez dimension réelle de G, qui est de grande dimension mais qui est simple du point du topologique. Alors le point vous voyez c'est que de ce point de vue-là, le H1 en bas, l'homologie est un changé par ce plongement, c'est correspond à ce réseau gamma. Bon, alors un des grands points, une des grandes choses que fait Veil, c'est d'abord, il est connu, donc ça c'est la Jacobienne de C, c'est la même chose que le groupe de Picard de C, il est connu que cette Jacobienne, dans le monde complexe, est une variété projective complexe, donc une variété algébrique, mais c'est connu de façon indirecte, c'est connu par la théorie des fonctions d'État qui fabrique des plongements. Donc vous voyez, vous faites deux constructions transcendantes, vous faites dans un sens et puis dans l'autre, vous portez d'une cour, vous fabriquez ce tord, et vous le plongez, et vous dites que vous pouvez l'algebraiser, vous l'aidez de transcendentiser. Alors la première chose que fait Veil, c'est une des grandes choses que fait Veil dans ce série de travaux, c'est de faire une théoriste complètement algébrique, des variétés abéliennes, qui est déjà nouvelle, même sur un corps comme C ou... Il fait implicitement une telle théorie sur des corps de caractéristiques zéro, sur des corps de nombre dans sa thèse, mais il faut admettre que beaucoup de points sont extrêmement flûts sur ces questions dans sa thèse. Alors le point suivant, c'est qu'une fois que vous avez une interprétation algébrique de cet objet-là, vous voyez, vous avez une interprétation algébrique, peut-être pas de gamma, mais de gamma dans z sur nz pour n'importe quel entier. N'est-ce pas ? Parce que vous pouvez l'identifier. Donc gamma, c'est le H1. Donc le H1, quand vous le prenez à coefficient finie, bon, il n'y a pas de problème de torsion sur les courbes, ça va s'identifier à gamma modulo n gamma. Et ça, c'est exactement les points de n torsion de ce fourbi-là. Oh, c'est en bas. J'ai fait tout avec en bas. On a la main qui a tendance à mettre en bas les 1, mais cdh en bas. Merci. Voilà. Donc ce que fait Veil, c'est une variante algébrique de cette théorie. Et par exemple, une des choses qu'il explique dans sa lettre à artine, qui est extrêmement, en un sens très élémentaire, mais déjà très frappant dans le cas classique, c'est la chose suivante. En tout cas, on peut comprendre comme ça, même si c'est pas expliqué en lettre à artine. Il y a une structure supplémentaire sur le h1 en bas d'une courbe, qui est l'intersection. Quand vous vous donnez deux courbes, vous pouvez les mettre en position transverse et compter le nombre de points d'intersection. D'accord ? Ça vous induit un nombre d'intersections, mode n sur les h1, mode n. D'accord ? Vous vous en déduisez quelque chose comme ça. Donc vous en déduisez une application des points de n torsion. Crois-la, n torsion derrière la courbienne à valeur dans z sur n z. Alors en fait, ce que découvre Veil, c'est que ce z sur n z, il ne faut pas y penser comme z sur n z. Il faut penser comme au racine via l'exponential, au racine de l'unité n d'ordre n sur c, et avec l'exponential d'usuel, qui permet de donner une application, et que quand vous oubliez le z sur n z intermédiaire, cette construction-là devient complètement algebraique. Et c'est ça le début de sa théorie transcendante. Pour lui, la théorie transcendante, c'est la théorie qui consiste à regarder les points de division d'ordre n ou de puissance sur la variété Jacobienne, et ces points correspondent exactement à des classes de diviseurs d'ordre n dans le groupe de classes de diviseurs. Donc ça, c'est le premier point. Donc c'est ça, pour Veil, la théorie transcendante. Donc qu'est-ce qu'il fait ? Donc il démontre que si vous avez une variété abélienne, disons son n'importe quel corps, et si vous vous donnez un L auxiliaire qui va remplacer le N ici, disons qu'il est premier et qui est inversible sur K. La caractéristique du corps est très mauvaise dans toute cette histoire, mais ce que démontre Veil, en fait, c'est que c'est le seul canular. Et bien, pour une notion naturelle de variété abélienne, qui par exemple sont attachées au courbe, la LN torsion a la même structure que celle qui avait été découverte dans le KG et Gala 1 par Abel et Jacobie un siècle et demi plus tôt. Et en fait, Veil considère simultanément toutes les puissances de L. Alors là, il se passe une chose très, très simple. Vous voyez, vous regardez, les points dont la torsion est une puissance de L, c'est un groupe dont la structure est très simple. C'est Z de L inverse sur Z. C'est les rationnels dont les denominateurs sont des puissances de L. Et l'endomorphisme, quand vous calculez pour regarder l'endomorphisme de ce groupe, ça vous fait sortir les antiaéladiques quasiment par définition. En d'autres termes, vous voyez, le point de ZL, c'est que Z, c'est dans ZL. L'idée, c'est que si vous travaillez mode LN pour N de plus en plus grand, à la fin, vous allez avoir des invariants éladiques et le corps QL est un corps de caractéristique zéro. Et donc, qui contient Z et l'intersection vont vraiment avoir un sens dans ce corps. Alors aujourd'hui, on travaille non pas comme Veil qui travaille avec ce groupe union. On regarde avec une limite inductive des points de LN torsion. On travaille plutôt avec la limite projective et c'est le module de tête de la variété abélienne. Donc Veil démontre ce théorème. Alors, le point auquel on arrive maintenant, c'est exactement les représentations galoisiennes. Par construction, toutes ces constructions sont équivariantes sous l'accent du groupe de Galois et vous envoie le groupe de Galois de Q bar sur K vers le groupe d'automorphismes du module de tête de la variété abélienne qui est un groupe linéaire à coefficient dans ZL. Et ces fourbis sont les archétypes des représentations galoisiennes. Là, il me reste pas beaucoup de temps. Alors, la théorie peut-être fonctionne de façon suivante. Donc dans les travaux liés à l'hypothèse de Riemann, Veil travaille surtout sur le corps FQ avec un L qui est différent de P. Et le point, c'est que... Ah zut, j'ai pas écrit ce que je veux. Il y a un L qui doit devenir un P. C'est en faire cette théorie. C'est toujours la même chose. J'ai pas écrit. C'est honte à moi. C'est donc le polinom P qui intervient dans la formule pour la fonction zeta un analog de la théorie de Hurwitz dans lequel le hache 1 est remplacé... Ah voilà, une chose. C'est très bien des sens... C'est la même chose que le Frobenus. Alors je remets le Frobenus en Q. X. Voilà. Et le point de Veil, c'est le suivant. Si vous voulez, c'est que l'action du Frobenus sur l'espace, sur le module de tête, sur TL. Donc vous voyez, ça, c'est une identité qui est très remarquable. Ici, c'est dans Z2X. Mais ici, a priori, vous êtes dans ZL2X. Bon, bien sûr, Z2X est dans ZL2X. Vous avez choisi un L auxiliaire. Et vous voyez que le polinom P, c'est le polinom caractéristique pour cette représentation galoisienne. Bien sûr, à la fin des fins, le L disparaît. Donc une autre façon de dire, c'est que vous voyez, ça vous dit que les valeurs propres de Pro-L de FQ sont évidemment des anti-algébriques. Et en fait, l'estimée de la surveille est équivalente au fait de dire que leur module complexe racine de Q puissance en demi. Donc ça, c'est typiquement une propriété qui est connue aujourd'hui sous le nom de pureté. Alors, vous voyez, ce qui est extrêmement étrange dans cette histoire, c'est quand vous faites cette théorie transcendante, c'est le mélange entre le L et le P, et le fait d'avoir une liberté sur le L. Alors peut-être de toutes petites remarques. En fait, cette histoire est très étonnante, parce qu'on aurait pu très bien imaginer que Veil arrive très très vite à donner une démonstration de géométrie algébrique qui utilise un tout petit peu de tuerie des surfaces, de l'estimer à surveille. Et en fait, on peut en plus le croire que si Veil avait regardé, ou il l'a sans doute regardé, le rapport de bril notaire sur la tuerie des courbes algébriques, il ne serait pas allé regarder. C'est vrai, il serait allé regarder Castel Novo. Et si vous regardez Castel Novo, Castel Novo donne une démonstration d'Orvitz en fait, dans un langage géométrique, qui utilise quasiment que de la géométrie sur les courbes, et pas sur les surfaces. Et donc Veil aura pu faire ça, et travailler sur les courbes, et donner une preuve à surveille, quasiment qu'en restant sur les courbes en caractéristique P. Et en fait, si vous lisez bien, vous vous rendez compte que si vous adeptez comme ça la preuve de Castel Novo, vous obtenez la preuve qui a été obtenue beaucoup, beaucoup plus tard, par Stepanoff. C'est la même. Donc là, vous avez un moment, un frisson rétrospectif, l'humanité aurait pu passer à côté des représentations éladiques. Non, ce n'est pas possible. Alors, une étape très importante qui va être élaborée dans les exposés suivants, c'est la situation au cas et un corps de nombre. Et là, bon, les travaux sont une des contributions importantes, c'est celle de Taniyama, qui explique que quand le cas est un corps de nombre, on va pouvoir considérer pour tous les L ces représentations, et qu'on aura ce type de relation, Ocus désigne la substitution de Frobenus, peut-être pas pour tous les premiers, mais pour presque tout, et où on a le membre de gauche étant indépendant de elle. C'est comme ça que Taniyama arrive sur ce qu'il définit, comme la notion de système compatible de représentation éladique, et Veil explique lui-même qu'il trouve ça comme quelque chose d'absolument fantastique dans la review qu'il écrit pour Mass Reviews. Bien, je crois que j'ai dépassé mon temps, donc je m'arrête là. Avez-vous des questions ? Vous voyez ? Une question, mais un commentaire. Un commentaire. Je crois qu'il n'y avait aucun risque que Veil ne développera cette théorie parce qu'il y avait quelque chose à qui il tenait beaucoup. Il tenait non seulement à l'hypothèse de Riemann pour les courbes, mais il tenait beaucoup à ce qu'on appelle la conjecture d'artine sur les fonctions L, qui dans ce cas particulier revient à dire qu'une fonction rationnelle de X est en fait un polinome. Or, aucune démonstration élémentaire de l'hypothèse de Riemann ne démontre ça. La seule démonstration connue, c'est de passer par la théorie éladique. Je ne crois pas qu'on ait réussi à faire des démonstrations sans théorie éladique. Si j'avais eu plus de temps, je reviens à l'aborder là-dessus. Un autre point qui est très important, c'est par exemple Veil démontre et étudie les anodondomorfices de variété abélienne. Et la théorie éladique est évidemment indispensable pour s'en accrocher à quelque chose de dimension finie et avoir une finitude. Si vous pouvez basculer une seconde sur l'enfi d'arbre, avez-vous des questions ? Ou un commentaire. Jean Benoît, tu n'as pas mentionné la démonstration de Roquette, c'est ce qu'elle a dit. Les questions continuent ici. Oui, les commentaires plutôt. Oui, je disais qu'il y a aussi la démonstration de Roquette, tu ne l'as pas mentionné. Non, mais surtout je regrette de ne pas mentionner la démonstration de Roquette. Ce qui est important, c'est de savoir que la démonstration de deux lignes est très différente. D'accord. De cette démonstration. Je ne sais pas. J'ai une question. Tout au début de votre conférence, vous parliez dans les années 1830, Jacobi et Abel et tout ça, et vous parliez de groupes simples, linéaires sur un corps fini, n'est-ce pas ? Mais c'est simple, est-ce qu'ils avaient la notion de se distinguer ? C'est ce que dit Galois. C'est en termes modernes exactement ce que dit Galois. Ok. Une chose que je regrette de ne pas avoir dit, c'est qu'en fait c'est très étrange du point de vue historique, que la raison pour laquelle Orwitz s'intéressait aux correspondances, c'était pour clarifier les travaux de Kronäcker qui correspondaient au calcul de l'intersection de la diagonale avec la correspondance modulaire. Et en fait, s'en va plus loin, le fait que ceci est lié à cela en caractéristique P, c'est évidemment les congruences d'Eiffler-Chimura que les mathématiciens allemands avaient explorées dans les années 1880. Donc en fait, c'est un thème aussi, si j'avais eu le temps, j'aurais bien aimé discuter, et qui correspond à des choses qui vont discuter plus tard aujourd'hui. Oui, c'est dans Weber, c'est dans l'air bourde à Agébra. Bon, une dernière question. Oui, mais là, dans 95 secondes, je ne sais pas, je peux écrire une chose ? Oui, mais je m'arrête. Je crois qu'il faut qu'on respecte le temps. Donc, nous reprenons dans trois minutes.