さくっと 解説など 遊利アップしてくださいコンターンヨーメーシノイロとか刚説をお願いします興味深いキャラクチの一緒 but if you're interested inantanglment majors, especiallyantanglment hell Spain I highly recommend前の課題のコンティニューションについてお伺いします。これがミックスオステイトのエンタグラムメジャーです。エンタグラムメジャーはフォロマエントロピーで使えますが、ミックスオステイトの状況は非常に困難です。しかし、ミックスオステイトのエンタグラムメジャーについてお伺いします。このコンティニューションがあるのは、適当なためにデータが流れているので、マイクスオステイトのエンタグラムメジャーはそこにあるのですが、このマイクスオステイトは優しさがありません。一つは簡単、とても簡単で、下A、Bは常にポジティブなのですが、これはエンタングルメジャーです。しかし、下A、Bは0です。とにかく、A、Bは分離されます。これがエンタングルメジャーの定規です。次は、下A、Bはピュアです。そのまま、折装ダイバーで研究する必要があります。下A、Bを使ってエンタングルメジャーです。3つ目の内容は、これは非常に重要です。そして、この育てを考えたことがないから、LOCCについて話したことは、実際、LOCCの特徴です。LOCCが、それを試して、エンタングルメジャー、とても残念の重要です。リソースの数のリソースはあまりにくいかもしれません。そのため、エロAVのトニカリを減らせるために、サンダイルを減らせることができます。これは基本的なプロパティーです。このアクションはフリーリーを行うことができます。フリーリーを行うことができます。このアクションはデコヘリアンスを行うことができます。でも、アクションは簡単です。このアクションはエンタングメントを増やすことができます。特にエンタングメントを使うことができます。それが必要です。第四つはコンテニュータイムです。このコンテニュータイムは、ローAVを変更すると、少しインフィンテジマリを減らせると、このコンテニュータイムもインフィンテジマリを減らせます。このコンテニュータイムは、このプロパティを書き取りましょう。例えば、ホンライマエントロピーを使うことができます。でも、レニアエントロピーはこのプロパティを使うことができます。そのように、ホンライマエントロピーは、非常に良い、でも、レニアエントロピーに対して、コンベクスプロパティを使うことができます。それは、間違いがあります。2重なマトリックとマトリックと左に3つのデンシュアルを混ぜて、1と2とも2とも2とも上がって、それが少しだったとみていますが。1と2とも1とも・・・それを ホントローラーで混ぜると、それを阪に返すのですが、実は、ホントローラーは根が伸びて、これは反対ですマイナス・ロール・ロールこれはコンケーブですこれは普通のエントロピーの意味です例えばエントロピーが2つ違うものを混ぜるセカンドロールが2つ増えますこのコンケーブリーはここにあるエンタンクルメンツは非常に貴重なものですその時にユニットのマネと呼ばれていますもし、何かを行うと常にマネを負けますこれが基本的な意味です2つのセカンドロールもエンタンクルメンツも増えますこれも同じですフィジカルに合わせるアクセスのアクセスを常に増えますこれらはエンタンクルメンツの必要がありますこのコンテンツは少し増えますこのコンテンツは少し増えますそれが一つのマスマチックバウンですそしてこのコンテンツは小さな変化が大きくなりますエンタンクルメンツの理由はこのコンテンツが非常に特別ですそしてエンタンクルメンツのリバーシビリのエンタンクルメンツがユニットのアクセスがこのコンテンツには何があってないそしてそして、セオレンの1のコンテンツを紹介します。セオレンは、この1と5が集まっていると、この人は、フォローリングの位置に立ち上がります。エーディは、ディスチュレーションを描くことができます。どうするのでしょうか?エンテンツをスピードして出来るかどうしても、その通りがよくリプレストでエンテンツを吸引しております。エンテンツの図柄?エンテンツは反対の意図です。でも、これは、これを見たことはありません。見たことはありません。これを見たことはありません。これは、フェアステートのために選ばれています。しかし、これがミックスステートになっているので、それがコンシステントになります。ピアステートについては、このようなアクションをしないでください。そういう意味で、2つのオビアスメジャーは、コースターンデシュエーションは、エピアルペースの数が多いので、エピアルペースの数が少ないのでエピアルペースの好きな状況についてこのようなエンタープルメチュアは アディティビティを意識することができますアディティビティは デンシティマトリックスによって マルチプライドをすることができますナイブリを意識することができますしかし これは常に違っていませんしかし エンタープルメチュアによって エンタープルメチュアによって無様に エンタープルメチュアのシステム の製品には 無様に厚めのようにさんが付くのが 理解できませんだけである理解を作ります常に リザラリが 해 這個手法を設計するのが 重要なものです継続 アシムトティック クリミックこのように 新しいアシムトティック クリミックのリザラリをつづけていますしかし アシムトティックのポジションが 常にあるためのメジュアが塞るこれは アンタイムの エンタープルメチュア という大切な事ですAnd there are many examples but maybe also I asked during the break timesI want to give one example but I will come up to another examplebut not exactly entanglement measure.But here I am talking about entanglement measure.So this is distillation.So how many EPR pairs can you extract from a given system?Yeah, this is the China, yeah.And there are best measures.As far as we see, so I think there is the best measure.これだけの1枚目を計算しているもう少しよりも安定的なコンストレーンですこの人は安定しています他のメジャーでお話しもすることもできます最も美しい1枚を計算しています叫ぶ叫びはスクワシテンタングルメこのデファインはSQESQかかりますか?この人はインフィニューであるそれは基本的に一見がありますが でもそこは若干の場合もありませんあ、あ、すみませんこれはしたいでしょうああ、ことですねまずは、スクア時点、参業者などOABは一般的なマヨチャーを使っていますこれをC拡大して 見込んでいます見るとミュージュアリフォーメーションについて話します。私はこれを説明します。ここではローエビを始めます。ローエビは常にインプルがあります。しかし、ヒルバースペースを上げることができます。ABCのエンスティーマティックを説明します。ABCはオビタリーです。ABCはオキリアリーフィルバースペースです。そして、これがエクソステイドです。トレーサーを見ると、ローエビに戻ることができます。これがデフニーションです。しかし、これを説明する必要があります。これだけです。BBC、ABC、Cです。これがミュージュアリフォーメーションについて説明します。ミュージュアリフォーメーションについて説明します。SA plus SB minus SBです。これがコリリアーションメージャーです。SABです。これが一つのジェリアリーションです。エクソラスペースを上げます。そして、この選択を全てのミュージュアリフォーメーションについて説明します。これがスクワシテンタンラーです。でも、このコンピュースは非常に難しかったです。オーバータリーステイドに対して、ミュージュアリフォーメーションについて説明します。これが実際に最大問題です。でも、このデフニーションは、これは特に良いものです。これが多くのイコリティースを見ることができます。これがオビアスです。このようにも、少しにはミュージュアリフォーメーションです。そして若干これは公認で archiveで移域します。そして、大きな sprdつない somethingを埋めます。さらにこの方法を記載します。なので、今日の監視について説明したことです。今回です。なぜに以上の示� springs デジャパートで那我們哔験をするのかでもないEst パートより、このミニマンのベビーバージョンについてお話しします。フォログラフィックデュアについてお話しします。明日は来るかもしれません。今日はないかもしれません。OK。これがミクトステイト・エンタングルントメジャーの故郷です。本物の主題を繰り返します。ADS safety from quantum information viewpointについてお話しします。前にエンタングルメジャーのエントロピーについてお話しします。これはスピンシステムを覚えたら簡単です。コンテニアスリミットについてお話しします。クリティカルアイザングモデルはコンテニアスリミットでカットをスケールで0を取り出します。コンフォーマーフューセリーでアイザングモデルCFTです。マイアンナラフェリオンCFTです。今日はコントンメニバーリステムを覚えておきます。このスピンシステムのコンテニアステムは、ラティスサイトのコンテニアステムを覚えておきます。カットスケールはスケールでスケールをスケールしておきます。ラティスコンスタントはイプシロのラティスコンスタントです。この2つのラティスのスケールはインフィンテニアステムのコンテニアスタートについておきます。そしてこのコンポジションのヒルバースペスを見て下さい。これをAに呼びます。この上にBに呼びます。そして、全体の肺部の空間はこのようなオールスピンスにHBとHAをファクトライスしてそして、全体の温度を持ち上げます。そして、全体の温度を持ち上げます。そのため、このように、サトルはバンダリーの形を担当するために必要がありますが、この上に、私はこのようにこのようなものを教えていただくのが私はこのように、サトルの形を担当するために私はこのように、サトルの形を担当するためにこのようなものを教えていただくのが私がこのようなものを教えていただくのが我々の動きはの可能性があります。arlo is all teachersActing me бат is theер�로の建築法 讃の証拠 forming とかく we have today cookies miscellaneous thingsバンダリオVやデコンポジションAとBと同じバンダリオVのセットについて説明します。このデコンポジションのヒルバースペースについて説明します。エンタグルメントエントロピーと同じ説明です。このようにエンタグルメントエントロピーはコントンフューセリーを説明します。このフレームアップは基本です。そして、このエントロピーのセブナルケースのカリキュレーションを説明します。今、特にコンフューセリーのセットについて説明します。特にコンフューセリーはエンタグルメントエントロピーのセクションについて説明します。まず、ファミリアのメソッドを説明します。このセクションはエンタグルメントエントロピーのCFTです。まず、レイプリカンのメソッドを説明します。これは、エンタグルメントエントロピーのコントンフューセリーを説明します。これは、ケースを使っているのではなく、このメソッドを使っています。この説明のアイデアは、レイニアエントロピーと同じように説明します。そのまま、N-core1の興味は、このコンティティを見てもいいです。それは無ロガリスミックなタマンです。それが簡単に計算できることもできます。本当に、それは確かです。しかし、これはホログラフィックケースではありません。ホログラフィックケースのN-core1は、ロー・ロー・ローは簡単にコンピューされています。しかし、このAによって、Aによって、コンピューされています。このコンティティは、2ライトフィクチャーで、ブラックボードで、フォーカーソンを作ります。次に、高いディメージョンアラケットに戻ります。フォーカーソンは、2Dコンティティのフュースシャリーを作ります。もう1つの2Dコンフォースシャリーです。そして、このコンピューされたことを、前に、解説します。そのまま、コンピューされたことを、パスインティテクラフォーマークに行きます。これは、このパスインティテクラフォーマンクの解説をしたことがあります。まずはローAを計算する必要がありますが、これを覚えてみましょう。特にCFTのグランドスタイトのフォーカスをオンしてみましょう。エクサイレススタイトを簡単に整えることができます。明日のプロエルに戻ります。まずはグランドスタイトをオンしてみましょう。グランドスタイトのフォーカスをトレースしてみましょう。これがオリジナルのデフニションです。まずはウェブファンクションを実現します。コンダフュースレリーとしてはウェブファンクションです。これがオリジナルのデフニションです。これはインフィニティのパスインテグラルです。このパスインテグラルにもマイナスインフィニティと0を使います。これはユクリギャンパスインテグラルです。このプロジェクトはグランドスタイトです。このエボリューションはハミルトニアです。このエフィニティをオンしてみましょう。このバンダリーをオンしてみましょう。ここにバンダリーをオンしてみましょう。これがウェブファンクションです。これをオンしてみましょう。これはパスインテグラルです。このプロジェクトはインフィニティと0を使います。そしてロウエーをカリキュレーしてみましょう。この2つを混ぜます。パスインテグラルからプロジェクトのマイナスインフィニティと0を使います。しかし、リジョンエーを使います。リジョンエーはインフィニティを使います。このプロジェクトはインフィニティのパスインテグラルです。トータルステムはインフィニティと0を使います。ページがアップしています。このプロジェクトはインフィニティと0を使います。また、タブシステムはインフィニティと0を使います。たくさんのアップステムとパスインテグラルを使います。ここからパスインテグラルを使います。このプロジェクトはAです。そしてこのプロジェクトはBです。これはリジョンエーを使います。私たちが和紙として気に入っていなければ、個人扱いは効果的な Yearが終わって、生術が明らかになったのです。 These are just a partial functions. So, this is just the pass integral to minus infinity to the plus infinity. These guys also should be normalised but we will not use that.次に、このトレースの方法を考えます。次に、この方法を書き込むことができます。カットAとパスインティグレースの方法です。多くのNを書き込むことができます。この方法はパスインティグレースの方法です。重要なことは、このマトリックスは、2空間の接線をアップ。次に、 this guy is other guy.and then at the end of the tables,this guy is identified as a first guy.So, then what we get isN-seated, shouldn't be cut,this is N-seated and this is the region A.たものを見ると 次に2の3を切り出すと3を切り出すと 次に3を切り出すとこの次のデフシットのアングルは2πnの場合2πnの場合このデフシットのアングルを見るとネガティブデフシットデルタイドは2π1-1This is negative but anywaysLet's call this definite anglenegative deficitSo we are talking such a conical spaceBut anyway, once we have thisSystemWe call this thing a Sigma nManifold is called a Sigma nIt's sort of Re fetchAnd then this quantityis basically the same asPart siamo functionOn this Sigma nDivided byPart Kuns functionTo the ns powerThis is the original oneこれは普通のパスインテグラムですこれはトラミナルの実現ですこれをコンピュータを必要ですこれがプロジェクトの一つの問題ですコンピュータを実現していますそしてアナリティカルの内容は多くのパスインテグラムではないそしてアナリティカルの内容はこの辺りのデリバータを取り出します1つのリミットで終わりに行くことができますこれがレプリカトリックです私も言いたいことを一つに説明することができますしかし、このようなこのようなこの点でローカリーにある柔らかい柔らかいエンジンを作りますしかし、ここから2DCFTを作ります2DCFTのCFTを作りましょうこれがCFTですCFTのマルチグループコピーのCFTを作りますCFTのNコピーのCFTを作りましょうもう前に彼らは彼らは彼らは2DCFTのCFTを作りましょうこのCFTのNコピーのCFTを作りますこのCFTのCFTを作りましょうこのCFTのNCを作りますこのCFTのNCを作りますこのようにこのようにこのようにスペシファイドでツイストオプレーターを作りますこのツイストオプレーターを作りますこのディフシットアングルを作りますもしそうですこれを2点のファンクションにツイストオプレーターを作りますこれはABの通しですAの通しですCFTはこれをとってコフォーマルのDimensionを作ることでエンタングルメントエントリープを作りますこのようにこのようにエンタングルメントエントリープを作りますオリジナルのペーパーは4Z ラロス リセイクカラブレーズ カーディーともに多くの数値を上げてくださっています次に次のセクションは同じセットアップの数値を上げてコンベーショナルの結果を取り出しとても違う技術を取り出しますこの点でここに止まりました今は高いディメーションを取り出し2Dマシュンを取り出しこれを取り出し2Dマシュンの雰囲気で取り出し2Dマシュンの雰囲気が配置することもできますこれを調べることもできます高いディメーションを取り出し上乗せのエンタングルメントエントロピーもでも高いディメーションや最後にこの課題を作りますでもこういうコンベーションでヌーメリカルの方法についてフリースケーラーをディスクリティーしてスレドニーキーとボムレディーサーのファイオニアリングのパイバーにヌーメリカルのアナリシスを行いますその後、フロパティーをエリアローについてとても重要ですこの文を説明しますでは、この方法について説明しますD++1Dimensional quantum-fuselier Relativistic quantum-fuselierwith a fixed pointウルターバレットリミット is a kind of conformal environment but the infrared we can have a mass-gear-up and so on UB fixed pointif we don't have a UB fixed point then we have to modify the result so we have assumed some UB fixed point anyway this is quantum-fuselier so entanglement entropyinfit degree of freedomnot necessaryit's just some conformal fuselierinclude degree of freedomyes exactlyinfit degree of freedomso in general entanglement entropy is UB divergentso please keep in mind thisso then generallyso we have to think about how it gets divergentand there is a basic ruleof this divergentso for this we again specifysub-systemsub-system is herelike this kind of setup already mentioned hereso then wenot to be a thing it's a boundary of A or equal to boundary of Bthis is a specified decompositionso entropy should depend on this boundary of Aso entropy should depend on this boundary of Aand thenwhat people findis this entanglement entropy is divergentbut it's some coefficienttimessome universal divergentwhich is proportional to areaof this boundary of Aand we have cut-off scalecut-off scale we call the lattice spacing of epsilonso epsilon to some powerbut this is a dimension of D-1so it should be D-1and some sub-reading collectionactually sub-reading collection we knowlikethere are no epsilon D-2 timesassumingA isround A is smoothsmooth manifoldif A has a cusp likewe have a cuspthenthis term appearsbut let's assume A is smooththensecond order termbut anyway so this partis very importantthis part is importantthis reading divergenceand this is called the area lawand this coefficientalso mentionthis coefficientthis is really fixed by theorydepends on the theorybut once we fixparticular Lagrangianthis is quite universalthis is true for slightly excited state and so onso here we have in mindgrand state or some finite energy excited stateand if we excite a little bit thenthis sub-reading term can changebut the reading divergence doesn't changeboth bothI will give also an analytical explanation laterbutwe can do it in aninitially,historically first thingis that people do it in Americabut now that we have an analytical controlyeah,of course it depends on epsilonthat's rightso if we change epsilon to 2 epsilonthen of course this coefficient changesso it depends on how we regularize the theorythat's a good pointso this term is notbehavior is universalbut we cannot extract universal quantityso actually from sub-reading termwe can extract universal quantityincluding central charge and so onyeah,that's veryexcellent pointand okayyeah,soand I would like to mention the meaningimportance of this area lawone may think this is quite generalbut if we look at this moregenerality systemso actuallymost states satisfied somethingvolume lawso entanglement entropy is actually proportion to volumeonly limited number of statessatisfied area lawI think measure is probably 0but I write it this wayand quantum fuselage stateground state and slightly excited stateUFT stateis lived thereif we really excited quite a lotlike if we excited quantum fuselageup to this cut-off scalethen it's really going to changeinto volume law regionso this is the area lawand this isand area lawis related tolocal Hamiltoniannot necessary butthere are theorem that if you have a gapmust gap and if you have a local Hamiltonianalways area law followsthis is proven,regulatory proven in two dimensionso unfortunately there are nogeneral proof for higher dimensionbut this is something we understandfrom holography combining holographyand other free field calculationand many otherno resultsbut anyway so we can capturesuch a local or non-local natureof Hamiltonian and if we considersuch a ground state this area lawis volume law so if volume lawcorresponds non-local Hamiltonian basicallybut there are some smallexception so we have to be carefulbut roughly speaking this is whatwe havebut there are someexceptionon this area law soactually this is the main target of hereso here we are general talk about thishigher dimension including higher dimensionhigher dimension ortwo dimensionbut if you think about specially two-dimensional CFTthenand if we have aas I told you so this is still forarea law just very simpletwo-dimension just one-dimension spaceso area law mean justsubsystem A then area just twotwo points just number of pointsthis is two points and if you havea is disconnected like this four pointsfour times result this is area lawbutif you think a massless limitso this entanglement interpretslogarismically divergesthis I will derive thisjust soon laterbut just like resultthis famous resultsome constant is againnot because you can changey right then still you can changeconstant but I just don'twant to write it because it's not universalbut this coefficient of log is universalbut anyways but this logarithmicscaling is surprisingif we think about this area lawand we say people saythis violates area lawand this violation only happens in 2D CFTthere are no such a violationhigh-animation but this also includessomehow you can take decode one limitand epsilon to the 0th powersometimes this changes the logarithmicso not so surprisingyes?yeah yeah yeah yeahyou mean holographic descriptionyou mean minimal you said minimal areayeah yeah yeahhere it's okay but I can give someintuitive understanding of thisyou have many encanglementmany different pointsbut this encanglement gets very strongif they are close to each otherthis is the usual tool for local Hamiltonianso and that's the reasonwe just pick up this number of these guysso this is the area lawbut maybe in kohoma here it's a little bit subtlebecause they have a long rangeentanglement but nevertheless this istrue for higher dimensionbut 2D dimension because of that issuesome little modification happensbut in holographicwe have another interpretationas I will explainand yeah okay so yeahthis is already dimensionbut this is number of degree of freedomthat means if we increase the number of fieldsthen you know twicenumber of fields of course this coefficientwill get factor tooit's roughly speaking degree of freedombut this is not exactly related to centralcharging so such a sophisticated quantityexcept 2D dimensionand okay so then nowI'd like to derive thisthis guy means this area is a subsystemsize of subsysteminterval is length thereI'm using a little bit unusual wayto derive thisentanglement into p in 2D CFTbut anywaywe focus on ground statebut once we know the ground statewe can act some conformal transformationto get other statefinite temperature stateand so onso let's focus on the simplest casethat is just non-compact spaceand ground stateso we have n-seed even surfaceso A B and this is the subsystemand we have n-seedis this a field theoryso we can have a conformalinvarianceso let's call this coordinate systemwhy then we dosome conformal mappingwhich map to the simpler spacejust one seedso let's call thisspaces wthen this map is easy to work outthis is used manyarea literatureof this calculationy-ay-bequal to w to nso this n-powerchanges this 2 pi njust 2 piand so Apoint map toground originand B goes to infinityso I cannot write itinfinityso that means we havelovely speaking what we have is like this angleis 2 pi divided by nso there are many suchkind ofpreparationand one seedso let's call this seedis mapped to this wedgeso there are two axesthis guy and this guyis mapped to either of this boundaryis two boundarythis guy is here and then going aroundthen we go this way and we end up with thisand thenso the point is thatso this metric is flatthis is flatmetric is flatbut this is after this mappingthis is quite curved spaceso we wanted to understandcontribution of this curved metrictothis entanglement entropyso if we write a metricso we start with metric is flatdy dy barbut we can rewrite this in terms ofwso we have square and dww barso this is highly non-trivialand we can call this as awile factor is 2 piwe often write it as 2 pibut everything is flat spacepartition function is trivialbut because of this factorwe get entropybut unfortunately in 2D CFTwe know the powerful rulepartition functionof 2D conformal fuselagewith some manifold sigmais and with this metriclet's assume this metric ds square is exponentialto phi dwdw barbut in terms of something calledwile actionil phiis this metricwile c24 pisquareand this is just normalizationwe are consideringand this is a kinetic termand this is a central chargeand mu this is a kind ofwile potentialactually this term don't play important rolethis kind of quadratic divergenceand it's good to keep itbut this is not importantonly this term is importantin these calculationsand so this termfirst termcome fromthis is important termcome from trace anomalyconformal anomalythis is justso we know thatthe stress of energy stress tensor2D CFT that's the definition of central chargeactuallythis coefficient central chargewith this factorstandard normalization r is arich scalaris a manifold sigmawe compute the curve of the spaceso this takes on trivial valueand this is computed20 pi22 pithis is just a contraction of derivativeand anywaythis energy stress tensor is computed by actionby taking derivative of metricso then we can integratethis equationand then we get thiskinetic termthis is related to viral anomalythis guy is just quadratic divergenceof this partial functionand then once we know thisthen we can use this factorbecause we want to just computeevaluate this partial functionso we just plug this metricand then calculatethis entropyso then we see someappearance of divergenceso we need to regulatedivergenceexplicitly so this guylet's write this waydydw squarewhich isexponential to phiis given like thisn squareb-a squareand wto n-1and wnit's a bit complicatedthis isand thenimpressively everyone can do thisfrom hereanyway we like this guyand n meansso we are talking about this sigma nthen we put n heresigma n is this guythis guy is sigma nthe metricand we do thisit's a bit complicatedso we havedwand some rubial potential termthis is actually not importantbecause they cancelslet me justwrite it herein the minus 1wnso this is a full expressionanyway we just need to do this integralw is just frameso this should be easybut there are divergencesand the integrament entropylainy entropyis computed from thisvery easilysorry log we don't need logwe already exponential of iappear so log we don't need logand iln-n times il1this is the entropylainy entropyand thendivergencesthere are 3 source of divergences1 is obviouslywhere we haveclosed to athis goes to 0and y goes to athen wso w goes to 0but obviously this divergent hereso we need a cutoffand we just simply requirethis value is greater than yso we have toimpose cutoff scalein this coordinateand this is not very much hereso it's like another different cutoffbut we have to specifycutoff hereso thensowe have this but we canplug this condition herethen we see a-bappearand wn we have to takein this routeand thenthis cutoff looks like thisp-a1-aand yin a similar way we have cutoffy goes to bthen w should be less thanif shown just opposite powersopossibility is y goes to infinitybut actually this is not importantso in some sense this il cutoffthis is infinitely extendedy-l cutoffso for this we take this way-a some new cutoffy infinityso this is just the size of this spacelet's call this isy infinitywe only restrict everything hereotherwise integral divergentbut results don't depend ony infinity so this guy is not sonow it's very easy toevaluatefirst case y goes to a-limitand this actionis likew squareand c24pithis is the usual factorand 1-n squareand w squareso we can saythis is equal to zso then w so againso we use this conditionw is epsilonb-an throughup to this region this integral is convergentand very easy to seeb-aythis appears because integral like thisso we get this kind ofintegral hereand similarly we can do theanalysis fory goes to band I'm not writing detailsbecause it's just obviousthenwe find thatsorry I'm sorry this is minusthis is minusthis case you get plusand logand third case actuallyeven though we try to compute this guywith some integralbut it turns outthis is just proportional to nso this does not contributewe can just literallyflag this boundaries herethen just we know this is proportional to nso we alreadycalculation and just summarizeso we have tosum up this one and twofirst contribution and second contributionand this contributionthis action will be action in this curve spaceand it looks like this1-n squareand this logif come from this sumand then entropyan entropylooks likewe takewe divide1-n so then we getc andtime this is a famous resultwas derived by HoseiRosenrissigif you set n called1 this is phoneme entropyit produced the previous formthis is something elsethis is something elseand herewe only talk about divergent pieceso that is we don't knowwe don't say anything about finite piecebut there are some finite concernsbut this is not universalbecause if we change the cutoff scalethen this is somehow changingso we don't careso this is the derivation of this previous formbut equivalently we can derivethis in terms offrom this twist operator languagemaybe I just write it hereusual calculation is like thiswe have two point functionof the twist operatorand this givesb-aand some dimensionactually b-athis cutoff scale appearsand two times conformal dimensionof this operatorand delta n isH is a chiral conformal dimensionleft wing, right wing partso some of this is delta n12cn-nso this just alsogives this same resultso this is some wellthis known result forconformal dimension of twist operatorbut even we don't know thisthen we can calculate this wayif we know your reactionbut this is essentially equivalent of courseso the remaining thing I would like to explainfinally I just want to explain the calculationfor this theory but in higher dimensionyes yesyes this is only oneyes yes yes yesthat's actually but the multiple intervalresult depends on the theoryso it's because it's likewe get some kind of torus geometryas you can imagineso if you have two interval and two cthis is equivalent torus it's really depend on the spectrumso that way some case we know the resultsome case we don't knowspecial case of this Dirac fermionMassress Dirac fermion theorywe can get any resulteven any multiple intervalwe get an analytical resultbut for even free theorywe can compute for exampleRainy entropy for multiple intervalsbut we cannot extractfor exampleso we cannot take a simpleanalytical continuation about the endbecause it's described byvery complicated Z-Gel's tether functionD-NAS is going upand soso even free both of thesebut for holographic theorywe can quickly find that's what I will explainholographic safety we can compute itso justwe are talking about any dimensionbut rest restrictfree scalar fieldwe can even allowsome massive scalar fieldmassive we can takemassress limit but let's taked plus1dimensioncoordinatecoordinated plus1 is coordinatex0time and x1xdso we just use someeuclidean timewe choose a simplest choice of subsystemnamely let's call this x1direction and time is fixedto be0and this is maybex2 or other directionxddirectionso we just cut it into half halfprecisely half halfso the region Ais the regionso region A is the x1is negativeand region B is x1 is positivethis is a simplest choiceand this case we cancompute entropy analyticallyso this is Aand this is Band it's just extendother directionx2 another directionand we define this volumeso sometimes usefulso even time direction we take an integraland so all directionwe just call it vd plus1dimensionand x2is very specialso x2 and xdalways we have zero modeso just volumeit's infinite but just regulate intovolumeand then we want to compute this SAand so oneso we start with just vacuumpartition functionso this is just a rd plus1thismaybe I can write this rd plus1this flat space defined hereand just logo of partition functionthis as usual you can definethe logo of determinantinverse departmentof thislaplationthis because free scalarand so inthis momentum languagelike logk square plus m squareand we need to put some cutoffthis is important one of optionagain always cutoff is optionmomentums is one of optionbut this is quite useful to rewrite this in terms ofshing parameterso it's standardbut now integralof shing parameter sis has a cutoff equation squareand we have integral ofk just this guyalways we have to integrate overand sk square plus m squares is this parameternow if you integrateyou get logarithmic termbut we have cutoff hereand thenwe can easilycalculate thisthis Gaussian integraland what we findso now we'd like to compute a similarpartition functionfor a replicated spacebut replicated spaceis we can do actuallyanalytically but it involvesmany complicatedbest function and so on so I don't want to write itthey are actually simpler way to calculate itnamely this OV4methodwe have thiswe have rho8 to the nth powerthis is the ribbon surfacemaybe we can do itthis wayoriginally 2 pi n periodicitybut much easiershing to compute is OV4so we can rewrite thisin terms of some conical spacewhose angle is 2 pi divided to large nhere we set n equal1 overcapital nso this space is likeOV4C mod 10so we can calculate thisif this analytical continuation worksit worksbut actually this is very subtleso this works forskeler and the fermionbut it doesn't worksimply for higher spin fieldso this is quite subtle issueanyway so I'm not going to detailsso in this case we have tothink about extra d-1dimension but that's trivialthis direction is always trivialand then very easy to calculateand so thisbut we have to explain this OV4this OV4 there's a z and OV4and the element act some coordinatelet's call this coordinate zz is defined by xtau plus ix1Euclidean time and x1so z is rotatedby angle to pi over nand zthis is OV4this is a very simple OV4and then what we findhereso now we want it to computelog zthis r2 divided by the nso same as this guyand rd-1and this turns out to bed-1infinitydsdsof pi sonential sm squareand so we have tosum overjthis is a projectorthis if you are familiar with OV4this is so this means justz rightn-1this is a projector to theg-invariant stateif the state satisfiesg-sum state is satisfiedinvariant condition this survivesunder this projectionbut all other states project it outbut anyway so we can rewrite this wayand this is easy to computeactually thispress is easy to computeso this press is very easythis includes z equalsthis 0 note but this cancels with this guybecause we are interested inquantity like logz r2znminus times somethingtime 1 over n and logjust flat space partition functionthis guyand soand we have1 over n factor so this completely cancelsj equals 0 cancelsso we onlyinterested in jzand j equals1 to n but this is very easy tocalculateyeah so this is very easy to calculatefor nquantity-1this is becausetrace-low gjin terms of zero modesso this is a k integrallike we can just write this wayjust turn it overso this is justrotating also momentumso basically what we foundis two-dimensional momentum invariantbut this is acholomorphic combinationthis guy is a cholomorphic so we kthe k barand the exponential 2 pi i overn kand it's a four-logomorphic conjugate2 pi i n minusand k barand it just integratesjust we get a signsomethingpi j n squareand so we know the formulato sum over j in this signyou can find this in anykind ofmathematical formulabook then we can sum upthen we get thisand this allows us tofinally compute entropy and just writethe final resultyeah sa n is1 and this log ofz c overz n and minusz r1 over nlogof z r d plus1and then entanglement entropyby taking n equals to one limitwe get when d is greater than 2we get area logd minus 16 d minus 14 pi2 d minus 1timesy d minus 1this is the area of divergenceand some other termsthis is order d minus 3and at d equal to 1so we get a special thingthat's logarithmic divergencemust appearsso here reading termdon't depend on massin collection actually depend on massthis logarithmic term depend on massbecause this is the only mass scalebecause we have to combine mass scalewith cutoff to get the dimensionless quantitythere are no volume hereso it's just point number of pointsso even though this logarithmic divergencebut this still satisfy area logwhen m is nonzerobecause this contributionis just come fromend points of subsystem ajust count number of this end pointsso we say this isarea log is preservedbut if we take n goes to 0 limitthis is a serious problemand then logarithmic collectionof subsystem size appearsso if m equals 0this doesn't make sensebut that means we are talking aboutsubsystem a is infinitely largeso we decompose space into half halfthe length is infinitebut if we truncate length of ato be some finite size l3 log L over epsilonso the reason why we have1 6 is just we haveone boundaryso we have a system but we decomposein half half rightso only a boundary is one pointbut if you have two end pointsthen you get a 3 hereand if we take continuitywe recover previousbut anyway this is the simplest casewhich we can seearea logI think I will stop here