 Hemos visto ya que en z módulo n siempre que un número sea coprimo con n automáticamente tiene un inverso multiplicativo e incluso vimos algunos ejemplos utilizando las tablas de multiplicar pero imaginaos si queremos calcular el inverso de 133 en z módulo 143. Hacer la tabla de multiplicación para el 143 puede resultar de lo más entretenido por no hablar de números mucho mayores como los que nos ocuparán más adelante. Veremos en este vídeo como el algoritmo extendido de Euclides nos será especialmente útil a este propósito. Así pues queremos saber si existe o no el inverso de 133 en z módulo 143 y en caso de que exista calcularlo. Hemos visto que existirá sí solo sí el máximo común divisor de 143 y 133 es 1. La intuición que hay detrás es la siguiente. Buscaremos expresar 1 el máximo común divisor de 143 y 133 con una expresión de este tipo donde alfa y beta son números enteros. Así si somos capaces de encontrar una solución para esta ecuación la solución con números enteros puesto que la ecuación será cierta para números enteros en particular podemos dividir ambos lados de la igualdad por 143 y si realizamos la división entera el resto en ambos lados será igual. Así pues tendremos que 1 módulo 143 será igual a alfa 143 más beta 133 módulo 143 pero cualquier múltiplo de 143 dividido por 143 tendrá resto 0. Esta es justamente la definición de que sea múltiplo por lo que alfa 143 módulo 143 será 0. Tendremos pues esta igualdad y observemos que beta multiplicado por 133 es 1. Así pues el inverso de 133 módulo 143 será este beta que nos daría la ecuación de la cual hemos partido. Veamos como el algoritmo duplides o en su versión extendida nos permite no sólo calcular el máximo común divisor de dos números sino además expresarlo como una combinación entera de múltiples de dichos números. Esto es encontrar estos alfas y este beta. Por lo tanto nos volvemos a acercar a Euclides y a su algoritmo que nos permitía calcular de manera eficiente el máximo común divisor entre dos números enteros. Por continuar con el ejemplo propuesto calcularemos el máximo común divisor de 143 y 133. Si hacemos rápidamente los cálculos recordad que comenzábamos haciendo la división entera puesto de 143 del mayor entre el menor puesto que el resto es diferente de cero. Dividíamos 133 entre 10 de nuevo la división entera y puesto que el resto es diferente de cero volvemos a realizar los mismos pasos dividiendo ahora 10 entre 3. 10 entre 3 al calcular el resto de la división entera obtenemos 1 que es diferente de cero y ahora los dos últimos restos esto es 3 y 1 calculamos la división entera y ahora sí el resto es cero por lo tanto el máximo común divisor de 143 y 133 es 1 y por tanto tiene sentido que intentemos calcular el inverso de 133 módulo 143. Para ello lo que haremos será buscar una solución de la siguiente ecuación. Esto es buscaremos alfa y beta enteros que satisfagan que alfa por 143 más beta veces 133 sea 1 y para ello comenzamos despejando de la penúltima desigualdad la que nos daba el 1 máximo común divisor despejamos 1. Si despejamos 1 vemos que lo podemos poner como 10 menos 10 más menos 3 veces 3 y ahora tenemos aquí este 3 que justamente es el último resto de ahí de hecho es el que utilizábamos cuando hacíamos la división entera con lo cual podemos aislar este 3 y sabemos que será 133 más menos 13 veces 10 y sustituir en esta ecuación de aquí con lo que obteníamos que uno es igual a 10 más menos 3 veces 133 más menos 13 por 10 observar que este hemos sustituido el 3 justamente en esta parte sombreada de aquí ahora agrupamos los términos que tienen 10 con lo que obtenemos que uno es igual a 40 por 10 más menos 3 veces 133 donde hemos agrupado menos 3 por menos 13 esto es menos más 39 con 1 y tenemos 40 veces 10 recordar que estamos intentando calcular cuántas veces tenemos 143 por 133 esto es que no nos interesa realizar los cálculos nos interesa perseguir una expresión donde tengamos 133 y donde tengamos 143 y finalmente observemos que de esta ecuación de aquí la primera de ellas podemos expresar 10 como una combinación de 143 y de 133 así si sustituimos obtenemos que 10 será 143 más menos una vez 133 y si sustituimos en esta ecuación que teníamos aquí esto será que uno es igual a 40 en lugar de 10 expresamos lo que habíamos marcado y agrupamos ahora los términos que tienen 133 así uno lo podremos expresar como 40 veces 143 más menos 43 veces 133 y observar que esto nos da el alfa que será 40 y el beta que será menos 43 esta será una de las soluciones posibles habrá más pero justo para los propósitos que perseguimos en este curso con esta tendremos suficientes veamos otro ejemplo y en particular cómo expresar el máximo común divisor de 45 y 25 como una combinación lineal de los múltiplos de estos estas ecuaciones son un caso particular de lo que se conocen como ecuaciones diofánticas de gran interés en la rama de las matemáticas conocida como teoría de números y cuyas soluciones son números enteros esta en particular se conoce como identidad de bejut a quien tenemos en imagen y que denuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor de entonces existen enteros alfa y beta tales que se puede expresar el máximo común divisor de como una combinación de alfa veces a más beta veces b retomemos el ejemplo que estábamos considerando al iniciar y utilicemos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de 45 y 25 puesto que ya lo hemos hecho en más de una ocasión de hecho en el módulo anterior también iremos más rápido realizamos paso a paso mientras no obtengamos un resto diferente de cero pero si obtenemos como resto cero que va a decir que el último resto diferente de cero será el máximo común divisor y tendremos pues que el máximo común divisor de 45 y 25 es 5 y ahora recordar que despejamos de la ecuación de la cual obtenemos como resto el máximo común divisor despejamos precisamente esto el máximo común divisor y obtenemos que cinco será 25 veces menos o más menos una vez 20 ya tenemos el 25 que estábamos buscando necesitamos un 45 y en cambio tenemos expresado como un múltiplo de 20 para ello utilizaremos que 20 lo podemos despejar de esta ecuación de aquí y si sustituimos tendremos que cinco lo podemos expresar de esta manera donde observar que hemos sustituido el valor de 20 por lo que habíamos hallado en esta ecuación de aquí y ahora si agrupamos lo que vale los términos con 25 obtenemos que cinco lo podemos expresar como dos veces 25 más menos una vez 45 tenemos pues alfa y beta puesto que tenemos expresado el máximo común divisor esto es cinco como un múltiplo de 25 y un múltiplo de 45 a principio del vídeo razonamos cómo es posible calcular el inverso de a en z módulo b a partir de las soluciones enteras de la identidad de besud en efecto si tenemos que uno lo podemos expresar como alfa por a más beta por b y por tanto estamos considerando a no cualquier identidad de besud si nos estamos asomiendo de que alfa y beta son relativamente primos sabemos que esta es una solución en los números enteros ahora bien si calculamos la división entera de uno por b y de alfa a más beta b por b y consideramos el resto puesto que tenemos igualdad de los enteros en particular tendremos el mismo resto por lo que uno módulo b será igual a alfa a más beta b módulo b pero ahora bien módulo b beta b siempre será cero de ahí tenemos que el inverso de a módulo b será alfa puesto que alfa por a es uno módulo b veamos a continuación un par de ejemplos para comenzar buscaremos el inverso de 133 módulo 143 y para ello nos remitiremos a la identidad de besud que hemos calculado hace unos minutos esto nos da cuál será el inverso menos 43 módulo 143 pero si queremos saber cuál es la clase de equivalencia de menos 43 módulo 143 éste será 100 y lo calculamos utilizando una división entera de menos 43 entre 143 ésta sería una de las maneras de calcularlo y recordad que es porque hemos fijado las clases de equivalencia entre 0 y 142 tal y como generalmente se hace pasamos a calcular el inverso de 15 módulo 17 para ello lo primero que haremos que deberíamos hacer es calcular la identidad de besud recordar que la obtenemos a través del algoritmo de euclides extendido si lo calcula es obtendréis la siguiente identidad y esto directamente nos da cuál será el inverso de 15 módulo 17 y para acabar os proponemos como hacemos habitualmente una pequeña pregunta y un ejercicio que os permita evaluar si se habéis adquirido correctamente los principales conceptos presentados en este vídeo si os preguntamos cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y os tomáis unos segundos para ver cuál de ellas lo es y cuál es no lo es recordad de parar el vídeo en caso de que sea necesario bien pues espero que la respuesta correcta sea la a puesto que efectivamente si hay b el máximo común divisor es mayor que uno no existe el inverso de a módulo b la segunda es incorrecta puesto que no es cierto que no existan sí que existen y es la identidad de besud y la tercera de nuevo no es correcta puesto que el inverso de nueve módulo 9 sería 9 perdón no es el inverso 9 módulo 9 es 0 con lo cual no tiene inverso y finalizamos con la propuesta de que utilicéis todo lo visto hasta el momento relacionado con la aritmética modular para calcular el inverso de 3 módulo 3559