 Merci pour les introductions. Je veux aussi remercier l'organisateur de cette rencontre pour lui donner une honneur pour parler de cette conférence dans l'honneur de Marcel Berger. Marcel Berger était mon grand-père. Mon grand-père, il est ici, c'est Sylvain Gallaud. Et mathématiquement, je veux le dire, et je suis très... Et je suis très prouvé de s'assurer à l'école de Marcel Berger, parce qu'ils ont trouvé l'école. Il a ouvert beaucoup de doigts en mathématiques pour nous, pour améliorer nos mathématiques, donc je suis très heureux d'être ici. Et aussi quelque chose que je veux vous mentionner. Et dans mes étudiants mathématiques, je suis impressionné par le bout de la boucle que Marcel a brûlée avec Berger Gostiot, avec le boucle Berger Gostiot sur la surface. Il contient deux cartes qui se dévoilent à la localité et à la géométrie globale de la surface. Et c'était une belle surveille de cette géométrie, à l'arrivée de tous les résultats, les résultats classiques sur la surface, et aussi toutes les nouvelles zones qui étaient ouvertes à ce moment. Par exemple, dans ce livre, c'était expliqué le résultat du minimum de volumes de R2, le résultat de Bavarin et Pierre-François. Donc c'était vraiment une géométrie qui était dans cette longue histoire, donc c'était très important pour moi d'être sûr que j'ai envie de faire une géométrie. Ok, donc je vais parler d'un projet joint avec Clara Aldana et Luc Sambour, mon collègue, Samuel Tapie. Donc, c'est une question très générale dans laquelle les conditions géométriques ont une compagnie géométrique dans une classe conforme. Donc, dans 20 minutes, je vais donner les questions plus précises que nous ne pouvons pas se solver. Mais avant, je veux donner des résultats très connaissances. Donc, ces premières questions arrivent dans les questions d'une manifolde éospectrale. Vous considérez que c'est le Riemannien. Et donc, si f est une fonction smooth, je vais donner gf qui est la métrique conforme qui est conforme à g0 avec le facteur exponentiel de f. Et si le spectrum de la passion associée à gf vous obtenez les résultats suivants. Si n est 2, c'est due à Osgood, Philips et Sarnac. Et si n est 3, donc il y a deux groupes de personnes. Vous avez Brooks. Donc, je pense que c'est... Et ensuite, vous avez Chang et Young. Donc, vous obtenez les résultats suivants. Si vous prenez le set de f pour tout l'intagère K, la valeur eigen, la valeur eigen de K est equals à la valeur eigen de G0. Ok, alors, c'est compact. Et ce n'est pas... On ne sait pas si c'est vrai dans les dimensions de l'arrière. Ok, et dans les dimensions 2, en fait, ce que nous avons, quand on obtient ça d'un technique développé par Osgood, Philips et Sarnac, si vous obtenez la compagnesse de la classe conforme avec des spectromes. Et puis, il y a un autre résultat. Si la dimension est plus grande que 3, il y a un résultat de Gersky. C'est ce qui est le résultat suivant. Donc, assumez que vous obtenez p, le nombre réel, c'est plus grand que 2. Et... C'est un numéro positif. Et vous considérez le set de fonctionnalités comme que la foule, Rémanienne-Covacher, ou Gf2p, est bondée par Lambda. Et le fait que les volumes soient fixés. Alors, ce que vous obtenez c'est que ce set est précompact. C1α pour tout alpha entre 0 et 1. Et vous... Il y a des exemples de la chaine. C'est pas possible de les retirer. Vous pouvez faire des exemples où le facteur conforme est bloqué. Donc, allez à 0. Ou, l'exponential va à plus infinité ou à moins infinité, où vous gardez l'envers 2, normes de l'envers. Ok, alors il y a plusieurs... Donc, c'était en fait le point 13 pour la réflexion. C'est ce qui semble être très fort, mais sur les autres côtés vous avez ces exemples. Et ensuite, nous construisons la littérature. Et il y a d'autres exemples. Donc, je veux dire que c'est... Il y a un résultat par Simon Brandel en 2003. C'est un truc. Donc, c'est sur le bon sphère. Ok, donc... Vous avez un vrai numéro. Et vous avez ce type de f. Donc, vous assumez que la curvature par rapport à cette métrique de la square et le facteur que la curvature est plus grande que la quantité. C'est la 1. Ok. Donc, la curvature est la curvature qui génère la curvature de Gaussien dans des dimensions haires qui satisfaient aussi des transformations conformes. Ok, et... peut-être avec les volumes. Ici, c'est 2. Oui, c'est power 2, oui. Ok, et le volume est le même. Donc, vous obtenez que le set de f est fondé en Hn. Vous obtenez une dérivative en Hn2. Et puis, d'abord, dans le bedding, vous obtenez une compagnie. Ok, et... Ok, et... Ok, et il y a aussi une autre histoire où cette sorte de compagnie dans une classe conforme est importante, c'est la conjecture au bain. Ok, c'est... Vous avez... Vous avez le set de f. Alors que la couleur de Gaussien de f est constante positive et les volumes. Ok, la question était sur la compagnie de ce set. Ok, et en fait, le résultat est assez étrange. Donc, si... la Hn est en dessous. Donc, c'est une série de résultats. Vous avez... dans la meilleure dimension, c'est pour plusieurs personnes, selon les dimensions, et c'est compact. Et c'est pour Brandel et puis pour Marques. C'est Brandel-Marques. Et c'est... 2008. 2009. Ok, et cet résultat était aussi en 2008. Ok, et finalement, le dernier résultat que je veux parler de, peut-être ici, c'est... Vous avez un résultat par Mathieu Seul en 2016. Publier un bon journal, le journal de la Faculté des sciences de Toulouse. Et c'est un très bon argument. Donc, il... il est capable de... obtenir les mêmes conclusions comme les papiers de Gersky. Mais avec les replacements, il assume seulement quelque chose sur l'archivation. Mais il a quelque chose sur les spectraumes. C'est les volumes de la sphère de Gersky. Donc, c'est la normalisation. Il assume que l'archivation scolaire de P est encore plus grande que de N. Et il assume le fait que la première valeur eigen de M est plus grande que de N. Donc, la première valeur eigen n'est pas la même chose que la sphère. Et puis, il est très compact. Donc, il est capable de replacer toutes les hypothèses sur la courbe d'archivation par seulement une hypothèse spectra. Ok, mais maintenant, si vous allez à la littérature sur la compagnie très compacte de Rémanion métrique, il y a beaucoup d'autres résultats. Et puis, vous pouvez demander si vous faites une de ces hypothèses. Qu'est-ce que vous faites sur la classe conforme ? Si vous obtenez le set F, le set que vous avez boundé sur le diamètre et une basse basse sur la courbe d'archivation, ce set est très compact dans la courbe d'archivation. Ok, et puis, vous avez le travail de chigures, collines, chans, etc. qui décrivent cet espace limité. Mais c'est pour insin général. Si vous étiez dans la classe conforme avez-vous obtenu une meilleure compagnie ou peut-être une meilleure résultat ? Et puis, la compagnie précompacte est comme des spaces métriques. Donc, il dit qu'il convertit dans un space métrique. Il ne dit pas que le limit soit de Rémanion métrique ou de Rémanifold, même. Et la distance, même si c'est de Rémanifold, il n'est pas nécessairement conformable. Ok, donc maintenant je vais faire un remarque. Ok, donc les volumes ok, c'est rendu par cette quantité. Ok, mais maintenant, si vous regardez ce que c'est, ok, vous avez un gradient pour le métric, le G-naut. Ok, on a la fonction distance. Donc, la distance, si vous assumez que c'est un smooth, c'est aussi un B-lipsheet, donc c'est différenciable almost everywhere. Et en fait, c'est ce que vous avez, vous avez que c'est equal à almost everywhere. Ok, donc c'est, vous avez toujours ce genre de, c'est les functions de lipsheet, mais ce que vous avez, c'est le genre de régularité des volumes estimés. C'est très faible. Ok, et d'ailleurs, il y a des troubles parce que ces espaces sont précisément les ones qui ne sont pas inviées dans les fonctions continuées. C'est les critiques. Mais si vous ajoutez un petit peu plus, vous avez un P ici, qui est plus grand que un N, et si vous assumez un fixe, vous avez un W1P à priori les résultats pour la distance, et vous avez un T-alpha estimé, et de ça il y a une sub-séquence qui converge et vous donne une convergence dans le gramma forstdorf sense. La distance, c'est alpha. Et la distance, avec respect à l'original, c'est D0. Et puis, d'ici, par Asculi, vous avez une sub-séquence qui converge à la distance et y a quelque chose. Ok, donc je vais... Oui, c'est pas vraiment un jeu, c'est maintenant comment vous pouvez obtenir ces assumptions de la géométrie. Et c'est le premier résultat. C'est N. Donc vous fixez les manifs de compagnie avec de grandes métriques et vous regardez les métriques conformes. Les volumes sont fixés. Et d'ailleurs, c'est le total... Vous utilisez la couverture et vous utilisez une partie positive pour l'exponent. Et ce que vous assumez, c'est le farce de la sphère. Ok, donc c'est la sphère, minus delta, et delta est strictement positif. Ok, donc en fait, ce que l'on obtient, c'est la distance qui converge. Ok, donc, ce que l'on obtient, c'est la sphère limitée. Donc c'est la métrique que vous avez. Vous avez une distance pseudo-distance Ok, et vous identifiez le point où les distances sont 0. Ok, donc les roues-backs, ils peuvent avoir un point comme ça, donc la typologie peut changer dramatiquement. Ok, donc des problèmes. Ok, c'est possible pour construire un exemple où vous vous colliez sur une surface. 2 points. Ok, et le 1er, c'est aussi possible que le F, si vous avez une seconde, il ne peut pas être abandonné. Ok, et il y a un autre problème. Le limiter n'est pas conforme à J0. Parce que la priorité, peut-être que la fonction converge dans un bon sens, vous êtes conforme à un facteur étrange que l'oscillation peut vanner mais ce n'est pas conforme à J0. Et même si vous avez un exemple, et même que le limiter, donc je vais vous donner des exemples, des exemples qui vous donnent où cela s'occupe. Et donc pour le moment où nous n'avons pas, je vais vous donner un autre résultat qui est un renforcement de celui-ci, où nous avons retiré cette condition. Donc la typologie change, vous avez vraiment une distance sur donc je vais vous donner des exemples pour illustrer la difficulté donc ce n'est pas un exemple où vous avez ces conditions. Mais c'est un exemple où vous avez une compagnie compacte et que vous comprenez ce que sont les limites. Donc sur le tourisme, vous avez la suivante métrique vous avez une métrique conforme la métrique plate et donc c'est très bon. La distance associée est bondée par la métrique de Euclidean, donc la métrique plate. C'est facile de trouver ceci. Le facteur conforme est bondé entre un constant et un autre constant. Donc c'est vraiment de la billeture à chaque point. Qu'est-ce qui se passe ? C'est la typologie, et la métrique de Finzler est associée à des normes stables du périodique de Rn. C'est la métrique du périodique. Vous avez à la grande distance, la géométrie ressemble à la métrique Finzler. Donc la distance de la géométrie pour cette métrique, à la grande scale, est à la bonne distance si vous voulez, de la norme Finzler. Et la norme Finzler est la même scale sur ces manifoules. Donc à la fin, vous avez une séquence de smooth métriques qui sont conformes à des données et qui convergent à une métrique Finzler. Donc ce n'est pas conforme, ce n'est pas Riemannien. Ok ? Donc c'est un phénomène qu'on ne peut pas rouler par la géométrie. Ok, donc ce que nous trouvons assez convenant pour convaincre les premiers problèmes c'est un concept qui vient de l'analyse harmonique et que c'est dû à Rn, David et Simps que nous pouvons facilement adapter sur un espace métrique et c'est un concept de forte. Donc dans ce contexte qu'est-ce que ça veut dire ? C'est-à-dire que c'est en fait quelque chose sur la mesure d'être fort à l'infinité avec constant D si vous avez deux conditions c'est 1er, que cette mesure est doublée avec respect à la boule de votre métrique originale. C'est-à-dire que dans les volumes vous avez une boule pour la métrique G0 qui est contrôlée par B par le volumes de la métrique et le diamètre donc le volume de la boule c'est quelque chose qui compare la géométrie pour GF de la géométrie pour G0 mais c'est seulement comparé en fait c'est une géométrie qui est associée aux volumes en fait donc c'est la première condition et la deuxième condition c'est le fact donc je vais expliquer dans une minute ce que c'est c'est uniformement comparé à la distance pour F si vous avez deux points sur votre manifold ce que vous pouvez prendre c'est la boule, centre à X et de radius B X Y c'est la boule de géométrie pour la métrique G0 centre à X donc en fait par une hypothèse doublée vous pouvez either c'est pas symétrique en X et en Y mais la boule centre à X et en Y ils ont les mêmes volumes donc c'est ces deux conditions et ce que David semble montrer c'est si vous avez des formes de volumes qui satisfisent toutes ces hypothésies il semble que vous avez toutes les propres propriétés vous avez la métrique conforme qui satisfait les équalities de point carré qui est clairement de volume et aussi vous avez par exemple les équalities isopérimétriques les uniformes les équalities isopérimétriques de ces assumptions pour les métriques conformes et ce que c'est aidable c'est que si vous avez ce que c'est classique pour obtenir un improvement c'est de la volume que vous obtenez de l'intégrabilité donc pour un p c'est de la figure de n et de p c'est dépendant de g0 et de b donc dès que vous obtenez ce que vous obtenez de la conversion de gramma mais aussi parce que vous avez ces deux sides estimés que vous n'avez pas de colapsie donc il peut vraiment convertir vers une distance que c'est en fait une équivalence de builder à la base de cette hypothèse donc maintenant la question est sous quelle hypothèse géométrique vous pouvez montrer que la métrique conforme satisfait ces conditions donc c'est de l'autorème de nouveau avec n un constant epsilon qui dépend d'une explication de ces numéros c'est le terme de la base de la riche couverture pour g0 et le diamètre c'est quelque chose qui vient d'estimer les équilités suboréphes que vous pouvez obtenir une hypothèse géométrique donc c'est un peu on peut le faire explicitement ok donc c'est la métrique avec les mêmes volumes et le fait que nous n'avons concentrations en ln sur deux normes pour la covature ok, ça veut dire que vous avez l'air pas positif et le fait que donc c'est pour la métrique g0, ok, la boule vous n'avez pas concentrations dans ln sur deux normes pour la covature extractions subseconds ok, vous avez ça dfk dfk et plus d'autre pour les métriques originales oui oui c'est absolument excusez-moi c'est pas universel c'est pas universel c'est dépendant de g0 c'est dépendant du riche couverture du diamètre et du volume couverture c'est le nombre donc assume que vous avez ok, vous avez des secondes de la métrique conforme avec des volumes fixés et que la covature ne concentre trop beaucoup dans ln sur deux ok, la preuve est pour montrer que en fait ces métriques sont effectivement satisfaits ces conditions donc avant de finir je vais donner seulement deux mots sur la preuve comment nous recevons ces résultats les premières étapes c'est d'avoir une meilleure compréhension du facteur conforme que f c'est u plus v ok, il peut être décomposé le facteur conforme, la métrique qui satisfait ces conditions la première est boundée en w2n2 c'est pour dire u a deux dérivations dans ln2 ça signifie que si c'était vrai pour f ça signifie que f est une certaine covature qui est boundée dans ln2 donc c'est la partie où vous improvesz la covature pour estimer sur la grande covature mais ensuite vous avez des postes v et v est pas plus vieille continuez ok, donc c'est mal parce que ce u peut être décomposé mais ce n'est pas bien, c'est seulement vieille et tout peut être contesé donc vous avez bound wn 2n2 normes de u et vous avez estimé sur la vieille continue d'expandre pour v et les normes de v ok, et de cette donc c'est la partie ouverte et puis nous adaptons, ce n'est pas difficile, c'est le résultat de la banque de Saxman ce qu'ils montrent, c'est que si on prend le plus fort vous avez si vous avez un bond de l'un et l'autre vous avez les conditions de l'un et l'autre et puis de cette, nous savons que c'est pas un autre, donc c'est bond donc vous avez 2 méchants et puis vous utilisez l'adaptation de ces résultats pour obtenir la equivalence de l'autre entre les deux distances ok, donc je veux arrêter ici, merci oui, c'est seulement 2 le l'air est pour dire que à ce point le l'air est fixe mais ça ne importa pas mais c'est fixé dans la séquence d'autres questions ? ok, si non, merci