 En 50 minutes, je ne pourrai que survoler le sujet. C'est un schrait de parler un peu en détail du début, et la fin, ce sera extrêmement rapide. Par quoi est-ce qu'il faut commencer ? On commence classiquement dans ce sujet, sans être très bien sûr, à part la lettre de Galois-Luste-Chevalier, ces préoccupations sur la théorie de l'ambiguïté, alors quels étaient-elles injustes ? Est-ce qu'elles comprenaient des problèmes du type théorie de Galois différentiel, problème du type que l'exponentiel par des équations différentielles ne peut être définie qu'à une constante près, ou des choses de ce genre ? On n'en sait strictement rien, par conséquent, je le signale par ce qu'il s'agit de Galois, mais c'est tout. Le premier nom qu'il faut citer ensuite, je pense, c'est Louisville. Louisville a fait des travaux importants sur la résolubilité par quadrature des équations différentielles. Il y a ce qu'on appelle aujourd'hui les extensions de Louisville. Il y a aussi les systèmes Hamiltoniens, Louisville intégrable, c'est-à-dire un système Hamiltonien à deux aines de liberté, où il y a haine intégrale première indépendante et commutant, c'est-à-dire les crochets de poissons sont nuls. Louisville montre qu'elles sont intégrables par quadrature, et ça a été la source d'une littérature considérable. Il y a un jeu, c'est 20 ou 30 dernières années, de trouver des équations intégrables de Louisville, ou aussi de démontrer que certaines équations ne sont pas intégrables de Louisville. Ça, j'en dirais un mot à la fin si j'ai le temps. Alors, Louisville est en même temps l'éditeur de Galois. Est-ce que les idées de Galois ont influencé celles de Louisville ? J'avoue que je n'en sais rien sur ce sujet. J'avoue que je n'en sais rien. Il faudrait avoir des têtes, je ne sais pas été les voir. La personne partie que je voudrais vraiment commencer, c'est Sophie Sili. Ça peut paraître bizarre, parce qu'à proprement parler, il n'a pas fait de théorie de Galois différentielle. Mais il est quand même à la source de tout ce qui a été fait. Et je vais en parler londement pour une autre raison aussi. C'est que Galois, quand il commence à faire des mathématiques dans les années 60, prend connaissance de la théorie de Galois. C'était une époque où on travaillait beaucoup sur la théorie de Galois. Comme vous avez entendu hier, dans les années 50 et 60, on réfléchit sur la théorie de Galois, on en donne un tas de formulations, etc. Bien, alors, Louis s'intéresse à ça. Et il vient à l'idée qu'il faudrait étudier, je vais prendre des termes volontairement vagues, qu'il faudrait étudier les équations différentielles par des méthodes analogues à celles de Galois. C'était une idée importante chez Louis. Certains auteurs parlent même d'idefix chez Louis. Alors à partir de là, Louis se met à faire sa théorie des groupes de Louis, dont pas entre guillemets, mais tels qu'elle est, tels qu'on vous a expliqué dans la conférence précédente. Théorie dont je rappelle qu'elle est essentiellement locale en particulier, il insiste sur la relation entre les groupes et les algèbres, les transformations infinitésimales. Alors son idée que ça allait être important pour les équations différentielles est corroborée par le fait qu'un certain nombre de conditions d'intégrabilité s'exprime très bien avec un groupe, ou plus exactement un groupe infinitésimale. Le résultat le plus clair, le plus classique dans ce sens, c'est le suivant. Si je prends une équation différentielle d'îg sur dx égale pdx y sur qdx y pour p sur q, c'est une fraction rationnelle, p écusion des polynômes. Bon, je vais l'écrire qdx minus pdx égale zéro. Je vais appeler ω, cette forme. Alors ça, c'était déjà chez l'île de Théorie et chose comme ça. Alors l'île remarque la chose suivante. Si j'ai un champ de vecteurs c, donc a d sur dx plus b d sur dy, qui avec les notations modernes vérifie si ω est différent de zéro, mais dérivé de l'île si ω est égal à zéro, alors ω a un facteur intégrant, c'est-à-dire qu'il existe f telle que d de f ω égale zéro. Si il y a un facteur intégrant, l'équation ω égale zéro qui est équivalente à l'équation f ω égale zéro va pouvoir être intégrée par quadrature. Incidemment, ce résultat s'étend au feuilletage de co-dimension 1 en dimension quelconque, mais bon, chez l'île, c'est comme ça que ça se présente, disons. La démonstration est facile. Je vous donne la recette. La relation entre f, xi, ω et la suivante, xi f ω égale constante. Si ça me plaît, je mets 1. Je prends comme constante 1. Alors le théorème marche dans les deux sens. S'il y a un champ de vecteurs xi qui laisse un varié ω et qui n'annule pas ω, les champs de vecteurs qui annulent ω et qui n'est tous invariants, ω est une constante prête. Ah non, elle s'est ω égale. J'ai ω, excusez-moi. Et laisse un variant, non pas la forme ω, mais l'équation ω égale zéro. Laisse un variant. L'équation ω égale zéro. Alors ça va dans les deux sens. Si j'ai un champ de vecteurs qui vérifie ça, il y a un facteur intégrant f. Inversement, s'il y a un facteur intégrant f, le champ de vecteurs xi, l'un quelconque des champs de vecteurs xi qui vérifie cette condition, il est bien déterminé à un champ tangent, donc ça n'a pas d'importance, un champ annulant au média, satisfait cette condition. Alors donc il y a une relation apparemment importante entre intégrabilité et existence de transformation qui laisse fixe l'équation. Bien, alors à partir de là, on peut se poser une question, est-ce que l'il y a fait ou non, vraiment une théorie de galois différentiel ? Je vais dire essentiellement non, mais j'ai pas envie de dire non à 100% parce qu'il a eu une telle influence sur la théorie qu'une réponse brutale non est injuste, je pense. Même s'il y a à proprement parlé, strictement parlé, disons au sens de Bourbaki, par exemple, c'est non. Je vais faire quelques remarques là-dedans. D'une part à partir de ces idées, donc à partir de cette idée, Dly s'est mis à développer une théorie qui ensuite donnera les groupes de lits, ce qu'on appelle les groupes de lits maintenant, donc les groupes de lits entre guillemets, et aussi les pseudo-groupes de lits entre guillemets dont on n'a pas parlé, mais moi dont j'aurai à parler. Et qui au début sont confondus avec les groupes de lits, quand ils sont de dimension finie, parce que localement on peut pas les distinguer, à ça sauf qu'il y en a de dimension infinie. Alors on dit qu'il y a en plus les pseudo-groupes de dimension infinie. Mais au début, on confonde tout. Bon, et puis à partir de ces idées, il y a développé donc tout ça, et tout ça, il faut bien dire que son importance, ses applications dans toutes les branches des mathématiques en physique, dépasse nettement de loin la théorie de galois différentiel. Bon, deuxièmement, les auteurs qui ont développé après lui galois différentiel étaient soit de ces bons connaisseurs de ces idées, comme Picard, qui était un des introduceurs des idées de lits en France, soit ses élèves, Drache et Véciot, qui ont été à la hépsie de travailler avec l'I. Donc l'influence de lits est absolument directe. Sans lui, ces travaux n'auraient pas existé. Alors je voudrais dire une dernière chose. C'est qu'il y a une confusion qui semble s'être créée chez beaucoup de gens entre recherche des symétries à la lits des équations différentielles et théorie de galois différentiel. Bon, par exemple, cette confusion vous l'a trouvée encore dans les années 70 dans la notice historique de Burbaki, groupe de lits chapitres 3. Ça m'a étonné de la part de cet auteur qui d'habitude est mieux informé. Bon, je donne des raisons qui pour moi font qu'il est évident de qu'on ne peut pas faire cette confusion. La première raison, c'est que la théorie de lits est une théorie locale. Or, théorie de galois différentiel, on aura besoin de théorie globale. Et non seulement, donc, qui ont commencé à être étudiés dans les années 20, mais de théorie algébrique. Or, pour ce qui est les groupes de lits, on a commencé à faire la théorie algébrique dans les années 40, Colchine, à propos de ces travaux sur Picard Vessio, quand, au-dessus de groupes de lits, une théorie algébrique, c'est toutes les dernières années qu'on s'en est préoccupés après 2000. Par conséquent, il manquait des choses. Deuxièmement, je vais donner un argument heuristique. Pourquoi la recherche des symétries et la recherche du groupe de galois, ça ne peut pas être la même chose ? L'argument heuristique, c'est en gros le suivant. C'est que si vous cherchez à avoir beaucoup d'ordre dans une théorie, vous allez chercher ce qu'il y a beaucoup de symétries. Plus il y a de symétries, plus il y aura d'ordre. Jean-Paul Mohor dans un sens un peu vague, c'est plutôt le sens où l'empereur est les physiciens. Par contre, beaucoup d'ordre, c'est peu d'ambilité galoisienne. Donc peu d'ambilité, c'est un groupe, ou pseudo-groupe, qui apporte de galois petit. Par conséquent, les choses doivent aller en sens inverse. Plus le groupe de symétries est grand, plus on doit s'atteindre à avoir un groupe de galois petit. Bon, c'est heuristique. En fait, si on est assez avancé dans la théorie, tel qu'on l'est maintenant, on peut donner un sens précis à ces énoncés, et qu'on a en fait des objets qui communiquent l'un avec l'autre, donc plus l'un est grand, plus l'autre à petit. Je dirais qu'il y a une analogie avec la physique en un sens. Plus il y a d'ordre, plus il y a de galoisien, plus il y a d'ambilité, plus le groupe est petit. C'est comme dans les transitions de phase en physique. Plus il y a d'ordre, plus l'espace des paramètres est petit. Pensez au passage d'un fluide à un solide. Solide, vous avez que le groupe crystallographique. Fluide, vous avez un groupe beaucoup plus grand. Tous les déplacements. Donc c'est tout à fait analog. Par contre, les symétries à la galois, c'est tout à fait autre chose. Bon, puis alors il y a un autre point dans le même ordre guidé. Donc le groupe de symétries, ça va pas être le groupe de galois. Maintenant, si vous avez un groupe de symétries qui, pour des raisons que je ne sais pas détailler, ça va dépendre des exemples, vous semble un bon candidat pour être un groupe de galois. Vous allez constater dans les exemples qu'il y a une mopération à faire importante qui est sa réduction. Alors ça, c'est quelque chose dont je vais parler longuement. Bon, alors j'ai déjà dépassé le temps que je voulais sur l'I. Et alors maintenant, je passe au premier travaux qui sont vraiment de la théorie de galois différentielle, c'est Picard. La première note de Picard, Picard, c'est sur les équations linéaires. Et la première note de Picard, sur ce sujet, je voulais l'introduction et date de 83. Vous constaterez que, d'une part, Picard ne fait pas la confusion. Quand je viens de parler, il ne m'a fait absolument pas. Et deuxièmement, il reconnaît pleinement tout ce qu'il doit allier. Voilà. Les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques ont depuis été longtemps signalées et poursuivies dans une direction différente. On n'a pas, cependant, je crois, cherché à développer pour les équations linéaires une théorie analogue à celle qui a été donnée par galois pour les équations algébriques. En employant une méthode présentant la plus grande analogie avec celle dont a fait usage l'illustre géomètre, on arrive à une proposition qui semble correspondre au terrain fondamental de galois et l'on est incitendu à la notion de ce que j'appelle le groupe de transformation linéaire correspondant à l'équation différentielle. J'emploie cette expression de groupe de transformation déjà employée par M. Sophus Lee dans son mémoire si remarquable, etc., afin de distinguer ce groupe de ce qu'on appelle généralement le groupe de l'équation linéaire. Le contexte montre que ce qu'il appelle le groupe de l'équation linéaire, c'est le groupe de monodromes. Bon, alors qu'est-ce que fait Picard ? Picard prend une équation différentielle linéaire sur le corps dérational, coefficient complexe, et puis, par une méthode analogue à celle de galois, il fabrique un élément primitif pour les solutions, et puis par une méthode analogue à celle de galois, il fabrique un sous-groupe du groupe linéaire, donc il fait la réduction dont je parlais tout à l'heure, qui a la propriété que, ce que lui appelle, on disait hier, le théorème fondamental de la théorie de galois, chacun avait le sien. Alors celui de Picard, c'est le suivant. Les fonctions décoefficiantes de mes équations, qui sont invariantes par mon groupe, sont dans le corps de Barres. Bon, alors après Picard, il y a... Oui, Picard, il y a une chose. Il ne précise pas non plus où ils cherchent les solutions. Où sont les solutions de l'équation ? La théorie des équations différentielle linéaire dans le sang complexe était bien connue, bien développée à cette époque-là. Alors, c'est les solutions au sens de cette théorie, c'est-à-dire soit les solutions locales, soit les solutions sur un revêtement universel du complémentaire, des points cinduliers ou peu importe. Ça revient au même, mais c'est ce que tout le monde à l'époque appelle les solutions. Il ne se préoccupe pas du tout de cette question. Bon, alors Vessio, à la suite de ça, développe la théorie, insiste sur le fait qu'on n'ait pas obligé de travailler sur le corps des fonctions rationnelles, mais sur des corps plus... Sur des objets plus généraux, des domaines de rationalité. Il reprend la terminologie de Galois plus généraux, nous verrions des corps différentiels. Bon, en traduisant, je traduis rapidement, je ne dis pas que c'était exactement équivalent à ce qu'il voulait. Et surtout, il donne un théorème célèbre, condition de résolubilité par quadrature d'une équation, le fait que le groupe est résolu. Bon, je reviendrai là-dessus un peu plus loin, parce que c'est dénoncé, est un peu ambitieux en réalité. Il étudie aussi extension à d'autres équations, que les équations linéaires, des systèmes qu'il appelle automorphes. Je n'insisterai pas là-dessus, ça me demanderait d'être étudié plus en détail. Et je suis loin d'avoir tout le Vessio. Bon, je suis loin d'avoir tout du Vessio, et entre parenthèses, il n'est pas facile à lire. Le peu que j'ai lu est vraiment difficile. Bon, à partir de là, j'ai le choix entre deux directions. Il y a le développement ultérieur de la théorie linéaire, et puis il y a Drache et Vessio non linéaires. Alors je vais commencer par les développements de la théorie linéaire. Bon, alors théorie linéaire, il ne s'est pas à peu près rien d'important à signaler entre Picard et Vessio dans les années 80-90-10, serré exposé ensuite. Par exemple, le meilleur exposé de Picard, c'est dans son dernier chapitre de son traité d'analyse, chapitre 17 de son traité d'analyse, qui est très clair. Picard est très agréable à lire, je vous le recommande. Et Colchine, premier article de Colchine en 46. À vrai dire, la théorie avait vieilli. Colchine s'explique, longuement, dans l'introduction de son premier article, sur les raisons qui l'ont fait revenir sur cette théorie. Bon, cette théorie avait vieilli, comme on dit dans le bâtiment, elle avait besoin d'une remise aux normes. Elle avait besoin d'une remise aux normes sur beaucoup de points. D'abord, Picard et Vessio, Picard avait parfaitement compris que les sous-groupes étaient des groupes algébriques. Mais il n'avait fait aucune théorie des groupes algébriques. Et entre-temps, en plus, la géométrie algébrique avait changé. Il y avait dans les années 40, les débuts de la géométrie algébrique moderne, travaux, chevalaises, arriches qui veillent, etc. Donc, il y avait eu un travail à faire. Deuxièmement, je reprends essentiellement, à la même manière que dit Colchine dans son introduction. Deuxièmement, il manquait des bases pour le traitement algébrique des équations différentielles. Et alors là, Colchine les trouve dans les travaux des années 30 de rites, de l'équation différentielle algébrique, qui sont très clairement une étude systématique des équations différentielles, de ce qu'on peut dire du point de vue algébrique pour les équations différentielles, linéaires ou non linéaires. Et puis, il signale un autre point encore, je vais lire, « Not only does Picard Vessio theory suffer from a lack of an algebraic point of view, but some of it seems to be afflicted with a lack of clarity of the ideas. A most striking example is afforded by Vessio beautiful celebrative theorem that in homogeneous linear ordinal differential equation is solvable by quadratures if and only if the group is integrable. The solvable by quadratures is not clearly stated. A close examination of the proof that solving by quadratures must permit not only the operation of integration, but also of exponentiation. Autrement dit, il a besoin de résoudre df égale alpha et df sur f égale alpha. La distinction n'est pas clairement faite chez Vessio. Picard use quadratures tout équivalent to integral in the proof of necessity and yet permit exponentiation in the proof of the sufficiency. C'est ce que dit Colson. Bon alors, Colson reprend les choses complètement. D'une part, en commençant la théorie des groupes algebraiques dans l'esprit chevalet et isaristique, en commençant bien avant Borrell et Chevalet dix ans avant, et donnant un certain nombre de résultats de base sur les groupes algebraiques, il définit, il prend une équation différentielle à coefficient dans un corps différentiel, sur un corps différentiel, et il définit une extension de Picard Vessio comme étant, il définit une extension de Picard Vessio, comme étant un sur corps, l, je suppose que le corps des constantes de dérivation est algebraiquement clos, c'est essentiel. Prend une équation différentielle sur une équation différentielle, j'ai le corps qu'à des constantes est algebraiquement clos, mon corps différentiel K m'unit d'une différentielle D, qui est une donc dans les dérivation, le grand cas sur Picard, et puis il prend une équation différentielle, D, DY, égal à AY ou Y, c'est Y1, YN, et A c'est une matrice donnée d'ordre N, N croix N, A, I, J, dans K, donc voilà, système différentiel, alors il dit qu'elle, une extension différentielle de K, donc une extension de K avec une extension de la différentielle, est une extension de Picard Vessio, s'il vérifie les conditions suivantes, il y a un système fondamental de solution de l'équation à coefficient dans L, deuxièmement, c'est coefficient en genre L, troisième condition fondamentale, dans L, il n'y a pas de nouvelles constantes que dans K, la fameuse condition non-new constant, qui est un lite motif de Coulcin. Un moyen en quoi, il développe une théorie de Galois différentielle, tout à fait cette saison, le groupe de Galois, il le définit comme le groupe des automorphies différentielles de L sur K, et il arrive en particulier à un résultat qui n'était, je ne crois pas accessible véritablement aux anciens auteurs, qui est la correspondance de Galois entre corps intermédiaire et sous-groupe fermé, sous-groupe algébrique. La correspondance de Galois, c'est lui son objectif, son théorème fondamental, c'est la correspondance de Galois. Bon, voilà, alors il est temps, sa théorie ultérieurement en remplissant GL par un groupe algébrique non nécessairement linéaire, et ce qu'il appelle une théorie des extensions fortement normales, que malheureusement je n'ai pas le temps de détailler. Alors, Koulcin a eu... Les travaux de Koulcin ont eu une descendance considérable, surtout les 30 dernières années, mais si vous me permettez, je vais repousser un petit peu l'exposé sur cette partie, d'ailleurs, comme j'ai dit, je ne pourrai que survoler, pour parler maintenant de l'autre aspect qui est la théorie non linéaire. Alors, la théorie non linéaire, ça commence avec Drache, c'est dans les années 90. Drache veut faire une théorie... T'as vu numéro 1, montrez, c'est ça. Drache se donne l'objet qui fait de faire une théorie générale de la loi différentielle pour toutes les équations différentielles. Bon, alors, je vais utiliser des équations différentielles, des Y, sur des X, les gals, F, I, de X, Y, Y. Je vais écrire mes équations comme ça dans un premier temps, et je vais me permettre des anachronismes dans l'exposé, en parlant de feuilletage, de dire que je suis associé à feuilletage, etc., parce que je n'aurais pas le temps d'expliquer les choses autrement. Alors, l'idée de Drache, c'est au lieu de travailler avec les solutions, de travailler avec les intégrales premières. Les intégrales premières, ce sont les fonctions F qui sont constantes le long du mouvement, donc qui satisfont l'équation des F sur des X plus sigma de Fy des F sur des Y et y, il y a les 0. Alors, on a donc remplacé un système d'équation linéaire par une équation au dérivé partiel, le système d'équation non linéaire, par une équation au dérivé partiel du premier ordre linéaire. Et Drache se propose... Bon, excusez-moi, je vais l'appeler G, parce qu'il y a des Fy, et alors personne n'y comprendra plus rien. Voilà. Alors, mon intégral première, c'est G, et elle vérifie ses équations. Bon, si vous écrivez votre système différentiel, comme Omega I, il y a le 0, un certain nombre de formes différentiels, un feuilletage, l'intégral première, une intégral première, ça va être donnée par DG et combinaison linéaire des Omégaïs. C'est-à-dire G est constante quand les Omégaïs sont nuls. Bon, je dis ça parce que ça va être plus qu'un pote-pote pour moi. Cette réduction, il y a des exemples où elle est très naturelle, où elle s'impose. Si vous prenez, par exemple, une forme fermée, D-Omélias, il y a le 0, vous pouvez prendre la réduction au lieu de prendre DG égale C-Oméga, c'est quelconque, vous pouvez prendre DG égale C-Oméga, c'est constant. Vous constatez que vous avez un bon système d'équation qui est compatible. Par conséquent, vous avez une réduction tout à fait naturelle, et à ce moment-là, les solutions vont l'indétermination, l'ambiguïté de la solution, ça va être une constante, constante additive. Alors vous remarquerez tout de suite qu'au lieu de prendre DG égale C-Oméga, ah, bien entendu, si vous voulez écrire ça comme un système d'équation différentielle, il ne faut pas écrire DG égale C-Oméga, c'est dans C. Il faut écrire DG égale C-Oméga et puis DC égale 0. Bon, maintenant, vous constaterez tout de suite que vous avez d'autres choix possibles qui ne sont pas plus mauvais, vous dites DG sur G égale C-Oméga et un auteur moderne dira qu'à ce moment-là l'ambiguïté, elle sera un groupe multiplicatif au lieu du groupe additif. Ce qui, pour Drache, ne faisait pas de différence vu que ces notions globales lui sont étrangères. Et d'ailleurs, on ne peut pas lui reprocher, parce que c'est dans les années 90 et la théorie de Galois, la théorie de Lille étant encore locale à cette époque, c'était bien difficile de distinguer. Vous pouvez prendre des choses plus vicieuses, vous pouvez prendre DG plus DG sur G égale C-Oméga. Alors en ce moment-là, l'indétermination, qu'est-ce que ça va être ? Ça va être l'indétermination de... L'indétermination, ça ne va pas être donnée par un groupe, ça va être donnée DT plus DT sur T et il y a le Ds plus Ds sur S. Si ce système différentiel, ce facteur qui n'a pas d'intégrale première par conséquent, vous n'avez pas de groupe pour cet exemple-là. Vous n'avez pas de groupe, mais c'est quand même pas trop différent. En réalité, c'est un pseudo-groupe qui est presque le même que les autres, en ce sens qu'il a la même aléchéme de Lille et du point du analytique, il est localement isomorphé. Donc pour eux, c'est la même chose, ça ne pose pas de problème de mettre l'un ou l'autre. Bien entendu... Bon, mais en général, comment faut-il faire ? Bon, alors... Drache... Je crois que les travaux de Drache n'ont pas très bien reçu. On a trouvé que le Drache n'était pas très soigneux. Il y a beaucoup d'imprécisions, des erreurs chez lui. Il annonce un théorème de finitude pour les systèmes irréductibles, c'est-à-dire les idio-différentiels maximaux, dont il n'a pas la moindre démonstration, et... Rite dans son ouvrage Différentiel Algebra, cite ça comme une démotivation de départ de ces travaux sur le théorème de finitude Ritterhaudenbush et ses travaux sur l'alégele différentiel. Bon, alors Vécio va essayer de reprendre la question. Vécio va essayer de reprendre la question. Et de résoudre les problèmes laissés par rites. Vécio va essayer de reprendre les problèmes laissés par rites. Et... Bon, alors il s'intéresse à la réduction, dont je parlais tout à l'heure, il s'intéresse à la réduction dans un tas de situations, celle-là, mais beaucoup d'autres situations. Et il donne une méthode générale de réduction. Je vais donner comment elle s'applique dans la théorie de galois ordinaire, puisque c'est une manière d'introduire le groupe de galois qui n'a pas été donnée ces jours-ci encore. Et c'est haut-langage-près, c'est celle de Vécio. Vécio parle ni de corps ni d'idéo, il parle de domaines de rationalité, il parle de système éreductible au lieu de parler d'idéo maximaux. Mais bon, alors si vous me permettez de traduire, ça donne ceci. Je prends un corps K, et puis je me donne une équation algébrique à coefficient d'enquête, xn plus a1, xn moins 1, plus etc., plus an égal 0, a i d'enquête que je suppose irréductible. Alors je vais prendre l'anneau K de xn, xn, modulo l'idéal engendré par les fonctions symétriques. xn plus xn plus a1, sigma de xi xi moins a2, etc. Alors bon, l'anneau, il va être un espace vectoriel de dimension finie sur K, puisque chacun de mes yx, c'est facile de démontrer que chacun de mes yx vérifie cette équation de mon anneau. Bon, mais cet anneau en général, et si cet anneau, le groupe symétrique va opérer. Maintenant, cet anneau n'est pas un corps en général. Alors qu'est-ce qu'on va faire pour avoir un corps ? On va prendre un idéal maximal, idéal premier ou idéal maximal dans le quartier, ça revient au même, et puis on va passer au quotient et on obtiendra le corps de décomposition. Ce qu'on appelle maintenant le corps de décomposition. Alors c'est une manière commode d'obtenir le corps de décomposition si on ne veut pas se plonger a priori dans une clôture algébrique, ce que Jean Berlois signalait, qui a toujours un petit problème pour définir la clôture algébrique. Là, on n'en a pas besoin, mais évidemment, on est en l'air d'une autre manière. Alors maintenant, je prends un idéal. Maintenant, comment ça dépend de l'idéal ? Ben, le résultat isomorphisme près ne dépend pas de l'idéal. Non seulement ça, on a un résultat plus précis. C'est que ces différents idéaux, les différents idéaux que l'on obtient, se déduisent les uns des autres par l'action du groupe symétrique. Donc l'ensemble de ces idéaux est un espace homogène sous le groupe symétrique, et alors le groupe de Galois, c'est un quelconque des groupes d'isotropie. Il n'est pas déterminé, ils sont tous conjugés, mais c'est l'un quelconque des groupes d'isotropie. Moi, c'est Cartier, là, cette méthode est chère à Cartier, mais elle est essentiellement chez Vescio. Alors, cette méthode, elle marche très bien dans un certain nombre de cas. Par exemple, si vous donnez une équation différentielle linéaire et que vous voulez vous ramener à la situation de Picard Vescio d'éliminer les nouvelles constantes, vous pouvez employer cette méthode, c'est ce que font Marius van der Poet et Michael Singer dans leur livre. Je pense que c'est tout à fait indépendamment de Vescio, qu'ils ont trouvé ça. Ça s'applique plus généralement dans la situation suivante, dans des situations suivantes. Ça s'applique tout à fait bien aussi dans la situation suivante. Vous prenez un fibré principal sur une variété. À la place de la variété, je peux mettre un corps différentiel, mais je n'ai pas envie d'un. Vous prenez un groupe qui fait un fibré principal sous G, G est un groupe algébrique, et vous prenez une connexion sur G connexion sur le fibré principal sur X, et vous vous proposez de réduire le groupe de la connexion. Alors il y a essentiellement une manière unique aux équivalences prêts évidentes qui se fait par cette même méthode et qui ramène à ce moment-là à ce que Colchine appelle extension fortement normale. Alors je signale que ça s'applique aussi dans une situation plus subtile, qui est, vous avez un fibré en groupe sur X, G sur X, muni d'une connexion. Mais alors là c'est une connexion de groupe, ça veut dire le produit de solution est une solution. Et puis vous avez un fibré principal sous G sur X muni d'une autre connexion, qui est une connexion de fibré principal sous le jour-up G. Ça veut dire que les solutions ou les sections de P se déduisent de l'une d'elles en la multipliant par une section solution de G. Alors vous pouvez regarder cette situation, ça c'est Pillai qui regarde cette situation. Pillai arrive à faire marcher la même méthode de réduction dans cette situation, mais avec une hypothèse restrictive qui l'appelle G large. Son hypothèse restrictive c'est que en gros, je ne peux pas la donner en détail, il y a beaucoup de sections de G. J'ai beaucoup de sections. Bon, alors il arrive donc à refaire la théorie dans ce cas-là et comme Colchine, il arrive aussi à avoir une correspondance de Galois à ce moment-là. Et alors à ce moment-là, les sous-groupes, ça va être des sous-groupes différentiels, ça va être les sous-groupes munis d'une restriction de la connexion. Bon, alors je signe un problème. Si on ne fait pas l'hypothèse G large, je ne connais aucun travail sur ce qu'on peut, ce qu'on ne peut pas faire, quels sont les résultats qu'on peut avoir, quels sont les contrées-les-amples, etc., c'est une question qui me paraît intéressante, qui n'a pas été abordée. Alors je signale que cette construction de pilaille n'est pas une bizarrerie du tout, que cette construction y s'en sert avec Bertrand dans des problèmes, pour des problèmes d'arithmétique, dans le cas où le groupe G qu'on fabrique comme ça est fabriqué, c'est une situation qui avait été considérée déjà par Manin et puis ensuite, même fort de majeurs, fabriqué à partir d'une famille de variétés abéliennes et de leurs extensions vectorielles universelles. Donc on trouve cette situation de pilaille, on la rencontre. Bien, donc excusez-moi, je me suis un peu écarté, j'étais en train de parler de vaisseau et j'ai débordé, mais c'est très bien comme ça, ça m'évitera d'en parler à la fin. Véceau semble être convaincu que cette méthode marche pour le problème de Drache. Et alors là, il y a un mystère, il semble avoir convaincu aussi ses contemporains, il a eu un grand prix de l'académie, et il y cartant lui-même dans une notice historique sur les œuvres de Véceau, parle, dit que Drache, Véceau a résolu tous les problèmes qui étaient posés par la théorie de Drache et aucun, je crois, aucun délecteur contemporain de Véceau est d'accord avec ça. Donc il semble que ça ne marche pas. Alors on va prendre l'équation au délévé partiel des intégrales premières, puis on va essayer de fabriquer là-dedans un ideal maximal. Alors on s'aperçoit tout de suite qu'il y a plein d'idéos maximaux qui vont donner des résultats qui n'ont aucun rapport les uns avec les autres. Et alors Véceau à un moment dit, oui, ça suffit pas de prendre un système irréductible ou un ideal maximal pour nous. Il faut en prendre un dont les solutions dépendent de, soit le plus petit possible, c'est-à-dire si vous voulez multiplicité et dimension l'espace des solutions, et le plus petit possible. Mais nulle part il n'est démontré que ça va donner un résultat raisonnable. Donc finalement, finalement jusqu'à nouvel ordre, c'est assez curieux, ça semble être un échec. Alors heureusement, heureusement Véceau a une autre idée. Voyons, j'ai commencé à quelle heure, c'était 10h30. Heureusement Véceau a une autre idée. Il dit, j'ai une deuxième méthode dont il dit, elle est équivalente à la première. Mais la deuxième méthode, elle est le marche. Deuxième méthode est la suivante. Je vais prendre le plus petit groupe, il faut dire pseudo-groupe, dont l'algebra de l'I contient les champs de vecteurs tangents à mon système différentiel, à mon feuilletage. Il dit ça explicitement quelque part. Bien, alors cette méthode, elle a été développée d'abord par Ume Mura et puis par moi. Et Ume Mura, ses premiers papiers d'un de, je pense, 96, les miens commencent en 2000-2001. Si vous me permettez, je vais dire quelques mots de ma version parce que c'est beaucoup plus proche des idées glies et des idées qui précèdent comme constructions. Bon, cette idée, elle exige aussi une mise au norme moderne. Et la mise au norme, ça consiste à faire la théorie algébrique des pseudo-groupes de glies qui n'avaient absolument pas été faites jusque-là. Pourquoi ça n'a pas été fait ? La théorie du groupe a eu un succès parce qu'on l'a utilisé partout, en maths, en physique, etc. Tandis que la théorie des pseudo-groupes de glies, il y avait essentiellement qu'une application, c'était le problème d'équivalence de cartain, et c'était resté là. Là, si vous voulez, ça rend une autre. Alors du coup, on est obligé de la regarder de plus près. Je rappelle, alors en un mot, parce que je ne l'ai pas dit, pseudo-groupe de glies, sans donner la définition formelle, c'est un peu de chose précieux. C'est sur une variété, une famille de transformation local qui ont la propriété de groupoïdes, sous famille de transformation local des automorphismes locaux, qui sont propriétés de groupoïdes. C'est-à-dire que je peux en composer deux si la source de l'asile on des bucs de la première qui ont un verse et une unité, et d'autre part, qui sont définis par un système d'équation au dérivé partiel. C'est essentiel. Par exemple, l'ensemble des transformations qui fitent, c'est un point, c'est pas un groupeoïde, c'est pas le définir par une transformation, pas une équation au dérivé partiel. C'est pas un pseudo-groupe de glies. Bon, alors, et c'est ce qu'on rencontre, et d'ailleurs, une définition propre, on montre que une des définitions possibles, c'est fixer une structure différenciale. Quand vous donnez une structure différenciale, soit une forme différenciale, ou une section d'infibré naturelle pour savoir ce que c'est, quand vous écrivez les équations de ce qu'il suffit, vous trouvez exactement l'épsodolope de glies. Et dans le cadre algébrique, vous trouvez l'épsodolope algébrique. Bon, alors, je vais donner une autre version, je vais donner une variante de ce point de vue, des variantes de ce point de vue. Première variante, vous allez chercher le plus petit pseudo-groupe qui contient l'olonomie de votre feuilletage. Alors ça, c'est analytique comme définition, c'est sur le complexe, mais si vous voulez une définition purement algébrique, vous allez dire en termes d'algébes de lits, l'algébes de lits contient l'échange de vecteurs tangents au feuilletage. Il y a une autre définition qui est plus géométrique et que j'aime bien, c'est en termes de structures transverses. Vous prenez un feuilletage, alors un feuilletage général, je ne rappelle pas ce que c'est, qu'est-ce qu'on appelle une structure transverse ? Une structure transverse, c'est en gros, vous vous donnez sur les transversales une structure différentielle, sur chaque, toutes les transversales, et vous demandez que ça soit laissé, fixe par le flot. Par exemple, vous vous donnez, ça a été beaucoup étudié, les structures immaniennes transverses, les structures simplectives transverses, etc. Alors quel est le rappeur de cette notion avec la précédente ? Et bien c'est le suivant. Si j'ai un feuilletage F, parmi les pseudo-groupe de lits qui sont candidats à être le pseudo-groupe de la loi, c'est-à-dire avec le plus petit, dont l'algebra de lits contient la chante vector tangent au feuilletage, il y en a un évident, c'est les automorphismes de F. Automorphismes de F, ce sont les gernes de transformation qui vont transformer, qui vont laisser stable le feuilletage, qui vont envoyer une feuille dans une feuille. Je ne peux pas dire, et c'est là l'ambilité de la théorie, je ne peux pas dire qu'ils vont fixer chaque feuille. Je ne peux parler de fixer chaque feuille que localement en analytique. Je ne peux pas en parler algébriquement, mais envoyer les feuilles dans les feuilles, c'est parfaitement algébrique. C'est des équations aux dérivés partiels d'ordre 1 que l'importe qui peut écrire en 5 minutes. Bon, alors maintenant, je tombe sur le problème de réduction, dont je parle encore une fois de plus. Qu'est-ce que... Comment je vais faire une réduction ? Je ne peux pas introduire de condition le long des feuilles, puisque j'ai tous les champs de vecteur le long des feuilles, donc je peux me promener localement, je peux me promener le long des feuilles, comme je veux. Donc, les restrictions, ce qui va être significatif, c'est transversal aux feuilles, transversal aux feuilles. Alors, chaque fois que j'ai une structure différentielle, je vais prendre ces automorphismes, ça va me donner des restrictions. Donc, chaque fois que j'ai une structure transverse, je vais avoir une restriction, et ça va me diminuer le candidat, groupe de la loi différentielle. Bon, alors inversement, si j'ai le plus petit de tous, ça me donne au moins implicitement la description des structures transverses. Par conséquent, trouver les structures transverses et trouver le plus petit pseudo-groupe, etc., que j'appelle le pseudo-groupe des lois différentielles, c'est essentiellement la même chose. Mais ça donne une formulation plus géométrique. Alors, qu'est-ce que ça va donner, par exemple, dans le cas... Feutages de co-dimensions, hein. Bon, les transversales et sones de dimension, hein. Alors, on trouve cinq cas. Premier cas, premier cas, il y a une intégrale première. Le pseudo-groupe, il est essentiellement trivial. Premièrement, intégrale première. Deuxième cas, il y a... C'est le cas de l'I. Il y a un champ de vecteurs transverses. Il y a une structure... Il y a la situation de l'I qu'on peut interpréter ici, comme l'existence d'une structure de translation transverses. Une structure de translation à une vague. En dimension, hein. On dit... Quoi ? Oui, mais bon, si je peux prendre cinq minutes de plus pour finir. Deuxième cas, l'I. Troisième cas, vous avez une structure linéaire à fines transverses. Quatrième cas, vous avez un structure conforme transverse. Cinquième cas, il n'y a rien. Il n'y a que la seule structure possible, c'est de prendre tous les automorphismes. Alors, vous constatez qu'on retombe une fois de plus sur l'I, puisque ça, c'est la classification des pseudo-groupes de l'I en dimension. Bon. Alors, il faut que je m'arrête là, en principe, mais j'avais prévu de faire un extrêmement rapide survol pour terminer des autres travaux récents sur la théorie de galois différentielle. Si tu me laisses cinq minutes, je pourrai arriver. Bon, alors je ne parlerai pas des versions tanachéennes. On a parlé hier, et des aspects algorithmiques non plus, puisque Michael Singer va en parler. J'ai parlé de rapidement quatre sujets. D'une part, le lien avec Riemann Hilbert. Il y a une description des équations différentielles en termes de Riemann Hilbert dans le cas régulier, et puis au moins à une variable Riemann Hilbert généralisée dans le cahier régulier, avec les fétilles sépilitables de Berkhoff avec structure de stocks, etc. Alors, on peut se demander comment on peut décrire le groupe de galois différentiel à partir de ces structures. Alors, dans le cas régulier, c'est déjà très ancien, c'est Singer, dans le cas régulier, c'est la clôture de galois différentielle, c'est simplement la clôture de zarestie de la monodromie. Dans le cahier régulier, il faut ajouter l'intervention des structures formelles locales, plus de ce qu'on appelle les co-efficients de stocks. C'est un travail beaucoup plus récent de Rammys. Accessoirement, il y a le problème inverse de galois. Qu'est-ce qui peut être groupe, c'est de groupe de galois, alors dans le cas linéaire, qu'est-ce qui peut être groupe de galois ? Alors, on peut démontrer justement en utilisant le résultat de Singer et Riemann Hilbert que tous les groupes sous le groupe algébrique du groupe linéaire sont des groupes de galois d'une équation linéaire. Il y a d'autres problèmes aussi, dans cette théorie, par exemple des problèmes locaux au voisinage d'un point cingulier et irrégulier, qu'est-ce qu'on peut avoir, mais je n'ai pas le temps d'en parler naturellement. Une deuxième question dont je veux dire un mot, c'est les variantes, les théories jumelles, équation aux différences, équation aux plus-différences. Il y a beaucoup de travaux dessus, je peux seulement signaler leur existence. Troisième théorie paramétrique, c'est-à-dire quand vous prenez une équation différenciel, vous avez des paramètres dans vos équations, dans le groupe de galois il intervient naturellement des équations différenciels par rapport aux paramètres, et c'est une théorie, et ce qui va vous apparaître c'est donc pas simplement des groupes ou des fibrés en groupe, mais des fibrés en groupe avec des équations différenciels, c'est-à-dire ce que Coltsy n'appelle groupe différenciel. Ça a été développé essentiellement par Michael Singer et Phyllis Cassidy, et dans le cas linéaire et dans le cas général, et tendance fortement normal, par Landersmann, la conjecture de quatrième point, et puis ce sera l'avant dernier, conjecture de Grottendicht, conjecture de Grottendicht, et tendue par Katz, il s'agit, disons, pour une équation à coefficient rationnelle ou, par exemple, surcue, ou surcubar, de prédire le groupe de galois par des réductions modulopées, presque tout paix, en considérant la courbure à la quartier. Alors, la conjecture générale semble ordeporter à l'heure actuelle, mais ça a été résolu par Yves-André dans le cas résoluble. Et alors, je signale que, par contre, le cas des pays différents, ça a été complètement résolu par le Tia-division. Donc là, on a un résultat complet sur ce point. Et puis, le dernier point dont il faudrait parler, c'est ce dont j'avais dit un mot au début, la non-intégrabilité. Alors les méthodes Zieglin, Morales-Ramis, donnent des critères de non-intégrabilité d'un système amyltonien, en utilisant une solution particulière, et les équations variations le long de cette solution, et les groupes de galois. Il y a des conditions sur les groupes de galois qui arrivent qui permettent d'établir la non-intégrabilité. Alors il y a un nombre considérable de systèmes qui ont été étudiés. Même quelques-uns où les méthodes ne marchant pas ont fini par découvrir que c'était quand même intégrable. Et bon, je vais m'arrêter là, en m'excusant d'avoir un petit peu dépassé mon temps. J'ai mentionné le TTRM fondamental de galois différentiel dans le cas linéaire pour Picard et ensuite pour Colchine. Quelles sont ces TTRM fondamentaux pour Vessio dans le cas non linéaire et pour toi ? Ah, je ne sais pas. Les papiers que j'ai lu, c'est sur l'irréductibilité, et puis bon, ça s'arrête là. Ils prétendent même faire l'irréductibilité dans une situation plus générale. Par exemple, une équation au dérivé partiel linéaire du premier ordre. Personnellement, je pense que ça ne rajoute rien parce que par les caractéristiques de Cauchy, ça se ramène à un système différentiel. Mais il ne parle pas seulement d'une équation linéaire, mais d'une équation au dérivé partiel du premier ordre non linéaire à une fonction inconnue. Et il prétend faire cette l'irréductibilité dans ce contexte. Mais j'avoue que je n'ai pas compris grand-chose, mais ce n'est pas si il a un TTRM fondamental, lui, de galois dans ses cas. C'est une question extrêmement générale qui est rejoint un petit peu celle d'Ivendré. On a une histoire de la compréhension de ce que sont les idées de galois. On a une histoire de la compréhension de ce qu'est la théorie de galois. Donc je me demandais dans un premier temps comment cette histoire de la compréhension de ce que sont les idées de galois se décèle dans l'histoire de la théorie de galois différentielle. Et respectivement, plutôt inversement, est-ce qu'on peut repérer des idées de ce qu'est la théorie de galois qui viendrait de la théorie de galois différentielle ? Est-ce que ça promue certaines idées pour comprendre ce qu'était la théorie de galois ? Sur le deuxième point, je ne peux pas vous dégrancher, sauf qu'en théorie de galois différentielle, les questions de réduction sont essentielles. Donc la méthode que j'ai donnée, qui semble n'avoir pas intéressé la méthode de réduction de j'ai donnée, qui semble ne pas avoir intéressé les auteurs théorie de galois, est indispensable en théorie de galois différentielle. Bon, alors on peut aussi l'utiliser si on fait en théorie de galois ordinaire. D'autre part, les idées de galois apparaissent très pèrement dans la théorie linéaire, aussi bien chez Picard que chez Colchin. Dès qu'on sort de la théorie linéaire, on s'éloigne quand même de galois. On cherche à faire une théorie qui éteint théorie de galois, mais on n'a pas jusqu'à nouvel ordre de véritable correspondance de galois. Je pense qu'à moyen de faire quelque chose qui ressemble à une correspondance de galois, on n'a pas vraiment de correspondance de galois à l'heure actuelle. Si vous voulez, on est quand même plus loin des idées de galois. On part de la théorie linéaire qui est proche des idées de galois et puis on cherche à généraliser la théorie linéaire. Donc on est à deux crans par rapport à galois, deux grandes distances par rapport à galois, à mon avis. C'est plutôt une question personnelle, mais aussi indirectement une question historique. Qu'est-ce qui vous a, alors que la théorie de galois différentielle n'est pas la chose la plus à la mode, quelle que soit l'époque ? Non, ça c'est sûr. Qu'est-ce qui vous a fait vous plonger là-dedans à l'époque ? Qu'est-ce qui vous a attiré dans cette théorie ? C'était une discussion avec Jean-Pierre Ramis. Il s'était très intéressé à la théorie linéaire, mais on s'était demandé, est-ce qu'on peut faire des choses analogues en nom linéaire, en ignorant parfaitement d'ailleurs tout ce qu'il y avait Véciot et même Mémora à l'époque, Mémora commençait à publier ses papiers. Et puis on s'est dit, mais si on fermait l'olonomie, qu'est-ce qui va se passer ? Alors ça nous semble une question bizarre et on s'est aperçu assez vite que, dans des exemples simples, on trouvait des résultats intéressants. Bon, ça a forcé à développer les choses, mais c'est tout, j'avais pas... Il y avait ça. Il se trouve que auparavant, auparavant, j'avais lu rites et j'avais fait une version de rites qui incluait l'involutivité à la carte en. Donc j'avais les éléments algébriques qu'il fallait. J'avais l'algéme différentiel dont j'avais besoin. Autrement, j'aurais pas pu faire parce que, n'est-ce pas, par exemple, pour démontrer le plus petit que dans la mise au norme dont je parlais tout à l'heure, il y a un point essentiel, démontrer que le plus petit, pseudo-groupes, petit, blablabla, il faut démontrer qu'il en existe. Ça, c'est pas trivial. Il y a besoin des théorèmes de finitude de rites. Voilà. Autre question. Oui ? Vous avez dit... Est-ce que vous pourriez développer un petit peu plus le point que vous avez dit que Colchine sur les groupes algébriques a dit des choses qui étaient en avance sur les travaux de chevalets et de corolles ? Il était le premier à écrire sur les groupes algébriques. Par exemple, le théorème qui vous dit que s'il y a un élément de l'algébe de lits et si vous avez un élément de l'algébe de lits, ça, c'est Colchine. C'est un théorème qu'on utilise tout le temps. Les théorèmes sur les groupes résolubles aussi. Formes normales, l'île qu'on appelle l'île Colchine, théorèmes sur les formes normales des groupes résolubles, c'est Colchine. Dans le volume d'hommage à Colchine, Borrel reconnaît l'importance de ses travaux de Colchine dans les débuts de la théorie des groupes algébriques. C'est assez bien de noter que ces algébrisations sont liées d'une certaine manière à toute la galois différenciel, à des besoins de galois différenciels, parce que la galois différenciel a besoin de théories algébriques. Selon les gens, on mitrait longtemps. Les gens ne s'étaient pas vraiment aperçus avant Colchine, sauf que Picard, bon, le dit en passant, c'est tout. Bien, s'il n'y a pas d'autres questions, je remercie encore...