 آسلام علیکم، امیدہ آپ سب کو خیرے سے ہوں گے، ٹیک ٹھاک ہوں گے، بلکل آج لیکچر 4 شروع کرتے ہیں اس کالکلس 1 سیریز کا اس میں کچھ اور باتے کریں گے، ہم بیگرون میتہمیٹکس کی جو ہمیں انیبل کرے گا to finally talk about کالکلس، یعنی ابھی تک آپ نے نوٹ کیا ہوگا کہ جو پشلتین لیکچر سے اس میں ابھی تک ہم نے صرف ایسی باتے کیا جن کا really کوئی تعلق نہیں ہے کالکلس، یعنی ابھی تک ہم نے کوئی ایسی بات نہیں کی جو کالکلس کے بارے میں ہو لیکن اب ہم کریں گے next chapter میں یہ پورا جو ایک chapter ہے جس میں یہ 5 lectures ہوں گے اس لیکچر کے بعد ایک اور لیکچر ہے تو اس میں ہم سب ایک preview دیکھ رہے ہیں ساری اس میتہمیٹکس کا جو ہمیں require ہم کریں گے کالکلس کرنے کیلی تو اس میں ابھی تک کالکلس تو کچھ نہیں دیکھا ہم نے لیکن we will eventually see it we need to have a good solid background of whatever we have talked about in the previous 3 lectures and what we will talk about in this lecture اور اس کے بعد ایک اور لیکچر جو ہے لیکچر number 5 اس میں بھی کچھ اور ایسی باتے کریں گے جو ہمیں basic information دے گا to start talking properly about calculus I do hope that you're doing the homework at least you've done some homework or most of the homework and I would say that I hope you've done all the homework for the previous 3 lectures we've talked about تو آئے شروع کرتے ہیں آج کا لیکچر lecture number 4 اچھا جی تو آج ہم کیا باتیت کریں گے آج بیسکلی ہم لائنس کے بارے میں باتیت کریں گے straight lines یعنی کچھ ہم اس میں idea دیکھیں گے steepness کا off a line یا اس طرح سے دیکھ لی جیے کہ کوئی اگر ہم مری پہ جاتے ہیں مری کی پہاڑی کی طرف ہم سب جات چکے I'm sure once in a lifetime ہم سب لوگ جاتے ہیں پاکستانی تو and foreigners بھی جاتے ہیں it's a very beautiful place to visit تو جب ہم پہاڑی پہ چڑتے ہیں مری کی تو ہماری گاری پہ کچھ رزیسٹنس پڑتی ہے تو ہم عام طور پہ کہ بھائی اس پہاڑی کی steepness بہت ہے it's a very steep mountain تو یہ ہمیں intuitively تو پتا ہے کہ steepness جب ہم use کرتے ہیں love تو اس کا کیا مطلب ہے کہ بھائی آپ اونچائی کی طرف جا رہے ہیں تو there's some force acting on you and we say that کہ بھائی یہ جو force ہم steepness کہتے ہیں اس کی جو جھا ہے یہ پہاڑی کی کافی ہے لیکن اس کے ساتھ یہ بھی دیکھیں کہ اگر ہم جب واپس آتے ہیں مری سے تو ہماری گاری پہ اتنا ذور نہیں پڑتا بلکہ ہمارے ہمیں advantage ہوتی ہے ہماری گاری کی انجنت کو کیونکہ جب آپ نیچے آتے ہیں تو you actually go faster than actually want to خطرہ یہ ہوتا ہے کہ گاری out of control نہ ہو جائے تو you actually come down in a lower gear of the car تو اس وقت ہم کہتے ہیں کہ بھائی اردو میں ہم کہتے ہیں اس پہاڑی کی ڈھلان بہت ہے یعنی جب آپ نیچے کی طرف جا رہیں تو پہاڑی کی ڈھلان بہت ہے انگلش میں steepness کا جو love ہے وہ چہائی کے لئے بھی سمال کرتے ہیں اور جب اترتے ہیں تب بھی ہم یہ کہتے ہیں کہ this is a very steep mountain or a hill whatever the case میں بھی کہ اس کی چہائی بھی جو ہم چاہتے ہیں تو کہتے ہیں یہ very steep it's a very steep hill or mountain similarly ہم یہی love سمال کرتے ہیں when we come down تو ہمارا مقصد یہ ہے اس لکچر میں کہ somehow to define this idea of steepness concretely, mathematically speaking ہم کوئی اس کی کچھ equations ڈکنا چاہیں گے اور اس کو کچھ concrete کرنا چاہیں گے so we can actually work with this idea of steepness اور اس کی وجہ کیا ہے اس کی بڑی سمپلسی ایک وجہ ہے جب ہم calculus کی بات چیز شروع کریں گے آگے چلکے اور خاص طور پہ جب ہم limits کو دیفائن کریں گے water limits تو اس میں ہم کچھ geometric constructions دیکھیں گے اور in constructions میں آپ نوٹ کریں گے we use the idea of the steepness of lines somehow to define some the concept of a limit تو یہ ہم دیکھیں گے آگے چلکے تو لحظہ دیتا ہے کہ ہم کچھ concrete کرنے کیا ہے ہمیشہ کیا ہے پہلے ستیپنس میں ستیپنس کیا ہے اب ستیپنس کو اس کی بات چیز دیفائن کریں گے ایک سمپلسی بات رکھیں گے ابھی جسے ہم نے تھوڑی در پہلے کہا کہ اردوں میں تو ہم کہتے ہیں کہ چہرحای اور دھلان تو اس میں ہم واضح کر دیتے ہیں کہ ہم چہرحای کی بات کرتے ہیں تو ہم اس پہاڑی کی چہرحای بہت ہے لیکن جب ہم دھلان کہتے ہیں تو ہمارے مخصد ہوتا ہے کہ جی ہم نیچہ اتر رہے ہیں انگلیش میں ہم نے کہا کہ ہم ستیپنس کو ستیپنس کیا ہے تو اس میں کچھ concrete کرتے ہیں تو اس کین پر آپ دیکھیں کچھ ایک دیفائنشن ایک فگر میں بناتا ہوں اس کے بارے میں بات کرتے ہیں چھوڑی سی اچھا جی تو یہ پکچھر ایک اس کین پر آپ کے جو آرہی ہے اس میں اب دیکھیں کہ اس میں کوئی پہاڑی شہر ہی نہیں ہے اس کے بارے میں برای کزی ہوگا ماری خیرس کیا ہے اب ہم تھای اجسی پر ممیکنشاہر ہونا چاہتے ہیں لیکن ہمنا بہت سال BCE جہاں بہ دیتے ہیں ہم اپنی جو پہاڑی کیا ہے اس کو ایک طرح سے کہتے ہیں ہے کہ یہ慎لی کان جاوڑیار ہے اور اس میں دیکھیں گے تو اس میں بیسٹکلی سا پر ہوں ہمارے پرنیوگی لیکنے پرکچر میں دیکھتے ہیں۔ پرنیوگی لیکنے کے نانورٹیکلے جو کبھی رہے ہیں۔ نانورٹیکلے سے مراد ہے کہ ہمارے پرپنڈیکلیٹر نہیں ہے۔ ہے کہ اوکسٹر ہے۔ اور اس پر دو پویں دیکھتے ہیں۔ پیوےن، جس کا قرنٹ ساہائیے x1 y1 اور پیوے جس کا قرنٹ ساہائیے x2 y2 اب یہ دو پویں ساہائیے ساہائے کے پاس آگا۔ اس میں ہمارے بھی ایک لیکنینTC پیتو اور اس کی کورڈنٹوں نے بات کی وہ کیا ہیں X1Y1 تو this is just points in the plane coordinate plane XY plane X1 is the coordinate on the horizontal line which we call the X axis Y1 is the point on the vertical line which is the Y axis and similarly for the other point تو آئی پھر سے دیکھتے ہیں تصریر کی طرف کے اور کیا گیسکتے ہیں اس کے بارے میں اب امیجن کیجئے کہ یہ لائن تو آپ کے پاس ہے جس کے اوپر دو پوینٹس ہیں پی1 اور پی2 اب امیجن کریں ایک چونٹی ہے let's say we have an end which is actually walking on this لانٹڈ لائن تو یہ بیسیکلی start کرے گی پی1 سے اور پی2 کی طرف جائے گی لیکن میں یہ جاننا چاہوں گا کہ جب یہ پی1 سے پی2 کی طرف جاتی ہے اس لانٹڈ لائن پہ چلکے تو اس نے یہ چونٹی جو ہماری this end how much horizontal distance does it travel and how much vertical distance does it travel تو اس فگر میں اگر آپ دیکھیں تو نوٹ کیجئے کہ یہ بڑے اسانی سے ہم معلوم کر سکتے ہیں کہ جو پوینٹ پی1 تھا اور پی2 جو ہے اس کے x coordinate کیا ہے ہمیں پتا ہے x coordinate سے مطلب وہ پوینٹس جو x axis پر لائے کرتے ہیں پی2 کا x coordinate ہے x2 پی1 کا x coordinate ہے x1 تو ہم جن کا ان دو پوینٹس کے درمیان فاصلہ معلوم کر سکتے ہیں بڑے اسانی سے referring back to lecture 1 کہ ان کے درمیان فاصلہ ہوگا x2 minus x1 یعنی جو بڑا نمبر ہے اس کو چھوٹے نمبر کو بڑے نمبر میں سے سپٹریک کر دیں گے کیونکہ یاد ہے آپ کو دیسنس is always positive that's why I am doing this سمجھللی ہم معلوم کرنا چاہیں گے کہ جی a vertical distance کتنے قریر ڈیوٹی نے travel کیا ہے how much vertical distance has this end travel یہ بڑی اسان سی بات ہے we take the bigger y coordinate of the point p2 force that's a point further out and similarly we take the y coordinate of the point p1 and subtract y1 from y2 to get the vertical distance تو یہ دیسنس کیا ہے y2 minus y1 what is that that is the vertical distance of course اور یہ ہمیں معلوم کرنا تھا تو اب یہ جو دو دیسنس اس ہم نے معلوم کر لیے تو ان کو اب استعمال کرتے ہوئے ایک definition دیتے ہیں جو سکین پر بھی آپ کے سامنے یہ definition ہوگی of the slope of a non-vertical line میں کئی بار کہتے ہوگا اس کو بھی ایکسپلین کروں گا why are we talking about non-vertical lines why aren't we talking about vertical lines تو when you see the definition I think it'll become clear why that is the case so let's look at it on the screen the definition is if p1 with coordinates x1 y1 is a point and another point p2 has coordinates x2 y2 and these two points actually lie on a non-vertical line then the slope of the line is defined by m equals y2 minus y1 divided by x2 minus x1 یہ بیسکل اب دیکھیں کہ this is the vertical distance traveled by that ant in our example divided by the horizontal distance that same ant traveled while it was walking along the non-vertical line from point p1 to point p2 تو یہ definition آپ کے پاس تکنیکل دیفنیشن of what a slope is and why did we need this why do we need this actually آپ کو یاد ہوگا ابھی لیکٹر کے شروع میں میں کہا تھا کہ we are talking about steepness of lines right اس میں اردو میں ہمہا پس تو concept ہوتے ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا ڈھلان اور چڑھائی کا جیز میں بھی ت,) میں آپ کو اس گنی کو دیکھتے ہوں کہ ہم نکل رہے ہیں۔ جو ہم یہ سکجائے گا ج ahead میکنا ہے کہ سکجائے گا جو کیا بھی کتی ہے کسی کو اپنے آرہے ہیں۔ تو یہ رائز اوارن کیا چیز ہے رائز اوارن of course نوٹ کیجئے کہ رائز must make sense کے why two minus one چونکہ vertical distance تھا تو this is the rise how much up the and traveled on the on the line we were talking about and similarly run represents the idea of horizontal distance یہ کچھا گئے ایک ٹیکنیکل سی terms ہیں ٹرمینولوجی ان کو بھی we should keep that in mind because this is the standard terminology when we talk about slope so basically this is how we define slope and let's see what we can do with it before moving on here's one slight technical point نوٹ کیجئے فرملہ جو آپ کے سامنے ویہ لکھا تھا من a screen پے the formula was y2 minus y1 divided by x2 minus x1 یہاں پے کیا کبھی ایسے ہوسکتا ہے کہ x2 can equal x1 I mean think about it can you ever have such a case اگر x2 برابہ ہے x1 کے if x2 equals x1 what will happen that we don't want to happen what will be something mathematically wrong with this kind of idea well think about it if x2 equals x1 then you have the difference x2 minus x1 equals 0 اور نوٹ کیجے کہ جو فرملہ تھا آپ کے پاس رن کا یہ سلوپ میں ہم نے دیکھا بھی تو اس میں x2 minus x1 بہتم میں آتا ہے دنومنیٹر میں آتا ہے تو remember if you put a zero in the denominator you are dividing by a zero and right from the lecture number one ہم نے clarify کر دیتا کہ that will never happen so this is something we'll totally avoid اور یہاں پے اب میں تھوڑا سا مجھن کروں کہ remember I kept talking about non vertical lines تو سوچیے کہ یہ میں نے بھی جیسے کہا کہ x2 x1 کی برابر ہے when can that happen جیمیٹرکلی well the only time that can happen is if you're not traveling any distance on the horizontal in the horizontal direction so really if you think of that and again جو ہماری چھونٹی تھی اگر وہ صرف اوپر چھاڑا یہ سیدہ travel کر رہی ہے in the up direction and not traveling in the x direction where is the case when you have x2 equal x1 تو اس کا مطلب یہاں کہ آپ کی چھونٹی بالکو سیدی اوپر جا رہی ایک ورٹیکل لائن پے and that is the case when you have the bottom the denominator is equal to 0 and that's exactly why we kept talking about non-vertical lines جیسے ہم نے بھی دیفنیشن دیکی اس میں میں نے سپیسفائی کیا تھا کہ اگر دو پوینٹ سیمپی اوپی ٹی ٹو اونہ non-vertical line that was the reason why we did that کہ اگر ورٹیکل لائن آپ کے پاس آئی گی تو اس فرملے میں ٹی نومنیٹر جو ہوگا سیرہ ہوگا اور یہ ہم کبھی allow نہیں کرنا چاہتے ہیں for mathematical to avoid mathematical inconsistencies لیکن ہم کہا جو ہمیمک جب آپ اندائی کو روحیںitan کچھ ایک سردdy than نقویہ دڑ جمیہ دو سمتعیم سمی Со رہی ہیں کیونکہ اس کے اس میں کچھ سیٹلس کے پوینٹ سیں جو آگے چل کے آپ خود ریلائس کریں کہ ایک سنی چھوٹی چھوٹی چیزیں ایک سردی ٹی ٹی ٹی ٹی ل Mickey but they do sometimes confuse کیوبیل لیتے ہیں لیکن سکتے ہیں لیکن آپ ک پیدای پر اس آنکہ اپنے کلکلیٹ سلوپ دیتے ہیں تو اس میں سب سے پہلی بات تو یہ ہے کہ when you use the formula it doesn't matter which point is called P1 and which one is called P2 یعنی ہم نے point کہا تھا کہ P1 is the initial point اور اس کے بعد آخری point جو تھا وہ P2 تھا کیونکہ ہماری چونٹی P1 سے موف کر کے P2 کی طرف گئی تھی تو initial point was P1 final point was P2 it doesn't matter we could have done it the other way also ہم کہا سکتے تھے کہ P2 initial point ہے اور P1 final point ہے کیونکہ اس میں فرق اس لے نہیں پڑتا ہمارے رزلک میں کیونکہ جب آپ point reverse کرتے ہیں تو points کے جو coordinates ہیں وہ بھی reverse ہوجاتے ہیں اور science جو reverse ہوتے ہیں اس میں کیونکہ آپ کے coordinates کی values چین جاتی ہیں یعنی ایک بڑی ہو جاتی ایک چھوٹی ہو جاتی ہے وہ ہمیشہ cancel out ہو جاتی ہے یعنی you either get same signs negative signs which cancel out اور you just stay the same یہ اس کو آپ ہوتھ بھی اپنے آپ کو convince کیجے کہ that is exactly how it happens اچھا سمجھلی ایک اور پوئنٹہ بھی سکین پر میں لکھتا ہوں ایک اور دوسرہ پوئنٹ جو آپ کے سامنے سکین پر آئے گا وہ ہے اون ایک نون ورٹیکل لائن you can use any two distinct points to calculate the slope اب slope کو ہم m کہتے ہیں تو I'll start using the letter m to represent that اس میں نوٹ کیجے کہ جیسے میں نے P1 P2 استعمال کیا these two points were on the line on the non-vertical line we were talking about سمجھلی ایک اور پوئنٹہ کسی پوئنٹہ ایک اور پوئنٹہ ایک دلئے گا ان میں پیویں پر آئے گا ایک اور پیویں پر آئے گا اس کے بہت ہوں کہ یہ ایک اور پیویں پر آئے گا ایک اور پیویں پر آئے گا must be on the line so that you can calculate the slope of that line مشہر کیا آپ کون سے پوئنٹہ استعمال کرتے ہیں کہ آپ کون سے پوئنٹہ استعمال کرتے ہیں جو یہ آپ کو ساکنی outros اس دلے دیکھسے گا سکتے ہیں، آپ نے کچھ وقت اپنے آپ کو ساکنی اس کے لائن جو ساکنی اس Bieber چیزتوں کہکہ آپ کو ساکنی رہے ہیں کسی کسی پوینٹ ہے، کسی تیسر پوینٹ ہے۔ کسی ت της دیٹیال ہو سکتے ہیں جس کے لئے میں کچھ کائنا چاہوں گا کیوں کہ یہ بہت چوہے سب سبی بات ہے۔ ولیکن ان پر ملود کو خاصق کردھاتا ہے۔ سروحوں کو سوائیت کی مدر جونرلی ، کیونکہ صورت سورت کو ملین پڈا ہے تریاہ سورت کی نقش ہے۔ کیونکہ یہ اپنی کا معدلتے ہیں ، اسی ریز میں بیٹا ہے۔ آپ نے دیکھا کہ فورورن میں ہم نے ریز قادمashing راستم ڈائیا تھا۔ ریز پر سورت کے مدر سورت سے ریز کو مدر سورت کر لے۔ اچھا جی تو بات یہ ہے کہ you move in the horizontal direction usually from the left to the right یہ ہم نے پہلے بھی دیکھا تھا کہ چونکہ ہورزانٹل لین جو وہ کوڑنت لین کی طرح ہوتی ہے اور دسٹنس میں نمبرز کے جو سایس تھا آپ کو یادیں وہ right دریکشن میں جب مف کرتے ہیں تو انکریز کرتا ہے for that reason it's become a standard that you measure your positive direction on the right-hand side of the line تو اسی لیے ہم جب ہورزانٹل دسٹنس مجر کریں گے تو we'll move from the left to the right اب میں نے بات کی کہ if you reverse that what happens. اس سے پر ایڈیو اٹھا سکتے ہیں یعنی جہاں ہم نے پہلے ایک اجامپل دیفنیشن دیکھی دی جہاں سلوب کی تو ہم نے یہ کہا تھا کہ ہورزانٹل دیسنس مجر کیا تھا موگنگ from the left to the right لیکن اگر میں اولتا چلنو موگنگ from the right to the left تو کیا ہوگا تو یہ سب باتیں نوٹ کی جے کہ آپ کا سائن بدل جائے گا because if you were on the right hand side x2 was bigger than x1 تو جب آپ x1 میں سے x2 مانس کریں گے تو آپ کا اس نگیٹس سائن آئے گائے گا تو اس میں اس کو تھوڑا سا کونکڑیڈلی سمجھنے کے لیے نوٹ کیجئے اس طرح سے سوچیے جیسے وہ ہم اجامپل دیکھی تھی مری کی ہیلس پہ ہم گئے تھے تو جب ہم اوپر جا رہے تھے تو سے کہ جیسے ہماری لائن ابھی اجامپل ہم نے دیکھی it was moving from the left to the right یعنی جو لائن پہ point p1 تھا وہ lower left کی طرف تھا اور جو آگے والا point تھا it was on the upper part of it تو اسی طرح سے imagine کریں یہ مری ہیلے ہم اس کے اوپر جا رہے ہیں تو اب یہاں پہ اس پیچر سے صاحب ظاہر ہوتا ہے کہ we are climbing the hill we are going up on the hill لیکن اس up on the hill جانے کے اندر process یہی تھا کہ ہماری یہ چونٹی کی اجامپل تھی کہ the چونٹی the ant was moving left to right that's why we are climbing the hill لیکن اگر آپ الٹا چلیں you measure your distance from right to left then note کیجئے کہ آپ کی چونٹی actually نیچے آئی گی it will be moving down on the hill تو یہ fault کا concept تھا کہ when you reverse your direction or orientation کیلی جی in terms of measuring the horizontal distance تو آپ کے پاس concept fault کا آجاتا ہے تو یہ ایک تھوڑا سا اس کا انتوڈکشن تھا اس کی اجامپل کرتے ہیں and let's see if you can make it a little bit more clear so here's one example on the screen coming up example ہے جی کہ آپ کو 3 points دیئے گئے part A میں point ہے 6 کمہ 2 or 9 کمہ 8 this point ہے 2 کمہ 9 part B میں اور اس کا دوسرہ point ہے 4 کمہ 3 part C میں جو point ہے وہ ہے نیگیٹف 2 7 and 5 کمہ 7 تو ان 3 point کا سمال کرتے ہوئے ہم سلوپ معلوم کرتے ہیں یعنی ہم اسوم کرتے ہیں کہ تینوں point جو چھے point ہے actually in these 3 examples ایک اسی لائن پر لائے کرتے ہیں so let's try to find the line that we get by connecting these points ظاہر ہے ہم points کو بہت کنک کریں تو ایک لائن آئی گی ان کا سلوپ معلوم کرتے ہیں تو definition سے آپ کو یاد ہے کہ جب ہم کنک کریں گے ان 2 points کو تو ایک لائن بنے گی تو ظاہر ہے یہ 2 points لائن پر لائے کریں گے تو we can use these points to find the slope so let's do that let's do it on the screen part A کا سلوپ ہے کہ جب آپ اس کا سلوپ معلوم کریں گے تو آپ کے پاس results ہے گا آپ کبھی ٹھیک کبھی نہیں ہورکتا لہولی اس کی ریزنسے کیا لوہور فردہ دیتی کہ لوہور خواہلے کے خریران کے لئے آپ کو دیجاتا ہے تو یہاں پہلے آپ سوال پوچھتے ہیں کہ اگر ہم سلوپ بھی ایک فیزیکل کونٹی کو مجر کرنا چاہر ہیں تو آئے کیا مخصر ہے کیا سلوپ ہے تو ایک ٹھرٹ پوئن جو بھی دوری دار پہلے ہم نے دیکھا سکرین پے وہ یہاں پہلے بھی رول پلے کرے گا اور اس کے بارے میں ابھی بات کرتے ہیں اس سے پہلے کہ ہم کریں اس کا پارٹ سی ہے اس کا بھی سلوشن دیکھ لیتے ہیں سکرین پر تو پارٹ سی کا سلوشن آپ کے پاس ہے جی سلوپ جب آپ معلوم کرتے ہیں اس کا سلوپ آتا ہے 7 minus 7 divided by 5 minus the quantity minus 2 which equals 0 because the top part is 0 تو یہ اب ایک اور بڑے مزے کی بات کہ now you have a slope of 0 so what does that mean تو let's see if we can put them into context میں کچھ پیچھرز بناتا ہوں and let's see what we can say about them and see if we can relate this negative slope and the slope of 0 to something that makes sense so let's look at that اچھا تو یہ ایک پیچھر ابھی سکرین پہ آپ کے سامنے آ رہیے اس میں دیکھئے کہ یہ وہی پیچھر ہے جس میں ہم مجر کرتے ہیں تو اس کو تھوڑا سکتے ہوں کرتے ہیں یعنی جو یہ پیچھر رہیے رپریزنٹ کر رہیے part b of the problem we just did یعنی یہاں کا result جا رہا ہے سلوپ کا وہ ہے minus 3 اس ایک سمپل میں دیکھیں part b کی کہ آپ کی کوڑنٹس کیا ہے? کوڑنٹس ہیں 2,9 and 4,3 اچھا اب نورٹ کیجے کہ جب میں نے فرملہ استعمال کیا سلوپ کا تو یہاں پہ میں نے 4,3 کو کہا تھا لیا تھا as y1 and x1 اور پہلا والا جو point تھا 2,9 اس کو میں نے لیا تھا as x2 y2 یہ جب میں نے سلوپ کلکلیٹ کیا تھا یہاں پہ دیکھ لی جی ایسی ہوا تو اس میں اس لیے نوٹ کیجے کہ یہاں پہ جو y1 کی value ہے وہ 4 ہے وہ بڑی ہے یعنی جو final point ہے it's bigger than the initial point initial point is 3 as far as the y coordinates go تو یہاں پہ ایک میرے پاس negative sign آتا ہے لیکن bottom پہ it doesn't matter جو x1 value ہے چھوٹی ہے x2 value جو بڑی ہے تو I don't pick any negative signs لیکن اوپر ایک negative sign آجا تھا جس کی وجہ سے minus کا سلوپ آتا ہے اب یہاں رکھیں کہ it doesn't matter which point I designate as x2 y2 and x1 y1 اگر میں a role reverse کروں اس اگر میں I still get the same result minus 3 یہ ایک one of the points تھا جو ہم نے ابھی تھوڑے در پہلے لکھا تھا and I invite you to actually work this out by reversing the roles and see you still get the result of minus 3 تو مقصد کیا ہے مقصد یہ کہ کبھی کبھی آپ کے پاس ایک negative slope آتا ہے تو یہ جب negative slope آتا ہے آپ کے پاس تو اس کا مقصد physically interpretation جو ہے وہ اس طرح سے لے جا سکتی ہے کہ آپ کیا سکتے ہیں کہ بھائی آپ ایک آپ کو اس لائن ہے ایک طرح کی ہل رپرزینٹ کر رہی ہے لائن ہے آپ کو ایک mountain کے طور پہلے سکتے ہیں and you're moving down on that line the negative slope means moving down positive slope means moving up اچھا جی تو یہ ہم نے define کیا کہ negative کا کیا مطلب ہوتا ہے slope کی جب بات ہوتی ہے اب آپ کو یاد ہے کہ 0 کے بارے میں ہم نے بھی تک کچھ نہیں کا 0 جب slope ہم نے ایک سیس اگزامپل میں دیکھا part c میں کہ 0 slope بھی آیا تھا what does that mean اگر اس کے بارے میں آپ سوچیں تو 0 کیوں آیا تھا اس لیے آیا تھا اور صرف صرف اس لیے آئے گا اس فارمیلہ میں جو ہم استعمال کرتے ہیں slope میشر کرنے کے لیے the 0 بھی لکر only when the numerator the top part y2-y1 is actually equal to 0 تو یہ کب ہوگا یہ جب ہوگا جب آپ vertical direction میں بالکل move نہیں کریں گے تو اگر آپ vertical direction میں بالکل move نہیں کر رہے ہیں تو اس کا مطلب ہے کہ آپ اگر horizontal direction میں اگر آپ move کر رہے ہیں which you should actually کیونکہ اگر آپ horizontal direction میں move نہیں کریں گے then you will get a 0 in the denominator also which is not allowed so let's say that we do move in the horizontal direction but we get a 0 in the top part which means there is no movement in the up direction therefore you are actually moving on a line which is horizontal تو slope of 0 basically represents a line which is lying flat on the ground یعنی in a sense کہلیں کہ آپ پہاڑی پی نہیں ہیں you are on a flat surface یعنی جیسے پہاڑی پی آپ چر چکیں اور آپ پلیٹوں پی آ چکیں that would be something which has slope 0 so یہ انٹرپٹیشن ہوتی ہے slope 0 کی physically a line کے حوالے سے ایک چیز اور ہے اس میں جو میں بتانا چاہوں گا بلکہ I would like you to look at this in detail as an exercise یہ جو فارملہ تھا ہمارے پاس for finding the slope جو ہم نے definition میں دیکھا تھا وہ فارملہ گر آپ کو یاد ہے ہونا چاہیے اب تک یاد y2-y1 over x2-x1 یہ ایک ریشو ہے this is a ratio of 2 numbers تو اس میں دیکھئے کہ کتنے طریق ہیں کہ آپ کے پاس نگیٹف نمبرز آئیں گے how many ways can you get a negative result out of this ratio یعنی اس کے بارے میں میرے حال سے میں زادہ نہیں کہتا ہے کیونکہ سیمپل سی بات ہے but it will tell you something about یہ جو ہم نے تھوڑی دل پر ساری بات چیت کیا about negative slopes and stuff like that تو یہ اس پیدر صاحب غور کیجئے try to find out how many ways you can get a negative value using this formula it will give you some insight into when the slopes are negative and how to interpret that so to speak so let's leave it to you to look at that and we'll move on to the next topic اچھا سکرین پر یہ پھر سے فارملہ دیکھئے slope کا یہ فارملہ ہے m equals rise over run تو اس میں basically ہم نے ایک ریشو بنائیے of rise over run تو ایک اور طریقہ اس کو کہنے کہ یہ کہ جو ہم بلکہ کالکلس میں آگے چلکے استعمال کریں گے میں ابھی لکھ دیتا ہوں وہ ہے کہ جی this also represents the idea that the slope is the rate of change of the y with respect to the rate of change of the x یعنی y اور x سے کیا مراد ہے مطلب یہ کہ جو x variable ہے ہمارا جو کونٹی ہے اس کا جو rate of change ہے with respect to the rate of change of the x variable just a little slight note to mention here and we'll use it later on in calculus when we talk about it تو یہ تھوڑا سا ہم نے define کیا ابھی تک تھوڑا سی اس میں ٹیکنیکالٹیز ہے اس سارے concept میں slope کے but hopefully we shouldn't get too bogged down بہت سارے چیزیں اس ساتھ پریکٹس کے ساتھ واضح ہوتی ہیں تو I recommend again that you do as many as you can the problems that have been assigned to you as homework in this chapter also section آگے چلتے ہیں ایک example کرتے ہیں اس کا آپ کے بھی ایک سامپل آ رہی ہے ایک سامپل ہے جی کہ یہ جو ہم نے تین points دیکھے تھے تھوڑے دیر پہلے پشلی ایک سامپل میں ان کو پلوٹ کرتے ہیں تو ان کی لائنز جہ دیترمانتی let's plot those lines on the x y coordinate plane یا x y plane اور وہ آپ کریں تو آپ کے پاس یہ تین فیگرز بنتے ہیں یہ پارٹ ایک ہے یہ فیگر ہے پارٹ B کا فیگر یہ ہے اور یہ پارٹ C کا تو اس سے تھوڑی سی understanding concrete ہو جاتی ہے اور اس کے لائنز جانتے ہیں اچھا جی تو let's move on to the next topic now let's talk about angles of inclination تو ابھی تک ہم نے لائنز کی بات کی تو ہو سکتے جو شارپ سٹوڈنٹس ہوں گے انہوں نے ابھی تک ریلائس کر لیا ہوگا کہ جب ہم slope کی بات کرتے ہیں تو there is an idea of an angle involved یعنی ہم نے slope جب مجر کیا تو of a given line تو note کیجئے there was a reference of an angle implicit in there اور وہ کہا پہ تھا وہ angle کا جو concept تھا وہ یہ تھا کہ جی جب آپ لائن بناتے ہیں ایک non-vertical line تو you can actually measure an angle from the horizontal axis the x axis تو ہم exactly وہی concept یہاں پر concretely define کرتے ہیں کہ what the angle means or what the angle of inclination is of a line you note کیجئے کہ you can measure the angle of inclination from the y axis also which is the vertical line لیکن again ایک کچھ ایک standard سا بنگے کہ we measure it from the horizontal line and we will do it at this point and may be later on جب آپ اور عاد کیا آپ کے طریقوں میں کچھ لیں گے so you will see that you can actually measure it from any reference line بسیکلی تو what we will do is we will measure it from the horizontal axis the x axis and let me put down the definition of this thing on the screen right now the definition is for a line l let's call it l not parallel to the x axis یعنی ایک ایک اسی لائن ہے جس کا لیکن یہ ایک میکنے میں بناتا ہوں اس میں آپ دیکھئے کہ یہ میکنے میں بناتا ہوں تو اس میں جب انگلز کی بات ہو رہیے we've seen the picture what the angle what is the angle that we're talking about تو اس میں نوٹ کیجے کہ جب انگل آپ مجر کرتے ہیں from the x axis counter-clockwise to the line تو اس انگل کی values کتنی ہو سکتی ہے i mean what is the maximum value that this angle can have تو اگر آپ یاد ہو آپ کو geometry سے یا trigonometry سے i hope you remember this that جب آپ انگلز مجر کرتے ہیں you measure your angles in radiance or in degrees تو جب آپ انگلز میں مجر کرتے ہیں your maximum value can be 360 degrees لیکن that's in general تو کیا آپ جب 360 degrees مجر کرتے ہیں you get a circle and which is allowed when you do trigonometry and other stuff لیکن یہاں پر میکنے restricting رکھیں گے we'll say that the angle of inclination fee should not be more than 180 degrees and it should be bigger than zero کیا بجائے why are we saying that let's look at the screen and see what exactly i'm saying let's make a picture تو اس پکچر میں دیکھئے کہ we have if we have fee equals zero تو یہ تو definition میں ہم نے کیا دیئے تھا کہ there'll be a line that is parallel to the x axis تو یہ تو آپ کے پاس ایک لائن آجائے گی جو a flat line کرتی ہے or it is parallel to the horizontal x axis اور اگر آپ کے پاس ایک ایک ایسی لائن ہے جس کا angle of inclination جو ہے مجر کرتا ہے 180 degrees تو again there'll be a line parallel to the x axis just think about it look at the picture that's exactly what i'm seeing zero پر میں پرل ہوں or i lie on the x axis horizontal axis and if i'm at the value 180 degrees i'm again parallel to the x axis تو we'll keep those things as the extreme cases and what happens if you exceed them well if you exceed these two values well let's say we can't we can't actually go lower than zero کیونکہ وہ ہم نے definition ایسی کیئے کہ we can't go lower than that let's say we go beyond 180 degrees تو اس کے بعد اگر ہم دیکھیں گے تو we start getting the same line again اس کی اگر آپ اس کو imagine کریں گے جو لائن تھی آپ نے مجر کی ایک just angle of inclination تھا zero سے start ہوتے moves all the way to 180 اس کے بعد آپ اس کو rotate کریں گے you'll get the same kind of line so ہم اس کو avoid کرنے کیلئے ایک ردنن سی سی اے we'll just measure our angles between zero and 180 اور اگر ریڈین سے بات کرتے ہیں تو you're already talking about between your angle being between zero radiance to pie radiance لیکن it's up to you which one you want to work with either way is fine اچھا جی تو یہ جو ہم نے ابھی پکچر دیکھی ایک اور تھوڑی سی بات چیت کیس اگل کے بارے میں angle of inclination کی تو اس سب سے ایک تھیورم رزلٹ کرتا ہے ایک رزلٹ نکلتے ایک تھیورم جو میں ابھی سکرین پہلکتا ہوں and we'll see if you can actually prove it also so here is the تھیورم تھیورم ایز for a non-vertical line the slope m and angle of inclination phi are related by the following formula and the formula is given as m which is a slope equals tangent of that angle of inclination phi تو اگر آپ کو یادو ہوپھلی from trigonometry what does tan mean or tangent mean tangent is just a ratio of the جو آپ کا right angle triangle ہوتا ہے اس میں ایک آپ کے پاس angle ہوتا ہے ایک 90 degree angle ہوتا ہے تو tangent of that non 90 degree angle اگر آپ لیں کوئی من میں سے دو ہوتے تو اس کا اگر آپ tangent لیں of that angle it is defined as the ratio the opposite side divided by the base that is the tangent I'm talking about here and that's exactly what the formula is saying that the slope is the same thing as tangent of the angle of inclination of the line تو یہ دیفنیشن تو جو تھیورم تھا میں ہوتا لکھ دیا سکین پے اس کا پروپ ہم نہیں کرتے I'll leave the proof to you as an exercise اس کا بلکت تیکس بک میں آپ رفر کر سکتے ہیں I think there's some hints about it maybe the proof is given but it's a very simple thing I think if you remember your trigonometry so you can prove it very easily so I will leave it to you guys to do it and I hope you can do it and refer to the textbook if you need help we'll just move on and let's do an example where we can actually see this theorem actually being used so here's an example on the screen example is find the angle of inclination for a line of slope m equals one and also for a line of slope m equals negative one تو بیسکلی ہمارے پاس دو سلوپس دیے میں دو different lines ان کے دو سلوپس دیے میں اور ہم سے پوچھا گئے کہ find the angle of inclination of these two lines given the slope so let's see how we do that we'll use the definition or the theorem we just saw and see if you can solve this thing let's try to solve it now a solution is that if say that we take the first case which is m equals one then from that theorem we just saw tend phi would equal to one and if we solve it for phi we'll get phi equals pi over four in radians and 45 degrees in a degree measure so how did I actually do that I mean I have phi equals 45 degrees or phi equals pi over four radians how did I get it from tangent phi equals one well this is basically taking the inverse tangent I think if you remember from trigonometry you can take the inverse tangent and you get your angle value تو یہ بہاں سمپل سے طریقہ اس کو معلم کرنے گا you take your calculator hopefully آپ کے پاس سائنٹفیک کالکلیٹر ایک ہوگا you punch in the value and you get your output as 45 degrees or pi over four radians that's how I did it if you look at the next one also the next one says m equals negative one and using the same theorem we have tangent phi equals negative one and using well now we have to find basically phi again the یہاں پر پروبلم یہاں کے our number is negative right so if we try to find phi what we say is that phi equals tangent inverse of negative one and we could do it on a calculator the result will come out to be some radian value or degree value what is that if you look at the screen that happens to be phi equals three pi over four یا اس کو دگری مجھر میں کہیں گے 135 degrees تو یہاں پر پروبلم کہتی پروبلم یہ تھی کہ جو تنجن انورس فنشنز ہوتے ان کی ویلیوز انیگ نہیں ہوتے کبھی کبھی خاص با جو آپ نگیٹو ان کی بات کر رہے تو there are two values that satisfy it تو اس میں ہم فکت یہ use کریں گے کہ جو phi کی ویلیو ہے it's constrained by zero and 180 degrees یا zero and pi radians تو اس کو اگر ہم سمال کریں تو جو دو ویلیوز ہمارے پاس آئییں تھی ان میں سے چھوٹی ویلیو جو اس انٹرول میں لائے کرتی ہے which happens to be 135 degrees will take that and say that that is the angle of inclination of the line we won't go beyond this value the other value would be bigger than 135 degrees i'll leave it up to you to find that other value it's pretty simple thing to do your calculator will tell you that what that is too it's a good trigonometry review for you at this case at this point so that's the the one we will take is 135 degrees and we say that the angle of inclination of the second line with the slope negative one is 135 degrees so that's the end of this example اچھا اسکرین پے اب ایک نیا توپک آپ کے سامنے آرہے this topic is about parallel and perpendicular lines so let's just start off with our favorite thing in mathematics a theorem a theorem is let l1 and l2 be non-vertical lines with slopes m1 and m2 respectively یعنی l1 کا سلوپ m1 ہے l2 کا سلوپ m2 ہے اور یہ دو رزال سے ہمارے پاس theorems ہیں یہ پہلے جو ہے وہ کہتا ہے کہ lines are parallel the two lines given lines are parallel if and only if m1 equals m2 part b says the lines are perpendicular basically means that they are at a angle of 90 degrees with each other if and only if m1 multiplied by m2 equals minus one so what does that mean basically well اِس کوبی ہم دیکھ لیں گے تھوڑیسی بھنائیک بی but let's see if you can prove these theorems let's start with part a which basically says if two lines are parallel then the slopes must be the same thing so let's see if you can prove that let's look at the screen what the proof is proof follows in the following way suppose l1 and l2 are non-vertical parallel lines so we're supposing that they are parallel and we'll show that their slopes are the same also تو اگر دو لائنس پرال ہیں تو نوٹ کیجئے انکلنیشن کے لئے اگر دو لائنس پرال ہیں آپ کے پاس تو انکھا آپ دروک اللیجی تک اپیس of پیبر and just draw two lines I mean first of all put a coordinate plane on the paper x and y axis and then draw any two parallel lines and if you try to see if you think about it for a second the angle would be the same between the two lines and then draw any two parallel lines and if you try to see if you think about it for a second the angle would be the same between the angle of inclination of the two lines will be the same from measured from the x axis so that's exactly what we're using this fact when we prove this thing تو یہ جو دو اگر سے فیین and فیی ٹو ہم نے بھی کہا کے دونہ برابر ہوں گے if the two lines are parallel تو یہ بیسکلی ایک جمیٹرک بیسک جمیٹرک فکت ہے ابھی میں آپ سے کہا کہ آپ اس کو draw بھی کر سکتے ہیں you can draw two parallel lines and see if they indeed have the same angle of inclination measured from the x axis لیکن جمیٹرک میں ہم نے اے بھی سی کہا کہ if you have two parallel lines then they cut if you cut those two parallel lines by a transversal a transversal line then the corresponding angles are equal I'll let you basically remember this fact and it's basically the same fact that we're using to say that فیی ٹو ہم ایک جمیٹرک فکت ہے ابھی یہ فگر میں آپ کے سامنے میں بنات ایک جمیٹرک ایک کیا ایک جمیٹرک معلومہ انہیں معلومہ دے ہم ہم نے کہا کہ دونہه اگر برابر ہونے تو ہم هم پر س通تا ہوتا ہے کہ ایک جمیٹرک فکت ہوں کہ ایک جمیٹرک فکت ہے ایک جمیٹرک فکت ہے ہے ایک جمیٹرک فکت ہے اور ایک جمیٹرک فکت ہے ایک جمیٹرک فکت ہے اسئنہی سامنے ہم ب EV ناہالڈی تغییر ہوں گے نو جو ہم بہترائ میں Choose to use the same theorem were just using the same theorem the similar familiar theorem we just saw a while ago a view that we define our relationship between the slopes and the angle of inclination so that is exactly what I am using or note key that I wrote an equation on the screen that M1 equals tangent of phi1 and M2 equals tangent of phi2 but also these are also viruses M1 is equal to tangent of phi1 and M2 is equal to tangent of phi2 but these two things are also the same things. کہاں ہوتا ہوں کہ یہ باریت ہے. یہ جو عبراتت آجا ہی bisschen میں ایک ہے، Yo훈 اسmonام ای吼یس آجا ہے ہم آپ کو سامنے ب też آجا ہی چی تک کہ탁تاCLP تو اگر یہ زائر ہے اس کو سمال کرتے ہیں، میں نے نوٹ کیا کہ if that is the case I can do that then it must be that the slopes are the same so if you have two parallel lines the slopes are the same اس کا ایک تو یہ میں نے پروف کر دیا one way یعنی سٹیٹمنٹ تھی if and only if if and only if سٹیٹمنٹ ہوتی ہے کہ آپ کو ایک سٹیٹمنٹ پروف کرنی ہوتی ہے پھر اس کا converse بھی پروف کرنا ہوتا ہے یعنی ہمارے پاس جو سٹیٹمنٹ تھی کہ if you have two lines L1 and L2 they are parallel if and only if their slopes are the same تو ہم نے پروف کر دیا ہے کہ اگر ہمارے پاس دو پرالائنز ہیں تو ان کا سلوپ برابر ہوگا اگر اب یہاں پر جو converse ہوگا سٹیٹمنٹ کا وہ یہ ہوگا کہ اگر آپ کے پاس دو سلوپس ہیں m1 equals m2 then the lines with these slopes must be parallel تو سوال ظاہرے پیدا ہوتا ہے کہ کیوں؟ why؟ تو یہ بیسکلی ایک real numbers کی property ہے یعنی اب ہم phi1 and phi2 کی بات کر رہے ہیں تو ظاہرے اس کو آپ اگر پای ریڈینز میں مجر کر رہے ہیں تو دیگریز میں تو these are actually real numbers بیسکلی right I mean these phi this phi1 and phi2 are real numbers پتکلولی اگر آپ اس کو ریڈینز میں مجر کر رہے ہیں تو these are real numbers so we will do that پیدا ہوتا ہے کہ کیوں؟ and let's see that if these are real numbers then indeed one has to be less than the other one یہ تو سیمبرسی ایک property تھی جو ہم نے real numbers کی دیکھی تھی تو that is why we are assuming that phi1 is less than phi2 اور چونکہ lines parallel نہیں ہیں چونکہ دہرہا ہم نے assumption کیے کہ یہ دونوں non vertical non vertical perpendicular lines ہیں تو یہ جو انگلزیں یہ برابر نہیں ہو سکتے کیونکہ اگر برابر ہوں گے تو lines parallel ہو جائیں گے یہ ہم نے ابھی پہلے سٹپ میں پروف کیا هذا Stern کیوں کہ کم س Either is renamed that's why talking about phi1 is less than phii2 کو کہہ سکتےئے کہ phi1 سے چھوٹا ہے it doesn't matter, you can do it that way also اقدر دنوں کی recommendation well谁 lineage ہمzzo ، ہم اس ا сох رہے energy انگلزیں کہ phi1 سو ہer than phi2 ہوں گے اگر بھی ایک 기대ıyorsun ہم دیکھتے ہیں کھ Nash جو بہ Synch روانی کہ مجانی ہے کہ ام yüz حال پر ہم سےutaملہہی ہے گا ہے بھی مجانی ہے و کس ای �اس اس مجانی ہے جو کیاprised ہے سINOVER H ایک سائل ہے ترائنگلز میں مجھے ٹکانانٹری کی رشوز ہوتی ہے صورت دیکھے لگکا ہے بہت انکلش ہے اس میں مانی کے ساتھ میں مزید کی ایک loہ ساکتا ہے اس جیزر دیکھنا ہے اس کے بھر مضال خصہ دیکھوں اور ایک مذہر چلسا ہے پر مزید seekا کا بڑا ایک رزا ہے مذہر میں جو اگر مذہر میں اس کو اگر میں استعمال کروں تو آپ نوٹ کیجئے کہ م1 اور م2 کو میں ملٹپلائے کروں گا تو رزلٹ آئے گا نگیڈیو 1 تو یہ ایک سیمپل سپروف تھا اس کو آپ دیکھلیجے دوبارہ اس میں you know convince yourself of this and I'll leave the converse of this statement to you to prove let's move on the vertical line through the point a comma zero and the horizontal line through the point 0 comma b are represented respectively by the equations x equals a and b equals y اچھا یہ تو میں نے تھیرم لکھ دیا اس کا مطلب کیا اس کا مطلب یہ کہ بیسکلی یہ جو ایکویڈنز ہیں دیس ایکویڈنز which I wrote down x equals a and b equals y یا y equals b these are actually lines یہ خاص کسم کی لائنز ہیں ابھی دک ہم نے non-vertical lines دیکھیں کچھ parallel lines کے بارے میں بات کی تھی تھوڑیر پہلے ایسی لائنز ہوتی ہیں جن کا slope zero ہوتا ہے تو ان کو ہاں ہم تھوڑا سا مطلب تھوڑا سا SPECIFIC کر رہے ہیں کہ what does it mean for a line to be parallel in terms of writing this equation maybe تو وہ یہاں پر تھیورم بتا رہا ہے کہ کیسے کریں گے what happens اس کے جو آپ کے پاس ایک parallel line بنتی ہے جو جس کی equation تھی x equals a this is the line that goes through the point a comma zero یعنی یہ وہ لائن ہوگی جس کا coordinate x coordinate جو گا وہ x ہوگا اور اس کے جو y coordinates ہے وہ کوئی بھی infinitely many ہو سکتے ہیں well suppose that we have a point p on the line and that point has coordinates x and y and suppose we also have another point on the line p1 اب اس میں ہم نے یہ کرنے کہ we want to basically first of all write down the slope of the line اس کا slope کی equation ہمیں پتا ہے slope کی formula ہے y2 minus y1 x2 minus x1 یہاں پر نوٹ کیجے کہ ہم نے ایک point لیا تھا پی جسے coordinates x اور y تھے اور ایک اوہ point لیا تھا پی1 اس کے coordinates سپیسفائر کر دیتے ہیں as x1 y1 تو اگر یہ دو point ہیں ہمارے پاس لائن پر تو ہم ایک equation لکھ سکتے ہیں اس کی slope کی اور وہ بنے گی m equals y minus y1 divided by x minus x1 اب اس کو ہم ایک اور طریقیس لکھ سکتے ہیں simply by cross multiplying we can write this as y minus y1 equals m times x minus x1 اور جانے سے پہلے اس لیکچر کو conclud کرتے ہیں ایک اور formula سے ایک اور form of the equation of a straight line let's look at the screen and see what that form is it is the form of the equation of a line and we write that as y equals mx plus b اب اس میں پوچھیں گے کہ mx کیا ہے اور b کیا ہے یہ میں نے drive کیسے کی اگر ہم یہ دیکھ لیں تو ہمیں پتا چل جائے گا کہ formula آتا کہاں سے note کیجئے کہ اگر میں original جو پہلے ہم نے equation دیکھی تھی point slope form equation کی اس میں اگر میں y کی جگہ value دیتا ہوں y کو b کی اور جو x یعنی basically y1 جو تھا I'm sorry what I'm trying to say اس کے جو y1 ہے اس کو اگر آپ b کی value دے دیں یا you're giving a specific point اور ساتھ میں اس کو corresponding جو x1 point ہے اس کو 0 کہلیں یعنی آپ بیسیک لیے ایک ایسا point لیریں جو کہ ایک y intercept ہے and use that point and substitute the values into your point slope form of the equation if you do that you get this equation which is y equals mx plus b تو یہ ہماری ایک اور form ہے equation کی اچھا تو یہ ہم نے آخری form دیکھلی equation کی اس کو ہم کبھی کبھی slope intercept form بھی کہتے ہیں اس میں ہم slope اگر معلومو اور ایک intercept معلومو line کا y axis کے ساتھ تو we can write down the equation of the line so this is basically the whole idea that we wanted to convey in this lecture سارہ مخصد یہ تھا کہ ہم نے جو کچھ دیکھا بھی تک we defined the idea of a slope of a line of a straight line پھر ہم نے دیکھا کہ اس کی relationship کیا ہے between parallel slope کی relationship کیا ہوتی ہے between 2 lines اگر 2 lines parallel ہوں تو ان کا slope برابر ہوتا ہے اگر 2 lines for pendicular ہوں تو ان کا product لیں اگر slopes کان 2 lines کی تو negative one result آتا ہے اور ساتھ میں ہم نے یہ بھی دیکھا کہ یہ جو ایک angle of inclination ہوتا ہے اس کے بارے میں بات کی کہ we can define an angle from the horizontal x axis to the line and we call it the angle of inclination تو یہ بیسکلی باتے تھی جو ہم نے کیا اس لیکچر میں and very important things too that we talked about we'll use them again a lot more in calculus when we do that. So I hope you enjoyed this lecture also کچھ چیزیں میں نے آپ کے لیے پروف کے طور پہ چھوڑی تھے I do hope that you prove those and convince yourself of them اور پریکٹس کیجے ہمورد ضرور کیجے سارہ جو کچھ ہے اور اب اس کو ختم کرتے ہیں لیکچر کو میں واپس جاتا ہوں سلام آبا جہاں پر میں جاکے maybe to spend time I'll try to measure the slope of the مرگلہ ہلس سو see you next time. Thank you so much. Allah Hafiz