 Alors aujourd'hui, on va faire un peu de technique avant de pouvoir discuter plus précisément les tests, certains tests de relativité générale à la fois dans le système solaire et dans les pulsards binaire. Et pour ça, il y aura une séance technique sur le problème à encore en relativité générale. Le problème à encore ça veut pas dire forcément résoudre les équations à encore, mais ça veut dire obtenir d'abord les équations du mouvement de encore en relativité générale, ce qui est un problème en fait, qui est toujours en cours de résolution à des approximations de meilleure en meilleure. Je vais parler ici de l'approximation la plus basse, mais non triviale. Autrement dit, la question est quelle est la généralisation en relativité générale du potentiel d'interaction à deux corps. On sait que si vous avez deux charges électriques à l'approximation la plus basse, le potentiel de coulombe est égal à plus eu1, eu2 sur la distance spatiale entre les deux charges, quand les charges sont au repos. Si vous avez deux masses à l'approximation la plus basse, le potentiel d'interaction c'est le potentiel Newtonien qui ressemble à ça, sauf qu'il y a un signe de différence, on discutera aussi de ce signe, il y a la constante de Newton et puis il y a ce à quoi se coupe la gravitation, donc c'est un potentiel en 1 sur R, mais il y a les masses. Donc la question qu'on va se poser c'est une façon de voir cette interaction du point de vue relativiste et voir comment en relativité générale on calcule non seulement ça à l'ordre le plus bas, mais quels sont les termes derrière, c'est à dire quelle est la vraie interaction à deux corps et comment on peut la décrire. Et en fait ça, ça ouvre tout un champ d'investigation qui a conduit Feynman à introduire ses diagrammes. Donc en fait on va introduire des diagrammes pour représenter ça, mais c'est pas forcer la main comme de dire, on est en mécanique classique et on va introduire des diagrammes comme ça pour avoir l'air sexy. C'est en fait, ils ont été découverts par Feynman dans ce problème classique quand il a voulu le quantifier. Et ça c'est lié à ce qu'on appelle l'action de Fokker que je vais expliquer. Je vais expliquer d'abord l'interaction de deux relativistes, de deux charges, c'est à dire quelle est la version relativiste du potentiel de Coulomb, parce que c'est là-dessus que Feynman a travaillé avec Wheeler. Donc il y avait en fait, Wheeler et Feynman, entre autres, ce travail fondamental de Fokker de 1929, et je vais expliquer ce que c'est que l'action de Fokker. L'action de Fokker, qui a été donc repris par Wheeler et Feynman dans des travaux que Feynman a commencé, c'était le début de sa thèse, vers 42 après une stone, la publication à cause des événements qui ont eu lieu entre 44 et 45 qui ont occupé à la fois Wheeler et Feynman à d'autres choses. Comme vous savez, n'a été faite comme 1949, mais c'est au cours de ce travail que Feynman a pensé à décréer l'interaction par ce petit dessin. Je vais expliquer à quoi correspond ce dessin techniquement dans le calcul de Fokker de 1929 et dans le calcul gravitationnel qu'on va faire. Alors, l'action de Fokker commence à se poser la question suivante. On est ici en relativité restreinte et on considère le Lagrangian d'action, d'interaction entre le champ électromagnétique Amu de X et un certain nombre de particules ponctuelles dans l'espace-temps. Donc vous avez dans l'espace-temps des charges électriques, un certain nombre, eA, eB, eC. Et puis, entre elles, tout ça interagit avec un champ électromagnétique Amu. Et Fokker, donc, quelle est l'action de ce système qui est un système de champ couplé entre champ et matière ? C'est donné par une action qui contient des termes de champs, donc dans les unités agréables CGS. Malheureusement, vous n'avez sans doute appris que les unités SI qui sont vraiment mauvaises, où il faut mettre la permittivité du vide qui a une valeur pas naturelle, alors que là, il n'y a vraiment que 4p dans ces unités-là. Donc vous avez un quart parce que l'action du champ, c'est e2-b2. Et donc, un demi de e2-b2 quand vous le mettez canoniquement, mais comme ici, il y a des indices antisymmétriques. Donc il y a un terme qui est répété deux fois, c'est pour ça que vous mettez un quart. Et puis vous mettez le 4p de plus. Donc ça, c'est l'action du champ électromagnétique habituelle, où la puissance du champ, c'est ce qu'on dit en français, est égale aux rotationnelles de relativité restreinte du champ de jauge AMU. Et puis après, vous avez l'action qui représente le terme cinétique des particules dans la relativité restreinte, qui est donc une somme sur l'indice. Alors je vais introduire un indice A qui varie sur le nombre de particules pour un problème à une corps, A ira de 1 à n. Donc ces termes, c'est la masse et puis le temps propre ds. Ça, c'est la somme de varme de moins ma c intégrale de dsa, le long de ces lignes d'univers. Et puis après, termes essentiels, ce sont des particules libres. Si je n'avais que cette action-là, les particules suivraient des lignes droites en prenant les géodies dans l'espace de la relativité restreinte de cette action-là. Si je n'avais que cette action-là, j'aurai des ondes du champ électromagnétique libre qui passent. Et donc il y a un terme d'interaction qui est bien sûr essentiel. Ce terme d'interaction, il est décrit par cette action qui introduit comme coefficient de couplage la charge EA. Et le terme de couplage, c'est l'intégrale sur les lignes d'univers de amus dx mu. Donc c'est une uniforme. Sous cette forme-là, c'est totalement indépendant du paramétrage. Ici, j'ai dit qu'en général, les lignes d'univers, vous pouvez paramétriser par un paramètre P quelconque, qui n'est pas forcément, qu'il ne faut pas utiliser le temps propre a priori, parce que si vous avez été le temps propre, vous ayez plus le côté dynamique de cette action. Donc ici, n'importe quel paramètre P, mais comme ça, c'est une uniforme, ça dépend trivialement du paramètre, c'est homogène. Donc ce terme-là, si vous l'écrivez explicitement, il vaut moins... Si j'utilise comme paramètre P le temps, T, OK ? Alors ici, vous aurez le dx0. Cette intégrale vient somme de dt. D'abord, comme ici, j'ai x0 qui est CT, ça annule le facteur en sur-c que je mets devant. Donc vous trouvez EA. Et puis là, vous avez A0 en bas, mais que je peux réécrire comme moins A0 en haut à cause de la signature de la métrique, plus AIVI. Autrement dit, vous trouvez ici le potentiel électromagnétique A0. Donc ce terme-là, c'est comme un l'ingranger habituel. Dans un l'ingranger, vous avez le terme signétique moins les termes potentiels. Et le terme potentiel, vous avez le potentiel scalaire moins AV. On voit donc le couplage magnétique qui est dû à ce couplage entre cet indice-là et cet indice-là. Bien. Alors si vous prenez cette action-là, maintenant, l'idée essentielle de Fokker, c'est de dire cette action et pour un système général où j'ai la dynamique du champ et puis j'ai la dynamique des particules. Mais maintenant, je vais considérer le cas particulier où le champ est créé uniquement par les particules et je veux un système conservatif, un système où il n'y a pas de... parce que je veux trouver une action, un système où il n'y a pas d'énergie qui est perdue à l'infini et où le système va pouvoir être décrit comme un système de particules en interaction via le champ électronétique qu'elle crée elle-même. Donc pour faire ça, oui, je vais le dire. Je l'ai prévu là, mais je ne l'ai pas encore expliqué. Oui, pardon. GF, ça veut dire Gauge Fixing. Et je vais expliquer pourquoi. Donc pour pouvoir résoudre l'idée de Fokker, c'est que vous partez d'une action qui dépend de deux types de variables, un champ et des particules. Vous allez dans cette action, vous allez remplacer le champ par une fonctionnelle des particules et comme ça, vous aurez une action qui ne dépend plus que des particules. Ça, au niveau non relativiste, ça veut dire si j'ai un terme d'interaction, par exemple, de Coulomb entre une charge et le potentiel créé par l'autre charge, je remplace le potentiel créé par l'autre charge par son expression, le potentiel de Coulomb et maintenant j'ai un terme qui est le potentiel de Coulomb, E1, E2 sur R. Mais quand j'ai écrit E1, E2 sur R, j'ai résolu l'équation du champ à l'approximation à plus base. Donc on va faire ça dans un cadre relativiste. Mais pour faire ça, regardons les équations de champ. Si je ne regarde que l'action du champ écrite comme ça avec F², donc sous forme Gauge invariante, en variante de Gauge, vous avez une équation qui s'écrit, je vais l'écrire là-bas, qui s'écrit l'équation de Maxwell, Démunu, Fmunu est égal à 4π gmu et dans lequel, bon gmu on va l'écrire tout à l'heure, c'est, je vais l'écrire tout de suite. Vous faites la variation de cette action par rapport à amu et vous trouvez comme ça qu'il apparaît un gmu de x qui est égal à la somme sur les charges de l'intégrale des x amus d'une fonction delta à 4 dimensions de x amu. Si vous voulez, je mets un autre indice ici. Ce qui s'écrit aussi, somme sur A de ea l'intégrale de dsa u amu delta4. Donc quand vous faites la variation fonctionnelle par rapport à A, vous devez calculer une dérivé fonctionnelle de cette action par rapport à ame. Le champ A ici, il est pris sur la ligne du univers. Donc ça veut dire que quand vous prenez des fonctionnels, vous avez une fonction de Dirac, distribution de Dirac à 4 dimensions, delta4 qui est donc qui a la propriété que dans une intégrale à 4 dimensions, des 4 de f de x delta de x- alors cette fois xa de xs, enfin n'importe quoi ici, est égal à f de xa de s. Donc ça c'est le courant engendré par les particules. Ce courant est un courant à valeur distributionnelle qui est nul partout, sauf le long de ses lignes d'univers, mais il est écrit ici comme une intégrale le long de la ligne d'univers. Alors comme il y a une intégrale ici sur le temps, et que ça vous avez une distribution delta à 4 variables, qui est donc un delta à 3 dimensions et un delta à 1 dimension, le delta à 1 dimension est tué par l'intégrale sur le temps et donc ça veut dire que c'est quelque chose qui est nul dans l'espace, ce qui est nul partout sauf qu'une distribution de delta. Si vous le regardiez à un t constant, vous verriez que ce courant est nul partout sauf en ce point là. Bon, on le verra plus précisément après. Mais maintenant, j'ai donc ce courant là, je veux résoudre cette équation. Si j'écris le membre de gauche, explicitement, le membre de gauche, il vaut comme ça, ça vaut des mu à nu moins des nu à mu, ça vaut des nu, des mu à nu moins des nu à nu, des nu à nu à mu, le membre de gauche. Et si vous essayez maintenant de résoudre cette équation, vous ne pouvez pas, simplement parce que la raison physique, c'est que comme c'est un variant de jauge, justement, si j'ai une solution, n'importe quelle solution à laquelle j'ajoute le gradient d'une fonction scalaire est aussi une solution, donc je ne peux pas inverser ça, je ne peux pas trouver une solution unique satisfaisant ça. On sait bien sûr la solution, c'est qu'il faut fixer la jauge et pour ça, on peut introduire la jauge dite de Lorentz, qui, les gens s'accordent maintenant à dire que le Lorentz qui introduit la jauge de Lorentz, ça n'est pas Hendrik Lorentz, avec un T qui a écrit la première fois les équations de Maxwell de façon agréable, mais c'est l'autre Lorentz, celui de la loi de Lorentz dans les milieux dits électriques, vous avez peut-être vu. C'est bien, je sais que c'est plus... Mais on ne va pas rentrer trop là-dedans, on va appeler jauge de Lorentz ou condition de Lorentz, le fait d'imposer que des nus de la nu égale à zéro, donc de fixer la jauge de Maxwell par cette contrainte supplémentaire pour éliminer ce premier terme, parce qu'on est dans l'espace plat, ici j'ai deux dérivés mais je peux les commuter et donc vous voyez que le premier terme est le gradient de cette condition-là. Donc sous la condition de la jauge de Lorentz, les équations de Maxwell deviennent... d'Alanbert dans l'espace plat de Hamu est égal à moins qu'à Pi-Jimu. Et là, on peut les résoudre comme Lorentz avec un T la fait, et avant lui Lienard et Wichert, mais avec des potentiels retardés, ce qu'on va faire à l'instant. Mais comme ici je travaillais avec une action, il faut que mon action me donne les équations du mouvement que je suis en train de résoudre. Donc comme je ne suis pas en train de résoudre les équations de Maxwell, mais une version des équations de Maxwell où j'ai imposé une condition de jauge, il faut que je rajoute un terme dans mon action pour que la dérivée variationnelle de l'action me donne bien les équations que je suis en train de résoudre. Et pour ça, comme il est toujours le cas, enfin c'est des types de jauge co-variantes, il faut rajouter un terme dans l'action dit en anglais de gauge fixing GF, qui est proportionnel à l'intégral à 4 dimensions du carré de la condition de jauge. Vous prenez ça parce que quand vous faites avec un coefficient que vous mettez devant, et vous voyez en prenant ce terme-là, si vous refaites le calcul que vous pouvez trouver un coefficient ou ce terme-là disparaît. Donc on prend cette action, alors comme il se trouve que c'est le carré de la condition de jauge, en fait ce terme-là est nul ou deuxième ordre, et finalement pour la valeur numérique de l'action, ça ne change pas par rapport à la bonne action de Maxwell. Enfin ça c'est un détail. Donc on travaille avec cette action-là et quand du coup vous faites la somme de ce terme-là, vous trouvez que l'action pour le champ de Maxwell, sous forme gauge fixe, est égale à moins 1,5, il y a toujours le 1 sur 4 pi, l'intégral de D4x sur C, de d'ému à nu, d'ému à nu. Donc vous trouvez quelque chose de très simple, qui effectivement comme c'est juste, où les contractions c'est entre cet indice-là et cet indice-là, cet indice-là, et vous vérifiez immédiatement que cette action-là donne bien cette équation du mouvement-là. Alors les signes sont importants dans ce business et donc pourquoi ça a un signe moins ? La raison est la suivante, c'est d'abord parce que j'utilise la signature moins pour le temps et plus pour l'espace. Et comme c'est plus pour l'espace, vous voyez que les composantes A, I, qui sont les plus nombreuses démocratiquement là-dedans, ici ils vont avoir un signe plus, alors que devant la dérivée temporelle, il y en a un qui est en haut et un bas, donc pour l'indice mu égale à zéro, de le terme cinétique du champ, ici c'est moins A.I carré. Et donc il faut que l'énergie cinétique du champ soit positive pour pas que ce soit ce qu'on appelle un fantôme. Donc tous les champs doivent avoir toujours un terme cinétique plus A.I carré, si vous regardez les composantes physiques du champ et leurs dérivées temporelles. Donc ça explique pourquoi il y a un signe moins devant. Et on verra pour la gravitation qu'on a le même signe moins. Maintenant, comment résoutons cette équation-là ? Et bien comme vous le savez, il faut avoir soit une solution élémentaire, soit une fonction de green, c'est-à-dire comme j'ai mis les facteurs 4-pi qui sont ceux qui apparaissent dans les unités naturelles et qui apparaissent aussi d'ailleurs dans la relativité générale puisque il y a 16-pi-g, il est naturel de définir la fonction de green comme en incluant ce facteur 4-pi, c'est-à-dire je vais définir fonction de green, une fonction telle que le d'Alan-Bercien de g est égal à moins 4-pi d'une distribution on dira qu'à 4 dimensions de x moins y. Et maintenant, qu'est-ce que ça veut dire ? Quelle est la valeur de la fonction de green ? Alors dans le cas statique, vous savez que le potentiel insuraire justement satisfait la place de l'insuraire et moins 4-pi delta à 3 dimensions. Donc on retrouve le même moins 4-pi. Et si vous êtes dans l'espace de la relativité restreinte, il y a deux types de solutions. Il y a tout un ensemble. Il y a toute une panoplie de fonction de green. Parmi ces fonctions de green, il y a des fonctions de green qui, étant donné le point source, sont émises dans le futur. C'est ce qu'on appelle, c'est-à-dire que le point x, qui est le point de champ où je regarde le champ et puis y, je vais mettre la source. J'ai une première fonction de green qui est la fonction de green retardée qui est donc émise par le point. Cette fonction retardée, on sait depuis longtemps que ça est également une distribution de Dirac à une dimension de T-x sur C sur un sur X. Donc c'est le potentiel en insuraire, mais avec une fonction delta retardée T-R sur C qui dit que l'action électronétique a mis ses propagés à vitesse de la lumière. Vous avez une fonction de green avancée qui est la même, mais au lieu d'avoir un signe moins ici, vous avez un signe plus. Pardon. Ici c'est quand je mets le point source à l'origine parce que cette fonction de green ne dépend que de la différence des deux points. Tout est en variance aux translations et donc j'ai écrit les choses ici sous la forme la plus simple possible. Mais si j'utilisais soit ça à soit ça, j'aurai un système qui n'est pas conservatif, un système qui perd l'énergie à l'infini ou qui en contraire en gagne depuis moins l'infini. Donc l'idée de Fokker c'est d'utiliser la fonction de green symétrique, celle qui ne distingue pas passé et futur. Donc il y en a une qui est comme ça, il y en a une qui est comme ça de fonction de green et la fonction de green symétrique, c'est une fonction de green qui est symétrique entre le passé et le futur, c'est la demi-somme de la fonction de green avancée et de la fonction de green retardée. Comme chacune satisfait la même équation, si vous prenez la demi-somme, ça satisfait bien cette équation-là. Et donc ça, c'est égal à 1 sur 2x fois delta à une dimension de t moins x sur c plus delta de t plus x sur c. Bien, x est en le mode du... Donc c'est un sur R, en termes ordinaires on dirait c'est delta de moins ou plus delta de R sur c sur R, cette fonction de green. Donc voilà. Maintenant, cette formule-là, on est en train de résoudre un problème relativiste et la beauté du travail de Fokker, c'est d'avoir... et c'est ça qui a frappé Willer et Feynman, c'est d'avoir écrit les choses qu'avec des invariants relativistes. Là, ça n'a pas l'air très invariant relativiste parce que ça dépend du temps t de x dans un repère de Lorentz particulier, mais en utilisant la formule de transformation des distributions delta, c'est-à-dire si vous avez, vous savez, delta non pas de t, mais d'une certaine fonction de t est différenciable et équit à un certain nombre de 0, ça, c'est égal à une somme sur les 0, c'est-à-dire les points phi t0 ou phi t0 égale à 0, de delta de t moins t0, divisé par la valeur absolue de la dérivée des phi sur d t0 à ces points-là. Bien. Donc en prenant cette formule, vous vérifiez facilement que ça est égal à c delta, ça c'est des deltas à une dimension, distribution d'Irak d'une variable, alors qu'ici on a un delta dans R4. Vous trouvez facilement que c'est égal à ça, parce que si vous prenez ça, une fonction delta de l'invariant relativiste c2t2 moins x2, par rapport à la variable t, il va y avoir deux racines, justement ct égale plus le module 2x ou moins le module 2x, et vous combinez les deux racines par cette formule et vous trouvez que ça engendre précisément ces deux termes-là. Autrement dit, la fonction de Green symétrique, en tant que fonction de, si je l'écris, de x mu et de y mu dans l'espace-temps de la relativité restreinte, est égal à c fois la distribution delta à une dimension de l'invariant de l'intervalle carré entre les deux x mu moins y mu x mu moins y nu. Voilà, donc vous voyez, sous cette forme-là, j'ai retrouvé l'invariance relativiste explicite, la fonction de Green, et simplement, dans la suite on va faire c égal à 1 aussi pour simplifier, pour éviter, j'ai essayé de les garder jusqu'ici, des facteurs c, est une fonction delta de l'intervalle entre les deux. Ce qui veut dire simplement qu'on voit ici, c'est que si j'ai un point source ici y, la fonction de Green va être nulle partout, sauf sur le cône de lumière, c'est-à-dire à x moins y carré est égal à 0, et la fonction de Green est simplement la distribution delta de cette intervalle carré. Donc, maintenant je peux résoudre à mu, et donc je trouve que à mu exprimé en fonction des sources, mais toujours calculé au point x, et en tant que fonctionnel, cette fois, des world lines, est égal à l'intégrale de d k t y, de j sim de x moins y, j mu de y. Donc je réseaux cette équation-là, d'un l'ambersien de à mu égale moins 4 pi j mu, ça, ça veut dire que c'est la convolution entre la fonction de Green symétrique et la source, j mu, mais que vaut le courant ? Le courant, comme je dis, c'est l'intégrale sur des lignes d'univers, donc je remplace maintenant dans cette formule l'expression explicite du courant, qui est une intégrale de fonction delta à 4 dimensions le long des lignes d'univers, et donc, comme j'ai avoir une fonction delta au point source qui est y, des quatre y d'une fonction delta, je peux calculer ça facilement et ça me donne une intégrale le long des lignes d'univers. Donc je trouve que ça est une somme sur l'étiquetage des particules A qui vaut de 1 à n pour un problème à n corps, de l'intégrale de dsa j'ai sym de x moins xA de sA de u à mu. Ici, j'ai utilisé comme paramétrisation explicite, je sais pas si je l'ai dit explicite, mais on peut, l'intégrale du courant dX mu sur les lignes d'univers des particules chargées peut s'écrire comme l'intégrale de la quadrie vitesse, humus, mais qui est simplement dX mu sur dS, fois dS, ou donc dS indice A, et le temps propre, le long de la im lignes d'univers, de la charge eA, ça va, le chien n'a pas bougé, ça va. Donc, j'ai cette intégrale, je l'ai amus, pardon, donc maintenant, je remplace dans l'action de focaire, mais pour ça, je dois d'abord prouver quelque chose qui est que dans cette action, donc dans l'action de focaire, au départ, j'ai une action qui dépend du champ, qui est une fonctionnelle du champ et des lignes d'univers. Je dois prouver que si je remplace, ça c'est la solution des équations de Maxwell, où il n'y a pas de radiation qui part à l'infini, que je veux remplacer dans l'action. Mais pour soi, je dois prouver que quand je remplace la solution qui est un fonctionnel des lignes d'univers, ça me donne une nouvelle action, qui s'appelle l'action de focaire ou action réduite, qui ne dépend plus que des lignes d'univers, puisque j'ai donc éliminé, le champ ici a été éliminé par une expression explicite en fonction des sources. Mais je dois prouver que ça, ça me donne bien une action pour le mouvement des particules que je connais, puisque ici, j'ai écrit les équations pour le champ A, mais je n'ai pas écrit les équations du mouvement des particules. Alors la preuve est en fait très simple et très générale, c'est que si dans une action qui dépend à la fois du champ et de X, si vous calculez maintenant les équations de l'air-la-grange pour les particules, ces équations de l'air-la-grange, c'est la délévée fonctionnelle de l'action, quand je varie les particules. Mais maintenant, l'action réduite, donc je dois faire une délivrée fonctionnelle d'une action qui est elle-même fonction de deux arguments, le A qui est une solution qui a été remplacée en fonction des lignes d'univers, et puis il y a aussi une dépendance par rapport aux lignes d'univers, par exemple ce terme-là, je n'y ai pas touché, et puis le terme d'interaction, je dois encore discuter ce qui se passe. Mais ça, si vous faites le calcul explicite, d'ailleurs vous pouvez le faire pour ce cas-là, vous trouvez qu'il y a deux termes, il y en a un qui est la délivrée fonctionnelle ordinaire, comme si ça c'est comme une délivrée totale, je dois différencier soit par rapport à XA, donc ça me donne à délivrer, si vous voulez, par rapport à XA, du S de départ ou A ne dépendait pas de X, et puis après la différenciation, je remplace A par le A solution, et puis j'ai la différencièle, où je dois différencier ça en tant que fonctionnelle d'X, mais ça, ça me donne un terme supplémentaire qui va contenir la délivrée fonctionnelle de A de S par rapport à A, et puis la délivrée fonctionnelle de A par rapport à A, de A solution par rapport dans lequel je remplace après la différenciation A par A solution, et la délivrée fonctionnelle de A solution par rapport à DX. C'est comme la délivrée habituelle d'une fonction de deux variables dans laquelle vous avez remplacé une des deux variables à une fonction de l'autre, bien. Mais qu'est-ce qu'on a résolu comme action ? La solution A était une solution précisément de ces équations-là, que sa délivrée fonctionnelle par rapport à A était nul. Donc ce terme supplémentaire qui gênerait le calcul est nul. Et donc ça, ça prouve que la délivrée fonctionnelle de l'action réduite dans laquelle je remplace le champ fonction des sources est bien une action pour les particules. Voilà, ça c'est le truc fondamental qui permet à l'action de réduite, de focœur d'exister. Et donc maintenant on peut faire le calcul, c'est-à-dire, je dois calculer cette action réduite qui est donc l'intégrale. Il y a ce terme-là qui ne bouge pas. Mais maintenant j'ai deux termes supplémentaires. J'en ai un qui est l'intégrale sur les lignes de l'hiver du couplage entre amus, mais qui est maintenant amus solution avec ces lignes d'hiver. Et puis j'ai les termes, l'énergie cinétique, si vous voulez, l'action du champ lui-même dans lequel je dois remplacer le champ par le champ solution. Alors en fait le calcul est très simple. Et dans ce cas, la quadratique, dans le cas de la relativité générale, on va voir que c'est un peu plus compliqué. Donc j'écris ce que je viens de dire en mots, que l'action réduite comme fonctionnelle des lignes est égale à moins la somme du terme cinétique qui ne bouge pas, qui est le même qu'avant. Et puis j'ai la partie d'interaction qui contient deux types de termes. Donc S interaction entre les particules, maintenant qui va dépendre donc de... ça, ça dépend, c'est une somme sur une seule particule. Ici on va avoir une somme double, surtout de les particules. Le terme d'interaction réduite à deux types de termes. L'un, c'est l'intégral de amus jimus sur l'espace-temps où jimus est donné par l'expression là-haut et maintenant amus va être solution. Et puis l'autre, c'est égal à ça. Vous allez voir pourquoi je... Pour le moment, je n'ai rien fait, j'ai juste réécrit les choses. Deux fois quatre pis et l'intégral de dému amus carré. Mais là-dedans je dois remplacer un par la solution. Maintenant j'intègre par partie. Ici j'ai un terme qui est gradient nu de amus carré. Si je l'écris... Si vous voulez pour que ça soit plus clair. Si je l'écris comme ça, amus, solution. En intégrant par partie, modulo des termes de surface. Alors comme on est dans un cas où il n'y a pas d'énergie rayonnée à l'infini, justement ces termes de surface on peut bien les négliger. Vous voyez que ça, modulo, le changement de signe va me donner. Le dénu je peux le passer là, d'à l'ambert de amus. Donc ce truc-là je peux le réécrire comme étant plus un demi, c'est-à-dire un surmi de pi avec le coefficient de pi, de l'intégral de amus d'à l'ambert de amus. Mais quelle est l'équation que j'ai résolu ? C'est justement d'à l'ambert de amus égale moins qu'à de pi j'immue. Donc ce terme-là est en fait égal à moins un demi. C'est intégré sur l'espace temps. Moins un demi de D4x de amus j'immue. Autrement dit, le terme cinétique des champs est égal au facteur moins un demi près au terme d'interaction que j'avais. Et donc la somme du terme d'interaction entre amus et le j'immue et le terme cinétique des champs réduit est égal à la même chose qu'avant mais avec un facteur en demi qui est absolument crucial, bien sûr. Oui, oui, je vous en prie. Le terme de situation rouge, donc j'ai peut-être un tibinétape mais j'ai pas compris comment on pourrait passer d'un terme qui est en du amus carré à un terme qui est en du amus du amus. Oui, c'est parce que le terme, alors j'ai écrit les choses en épluyant les facteurs ici. Le premier terme, le terme cinétique de Maxwell, c'est des mu à nu moins des nu à mu carré. Ok ? C'est le rassemblement des deux. Donc le premier, comme c'est double, c'est en fait des mu à nu à facteur 2 moins des nu à mu fois des mu à nu parce que l'autre compte double et donc ce que j'ai éliminé, c'est celui des deux qui n'est pas du type. Celui-là, par intégral pas parti, est bien proportionnel à celui-là. Donc le terme que je rajoute, des nu à nu carré, élimine celui-là et laisse le premier. Parce que sinon, ça aurait été plus compliqué de partir directement du fnu, fnu, fnu et zuel pour obtenir ce résultat. J'ai dit qu'on ne peut pas, c'est-à-dire, si on prend fnu... Une fois qu'on a la solution, une fois qu'on s'est donné la solution. Ah oui, une fois qu'on apprend la solution, comme le terme, ce terme-là, mais en fait, dans le cas de Maxwell, le terme que je rajoute, il est vraiment nul. Donc j'aurais pu le faire, j'aurais pu injecter la solution. Ça n'est pas exactement vrai pour la relativité générale, parce que le terme de gauge-fixing en relativité générale n'est nul que modulo, les équations du mouvement. Donc la bonne logique, c'est bien de dire qu'on gauge-fix. Et puis en théorie quantique de champ, il faut vraiment gauge-fix pour avoir un propagateur qui est bien défini. On va voir ça dans une seconde. Donc à la fin de tout ça, qu'est-ce que j'ai obtenu ? J'ai obtenu que pour l'électromagnétisme, l'action réduite ou action de focaire pour les lignes d'univers, mais en tant que dynamique seulement des lignes d'univers, est égale à moins somme sur les particules de MA, l'intégrale de DSA, plus un demi de l'intégrale des 4x de la solution à mu, je vais l'écrire même à gauche comme ça, j mu fois la solution au point x, au point x. Maintenant dans cette équation-là, je remplace à mu en fonction de son expression qui est la fonction de Green en convolution avec la source, mais la source a un autre point au point y. Et donc ce terme, donc ça c'est le terme d'interaction, S interaction focaire, donc S interaction s'écrit comme plus un demi de l'intégrale double de D4x, D4y de j mu de x, la fonction de Green symétrique entre x moins y, j mu de y. Donc voilà, alors ça vous avez un objet qui apparaît tout le temps qui dit vous avez une certaine source, j, qui dépend de l'espace-temps et ici au point x et vous prenez la valeur de la source, bon ici au point x et ici au point y, et entre les deux vous avez quelque chose qui se propage, qui est à fonction de Green qui exprime la propagation de l'interaction électronétique entre les deux, vous avez un facteur en demi et c'est ça le terme d'interaction. Et c'est ça, si je remplace maintenant explicitement le fait que les termes de source n'existent que sur les lignes d'univers parce que j'ai par exemple entre deux charges A et B, j mu est une somme sur tous les A de choses qui sont nulles là. Donc dans cette somme, j'ai une somme double que je vais écrire, j'ai toujours plus un demi, somme sur A et somme sur B d'une intégrale. Maintenant si je remplace j mu dont j'avais l'expression comme là-haut, comme intégrale de ds humus, donc le dx mu delta à 4 dimensions, encore une fois les delta à 4 dimensions sont faciles à faire, et donc j'ai une intégrale simplement sur les temps propres des deux lignes d'univers, de sasb, de ea, je l'écris explicitement, j'ai symétrique de xA-xB, eB, eB, mu. Donc ça c'est le terme d'interaction. Et c'est pour ces termes d'interaction que Feynman, c'était dans le calcul de Fokker, a introduit les diagrammes. Vous avez une intégrale, une fois que vous avez la somme sur les particules, qui est d'un point xA à ce point xB. Vous allez intégrer sur tous ces points avec le long de ces points dsA à dsB. Et puis entre les deux, vous avez la fonction de Green. Donc vous représentez sas, je suis en train de calculer donc un terme dans l'action à un corps, ici il y a deux corps. Ce terme est un nombre qui est une fonctionnelle des lignes d'univers, et cette fonctionnelle elle est donnée par un coefficient un demi devant. Il y a un signe plus, j'ai une somme sur toutes les paires de lignes d'univers et je dois intégrer sur chaque ligne d'univers. Et qu'est-ce que j'ai à gauche et à droite ? Alors entre les deux, j'ai ici la fonction de Green parce que j'ai résolu les équations de Maxwell. Donc cette fonction de Green en fait, elle est apparu parce que c'était l'inverse du terme cinétique ici, donc c'est ce qu'on appelle propagateur en général. On va faire ça pour la gravitation. Et à chaque extrémité, ici j'avais la charge, la charge couplée au courant puisque c'était muA et ici j'ai la charge du point B mais avec le courant à ce point-là. Et j'ai une contraction entre les deux. Cette contraction était liée à la contraction entre les indices nu maintenant, c'est-à-dire ici. Le fait que dans l'action j'avais anu anu, demi anu, demi anu, bien. Et ça c'est la fonction de Green. Voilà, c'est ça que je voulais expliquer. Donc cette interaction, interaction vraiment, c'est une action d'interaction. Dans cette somme, il y a deux types de termes. Alors vous avez, c'est une somme double. A priori, dans cette somme double, vous avez aussi des termes du type AA puisqu'il n'y a pas de restriction qu'A doit être différente de B. Donc ces termes-là, dans le lieu d'un diagramme de ce type-là, c'est-à-dire c'est la même intégrale que j'ai écrite mais vous faites A égale à B. Vous prenez ici l'EA ému au point A et puis ici vous prenez EA, c'est le même, mais c'est un autre point S prime. Alors que là c'est au point S et vous prenez la fonction de Green allant de ce point-là à ce point-là et vous êtes censé faire l'intégrale. C'est ce qu'on appelle des termes à une boucle en théorie quantique des champs mais ils apparaissent directement dans le calcul classique. Alors on en discutera après. Ces termes-là peuvent être mis à zéro. Ils sont infinis en fait, comme on va voir. Ils renormalisent la masse. Et puis vous avez les termes vraiment d'interaction entre A et B, c'est-à-dire A est différent de B où j'ai déjà dessiné la chose. Vous avez ici EU et puis ici EU mais ça c'est au point B et ça c'est au point A. Donc maintenant, vous avez deux types de termes dans cette action de Fokker. Maintenant il faut les calculer explicitement parce que ça c'est le résultat de Fokker. Maintenant pour discuter des tests de la relativité générale on va voir comment en partant de cette action de Fokker qui est une fonctionnelle de Deli, qui est une fonctionnelle qui est non locale. C'est-à-dire cette action, elle dépend contrairement au potentiel de Coulomb. Potentiel de Coulomb serait quelque chose qui dit qu'il y a une interaction entre un point X et une charge en un point A et une charge B qui est instantanée, donc au même instant T, ça serait la distance entre les deux. Alors que là, nous avons quelque chose qui contient la fonction de Greene Symmétrique et donc qui contient un terme avancé et puis un terme retardé. Commence qu'on peut déduire de ça un Lagrangian explicit. Pour avoir un Lagrangian explicit il faut utiliser des développements et on va voir comment ces développements s'introduisent. Alors je vais effacer ça par exemple. Regardons de nouveau la fonction de Greene. Je l'ai déjà écrit, mais je vais la réécrire explicitement. La fonction de Greene Symmétrique entre les points XA et XB qui est d'abord fonction que de la différence des deux. Donc j'ai dit qu'en C égale à 1, C, c'est cette expression vraiment très simple, c'est la fonction delta à une dimension du carré, XA minus XB. Au fait, en théorie quantique des champs, la fonction symétrique d'entre pas à l'ici, c'est à partie réelle de la fonction Greene de Feynman. La fonction Greene de Feynman est aussi symétrique entre les deux points mais là une partie réelle et une partie imaginaire. Partie réelle donne dans l'interaction dont je parle la partie imaginaire donne autre chose en théorie quantique des champs. Mais à la limite classique, on retrouve ça. Donc j'ai dit que ça, c'était un demi de delta de TA minus TB moins XA minus XB sur C. Là je remets, je ne faisais pas XA minus XB. Là je vois que je vais avoir du potentiel de coulomb caché derrière bien sûr mais on veut retrouver les corrections au potentiel de coulomb dû à la propagation à la vitesse de la lumière de l'interaction électromagnétique sur C divisé par XA minus XB. Bien. Ici, j'ai laissé le paramètre en sur C parce que physiquement, qu'est-ce qui se passe ? Il y a deux particules qui bougent à des vitesses faibles par rapport à vitesse de la lumière dans un certain référentiel de Lorentz. Et si dans ce référentiel de Lorentz je regarde cette action le terme de l'action qui agit sur la première particule A à l'instant T il va y avoir deux types de contributions une qui vient du passé et une qui vient du futur mais il y a eu un retard entre les deux qui est la distance RAB divisé par C. Si mes objets bougent assez lentement par rapport à vitesse de la lumière ce temps va être faible par rapport à une période typique donc du système et donc je vais pouvoir développer en puissance de un sur C formellement. Comment ce qu'on fait ? Comme vous avez ça, vous développez formellement en puissance de un sur C et vous regardez ce que ça donne. Donc je vais développer les deltas comme si c'était une fonction ça introduit les dérivés de la distribution de delta mais tout ça est bien défini quand vous appliquez ça sur une fonction test, bien sûr, tout ça, très vialement défini suffit que la fonction test soit différenciable. Donc à l'ordre 0 vous avez ici delta TA-B, delta 1, il y avait un demi, donc à l'ordre 0 vous trouvez que c'est delta de TA-TB simplement divisé par la distance XA-XB. Et si vous gardiez que ce terme-là à l'ordre 0 et que vous le remplacez dans cet intégral vous voyez que vous aurez le potentiel de coulombs sorti et vous voyez l'interaction instantanée parce que vous avez une double intégrale sur TA-TB et vous avez une fonction delta qui vous dit TA est égal à TA-B. Donc au lieu d'avoir une double intégrale sur les deux lignes du air vous avez une seule intégrale commune par rapport au temps. Mais il y a des termes derrière. Alors d'abord il y a des termes du premier ordre en un sur C mais comme vous voyez qu'ici c'est une fonction symétrique plus C par un moins C c'est une fonction paire de un sur C donc il n'y aura pas de termes odd, impère en un sur C et donc la première correction sera du deuxième ordre et donc sera plus un sur C2, un demi de la dérivée seconde de la fonction delta par rapport à son argument TA-TB ou TA dans ce cas-là soit delta de TA-TB, soit quoi ? Alors le un demi ici ne vient pas du un demi ici mais il vient du un demi de Taylor. Quand je développe une fonction Taylor au deuxième ordre j'ai un demi de X2 fois la dérivée seconde, c'est ce un demi-là. Donc c'est la dérivée. Donc je vais avoir X moins un moins XB au carré mais divisé par X à moins XB donc ici j'ai X à moins XB à la puissance plus un. Et puis après j'ai des termes de un sur C4. Alors ce premier terme ici qui est la dérivée seconde de delta je peux le réécrire en changeant le signe comme étant la dérivée à la fois par l'argument TA et par l'argument TB mais comme il y a un signe moins devant celui-là c'est juste pour rendre plus symétrique, ça introduit un signe. Et maintenant je dois remplacer ça dans l'action. Alors si vous remplacez tout dans l'action je vais regarder ce que donnent ces termes eux-mêmes comme correction relativiste, je vais juste esquisser. Donc quand vous regardez ce terme-là il va vous donner une intégrale sur les deux lignes d'univers il va y avoir DTA, DTB et puis vous avez le XA, XA est une fonction de TA XB est une fonction de TB parce que je suis le long de ces deux lignes d'univers et ici j'ai cette dérivée de delta avec deux dérivées devant mais comme j'ai une intégrale sur les lignes TA et DTB donc au lieu d'avoir l'action d'une dérivée de delta vous faites agir sur la fonction qui est à droite. Donc ici je peux écrire simplement delta de TA-TB et puis j'ai la dérivée seconde par rapport à TA et TB agissant maintenant là-dessus. Donc vous voyez que ce terme-là donne aussi une termes d'interaction instantanée, il y a delta TA-TB mais il apparaît une correction au potentiel de Coulomb qui est la dérivée mixte par rapport à TA-TB et ça vous pouvez le calculer, ça fait intervenir les vitesses. En fait ce terme-là donne l'intégrale de DTA-DTB delta de TA-TB la vitesse VA dot VB donc ça au point TA, ça au point... c'est en fait un seul des... pourquoi j'ai écrit ça ? C'est pas correct ? Oui non justement, ça n'est pas correct. Vous avez ce terme-là, quand vous différenciez ça apparaît le vecteur unité NAB qui est XA-XB sur le module il faut que vous différenciez la distance par rapport au point origine et au point finot qui dépendent du temps donc il apparaît les vitesses et donc vous avez une combinaison ici du type NAB-VA-NAB-VB plus d'autres termes en VA-VB je vous laisse faire le calcul mais vous avez d'autres termes dans l'action de focaire parce que je disais dans l'action de focaire ça j'ai regardé le développement de la fonction green mais dans l'interaction relativiste vous aviez ici la 4 vitesses en ce point-là et la 4 vitesses en ce point-là quand vous utilisez comme paramétrage DTA-DTB on a vu tout à l'heure que ici si au lieu d'utiliser S, j'utilise T ici au lieu d'avoir la 4 vitesses j'aurai simplement DX-MU sur DT-A et ici j'aurai DX-B-MU sur DT-B puisque c'est de façon homogène du premier ordre dans chaque vitesse et donc cet objet-là c'est un quadrifecteur ici j'ai la contraction de 2 quadrifecteurs dont les premières composantes valent 1 et dont la deuxième composante vaut dans un cas la vitesse donc c'est la contraction de ce quadrifecteur-là avec le quadrifecteur donc la première composante vaut 1 et l'autre vitesse et donc ça c'est d'égal à moins 1 plus VA.VB donc vous voyez que vous avez plusieurs types de corrections à l'ordre 1 sur C2 des corrections venant du propagateur et des corrections venant du caractère vectoriel du champ de Maxwell à la fin de tout ça vous obtenez ce qu'il s'appelle le Lagrangian Darwin alors le Lagrangian en fait ce qui est amusant là-dedans c'est que le Lagrangian Darwin a été obtenu en 1922 donc avant Fokker parce que c'était juste l'approximation en V2 sur C2 à la correction de Coulomb mais ce que je vais faire après qui est le Lagrangian dit souvent de Fischtenhol sous Einstein, Feldhoffmann qui a été obtenu par Lorenz Drost en 1917 a été obtenu avant tout ça c'est-à-dire les gens ont dérivé les corrections relativistes à la gravitation avant tout ça mais en fait pour mieux voir l'origine de ces termes-là je suis parti de l'électromagnétisme qui est aussi plus simple techniquement quand vous faites le calcul vous trouvez que je vais l'écrire là que le Lagrangian dit de Darwin 1922 donc Lagrangian ça veut dire que j'écris l'action comme une intégrale j'écris l'action dans un référentiel de Lorenz donc je choisis un référentiel avec temps et espace et dans ce référentiel je regarde le mouvement des lignes d'univers chaque ligne d'univers est en repéré par une position vectorielle en fonction du temps et avec une vitesse vitesse ordinaire c'est-à-dire dx sur dt pour ma ligne d'univers donc vous trouvez une action qui est à cause des fonctions delta t1 et t2 qui s'écrit comme l'intégrale sur dt dans Lagrangian qui dépend des positions et des vitesses bien à cet ordre-là et vous trouvez que cela Lagrangian il a deux types de termes il y a un premier terme qui vient du terme cinétique des particules j'espère que je l'ai laissé donc c'est celui-là mais si je l'écris dans un référentiel de Lorenz ce terme moins Emma c'est le temps propre comme vous le savez je suppose c'est somme sur les particules de moins Emma c'est au carré maintenant parce qu'il reste le temps propre qu'un factor C racine carré de 1, moins va carré sur c2 donc là c'est l'action exacte relativiste pour une particule isolée et puis il y a le terme d'interaction dans la Lagrangian qui se trouve finalement égale à moins un demi de somme de 1 alors pourquoi moins ? parce que les signes vont être importants ici pourquoi moins ? ici j'avais un signe plus mais ce signe plus et le signe plus venait des termes dans l'énergie cinétique mais j'avais une contraction entre humus au point A la quadrivités ici et la quadrivités ici mais le produit invariant de 2 quadrivités dans la signature où je suis ça contient un signe moins c'est moins 1 essentiellement moins 1 plus va vb donc c'est pour ça qu'il y a un signe moins voilà pourquoi votre fille est muette ici je ne regarde que les termes on discutera les termes quand ea est égal à eb de rab ou rab désigne je note pour éviter de tout rab cx à moins xb c'est la distance à l'instant, au même instant t maintenant je suis dans un référentiel de Lorentz à l'instant t j'ai 2 positions c'est la distance entre les deux ça c'est le potentiel de Coulomb j'ai un terme 1 oui alors moins je vous rappelle une action un Lagrangian c'est le terme cinétique moins les termes potentiels donc ici le terme potentiel est égal à plus ea eb sur rb qui est bien le potentiel de Coulomb c'est un potentiel répulsif quand j'ai 2 charges de même signe et puis les termes dont je viens d'esquisser le calcul et je vous engage à faire le calcul pour voir que ça marche bien que c'est très simple une fois que vous êtes habitué avec la technologie mise en place c'est très simple plus des termes ea eb sur c4 donc j'ai dit qu'il y a des termes qui viennent de l'action qui viennent de la dérivé seconde de delta et donc la dérivé seconde de cet objet-là ce qui fait intervenir à la fois un terme de ce type-là et un terme de ce type-là vous avez l'autre terme qui vient directement de ça ou ici il y avait le coefficient 1 par rapport à ça donc c'est pour ça qu'ici le coefficient 1 demi c'est un 2 ça et la somme d'un terme qui vient de là et un terme qui vient de là bien alors juste une petite remarque si vous essayez de continuer le calcul à l'ordre suivant alors il y a une petite surprise qui est qu'à cet ordre là en intégrant par partie il faut développer ça donc il apparaîtra à la dérivé quatrième de la fonction delta et puis là vous pouvez essayer d'intégrer par partie en repoussant les dérivés de l'autre côté mais quand vous faites ça ici on avait pu en écrivant ça sous cette forme-là ce qui est déjà un truc parce que si vous ne l'écrivez pas comme ça il faut faire une intégration par partie exprimer les choses uniquement en fonction position et de vitesse quand vous incluez le terme suivant vous voyez que le lagrangien ne dépend plus seulement mais aux ordres suivants il dépend des dérivés des vitesses c'est-à-dire non seulement de X et de X point mais de X point point donc vous avez un lagrangien généralisé dit dostrogradski et puis ça c'est à l'ordre suivant si vous allez à tous les ordres vous avez un lagrangien qui a un nombre infinit dérivé mais c'est normal parce que la vraie action était non locale donc ici on est en train de représenter une action non locale mais légèrement délocalisé dans le temps pas quelque chose qui a l'air local dans le temps de plus en plus élevé selon l'approximation où vous allez mais et ça à l'époque où avec Nathalie on travaillait là-dessus on avait été surpris de voir que même dans Landau-Liffchitz il y avait une erreur en fait sur ce point-là et on avait compris qu'en relativité générale en revanche à l'approximation suivante il fallait bien avoir les accélérations et aussi dans l'électromagnétisme ordinaire bien depuis ça a été corrigé dans les éditions de Landau-Liffchitz maintenant on passe au cas gravitationnel donc ça ça tombe bien on va faire un petit break avant de passer au cas gravitationnel alors on va maintenant considérer le cas de la relativité générale à la même approximation où on a fait Fokker pour donc ce que je vais même si ce que le niveau dont je vais parler qui est la première correction en 1 sur C2 est connue depuis très longtemps l'application en fait de ces méthodes diagrammatiques a été développée par Gilles Esposito-Fares et moi-même dans les années 90 et renouvelé d'ailleurs maintenant ça devient une autre industrie alors pour la gravitation on veut avoir l'analogue avec les corrections relativistes en V2 sur C2 du potentiel Newtonien donc faire la même chose que ce que j'ai fait pour l'électromagnétisme donc de quoi parle-t-on ? on part d'une action pour la gravitation on va avoir le problème du gauge fixing que l'on va voir et puis on a l'action pour la matière on va prendre des lignes du univers on va prendre plusieurs lignes du univers des particules ABC et au départ on a un système double qui est à la fois les lignes du univers et le champ et puis on veut arriver à un système où le champ est éliminé et donc il y a des interactions entre ces particules mais pas de degré de liberté propre au champ il n'y aura que les lignes du univers quelle est l'action de la gravitation ? la première forme c'est de l'action pour la gravitation c'est la forme dite de Einstein-Hilbert écrite pour la première fois par Hilbert en novembre 1915 qui est très élégante qui est l'intégral du scalaire le plus simple que vous pouvez faire avec le danseur de Riemann Chryslerwald c'est-à-dire le scalaire de courbure air et l'élément de volume racine de G mais c'est pas toujours le plus commode parce que ce terme-là contient en tant qu'action des dérivés secondes de la métrique et en fait Einstein à la même époque travaillait avec des actions qui ne contenaient que les dérivés premières de la métrique mais en fait, on peut le transformer en un grand-giens dit d'Einstein une action dit d'Einstein qui ne contient que les dérivés premières de la métrique comment vous faites ? je vous rappelle que Hermenu contient des termes en dé gamma et gamma-gamma j'ai écrit que le premier terme le deuxième est obtenu en bougeant mais maintenant, vous pouvez intégrer par partie les termes en gamma-gamma vous les laissez commissons parce qu'ils ne contiennent que des dérivés premières de la métrique pardon ? pourquoi vous pouvez dire 1 sur 16 pi déjà ? parce que c'est le cas j'ai déjà c 1 sur 16 pi on va voir, d'ailleurs le calcul va montrer le calcul va montrer pourquoi c'est bien 1 sur 16 je pourrais mettre un coefficient arbitré on va voir pourquoi c'est 1 sur 16 pi G ou G c'est G et Newton ici c'est pas la fonction de Green donc si vous intégrer par partie des gammas vous le faites passer les dérivés à gauche vous avez des dérivés premières de la métrique mais les gammas s'expriment en fonction des dérivés premières de la métrique donc vous pouvez réexprimer les dérivés premières de la métrique en fonction des gammas quand vous faites ça, vous avez le même mini-miracle qui se passait pour là c'est à dire vous obtenez les mêmes termes que vous avez déjà mais avec un coefficient simple qui est moins 2 et du coup, les nouveaux termes gamma-gamma c'est les mêmes que ceux que vous aviez ici mais comme il y a un coefficient moins 2 ça change le signe simplement des termes que vous aviez au départ et donc ça donne l'action d'Einstein qui cette fois a un signe moins et dedans vous avez les termes gamma-gamma tels qu'ils apparaissaient dans R lui-même donc là vous avez chez mille signes moins devant donc ça donne ça mais ça c'est une action qui est donc si vous l'écrivez explicitement elle est assez compliquée, il y a un racine de G vous avez des G avec des indices c'est à dire matrice inverse des G en bas, il y en a 3 qui apparaissent et puis vous êtes quadratique dans les dérivés premières des G en bas et là vous avez beaucoup de contractions possibles d'indices et toutes les contractions arrivent plus ou moins, c'est à dire si vous écrivez explicitement ça, vous avez déjà une dizaine de termes enfin vous comptez vous-même mais on va traiter ça par théorie des perturbations c'est à dire on va considérer que pour pouvoir faire le calcul que nous sommes au voisinage de l'espace plat que j'ai menu au point X diffère de la métrique plate par une quantité qui est traité formellement comme étant petite et on va développer en puissance de H, on va voir dans le calcul que H menu va être résolu en fonction des sources et donc est d'ordre de la constante de couplage G et en fait est d'ordre G sur C2 et on va traiter en pire, donc déjà ici vous remplacez tout ça, vous allez avoir des termes le plus bas qui sont en DH carré bien donc ça, ça commence à ressembler à l'électromagnétisme mais si maintenant l'autre analogie avec l'électromagnétisme c'est à dire vous prenez cette action d'Einstein et vous la vous faites une dérivé fonctionnelle par rapport H menu pour en déduire les équations du mouvement de H mais comme on a fait le calcul déjà exact, les équations du mouvement pour H, les équations qui déterminent, ce sont les équations d'Einstein, donc on sait déjà la tête qu'ils ont, ces équations peuvent s'écrire de plusieurs façons mais par exemple, une façon c'est de dire que H menu est égal à 8Pg fois T menu moins 1 sur la dimension d'espace-temps moins 2 fois la trace G G menu et donc quand vous dérivez, vous faites la dérivé variationnelle de ça, vous allez avoir des équations dans lequel, dans le membre de gauche vous avez à voir cet objet-là alors dans l'inériser parce que ici je suis quadratique, si je prends une dérivé fonctionnelle, je vais être linéaire. Donc, à l'approximation linéarisée les équations d'Einstein contiennent la version linéarisée du tenseur de Ritchie qui est donc qui ne contient comme le tenseur de Ritchie, c'est D gamma plus gamma gamma ici je n'ai besoin que de garder les termes en D gamma, les gamma gamma sont déjà quadratiques mais je dois maintenant reporter là-dedans quel est les gammas, quels sont les gammas en fonction de G et cela c'est un demi de G en haut fois des dérivés de G, à l'approximation linéaire ces gammas-là, je peux le G en haut, je le remplace par Eta et donc j'ai ici la fameuse somme des 3 termes de dérivés de G mais comme Eta a des dérivés nuls, je n'ai que les dérivés de H des menus lambda plus des nus H mu lambda des lambda de H menus, bien et donc je peux reporter ça là-dedans et donc j'ai l'expression explicite du tenseur de Ritchie linearisée, multiplié par 2 parce qu'il y a un demi qui est là à droite donc il y a un demi en facteur, je le mets à gauche et je trouve que ça vaut moins d'Alembert de H menus moins des menus de la trace H plus des indices internes plus 2 autres termes sigma nu plus des nu sigma sigma mu, bien et en fait cette structure-là elle est un peu similée à ce que j'avais pour les équations de Maxwell où il y avait aussi 2 termes pourquoi, dans les équations de Maxwell j'avais 2 termes j'avais pas seulement le d'Alembertien j'avais un autre terme, c'est parce que le membre de gauche ces équations de Maxwell étaient invariants sous une transformation de Joj à mu, donne à mu, plus le gradient d'une fonction mais les équations d'Einstein sont invariants sous quelque chose de beaucoup plus gros ils sont invariants sous tous les différents morphismes et à l'approximation linearisée si vous faites un changement de coordonnées X primeu et Galix mu au 1er ordre, moins Ximu petite transformation de coordonnées vous trouvez que H menu change comme étant H menu plus des mu Xinu plus des nu Ximu qui sont montés et descendus par la métrique plate de base et donc ça c'est l'analogue avec 2 indices de la variance de Joj de Maxwell pour Maxwell, la variance de Joj c'était A primeu et Gal a mu plus le gradient d'un seul scalaire ici j'ai le gradient symétrisé d'un vecteur et donc à cause de ça vous savez que vous pouvez pas inverser ce propagateur là c'est la pratique de ces équations là puisque étant donné une solution je peux toujours faire cette transformation de Joj et donc la même chose qu'on a faite pour Maxwell qui est de dire on va fixer la Joj on doit le faire aussi pour Einstein pour pouvoir résoudre explicitement les choses alors quel est l'analogue de la Joj de Lorentz l'analogue de la Joj de Lorentz qui je vous rappelle était dénu de Anu et Gal a 0 c'est quelque chose qui a été utilisé tout de suite en 1916 puis ça a beaucoup de nom cette Joj elle s'appelle Joj de Dondert elle s'appelle Joj harmonique je sais plus quoi, thermique isotherme autrefois Wave gauge Wave coordinates maintenant ou Joj harmonique souvent on dit harmonique pour une raison que je n'ai pas le temps d'expliquer donc cette condition qui ressemble à la condition de Lorentz ça n'est pas simplement que dénu et Gal a 0 pourquoi ? parce que vous voyez les termes ici ici vous avez un terme qui est le gradient de dénu sigma nu et là vous avez le gradient dénu sigma mu donc si vous mettez ça et Gal a 0 vous annulez ces deux termes mais vous n'annulez pas celui-là en vache si vous rajoutez ça et Gal a 0 c'est à dire si vous imposez cette condition là donc on appelons ça condition Joj si vous voulez harmonique vous voyez que vous supprimez tous ces termes là et donc dans cette Joj là c'est à dire dans la Joj harmonique avec H et Gal a 0 sous cette condition là le tenseur linearisé de Ricci c'est simplement moins d'alombersien de Hamu donc vous pouvez faire la même chose que j'expliquais avant pour l'action de Maxwell vous rajoutez un terme de gauge fixing ici de telle sorte que il va donner les équations réduites harmoniques ce terme de gauge fixing alors sous forme exact ça c'est l'approximation linearisée de la convention Joj vous pouvez en définir une fonction exacte une forme exacte qui est que H mu est égal il y a plusieurs façons de l'écrire pro sigma mu vous avez les conditions de Christopher à la 3 indices vous contractez les deux du bas par un G ça vous donne un objet avec un indice et cette condition là c'est la condition Joj la fixation de Joj que vous devez rajouter c'est un terme qui est en H carré donc ici les indices sont en haut donc vous prenez H mu H nu vous prenez G mu nu en bas vous prenez racine de G vous mettez un coefficient devant vous rajoutez ça là-dedans et là vous avez de nouvelles équations d'Einstein modifiées dans laquelle la convention Joj a été imposée et si vous écrivez maintenant l'action d'Einstein réduite donc l'actionnelle sous la forme d'Einstein c'est-à-dire celle-là gamma gamma qui contenait les DH carré mais réduite par ces conditions là elle va avoir la même forme que ce que j'avais pour Maxwell je vous rappelle c'était moins un demi de 1 sur 4 pis de D mu à nu et ici vous trouvez essentiellement la même chose vous trouvez moins et on va voir que ceci moins est important de façon un peu surprenante le coefficient de vent c'est multiplié en 64 du coefficient de départ et vous avez l'intégrale de D4x de ce que vous attendez des lambes d'A H mu nu des lambes d'A H mu nu mais il y a un terme supplémentaire qui est lié à ce moins un demi là qui est lié au fameux moins un demi dans le tenseur d'Einstein qui est comme ça alors ça c'est l'action au niveau quadratique dans le champ et puis derrière vous avez des termes qui sont cubiques dans le champ et puis des termes quartiques dans le champ quand vous développez en puissance de H vous n'êtes plus une théorie linéaire vous avez une théorie non linéaire avec un nombre infinie de termes derrière enfin comme Bryce de Whitt nous a appris si vous utilisez certaines variables gravitationnelles très particulières de la deuxième ordre ou quelque chose comme ça mais enfin c'est pas très utile de dire ça donc ça c'est l'action gravitationnelle donc l'analogue de celle là bas regardons maintenant la partie de l'interaction avec la matière dans le cas de Maxwell il y avait le terme cinétique et puis le terme d'interaction H mu nu entre le champ A et le courant dans le cas gravitationnel ça se présente de façon différente mais on va voir le terme d'interaction de la matière une fonctionnelle des lignes d'univers et puis de g mu nu qui est simplement je fais c égala donc c'est l'intégral de moins ma du temps propre le long des lignes d'univers c'est-à-dire moins somme sur A de ma de l'intégral de racine carré de moins g mu nu au point XA de D d'XA d'XA mu nu par rapport à n'importe quel paramètre d'épée ça c'est ce qui contient à la fois le terme cinétique des particules en relative d'interaction mais ça contient aussi l'interaction avec la gravitation par le principe d'équivalence mais je remplace là-dedans j'ai mu nu égale état mu nu plus H mu nu pour le moment c'est exact donc si ici j'ai état mu nu plus au point XA j'ai pas fait d'approximation mais maintenant je peux développer en disant H est petit comme ça le premier terme que j'obtiendrai celui et là c'est le terme cinétique habituel en relativité restreinte et puis j'ai un deuxième terme donc ça c'est somme de ma intégrale de DSA 0 ou 0 veut dire je garde que la relativité restreinte et puis j'ai un terme linéaire en H j'ai un demi parce que j'ai une racine carré donc le développement de racine carré me donne un demi j'ai un signe moins devant et un signe moins à l'intérieur qui s'annule et donc j'ai un plus un demi quand Paulie donnait des conférences, chaque fois qu'il décrivait un signe il s'arrêtait 10 minutes pour bien réfléchir si le signe était moins bas les signes sont très importants en physique donc il faut keep track de savoir pourquoi il y a toujours un signe plus ou un signe moins à gauche et à droite l'intégrale de MA je développe la racine carré il va rester le temps propre j'ai H mu nu au point XA et puis j'ai quand vous faites le calcul nu sur DS0 DS0A DS0A ici DS0A ça veut dire le temps propre calculé quand H égale à 0 temps propre de la relativité restreinte mais en gardant les racines carré de 1-V2 sur C2 donc ici j'ai gardé donc ça ce terme-là et l'analogue ça c'est l'analogue de l'intégrale de J mu à mu l'interaction entre le champ et le J mu et vous voyez effectivement il s'écrit comme un demi de l'intégrale D4X de H mu nu au point X l'analogue de J mu dans le temps sœur d'énergie impulsion c'est comme ça qu'on la définit et on voit que le temps sœur d'énergie impulsion de plusieurs particules c'est T0 mu nu c'est la somme de MA de l'intégrale de ce que je vois là DS et ce que je vois ici la quadrie vitesse calculé par rapport ici on pourrait le calculer exactement par rapport mais ici je l'ai fait au première fois une distribution de Dirac qui dit que ce temps sœur d'énergie impulsion comme avant c'est un temps sœur d'énergie impulsion qui est nul partout sauf le long des lignes c'est une distribution qui est localisée sur les lignes d'univers mais le long de toutes les lignes d'univers et qui donc ça c'est l'analogue exactement de ce que l'on avait avant, avant le courant qu'on tenait sur les lignes, il y avait la charge et puis il y avait la quadrie vitesse simplement et puis une fonction delta parce que c'était un champ vectoriel donc sa source a un indice c'est quelque chose de vectoriel et c'était humu ici la source est tansorielle donc vous avez deux indices donc vous avez humu avec devant un coefficient m et au lieu de la charge donc il y a une analogie claire avec l'électromagnétisme et du coup maintenant je peux faire le même calcul qu'avant le calcul de l'action de focaire donc j'esquisse de quoi il s'agit je pars de l'action totale qui contient la somme des termes cinétiques c'est à dire les longueurs en relativité restreinte des lignes d'univers plus les termes de champ alors j'ai dit les termes de champ ici j'ai ces termes quadratiques en H j'écris juste des H carré derrière j'ai des termes en H D H D H plus d'autres termes et puis j'ai le couplage à la matière donc j'ai somme de MA devant tous les couplages à la matière il va y avoir la masse si la masse est nulle ça ne se coupe pas à la matière donc il y a forcément un couplage avec la masse et puis à l'ordre le plus simple ce couplage à la matière j'ai humu humu la quadrie vitesse à l'ordre 0 ça reste exact et ici j'ai H munu c'est ce couplage là et puis après j'ai des termes dans H2 j'ai développé ça en puissance de H mais j'ai gardé que le premier terme en ligne H il y a des termes en H2 donc j'ai des termes aussi de ce type là et maintenant qu'est ce que je dois faire je dois comme ici pour electromagnétisme j'ai des équations j'ai un terme cinétique pour H qui maintenant est inversible si vous voulez je peux écrire le type d'équation que j'ai pour H c'est d'Alembert de H munu alors on va introduire une petite notation H bar munu c'est H munu moins un demi de H la trace c'est juste une notation parce que si j'écris comme ça j'ai vu que le Richie linearisé c'était d'Alembert de H munu si je prends le tenseur d'Hannstein linearisé R munu moins un demi de 1 je vais avoir d'Alembert de H bar munu donc si j'écris les équations d'H avec dans le membre de droite T munu et non pas T munu moins 1 sur D moins 2 j'aurai dans le membre de gauche H bar munu et dans le membre de droite j'ai moins 16 pi G fois le T munu à l'ordre 0 j'aurais dû me rire qui est là 0 celui là plus des corrections celui là mais qui contient H et puis après d'autres termes H2 etc et donc dans le cas d'avant j'avais besoin de la fonction de Green donc j'inverse cette équation là j'écris H munu en tant que convolution par rapport à la source T munu pour ça quelle est la fonction de Green il faut que je calcule l'inverse de cet opérateur là cet opérateur là il contient un d'Alembert en tant que comme H munu se couple à la source T par rapport à la variable H munu à part d'Alembert j'ai ce terme là mais j'ai le moins un demi qui apparaît aussi donc ici j'ai quelque chose qui est delta mu delta nu alpha beta moins un demi de l'état munu eta alpha beta donc ce membre de gauche donne ça le d'Alembert donne ça et donc le propagateur pour la gravitation c'est à dire la fonction de Green qui vient dans la gravitation ça va être l'inverse de ça alors qu'est-ce que c'est que l'inverse de ça vous vérifiez si c'est pas clair pour vous ce que veut dire l'inverse on résout une équation au dévail partiel en trouvant une fonction de Green ou si vous êtes en fourrier vous remplacez toutes les dérivées d'E mu par P mu et puis vous inversez la coefficient de fourrier pour avoir un sur P carré et puis en haut vous avez un tenseur qui projette le champ de ça fonction de Green pour la gravitation qui est donc g mu nu donc la fonction de Green va être une fonction à 2 points il y a le point de départ point source et point v et c'est égal à l'inverse de ça donc il faut que je calcule l'inverse de cette matrice en fait c'est assez facile de calculer cette inverse et vous trouvez que ça vaut delta mu nu delta nu beta c'est le calcul qui revient à inverser ça pour calculer h en fonction de h bar plutôt que h bar en fonction de h et c'est là où apparaît la dimension de l'espace c'est en moins 2 et ta mu nu et ta alpha beta alors à 4 dimensions il se trouve que ça ça vaut 2 et donc on a des moins en demi toujours ce qui est plus simple on risque pas de faire d'erreur donc ça ça veut dire que la fonction de Green contient une partie de projection tempsorielle qui contient la fonction de Green scalaire parce que là j'ai juste besoin de trouver l'inverse du Laplacien agissant sur une fonction scalaire donc conséquence si conséquence au facteur ça veut dire que la fonction de Green pour la gravitation est égal à ça, fois la fonction de Green scalaire de h-y on a vu tout à l'heure que la fonction de Green scalaire définit comme l'inverse du Laplacien mais en incluant un facteur moins 4p donc j'aurais dû écrire ça avec d'abord il apparaît moins 1 sur 4p dans l'action donc c'est cet inverse là que j'appelle fonction de Green une fonction delta à 4 dimensions on a vu que dans le cas symétrique cette fonction de Green scalaire scalaire était simplement égal à la fonction delta sans facteur de x-y carré de la distance de l'intervalle carré entre les deux points calculé par rapport à la métrique plate donc j'ai réussi à calculer le propagateur et du coup je regarde l'analogue du calcul avant j'ai dit que le terme d'interaction était fait de debout il y avait un terme qui était le terme au départ j'immue à mu et puis il fallait que je calcule aussi le terme cinétique le raisonnement que je faisais avant pour l'action de focaire que j'ai le droit de remplacer dans l'action de focaire le champ fonction des sources reste vrai maintenant il y a les termes cinétiques du champ ici à mu mais qui devient h et puis les termes de couplage du champ h à la matière avant c'était le terme d'éah carré avec un demi devant et on avait dit que ça donnait la même chose que ça mais avec un moins en demi c'est-à-dire que finalement il changeait juste le terme d'interaction en mettant un demi mais le raisonnement que j'ai fait est universel c'est juste de dire que le minimum de x2 plus A x est égal à moins A enfin le un demi est absolument universel là dedans donc en fait le terme d'interaction c'est celui que j'ai écrit ici qui dans le cas général c'est un demi de l'intégral de h mais je dois rajouter un demi de plus devant vous faites le calcul et là dedans je remplace h comme étant donc cette fonction de Grine elle est faite pour dire que le h mu nu au point x est égal à la convolution entre ce g mu nu alpha beta de xy fois la source sauf que la source ici au cas de pi près la source ça vaut 4 parce que j'ai factorisé factorisé un 4pi donc il me reste 4g donc la source vaut 4g t0 alpha beta donc et j'ai la convolution ça c'est au point y et je fais une intégrale ça c'est la solution des équations d'Anstein c'est la définition de Grine je remplace ça donc ça c'est une intégrale sur t aussi donc quand vous mettez tous les facteurs un demi si je ne me suis pas trompé tout est fait pour c'est Einstein qui a fait le calcul que entre le 1,4 ici vous trouvez que c'est l'intégrale de g newton ici de t0 mu nu fois d'Alembert je vais l'écrire après avoir mis les facteurs 4pi et tout ça oui donc les notes sont mises sur le web de l'IHS un peu lentement je crois que cet après-midi vous aurez au moins le deuxième cours en plus du premier mais tout ça éventuellement on sera disponible donc vous avez ici l'interaction de newton la constante de newton ici j'ai laissé en dimension d quelconque t0 mu nu x j'ai mu nu alpha beta x y t0 alpha beta au point y donc ça c'est une première forme qui était l'analogue d'avoir le courant g mu la fonction de green et g mu qui était en fait une fonction de green vectorielle mais on l'avait pas vu parce qu'elle servait juste à contracter les indices en fait à faire des choses comme ça ou si on les met au même niveau à faire un état mu nu ça c'était la fonction de green pour l'électromagnétisme ici comme j'ai plus d'indices il faut explicitement je les mette et maintenant si je remplace là dedans le t mu nu par son expression en fonction des lignes du univers j'ai une somme double que je vais écrire comme un demi de somme AB alors j'introduis en fait j'ai le coefficient 1 mais là double il est commode de mettre un demi devant pour pas compter deux fois le terme qu'il faut pas compter deux fois ça veut dire 2 un demi fois une intégrale double sur les temps propres en relativité restreinte de MA mu A mu nu g alpha beta mu nu de x xA de MB UB alpha UB beta 0 0 alors tout ça a l'air assez compliqué mais est en fait très simple surtout si vous pensez en termes de diagramme c'est à ça que servent les diammes c'est juste pour au lieu de se perdre dans le calcul et se demander si on a les bons facteurs 1, 2 on voit tout de suite quelles sont les bons facteurs si on écrit ce résultat pour le problème à une corps en fonction de diagramme parce que dans le cas de l'électromagnétisme l'interaction je vous rappelle alors de l'inéariser c'était des choses comme ça ou ici il y avait ce à quoi se coupe le champ à mu sur la ligne qui était à part la fonction delta il y avait la charge et puis il y avait la quadrie vitesse de cette particule ici et puis entre les deux si j'ai ici nu il y avait le propagateur pour pour l'électromagnétisme qui était égal au propagateur scalaire fois essentiellement est amus nu à cause de l'action ici si je regarde ça vous voyez que j'ai une action du même type mais ici j'ai la masse et puis j'ai un objet à 2 indices et donc j'ai en fait amus nu là où j'avais simplement la quadrie vitesse et puis ici j'ai mb et puis j'ai ubub alphabeta et puis entre les deux le calcul montre que je dois insérer cette fonction de green pour la gravitation qui est ce g minu alphabeta de xa-xb bien donc et du coup on peut comparer directement donc et quand vous mettez tous les facteurs celui-là était très simple en plus c'était vraiment simplement égal à avec les indices ici est amus nu fois delta de x-y carré après avoir toute la technologie le terme dans l'interaction le terme s d'interaction est simplement donné vraiment par vous mettez ea ua vous mettez eb ub entre les deux vous mettez delta x-y carré et vous intégrer sur les deux lits point bar et après on ne développe pas en puissant de v2 sur ces deux au même niveau de la gravitation vous avez la même chose donc devant j'ai dit il y a un facteur qui est deux fois la constante de newton que j'avais mis dans l'action on va voir pourquoi deux et puis j'ai la contraction au lieu d'avoir un seul indice la ub deux indices la deux indices et entre les deux la fonction de green c'est cet objet là qui est delta xa-xb carré le même qu'avant et puis mais j'ai des choses qui contractent les indices et j'ai delta mu alpha delta nu beta moins un sur des moins deux et ta mu nu et ta alpha beta donc j'insère ça au milieu je fais le calcul et je peux comparer les choses vous pouvez faire aussi le calcul avec un champ encore plus simple que tout ça qui est un champ scalaire pour voir si vous refaites comme exercice la même chose avec un champ scalaire avec des fichards alors sans doute à quatre pis près c'est-à-dire si je voulais utiliser les mêmes genres d'unités il faudrait que je mette un sur quatre pis ici et puis un couplage du champ scalaire le long de chaque ligne d'univers alors quel est le couplage relativiste d'un champ scalaire un champ scalaire n'a pas d'indice donc son couplage a une ligne d'univers ça va être l'intégral du temps propre en relativité restreinte le temps proprement de la ligne sur la ligne ok et vous intégrer ça et donc quand vous faites le calcul aussi pour le champ scalaire vous avez de nouveau le même résultat mais la différence c'est que ici vous avez la constante de couplage à chaque ligne d'univers à laquelle le champ scalaire se couple et puis la fonction de Grine elle est scalaire donc justement c'est simplement delta de xa xb au carré vous pouvez trouver quelque chose qui vaut ga gb delta de xa-xb carré intégré sur les deux lignes ok donc finalement vous voyez que si vous comparez les calculs qu'est ce qui force à prendre un couplage linéaire dans ce cas ? rien ça c'est au niveau linéaire et effectivement je vais parler maintenant des termes de couplage et là aussi on peut mettre des termes de couplage des termes cinétiques d'or plus élevés c'est juste pour dire au niveau quadratique les diagrammes dont je suis en train de parler c'est ce qu'on appelle en théorie des champs one photon exchange one graviton exchange l'échange d'une particule d'un quantat du champs qui correspond à une interaction linéaire à chaque bout et pour la propagation quelque chose de quadratique alors ça à ce niveau là quelle est la différence entre la propagation électromagnétiste et spin zéro vous voyez que c'est exactement les mêmes vous avez quelque chose qui s'écrit vous avez voilà je l'ai écrit ici il y a quelque chose qui dont le signe dépend du spin parce que ici si vous faites les calculs tels que je l'ai dit les signes ne changent pas les couplages à la source vous mettez ce que vous voulez mais de toute façon ça n'intervient pas parce que ça va intervenir deux fois donc le signe que vous le définissez avec plus ou moins il ne va pas changer et donc vous aurez toujours le signe plus devant ces trucs là mais la différence c'est que ici vous avez un terme qui est une contraction de 2 quadris vecteurs et donc dans le cas d'un champ vectoriel qu'on appelle spin 1 vous avez un couplage qui va contenir u a mu u b mu et ça c'est négatif en fait ça vaut moins un dans le cas où les deux sont parallèles ici vous avez le couplage de quoi qui est u a u a mu nu u b u b disons alpha beta et entre les deux vous avez ça delta mu delta nu alpha beta d moins 2 et ta mu nu et ta alpha beta vous mettez les indices oui faux en haut ou en bas et ce qui donne si vous le calculer explicitement ah oui donc ici j'ai mis un facteur 2 simplement pour dire je vais multiplier ça en 2 en dimension 4 parce que si je multiplie par 2 je trouve le résultat que c'est 2 fois le produit u a u b carré moins 1 si je multiplie pas par 2 j'ai u a u b carré moins 1 demi et dans la limite non relativiste u a u b qui sont parallèles au moins 1 donc j'ai 1 moins 1 j'ai 1 moins 1 demi c'est à dire plus 1 demi c'est pour ça qu'il fallait que je mette en facteur 2 si je veux définir la constante de newton dans la limite non relativiste donc ici j'ai inclus le facteur 2 je multiplie par 2 g ici et donc j'ai ce terme là dans le cas ça c'est le spin 2 dans le cas de spin 0 au lieu de tous ces trucs là j'ai un facteur 1 simplement parce que j'ai pas de cadris vecteurs rien donc voyez que cet objet là a un signe moins cet objet là a un signe plus et cet objet là a un signe plus ces signes là nous disent que selon le spin l'interaction est attractive ou répulsive mais que vous voyez directement à ce niveau des diagrammes mais maintenant vous pouvez aller plus loin qui est de dire vous refaites le calcul que j'ai fait tout à l'heure qui consiste à dire j'ai la même fonction de green partout ok la fonction je veux dire la fonction de green elle a des parties tensoriennes qui sont inclus dans ces facteurs donc ça ça va distinguer le couplage gravitationnel avec cette contraction là le couplage électromagnétique et le couplage scalaire et puis le reste du calcul il apparaît cette fonction de green là et vous faites le même truc qu'avant c'est à dire vous prenez je vous rappelle vous prenez cette fonction de green de deux points de l'espace-temps vous prenez le deuxième point disons à l'origine et vous le et vous la symétrique et vous la développer oui non il vaut mieux que je prenne deux points ok et du coup vous trouvez que ça vaut delta de ta-tb sur xa-xb pour mieux voir plus le terme du deuxième ordre qu'on pouvait écrire comme moins un sur dc2 la dérivée mixe par rapport à ta-tb de delta de ta-tb multiplier par xa-xb en haut c'est pour la puissance plus un au lieu de moins un ici plus des termes en un sur c4 mais on a déjà fait le calcul donc le même calcul vous pouvez le refaire en fait il donne les mêmes termes parce que les termes ici qui diffèrent de la gravitation de l'autre sont déjà de l'ordre 1 sur c2 donc le même calcul que je vous ai déjà fait donne le résultat et quand vous faites ça vous trouvez le résultat suivant qui est que qui est écrit ici que dans cet échange d'un quantum quantum c'est par analogie parce que Feynman a repris les calculs de Fokker et après il a essayé de quantifier l'action de Fokker vous avez le début de Feynman il s'est dit je vais prendre comme base pour l'électrolymique quantique cette action de Fokker son problème c'était que comme il n'avait pas une bonne action locale dans le temps et en amiltonien il ne savait pas quoi faire et donc il a réfléchi un certain temps avant de trouver ce qu'il a trouvé mais ici on revient aux bases classiques donc ce terme d'interaction entre deux charges charge au sens général c'est à dire si c'est un champ scalaire je dis que c'est une charge qui se coupe avec GA si c'est un champ électromagnétique fois le quadri vitesse U et puis dans le cas gravitationnel j'ai la masse MA-MB et puis j'ai ce facteur-là ce terme dans le lagrangien pour le spin S et je vous rappelle qu'un terme dans un lagrangien c'est moins un terme de potentiel parce que un lagrangien c'était moins V les signes toujours vous trouvez qu'il vaut moins la puissance c'est à dire justement le signe alterne selon le spin on m'a dit les forces de coulons pour les mêmes charges sont répulsives et les forces de gravitationnel sont attractives et les forces scalaire sont attractives et si on mettait un spin 3 ce qui pose certains problèmes ça serait aussi comme l'électromagnétisme répulsif vous avez les charges QAQB vous avez le potentiel de coulons 1 sur X-A et puis maintenant vous avez les corrections V2 sur C2 qui sont obtenues par le même calcul que j'ai esquissé alors il y a une partie de ces termes là qui sont totalement universelles qui viennent de ça qui donnent en particulier ça et une partie de celui-là et puis vous avez des termes dans le calcul qui dépendent de quel spin je considère et quand est-ce qu'ils en dépendent c'est que ici ce terme là par exemple ça vaut aussi moins 1 moins VAVB alors que celui-là si vous le développez ça donne une autre fonction des vitesses et celui-là il donne 1 donc quand vous faites le calcul ça a fois le U0 U0 c'est-à-dire si je mettais le TA-TB comme paramètre j'aurais juste ça et donc vous faites le calcul général et là vous trouvez quelque chose d'assez simple c'est que les termes VAVB sur C2 sont les mêmes sauf certains termes qui se regroupent entre eux et qui diffèrent selon la valeur du spin et ces termes contiennent un paramètre enfin c'est pas un paramètre c'est un nombre que vous calculez que j'ai appelé ici gamma S on verra pourquoi parce que c'est le fameux gamma de Robertson enfin de Eddington, Robertson du paramétrice ppn du formaliste ppn et mais c'est un nombre que vous calculez pour chaque spin, pour un champ de spin et vous trouvez la formule suivante cette formule qu'on avait trouvé avec Gilles il y a longtemps que je trouvais élégante qui est de dire que les seules différences entre l'échange des spins est donnée par ce gamma qui vaut moins 1 plus le carré du spin divisé par 2 donc pour le spin 0 ça donne moins 1 pour le spin 1 ça donne moins 1,5 et pour la gravitation ça donne plus 1,5 donc vous pouvez vérifier que si vous remplacez effectivement gamma par moins 1,5 ce résultat là est équivalent à ce que j'avais écrit avant qui se trouve peut-être encore sur un tableau mais quand gamma vaut 1 c'est-à-dire pour le cas du spin carré 2 ça donne le résultat pour la gravitation et donc le résultat pour la gravitation c'est-à-dire celui qui inclut ce facteur là au lieu d'avoir ce facteur là c'est ça l'essentiel donc mais maintenant ici c'est à l'approximation d'abord on a sur ces deux ici mais où je n'ai utilisé que ce diagramme c'est-à-dire j'ai pris le couplage linéaire aux sources et la propagation linéaire du champ mais maintenant les diagrammes permettent d'avoir une vision plus claire de quelles sont le type le type de termes qui apparaissent au-delà je reviens j'ai l'action d'Einstein mais maintenant je dois tenir compte de ces termes-là parce que pour le moment j'ai pris en compte uniquement ce terme-là et puis ce premier couplage donc je dois tenir compte de termes suivants je peux avoir des couplages de ce type-là et des couplages de ce type-là en termes de calcul et ça va changer comment ça la change et bien on le voit tout de suite si on dessine ces choses-là donc il y a une partie du calcul qui a été faite et qui n'est pas à refaire et on doit rajouter des termes quels sont les types de ces termes-là un type de ce terme-là en théorie des champs c'est ce qu'on appelle un couplage à trois points vous avez trois champs qui interagissent à certains points intégré sur le point intermédiaire donc chaque pat ici veut dire h point x ça veut dire qu'il y a deux dérivés que je ne mets pas ici mais dont il faut tenir compte dans le calcul ça c'est dans l'action ici ce terme-là veut dire quoi avant ce terme-là voulait dire que j'avais une ligne d'univers qui était une source et puis j'avais un couplage du champ linéaire le champ se couplaît comme amus jimus il était bilinéaire entre la source et le champ ce terme-là veut dire que j'ai deux champs et une source donc en fait j'ai des couplages comme ça j'ai trois objets qui arrivent en ce point la source qui est une ligne d'univers et puis deux champs et du coup quand vous faites on est en relativité générale donc ici je vous ai montré juste la partie la plus simple du calcul la même que pour l'électroïnétisme mais maintenant en relativité générale il y a ces termes non linéaires puisque quand je développe ça j'ai deux donc il faut que je rajoute ces termes-là et puis que je les mette du coup ça va donner un terme comme ça et puis du côté de l'action gravitationnelle j'ai aussi ces termes-là au-delà de l'approximation linearisée d'un stade donc quand vous faites le calcul vous trouvez que l'action réduite gravitationnelle est la somme des termes que j'indiquais avant comme ça et puis vous avez des qui étaient des termes qui incluaient deux lignes d'univers finalement j'avais quelque chose de quadratique dans les sources et la source était une somme sur toutes les particules donc j'avais une somme double sur A et B et puis je dois rajouter des termes qui sont cubiques et donc quand j'ai trois particules ce terme-là quand vous ok donc vous faites le même calcul que j'ai indiqué auparavant et vous dites bon je dois remplacer maintenant pour calculer l'action de focaire je dois remplacer là-dedans h mais h c'est quoi ? h c'est une fonction de green fois la source mais en termes graphiques h ça veut dire j'ai la source au point x ici la fonction de green veut dire ça et puis j'ai une intégrale sur la source ici j'intègre sur ce point-là et j'ai h en point-là donc ce terme-là j'en prends trois et je dois les combiner en ce point-là et puis je dois maintenant intégrer ça sur des 4x donc le fait que j'ai un terme dans l'action va me donner une interaction comme ça et je peux le lire simplement et puis l'autre terme qui reste c'est celui-là où j'ai par exemple là aussi j'ai un truc à trois corps où en ce point-là j'ai ce terme de source ici et puis j'ai deux champs h qui arrivent en ce point-là mais il y en a un c'est le champs h total mais comme en chaque point h est une somme sur des h engendrées par une ligne xa donc en ce point-là j'écris la somme comme une somme quand j'ai le carré de ça h carré est une somme double de h a hb et donc j'ai un terme comme ça au niveau des corrections si je veux avoir l'action pour la gravitation comme étant l'action de Newton plus des termes en 1 sur c2 en négligant que je garde en négligant les termes en 1 sur c4 je vais en prendre en compte comment tu traites les graffes ou une ligne aimé à gravitation et réabsorbe la boucle on y arrivera après ça va être en fait comme il reste encore que 5 minutes je vais l'indiquer dès que j'ai le temps donc je veux indiquer là techniquement comment vous faites le calcul pour faire vraiment ce calcul-là parmi ce terme-là en fait, ceux-là sont assez faciles parce qu'il n'y a pas d'intégration sur un point intermédiaire un terme comme ça, je vous rappelle ça veut dire que ici je calcule le h engendré par la source chaque h engendré par la source est une somme dsa sur la source elle-même mais en tant que fonction de x ça dépend de la fonction de Green au point x donc, oui, chacune de ces lignes là veut dire que j'ai la fonction de Green de la gravitation entre ce point-là xa et le point intermédiaire x et puis là j'ai trois fonctions de Green et puis après je dois intégrer d'après ici sur le point intermédiaire donc celui-là je n'ai pas d'intégral sur un point intermédiaire et donc j'ai tout de suite un terme quand vous calculez ce terme-là c'est très facile, vous trouvez que vous avez un terme supplémentaire d'interaction avec la matière qui est simplement une somme triple abc de g² mambmc le plus bas ou alors en général vous avez des fonctions de Green retardées mais à l'ordre le plus bas vous remplacez les fonctions de Green par un sur r c'est à dire la fonction de l'inverse de la place au lieu de l'inverse de D'Alembert la fonction de Green instantanée à l'ordre le plus bas c'est simplement un sur r un sur x moins y c'est là avec le delta t à moins tb qui veut dire que je prends les trucs au même temps t vous voyez tout de suite que effectivement ça va contenir un sur x à moins tb et puis il y aura les trois masses mambmc et puis là il y a un coefficient numérique que vous devez calculer en regardant explicitement en faisant le calcul l'autre a l'air plus compliqué celui-là mais on peut le calculer à l'approximation Newtonienne la plus basse à cause de la raison suivante j'ai dit que les équations d'Einstein linearisées en jauge de Lorenz s'écrivaient d'Alembert de H bar munu et non pas H munu moins un demi de H est à menu valait moins 16p j'ai de t munu à l'ordre 0 mais t munu c'était MA et puis c'était l'intégral sur la ligne avec u a mu u a nu ici j'ai la quadrie vitesse si je prends des particules qui ont une vitesse faible dans le référentiel de Lorenz sous suit la quadrie vitesse elle est essentiellement verticale elle est la composante 0 déjà les composantes ui sont plus petites de v sur c et puis les composantes ui uji sont encore plus petites de v2 sur c2 donc vous en déduisez que t00 est beaucoup plus grand si v sur c est beaucoup plus petit que 1 si dans un référentiel de Lorenz toutes mes particules bougent de façon faible par rapport à vitesse de mière et je développe en 1 sur c t00 qui est en u0² est beaucoup plus grand que t0i parce que là il y a un facteur v sur c et puis tij il y a encore un autre facteur v sur c² par rapport à celui-là donc comme je résous cette équation directement par une fonction de green la solution est proportionnelle à la source donc si la source est petite la solution est petite donc j'en déduis aussi que h bar 00 est beaucoup plus grand que h bar 0i qui est beaucoup plus grand que h bar iji et je sais que chacun est plus petit d'un facteur v sur c par rapport au suivant mais et en plus à l'ordre le plus bas quand je résous cette équation pour calculer ce diagramme si on veut vraiment le calculer avec les fonctions de green retardées en espace-temps en fait c'est très compliqué parce que là vous avez des vrais intégrals non trivial de fonctions de green à 3 points mais dans l'approximation post-newtonia vous remplacez ces... et en fait avec natalie en fait on avait calculé le terme équivalent à celui-là au 2e an mais c'est donné par des intégrals très compliqués mais le vieux calcul post-newtonia consiste à dire je prends une approximation instantanée de la place tout est non relativiste et du coup cette intégrale elle contient que des 1 sur x à moins xb au même instant et du coup quand vous faites le calcul de cette intégrale vous allez pouvoir le faire et pourquoi vous allez pouvoir le faire parce que aussi vous avez cette simplification qui dit que finalement à l'approximation le plus basse la seule quantité qui compte c'est h bar 00 et comme dans le membre de droite j'ai 16 pis et non pas 4 pis vous trouvez que ça vaut 4 fois le potentiel donc là vous retrouvez la limite newtonienne avant j'avais dit que si vous repassez maintenant de h bar 00 à h 00 qui vaut h bar 00 moins un demi de la trace de h est à 00 vous trouvez que h 00 la moitié de ça donc ça vaut 2u sur c2 ce que j'avais indiqué vous trouvez aussi que h ij vaut 2u sur c2 delta ij avec un signe plus mais si vous pensez que vous faites le calcul ici avec l'exception des variables h bar vous n'allez avoir qu'une seule composante à faire dans le calcul au lieu d'avoir un chant en sorier vous avez finalement une seule composante et du coup ce diagramme quand vous l'écrivez explicitement et il a été écrit dès 1916 vous trouvez que c'est une intégrale il y a une intégrale sur le temps mais ça veut dire que le Lagrangian va contenir une intégrale sur l'espace du potentiel gravitationnel et puis je vais avoir 2 dérivés mais comme il n'y a pas d'indices ici les seules contractions possibles ça va être celle-là c'est-à-dire jdiu et alors ça ça a l'air d'être une vraie intégrale que vous devez calculer dans l'espace non trivial ou u à cette approximation là et la somme de gma sur x-xa donc ça c'est déjà j'ai 1.x et puis j'ai 3.abc et je dois calculer cette intégrale là qui est une somme triple sur abc mais en fait c'est trivial de la calculer parce que, regardez ici j'ai udiu donc je peux écrire ça comme le gradient de u2 sur 2 déjà donc j'ai maintenant le produit de 2 gradients et puis maintenant j'intègre par partie en faisant passer ce gradient là à droite donc j'insigne moins et puis ici je vais avoir l'opérateur de la place agissant sur u mais l'opérateur de la place agissant sur u s'insigne donc en fait ce truc là se ramène à l'autre donc ce raisonnement là prouve que ce terme là peut s'exprimer simplement par le même diagramme que l'autre et donc à la fin de la journée comme on dit en anglo-saxon vous trouvez qu'il y a un terme supplémentaire dans l'action mais il est simplement égal à ce que je l'ai écrit oui à la fin de la journée vous trouvez que le lagrangien est là en gravité et donné par cette formule là avec gamma pour le spin égal à 2 c'est-à-dire 1 ça c'est la partie à 2 corps plus un terme à 3 corps abc qui est la somme avec un coefficient moins un demi donc c'est là où il faut faire un calcul différent de c de la constante de Newton au carré x mA mB mC c2 rAB rAC c'est-à-dire le terme que j'avais écrit ici c'est un diagramme avec les 1 sur rAB et 1 sur rAC que vous voyez directement 1 sur rAB et 1 sur rAC c'est la fonction de Green et puis tout le calcul consiste à calculer le moins un demi devant bien voilà on est presque arrivé à la fin d'ailleurs je crois que c'est la fin juste quelles sont les commentaires ah oui les commentaires c'est de dire on sait bien que dans le cas d'électromagnétisme le couplage amus-immu qui pour une particule donnait E amu-humu ça ça contenait si vous le calculer ou dx mu sur dt par rapport à un certain référentiel de Lorentz ça contenait la charge et puis ça contenait A0 plus AIVI donc le couplage en A0 c'est la force du type coulombien le couplage AIVI on sait que c'est ce qu'on appelle les forces magnétiques si vous calculez l'effet de AV un lagrangéin du type AV donne une force de la place en V cross produit extérieur fois le champ magnétique correspondant donc les termes magnétiques sont liés à cette dépendance par rapport au speed et dans l'action de Fokker et Darwin les termes magnétiques c'était de dire j'ai l'interaction de coulomb EAB sur RAB et puis derrière j'ai les termes en vitesse tous les termes qui contiennent les vitesses sont des corrections magnétiques qui apparaissent tous ici de façon quadratique le NAB je ne sais pas si je vous redis c'est xA moins xB en tant que vecteur divisé par le module c'est le vecteur unité et donc ici vous avez des termes magnétiques mais donc vous voyez qu'en gravitation vous avez aussi des termes du type magnétique c'est à dire des corrections finalement à la loi de Newton la loi en 1 sur R carré pour la force qui dépendent des vitesses mais que l'essentiel ces termes là sont du même type que celles de Maxwell mais diffère par ici le fait que vous avez un coefficient qui au lieu de valoir moins un demi chez Maxwell vaut plus un fait qu'on appelle gravito magnétique mais qui auront une forme différente de celles de Maxwell mais le point important c'est qu'ils sont complètement déterminés par le spin du champ qui propage ça pour le spin 1 ça donne ça pour le spin 2 donc quand on teste et c'est ce qu'on fera la prochaine fois quand on parle de tests de la gravitation au niveau des termes de couplage de ce type là magnétique en fait ce que l'on teste c'est le spin du champ gravitationnel et tout ça apparaît dans un nombre gamma qui dans le cas de spin 2 vaut 1 et donc si vous testez si ce nombre vaut 1 à une précision de temps ça veut dire que vous avez déterminé que le spin du champ gravitationnel vaut 2 à une précision de temps et c'est ça qu'on discutera la prochaine fois merci Nathalie, oui, voilà j'ai fini c'est ce qui explique la différence entre la procession automa et la procession géotéthique, ce que tu viens de dire je ne suis pas sûr sous cette forme là mais on le verra la prochaine fois oui, pardon, les boucles oui alors les boucles effectivement j'avais en principe d'ailleurs j'ai peut-être perdu ma page, les boucles donc on a vu alors il y a deux façons dans tous ces diagrammes ici il y avait par exemple pour une seule ligne il y avait des termes comme ça et de façon plus intéressante et plus compliquée si j'ai plusieurs lignes j'ai aussi des choses qui sont par exemple comme ça et puis des choses qui sont comme ça dans le même calcul que j'ai fait j'ai effectivement ces termes-là de boucles donc il y a deux façons de faire techniquement si on utilise, si on fait tout le calcul dans une dimension d'espace grandé qui est égal à 4 moins epsilon ou epsilon est un nombre complexe et que l'on fait le prolongement analytique par rapport à epsilon on trouve que tous ces termes-là sont nuls maintenant les justifications de pourquoi physiquement ça veut dire que sont nuls c'est pas ce raisonnement qui donne la justification il y a deux au niveau le plus bas dont je discutais ici il y a une première justification purement calculatoire qui à ce niveau la marche c'est que si vous prenez un système qui est fait de beaucoup de lignes d'univers et puis vous en prenez une de plus vous pouvez regarder les effets de boucles ça veut dire les effets d'autogravitation pardon je voulais dire vous prenez une particule cette particule a une énergie gravitationnelle et dire qu'il y a un diagramme comme ça veut dire que l'énergie gravitationnelle de cette particule gravite parce que la théorie est non linéaire donc il y a doit avoir un effet qui est lié à l'autogravitation des particules alors une première façon de le voir c'est que vous prenez un bunch de particules comme ça un tas de particules et vous regardez l'effet de l'intergravitation en tout cas de toutes ces particules très proches les unes des autres et vous trouvez que ça se renormalise c'est à dire que ça c'est un terme dans la masse que l'on peut factoriser et que une fois qu'on l'a mis en gravitation d'Einstein il disparaît partout ailleurs ok mais il y a une autre justification mais ça c'est un calcul qu'on peut faire pour les champs faibles c'est à dire qu'on prend des particules de poussière qui interagissent comme ça le gravitationnellement si vous parlez et c'est de ça qu'on expliquera les prochaines fois d'étoiles à neutrons ou de trous noirs un trou noir il n'y a même pas de matière vous avez une autogravitation très forte là vous avez besoin d'un autre raisonnement et on indiquera comment les raisonnements de asymptotique matching la méthode de raccordement des développements asymptotiques multiples permet de prouver que effectivement tous les effets d'autogravitation sont effacés c'est ce que j'ai appelé le principe d'effacement de la structure interne des objets fortement autogravitants mais on le démontre mais techniquement, techniquement la façon plus simple c'est d'utiliser régularisation dimensionnelle avec justification physique tous ces effets sont d'ordre epsilon non, ils sont nuls ces effets ne sont pas seulement d'ordre epsilon parce que par exemple, ça veut dire qu'il y a des termes en 1 sur xa-xb avec xb-xa soit sous forme d'intégrale soit en un point à la puissance 1-epsilon si la partie réelle de epsilon est assez grande ce truc-là s'écrit xa-xa à la puissance epsilon-1 et dès que ça a une partie réelle positive ce truc-là est nul strictement et donc c'est des termes en régularisation dimension... c'est des termes qui n'ont pas la bonne dimension je veux dire c'est des termes qui sont dimensionnés et donc ils sont nuls en régularisation dimensionnelle comme tu sais autre question c'est ce qu'on peut le généraliser au cas où l'espace n'est pas un petit peu en plat donc par exemple là on a très souvent utilisé le fait qu'on intégrait par partie mais par exemple si je veux faire ça pour un espace cosmologique typiquement je vais avoir un problème donc par exemple on a utilisé l'action d'Einstein plutôt que l'action d'Einstein mais ça c'était pour avoir les équations locales ça n'empêche pas le problème des termes de surface cela dit pour le vrai problème cosmologique et de savoir quelle est l'influence de l'expansion de l'univers sur la dynamique du système solaire on peut le traiter et voir quels sont ces effets-là et ils sont totalement négligeables contrairement à certaines affirmations dans la littérature que je ne citerai pas qui sont totalement fausses la question plus profonde en principe tout le calcul peut être fait avec des fonctions de green dans un background ici j'ai une fonction de green plus les corrections à la fonction de green c'est une correction à la fonction de green parce que je suis allé de ce point là mais j'ai été modifié par une source donc tout ce calcul existe si j'ai les fonctions de green dans un espace antidecité mais effectivement la question serait de regarder est-ce que tous les termes de surface contribueraient ou pas je pense qu'ils ne contribueraient pas physiquement tant que j'ai un système isolé et que j'ai des conditions à l'infini qui est comme dans un ADS que je n'ai pas de choses qui justement ici j'avais un système clos non mais il y avait pas d'échange parce que par exemple dans deux citeurs une partie du système va disparaître une partie du système va passer non donc deux citeurs est comme ça il n'y a pas d'univers dans deux citeurs qui interagissent oui mais il y a une partie des lunes d'univers qui va disparaître pour un observateur qui va disparaître tout ce que je calcule c'est des choses invariantes je calcule une action cette action là il n'y a pas d'effet d'horizon non mais tu veux calculer le potentiel entre deux particules oui mais je calcule l'action le potentiel c'est juste pour dire je calcule un Lagrangien même comme ça d'ailleurs si je fais dans ces tranches là ça va disparaître jamais je ne vais pas utiliser un patch de point carré comme on dit bon ça devient trop technique pour la plupart juste une question en théorie des champs disons les développements diagrammatiques c'est parce qu'on fait des perturbations pour une intégrale gaussienne et qu'on intégrame le lit est-ce que ici ça ne semble pas être le cas parce que en fait si on fait un développement autour d'une théorie qui est au départ quadratique il y avait comme ça plus des termes après plus compliqués en ficubes etc donc j'ai simplement utilisé classiquement le fait qu'une théorie quadratique avec couplage linéaire à matière peut se résoudre exactement c'est la même chose qu'au lieu de faire une intégrale fonctionnelle gaussienne ici je dis simplement ça c'est un problème de fonction de green, linéaire d'accord et après je reste il n'y a pas l'équivalent d'intervention de vie qui permet d'avoir la liste de tous les termes ou est-ce que d'abord dans le théorème de vique il y a le problème des coefficients de savoir s'il y a des termes des coefficients de symétrie au niveau en vache non le théorème de vique est vrai ici aussi en ce sens que tous les termes que j'ai dans l'action c'est à dire j'écris l'action vraiment j'ai dit tout à l'heure que à la fin ce truc-là va donner un coefficient un demi devant celui-là mais en vache cela tous les termes dans l'action qui s'écrit vont apparaître dans l'action dans l'action de départ de champ vont apparaître dans l'action de focaire la fraction réduite tel que et en plus avec le même coefficient jusqu'à un niveau élevé c'est à dire donc le théorème de vique ça serait de savoir est-ce qu'on peut a priori prédire quel est le coefficient de tous ces termes est-ce qu'il est le même dans l'action ou est-ce qu'il y a certains où ce coefficient par des raisons de symétrie est-ce qu'il est vrai à un niveau élevé sont modifiés ça serait ça, mais il y aurait l'analogue de ce point de vue-là non, il n'avait pas l'air convaincu mais le point important ça en tant qu'action je peux dire c'est des choses comme ça et maintenant je dis je sature en fait un terme de l'action sur les sources c'est tout ce qu'on fait ici je prends tous les termes de l'action et je les sature avec des sources et l'action de focaire est égale à cette somme-là pour pouvoir voir s'il y a des choses de termes de symétrie c'est ça le théorème dont je parle ici le calcul dont je parle le premier terme étant ça jiji avec g et puis tous les autres comme ça je regarde les termes dans l'action et ça me donne des interactions entre les sources voilà, classique et ça c'est lié à l'amplitude de transition du vide d'un état en présence de sources et si j'ai une transition sans émission de quanta à l'infini et j'ai créé l'amplitude pour passer in-out comme épuissance IW en présence de sources W de J mon action de focaire c'est W de J à l'approximation classique quand je néglige les boucles vraiment quantiques qui sont celles-là parce que classiquement effectivement il n'y a pas ces boucles quantiques toujours des boucles qui sont triléables au sens de la théorie des champs parce qu'elles se finissent toujours sur une source d'accord, ça a clarifié merci