 Oui, j'ai pensé que je devais prendre une autre picture sur ce qui s'est passé. Sur les trois manifolds. Ce n'est pas une photo prouve, c'est plus sur ce qui s'est passé. Donc, ce que nous avons fait, c'est de prendre un volume de 3 manifolds hyperbolic. Donc, j'en fais de l'autre. C'est avec un cusp. Et nous avons décidé de gluer sur une section du cusp. Et ce qui s'est passé, c'est qu'on choisit un slope sur lequel nous allons gluer. Et nous avons pris un slope très compliqué. Donc, sur les unités solides, ici, le curve est très très long. Et pour gluer, nous choisissons de aller très très haut dans le cusp, pour que ce cusp soit très thin. Le long de la curve que nous devons gluer, c'est, je crois que le constant correct est 4 pi. Donc, vous avez choisi une très très longue curve. Mais si vous allez assez loin dans le cusp, vous trouvez un moment où vous coupez le long de ce slope. C'est juste comme une quantité de microscope. C'est là où vous coupez et vous gluez. C'est ce qui s'est passé dans tout cet état. Vous coupez, vous gluez. Et maintenant, le truc que vous avez tué, c'est qu'il y a un long de transité, à peu près 4 pi, ou à peu près tout ce qu'il y a, dans la sphère correspondante. C'est ce qui s'est passé dans cet état. Donc, j'aime cette picture parce que c'est un peu convaincant de quelque chose d'autre, ce qui est en fait vrai, c'est que, quand on va aussi loin que haut, avec ce petit cusp, que l'on crée comme 1 nanomètre, et on glue quelque chose que l'on peut barely see, comment sur la Terre peut-on changer quelque chose sur la métrique ? Eh bien, on peut, vraiment. Mais si on fait ça proprement, en fait, on change très peu, on change très peu sur la métrique. Et c'est une partie de toute cette histoire que le plus compliqué que vous faites, le moins que vous modifiez la métrique sur l'hyperbolic manifold. Et quelque sorte de, cet état est aussi vrai dans les groupes hyperbolic, mais je ne vais pas... Qu'est-ce que c'est ? Est-ce que le nombre de slopes basse dépend de ce que vous avez commencé ? Il dépend du X que vous avez commencé, si vous voulez. Qu'est-ce que c'est ? Oh, M. Oui. Parce que c'est toujours le même X. C'est toujours l'espace hyperbolic 3. Ok. Donc, j'aimerais parler de... Donc, le titre de la série de talks était l'hyperbolicité et les généralisations. Et donc, nous avons vu les groupes hyperbolic, les groupes hyperbolic relativement hyperbolic, et j'aimerais finir avec une notion de week-end, et... ce serait de l'assilandric, l'hyperbolicité. Donc, la définition est la suivante. Le groupe G, ou bien, le groupe G, actant par des isométries sur un espace hyperbolic. Et on dit que l'assilandric est assilandric, si... Oh, je dois dire un espace hyperbolic delta, parce que je vais utiliser delta. Il existe R, positive, comme ça, pour tous les x et les y, à distance R, le set d'éléments qui s'appliquent par une petite quantité, donc, pour dire, 100 delta, c'est suffisamment d'assurer la définition. Les deux sont finies. Ok, une définition étrange, mais une définition. Donc, exemple, bien, properement discontinu, actions, proper actions, parce que, dans les proper actions, le set de G qui s'appliquent par x à distance 100 delta est déjà finie. Un autre exemple, peut-être, il justifie le... il justifie le terminologie, c'est sur les arbres. Donc, non. Je vais le dire comme ça. Si tu prends une amalgamation, A star B par C, par Z, A star B par Z. Donc, une amalgamation, Z est un groupe de A, un groupe de B. Tu identifie et c'est tout. Donc, un espace topologique associé à ce groupe, qui est un groupe fondamental, c'est comme ça que tu as un espace qui est A, un espace fondamental c'est B, quelque part, tu préfères l'embêtement de Z, et là, tu préfères l'embêtement de Z et tu identifie sur les deux côtés. Ok. Je vais dire C avec C isomorphique Z. C'est plus précis. C dans A et C dans B. Ok. Donc, comme ça, comme ça, pour exemple, il n'y a pas de conjugation de C dans A dans C. Donc, ce groupe, avec cette condition trans est actuel sur la tronche basse, qui correspond à la tronche de espaces qui est un couvert universal de cette construction. Et ce qui se passe c'est que si vous avez un vertex fixé par A, puis un étage fixé par C, si vous avez un étage neuf, c'est fixé par une conjugation de C, par un élément de A. Donc, il y a une intersection triviale. Donc, aucun élément fixe les deux étages. Si vous continuez ici, vous avez le groupe B conjugé par B. Je n'ai pas d'assumption. Donc, peut-être qu'il y a un élément dans l'intersection de les deux fixant les deux étages. Mais ici, encore une fois, j'ai des conjugations de A. Et je sais que, sur les conjugations de A, personne ne fixe les deux étages. Donc, ce qui peut arriver est que j'ai un élément fixé ces deux étages qui, sur la picture, correspond d'un élément de B et de là-bas. C'est l'infoldation de ces deux étages orange c'est cet étage bleu et cet étage bleu. Donc, personne ne fixe plus que deux étages. Et on s'appelle assilandricale. Donc, peut-être qu'on comprend maintenant pourquoi assilandricale. Parce que quand j'essaye de remettre l'assilandricale dans cette construction, si je pouvais continuer et dire, ok, ce cylindre, oh, regarde, ça va dans cet étage bleu et ça va dans cet étage bleu et tout ça, ça me donnerait un élément fixant un long segment dans les deux étages traduant assilandricité. Assilandres traduant assilandricité. Donc, la terminologie est plus ou moins ok. Plus d'exemples avec pas de prouves, bien, les groupes hyperboliques actant sur leurs, bien, hyperboliques fine graffes. Je vais mettre le plural ici. Donc, pourquoi ça ? Je n'ai pas dit pas de prouves, ok. Donc, il y a plusieurs choses à vérifier. Donc, ici est un graffes hyperboliques fine. Et ici, il y a deux points très loin et un géodesique entre ces deux points. J'ai dû vérifier les éléments qui bougent les deux, des petits éléments, il y a finalement beaucoup. Infantil, il y a infinitely beaucoup d'éléments qui bougent x par un petit élément. Parce que de la fine graffes non locales. Mais si je fais un liste infinite à un moment, je trouve moi-même en regardant un élément qui, le path de x, donc, je dois faire une picture plus grande ici. Le path de x à g de x doit passer par une vertex infinitive et faire un large angle. Maintenant, le même g appris à y doit aller à la même vertex infinitive. Et faire un angle similaire. Donc, ce n'est pas pas clos à y, ce sera plus loin de y. Donc, de cette façon, qui est très sketchy, l'un peut montrer que seulement finalement, beaucoup d'éléments bougent à une distance de 2 points assez loin. Ou, c'est le même élément. Le même élément consiste d'avoir un large subword dans le groupe parabolique. Donc, je vais essayer d'expliquer ça différemment. Oui. Ce élément appris à une isométrie à ce segment. Donc, maintenant, il commence ici et c'est un segment qui est isométrique à celui-là. Donc, si il doit aller près de y, je vais dire que ça doit aller à ce point. Assumez-vous que ça ne va pas à ce point. Parce que dans l'isométrique, ça se tourne. Et quand j'ai bougé à 500 delta, je suis bien d'aller à cette distance. Et maintenant, j'ai un passage de ici à là-bas. Ça ne va pas à cette vertex. Donc, ça bounde mon angle. Je l'ai élevé. Mais il y a d'autres exemples qui font une théorie intéressante. Et j'aimerais parler d'un autre exemple en particulier. Ça va me prendre à la fin de la lecture. Ça commence avec une surface de genus plus grande que deux et considère que c'est un groupe de maitres de définition. Le groupe de difiomorphisme de sigma g modulo isotope, ou modulo, le component connecté de l'identité, ou la orientation préservée, je suppose. Donc, ce groupe est un groupe très intéressant. Voilà. Donc, pour l'instant, Dan Nielsen est isomorphique d'un groupe d'automorphisme de sigma g de sigma g de pi1. Je n'ai pas mis aucun point bas parce que le groupe d'automorphisme a déjà été questionné par le groupe d'automorphisme qui est questionné par le groupe d'automorphisme d'automorphisme d'automorphisme et le groupe d'automorphisme est juste une conjugation par les éléments de pi1 de sigma g. Donc, c'est un point bas. Donc, il y a beaucoup de moyens pour considérer le groupe d'être très intéressant. C'est un d'entre nous. Après tout, nous dans le cas de l'inéloge, nous sommes intéressés à la zone de GLN qui est le groupe d'automorphisme de z jusqu'à la fin. Et ici, nous avons un groupe d'automorphisme d'automorphisme hyperboli en lieu d'une lattice nucléaire. Je n'ai oublié de vérifier le temps à la fin de la vidéo. Je suis commencé à 10h30. Ok. Mais, mais quel espace hyperboli peut-il y être pour le groupe d'automorphisme? Donc, je vais le définir. Il sera le groupe de curve de sigma g. Donc, le groupe de curve de sigma g est le groupe qui est le groupe d'automorphisme d'automorphisme d'automorphisme d'automorphisme de c1 et de c2 comme nous avons mis pend doute de ces fonds-curves. Il n'est pas particulièrement facile de voir ce que c'est de ce que ça dried et rajoute.kach c1 c2 peut-être c3 c4 Je n'ai pas de curve en haut ici, donc j'ai en cette picture le premier 4 points sur le graphe, le graphe de curve. J'ai perdu mes couleurs. Je m'envoie en gris. Et quelles formes de lignes que j'ai ? J'ai une ligne entre C1 et C2, donc une ligne bleue-grine et bleue-orange. Je dois prendre les lignes en gris. J'ai une ligne entre C4 et C3, donc orange-purple. Et c'est tout. C'est pas très... Ouais, ok. Je ne peux pas avoir une ligne entre C1 et C3, parce que je ne peux pas être un automotor de lignes. Je dois peut-être prendre cette ligne. C5 est lignée de tout le monde, excepté le gris. Ah non, et le purple. Qu'ai-je fait ? Allez, qu'ai-je fait ? Non, c'est bien. C'est correct ? Ok. Merci. Donc, il y a plusieurs factures sur ce graphon. D'abord, c'est infinit. Et connecté. Et d'un diamètre infinit. C'est pas... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... C'est pas facile de voir... Donc, il y a des choses que je ne pourrai pas donner de proches, maintenant. Donc, le théorème qui m'intéresse est... C'est à la géométrie. Et le théorème de Mazurin Minski, Mazur and Minsky is that the curve graph is grombe of hyperbolic and there is no, okay. What is easier to see is that the mapping class group acts on the curve graph and the action of mapping class group sigma g on it is a cylindrical, yes. Sorry, I didn't get the curve graph of what is in things. Oh yes, of sigma g for g larger than 2. Oh, you're asking. Yeah, everything is for sigma g for g larger than 2. Oh, you didn't get it because you just drew the curve graph before? It's not a full curve graph, it's just a few curves in the curve graph. Oh, okay, yeah, okay. Many other vertices. So, for instance, you can take the green curve and perform a dent twist over c5. So, a dent twist means that, I'm going to turn it into yellow, yeah. Instead of crossing the white curve like that, I choose to just do some spiraling before and similarly on the way back, okay, I cannot draw it correctly. This is another simple closed curve. So, the dent twist is a diffeuomorphism of the surface. The identity on both sides of a small cylinder centered at the curve and which makes a progressive rotation along the cylinder. So, yeah. What did I do? Sorry. So, the cylinder city of the action of the mapping class group on the curve complex is due to Bodich and the hyperbolicity. So, Bodich also gives a proof of hyperbolicity, but there are many proofs of hyperbolicity. The first one goes back to Masur and Minsky and there are very short proofs. I mean, a lot of people have worked on that. So, what to do is, yeah. Maybe I need a word to say that this is a larger class than relative hyperbolic group. So, observation, maybe. So, those mapping class groups are not relatively hyperbolic, except relative to themselves. So, non trivially. Yeah. There is an old theorem, I suppose, Lycoris, that says that they are generated by dent twists, some system of curves. But you see what's going on. So, a dent twist, again, what is a dent twist? So, you have somewhere a curve in your surface. You cut the surface left and right. You have only one component in the complement, but never mind. You define the dephiomorphism to be the identity away from the cylinder. And so, here, you have a cylinder. So, S1 times 01. So, you define it to be the identity on S1 times 0. You have no choice. It has to be identity on the left. The rotation of angle 2 pi t at S1 t. And the rotation of angle 2 pi at S1 times 1, which is also the identity. So, it turns this arc into this one. That's a dent twist. OK. But now, dent twist on this joint curve commutes, because they have disjoint support. So, every time I have two disjoint curves, I have a copy of that square going into my mapping class group. If the mapping class group was relatively hyperbolic, this copy of that square would have to be in the parabolic group. But now, you see that when I change one curve, I get another z square that shares one factor with this z square. So, it must also be parabolic. And since it shares an infinite group with a previous parabolic group, it has to be in the same. So, changing curves one at a time shows that the mapping class group is contained in one single parabolic. So, this proves this observation that mapping class groups are not relatively hyperbolic. So, it makes an interesting example of a cylindrical action which does not fall into the relative hyperbolicity phenomena. This system of curves you talked about, is it finite? Yes, it is finite. But for the argument, you don't even have to take that into account. So, why does all the z square have to be in the parabolic subgroup? Why does the entirety of the z square have to sit in the parabolic subgroup? Oh, that's a general thing. So, it cannot be completely outside the parabolic for the same reason that z square cannot embed in a hyperbolic group. If there was one element in a parabolic group, it would force everything to be there It has a centralizer. So, the centralizer will conjugate the parabolic group into some other groups that intersect it infinitely on infinite subset. But it's not possible. Think about the horospheres, how they are well separated. The stabilizer of two disjoint horospheres, a finite intersection. So, this argument, again, of separation of the parabolic groups in relative hyperbolic tells you that then the z square must be completely in it. That's okay. Okay. Yeah, another comment on this example. In elements of the mapping class group, among the elements of the mapping class group, we have a classification, which is due to first term that I will describe very briefly, not in the details. So, if alpha is an element of the mapping class group of sigma g, there are three possibilities. Either alpha, let me state it like there are two possibilities. Either some power preserves the curve, simple closed curve, sorry. Or, so this contains, for those who know the vocabulary, this contains finite order elements and reducible elements. Or, well, or you are pseudo-anozov. Or let me state it like that. So, alpha is pseudo-anozov. And maybe I take that as a definition. It is a loxodromic isometry on the complex of curves. On the graph of curves. So, this statement tells us that too. So, we have this mysterious graph, which is nonetheless hyperbolic and with an cylindrical action. And we know, we can pretend that we know loxodromic elements in this action. So, loxodromic elements are those elements that preserve two points at infinity, preserve the collection of geodesics between these two points at infinity and acts like a translation on these geodesics. What is the infinity boundary? We know we are not hyperbolic. What is the boundary? On the curve complexe, on the graph of curves, I should be a little more systematic in my notation. The curve graph. On the curve graph. The curve graph is hyperbolic. On the curve graph. So, the curve graph is a good hyperbolic space. And it does not correspond to any space associated to relatively hyperbolic structure. It comes from something weaker. And it's a hyperbolic space with an cylindrical action. And the question is can we say something about the group then thanks to this structure of acting acylendrically on a hyperbolic space. And the answer is well, yes. So, maybe another observation from hyperbolicity. From, ah, sorry. From a cylindricity. I'm losing my words. Cylendricity. Well, I will explain what is going on. So, if you take alpha pseudo another element in my pink class group and so it's looksodromic in the curve graph. So, as I said, it preserves in an ideal world, it preserves an axis. Preserve the B-infinite geodesic and translate on it. Unfortunately, it's not true. B-infinite geodesic. And we spare you details. So, let me just hide that under the word quasi. Let L, like line, be a quasi axis for alpha. So, it means that here I have my space, the curve graph. And here, well, maybe it's not just B-infinite geodesic, maybe it's more fuzzy, think of it as a B-infinite geodesic. A line which is preserved by alpha and translated along it by alpha. And let a conjugate of alpha and assume that it's a genuine conjugate. You're not conjugating by some power of alpha. I mean something that commutes here. Such that how do I say that? Phi does not fix such that. Phi of L is different from L. So, you have this line L and we have another line phi of L. And I'm worried about something that worried me before for relative hyperbolicity. I'm worried about how two things, how two convex subsets preserved by my favorite subgroup can be parallel. So, you remember it was a poison in relative hyperbolicity and we build in the definition that parabolic groups stabilize convex sets that are not parallel for a long time, that quickly diverge from each other. So, what happens here? I have my favorite alpha preserving a convex set and my conjugate beta another convex set. Can they be parallel for a long time? Well, a cylinder retails us that no then alpha well, the neighbor if I take the neighborhood of alpha of like 10 delta and I intersect it with the neighborhood of oh, it's not L, of L with 10 delta, with neighborhood of phi L with 10 delta well, this is uniformly bounded. This is let me sketch this on the picture. Question. You say uniformly bounded, do you mean no matter which L we choose? No matter which phi, which phi. So, let me sketch that for you. If it was not, there would be very long case here. So, what to do? Then, I can take a point here and make alpha oh, this is very long, like I can do alpha to the 1 million and still being in the subsegment. I take alpha to the power k0 k then I'm doing beta to the power I don't know L then I'm doing alpha inverse to the power k and then beta inverse since everything lies in the parallelism of the two axis I'm going back to almost the same point so this commutator quasi fix something here and the same happens everywhere in the superposition of the axis as long as I don't fall in the divergence so it will do the same here again so the same commutator alpha k beta L quasi fixes if not, so if there is a long subsegment alpha k beta L quasi fixes 2 points far away in this intersection but this cannot be the trivial element it has to be new elements everyday because if it was trivial then some power of alpha commutes with some power of beta the same I assume that they will not be the same so quasi fixing 2 points far away in this intersection is exactly the condition in the assinandricity so it contradicts that assinandricity how do we have to think about the boundary point of the the paragraph yeah projective there is a theorem of Grossman that identifies the boundary in terms of projective measure lamination so what's the exact statement I just cannot say the exact statement now on the top of my head but yeah c'est possible to do that with the tachemure space some of this for example the solenoid of elements and they act more as like an exorbitant element on the tachemure space yeah ok well I guess it's possible to interpret a part of all this story in tachemure space tachemure space as no is not naturally hyperbolic for any of the usual metric we like but there are contraction properties and the contraction properties are reminiscent to hyperbolicity and actually that's part of the reason why we can see curve complex is indeed hyperbolic so what to say I guess you could interpret part of the story in it but but without you cannot use hyperbolicity for truth so it's like working on one leg it's not a sound oh it's not hyperbolic tachemure space is not hyperbolic relative a sound like a relation you do have a map from tachemure space to the curve complex so you could say through this map the electrification of this map re- re- gets again the hyperbolicity properties of curve complex but that's hiding it ok oh let me finish with an application so we do have this control of on the on the intersection of convex sets and so applications and that's results I obtain with Gerardel and Ossine I will not detail them just say what they are like there is an analog of the denfilling theorem for cushioning out absurd one of the elements so let me state very vaguely denfilling a theorem for some subgroups of mapping class group or that's not a statement is it so let me give you a statement actually we can find a free subgroup of the mapping class group on which we can perform denfilling theorem and as an application mapping class groups are sq universal meaning that any countable finitude generative countable group is a subgroup of a quotient of of its sq means sub quotient universal so every countable group is a subgroup of a certain quotient class group so it's done by denfilling a free subgroup denerrated by so do I know those I would like to finish with other examples well actually I don't know well maybe I finish stop here