 اسلام علیکم لکچر No.21 کالکلس کا شروع کرتے ہیں آج تو اس میں اور مزید بات کریں گے ڈریویٹف کی ان کی اپلکیشنز actually دیکھیں گے for a change اس وقت اس لکچر میں آپ دیکھیں گے کہ جو سارا تھیوریٹکل idea ہم نے دیویرپ کیا تھا ڈریویٹف کا اس کی اپلکیشن کیا ہے یعنی what is the point basically in terms of real life یعنی کچھ ہم نے دیکھی بھی تھی پہلے یعنی جب ہم نے بات کی تھی جو انٹرپٹیشنی کی بات کی تھی کہ ڈریویٹف is the slope of the tangent line to a given function at a given point تو وہاں پہ بھی ہم نے دیکھا تھا کہ it's basically we did see some applications of that thing یہاں پر تھوڑی سی اور ڈیٹیل میں دیکھیں گے تھوڑی سی اور practical point of you say اچھا جو پچھلہ آپ کا لیکچر تھا اس میں میرے خال سے یہ تھا کہ اس میں ہم نے بات کی تھی inverse functions کی اور inverse functions کی ڈریویٹف کی exponential functions کی اور logarithmic functions کی ڈریویٹف کی تو وہاں پہ اس لیکچر میں تھوڑا سا یہ تھا کہ تھوڑا سا theoretical تھا اس میں ہم نے applications تو کوئی خاص نہیں دیکھی تھیں کچھ examples دیکھیں تھیں theoretical examples یہاں پہ سب میں یہ اتنا کہانا چاہوں گا کہ کچھ mathematics میں چیزی ایسی ہوتییں جس میں you don't always seed right away the real life applications of that idea mathematical idea لیکن یہ ہے کہ theoretical point of you say ایک اس کی understanding اچھی طرح سے ضرورنی چاہیے یہ نے جب آپ exponential functions اور اپنے logarithmic functions اور inverse وغیرہ کی بات کی ہم نے اس میں theory تھی بہت ساری کچھ examples کی تھی جو theoretical ہی تھی تو کوئی بات نہیں کیونکہ ان کی development بہت ضروری ان کی theory سمجھنا بہت ضروری ہے تاکہ آگے چلکے applications میں ان کو اچھی طرح سم استعمال کر سکیں تو it's not always that you see right away what the applications are for a given topic in math or a mathematical concept کی but the point is کہ اسی theoretical ڈریویٹف کو develop کرتے ہوئے ہم آئیس طرح پھر اپنے eventually we do get to a point where we can see their applications تو ہم دیکھیں گے آگے چلکے ان ساری جو پیشل لیکچر میں ہم نے بات کی تھی exponentials وغیرہ کی ان کی applications بھی ہم دیکھیں گے eventually لیکن آج کی لیکچر میں ہم بات کریں گے related rates کی and applications of the derivatives تو اس کو formalize کرتے ہیں let's put it on the screen کہ آج ہم نے کیا بات کرنی آج کا topic basically ہے جناب applications of differentiation اور اس میں جو topics ہم کور کریں گے وہ ہیں related rates and what are related rates it's basically an application of you know of the derivative idea the concept of differentiation to real life problems اس کے بعد ہم بات کریں گے increasing functions کی کہ یہ functions کیا ہوتے یہاں پہ بھی ہم application ہی دیکھیں گے derivatives کی لیکن from a theoretical point of view and you have derivatives کو apply کریں گے not for a real life problem practical problem but basically to develop further a certain theory of mathematics اس کے ساتھ ہم دیکھیں گے decreasing functions کو بھی again وہی بات ہے کہ یہاں پہ بھی یہ بھی a theoretical concept ہے we'll see how derivatives apply here also and at the end we'll talk about concavity of functions concavity سے کیا مراد ہے وہ بھی ہم دیکھیں گے کیا ہوتی ہے intuitively speaking concavity is basically جیسے concave lens رہا ہوتے تو ان کی شیپ اگر آپ کو یادو تو اس طرح کے functions ہم دیکھیں گے جن کی شیپ concave lens ڈائپ کی ہوتی ہے اچھا جی تو آئیے شروع کرتے ہیں پھر یہ ہم نے topic دیکھ لیے آچکے کیا بات کریں گے ہم تو ان کے بارے میں بات چیز شروع کرتے ہیں اچھا تو ان concept کی اب ہم جیسے develop کریں گے تو ان کو formalize کر کے تھوڑا سہاں کنکریٹلی screen پر لکھ لیتیں گے ہم بات کیا کریں گے بات فلال اب بھیس لیے ہم related rates کی کر رہے ہیں تو what are these things let's put it on the screen related rates are basically real life problems these involve finding the rate at which one quantity changes with respect to another quantity for example we may be interested in finding out how fast the polar ice caps are melting with respect to changes in temperature تو اب یہ جو last example میں لکھی ہے بھی کہ کہاں پر ہم استعمال کرتے ہیں related rates تو اس میں یہ تھا یہ بات ہوئی کہ جی آج کل جیسے global warming کی بات ہو رہی ہے بلکہ ریسنڈ لیے ایک بڑا ایوانٹ ہوئے I think یا تو ساوت پول پہلے نورت پول پہلے ایک زیادہ لیے میں جنی پتا لیکن one of the ice caps یعنی ایک بہت بڑا چنکت تھا ice caps کا وہ break-up ہوکے مطلب سمندہ میں دوپ چکا ہے اور اتنا بڑا ہے کہ سنگپور کی کنٹری جو ہے اس سے 7 times bigger than that تو it's something of concern obviously any immediately question یہ بھی ہم پوز کر سکتے ہیں کہ what is the effect of that big chunk sinking into the ocean on the ocean levels across the world یعنی یہاں پہ بھی ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ جی جی سے وہ what happens to the rate of change of the ocean level corresponding to how fast the polar caps are melting اسی دنہ سے جیسے ہم نے پہلے جو پوز کیا تھا question ہوئی تھا کہ اگر temperature بڑا ایک quantity میں a given rate سے what's happening to the other quantity یعنی سارہ interplay ہے quantities کا دو quantities آپ کے پاس ہوں گی اور یاد رکھیں گے functions جو ہوتے ہیں وہ بھی دو quantities کو relate کرتے ہیں in a particular relationship تو وہی بات ہے کہ it automatically turns into the idea of two quantities related to each other اور یہاں پہاں ہم دیکھ رہے ہیں کہ how one responds in what fashion in terms of changing given the change in some other quantity تو وہ basically concept ہے related rates کا وہ ہم اس کی بات کریں گے آئی آگے شلتے ہیں ایک اور جو چیز ہم جہاں ایک سامل دے سکتے ہیں related rates کی وہ یہ ہے کہ جی ہم جانتے ہیں کہ how fast a satellite is changing altitude with respect to changes in time اور with respect to changes in gravity تو یہاں پریکٹکل سا کوشتن ہے کہ جب سیٹلائٹس لانچ کی جاتی ہیں تو اس میں ہوتا ہے کہ جی آپ نے ان کو ایک orbit میں جب آپ لانچ کرتے ہیں تو time کی سار ان کا altitude جو ہوتا ہے وہ decay کرتا ہے اسے ہم ٹیکنیکل term سے کہتے ہیں decay of altitude تو وہ بھی ایک کوشتن ہے interesting کہ اس میں ایک function involved ہوتا ہے کہ basically concept ہوتا ہے کہ جتنی تیزی سے آپ کی satellite گھومے گی orbit میں دنیا کی آس پاس اتنا اس کا altitude شہت اس کے gravity اس کے پر تن افکت نہیں کرے گی ارت کی اور اس کا altitude کم نہیں ہوگا لیکن اگر speed اس کی کم ہونے لگے تو obviously gravity will start attracting it towards the planet earth and the altitude will change تو وہ بات ہے کہ gravity کے حوالے سے بھی پوچھا جا سکتا ہے کہ how fast does the altitude of a satellite change with respect to changes in gravity gravity بھی کونسٹن نہیں ہوتی different points پہ ہو سکتا ہے different gravitational pull-off similarly time کے changes کے ساتھ پوچھا ہے سکتا ہے کہ جیسے ایسے time گوزر رہے ہو سکتا ہے اس کی رفتار جو ہے satellite کی وہ slow رہی ہو and maybe altitude یہ کم ہو رہاگا ہو سکتا ہے اس کی رفتار تیز ہو جائے for some reason and then altitude might not actually change at all تو اس تیب کی questions ہے basically جنے ہم related rates کہتے ہیں اور obviously آپ کو صاحب ظاہر ہے پتا چل گیا ہوگا کہ these are real life applied problems تو that's why these are so interesting and of course here's where we see the idea of derivative at play تو آنے کچھ examples دیکھتے ہیں ان کی اس کے بارے میں مزید بات کرتے ہیں example جناب it's a word problem ظاہر ہے چونکہ real life problem ہے تو اس کو پہلے تو آپ explain کریں گے انگلش میں اردو میں بھی کر سکتے ہیں میں نے انگلش میں کیا ہے assume that oil spilled from a ruptured tanker spreads in a circular pattern whose radius increases at a constant rate of 2 feet per second how fast is the area of the spill increasing when the radius of the spill is 60 feet تو جناب یہاں پہلے real life problem کیا ہے it's a very applied problem آج کل خبروں میں رو سمتیں گے جناب کسی جگہ پہ ایک oil tanker رپچر ہو گیا اور جیتیل پھیل گے سمندر میں and of course we know that wild life gets affected by it environmental concerns ہوتی ہیں تو یہاں پہاں آپ دیکھلی جے کہ یہاں پہاں پہاں پہاں پہاں وہ یہاں ہے کہ جی آپ کے پاس ایک tanker ہے جو رپچر ہو چکے اور جو oil میں سے لیک ہو رہا ہے وہ سرکلر پیٹرن میں سپریڑاوٹ کر رہے تو یہاں پہاں یہاں پہاں یہ سرکلر پیٹرن ہمیں پتا ہے اس کے سرکل سے مراد یہ ہے کہ اس کی کچھ فارملہs ہوتے ہیں جو ابھی ہم دیکھیں گے ان کے بارے میں ہمیں ہمیں ہمیں سرکل ہوتے ہیں تو یہاں پہاں ہوتے ہیں اور ساتھ میں اصل سوال یہ ہے کہ یہاں کانٹیتی بھی سبکتے ہیں تو ریٹرن بھی انسانتینیس ہے اس ازمپل اور ایک بہت ریٹرن بھی بہت انسانتینیس ریٹرن معلوم کرنا چاہیں گے کہ کچھ کسی بہت جب آپ کی ایک کانٹیت آپ کو پتا ہے تو ہاں پاس کانٹیت کانٹیت تو وہ سوال ہے یہاں پہاں تو آئی اس کو سولف کرتے ہیں شروع کرتے ہیں سوال کرنے لیے اچھاں یہاں پرکل ای جو ہے اس کو کہ لیتے ہیں جناب ایریہ of the spill ایک سکویر فیت after two seconds یعنی جب کچھ فخفا گزر چکا ہے تیم کا تو کتنا ایریہ ہے سپل کا ظاہر ہے ایریہ of جو ہے سرکلر جو ایل سپل تھا وہ چینج ہو رہا ہے اس کا ایریہ جیسے جونکہ وہ برد آئی ٹائم کے ساتھ ساتھ تو ایک ایریہ کا کانٹسپٹی آئے ہونا چاہیے سمیلرلی آپ کے پاس ریڈیس ایک انوالعہ ہے هناپے آر اس کو اسماہرپٹی ایریہ ایریہ ایریہ جب پیل کے ساتھ ریڈیس پہلے آپ کے پاس یعنی اس کے کتنا ہوں گاپیل کا اور ایک پاس تی کی بات ہو رہی ہے تو ایک پاس ایریہ اکسی یہاں میقدی ایریہ در ایریہ ان چالا سپل ہے جو انوالعہ جو پیل جو Island ایک اس کا عید سپل ہے اس کا ایریہ ایریہ چینج ہو رہا ہے تو we have to talk about the area of the circular region وہ ہم ڈیفائن کر سکیں گے اس کا فرملہ ہمیں پتا ہے ابھی دیکھیں گے کیا ہے اس کے لہاں ریڈیس ہے ایک سرکلر ہے چونکہ اور ایریہ کی بات ہو رہی ہے تو ریڈیس انوالب ہوتا ہے اس میں ظاہر ایک ذہن میں آنا چاہی ہے right away کہ there should be a radius of the circular involved اور ساتھ میں time تو of course ہے کیونکہ everything is happening with respect to time ڈیس سے پاس ہو رہے ہیں the area of the spill is getting bigger and bigger and that's why we have to declare that as one of the variables involved in the problem اور اب ہمیں معلوم کیا کرنا ہے یہ چیزیں ہم دیکھیں گے کہ ہمیں شاہت پتا ہوں یقینن پتا ہوں گی لیکن اس میں چیزیں معلوم کیا کرنی ہے تو آئی اس کو بھی لکھلے دیں سکرین پر سب سے پہلہ تی ہے کہ جو ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے دیکھلیر کی تھی چیزیں ان کا ایک فگر بنالتے ہیں اور یعنی پوری جو سیٹویشن ہمارے پاس ہے اس کا ایک سناریو کریٹ کرتے ہیں as a picture تو اس کو ایک فگر کے طور پر یہاں پر دیکھئے یہاں ایک فگر اور یہاں پر بیچ میں آپ کے پاس ایک اویل تنکر ہے اس میں بیچ میں رپچر ہویا کہیں سنٹر میں کہلیجے اور وہاں سے تیل جو ہے یہ اویل جو ہے لییک ہو رہا ہے اینا سرکلر فیشن تو یہ جو سرکل آپ کے پاس سامنے بنا ہوا ہے سرامڈن دی تنکر that's basically the circle representing the oil spill اور اب یہاں پر معلوم کیا کرنا ہے we want to find da over dt at the point where r equals 60 تو یہ da over dt کیا چیزے جناب یہ da جو ہے of course a is area of the spill ہمیں معلوم کرنا ہے change of that with respect to time what change occurs in the area of the oil spill with respect to time اور وہی نہیں بلکہ ایک given instant پر ہمیں معلوم کرنا ہے at that instant when the radius of the circular region is 60 60 feet basically تو یہ تو ہمیں معلوم ہی کرنا ہے کہ da over dt کیا at that given point r equals 60 اس میں ہمیں اور یہ تو ایک rate of change جو معلوم کرنا ہے کوئی ایسا rate of change جو ہمیں پتہ ہو جو ہمیں given ہو تو indeed that is the case اور وہ ہے سکین پلکتے ہیں اس کو what we do know is that dr over dt equals 2 feet per second dr over dt of course is the rate of change of the radius of the circular region the oil spill with respect to time وہ ہمیں دیا ہے it's basically 2 feet per second تو یہ ساری information ہمارے پاس ہے اور ایک چیز ہمیں معلوم کرنی ہے اب ہم کیسے کریں؟ how do we proceed تو اس میں ایک سیمپل سی بات ہے کہ ایریہ جو ہے ساری problem related rate problems میں ہی ہوتی ہے کہ how do you set up the whole equation یعنی ایک بار آپ کی جو word problem ہے اس کو آپ equation میں convert کرنے then everything is easy but that's the big step how do you convert a word problem into an equation ہمیں یہ ہے کہ ہر problem کی علاق منفرح دیکھ وہ ہوتی ہے property requirements ہوتی ہیں تو اس problem میں جو ہمیں require ہے وہ یہ ہے کہ rate of change of the area معلوم کرنا ہے تو dr over dt تو we have to have area defined somehow ایریہ of the circular region کسی طرح سے ہمارے پاس ہونا چاہیے لیکن وہ تو بڑا سانتر بات ہے اس کو معلوم کرنا کیونکہ ایریہ جو ہے وہ ایک circular region ہے تو اس کا ایریہ میں پتا ہے پائیر سکویر اس کا ریڈیس سکویرٹ times پائیر that's true for any circle یہ بھی چونکہ سرکلر ریجن ہے oil spill تو we can use that formula تو the area of the oil spill will be پائیر سکویرٹ تو اس کو بھی لکھلے دیں یہ ایک known quantity ہوگی سپل is the circular region so therefore area of that circular region will be a equals پائیر سکویرٹ اب ہمیں basically معلوم کرنا ہے da over dt اب یہ کیسے معلوم کریں گے تو اس میں نوٹ کیجے کہ جو ریڈیس آپ کے پاس area ہے جس کا rate of change معلوم کرنا ہے وہ rate of change آپ کو معلوم کرنا ہے with respect to time لیکن آپ کا جو formula دیا ہے آپ کو area کا وہ ہے in terms of radius تو کوئی بات نہیں کوئی فرق نہیں پڑتا ہم rate of change معلوم کر لیتے ہیں with respect to time keeping in mind that area is a function of r of the radius اور پھر اس کے بعد ہم chain rule apply کر سکتے ہیں I hope you can see that's exactly what you have to do میرے حال سکم ایس کو لکدو ایک واجہ سکرین پر تو it'll be much more clearer da over dt equals 2 پائیر that's just the derivative of پائیر سکویر but then you have to multiply by the derivative of r with respect to t which is dr by dt this is basically what I meant when I said that you have to use the chain rule keeping in mind that area is a function of r but you're finding the derivative with respect to t now this equation then implies that da over dt at the point where r equals 60 will equal 2 پائیر times 60 times 2 which is equal to 240 پائیر feet squared per second ایجنار آپ کا results آگیا آنسر آگیا یعنی area جو ہے اس oil spill کا change ہو رہا ہے with respect to time at the rate of 240 پائیر feet squared پر سکن تو یہ آپ کا سوال کا جواب آگیا اس میں وہی بات ہے کہ وہی چیزے استعمال کیا any derivative استعمال کیا chain rule استعمال کیا and we got an answer تو یہ تو ایک problem تھی پرٹکلر hopefully it makes sense what's going on اب اس میں point ہے کہ how do we in general ہم کوئی ایسا ایک pattern ہے جو اپلائے کر سکتے ہیں کسی بھی related rate type کی problem جو ابھی ہم نے اس کے example دے کی کوئی کوئی اگر ہے تو وہ بڑی اچھی بات ہوگی well توہاں سام اس کے بارے میں کچھ کہہ سکتے ہیں I'll write down some points on the screen and those points will actually help you in general for solving related rate problems of the type we just saw تا یہ سرین پے چلتے ہیں the following steps are helpful in solving related rate problems number one draw a figure and label the quantities that change یہ بیسکل ایک figure ظاہر ایسی بات ہے کہ pictorial idea اگر آ جائے آپ کے پاس پرکچر بنا لیں concept کی تو بڑا سان ہوتا ہے number two is identify the rates of change that are known and those that are not known or basically they are to be found یہ بات ہے کہ پشلے والی example میں ہمارے پاس ایک rate ہمیں معلوم تھا rate of change radius کا اور ایک ہمیں معلوم کرنا تھا تو یہ وہ والی بات ہے number three جو ہے find an equation that relates the quantity whose rate of change is to be found with those quantities whose rates of change are known تو یہ تین point سو پہلے ہیں جس میں میراہر سے سیمپل تھے ہم نے یہی کیا تھا شروع میں اور جو number three point ہے وہ زراہمپورٹنٹ ہے کیونکہ اس میں وہی سارہ step ہوتا ہے کہ آپ کو ایک equation بنانی ہوتی ہے جو آپ کو بتائے کہ ہو کیا رہا ہے اور اس کا طریقہ یہ کہ جو quantities آپ کو پتہ ہیں اور جو معلوم کرنی ہیں rates of change کے حالے سے ان کو relate کریں کسی ایک equation سے تو ہر problem میں different equation ہوگی یہ باکی point سو دیکھ لیتے ہیں اس idea کے number four is differentiate the equation that you have written down from part three with respect to the variable that quantities are changing in respect to یعنی بیسکل جو جس کے حالے سے جس کی respect سے quantities change ہو رہی ہیں اس سے differentiate کیجئے اور عام طور پہ یہ time ہوتا ہے لیکن it could be anything اور آخری step ہے جانا evaluate the derivative at appropriate points تو یہ کچھ steps ہے جس کو اگر آپ مدنظر رکھیں تو usually یہ problems جو ہوتی ہے احسان ہو جاتی ہیں کرنا لیکن ان کی examples جتنی زادہ کریں گے اتنا زادہ practice ہوگی اور آپ کو یہ جو بھی ہم نے point سکے these actually become part of your thinking process in terms of solving these type of problems تو practice کیجئے ان کی problems کی وہ سب سے اچھی بات ہوتی ہے جائے example اور کرتے ہیں related rates کی and I think it will make some more things clear یہ screen پہ چلتے ہیں example جناب a 5 foot ladder is leaning against a wall یہ 5 foot کی ہے آپ کی پاس کیڑی جو ترچی کر کے رکھی بھی دیوار کے ساتھ عام طور پہ ہمیں ہم دیکھتے ہیں گھروں میں بھی ایسا ہوتا ہے آپ situation کی چیوہ ہے کہ it slips in such a way that its base is moving away from the wall at the rate of 2 feet per second یعنی base move away کر رہی یعنی جو وہ حصہ جو rest کر رہا ہوتا ہے زمین پر وہ move کر رہا ہے دیوار سے its moving away from the wall at the rate of 2 feet per second at the instant when the base is 4 feet from the wall how fast is the top of the ladder moving down is moving down the wall at that instant at the instant when the base is 4 feet from the wall یہ جناب آپ کی situation ہے اس کی picture بنالی جی of course that was the first step in those 5 points we saw تو picture بنالیتے ہیں اس کی سکین پہ دیکھتے ہیں یہ سامنے آپ کے فیگر ہے جناب اس پہ آپ کے پاس ایک سٹیڑی ہے دیوار ہے اور اس میں base جو ہے وہ زمین ہے x اور جو دیوار ہے وہ y were able to represent کر رہی ہے تو یہاں پہ ایک automatic x and y plane بن گئے and I think we can identify some things now we can say that t equals number of seconds after the ladder starts to slip تو یہ time ہو جائے گا x is the distance in feet from the base of the ladder at any given point x will measure the distance of the base distance in feet from the base of the ladder y جو ہوگا will measure the distance in feet from the top of the ladder to the floor تو یہ جناب آپ کے variables ہوگا یہ ہم نے identify کر لیے a step number 2 جو تھا ہمارا ہم نے go identify کر لیے اب اس میں rates of change ہم نے identify کر لیے I'll put them on the screen for you dx by dt equals rate of change of the base of the ladder یہ بیسکل horizontal movement کیا لیں اس کو یعنی movement جو ہوگی horizontal direction میں اس کو dx by dt کیا لیں rate of change of the top of the ladder which we can also call vertical movement یعنی جب ladder slip کرتیے تو top جو تیے وہ bottom کی طرف جاتیے اس کو ہم کہہ سکتے ہیں dy by dt and what do we want to find out we want to find dy over dt at the point where x equals 4 given that dx over dt at the point x equals 4 is 2 feet per second so how do we relate x and y اچھا جی تو یہی سارا problem ہے کہ how do we relate x and y this is the big thing تو اس کو کیسے کریں گے اس میں ہر problem ہر unique ہوتی ہے یہاں پہ بھی ایک different ہے پشلی والی problem میں ہمہار پہ سرکلر region تھا ایک تو ہم نے سرکل کی equation سمال کی تھی یہاں پہ ہمار پاس میں نے شروع میں کہا تھا ہے کہ x and y axis پیچھر کو دیکھیں پھر سے let's put the picture again on the screen آپ کے سامنے پیچھر ہے یہاں پہ دیکھے کہ اس میں بیسکلی آپ کے پاس ایک y direction ہے ایک x direction ہے اور ایک ladder ہے 5 foot کی اور یہاں پہاں ایک right angle ٹرائنگل بن گے تو right angle ٹرائنگل جب میں کہتا ہوں تو آپ کے دماؤ میں فارن سے پہلے بلکے پتھاگرس ٹیرم آنا چاہیے کہ جی اگر right angle ٹرائنگل ہے پتھاگرس ٹیرم اور پیچھر ہے ایک پیچھر ہے اور پیچھر ہے اور پیچھر ہے پیچھر ہے پیچھر ہے تو اس کو لکھلتے ہیں ایک پتھاگرس ٹیرم کو یہاں پہاں اگر میں استعمال کروں تو میرے پاس ہی پارٹنس زی جو ہے سایڈ ہوتی ہے وہ 5 ہے اس کا سکویر 25 ہوگا اور پہاں کانٹیز آرہا ہوں لہذا ایک سکویر پہاں ایک پیچھر ہےuto تی اور بھوٹا جو ہمیشتاہی چین رولاپروپریٹلی ہمیشتاہی بہتا ہوں تو یہ آپ کے پاس ایکویشن آگے یعنی دفنشت کرنے کے بعد اورجنل ایکویشن کو یہاں پہاں آپ نے چین رول سمال کیے جو آپ نے دریورٹنے کیسے کیا کیا کیا کیا کیا آپ کے پاس چاہتی رفرنشیٹ کرنے کے بعد 2 x times dx over dt کیا کیا چاہتی ہے؟ کیا x was a function of time انہیں جو ہورزونٹل موجومت ہے وہ اسا بہت بہت ہی کھرے جاتا ہے انہیں کچھ time گزرے گا تو آپ کے باس دسلنس مجر کریں گے آپ اس کا اس کیا x is a function of time سمجھلرلی وہرٹیکل موجومت ہے وہ بھی آپ مجر کریں گے after a certain time period it depends on time بہت سکل because ڈیویٹی پہلے دیویٹی کے لئے اس every ڈیویٹی اگر مجھے آپ کے بان پینچ کیا تو آپ کی پاس یہ دو کونٹی زائنت ہی تھی اب اس کو آپ سمبلیفہ کر لی جی کچھ ڈوین کونٹیز ہیں کچھ ڈوین ہے ان کو نقل کریں ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو ویلیوز کو موشکہ یہ باتی ہے انکائن کو پلگن کریں ویلی اس کو۔ اور اس بیٹیت کی حال ہیں۔ اس황 Rise بررے۔ We have to find out ڈی ویئی pernah ڈی تی جو س all اس ایکویشن کو سولف کر لیتے جیے dydt لیے ل گیدیو ڈیوی عبر ڈیٹی ایکویلز minus x over y times dx over dT ڈیویر ڈیٹی ہمے معلوم کرنا ہے at the point when x equals 4 تو یہاں پر دیکھیں کہ we get x کی جگہ 4 دعل دیجھے سمہ پاس results ہے کہ minus 4 over y times dx dT ہمیں پتا ہے at 4 x equals 4 و ہم نے ابھی دیکھا تھا that quantity is given to be 2 اب کوششن یہ ہے یہاں پہ کہ minus 4 over y جو ہے y کیا چیز ہے تو کوئی y فلحال تو y ہے لیکن کوئی مشکل کام نہیں ہے اس کو معلوم کرنا اس کی value کیونکہ equation original ہمارے پاس ہے پتھائگرس equation جو تھی پتھائگرس تھیرم کی اس میں اگر x equals آپ 4 ڈال دیں تو آپ کے پاس y کی value آ جاتی ہے اور وہ value کیا تھی ہے وہ ابھی دیکھلے دیں of course note کیجئے جو آپ ڈالیں گے and I'll let you do this actually the calculation y will come out to be 3 and you get minus 4 over 3 times 2 equals negative 8 by 3 feet per second تو جناب یہ آپ کا آنسر آگیا this is how fast the quantity was changing basically the quantity that we wanted to find out تو یہ سیکزمپل سہوپفلی اور کلیر ہو گیا گا کہ how to actually tackle such problems اچھا جی تو یہ تو ہوگئے related rate problems اب ہم مزید بات کرتے ہیں increasing and decreasing functions کی جو ہم نے کہا تھا کہ what exactly do we mean when we say increasing function and decreasing function تو اس کو تھوڑا سا دیکھلے تھے formally screen پے تو جی screen پے لکھلے تھے increasing and decreasing functions that's the topic اور اس میں بیسکلی بات کیا ہے کرنے کی وہ بات یہ ہے کہ essentially ہم نے دیکھتا پہلے کہ we can get an idea of the graph of a function by plotting a few values تو یہ جو values ہیں ہم نے یہ بھی کہا تھا کہ ٹھیکے پلوٹ کر لیں لیکن in values کی جوکہ finitely many ہوتی ہیں تو اتنی accuracy نہیں ہوتی گراف میں ٹھیکے ٹھیکھاک accuracy آجاتی ہے لیکن behavior in general جو ہمیں concrete چاہی ہوتا ہے for various problems آگے جلکہ دیکھیں گے کونسی ہوتی ہیں وہ تو اس میں ہمیں کچھ اور details چاہی ہوتی ہیں جو صرف plotting point سے نہیں آتی نہیں ملتی ہمیں تو ان کو ہم اتاکل کرنے اور problems کو تو how do we do that دیکھتے ہیں آگے اس میں دیکھئے کہ یہاں پہ ہم دیکھیں گے we will see that we can use derivatives to get accurate information about the behavior of the graph in an interval when we move from left to right یعنی کہانے کا بات یہ صرف اتنی see کہ اگر ہم orientation اپنی یہ رکھیں کہ left سے right پہ جانا ہے تو اس کو ہم اس orientation کو مدن اظر اکتے بے ہم derivatives سمال کریں ایک function کا derivatives کو analyze کریں تو ہم function کے بارے میں بہت کچھ کہہ سکتے ہیں اس سے graph کے بارے میں function کے وزائرہ graph کے بارے میں کچھ کہیں گے تو function کے بارے میں بھی کافی کچھ کہہ سکتے ہیں دونوں related ہیں وہی analytic geometry والی بات آجاتی ہے and calculus کی تو ہم یہ دیکھنا چاہیں گے کہ derivative کو analyze کریں اور orientation اپنی left to right کی movement رکھیں تو اس میں ہم کیا کہہ سکتے ہیں using the derivative of the function about the graph of a function تو اس کو ہم دیکھنا چاہیں گے کیسے تکل کرتے ہیں اچھا increasing function کا کیا مطلب ہے اب ہم چونکہ بات شروع کر رہے ہیں کہ ہم کیسے analyze کریں گے what exactly do we want to get out of analyzing the derivative of a function تو اس میں یہ کہ ایک increasing function کی بات آتی ہے what do we mean by increasing function increasing function کا مقصد کہنے کیسے فتنہ ہوتا ہے کہ اگر آپ left to right move کریں on the x axis تو جیسے آپ کی x values زہرہ left to right آپ موف کریں گے تو آپ کی x values بڑی ہوتی جا رہی ہیں تو ہی بات ہے کہ آپ کی اگر left to right move کریں گے تو if your y values increase starting from the left to the right then your function is actually increasing انٹویٹیسی بات ہے سمپلسی کہ left سے right آپ موف کر رہے ہیں اور آپ کی y values عاستہ عاستہ increase کرتے کرتے اوپر جا رہی ہیں you get an idea automaticly a picture سے ظاہر ہو رہا ہوگا کہ آپ کا گراف کچھ ایسی action کر رہے which we call increasing function یہ بیسکلی ایک طرح کی informer's a definition of increasing function سمجھلرلی اگر decreasing function کی بات کر رہے ہیں اس کا reverse کر لیجی کہ اگر آپ left to right move کر رہے ہیں اور آپ کی y values magnitude میں کم ہو رہے ہیں یعنی اس طرح سے پہلے آپ کی یہاں left پر شروع کیا اوپر تھی y value تھوڑا ساگھب موف کیا تو y value نیچی آ گئی اور move کیا to the right اور نیچی آ گئی you get a general idea کہ picture کچھ ایسی بن رہی ہے گراف کی and the graph is decreasing obviously ایسی کوئی چیز action کرے تو decrease کرے گی وہی بات ہے کہ orientation والی بات ہے کہ you're moving from the left to right اگر orientation change کرلنے تو it will mean totally things will mean different things increasing کچھاں مطلب ہوگا decreasing کچھاں مطلب ہوگا یہاں پہ چونکہ ہم left to right جا رہے تو automatically intuitively clear کہ this means increasing this means decreasing that's the whole point اور اس کو ہم اور formalize کرتے ہیں یہاں پہ ایک formalize کرنے کے لیے ایک figure بنا لیتے it'll give you an idea of what I mean by increasing and decreasing functions تو آئیس کو screen پہ دیکھتے ہیں یہ جنہاں فگرہ آپ کے سامنے اس میں آپ کو basically کچھ تھوڑا سا idea ہو جائے گا کہ increasing اور decreasing functions کیا مانی ہے اس میں یہاں پہ انٹرولز بھی دیے ویں جس میں یہ function increase کر رہا ہے اور جہاں پہ یہ decrease کر رہا ہے تو اس فگر میں آپ نے جو function دیکھا اس میں obviously بات obviously ایک انٹرول کا notation concept ایک آیا جو ہم نے اس پہ لکھاویب تھا فگر میں کچھ انٹرولز بنے وے تھے at the bottom تو جب ہم increasing decreasing کی بات کرتے ہیں تو اس میں ایک انٹرول کا concept آ جاتا ہے کہ ہم جب بھی کہتے ہیں بات کرتے ہیں کہ ایک function increase ہو رہا ہے we talk about the function increasing on a given interval similarly a function is decreasing on a given interval تو یہ انٹرول ہمیشہ ہم اس کے حوالے سے بات کریں گے جب increasing function یہ decreasing کی بات کریں گے یہ definition ہے جناب آپ کے سامنے definition basically ہے کہ اگر آپ کے پاس ایک function ہے f which is defined on an interval and let x1 and x2 denote points in the interval then f is increasing on the interval if f of x1 is less than f of x2 whenever x1 is less than x2 f is decreasing on the function on the interval if f of x1 is greater than f of x2 whenever x1 is less than x2 and f is constant on the interval if f of x1 equals f of x2 for all points x1 and x2 تو یہ جناب definition ہو گئی اس میں دیکھلی جیے کہ this is exactly what we were talking about this definition کافی concrete ہے manajو تھوڑے دے پہلے ایک picture see بنائی تھی this is exactly what this definition is it's more formal اس میں points آپ کے سامنے ہے x1 اور x2 جو کوئی بھی points ہے تو basically آپ compare کر رہے ہیں and a given interval you take two points and you compare the corresponding y values for those two points اگر x1 x2 سے چھوٹا ہے تو آپ دیکھتے ہیں کہ what's happening to the y values اگر y values بھی چھوٹی ہیں ایک دوسرے سے y1 جو کورسپارنٹ کریں x1 سے چھوٹی ہے y2 سے جو x2 سے کورسپارنٹ کرتی ہے then the function is increasing in the other case it's decreasing a constant ہے اگر if both the values are the same y values for all x values in the interval تو یہ آپ کی formal definition ہوگی اس کا ایک فگر یہاں میں بنا دیتا ہوں you can look at this figure it'll clarify some concepts regarding this definition آپ دیکھتے ہیں یہ جناف فگر آپ کے سامنے اس میں آپ دیکھلے جے it's basically the same pictorial view of this definition we just saw اچھا جی تو اب یہ تو ہوگیا اب اس میں کچھ اس کو idea کو more develop کرتے ہم یہ جانا چاہیں گے کہ بھی کیسے کہ کیسے دیترمین کریں کہ ایک گفن فنکشن انکریسیں گے ایہ دیکریسیں گے یہاں پہ میں کہا تھا کہ ہم derivative کو analyze کریں گے تو وہ idea یہاں پر develop کرتے ہیں ایسا کرتے ہیں کہ جو functions ہیں کوئی ایک function لیتے ہیں اس کا گراف بناتے ہیں اس کے گراف پر کچھ points چوچوچوچوچوچوچوچوچ کرتے ہیں اور ان کے ان points پر tangent lines بڑا کرتے ہیں i.e. straight lines which are tangent to those points اس کا ایک فگر بنا لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ کیا ہوتا ہے یہ جناف فگر آپ کے سامنے figure 4.2.3 تو اس میں دیکھئے کہ کچھ ہمارے پاس functions ہیں اور ان پر میں پہلے والے میں اگر آپ lines بنائیں کچھ points چوچوچ کیجی اور وہاں پر tangent lines بنائیں تو کیا ہوتا ہے تو آپ کے پاس یہاں پر note کریں گے کچھ چیزے about ایسی کچھ analyze کریں گے ift tangent lines سے تو کچھ چیزے note کرتے ہیں وہ چیزے کیا ہیں وہ چیزے بیسکلی ہیں کہ جی tangent lines in the first case جو پہلی پکچیر تھی ہاں پر اس میں tangent lines جو تھی وہ ان کا slope پہلے بہت positive تھا اور بہت بڑا تھا پھر آسطا آسطا اس کم ہوتے ہوتے zero ہو گیا تو یہاں پہ اس idea کو استعمال کرتے ہوئے ہم basically increasing functions کے بارے میں کہہ سکتے ہیں کہ اگر کوئی function increasing ہے تو اس کی tangent lines جو ہیں وہ a given interval میں کچھ ایک طرح سے بھیحف کریں گی اور سمجھرلی ایک اسی طرح کے جو سیکن پکچھتی اس میں اس میں ہم نے دیکھا کہ at given points tangent lines جو تھی وہ zero سے شروعیں slope zero سے اور اس کے بعد اس کو analyze کر کے ہم کہہ سکتے ہیں کہ decreasing function کو کی جو derivative ہوتا ہے جو اس کی tangent lines ہوں گی at those points ان کا slope جو وہ خاص طریقے سے بھیحف کرے گا in a given interval and we can say something about that to basically formalize this idea تو اس کو ہم کیسے کریں گے اس کو formalize کر لیتے ہیں concept کو screen پہلک لیتے ہیں یہ جناب آپ کے سامنے ہے Theorem 4.2.2 which basically tells you a way of determining if function is increasing or decreasing on an interval the theorem says f be a function that is continuous on a closed interval ab and differentiable on the open interval a,b if f prime of x is greater than zero for every value of x in a and b open interval then f is increasing on a,b if f prime of x is less than zero for every value of x in a,b then f is decreasing and if f prime is zero for every value of x in a,b then f is constant on the closed interval a,b اچھا جی تو یہ آپ کا تھیورم ہو گیا its میں this basically tells you how to find if determine if a function is increasing or decreasing using the derivative of the function itself یہ کلوز انٹرول پہ بات ہوتی ہے لیکن اس میں open interval کا بھی ایک play ہے of course وہ ہم دیکھ لیں گے کیا ہوتا ہے اس کو سمجھنے لیے ایک example کر لیتے ہیں تھیورم کو تو آئی اس کو دیکھتے ہیں screen پہ example ہے جناب find the intervals on which the function is increasing and then those and those intervals on which it's decreasing اور جی فنکشن ہے وہ ہے f of x equals x square minus 4x plus 3 یہاں پہ اس کا فگر بنالتے ہیں یہ فگر آپ کے سامنے ہیں تو آپ کو پتہ چل گیا کہ اس میں گراف اس کا کیا ہے basically what the graph is of this function اب اس کو ہمیں معلوم کرنا ہے کہ ہی انکریز کنس انٹرول پہ کر رہا ہے اور دیکریز کنس پہ کر رہا ہے تو اس کے لیے ہے کچھ تھوڑا سا وہ جو تھیورم ابھی دیکھا وہ استعمال کرتے ہیں and do some calculations دیکھیں گے دیکھیں گے دیفرنشیٹنگ اف گیفز f prime of x equals 2x minus 4 یہاں پر او 2 times x minus 2 اب نوٹ کریں کہ f prime of x یہ جو ہم نے بھی کالکلیٹ کیا یہ لیس than 0 ہوگا if on the interval x between minus infinity and 2 اور گریڈر than 0 ہوگا on the interval x is between 2 and positive infinity یہ تو انٹرول آگیا آپ کے سامنے تو اب ہم نے کہا یہ دو انٹرول تھے جن پہ یہ انکریز اور دیکریز کر رہا ہے نہیں اس میں تھیورم کے حوالے سے ہم اگر دیکھیں تو انٹرول کچھ اور ہوں گے انیسے ڈیلیڈ ہوں گے ان انٹرول سے لیکن exactly کیا ہے آئے دیکھیں اچھا جی تو اس میں دیکھیں کہ تھیورم 4.2.2 جو ہم نے دیکھا تھا اس میں نوٹ کریں کہ f جو تھا وہ continuous تھا اور یہاں اس اجامبل میں بھی f continuous ہے کیونکہ it's a polynomial function all polynomials are continuous functions اوہ خاص طرح پر it's continuous on the interval 2 and positive infinity سو بیسکلی what we can say by the theorem is that the function is increasing on the interval 2 close interval 2, positive infinity any 2 will be actually included in it according to the تھیورم similarly it's decreasing on the interval minus infinity, 2 where 2 is included and notice that the derivative is 0 at the point x equals 2 so what can we say here well since this is only a point and not an interval we think of the point x equals 2 as the point where the transition occurs from decreasing to increasing in f یا نکیانے کا مخصد یہ ہے کہ x equals 2 جہاں ایک ایسا point ہے جہاں پہ function اپنی increase اگر increase کر رہا تھا تو وہاں سے change okay decrease کرے گا یا vice versa اس پردیکلکہ اس میں جو بھی کیس تھا اس کے حوالے سے x equals 2 would be the point of change of increase or decrease اچھا جی تو یہ ایک topic اور ہو گیا increasing and decreasing functions اب ہم بتا سکتے ہیں کہ اگر ہم سے کوئی پوچھے کہ function increase کر رہا ہے کہاں سے کون سے an interval پہ تو we can determine that and similarly for the decrease part اب ایک اور چیز جو ہے میں معلوم کرنا ہم چاہیں گے about graphs of functions وہ یہ ہے کہ جی concavity کیسی ہے اس گراف کی on a given interval یعنی یہ کہ concavity کیا چیز ہوتے ہیں concave lens کی میں نے بات کی تھی کہ جو lens ایسے کر کے ہوتے ہیں ایسے یہ concavity بیسکلی کلاتی ہے تو ہم یہ جانا چاہیں گے کہ اگر اس طرح کا گراف بنے گا آپ کا تو we will call that concave up and if it's like this we will call it concave down تو یہ بھی ایک important property ہے گراف کی اور اس کی وجہ سے functions کے پر افکت پڑتا ہے functions کے بارے میں کچھ کہہ سکتے ہیں تو ہم یہ معلوم کرنا چاہیں گے کہ on what intervals are functions concave up اور concave down اچھا اب یہ ہے کہ جو ہم نے increasing function اور decreasing functions کی بات کی تھی اس idea کو مزید develop کر سکتے ہیں اور مزید develop کریں گے تو ہمارے پاس ایک کچھ ایسے tools آ جائیں گے جن سے ہم دیترمین کر سکتے ہیں کہ on what intervals is the given function any given function is concave up اور concave down تو ہی اس کو develop کرتے ہیں اچھا جی اس کو develop کرنے کے لیے اس idea کو ایک figure بنالتے ہیں اور screen پر دالتے ہیں اس کو تو اس سے تھوڑا سا clear ہوگا کہ ہم کیسے اس کو develop کریں گے آئی دیکھتے ہیں یہ figure ہے جناب آپ کے سامنے اس پہ آپ کے پاس دو graphs ہیں جو basically already ہمیں کہ سکتے ہیں کہ پہلا والا جو concave down ہے اور دوسرہ جو concave up ہے اور ہمیں یہ دیکھنا ہے کہ اس کو کیسے ہم دیترمین کر سکتے ہیں کہ it is actually using some kind of tools that we have learned so far تو اس کے لیے ہم کیا کریں گے اس کے لیے ہم derivatives کا سہارہ لیں گے پھر سے اس ان دونوں curves جو graphs ہمارے پاس آئے ان پہ کچھ point select کرتے ہیں ان point کے اوپر tangent lines draw کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ tangent lines کا behavior کیا ہے on a given interval تو یہ دیکھتے ہیں note کیجے کہ پہلا والا graph ہے اس میں جو tangent lines draw کیا ہم نے at various points on some interval ہمیں دیکھیں کہ ان کا جو tangent lines کا slope ہے وہ start ہوتا ہے positive slope سے پھر عاستہ عاستہ 0 ہوجاتا ہے 0 کو اپروچ کرتا ہے پھر 0 ہوجاتا ہے اور اس کے بعد آگے چلتے ہوئے یہ negative ہوجاتا ہے تو اس میں یعنی بیسکلی in other words we are saying that the slopes are decreasing تو ایک طرح کی کونٹفیہ ایک طرح سے وہ کہہ سکتے ہیں ایک ہمارے پاس ڈول آگئے اور وہ یہ کہ the graph is concave down اگر slopes جو ہیں tangent lines کے وہ ڈیکریس ہو رہے تو یہ ایک ہمارے پاس ایک طرح کی technology یہ ڈول آگئے جس میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ ڈیٹرمین کر سکتے ہیں کہ کوئی concave down ہے کوئی function یا نہیں تو اسی طرح سے اب دوسرہ گراف دیکھتے ہیں اس میں ہم کیسے کچھ کہہ سکتے ہیں اس کے بارے میں آئی دیکھتے ہیں second picture میں دیکھیں کہ tangent lines جہاں وہ start ہوئی with negative slope on that interval اور اس کے بعد آخر میں وہ positive slope ہو گیا ان کا تو اس میں دیکھئے کہ جب یہ ہوتا تو اس گراف کی shape جو تھی وہ concave up تھی تو آئی اس کو بیسکلتے ہیں اس کو کچھ تھوڑا سے formalize کر لیتے ہیں یہاں پہ آپ کے سامنے ایک definition ہے جناب اس میں definition میں دیکھیں کہ ہم نے formally state کیا ہے کہ how to determine if a function is concave up or concave down on a given interval let f be differentiable on an interval f is called concave up on the interval ff prime is increasing on the interval f is called concave down on the interval ff prime is decreasing on the interval اچھا جی تو یہ آپ کے پاس definition آگئی formal کہ ہم نے جو ابھی تصیر میں دیکھتا کہ we can use derivatives to actually talk about concave up and concave down تو یعنی concave up جب ہوتا ہے جب f prime increase ہو رہا ہوتا ہے concave down جب ہوتا ہے جب f prime decrease ہو رہا ہوتا ہے concave up جب ہوتا ہے جب f prime increase ہو رہا ہوتا ہے تو اس کو یہاں پہلے صحیح نوٹ کیجئے کہ f prime کی انکریس اور دیکریس کی بات ہو رہی ہے تو ہم جو ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے ثیرم دیکھا تھا regarding increasing functions in general اس کو استعمال کر کے ہم اس کو ایک ثیرم کی فرم میں لکھ سکتے ہیں ایک ایسا ٹول جو ہمیں کالکلیشنز کیلئے ہیلپ کرے گا in determining if a given function is concave up or concave down on a given interval آگئی اس کو سکرین پی لکھ لیتے ہیں یہ جناب آپ کے سامنے ہے ثیرم 4.2.4 اس میں بیسیکلی نوٹ کیجئے کہ if f double prime is greater than 0 on an open interval ab then f is concave up on ab if f double prime of x is less than 0 on an open interval ab then f is concave down on ab تو یہ ثیرم ہو گیا this basically tells you how to determine if a given graph is concave up or concave down تو اس کی ایک سامپل کر لیتے ہیں it will help us understand this thing تو we will go to the screen again and do this example example ہے جی find the open intervals on which the given function is concave up and on those or the end those intervals on which it is concave down اور جو function ہے آپ کے سامنے وہ ہے f of x equals x square minus 4x plus 3 اس میں دیکھئے کہ f prime of x جہاں وہ 2x minus 4 آتے f double prime of x جہاں وہ 2 آرہ تو notice since f double prime the second derivative is greater than 0 for all x because f double prime is just a constant number and constant positive number the graph of this function is concave up on the interval minus infinity to positive infinity and also notice that we saw the graph of this function earlier in figure 4.2.4 we will put it here for you here is the graph of this function and notice that indeed it is the case that the graph is concave up on all the real number line minus infinity to positive infinity تو یہاں پہ یہ تھا کہ جی سیکنڈ ریفٹیف کس ہے آگے بی بیسیکلی try to have a way of basically determining if a given graph is concave up or concave down اس میں دیکھئے کہ جو تھیورم تھا اور جو ڈیفنیشن ہم نے ایک apply کی تھی اس میں ہم نے rates of change of basically tangent lines دیکھئے تھے slopes of tangent lines کی بات کی تھی تو وہاں پہ ایک طرح سے سیکنڈ ریفٹیف کا concept آگیا تھا کہ ہمیں derivative کے rate of change معلوم کرنے تھے how fast they were changing and stuff like that تو وہاں پہ سیکنڈ ریفٹیف کی تھی تو یہ پھر بات ہو گئی آج کے لیکچر کی آج ہم نے سارے topics کور کر لیے کیا ہم نے بات چیت کی ہم نے ساری جو ہم نے دیکھے related rates I think those were the most important ones کیونکہ اس میں applications ڈیکھیں of simple derivatives جو بھی تک ہم نے theory develop کی تھی دریفٹیف کی وہ ہم نے apply کی problem solve کی اس کی homework problems ہیں for related rates اس میں میں obviously I'll stress a lot کے بہت ہی اس پہ ذرور فوکس کیجئے گا do all of them basically because that's the best way to learn these things in January میں آگے چلکے اگر آپ یہ کریں گے problems so these will help you a lot اگر آپ ایک بہت سکتے ہیں ایک بہت سکتے ہیں because that's the best way to learn these things in January میں آگے چلکے اگر آپ یہ کریں گے problems so these will help you a lot سکتے ہیں لہذا ایک بہت سکتے ہیں decreasing functions کی بات کی not too many real life applications at the moment but of course later on we'll see that this theory will be used in solving real life problems similarly کونکہ ہوتی کی بات کی کونکہ ہوتے ہیں کونکہ ہوتے ہیں down functions کے گرافز جو ہوتے ہیں their functions کے تو وہ بھی theoretical بات کی but we have we actually formalized and created some tools which helped us in determining how to actually determine if the function was concave up or concave down and again we used the theory of derivatives for that تو ابتک خوبفلے آپ ہکلا کافی اتک convince ہو گئے ہوں گے کہ derivatives are very important things so of course we need to keep them in mind تو جنا آپ یہاں پہتم کرتے ہیں لیکچر and again practice makes perfect آپ پریکٹس کیجے homework کیجے آپ کے problemہ تو مجھ سے پوش لیجے گا email کر کے اور آپ سے انشاء اللہ next time لقات ہوگی thank you so much Allah Hafiz