 En fait, dans cet état, nous allons évoquer plusieurs boulevins algébres de langues mondiales d'automater pour lesquels les vertices sont mesurés quéviques stressés. D'abord, nous allons donner un exemple simple pour montrer l'intérêt des boulevins algébres. Nous allons considérer des graffes automatiques. Un graffet est juste un graffet pour lequel chaque relation est reconnue par un transduceur finit synchronisé. Par exemple, ici, vous avez l'infinite boulevins algébres. Les vertices sont les mondes et cet état entre le monde AB et le monde AAB est reconnu par un transduceur finit synchronisé. Il commence par le couplet AA, puis le couplet BA, et puis le couplet MTWB, et il s'accepte. Et donc, Hodgson a montré que la théorie du premier ordre de la graffet automatique de l'ANA est décidable. Et en fait, cet état est essentiellement réel sur les propriétés clagées des langues régulaires et les propriétés clagées qui font cette classe de boulevins algébres. Donc, dans les langues formales, le maire de la langue formale est décédé par Shomsky de Guamars of increasing complexity. Donc, premièrement, vous avez les langues régulaires et le contexte libre, le contexte sensibilisé et les langues renumérables recursivelles. Et si c'est bien connu que les langues régulaires et les contextes sensibles forment une boulevins algébres, c'est une classe de langues fermées sous la intersection et la complémentation, c'est aussi bien connu que ce n'est pas le cas pour contexte libre. Donc, dans cet état, nous allons donner plusieurs langues régulaires, en particulier et nous allons obtenir une boulevins algébres d'automater. Donc, pour nous, un automaton est juste un graphe plus initial et final de vertices. Et ce automaton peut être infini. Donc plus formelé, nous commençons par un set V de possibles vertices, un set T de terminaux symboles, terminaux letters et un set de deux couleurs, uotin O. Et un automaton G over V, c'est juste l'union de quelques labels d'algés et de couleurs de vertices. Un label edge est un triple de la forme vertex, un terminaux letter vertex et un color vertex est juste un couple de la forme color et vertex. Et donc, les vertices de notre automaton sont juste les vertices à tapir dans un label edge ou à un color vertex. Les vertices initiales sont les vertices colorées par Yota et les vertices finales sont les vertices colorées par O. Et donc, la langue acceptée par notre automaton est juste la langue mondiale que les labels peuvent passer d'un vertex initial à une dernière. Donc, nous allons donner un exemple d'automater. Alors, nous allons considérer le automaton word suffix. Donc, le automaton word suffix est défiant d'un système word rewriting, ce qui est un set final de rule de word rewriting. Chaque rule obtient un contexte, ce qui est un langage régulier, un côté à gauche et un côté à droite qui sont juste les mots. Et donc, le automaton word suffix est juste le graphe rewriting suffix d'un système rewriting. Et donc, nous avons aussi des vertices initiales et des vertices finales qui sont supposées régulièrement. En fait, le automaton word suffix est essentiellement le graphe de push-down automaton. Donc, le automaton word suffix accepte exactement les langages contextes. Donc, ici, nous avons un exemple. Donc, pour les vertices, nous avons les lettres p, q et bottom. Pour faire un langage label par A, vous avez juste de push le lettres bottom. Un langage label par B, vous avez juste de switcher le state p pour le state q. Et pour faire un langage label par C, vous avez juste de pop le lettres bottom. Et donc, le langage accepté par ce mot suffix automaton est le langage de A, N, B, C, N. Donc, une notion cruciale dans notre papier, pour obtenir un boulet en algebras, est la notion de réduction du automaton. Donc, nous allons dire que un automaton est réduisable à un autre. Juste si il existe un mapping d'un set de vertices de G à un set de vertices de H qui presse le label de l'Augie et le colloïne de la vertices. Si votre mapping est juste un morphisme et observe que si G est réduisable à l'âge, alors le langage accepté par G est le subset de l'âge accepté par H. Et supposons plus que G et H sont sur un set commun de vertices, par exemple un set de mots. Et que ce set est équipé d'un mapping de langage, c'est-à-dire que nous avons une notion de langage. Puis, nous allons dire que G est réduisable à l'âge. Si G est réduisable à l'âge et plus en plus, la réduction presse le langage. Donc, nous allons donner un exemple. Donc, ici nous avons l'infinit binary tree encoded comme visuel. Et ici nous avons un vise automaton. Nous reviendrons plus tard à cette notation. Juste d'observe que, quand vous allez par ici, le langage est augmenté à 1. Et donc, l'infinit binary tree est l'âge réduisible à ce vise automaton. En fait, toutes les vertices de l'infinit binary tree ont le même langage et sont mapes pour le correspondant à ce vise automaton. Donc, un bon élément boule en algebra de contexte fluide a été décédé par Allure et Madoussoudan comme les visibles langages puissants. Et en fait, ce boule en algebra peut être caractérisé en termes de réduction automatique. Donc, nous commençons par un triple d'alphabets et nous considérons ce vise automaton. Donc, nous avons pour les vertices le bouton et le bouton. En fait, un élément en T1 augmente l'élément de 1. Un élément en T-1 augmente l'élément de 1. Un élément en T-0 augmente l'élément de 1. Et en fait, le contexte fluide accepté par les automates suffixes à ce vise automaton forment exactement le boule en algebra de visibles langages puissants respectant ce triple d'alphabets. Et en fait, il y a un plus général moyen d'obtenir le boule en algebra de contexte fluide langages. C'est le travail de Coqal et de Rispal. Ils montrent que, en fait, vous pouvez choisir une déterministique vise automatique, H, et le contexte fluide langage accepté par la déterministique vise automatique à ce vise automatique forment un boule en algebra. Par exemple, nous pouvons choisir cet âge qui n'est pas plus visibilisé au bout d'un automaton, car l'élément augmente le stack et l'élément augmente le stack. Donc, un autre type d'automatisation est donné par des systèmes vector-addition. Le système vector-addition est automaton au nombre naturel de l'action. L'action est un vector intérieur et vous avez un âge labellé par A. Si A labelle entre deux vectors naturels, si A labelle un vector intérieur, comme ça, quand c'est ajouté au nombre naturel, vous obtenez le deuxième. Donc, la question qui est d'où le boule en algebra peut être obtenue par des systèmes vector-addition. Donc, sur l'un end, nous avons poussé le boule sur l'autre end, nous avons des systèmes vector-addition. Donc, pour obtenir un boule en algebra et pour prendre des systèmes concurrents dans l'account, nous allons considérer un troisième modèle donné par des traces de Mazurkevic. Donc, ici, je vous appelle des définitions basiques. Donc, pour obtenir des traces, nous commençons par un alphabet dépendant, ce qui est un alphabet finitif, le sigmar, et la relation réflexive et symétrique et le sigmar. C'est la relation dépendante. Le complément de la relation dépendante est la relation indépendante. Et donc, sur le star du sigmar, vous considérez la liste congruence, comme si les deux lettres sont indépendants, les deux lettres A et B, les lettres A, B et B, sont équivalentes. Donc, la trace du monde est juste la classe équivalente et la trace monoid M-sigma-D est juste la monoid courante de la star frigo-monoid sous la trace équivalente. Et une notion cruciale dans le papier est que une trace admite une forme normale qui s'appelle la forme foite. Donc, en fait, une trace admite une unique décomposition niveau par niveau, ici c'est le niveau, comme tous les lettres dans un niveau rendu indépendant et une lettre dans un niveau rendu est dépendant d'un lettre dans le niveau précédent. Donc, pour exemple, ici, selon cet alphabet nous pouvons considérer cette trace, la trace de cet ordre et donc, ici, vous avez cette trace et elle est encadie comme le ordre AC, le ordre BD, le ordre A, le ordre B. Et donc, le length de la trace sera le length de la forme foite de la forme foite donc, pour exemple, ici, nous avons 4 niveaux donc le length de la trace sera 4. Donc, maintenant, nous pouvons établir le théorème main du papier donc, considérez une famille de trace automata donc, la trace automata c'est juste une automata pour laquelle les vertices sont traces et suppose que cette famille est encadie sous deux opérations le niveau de synchronisation et le niveau de superposition on va revenir après ces opérations quand vous pouvez choisir d'une automata déterminique dans cette famille la langue est acceptée par la automata déterminique dans cette famille qui est réduite à cette âge forment un bouleau en algébres en fait, c'est un bouleau en algébres relativement à la langue acceptée par l'âge qui est encadie sous les intersections tous les langues sont subsetes de la langue acceptée par l'âge et c'est encadie sous la différence comparé à la langue acceptée par l'âge et donc, cette opération on va revenir plus tard assurons la cloche sous les intersections et la complémentation donc, maintenant on va appliquer cette théorème pour certaines familles de trace automata la première peut être l'extension pour mesurer les traces de trace automata mais avant on doit en fait considérer une notion de reconnaissance dans le trace monohyd donc, on va dire que la langue trace est régulée juste si la langue mondiale de les formes normales de ses éléments est régulée et c'est une notion de reconnaissance dans le trace monohyd parce que la langue trace reconnaisable est régulée ici, c'est la caractérisation de la langue trace reconnaisable mais supposons que A et B sont indépendants alors, la langue trace A, B, Starr est régulée mais pas reconnaisable parce que l'Union est un set de mots sur A et B avec le même nombre de A et B qui n'est évidemment pas régulée donc maintenant, on peut considérer l'extension d'automates d'automates pour mesurer les traces donc, nous avons un système rewriting qui est un set finitif de rues chaque rue obtient un contexte qui est régulée qui est une langue trace régulée un côté à gauche et un côté à droite qui sont juste traces donc, un automaton trace suffique c'est juste le graphisme suffique de l'automate rewriting de ce système rewriting et nous avons un set d'initiales vertices et finales vertices qui sont supposées à un niveau régulé et donc, la langue trace acceptée par l'automate trace en fait, c'est un contexte sensible parce que nous avons prouvé un contexte automatique à l'automatique et les langues sensibles sont exactement acceptées par les graphismes suffiques ici, c'est un exemple d'automates trace suffiques donc, vous commencez de cet alphabet dépendant donc, c est dépendant de A et B et vous obtenez cet 3° quartier c'est-à-dire, vous commencez d'un quartier infinitif puis des vertices d'un quartier infinitif vous avez un étage label de C à l'origine d'un nouveau quartier infinitif et ainsi donc, c est un exemple d'automates trace suffiques et donc, nous pouvons prouver que la famille d'automates trace suffiques est en fait fermée sous les deux opérations de la langue synchronisation et de la langue superposition donc, nous avons un boulé en algebras nous avons plusieurs boulés en algebras de la famille d'automates trace suffiques donc, nous avons juste de considérer un boulé en algebras de l'automate trace suffique et toutes les langues qui sont acceptées par l'automate trace de l'automate trace déterminique qui sont infréducibles à cette âge, forment un boulé en algebras donc, maintenant, nous considérons des systèmes de vector addition donc, nous observons que pour la relation de la relation de l'automate trace nous avons deux cases extrêmes d'abord, nous pouvons avoir pour la relation de l'automate trace en fait, la relation totale puis, l'automate trace suffique est juste un automaton suffique mais nous pouvons aussi avoir pour la relation de l'automate trace en fait, l'équalité et puis, nous allons dire que nous avons un système de vector addition donc, ici, un système de vector addition est juste un automaton trace suffique sur finalement, un monoid commutatif donc, ici, vous pouvez voir que la relation de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace est encodée sur un alphabet avec deux lettres parce que c'est un vector de 2 dimensions et donc, vous avez x, x et y donc, ici est l'exemple du système de vector addition et nous pouvons voir la relation de l'automate trace sur le monoid commutatif et encoder les systèmes de vector addition par exemple, la lettre A l'a établi la relation de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace avec la relation de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace de l'automate trace donc, observez que les systèmes de vector addition ne sont pas normales parce que les contextes sont réguliers mais c'est une forme plus générale du système de vector addition donc, les systèmes de vector addition sont fermés sous la colonisation et la superposition donc, nous avons plusieurs boules en algebras d'un système de vector addition nous avons juste à considérer un système de vector addition et tous les langues acceptées par des systèmes de vector addition qui sont réduisibles à cette époque forment des boules en algebras donc, nous allons considérer les deux opérations de la synchronisation et de la superposition d'abord, nous considérons la synchronisation de deux traces deux traces de la connexion trace monoïde c'est juste le produit en termes de formes phoétanormes nous avons juste à faire la union des niveaux correspondants donc, ici vous avez la synchronisation et nous allons parler de la synchronisation de niveau juste si S et T ont le même langage et ce n'est pas autrement défini donc, maintenant nous pouvons donner la définition formale de la synchronisation de niveau de la synchronisation de la connexion donc c'est juste un graphe de la synchronisation de niveau de la synchronisation de vertices de G1 et de G2 donc, vous avez un étage de niveau de la synchronisation de niveau enfin, cet étage de la connexion de A est créé de la connexion de la connexion de G1 et de G2 comme les sources de ces étages et les goals de ces étages ont le même langage et plus en plus vous faites la synchronisation de niveau de la connexion de la verticale initiale et de la verticale finale donc, nous avons que le G1 et le G2 ça veut dire qu'ils 행 nichtληimmer et عن c'est l'intersection. Donc, maintenant, nous sommes à une superposition de niveau-là qui est un peu plus technique. Donc, je ne donne pas la définition formale parce que c'est un petit peu technique, c'est dans le papier. Mais, nous allons nous expliquer dans ce slide. Donc, nous considérons la simple case, la simple case où g et h sont déterministes et g est l'infrainducible à h. Donc, ici sont quelques exemples. Et donc, nous devons construire un automaton qui accepte exactement la différence de langue. Donc, on observe qu'il y a deux cas. La première, un mot accepté par h et c'est complètement abonné par g. Donc, nous devons considérer maintenant la synchronisation niveau-là de l'âge et l'overline g. C'est l'automaton obtenu par g d'inverser la finalité par déclarer les vertices qui n'étaient pas finales et l'inversaire. Mais on peut aussi avoir un cas où un mot est accepté par h et juste une preuve stricte de ce monde est traduit par g. Donc, nous devons ajouter des aigus. Et ici, nous avons des aigus qui permettent d'aller sur ce monde. Et on observe que nous avons besoin que cette position niveau-là soit l'infrainducible à h. Donc, nous devons préserver que l'âge-component de cette vertex est plus long que l'âge-component g. Et donc, nous avons cette léma que si l'âge et l'âge sont en fait déterminisées sur l'automate trace, comme que l'âge est l'infrainducible à h, la position niveau-là est un automaton déterministe. C'est l'infrainducible à h et cela accepte exactement la différence de langue. Donc, nous pouvons considérer, pour exemple, la notion de langages visibles de systèmes de vector addition. En fait, ce sera juste les systèmes de vector addition qui sont l'infrainducible pour donner à l'automate visibilité. Donc, nous avons cette notion, c'est le Boolean et l'Algebra. Juste observons que, pour exemple, si nous considérons cette triple des alphabets dans le contexte des langages qui n'est pas un langage visibilité c'est un langage visibilité de systèmes de vector addition. Ce contexte de langage d'automate A, N, B, N, C, N est un langage visibilité de systèmes de vector addition, donc nous avons cette notion de langage visibilité de systèmes de vector addition. Donc, pour conclure, nous avons considéré les mesures qu'il existe pour faire des systèmes concurrents dans les deux comptes. Nous défendons deux opérations, l'évalence de synchronisation et l'évalence de superposition sur le trait de l'automate. Nous avons plusieurs Boolean et l'Algebra sur le trait de l'automate et sur le système de vector addition dans le trait de l'automate sur le monoïde commutatif. En fait, nous avons plusieurs Boolean et l'Algebra de N, la famille de trait d'automate fermée sous les deux opérations. Nous avons cette notion de Boolean et l'Algebra de langage visibilité de systèmes de vector addition et dans le futur, nous pouvons considérer, pour exemple, la caractérisation logique de langage visibilité de systèmes de vector addition. Nous défendons la caractérisation logique de systèmes de vector addition. La définition, en fait, c'est que nous avons mais en fait, nous considérons un système de vector addition déterminique. Donc, ce set de vertices initiales est juste un sagloton. Mais ici, un set régulièrement un set de vertices finales. Oui, nous avons ce langage qui n'est pas visibilité de langage visibilité. Et nous avons des contextes de la caractérisation logique. Est-ce possible d'avoir ce langage ? Ceci ? Non, non, ceci ? Oui. Mais, un système de vector addition mais ce n'est pas un langage visibilité. Nous n'avons plus le temps de parler.