 Aunque ahora ya conocéis un poco más de los números primos y también el concepto de relativamente primo o coprimo, todavía hay muchas preguntas relacionadas con estos números que nos podríamos plantear. Una de ellas es, dado un número natural, ¿cuántos números naturales menores que él son relativamente primos con él? daremos respuesta a esta pregunta en este vídeo y aunque ahora aparezca un poco inconexa, es una pieza clave en el puzzle que permite comunicarnos de manera segura a través de internet hoy día. Veamos un ejemplo. Consideremos el número 18 y veamos cuáles son los números naturales menores que 18 que son coprimos con 18. Puesto que se trata de un número pequeño, podemos listarlos. Consideremos los 17 primeros números naturales. Si buscamos aquellos enteros de este conjunto que son coprimos con 18, observemos que el 1 lo es. Se trata de calcular el máximo común divisor de ellos con 18 y ver para los que el máximo común divisor es 1. Tenemos el 1, tendríamos 5, 7, el 11, el 13 y el 17. Hacemos lo mismo con 16, puesto que también se trata de un número pequeño, podemos listar todos los números naturales menores que 15 y ver cuáles de ellos cumplen que son coprimos con 16. Los que son relativamente primos en este caso será el 1, el 3, el 5, el 7, 9, 11, 13 y 15. Recuerdo que simplemente se trata de ir calculando el máximo común divisor y ver para cuáles el máximo común divisor con 16 o con 18 es 1 o no. Veamos el caso de 3041. Supongo que a vosotros también os parece imposible listar aquí todos los números naturales menores que 3041. Bien, efectivamente será imposible y no será la aproximación que seguiremos. 3041 se trata de un número primo. Los números primos tienen en este caso un comportamiento especial, puesto que sabemos que todos los naturales menores que él son primos relativos con él, así que todos los números desde el 1 a 3040 son coprimos con él. Pero recordad que estábamos interesados en calcular el cardinal de estos conjuntos. En el caso del 18, el cardinal que hemos obtenido es 6, en el caso de 16 ha sido 8 y en el caso de 3041, el número primo, este cardinal era 3040. Para cualquier número natural n definimos la función phi de Euler de la siguiente manera, como el cardinal del conjunto de los números naturales menores que n que son relativamente primos con él. Hemos visto ya algún ejemplo, puesto que vimos que phi de 18 era 6, que phi de 16 era 8 y que phi de un número primo p es p-1. Ahora, ¿cómo calcularíamos phi de 143? 143 no es un número primo puesto que es el producto de 11 por 13 y parece poco eficiente listar los 142 primeros números naturales y ver si son relativamente primos con 143. Veamos una manera más eficiente. La siguiente proposición nos permitiría calcular la función phi de cualquier número natural n. El primer punto nos muestra el comportamiento de la función phi cuando su argumento son potencias de números primos. Así recuperaríamos el 8 que vimos al cuadro y calcular la función phi de 16 puesto que 16 es 2 a la cuarta y aplicando directamente esta proposición veríamos que esto es 2 a la cuarta por 2 menos 2 al cubo, esto es 16 menos 8, con lo cual recuperamos el 8 que ya habíamos calculado si mirábamos la lista directamente. La segunda, el segundo punto, nos muestra que la función es multiplicativa. Esto es que la imagen de un producto de números naturales es el producto de las imágenes de los naturales. Así, por ejemplo, phi de 143 que nos planteábamos como calcular utilizando esta propiedad sabemos que será phi de 11 por phi de 13 puesto que 143 como ya he comentado antes es el producto de 11 por 13. Así, puesto que 11 y 13 son números primos, phi de 11 sería 10 y phi de 13 sería 12. Substituyendo, obtenemos el 120 que es el valor de la phi de Euler de 143. Y finalmente, una combinación de las dos nos permite calcular la función phi de cualquier número entero n. Así, si conocemos la descomposición de n en factores primos aplicando la segunda propiedad, la función phi será el producto de la función phi para cada uno de los factores primos de la descomposición que podemos calcular fácilmente utilizando la primera propiedad. Esto se resume en la siguiente fórmula o en otras muchas que encontraréis y que son equivalentes dependiendo de cómo sacamos el factor común en cada uno de ellos. Encontraremos un formato o bien otro. Eso sí, debemos notar que un paso fundamental para que realmente sea eficiente el cálculo de esta función es que debemos conocer la descomposición en factores primos del número natural. Así pues, la complejidad computacional del cálculo de esta función se basa principalmente en hallar tal descomposición. Si se conoce es sencilla de calcular, mientras que los casos en los que no resulta poco eficiente. Recuperamos de nuevo el ejemplo de 143 donde como habíamos comentado es 11 por 13, con lo cual aplicando directamente la última de las propiedades phi de 143 será 10 por 12, esto es 120. 1920, si calculamos su factorización en su descomposición en factores primos, vemos que es 2 al cubo por 5 por 7 al cuadrado, con lo cual calculando directamente aplicando la última de las propiedades que habíamos visto, phi de 1920 será 2 al cuadrado por 5 al acero por 7, donde recordar que eran la descomposición en factores pero con el exponente una unidad menos por el producto de la base de las potencias que se estaban considerando en la descomposición menos 1, esto es 2 menos 1, 1, 5 menos 1, 4 y 7 menos 1 sería este 6. Si calculamos el producto, esto será 672, recordando que 5 al acero, recordad que esto es la unidad y el caso de 6.310.063, este es el producto de los dos siguientes números primos, con lo cual si aplicamos directamente la segunda o la tercera de las propiedades obtendremos que este es el valor de la función phi de Euler de este número y os preguntamos cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas, puede haber más de una. Toma los unos segundos para intentar ver cuáles son ciertas y cuáles no y espero que pasado este tiempo todos seáis capaces de ver que la primera es correcta puesto que estamos aplicando directamente la propiedad multiplicativa de la función phi, la segunda no lo es puesto que 25 no es un número primo esto sería cierto si 25 sería fuese un número primo estaríamos aplicando directamente la propiedad 1 a este primer apartado que vimos, el que sí que es cierto es la tercera puesto que 25 es 5 al cuadrado con lo cual lo que estamos aplicando directamente es en este factor de aquí la propiedad 1, esto es que vale 5 por 4 y aquí directamente que phi de 3 es un número primo, 3 con lo cual es 2 y finalmente phi de 75 no es cierto que sea este valor de aquí y para finalizar os proponemos que calculéis la función phi de estos dos valores donde en el segundo ya estamos la descomposición en factores primos, recordad que tendréis una solución de este ejercicio en un vídeo anexo