 Bonjour de Tunis, donc le deuxième exposé d'aujourd'hui, c'est professeur Dora Avondiba de la Faculté d'utilisation de Tunis qui va nous parler du complexe associé à une action libre d'un deux groupes apédiens élémentaires sur un vaisseau vais complexe fini. Merci. Alors je remercie les organisateurs pour pouvoir donner l'occasion de parler aujourd'hui. Donc mon exposé est intitulé complexe associé à une action libre d'un deux groupes apédiens élémentaires sur un vaisseau vais complexe. C'est un travail en cours avec Jean-Lal, Biolaie Chouart et Saïb Zarasi. Donc avant de poser le problème, je vais tout d'abord commencer par quelques définitions et lotations. V désignera toujours un deux groupes apédiens élémentaires, c'est-à-dire un groupe isomar à z sur de z à la puissance n, n étant l'horreur de V ou bien la dimension de V. Si X est un vaisseau vais complexe XHV, E produit EV3X que scientifique par l'action diagonale de V, EV est un espace de mineur, c'est un espace contacté sur les pêches V au pêche y-pond. Alors cette construction, bien naturellement, avec une flèche qui est une projection pi de EV3X le point sur par l'action diagonale de V, cet espace n'est autre que BV, l'espace classifiant du groupe V. Alors cette application, NG en homologie, une amortisme pi étoile de la homologie de VV qui est la homologie du groupe V. Dans la homologie de cet espace XHV, je considère des homologies à coefficient F2. Alors cette homologie, je vais la noter H étoile VX, c'est un H étoile V module via cette application pi étoile mais comme c'est la homologie donc là c'est un H étoile V module mais comme c'est la homologie de l'espace, elle est aussi l'unie de l'action de la fêbre de SINROID modulo 2A, c'est un H module instable. La structure sont compatibles et donc je obtiens un élément de la catégorie H étoile V. Donc cette catégorie, dans les objets sans des H étoiles V à modules instables et l'élémentisme sans les applications qui sont à la fois à l'INER et H étoiles V à l'INER. Alors cette catégorie H étoile VE a été largement étudiée par plusieurs mathématiciens à savoir la haine, la haine, la soire, les araties et en particulier en connait tous les injectifs de cette catégorie. D'ailleurs là les araties nous ont donné un théorème de classification de ces injectifs. Je rappelle que SINI est un élément de H étoile VE, I est dit H étoile VE. Donc c'est un objet injectif, je vais noter H étoile VE injectif, SINI, il vérifie le prompt d'homme dans la catégorie H étoile VE à valeur, donc I est un prompt d'homme. Je vais citer quelques exemples de modules injectifs dans cette catégorie. Donc par exemple H étoile VE et H étoile VE injectif. La fois que je prends un W, un sous-groupe de V, H étoile WV, vu comme étant le produit tensoriel H étoile VE dans ce F2 sur H étoile VE sur WV, le théorème de classification de l'alzapathie nous permet de voir que ça c'est un H étoile VE injectif. L'autre exemple de modules injectifs dans cette catégorie c'est les modules GVD qui sont caractérisées, donc ce qui sont des H étoiles VE à modules instables caractérisées par l'isomorphisme suivant. H étoile VE dans la catégorie H étoile VE par ordre M et de GVD est disonneur à H dans la catégorie F2 espace vectorielle de M en degré N et F2. Ce foncton est en hexade, ça montre que le foncton H étoile VE, donc la valeur dans GVD c'est un foncton hexade et donc GVD est un H étoile VE injectif V étoile VE en votre haut les modules de 20 litres qui sont les injectifs de la catégorie des H modules instables. Remarquant aussi que cet injectif, c'est un modul, ce GVD est un modul fin. La motivation de ce travail qui va être en rapport avec ces injectifs que je viens d'introduire. Alors notre motivation est une question de journal qui consiste à chercher H étoile résolution adjectif du particulier c'est CV H étoile VE qui est un sou H étoile VE de H étoile. Je rappelle que CV c'est le produit de toutes les classes de degré 1 de H1 de H étoile VE, non nu bien sûr, et c'est un élément de l'anneau d'un variant H étoile VE invariant par GLV, le groupe GLV ordinate naturellement sur H étoile VE, cet anneau d'un variant c'est une agèbre que je note de DB, c'est l'agèbre de Dixon. Dixon vers les années 30 il a montré que c'est une agèbre polinobiale sur des générateurs, CN, les CI donc sont les classes de Dixon, CN c'est ce que j'ai noté CV c'est la classe maximale de Dixon. Donc voilà le but c'est de chercher une résolution adjectif de CV H étoile VE. Alors CV H étoile VE comme j'ai dit c'est un sou H étoile VE en vue instable H étoile VE et dans ce cas là H étoile VE on vient de voir que comme c'est un adjectif mais c'est aussi l'enveloppe adjectif de CV H étoile VE. Donc ça c'est bien parce que ça a l'air d'être le début d'une H étoile VE résolution adjectif. Malheureusement on n'est pas vraiment capable dans le cas général de trouver les autres termes et c'est ce qu'on va essayer de voir. Alors commencer par illustrer des exemples dans le cas où la dimension de VE est petite. Alors dans le cas où la dimension de VE est à la 1 le H étoile VE donc égale Z étoile Z. La homologie de Z étoile Z c'est une adjectif polinobiale sur un générateur U de degré 1. Donc je n'ai qu'un seul générateur qu'un seul élément pendant de degré 1 donc CV H étoile VE est autre que U F de degré. Qui s'injecte dans F de degré et dans ce cas on connaît le quotient. Le quotient c'est F de degré. Je peux le voir comme étant JV, J pendant Z sur Z, d'après ce qu'il précède celui là c'est un Z donc H étoile Z sur 2, E adjectif. Et donc cette suite exacte est bien une H étoile Z sur 2Z une résolution injective de U F de degré. Maintenant le cas où la dimension de VE égale à 2 se complique un autre type. Donc dans ce cas là j'ai toujours l'inclusion CV H étoile VE inclus dans H étoile VE. J'ai une flèche dans la somme des H étoiles W pour tous les W de co-dimensions égale à 1 et le quotient c'est JV. Donc on a cette suite exacte et remarquez que dans cette suite exacte tous les termes sont des H étoiles VE injectives. Et donc ça vous donne une résolution injective par des H étoiles VE dans H étoile VE. Donc voilà ces deux cas sont reconnus. Maintenant pour la dimension de VE égale à 3 le problème devant devient vraiment compliqué et on ne connait pas pour le moment une résolution de CV H étoile VE par ce cas là. CV H étoile VE c'est la cohomologie équivariante dans cet espace qui est l'espace de termes de la résolution de la représentation. Donc CV H étoile VE je peux le voir comme étant une cohomologie équivariante. C'est l'espace de termes de la représentation régulière réduite de V. Et donc on s'est posé la question le général suivant c'est qu'on veut chercher des H étoiles VE résolutions de la cohomologie équivariante d'un V CV complexe X. Noter que cette cohomologie équivariante elle dépend de plusieurs paramètres notamment elle dépend de l'action de V sur X. Et cette action nous permet alors de définir un complexe que je vais appeler complexe topologie. Le premier de l'action 6 en premier lieu en utilisant l'action de V sur X à construire un complexe que je vais appeler complexe topologie. Mais la cohomologie équivariante est aussi un élément de la catégorie H étoile VE. Donc il y a vraiment plein de propriétés H étoiles et ces propriétés H étoiles vont nous permettre de définir un complexe à gérer. Notre méthode elle consiste à construire ces deux complexes. Une fois que ces deux complexes s'en construit et bien on veut chercher ou bien on va donner la relation entre ces deux complexes. Et bien je dirais un mot à la fin comment cette méthode va nous permettre ou bien nous permet éventuellement de trouver une H étoile VE, une résolution de CV H étoile VE ou bien de H étoile VE X donc de comment répondre à la question posée au défi. Donc voilà la stratégie qu'on va adopter je vais donc commencer par définir le complexe topologique. Il va être basé donc comme je dis sur l'action de V sur X donc je vais commencer par donner une filtration de X qui utilise l'action de V sur X. Alors si X est un VCW complexe égale le VIT et FP2X égale la réunion sur la réunion par temps de tous les points VX par W, sur tous les W de co-dimension inférieure ou égale AP. Donc on voit bien que cette filtration elle utilise l'action de V et donc de pousser ce groupe W sur X. Donc on a F moins A de X égale de VIT qui est inclus dans le F0 de X co-dimension de W inférieure à 0 y a que V donc c'est celui d'autre que les points VX par l'action de V. Ensuite FN moins A de X c'est ce que je vais noter la partie cagulière de V de X. La création partie cagulière nous vient de L et cette filtration est finie elle s'arrête à N qui est le rang de V. FN de X est votre queue X et donc on a une vibration croissante de l'X comme celui. Alors cette filtration va nous permettre de construire un complexe qu'on a appelé complexe topologie. Comment je vais faire ? Une filtration donc nous permet de définir ce complexe c'est Cigmar moins P de la courbologie et une ambiance de la plètre LP de X modulo LP moins A de X. Le co-bord je vais le noter Nupé et ce co-bord pour sonner d'autre que le connectant de la triade LP le sein de X, LP de X et LP moins A de X. Donc voilà j'ai un complexe, ce complexe je vais le co-augmenter par P moins A, déposer c'est-il moins A. La cohomologie V de 2X, ensuite c'est-il 0, c'est le C0, c'est la suspension donc on a pas de suspension. La cohomologie équivariante de F0 modulo LP mais F0 de X, ce n'est autre que les points fixes par V donc ça c'est la cohomologie équivariante de X, V. Mais cette cohomologie équivariante, ce n'est autre que la cohomologie de V, danseur, la cohomologie de X, V. Et cette flèche, c'est la flèche induite en cohomologie par l'impluchant de X, V dans X. Ensuite je vais avoir, donc je vais poser c'est-il de topologie, c'est le CP topologie pour P supérieure et égal à 0, pour 1 de P moins A. C'est le H étoile PX et donc on voit bien que ce complexe va être complexe fini, il s'arrête à n égale le rang de V. Et on vérifie que c'est un complexe qu'on demande. Le calcul de ce complexe est en général compliqué puisque il fait intervenir les points fixes etc, il fait intervenir la partie singulière qui n'est pas du tout évidente à calculer. Et on remarque une chose étrange, c'est que dans la définition de ce complexe, le PM modu c'est une déjustation. Donc déjustation, la module instable qui n'est pas en général instable. Donc quand on a une suspension, le modu ne reste pas en général instable. Mais dans ce cas là, on a une bonne surprise parce que je tape. Maintenant je vais me placer dans le cas où X est un W complexe fini et X est un H étoile V module libre. Donc on va l'équivalence entre H étoile BX et H étoile V module libre. Bien sûr, en se pose la question, on va réduire un peu. Donc la question, on va ajouter cette hypothèse. Mais cette hypothèse est naturellement vérifiée pour cv H étoile V. Vous remarquez que cv H étoile V, c'est un H étoile V module libre. Donc le fait que c'est libre est équivalent de deux choses suivantes. Premièrement, c'est que le complexe, c'est-il de moins en ? C'est-il d'étoiles nupées au pays supérieur ou avec à la moins en ? Et t'as signé. Deuxième point, c'est que si quelqu'un vient dans ce complexe topologie, sans instables, le W BX est un H étoile V module libre, je retrouve la condition d'instabilité. Donc le module, il est instable. Alors il peut être sur la démonstration qui n'est pas vraiment très facile. Donc le 1 implique le petit i. Alors pour montrer que le complexe asylglic, la preuve, elle se fait par écurrence sur la dimension bien le rang de V en utilisant des arguments de suites vécrales, les propriétés du fond de fixe que je vais rappeler juste après la preuve. Pas facilement que ce complexe est assis. Maintenant, dans 2 de z, comment je vois que les termes de ce complexe sont instables ? Et bien l'isomorphisme suivant, c'est que le PM de termes est isomar à la somme sur les WB de co-dimension, donc les sous-groupes de B de co-dimension B de H étoile V. Tenseur, décorier H étoile V sur WB, 2X sur H étoile. Et donc, priori aussi par écurrence sur le rang de V, le rang de V égal à 0, c'est filial. Maintenant, grâce à cet isomorphisme par hypothèse de récurrence, je sais que ce module est instable pour P inférieur ou égal à L moins 1. Peut-être qu'on ne voit pas... D'accord. Pour test de récurrence, le C P éthiopologique dans la catégorie de H étoile V sur WB, U, 2X, W est instable, inférieur ou égal à 1, L moins 1, là-dedans. Et ça, ça nous donne que toute cette somme de produit tansoriel reste instable, toujours coupée inférieur ou égal à L moins 1, il nous reste une émterne complexe aussi dessus et d'après le petit T. Donc je vois, excusez, on a dit c'est quelque quoi le metran. Donc c'est le quotient d'un module qui est instable par H étoile V, H étoile V, U morphismes. Donc celui-là, il reste aussi instable. Donc voilà. Encore bien que 1 implique 2. Maintenant, l'autre implication implique 1. Elle repose sur une méthode d'agève homologique pour montrer que le module H étoile BX est libre en tant que H étoile V étoile U et va, il suffit de manquer que le tort 1 de H étoile V dans H étoile V pendant que F2 et 2 H étoile BX est nul. Le tort 1 étant le premier compteur délivré du compteur F2-tenseur sur H étoile. Donc c'est pas difficile de manquer que ce tort 1 est nul. Donc c'est un argument d'agève homologique facilement. Voilà, maintenant on a fini avec la description du complexe topologique qui utilise l'action de V. Il y a juste une petite remarque. C'est que, une fois qu'on a montré que ce module est instable par exemple, je crois que la homologie équivariante de Fp2X modulo Fm-z de X, notamment si je prends P égale N, Fn2X modulo Fm-z, Fn2X modulo Fm-z, c'est la homologie de X modulo d'abartis aiguillet, et bien ce module, c'est une suspension PM-n pendant un module, bien sûr les spécialistes qui connaissent bien la jambe de skidrock. Donc là, si c'est une suspension, ça veut dire que les opérations de skidrock sont très bien. Voilà, maintenant une fois que j'ai mis en place ce complexe topologique, eh bien je vais, comme je viens de dire au début, donc je vais m'attaquer à construire le second complexe qui est le complexe AG. Et là, le complexe AGV va être basé sur les propriétés AGV, de la catégorie AGTOIL VU. Et pour cela, avant de pouvoir se donner ce complexe qui vient de définir ce complexe, j'ai besoin d'introduire tout d'abord les fancteurs fixes et le fancteur parti fini. Donc je vais juste rappeler brièvement les fancteurs fixes, ces fancteurs ont de très bonnes propriétés et qu'on a vraiment utilisé avant de ce travail, mais là, je vais juste rappeler la définition, donner peut-être quelques propriétés dont j'aurai besoin. Alors, le fancteur fixe a été introduit par Jannes vers les années 86, je crois, 86. Et donc, ce fancteur, il va de la catégorie AGTOIL VU, donc fixe VW. Si W est un sous-espace bien sous-groupe de V, de AGTOIL W dans AGTOIL V sur WU, donc qui satisfait la formule d'adjonction suivante. Dans la catégorie AGTOIL VU de M et du produit dans sa vieille AGTOIL V dans sa haine sur AGTOIL V sur W, et qu'ils ont mort. Et maintenant, je change AGTOIL V sur WU de remarquant, là, le fancteur fixe VW est exact. Un petit mot sur la version topologique puisque j'étais dans le cas du contexte topologique, c'est que le fixe VW de la cohomologie équivariante AGTOIL VX, c'est une cohomologie équivariante des points fixes X sur W puisque je change de catégorie. Je vais noter la jointe de l'identité, alors si je prends N égal fixe VW de N qui est un élément de H étoile V sur WU, je vais, grâce à cet isomore fixe, l'identité de fixe lui correspond à un élément donc une application de L dans AGTOIL V dans sa fixe VW M sur AGTOIL VW. C'est la jointe de l'identité de fixe VW. Maintenant, je vais appeler le fancteur, on partit fini comme s'en en l'a dit, c'est un fancteur de la catégorie, donc c'est un an d'eau fancteur de H étoile VU dans le même, qui a M, j'associe F2M, c'est le plus grand H étoile V sous grand H étoile V WU, fini de M. Teuf partit fini, c'est un fancteur conveignant et exact à gauche, délivré à droite. Je vais les noter par FIF, les fancteurs délivrés à droite, liés aux fancteurs délivrés de LIM, grâce au travaux de M, donc que je vais un peu expliciter l'étoile VU, donc je vais noter W étoile, la catégorie dans les objets, les sous-groupes d'antidieux de V, les morphismes, et je vais noter, si un 10M, le fancteur de W étoile dans H étoile VU, qui a un W, il associe, donc je vais associer maintenant, si M de W, c'est H étoile V tenseur, fixe, mire sur H étoile V sur W. Ça c'est le fancteur si M, et je vais noter, on va noter la notation de RÉ, on va noter W de M, l'application de M dans la limite, un D étoile sur la catégorie WU, de W étoile, de B étoile. Alors, RÉ a montré que, de cette flèche, le maillot de RÉ, de ce morphisme, c'est sur les d'autres que la partie finie, que je viens de définir. Le corps maillot de RÉ, le premier, la partie finie. Donc, on a cette fuite exacte. Ensuite, qu'est-ce que je peux dire pour les RI, les RI de F pour I supérieurement strictement à 1, il a montré que, qu'on a l'isomorphisme suivant, c'est que RI plus 1, F de M, est isomorphé au fancteur délibé de LÉ, strictement positif. Et cette isomorphisme nous donne en particulier que des délibés de la partie finie sont nus à partir du rang de V plus 1. Donc, pour I strictement supérieurement un rang de V, les fancteurs délibés sont nus. Voilà, maintenant, je suis en mesure de définir le complexe algébrique. Donc, pour cela, je n'ai commencé par définir une filtration de F de M, M étant un élément de H étoile V. Donc, je vais noter F0 de M, je vais définir F0 de M égale à M. Et là, je vais utiliser des propriétés algébriques. Donc, je vais utiliser ce fancteur fixe. Je vais poser FP de M, ou bien FK de M, c'est la même chose, l'intersection sur les W de co-dimensions strictement intérieure à F, du noyau, la flèche que j'ai définie, qui est la jointe de l'identité, donc de état W de M. Cette filtration, à l'aide de cette filtration, je vais définir le complexe algébrique. Je vais noter le gradué de co-scient FP de M par F plus 1 de M. Notez que F0 de M, c'est une filtration qui est décroissante. Donc, et l'intersection des W de co-dimensions strictement intérieure à 1, donc il n'y a que co-dimensions égale à 0, ça veut dire par ce cas là W égale à V. Et W égale à V, donc M, c'est le noyau de état VV. Mais état VV, c'est une application de M dans H étoile V, penseur fixe et fixe VV de M, et c'est ce qu'on note, fixe VM. Et donc état VV, je vais la noter, état V. Donc le F1 de M, c'est le noyau de état V de M dans H étoile V, penseur fixe VM, etc. Et cette filtration, elle s'arrête. Elle s'arrête P égale à L qui est le rang, et la théorie de signe algénie nous permet de voir que pour P égale à N, le FN de M, ce n'est autre que la partie finie de M F de M. Donc voilà pour cette filtration. Alors je reviens sur le gros P de M qui est ce qu'on s'en a. Et c'est finir maintenant le complexe algébrique que je vais noter Tp, algébrique V de M. C'est P, c'est pas K. Donc le HP au Y point est une évolution, évolution objective, type dans H étoile V. Donc voilà la définition du complexe algébrique, notez bien que cette définition est indépendante du soin de la résolution objective. P, c'est P. Et le théorème de classification des adjectifs nous permet de calculer le gros P de n'importe quel adjectif et ça nous permet aussi de manquer le résultat suivant. C'est que ce complexe de termes, le P M termes du complexe algébrique il est isomar à la somme aux dimensions de W égale P de la homologie de V en sort les compteurs délivrés de la partie finie de Vx V W de M sur H étoile V sur W. Donc voilà, on connaît la forme de ces motifs. Je vais augmenter mon complexe et donc en degré 0, je vais poser cette ligne moins 1 égale à M. En degré 1, cette ligne 0, d'après cette formule c'est la homologie de V en sort le R0 de F, c'est F de Vx VV. Donc on a noté c'est V de M. Voilà ça. Remarquant que je n'ai pas dit mais je travaille dans la sous-catégorie pleine de H étoile V U à savoir la catégorie H étoile V T F U dans les objets sort de type fini en tant que H étoile V U et si M il est de type fini en tant que H étoile V module le Fx V M c'est un module fini et donc la partie finie du Fx V M ce n'est d'autre que le Fx V M. Donc ça c'est H étoile V en sort Fx V M et la courbe quantisation elle est donnée par ici état d'indice V de M voilà, etc. d'après N les foncteurs dérivés s'annulent à partir du rang de V plus 1 dans le complexe et c'est un complexe fini donc il s'arrête à rang de V c'est dit N à gébrie V M dans ce complexe à gébrie on a un résultat le second résultat qui est le suivant comme je viens de dire c'est un H étoile V module de type fini en tant que H étoile V module alors M des H étoiles V libres directement si le module le complexe maintenant à gébrie je ne l'ai pas dit un mot sur les covores en fait les covores se définissent facilement finisant la suite de complexe Fp de S1 de I point dans Fp de I point et le quotient c'est le greu donc cette suite de complexe elle nous permet de définir un connectant avec une certaine flèche ça nous donne par contre position d'une certaine flèche de ce complexe projection de ce complexe et de cette suite de complexe ça nous donne la définition du covore donc la définition n'est pas difficile à voir les résultats il nous donne que toujours dans le cas M et pas en retrouve aussi que ce complexe énasique donc on a l'équivalence entre ces deux points là aussi 2 implique 1 c'est pratiquement la même preuve que le théorien 1 maintenant 1 implique 2 est plus subtile et ça utilise toujours les propriétés du phoncteur fixe avec une compréhété du phoncteur donc quelques calculs des phoncteurs démités de la partie finie avec un argument de suite spectrale ça nous permet de manquer que l'homologie de ce complexe est nulle et dans ce complexe est tacitie je ne m'attends pas trop sur la démonstration parce qu'elle est quand même assez décut voilà maintenant on a mis en place 2 complexes si la complexe topologie est un complexe algébrique ça veut dire que dans le cas où l'homologie est une variante ou M c'est la homologie plus variante de X et bien je peux définir le complexe algébrique h3x mais j'ai vu que comme c'est l'homologie plus variante l'action de V sur X me permet de définir un complexe algébrique topologie topologie donc la question naturelle qui se pose quelle est la relation entre ces deux complexes entre ces deux complexes dans qui se désigne un B c w complexe finie je posais que la homologie équivalent de X et H étoile V existe une équivalence complexe algébrique topologie et le complexe algébrique relative à la homologie équivalente donc voilà en fait on a obtenu deux complexes mais ces deux complexes sans équivalent j'attire votre attention qu'on a besoin de définir une flèche de complexes et de manquer cette flèche et une équivalence donc en chaque degré c'est anisomorphiste la construction de la flèche est difficile c'est l'un des points techniques de ce travail mais je vais quand même vous donner une petite idée sur cette flèche je vais j'ai besoin de quelque notation je vais noter ch. la catégorie dans les objets sans les complexes de pochette est-ce que vous pouvez préciser avec une question de Paris d'accord quel est le sens précis d'équivalence de complexes est-ce que vous allez expliquer ça oui je vais définir la flèche et je vais donner un isomorphiste isomorphiste équivalent à l'isomorphiste c'est isomorphiste c'est pas quasi isomorphiste en chaque degré c'est anisomorphiste c'est en chaque degré anisomorphiste et c'est ce que je vais monter merci donc les objets sans les complexes de pochette chaque sénit c'est un l'élément de la chutoile B et de U et les bords c'est de C y dans C y et les morphismes donc voilà je vais noter cette catégorie et je vais noter P V l'endoponcleur de cette catégorie définie par si je prends un C point de C point je vais noter D point et pas D point ça va être le décardant ça va être le HK du grecard de I point ou I point est une résolution donc est une H point B U résolution de M notez toujours que cette définition est indépendante de la résolution et si je regarde ça ça me fait penser au complexe AGP on va voir comment je vais juste terminer par une dernière notation je vais noter H point complexe concentré en 2 B zéro je suis perdu avec les HK de grecard I point je suis perdu le grecard de I point le F4 le F4 le F4 c'est comme tout à l'heure c'est exactement comme tout à l'heure j'ai dit que ça me rappelle c'est la définition du complexe AGP déjà tout à l'heure c'était pas si clair pour moi le grecard de I point parce qu'on avait filtré rappel moi comment on filtre c'est l'FPRP voisin oui en filtre on a une filtration décroissante il n'y a pas on l'assure elle mais pas sur sa résolution injective je suis sans doute idiot mais j'ai du mal à suivre c'est de grecard de grecard tu l'assures toi je m'y fais désolé ça va donc la filtration c'est j'en rappelle que c'est ça d'accord et donc j'ai défilé le complexe AGP d'accord on on fait ça on apporte sur tous les termes de grec par de grec par de grec donc on prend chaque termes de la résolution de grec par de grec et on fait ça excuse moi j'étais perdue je suis confus mais c'est oui il y a trop de notation en plus ça c'est vrai il n'en faut pas donc je reviens le H0 VX c'est la cohomologie et les variantes donc voilà j'ai trop de notation mais ça ça va me permettre de voir tout d'abord vérifier que qu'il est concentré en degré zéro sur les d'autres que le complexe AGP première vérification ensuite la cohommentation de ces titres de moins un topologie je rappelle ces titres de moins un topologie c'est la cohomologie et que les variantes de X et que le ces titres zéro topologie sur les d'autres que AGP dans la cohomologie des points VX par V cette cohommentation c'est le étabé de AGP VX qui est qui n'est autre que la la flèche induite en cohomologie par l'inclusion de X V dans X et bah cette flèche je peux la voir comme étant une flèche de complexe entre un complexe qui est concentré en degré zéro et le complexe que j'ai cette flèche par quant aux réalités je peux appliquer le PV au de complexe dit que ça c'est vraiment trop très très technique mais ça comme ce résultat que le PV de HF au point VX c'est le complexe algébrique vérifie Vincent Pein que le PV de ces points topologiques c'est exactement ces points topologiques et donc ça nous permet de définir une flèche que je note qui point V de X du complexe algébrique vers le complexe topologique donc voilà une fois cette flèche est mise en place pour démantrer que c'est une équivalence de complexe ça veut dire en chaque termes en chaque degré c'est un isoparthefice ça se fait par récumence sur dimension sur le rond de V je vais illustrer ça pour le cartes ou le rond de V égal à 1 je rappelle que dans ce cas-là dans le complexe topologique le complexe algébrique pendant relative à H étoile VX c'est H étoile VX dans H étoile V danseur H étoile X V ensuite le quotient c'est le R1F H étoile V danseur H étoile X V et là c'est le sigma-1 pour la comologie et libre H étoile VX est libre en tant que H étoile V module on a montré que les complexes sont acycliques donc j'ai dit de suite exact ici c'est le IV étoile ici c'est le étavé et là j'ai l'identité on vérifie que cette flèche qu'on a construite cette flèche de complexe c'est l'identité donc ici je vais avoir l'identité là j'ai la flèche FI1V et donc comme les deux suites sont exacts je vois que le FI1V est un isomorphisme et je démontre ça donc on termine la démonstration par conséquent sur le rang de V le fait que les deux complexes sont acycliques l'hypothèse de récurrence me donne que toutes les flèches sont isomates jusqu'à N-1 et ça va entre la flèche N et ça me donne donc l'équivalence de catégorie alors ce qu'on a fait c'est qu'on a construit ces deux complexes si j'ai de la cosmologie écuvariante et bien je peux utiliser soit le complexe algébrique soit le complexe topologique mais que faire avec tout ça je vous ai promis au début d'expliquer comment cette méthode ou bien comment ces deux complexes ou bien là des complexes me donnent une HFALBU résolution injective me donne une HFALBU résolution injective c'est trop dit parce que quand même on est encore à notre fin et si on arrive à trouver une résolution de chaque terre alors c'est ce que les gens appellent hyper résolution Lionel je crois le connait très bien parce qu'avec ces étudiants ils en définit les pseudo hyper résolution et le complexe top qui est formé donc d'injectif dans le cercal cas va être une résolution injective de l'objet qu'on cherche tout ça théoriquement c'est trop beau c'est complexe qu'on vient de définir sans vraiment difficile à calculer on est donc vraiment loin de répondre immédiatement à la question de débat par contre c'est qu'on a ramené le problème au cas du de certains modules finis donc justement si je suis là dans le cas ou dimension de V si je prends donc la comologie invariant ici c'est un module fini que je vais noter MV et donc tout le problème revient à chercher ces MV là donc pour dimension de V égal à 1 on arrive à voir que ce MV cf2 pour dimension de V égal à 2 je retrouve exactement l'exemple par lequel j'ai commencé maintenant pour grand de V super bien revient la troie le problème est toujours converse c'est MV en croix on croit on a montré quelques cas qui sont en relation avec les les styles verts là on attend Lionel pour nous expliquer un peu tout ça et donc il y a encore en cours je vous remercie pour votre attention donc on passe paris pour les questions est-ce qu'il y a des questions paris Pierre juste un détail pour au théorème 2 il y avait un premier temps sur V c'était sur H étoile de V sur W parce que c'était H étoile V temps sur V sur H étoile V ça n'avait pas de sens c'était H étoile V c'était H étoile V d'autres questions bon il n'y a pas d'autres questions paris merci beaucoup donc est-ce qu'il y a des questions paris il y a une question que la motivation était de chercher mais H étoile V une résolution injective dans quel but c'est une question qui intéresse généralement dans quel but mais de calculer de pouvoir calculer des compoteurs ex et compoteurs d'or c'est-à-dire des compoteurs ex particuliers de chercher c'est pas le premier moment mais c'est juste une question c'est une en fait la question aussi s'est posée à quel peut-être le travail de Lionel et Ray et Dame trouver une résolution injective dans la catégorie Q d'une puissance de H étoile V et donc on s'est posé la question est-ce que on peut trouver Alain à l'heure que dans la catégorie H étoile V je sais pas si genre si genre à notre motivation sur ça donc il peut il peut connaître ce que je vais pas faire c'est des commentaires quelque chose qui n'est pas du tout évident si on regarde la cohomologie de X modulo la partie singulière la partie singulière c'est formé c'est des points qui ont un stabilisateur montrélière donc grand X de la partie singulière c'est en fait les orbites libres et la cohomologie équivalente de X modulo la partie singulière c'est quelque chose de fini parce que comme l'action est libre c'est quelque chose de fini alors une conséquence de ce travail c'est que si la cohomologie équivalente de X est libre en fait cet objet là est purement algébrique en termes de la cohomologie c'est pas du tout évident ou logiquement que cette cohomologie de X modulo la partie singulière ne dépend un purement algébrique en termes de c'est même faux pour V égale 1 on peut voir que pour V égale 1 cette cohomologie de V modulo pour V égale 1 la partie singulière c'est la partie singulière c'est sale c'est pas purement functoriel par rapport à voilà donc on a déjà cette récompense d'abord que c'est une suspension une très grosse suspension qu'elle dépend algébriquement ensuite si on prend comme X l'espace de tombe quand on prend la cohomologie de l'espace de tombe il faut parler de la cohomologie réduite c'est en fait de la cohomologie d'une paire d'un fil en serre il y a une action du rublinaire de V opère cet objet le module dont on est paré c'est indice V fois la compagnie de V il y a une action du rublinaire de V là dessus et toute la résolution est munie de cette action c'est une suite exacte bien sûr dans la catégorie il y a aussi une action du rublinaire et on peut prendre des idées impotentes d'en pouvoir apparaître des repensants de standard pour la coupeur morceau et bon ces repensants de standard c'est c'est mon voisin tu le vois pas le voisin c'est Bob Oliver qui avait fait ça il y a bien longtemps voir que dans ces c'est pas du tout étonnant voir que dans le cas d'espèce le dernier terme tout à fait là bas de la résolution ce module finit il s'exprime en termes de représentation de Changbert donc il y a une algèbre des représentations de rublinaires il faut regarder l'activation du problème une autre commentaire je ne sais pas si je vais parer c'est que la filtration de la parlée est très très proche de la filtration c'est une invention du support mais on a H12V d'abord c'est grandué donc il faut reprendre des idéaux premiers au sens gradué mais il y a en plus la jette de synrode et quand il y a la jette de synrode les idéaux premiers qui sont stabs par la jette de science sont très peu nombreux on a une flèche de la comrologie de V vers la comrologie de W qui est juste la restriction pour W en synodule le noyau pour les parents d'indices W c'est un idéal premier puisque H12V est un peu et ce noyau ce noyau là ce sont tous les idéaux premiers qui sont stabs par Sylvain donc ça rejoint son FP c'est la filtration par la connaissance du support mais dans ce domaine là ils sont très particuliers parce qu'il y a le synrode en plus et quelle est la partie singulière que vous avez mentionnée ? la partie singulière c'est dans RX c'est les points qui ont un stabilisateur non trivial c'est le complémentaire de ce qu'on peut rappeler la partie libre les orbites libres et la notion de VW complexe avec de cellules il y a des représentations linéaires de la groupe considérée quand on prend des cas particuliers on prend comme espace X la paire formée par exemple du disque de la représentation régulière ou de la représentation régulière de la L8 modulo la serre c'est l'espace de Tom à ce moment là on obtient ce qu'elle va appeler CV H12V le CV est un invariant et en fait toute la résolution qu'on trouve elle est munie d'une action de groupe linéaire donc on peut prendre des morceaux on peut appliquer des idées importants et donc trouver des émissions d'essayer de comprendre ce genre de choses bon, merci merci donc merci pour votre question ici donc pas d'autres questions ici donc on remercie encore une fois à la prochaine