 Bonjour à toutes et à tous. Bienvenue pour cette séance du 9 novembre de Mathématiques Parcs. Aujourd'hui on a le grand plaisir d'accueillir Valentin Inféré de l'Université de Zurich qui a nous parlé de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire. Merci. Merci d'être venu pour m'écouter un samedi après-midi. Effectivement je vais vous parler de la plus longue sous-suite de croissante d'une permutation aléatoire. Mais avant de vous dire exactement le problème en termes mathématiques j'aimerais vous montrer un peu d'où ça vient avec un petit modèle assez simple. Donc ce qu'on va faire dans ce modèle assez simple c'est qu'on va prendre un jeu de cartes. Un jeu de cartes est un peu grand pour tenir sur un transparent comme ça donc moi j'ai pris que les carreaux de 1 à 10. Et voilà, vous l'avez prenu. Alors là je les ai dessinés trier. Maintenant on peut mélanger le jeu de cartes. Par exemple on obtient ça. Et la question qu'on va se poser aujourd'hui c'est comment remettre les cartes dans l'ordre en en bougeant le minimum possible ? D'accord ? Donc voilà, combien de cartes faut-il déplacer pour trier le jeu ? Question, c'est assez naturel de vouloir retrier le jeu donc c'est la question. Alors les cartes c'est joli mais c'est un peu grand et lourd à noter. Alors au lieu de prendre des cartes partir de maintenant je vais représenter les cartes juste par des numéros. Là j'ai mon jeu de cartes qui est dans l'ordre 7 à 3 à 9. Je l'encode par cette suite de nombres 7 à 1, 3, 9, 4, 5, 6, etc. D'accord ? Donc au lieu d'utiliser le jeu de cartes à partir de maintenant on va juste écrire des numéros comme ça. Ok. Donc maintenant je vais trier ça. Comment on va faire ça ? Alors, une façon et si vous vous retrouvez dans un jeu de cartes devant un jeu de cartes c'est ce que vous aurez envie de faire. C'est d'essayer de voir s'il y a déjà pas mal de cartes qui sont dans le bon ordre. Parce que comme ça on va pas avoir besoin de les bouger celles-là. Donc c'est ce qu'on fait. On essaye de trouver un maximum de cartes qui sont déjà dans le bon ordre. Donc là j'en ai repéré 6 qui sont dans le bon ordre. Je les ai mises en rouge. Voilà. Le 1, 3, 4, 6, 8 et 10. Si je veux les trier ils sont déjà dans le bon ordre. Je suis content. Donc je vais pas avoir besoin de les bouger. Je les repère. Et maintenant je me bouge chacune des autres cartes. Je la mets à sa place. Donc par exemple le 7 je le prends. Je le mets. Alors le 5 il n'est pas à sa place. Donc on pourrait le mettre avant ou après. En tout cas je le mets entre le 6 et 8. Voilà. C'est fait. Le 9 pareil. Je le bouge. Je le mets entre 8 et le 10. Chaque fois je mets en bleu ce que les rouges c'est ce qui était déjà dans le bon ordre qu'on ne bouge pas. En bleu c'est ce que j'ai déjà bougé. En noir c'est ce qui sont pas à leur place que je vais devoir bouger. Maintenant c'est le tour du 5. Je le mets entre le 4 et le 6. Voilà. Il reste le 2 je crois que je mets entre le 1 et le 3. Donc si je récapitule ce que j'ai fait là. Qu'est-ce que j'ai fait ? J'ai repéré que dans mon jeu de cartes il y en avait 6 qui étaient dans le bon ordre. Et du coup j'ai trouvé en repérant ces cartes une façon de le trier en bougeant 4 cartes. Exactement 10 moins 6. J'avais 10 cartes en tout. 6 dans le bon ordre. J'ai bougé les 4 autres. Voilà. J'ai résumé ici. J'ai remarqué qu'il y avait 6 cartes dans le bon ordre et j'ai dit du coup je peux trier mon jeu de cartes en 4 étapes. Ok ? Alors en fait dans l'autre sens c'est vrai aussi. Si on peut le trier en 4 étapes ça veut dire qu'il y avait 6 cartes dans le bon ordre. Là je l'ai dit avec 3. Si je pouvais faire mieux trier mon jeu de cartes en 3 étapes ça voudrait dire qu'il y a 7 cartes que je n'ai pas bougé. D'accord ? Si je le fais en 3 étapes il y en a 7 qu'on n'a pas bougé. Et ces 7 cartes qu'on n'a pas bougé comme elles sont dans le bon ordre à la fin elles étaient forcément dans le bon ordre au début. Donc si je pouvais trier un jeu de 10 cartes en 3 étapes ça veut dire qu'au début j'ai 7 cartes dans le bon ordre. Ok ? Donc si je récapitule un peu ce que j'ai essayé de vous expliquer là en faisant d'abord un sens en vous donnant un exemple de comment trier et dans l'autre avec le petit raisonnement qui est au-dessus ce qu'on vient de démontrer c'est que si je veux trier un jeu de cartes en faisant des déplacements de cartes le nombre minimum de déplacements nécessaires ça va être le nombre de cartes que j'ai noté N ici moins R ou R c'est le nombre maximum de cartes que je peux trouver dans le bon ordre. D'accord ? Donc on a montré quand on trouvait les cartes dans le bon ordre comment faire le tri en N-R étapes et puis je vous ai dit si je pouvais le faire en R moins une étape ça voulait dire que j'avais en fait en N-R plus une étape ça voulait dire qu'en fait j'avais R plus une carte dans le bon ordre et ça on a supposé que c'était pas. Donc voilà. Ça c'est première on s'est posé une question il y a une réponse assez simple c'est N moins le nombre de cartes déjà dans le bon ordre. Alors maintenant je vais j'ai essayé là pour commencer de le dire en termes très faciles avec des cartes on a essayé de reformuler ça en termes un petit peu mathématiques. Donc notre jeu de cartes en termes mathématiques on appelle ça une permutation on le code par une permutation donc vous avez ici la définition que vous avez écrite une permutation d'un entier N donc c'est une liste d'entiers entre un et N chaque entier entre un et N et chaque entier entre un et N apparaît exactement une fois. Donc quand vous avez vos cartes du 1 au 10 vous voulez mélanger vous écrivez dans quelle ordre vous voyez apparaître les cartes c'est ce que vous faites vous écrivez chaque entier exactement une fois mais pas dans l'ordre naturel 1, 2 jusqu'à N là je vous ai donné un autre exemple sur le moment slide voilà 2, 5, 7, 3, 1, 4, 8, 6 vous avez chaque entier qui a entre 1 et 8 qu'apparaît une fois mais ils ne sont pas dans l'ordre habitué donc c'est ça une permutation et c'est ça qui va représenter une façon de mélanger les cartes donc c'est ce qu'on a dit je mélanger c'est correspond à une permutation maintenant ce qui nous intéresse ce qui nous a intéressé c'est de dire voilà est-ce que je peux trouver tant 6 cartes qui étaient déjà dans le bon ordre dans ma permutation donc quand on prend certaines cartes c'est en termes mathématiques c'est prendre ce qu'on appelle une sous-suite de la permutation donc par exemple si je prends les cartes 2, 3, 4, 6 voilà ça c'est une sous-suite parce que je les prends dans l'ordre ou elles apparaissent dans ma permutation mais je prends pas toutes les choses donc c'est pour ça qu'on dit sous-suite et que les cartes sont dans le bon ordre c'est juste dire que la sous-suite est croissante d'accord donc si je récapitule ce qu'on a dit avant on a dit que le nombre minimal de déplacements nécessaires donc déplacements on pourrait aussi recoder ça en termes mathématiques mais je vais pas le faire là parce que c'est un petit peu lourd et ça va pas mettre utile le nombre de déplacements nécessaires pour trier une certaine permutation ou un jeu de cartes c'est la même chose c'est juste la taille de la permutation n moins la longueur de la plus longue sous-suite croissante d'accord avant plus longueur de la plus longue sous-suite croissante ça veut dire le maximum le nombre maximal de cartes qu'on peut trouver dans le bon ordre dans notre permutation ok donc ça d'un certain point de vue ça répond à la question qu'on s'était posé au début qui était combien de cartes je vais avoir combien de cartes je vais devoir bouger pour mélanger mon jeu je dis d'un certain point de vue parce que quelque part c'est pas très satisfaisant non plus la longueur de la plus longue sous-suite croissante on sait pas comment la trouver on sait pas à quoi elle ressemble donc voilà c'est un peu la question qu'on va se poser dans cette taxe posée c'est à quoi ça ressemble la longueur de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation prise au hasard donc on suppose que vous mélangez vraiment bien le jeu donc vous avez aucune idée de l'ordre dans laquelle sont les cartes que toutes les permutations possibles tous les ordres possibles ont la même chance d'apparaître donc je prends une permutation au hasard vraiment et est-ce que cette longueur d'une sous-suite croissante ça va être plutôt proche de n est-ce que je vais pouvoir toujours trouver presque toutes les cartes qui seront dans le bon ordre juste quelques-unes qui sont un peu mélangées on a l'impression que non si on mélange bien le jeu est-ce que au contraire ça reste petit c'est à dire est-ce que il y a un nombre par exemple 10 et que c'est rare d'avoir des suites croissantes plus grandes que 10 ou est-ce que c'est quelque part entre les deux d'accord donc c'est ça de se dire à quoi ça ressemble c'est vraiment quelle est l'ordre de grandeur est-ce que ça va être proche de n est-ce que ça va être proche de 1 est-ce que voilà et donc on va prendre une permutation au hasard et on va se poser cette question de à quoi ça ressemble pour la moyenne de la longueur de la plus grande sous-suite croissante mais on va aussi se poser il n'y a pas que la moyenne qui nous intéresse quand on regarde ce genre de questions en mathématiques parce que si vous dites la moyenne c'est un demi de n par exemple en moyenne j'ai une sous-suite croissante de longueur un demi de n c'est vraiment différent de dire que toutes les permutations une sous-suite croissante de taille à peu près un demi-de-haine ou de dire que la moitié des permutations ont que des sous-suites croissantes petites et les autres ont des sous-suites croissantes de taille haine. C'est deux choses vraiment différentes et dans les deux cas, vous aurez une moyenne qui est environ un demi-de-haine. Donc une autre question qu'on se pose dans ces cas-là, c'est vraiment est-ce que rp, ce que j'ai appelé la longueur de la plus grande sous-suite croissante, est-ce que c'est proche de sa moyenne ou pas ? La moyenne, ça ne suffit pas, ça ne donne pas toute l'information, c'est ça que je veux dire. Alors juste avant de vous dire un peu quel genre de résultat on va pouvoir démontrer et tout ça, je vais juste faire vraiment une parenthèse qui est que ce modèle-là de mélanger les cartes et bouger les cartes, ce n'est pas un modèle qui est très réaliste. En tout cas, si on s'intéresse à comment les ordinateurs tri des données. Il y a d'autres modèles qui sont beaucoup plus adaptés. Et pour les modèles adaptés aux ordinateurs, se demander combien d'opérations on va avoir de besoin pour trier une suite de nombre, c'est quelque chose qui est vraiment très important en informatique. Parce qu'en informatique, vous trier tout le temps des suites de nombre et il faut choisir une façon intelligente de le faire pour que ça ne vous demande pas trop d'opération. Alors là, moi, je n'ai pas choisi un modèle de tri adapté aux ordinateurs parce que j'ai choisi un modèle de tri qui est intéressant mathématiquement. Cette question-là, qui est assez facile à formuler, de se dire quelle est la plus grande sous-suite croissante, la longueur de la plus grande sous-suite croissante d'une permutation aléatoire, c'est une question qui est vraiment extrêmement riche mathématiquement. On peut montrer beaucoup de résultats dessus et avec des outils très différents. Et il y en a dont, voilà, à des gens qui commencent l'université ou ils ne préparent, je ne pourrai pas expliquer certains résultats en une heure et demi, ce serait beaucoup trop compliqué. Par contre, il y a aussi des résultats que je peux expliquer, donc c'est ça qui est intéressant. Et j'ai choisi de vous expliquer trois résultats aujourd'hui que j'affiche là. Donc le premier qu'on va voir, c'est qu'en fait, donc là, on va juste s'intéresser à la moyenne. La moyenne de RP, donc RP je vous rappelle, c'est la longueur de ma plus grande sous-suite croissante, c'est supérieur à racine de N. Donc on trouve quand même des suites croissantes assez grandes de la taille de racine de N, peut-être des plus grandes d'après ce résultat-là, on ne sait pas. Le deuxième résultat nous dit qu'en gros, un petit facteur 3, on n'en trouve jamais de plus grande que racine de N. Donc on n'en trouve jamais ou très rarement, j'ai mis avec très forte probabilité, on trouve rarement de choses plus grandes que trois racines de N. Et le dernier résultat dont je vais vous parler, pardon, le dernier résultat dont je vais vous parler, c'est ce dernier truc. Il existe un nombre C tel que avec forte probabilité, cette longueur, c'est en gros, c'est racine de N. Alors ce que j'aime bien dans ce résultat aussi, c'est que avec la preuve que je vais un peu vous expliquer, on n'a aucune idée de ce qu'est-ce que. On peut juste montrer qu'il en existe un. Et en fait, c'est quelque chose de très très courant en combinatoire probabilité. Donc là ce que je vous raconte, c'est un peu un cheval entre les deux domaines. On sait qu'il existe ce genre de nombre, mais on ne sait pas du tout les calculer. Là en l'occurrence, on sait le calculer, mais pas avec la méthode que je vais vous expliquer. Et ces trois résultats autour des sous-suites croissantes, c'est en fait un petit peu un prétexte aussi pour vous montrer quelques méthodes qui sont déjà, je pense, assez jolies. Et deuxièmement, qui sont vraiment des méthodes sur des modèles plus compliqués, mais c'est des méthodes qui servent encore en recherche actuellement. Donc voilà, ces questions-là, ce n'est pas des choses qui sont des sujets de recherche encore. Voilà, ce n'est pas quelque chose qui a été montré là semaine dernière, mais vraiment ça vous donne un peu des idées du genre d'idées, du genre de choses que peuvent manipuler des chercheurs en probabilité discrète ou en combinatoire, qui est un peu le domaine dans lequel ça s'inscrit. Ok, donc le plan de l'exposé, ça va vraiment suivre ces trois résultats. Est-ce qu'il y a des questions jusque-là ou... Bon, mais on attaque. Alors, la première chose. Donc avant de commencer à montrer cette inégalité là que la moyenne de RP, c'est supérieur à racine de n, une première petite remarque pour se mettre un peu en gendre, c'est de voir qu'en fait, cette longueur de la plus longue sous-suite croissante, elle peut prendre toutes les valeurs, toutes les valeurs entre 1 et n. On va pas pouvoir avoir de résultats, c'est toujours plus petit que n sur 2 ou des choses comme ça. Et voilà quelques exemples. Donc il y a une seule permutation qui a une longueur de une... qui a que des sous-suites croissantes de longueur 1, c'est la permutation décroissante. Donc votre jeu de cartes, vous l'avez entièrement, vous n'avez pas du tout mélangé aléatoirement, vous avez juste inversé l'ordre. Et à ce moment-là, si vous avez juste inversé l'ordre pour retrier votre jeu de cartes, il faut bouger toutes les cartes sophunes. Vous n'avez pas de choix. Il va vraiment falloir tout rebouger. Donc cette permutation-là, plus formellement n, n-1, n-2, etc., ça, c'est une permutation qui a... Voilà, si vous voulez prendre une sous-suites croissante, si je prends lui, il n'y a rien de plus grand à droite. Donc je ne peux rien prendre d'autre. Il n'y a rien de plus petit à gauche. Je ne peux rien prendre d'autre. Il n'y a que des sous-suites croissantes de longueur 1. Ok ? Alors il y a pas mal de permutations qui ont des sous-suites croissantes de longueur 2 et pas plus grandes. Donc une par exemple qui est très facile à faire, c'est... Mais non, je les rassemble 2 par 2. Je les laisse trier dans chaque bloc. Donc je mets n-1 avec n, n-3 avec n-2, etc. Et par contre, les blocs, je les mets en ordre des croissants. Donc là, il faut peut-être réfléchir un tout petit peu, mais c'est impossible de faire une suite croissante de longueur plus grande que 2 là-dedans. Par contre, des suites croissantes de longueur 2, vous en avez plein. Vous avez n-1, n. Vous avez n-3, n-2, vous avez 3, 4, vous avez 1, 2, etc. Ok ? A l'inverse, si on va vraiment de l'autre côté, les choses qui ont des grandes sous-suites croissantes, c'est des choses où le jeu de cartes est quasiment trié. Donc là, par exemple, j'ai vraiment... Si je veux une sous-suites croissante de longueur n, ça veut dire que mon jeu de cartes, il est trié, que ma permutation que je prends, c'est 1, 2, 3, etc. jusqu'à n. D'accord ? Et entre les deux, si vous me donnez n'importe quel nombre, je peux vous trouver une permutation dont la plus grande sous-suites croissante a cette longueur. Et c'est même assez facile. Donc voilà. Vraiment, les résultats qu'on va pouvoir avoir, c'est des résultats sur l'espérance, c'est des résultats avec fortes probabilités quand le nombre de cartes va être grand, mais ce n'est pas des résultats généraux qui disent qu'il n'y a pas de sous-suites croissantes plus grandes que 1 sur 2, par exemple. Alors ces exemples aussi me permettent de faire une petite remarque, qui est quand on regarde les exemples, les premiers surtout, donc où on a dit qu'on ne voulait pas de longues sous-suites croissantes, de longues sous-suites croissantes, on remarque qu'à chaque fois, on est obligé de créer des longues sous-suites décroissantes. Donc ici, vous avez toute la permutation décroissante, donc vous avez sous-suites décroissantes, cette fois-ci de longueur n. Ok. Le deuxième, si vous prenez un nombre sur 2, vous avez une sous-suites décroissante de longueur n sur 2, etc. On a l'impression qu'il y a un espèce d'équilibre. Si vous empêchez des sous-suites croissantes d'avoir des sous-suites croissantes assez longues, vous forcez qu'il y ait des sous-suites décroissantes assez longues. Ok. Et c'est ça le premier résultat qu'on va montrer, qu'il y a un théorème dû à R2 chez Kress, vous voyez, c'est moins d'un siècle, qui dit que si vous prenez une permutation, vraiment n'importe laquelle, c'est vrai pour toutes les permutations, c'est pas quelque chose de probabiliste. D'accord ? Alors, que vous regardez la longueur de sa plus grande sous-suites croissantes, donc on note ça à RP, comme je l'ai fait jusque-là, et je note aussi SP, cette fois-ci, la longueur de la plus grande sous-suites décroissantes. Et si vous multipliez ces deux nombres, vous obtenez toujours au moins n, la taille de la permutation. D'accord ? Donc ça confirme tout à l'heure quand on avait, qu'on demandait que RP soit égal à 1, on avait SP qui était égal à n, quand on demandait que RP soit égal à 2, on avait SP qui était au moins n sur 2, etc. C'est exactement ce qu'on trouve là, quand vous n'avez pas de sous-suites croissantes, vous avez forcément des grandes sous-suites décroissantes. Ok. Alors, je vais vous montrer ça dans quelques slides. Ce n'est pas un résultat très difficile, on va pouvoir faire toute la preuve ensemble. Juste avant de vous faire cette preuve, vous aurez le droit de râler, vous aurez le droit de dire, ok, c'est très joli ton résultat, mais tu nous avais parlé, on étudiait juste la longueur de la sous-suites croissantes. Pourquoi ce résultat qui fait à la fois intervenir sous-suites croissantes et sous-suites décroissantes, pourquoi est-ce qui nous intéresse ? Alors ce que je vais vous montrer, c'est qu'à partir de ce résultat, on peut en déduire quelque chose vraiment sur les sous-suites croissantes. Et après, on reviendra à la preuve de ce résultat. Ok. Alors, voilà. Donc ce que je vais vous montrer, c'est que le théorème du slide précédent, il implique en fait que la moyenne de la longueur de la sous-suites, la plus longue sous-suites croissantes et supérieure à racines de ailes, qui est le premier résultat qu'on voulait démontrer. Donc pour montrer ça, il faut se souvenir d'une inégalité que vous avez sûrement déjà vue. Sinon, elle n'est pas très difficile de toute façon. C'est que si vous prenez deux nombres, a et b, la moyenne de a et b, a plus b sur 2, c'est supérieur à un autre genre de moyenne, qu'on appelle souvent moyenne géométrique, qui est racine de a fois b. D'accord ? Et ça, c'est très facile comme résultat. Il suffit de regarder ce nombre-là, un demi de racine de a moins de racine de b au carré. Vous le développez avec les identitaires marquables, vous obtenez ça. Mais comme c'est un carré, vous savez que c'est supérieur à zéro et vous obtenez exactement ce que j'ai prétendu au-dessus. Je pense que c'est quelque chose que vous avez peut-être déjà vu, donc je n'insiste pas. Alors, on peut appliquer cette chose-là à notre rp et notre sp, longueur de la plus grande sous-suites croissantes qu'on garde la plus grande sous-suites des croissants. Si je regarde rp plus sp sur 2, d'après mon petit truc précédent, c'est supérieur à racine de rp fois sp. Et là, je vous ai dit, on suppose qu'on a démontré le théorème d'R2, c'est chez Kress, qui dit exactement que ce produit rp fois sp, il est toujours plus grand que n. D'accord ? Donc, pour toute permutation, ce truc-là, c'est plus grand que racine de n. Voilà. Ok ? Alors, maintenant, ça, c'est vrai pour toute permutation. Moi, je m'intéressais plutôt au moyenne. Bon, si c'est vrai pour toute permutation, la moyenne, elle est aussi plus grande que racine de n. Ça, donc au passage, les moyennes seront toujours notées par ce symbole E parce qu'en probabilité, on dit plutôt espérance que moyenne. Mais c'est exactement ça. On fait la moyenne sur toutes les permutations. Donc, je sais que la moyenne de cette quantité-là, rp plus sp sur n, c'est plus grand qu racine de n. Et la moyenne de rp plus sp sur n, c'est juste la moyenne de rp plus la moyenne de sp, le tout divisé par n. Alors, maintenant, on en est là. Qu'est-ce qu'on peut faire maintenant avec ça ? Il y a une remarque intelligente ici, qui est qu'en fait, la moyenne de rp et la moyenne de sp, c'est la même chose. Alors pourquoi c'est la même chose ? Parce que si je prends une permutation p, donc là, j'ai pris un exemple très petit, par exemple 2, 3, 1, 5, 4, je peux regarder ce qu'on appelle la permutation miroir. Donc en termes de jeu de cartes, c'est vraiment juste, vous retournez votre jeu de cartes et changez complètement l'ordre des cartes. Et la permutation miroir, c'est juste, je lis ma permutation de droite à gauche. D'accord ? Donc là, je la lis, j'ai 4, 5, 1, 3, 2, qui est la permutation. Et cette transformation qui associe à une permutation, son miroir, elle transforme les choses croissantes en choses décroissantes. C'est clair. Voilà, par exemple, 2, 3, 5, qui les transformait en 5, 3, 2. Et du coup, la longueur de la plus grande sous-suite décroissante de la permutation miroir, c'est égal à la longueur de la plus grande sous-suite croissante de la permutation. Ok ? Mais voilà, quand vous faites la somme sur, la moyenne sur toutes les permutations ou la moyenne sur toutes les miroirs, c'est la même chose. Donc ça, cette égalité-là, S de P bar égale RP, ça vous montre que la moyenne de RP est égale à la moyenne de SP. Ok ? Vous en mettez ça dans ce que vous avez au-dessus. Et là, la conclusion, c'est que la moyenne de la plus grande sous-suite croissante, c'est moins racine de L. Donc, voilà, pour vous dire comment ce résultat qui fait intervenir sous-suite croissante et sous-suite décroissante est liée à notre problème qui concernait au début juste les sous-suites croissantes. Donc maintenant, on va montrer ce théorème d'air-dos chez Kress. Et pour ça, on va utiliser quelque chose, un principe très simple qu'on appelle le principe des tiroirs. Au principe des tiroirs, je pense qu'il y en a déjà qui ont eu, déjà parmi vous qui ont eu ça. C'est cette chose toute simple. Personne va me dire que c'est faux. Si vous avez 11 chaussettes que vous avez 10 tiroirs, vous voulez ranger, il n'y a rien à faire. A la fin, vous aurez quelque soit la manière dont vous y prenez, vous aurez toujours un tiroir avec deux chaussettes. Ok. Il n'y a rien de surprenant à ça. Ce qui est surprenant, c'est qu'on peut utiliser ça pour montrer des résultats mathématiques assez profonds. Alors quand même, je vais être un tout petit peu plus général quand on fait des mathématiques ici. Au lieu de dire si on range 11 chaussettes dans 10 tiroirs, je dis si on range K plus une chaussette dans 4 tiroirs, vous m'accorderez toujours qu'il y a un tiroir qui contient deux chaussettes. Allez, on complique encore un peu. Si on range cette fois-ci K x L plus une chaussette dans 4 tiroirs, ben la même chose, si on y réfléchit un peu, il y a toujours un tiroir qui contient L plus une chaussette. Si tous mes tiroirs, ils avaient au plus celle chaussette, on toujours aurait K x L chaussette au plus. Ok. Voilà. Donc le principe des tiroirs, c'est ça. C'est vraiment rien de plus compliqué et c'est quelque chose qui sert beaucoup en combinateur. Et on va voir un exemple d'application. Alors avant de vous donner un exemple d'application sur le théorème d'air dust checkeress, je vous parlais tout à l'heure, je vais vous donner un exemple dans un autre domaine. Donc comme je vous ai dit, cette histoire de sous-suite croissante, c'est un peu un prétexte pour vous montrer des méthodes et des choses assez jolies et efficaces qui servent en recherche. Donc à chaque fois, dans chacune des trois parties, j'ai identifié un principe, comme le principe des tiroirs qui sert. Et puis à chaque fois, j'ai préparé un autre exemple que sur les sous-suites aléatoires. Donc là, l'autre exemple, c'est un exemple plutôt en analyse. Vous prenez un nombre L et vous voulez trouver un rationnel qui est proche de ce nombre L. Ok ? Donc proche, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que x moins p sur Q. Donc je sais en général, je peux trouver un rationnel comme ça tel que x moins p sur Q soit inférieur à 1 sur Q. Voilà, le plus proche rationnel de la forme quelque chose sur Q de x, il est toujours à une distance au plus 1 sur Q de x. Et là, je peux améliorer ça d'un n'importe quel facteur. Donc si je me fixe un entier N, je peux toujours trouver un rationnel de la forme p sur Q avec Q inférieur à N tel que x moins p sur Q soit inférieur à 1 sur N pour Q. Donc quelque chose rationnel proche de x, beaucoup plus proche que ce qu'on pourrait espérer est très naïvement. Alors comment on va faire ça ? On va faire ça par le principe des tiroirs. Je vais regarder les nombres parties fractionnaires de 0, donc ça c'est 0, parties fractionnaires de x, parties fractionnaires de 2x, etc. Donc ce que j'appelle parties fractionnaires, c'est juste vous écrivez votre nombre, son développement décimal et vous oubliez ce qu'il y a avant la virgule. Vous oubliez la partie entière. Donc voilà, par exemple 2,573 à partir en rationnel, c'est 0,573. Donc vous prenez tous ces nombres-là et vous prenez leurs parties fractionnaires. Donc par définition, c'est des choses entre 0 et 1. Et moi, je vais mettre les nombres dans des tiroirs. Donc j'ai N plus un nombre. Si je veux que mon principe des tiroirs dise quelque chose, il faut que je me fasse N tiroirs. Et mes N tiroirs, ça va être l'intervalle 0, 1 sur N, l'intervalle 1 sur N, 2 sur N, etc. D'accord ? Donc si je prends tous ces tiroirs ensemble, ça me fait l'intervalle 0,1. Les parties fractionnaires, ils sont entre 0,1. Donc chacun de ces nombres-là y rentre dans un tiroir. Ok ? J'avais N plus un nombre, N tiroirs. J'ai forcément 2 nombres dans le même tiroir. Ok ? Donc les nombres y, parties rationnaires de y faut x, parties rationnaires de j faut x, je ne sais pas du tout ce que c'est y et j. Je sais juste que j'ai un y et un j différent tel que les deux soient dans le même tiroir. Ok ? Donc dans le même tiroir, ça veut dire le même intervalle 1, N, 2, voilà, soit dans cet intervalle-là, soit dans cet intervalle-là. En particulier, quand 2 nombres sont dans le même tiroir, leur différence, c'est au plus insuré. Parce que le métiroir, c'est des intervalles de taille 1 sur N. D'accord ? Donc je sais qu'il existe y et j. J'ai aucune idée de ce que c'est ce y et ce j, mais il en existe deux différents, tel que j'ai cette inégalité. D'accord ? En maintenant, c'est un peu de travail. Ça, ça veut dire que si je regarde yx moins yx, j'ai un certain entier tel que quand j'enlève cet entier, c'est inférieur à 1 sur racine de N. Ça, c'est juste à partir de la définition de la partie fractionnaire qu'on ira réfléchir un tout petit peu, mais il n'y a rien de difficile. Croyez-moi, ça marche. Et donc une fois qu'on a ça, si je choisis de Q égale y, égale y moins j, et que je réécris ça, donc ça, c'est Q x, cette parenthèse-là. Donc j'ai Q x moins p qui est inférieur ou égale à 1 sur N. Et si je divise tout ça par Q, ça me fait x moins p sur Q qui est inférieur à 1 sur N x Q. Donc c'est ce qu'on voulait au début. Voyez, vraiment, la partie un peu maline, c'était de trouver les nombres à considérer et trouver les tiroirs. Après, dans cet écran-là, c'est juste à réfléchir un peu à ce que veut dire une partie fractionnaire et divisé par par Q. Il n'y a rien de difficile. OK, donc ça, c'est pour vous montrer comment le principe des tiroirs, ça peut être utilisé dans des domaines assez variés. Là, c'est plutôt une question d'analyse, finalement. Je prends un nombre, est-ce qu'il peut être bien approximé par un rationnel ? C'est une question d'analyse. Alors, on revient là-dessus et maintenant, je vais vous montrer ce théorème-là avec le principe des tiroirs. Donc je vous redis le théorème, on prend une permutation, la taille de la plus longue sous-suite croissante que je note rp fois la taille de la plus longue sous-suite décroissante que je note sp, le produit rp fois rsp est toujours plus grand qu'elle. OK, alors, en fait, dans ces choses-là avec le principe des tiroirs, le principe des tiroirs, c'est quelque chose de très simple. Ce qui est toujours très compliqué, c'est de trouver qu'est-ce qu'il faut mettre et quelles sont les tiroirs, en fait. Quelles sont les objets qu'on met dans les tiroirs et quelles sont les tiroirs. Et donc là, il faut... Voilà, je ne peux pas vous dire exactement d'où vient cette idée. Et la bonne idée, c'est la suivante. C'est quand de regarder dans notre permutation, on regarde pour chaque nombre de la permutation la longueur de la plus longue sous-suite croissante qui commence en ce nombre. Donc là, je suis à 5, je cherche une sous-suite croissante comme tout à l'heure, mais je veux qu'elle commence en 5. 5, je suis obligé de le prendre et après, je cherche à trouver quelque chose le plus long possible. Donc si je prends 5, par exemple, après je peux prendre 6 et 8. Ça me fait une sous-suite croissante de longueur 3. D'accord ? Faudrait un peu regarder tout. Je peux prendre 9 et 10. Ça m'en fait une autre de longueur 3. Mais par contre, je ne peux pas en trouver de longueur 4 en démarrant en 5. D'accord ? Maintenant, si je démarre à 9, je peux prendre 9 et 10. Donc je suis obligé de prendre le 9, c'est la règle du jeu. Donc 9 et 10, ça me fait une sous-suite croissante de longueur 2. Ok ? Et je ne peux pas faire plus grand, évidemment, parce qu'il n'y a pas beaucoup de noms plus grands que 9, etc. Je remplis comme ça. Si je commence en 2, là je peux trouver 2, 4, 6, 8 qui est une sous-suite croissante de longueur 4. Voilà. Donc je remplis mon tableau en dessous de chacun des entiers de ma permutation. J'écris la longueur de la plus grande sous-suite croissante qui démarre à ce temps-là. Donc j'ai des nombres. Et ces nombres, ils sont tous au moins 1 parce que je peux toujours prendre l'entier tout seul comme sous-suite croissante. Donc ça me fait une sous-suite croissante de longueur 1. Ils ne sont pas plus grands que RP. RP, je l'ai définie comme la longueur de la plus longue sous-suite croissante. Donc je ne vais pas avoir quelque part une sous-suite croissante de longueur RP plus 1. Voilà. Donc tous mes nombres, ils sont entre 1 et RP. Donc maintenant je peux utiliser le principe des tiroirs. Mes tiroirs, c'est les trucs entre 1 et RP. Là, j'ai n-nombre. Je les mets dans ces RP-tiroirs, d'accord. Et ce que me dit le principe des tiroirs, c'est que j'ai une valeur, un nombre qui est répété au moins la valeur entière supérieure de n sur RP. Donc la valeur entière supérieure, c'est ce que j'ai noté par symbole là, c'est juste l'entier qui est juste au-dessus de X. Donc ici, par exemple, j'avais RP égal 4. J'avais n égal 10. C'était une permutation de 10. Donc n sur RP, c'est deux et demi, d'accord. Donc ce que je sais, c'est que j'ai une valeur qui est répétée au moins trois fois. Parce que j'ai aimé dix nombres là que je mets dans quatre tiroirs. Donc là, je vous l'ai mis en bleu. On voit bien le bleu. Donc je vous l'ai mis en bleu, cette valeur 2 qui est répétée au moins trois fois. Alors j'aurais pu aussi mettre les trois en bleu. Il y en a deux qui sont répétées au moins trois fois. Ça, ça arrive. Mais la seule chose que me dit le principe des tiroirs, c'est qu'il y a une valeur qui est répétée au moins trois fois. Peut-être plus, peut-être plus de valeur. Mais ça, j'en sais rien. Alors pourquoi ça, ça nous intéresse ? Parce que si vous regardez les deux là que j'ai mis en bleu qui sont répétées trois fois, on regarde les nombres qui sont au-dessus que j'ai mis là en rouge. C'est 9, 7, 6. Et ils sont en ordre décroissant. D'accord ? C'est une sous-suite décroissante. Alors est-ce que ça, c'est un hasard ? Si on y réfléchit, non, c'est pas un hasard. Pourquoi c'est pas un hasard ? Parce que ici, j'ai un 2 sous le 7. Donc je sais que j'ai une sous-suite croissante de longueur 2 qui commence au 7. C'est 7, 8. D'accord ? Imaginez maintenant que ce nombre-là, on sait pas ce que c'est, voilà, je le cache. Imaginez que ce nombre-là, il soit plus petit que le 7. Ok ? Par exemple, je dis n'importe quoi, c'est 5. Ah bah non, je le cache plus. C'est 5. Bah ça me ferait une sous-suite croissante qui commence ici de longueur 3. Parce que j'aurai 5, 7, 8 comme sous-suite croissante. Alors, voilà, j'ai pris des choses où j'avais aussi une sous-suite croissante de longueur 2. J'ai choisi des choses qui correspondent à une valeur répétée. Donc ces nombres-là en rouge, ils forment toujours une sous-suite décroissante. Et donc ce que j'ai montré, c'est qu'il existe une sous-suite décroissante de taille, cette valeur entière supérieure, là, de n sur rp. Donc j'ai montré que la longueur de la plus grande sous-suite décroissante, comme j'en ai trouvé une de taille n sur rp, la longueur de la plus grande, c'est forcément plus que n sur rp. D'accord ? Enfin, que valeur entière supérieure de n sur rp qui, par définition, comme c'est l'entier, est juste plus grand que n sur rp, c'est plus grand que n sur rp. D'accord ? Donc je viens de montrer ce que je voulais, que sp est plus grand que n sur rp ou que sp faut rp est plus grand que n. Ok. Donc si je récapitule tout, j'ai montré cette théorème que rp faut sp est plus grand que n et je vous avais montré avant que c'est impliqué que la moyenne de rp, la longueur de la plus grande sous-suite croissante et supérieure à racine de n. Donc on a montré, avec ce principe des tiroirs qui est, quand on le voit la première fois, 11 chaussettes, 10 tiroirs, il y a deux tiroirs dans une chaussette, on se dit on va pas faire grand, deux chaussettes dans un tiroir, on se dit on va pas faire grand chose avec ça, on fait quand même des choses qui sont pas évidentes à prier. Il y a un autre type de résultat qui est plus un résultat sur la moyenne, c'est de dire que quand vous, ce résultat-là, c'est un résultat qui est vrai presque tout le temps. Quand vous mélangez vraiment bien votre jeu, que toutes les permutations ont la même chance d'apparaître, vous avez très peu de chance de trouver une sous-suite croissante de longueur plus grande que 3 racines de n. Donc voilà, je vais vous raconter ça maintenant et ça va utiliser quelque chose qu'on appelle méthode du premier moment. Alors la méthode du premier moment, c'est un peu moins rigolo à énoncer que le principe des tiroirs, mais ce n'est pas plus compliqué. La méthode du premier moment, elle dit ça, vous prenez une variable aléatoire, donc c'est juste un nombre aléatoire qui est un valeur entière positive. Donc elle peut prendre des fois c'est 0, des fois c'est 1, des fois c'est 2 et puis au hasard, c'est pas forcément aussi souvent 0 que 1, que 2, etc. On ne sait pas, mais en tout cas, ça ne prend pas toujours la même valeur et ces valeurs, c'est 0, 1, 2, c'est des entiers positifs. Alors ce que dit le principe, pardon, c'est que si je regarde la probabilité que ce soit différentes zéro, c'est plus petit que la moyenne de x. E de x, c'est la moyenne de x. D'accord ? Alors pourquoi ça c'est vrai ? En fait, c'est très facile. La probabilité que ce soit différentes zéro, comme j'ai supposé que ma variable aléatoire elle prenait que les valeurs 0, 1, 2, etc. C'est la probabilité que ça vaille 1, plus la probabilité que ça vaille 2, plus la probabilité que ça vaille 3, etc. Bon, peut-être que le fait qu'ici ce soit une somme infinie, ça vous gêne un peu, mais il n'y a pas de quoi. C'est pas très grave, on fait avec. Et c'est ça. La probabilité que ce soit différentes zéro, c'est la probabilité que ce soit égal à 1, plus la probabilité que ce soit égal à 2, plus la probabilité que ce soit égal à 3. Maintenant, l'espérance. L'espérance, c'est quoi ? La moyenne, c'est 0 fois la probabilité que ce soit égal à 0, plus 1 fois la probabilité que ce soit égal à 1, etc. Alors, le 0, il disparaît. Donc il me reste 1 fois la probabilité que ce soit égal à 1, fois la probabilité que ce soit égal à 3, etc. Encore une fois, c'est une somme infinie, mais encore une fois, on va passer en mété ici avec ce genre de détail. Et ce que vous voyez, c'est que va payer que la probabilité que ce soit égal à 2, c'est inférieur à deux fois la probabilité que ce soit égal à 2. Vaut mieux que je monte comme ça sur mon écran, vous verrez mieux. La probabilité que ce soit égal, que x soit égal à 3, c'est inférieur à trois fois la probabilité que x soit égal à 3. On va multiplier par quelque chose de plus grand que 1 ou vous agrandissez le truc. Les probabilités sont positives, etc. Donc, dans la somme en bas, tous les termes sont plus grands que le terme correspondant dans la somme en haut, donc vous avez cette inégalité. Juste une comparaison terme à terme, et on somme. Maintenant, on commence à s'utiliser. Encore une fois, je vous donne un exemple qui est différent de l'histoire des sous-suites croissantes. Là, je vais vous donner un exemple, pas avec du formalisme mathématique, vraiment en essayant de vous donner une intuition de comment ça peut s'utiliser. Donc, imaginez par exemple que vous avez quelqu'un. En informatique, les gens s'appellent toujours Alice et Bob parce que ça fait A et B. Donc là, j'ai pris Alice. Donc Alice joue 10 gris de 6 numéros au loto. On va dire qu'une grille est gagnante, on va simplifier un petit peu quand il y a trois bons numéros. Donc, la probabilité qu'une grille soit gagnante, alors j'ai mis un chiffre un peu au hasard, mais c'est assez petit, c'est quelque chose du genre insurmis. Alors, ce que je prétends, c'est que la probabilité qu'Alice ait au moins une grille gagnante, c'est toujours inférieur à 1 sur 100. Donc, en cours de probabilité, je ne sais pas si vous en avez déjà fait, mais on vous a sûrement dit, si vous tirez à pile ou face, vous avez une chance sur deux de faire pile. Si vous tirez deux fois à pile ou face, il ne faut pas dire que vous avez une chance sur deux plus une chance sur deux de faire pile un des deux coups. C'est quelque chose que vous avez fait. On ne peut pas dire qu'on a eu une chance sur un de faire pile un des deux coups, ça arrive de faire deux fois face. C'est un peu ce que je suis en train de faire quelque part, je suis en train de vous dire qu'elle joue dix grilles, elle a eu une chance sur mille à chaque fois, mais c'est inférieur. À la fin, je sais qu'elle n'a pas plus d'une chance sur 100 d'avoir au moins une grille gagnante. Si je faisais l'addition bêtement, je dirais qu'elle a une chance sur 100 d'avoir une grille gagnante, ça, ce n'est pas vrai. Mais par contre, ce qu'on peut dire, c'est que la probabilité qu'elle a une grille gagnante, c'est inférieur à un sur 100. Alors, on va démontrer ça et on va utiliser ce qu'on a dit tout à l'heure, le principe du premier moment. Donc, je vais noter XI, qui est un nombre aléatoire, d'accord ? Donc, c'est 1, 6, la grille, la IM grille qu'elle a jouée et gagnante, et c'est 0 sinon, OK ? Donc, la moyenne de XI, XI, c'est égal à 1 une fois sur mille, parce qu'elle a une chance sur mille que la IM grille soit gagnante, et c'est égal à 0 le reste du temps. Donc, la moyenne, c'est 1 sur mille, d'accord ? Maintenant, je fais la somme de XI plus X2 jusqu'à X10, d'accord ? Ça, c'est un autre nombre, grand X, qui est aussi aléatoire, qui peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, jusqu'à 10, et c'est tout simplement le nombre de grilles gagnantes, puisque j'ai additionné XI, c'est 1 si la première grille est gagnante, X2, c'est 1 si la deuxième grille est gagnante, et 0 sinon, non plus. La somme X, c'est le nombre de grilles gagnantes, OK ? Donc, je peux calculer sa moyenne. La moyenne, c'est quelque chose, quand on fait la moyenne d'une somme, c'est la somme des moyennes. Donc, la moyenne de X, c'est la somme moyenne de X1 plus moyenne de X2 plus moyenne de X10. J'ai supposé ça que chacune des moyennes de XI, c'était 1 sur mille, c'est mon hypothèse-là que j'ai retraduit en termes mathématiques, et la moyenne de X, c'est 1 sur 100, d'accord ? On a vu tout à l'heure, principe du 1er moment, que la probabilité que X soit différente 0, c'est-à-dire la probabilité qu'il y ait au moins une grille gagnante, c'est inférieur à la moyenne de X, du nombre de grilles gagnantes. Donc, c'est inférieur à 1 sur 100. Donc, voilà, c'est ce que dit ce principe du 1er moment. En gros, il dit ça, il dit si vous jouez au loto, et la probabilité que vous avez gagné, vous jouez plusieurs fois, la probabilité que vous avez gagné au moins une fois, c'est toujours plus petit que le nombre de fois où vous jouez, la probabilité que vous avez gagné à chaque coup. Et ce qui est intéressant aussi dans ce principe, c'est que vous voyez, là, j'ai dit, c'est des grilles de 6 numéros, il faut avoir 3 bons numéros. Si on voulait vraiment calculer quelle est la chance qu'elle gagne une fois, quelle est la chance qu'elle gagne deux fois, par exemple, si elle a joué plusieurs fois le même numéro dans des grilles différentes, pour savoir... Donc, c'est un problème qui est assez compliqué si je veux tout calculer. Et en particulier, dans l'énoncé que je vous ai donné là, il n'y a pas du tout assez d'hypothèses pour calculer vraiment la probabilité de gagner une fois, la probabilité de gagner deux fois. Il faudrait que je sache si elle joue vraiment que des numéros différents, ou si elle a un numéro pour de bonheur et elle change les autres. Enfin, c'est compliqué. Mais ça, ça marche toujours. Ça marche. Qu'elle joue vraiment que des numéros différents. Ça marche. Si elle a un numéro pour de bonheur, ça ne nous intéresse pas. Ce raisonnement-là, il marche. Et ça, ça va être important dans ce que je vais vous expliquer à la fin juste dans un instant sur les sous-suites croissantes. Ok. Donc, on revient à notre problème. Et nous, ce qu'on a envie de montrer, c'est qu'avec une grande probabilité, j'ai pas de sous-suites croissantes plus grandes que trois racines de haine. Que RP est inférieur à trois racines de haine. Ok. Alors, donc voilà. Donc, on s'intéresse à la probabilité que RP soit inférieur à trois racines de haine. Alors ça, c'est un moins la probabilité que RP soit supérieur ou égal à trois racines de haine. Parce que soit c'est inférieur, soit c'est supérieur. Et quand on a deux événements comme ça, qui sont disjoints, et il y en a forcément un ou l'autre qui arrive, la somme des probabilités, ça fait un. Et que RP soit supérieur ou égal à trois racines de haine. Comme RP, c'est la longueur de la plus longue sous-suites croissantes, ça, ça correspond à ce qu'on ait une sous-suites croissantes de taille trois racines de haine. D'accord ? Si j'en ai une, je sais que la plus longue, elle est au moins de taille trois racines de haine. Donc, ce qui m'intéresse, c'est ça. Je veux regarder la probabilité qu'une permutation P prise au hasard contienne une sous-suites croissantes de longueur trois racines de haine. Ok. Alors, j'ai essayé pour que ce soit un peu moins abstrait et plus formel, j'ai essayé d'illustrer un peu ça. Donc, j'ai pris N égale 16. Ça me fait trois racines de N égale 12. Et voilà, vous avez par exemple une permutation de taille 16. Et on aimerait savoir quelle est la probabilité que là-dedans j'ai une sous-suites croissantes de taille 12. Ok ? En fait, on va faire un peu comme si on jouait au loto. C'est-à-dire que la main sous-suites croissantes, je ne sais pas trop où elle pourrait être. Donc, je vais essayer un peu au hasard. D'accord ? Donc, je vais choisir arbitrairement 12 nombres de ma permutation. Ok ? Et je vais regarder s'il y a une sous-suites croissantes, si ces 12 nombres forment une sous-suites croissantes. Ok ? Alors, l'idée, c'est que j'ai quand même… La question que je me posais, c'était pas quelque chose… Voilà, une permutation elle contient ou elle contient pas une sous-suites croissantes. C'est pas quelque chose au hasard. Je n'ai pas envie de choisir mes 12 nombres au hasard. Donc, je vais vraiment jouer toutes les ensembles de 12 nombres possibles. D'accord ? Je vais choisir toutes les positions possibles pour mes 12 flèches. Ok ? Si ma permutation elle contient une sous-suites croissantes, il y a un moment où mes 12 flèches vont montrer cette sous-suites croissantes de taille 12. Ok ? Donc, s'il y en a une, ça veut dire que dans ma partie de l'auto où je joue tous les choix possibles de 12 flèches, je vais gagner au moins une fois. Ok ? S'il n'y a pas de sous-suites croissantes, par contre, je vais perdre à tous les coups parce qu'il n'y en a pas. J'ai aucune chance que quelle que soit la manière dont je choisis mes flèches, je vais pas tomber sur quelque chose de croissant. Donc, cette histoire de est-ce qu'il y a une sous-suites croissantes de taille 3 à sine 9, ça ressemble vraiment à un jeu de l'auto. Je choisis mes flèches et si à un moment je gagne, ça veut dire qu'il y avait une sous-suites croissantes. Si je perds à tous les coups, ça veut dire qu'il n'y avait pas de sous-suites croissantes. Donc, c'est ça que je dis. La probabilité qu'il y a une sous-suites croissantes dans la longueur 12, c'est la probabilité que je gagne à mon espèce de l'auto. Et ce qu'on a vu par le principe du 1er moment avec l'exemple d'Alice qui jouait 10 grilles et qui avait une chance sur mille à chaque fois de gagner, c'est que la probabilité de gagner au l'auto, c'est toujours inférieur au nombre de fois où je joue, fois la probabilité que je gagne à un coup de nez. Je vous rappelle comment marche mon l'auto. Mon l'auto, c'est, au lieu de choisir une grille de numéro, je choisis 12 positions dans ma permutation et je gagne si les nombres qui correspondent sont en position croissante. Ok. Donc, il faut que je calcule le nombre de fois où je joue. Donc, le nombre de fois où je joue, il faut que je choisisse 12 positions dans ma permutation. Il y a 16 nombres dans ma permutation, il faut que j'en choisisse 12. Ça, je pense que vous avez vu. C'est ce qu'on appelle les nombres binomiaux. Donc, on note comme ça, 12 parmi 16. Donc, c'est ce nombre 16 factoriels sur 12 factoriels sur 4 factoriels. Et ça, ça décrit exactement le nombre de façon de choisir 12 nombres parmi les 16. D'accord ? Donc, je vous rappelle si j'aurais pu l'écrire que quand quelque chose, ce point d'exclamation, quelque chose factoriel, c'est le produit des entiers de 1 à ce nombre. 4 factoriels, c'est 1 fois 2, donc ça, c'est une formule assez connue que vous avez sûrement déjà vu. Le nombre de choix de 12 éléments parmi 16, c'est donné par ça. Donc ça, c'est le nombre de fois où je joue le taux. Maintenant, quelle est la probabilité que je gagne à un coup donné ? Donc, à un coup donné, par exemple, pour ces flèches-là, quelle est la probabilité que les 12 nombres que j'ai au-dessus des flèches soient une sous-suite croissante, soit dans le bon ordre ? Déjà, pour qu'il soit dans le bon ordre, il faut que le premier élément soit le plus petit. D'accord ? J'ai 12 éléments, chacun a la même chance d'être le plus petit, presque ma permutation est vraiment prise au hasard. La probabilité que le premier soit le plus petit, c'est 1 sur 12. Ok ? Maintenant, je regarde le deuxième élément. J'oublie mon premier élément, je sais déjà que c'est le plus petit. Donc il me reste 11 autres éléments. Le deuxième élément, je veux que ce soit le plus petit parmi les 11 qui restent. Toujours pareil, comme j'ai une permutation au hasard, que j'ai bien mélangé, la probabilité que le deuxième élément soit le plus petit parmi les 11 qui restent, c'est 1 sur 11, etc. La probabilité que, quand je me donne mes 12 flèches, là, comme au-dessus, j'ai des éléments dans le bon ordre. Ça va être 1 sur 12, pour 1 sur 11, pour 1 sur 10, pour 1 sur 9, etc. C'est-à-dire 1 sur 12 factorial. Ok ? Si je mets tout ça ensemble, je vais repasser, maintenant, j'ai remplacé à nouveau 16 par n et 12 par 3 racines de n, qui est ce qui m'intéressait. Si je mets ça ensemble, quand je prends une permutation au hasard, la probabilité qu'elle ait une sous-suite croissante de longueur 3 racines de n, c'est inférieur, il manque inférieur, c'est important, à ce nombre n factorial sur 3 racines de n factorial, donc c'est inférieur à ça. D'accord ? Et voilà, c'est avec l'idée du loto et cette méthode de premier moment qu'on a obtenue ça. Donc maintenant, on aimerait bien savoir si ça, c'est grand ou pas, quand n va tendre vers l'infini. Alors, n factorial, ça tend vers l'infini, ce qu'il y a en bas, ça tend aussi vers l'infini. Donc, il faut réfléchir un peu plus, c'est une forme indéterminée, mais on a des outils. Si je vous donnais ça, ce serait vraiment un exercice difficile. Après, on a des outils que vous verrez un peu plus tard pour calculer la limite d'un truc de ce genre-là. Et en particulier, on sait que n factorial, ou n'importe quoi factorial, on peut le remplacer par autre chose. On appelle ça équivalent de Stirling. Et quand j'ai a factorial dans une limite où j'ai que des produits et des divisions, je peux remplacer a factorial par ce truc. Et une fois que si je remplace a factorial par ce truc, ici je vais avoir beaucoup de choses qui se simplifient. Je saute les détails parce que c'est vraiment pas la partie intéressante, c'est des choses, c'est du calcul. Et on voit assez facilement que la probabilité qu'on ait une sous-suite croissante de longueur 3 à signe de n, ça tend vers 0. Donc, c'est ce que je vous disais. La probabilité qu'on ait ça est petite. C'est ça que j'appelais avec grande probabilité, il n'y a pas de sous-suite croissante de longueur 3 à signe de n. Et c'est notre résultat très simple du loto qui nous a permis de déterminer ça. Ok. Alors, où on en est ? Donc, je vous ai raconté ces deux premiers résultats que l'espérance est plus grande que racine de n, notre plus grande sous-suite croissante. Quand en général, avec grande probabilité, c'est pareil pour moi, la plus grande sous-suite croissante n'est pas plus grande que 3 à signe de n. Donc là déjà, quand on arrive là sur un problème mathématique, on est assez content. On a une bonne idée de à quoi ça ressemble ce nombre-là. C'est en gros de l'ordre de racine de n, quoi. Le facteur 1 ou 2, quand vous voulez, par exemple, quand vous voulez calculer le nombre d'opérations qui va faire un ordinateur pour trier une suite, qu'elle en fasse deux fois plus, ça ne nous intéresse pas vraiment. Ce qui est vraiment une grande différence, c'est entre racine de n et n, par exemple. Donc là, on est déjà assez content. Mais bon, il y a d'autres choses à faire. On peut avoir des choses plus précis. Et ce que je vais vous raconter, c'est qu'on peut montrer qu'en fait, ce rp sur racine de n, donc d'après ce qu'il y a au-dessus, on sait qu'en gros, c'est quelque chose entre 1 et 3. Et pour l'instant, on ne sait pas trop, ça pourrait dépendre un peu des permutations. Là, ce que disent les derniers résultats, on ne sait toujours pas ce que c'est. C'est entre 1 et 3, mais je ne sais pas trop ce que c'est. Mais par contre, c'est toujours la même chose, à peu près, rp sur racine de n. D'accord ? Il y a un nombre c, je ne le connais pas, mais il y en a tel que, avec une grande probabilité, quand je calcule rp sur racine de n pour une grande permutation, je tombe proche de c. Ok. Et l'ingrédient principal de cette troisième partie, donc que je vais vous raconter et puis vous montrer un exemple d'application sur un autre modèle, c'est un truc qui s'appelle l'M sous-additif. Ça ne va pas vous dire grand chose comme ça. C'est moins rigolo comme en formulation que le principe des tiroirs. Mais c'est quelque chose de pas très compliqué non plus. Ça peut être un exercice, vous l'aurez peut-être un exercice d'analyse un de ces jours. Alors je vais vous donner la solution. C'est le moment d'écouter. Donc, qu'est-ce qu'il dit cela ? Il dit, je prends une suite. D'accord ? De nombre positif. Ma suite, c'est un. Et je suppose qu'elle est sous-additif. Sous-additif, ça veut dire quoi ? Aditif, ça voudrait dire quoi ? Aditif, ça voudrait dire qu'elle est compatible avec la multiplication que u m plus n égal u m plus u n. Ça, c'est ce que j'appelle une suite additive. Bon, des suites additifs, ce n'est pas très intéressant. En gros, une suite additive, c'est quelque chose et vous en avez pas d'autre. Là, on demande quelque chose de beaucoup moins fort au lieu de demander égal. On demande inférieur ou égal. Et du coup, on appelle ça sous-additif. Donc u m plus n inférieur à u m plus u n. D'accord ? Alors je vous ai dit, si c'était additif, on saurait que u n c'est une constante fois n. Là, on a quelque chose d'un peu moins fort mais qui ressemble un peu qui est que si on divise u n par n, on a toujours une limite. D'accord ? Donc, c'est pas égal à une constante fois n, mais quand on s'approche de l'infini, ça ressemble beaucoup à une constante fois n. Ok ? Alors, donc voilà, la suite u n fois n, elle peut pas faire un truc du genre aussi, entre 1 et 0 ou quelque chose comme ça. Il y a une limite. On sait pas ce que c'est mais il y a une limite. Ok. Alors, démonstration. Donc ça, c'est la démonstration qu'il ne faut pas que vous fassiez dans votre exercice parce que je commence par dire, considérons le plus petit terme de la suite u n sur n. Comme on m'a dit, qu'il y aurait peut-être des problèmes dans l'assistance, j'ai rajouté un attention. Ça, ça n'existe pas toujours. Mais bon, on va commencer pendant 2 minutes, dans la vraie vie. Ok. Donc, j'appelle k, le nombre telle que u k sur k soit le plus petit de tous les u n sur n. Et maintenant, ce que je vais faire, c'est que pour chaque nombre de n, je vais faire la division par k. Donc division, comme on faisait à l'école primaire, vous avez un quotient et un reste. Vous écrivez n égale q x k plus r. Le r est plus petit que k. Et en utilisant je peux dire, pardon, pas mon lème sous-additif, l'hypothèse-là de sous-additivité, je peux dire que u n c'est inférieur à k x u k plus r. D'accord ? Parce que ça, ça me dit que u de 2k c'est inférieur à u k plus u k. Donc à 2 x u k. Puis après, je peux dire que u de 3k c'est inférieur à u de 2k plus u de k. Donc 2 x u k plus u de k qui font 3 x u k, etc. u de q x k ça va être inférieur à q x u de k. Donc je peux dire ça en utilisant cette hypothèse plein de fois. Ok. Alors maintenant, je divise par n parce que ce qui m'intéressait c'était u n sur n. Donc mon u n sur n, alors u n sur n on sait qu'il est plus grand que u k sur k puisque je supposais que u k sur k c'était le plus petit de tous les u n sur n. Ok ? Ici je divise par n j'ai rajouté un k en haut et un k en bas donc ça me fait q x k sur n x u k sur k plus u r sur n. D'accord ? Le u r sur n y tend vers 0. Pourquoi ? Parce que je vous rappelle le r il est plus petit que k. Donc u r je sais pas du tout ce que ça vaut mais j'ai seulement un certain nombre de valeurs u 0, u 1 jusqu'à u k moins 1 à regarder. Donc c'est constant. J'ai un nombre fini de valeurs possibles et donc quand je divise par n qui tend vers l'infini ça tend vers 0. Le q x k sur n tend vers 1 parce que voilà comme tout à l'heure le r il est petit donc le q x k il est très proche de n et quand je fais tout le temps de ça vers l'infini le quotient tend vers 1. Donc ce que vous voyez c'est que à droite ici j'ai quelque chose qui tend aussi vers u k sur k. Je sais que mon u n sur n il est plus grand que u k sur k donc c'est un truc qui tend vers u k sur k. Donc qu'est-ce qu'on appelle le théorème des gendarmes qui nous dit qu'on est encadré par deux gendarmes les deux tend vers u k sur k donc on n'a pas le choix et ils nous amènent vers u k sur k. Donc la limite de u n sur n existe et vaut u k sur k. Alors ça c'était la version en trichant où on disait qu'il y avait un plus petit élément ça c'est la vraie version. Donc ça c'est la bonne solution à écrire sur vos copies vous dites pas je prends le plus petit terme parce que sinon voilà ça va être tout barré en rouge vous dites je prends un petit terme de la suite et ce que j'appelle un petit terme c'est un terme qui est proche de la borne inférieure. Donc la suite c'est des positives c'est des réels positifs on sait qu'il y a une borne inférieure et donc on prend un terme on se fixe un epsilon on prend un terme qui est inférieure à cette borne inférieure et ça ça existe par définition de la borne inférieure et donc après vous remplacez ça et vous voyez qu'ici vous pouvez mettre un sur n entre quelque chose qui est la borne inférieure des un sur n et quelque chose qui tend vers la borne inférieure plus epsilon et vous pouvez faire ça quel que soit epsilon donc vous avez une version du théorème des gendarmes un peu sophistiquée qui vous dit que la limite existe et que c'est la borne inférieure mais bon vraiment si vous avez compris la version avec le minimum il y avait toutes les idées ok donc maintenant c'est un lème qui est voilà juste un énoncé d'exercice c'est quelque chose de pas très rigolo comment est-ce que on peut utiliser ça sur certains un problème un peu combinatoire du genre ce dont je vous ai parlé jusqu'ici donc le premier problème donc ça ça n'a rien à voir encore une fois avec les soucis de croissance c'est vraiment pour vous montrer la version du lème sous-additif c'est la question suivante donc vous prenez votre feuille quadrier bon comme d'habitude en maths on s'arrête pas au limite de la feuille on imagine que le quadrier va à l'infini et vous imaginez que vous avez un marcheur dessus ok donc il commence au un point fixé donc là celui là que j'ai appelé zéro zéro et puis il va balader il va faire des pas le long de la grille un autre pas vers le haut vers la droite il est allé vers le haut il est redescendu vers le bas voilà mon marchard il a fait ça il est allé vers le haut vers le haut vers la droite il est monté là il s'était trompé de chemin il est redescendu et puis il a fait ça ok donc il va à chaque fois il suit une des quatre directions possible combien est-ce que de de marche il peut faire de longueur n c'était une question facile vous auriez dû tous crier la réponse donc à chaque fois il est à un point il a le choix entre quatre directions possible d'accord ? donc il a quatre choix pour le premier pas puis une fois qu'il a qu'il a fait son premier pas il a encore le choix entre quatre directions possible on a dit vous pouvez revenir en arrière même donc il a toujours quatre choix possible donc il a quatre choix pour le premier pas quatre choix pour le second quatre choix pour le troisième etc n fois ça donc il faut que je multiplie mes quatre parce que c'est des choix indépendamment à la puissance n choix possible si je me donne un marcheur comme ça sur une grille qui me fait n pas il peut le faire de quatre puissances n façon différente ok ça c'était facile il n'y avait pas besoin de l'aime sous-additif et tout ça maintenant on change un tout petit peu la question et on va ajouter une hypothèse notre marcheur il dit bon au marché c'est sympa mais quand même j'ai pas envie de repasser deux fois au même endroit ok donc voilà ça c'est un exemple de marche il est monté là il a fait ça il est redescendu il est allé à droite etc ok donc même question je me dis que mon marcheur il fait 10 pas ou n pas en général je m'impose cette condition qui peut pas passer deux fois au même endroit condition assez naturelle j'ai déjà mis la réponse pas donc c'était l'effet de surprise qui est complètement raté donc c'est une condition assez naturelle très facile à formuler et pourtant rien qu'avec cette petite condition c'est un problème extrêmement difficile quand je dis extrêmement difficile ça veut dire que voilà parmi tous les chercheurs en maths dans le monde personne ne sait répondre à cette question si vous savez ça m'intéresse et voilà donc c'est vraiment un problème important et à peu près la seule chose qu'on sait dire dessus on sait la dire grâce à ce petit l'aime plus éditive dont je vous ai fait la preuve en deux minutes avant donc on appelle ça des marches auto-évitantes là j'ai mis le nom en rouge en haut ces marches où on repasse pas deux fois au même endroit et on peut faire une petite remarque assez simple c'est que si je prends une marche de longueur 10 comme celle que j'ai fait si je me donne par exemple j'écris 10 égale 6 plus 4 donc je prends m égale 6 n égale 4 d'accord ma marche auto-évitante je peux la couper en deux morceaux donc le morceau bleu c'est les 6 premiers pas le morceau vert c'est les 4 derniers pas je peux toujours faire ça quand j'ai une marche et donc je la coupe en deux morceaux qui sont chacune une marche auto-évitante le morceau bleu il retouche pas le morceau bleu le morceau vert il retouche pas le morceau vert puisque j'ai supposé que toute la courbe toute entière elle se retouchait pas elle-même d'accord donc ça me dit que si je veux compter les marches en 10 pas c'est inférieur ou égal il faut que déjà que je choisisse une marche de 6 pas la marche bleue puis une marche de 4 pas la marche verte d'accord donc choisir une marche de 6 pas et une marche de 4 pas c'est le produit um x um mais si je les choisis mal je pourrais avoir le morceau vert qui retouche le morceau bleu d'accord et ça je veux pas non plus c'est pour ça qu'il y a un inférieur ou égal d'accord chaque marche de 10 pas on peut la décomposer comme une marche auto évitante de 6 pas et une marche de 4 pas que je fais à la suite mais par contre si je prends n'importe quelle marche de 6 pas puis n'importe quelle marche de 4 pas les deux ne se retouchent pas elles-mêmes on peut avoir la première qui va toucher la deuxième donc on va pas forcément avoir obtenir une marche auto évitante de 10 pas c'est pour ça qu'on n'a pas égalité mais qu'on a ce inférieur ou égal d'accord là le u m plus n est inférieur à u m fois u n ça ressemble un petit peu à ce qu'on avait tout à l'heure tout à l'heure dans notre m sous-additif on avait u m plus n est inférieur à u m plus u n qu'à cela ne tienne on prend un logarithm pour transformer le foin en plus et donc je peux dire que la suite logarithm de u n est une suite sous-additif ok logarithm de u m plus n est inférieur à logarithm de u m plus logarithm de u n donc cette limite existe c'est mon petit l'aim d'avant et encore une fois cette limite personne ne sait la calculer et c'est vraiment un problème ouvert important en combinatoire de calculer cette limite dans le cas comme ça de marche sur sur un réseau carré ok alors oui alors quand j'ai préparé mes slides je me suis aperçu à ce moment-là que pour le problème c'est pas le l'aim sous-additif qui servait mais le l'aim sur-additif alors je suis désolé ça change un peu mais j'avais déjà fait tous mes dessins de marche auto-évitante j'avais pas envie de recommencer donc j'ai gardé comme ça donc finalement on va utiliser le l'aim sur-additif qui est à peu près la même chose donc je vous ai dit aditif c'était quand on avait une égalité sous-additif c'était inférieur ou égal sur-additif c'est supérieur ou égal donc on suppose que la suite vérifie u m plus n et supérieur ou égal à u m plus u n d'accord je suis j'ai besoin de supposer en plus que la suite u n sur n est bornée ici et si je suppose ça je sais que la suite a une limite je sais pas quelle est la limite comme tout à l'heure mais je sais qu'elle a une limite elle va pas osciller par exemple entre 2 et 1 ok la démonstration est exactement la même que celle de tout à l'heure je ne vous la refais pas alors comment on utilise ce l'aim sur-additif pour dire quelque chose sur notre problème de départ je vous rappelle notre problème de départ on avait une permutation au hasard et on veut regarder la longueur de la plus longue sous-suite croissante ok alors il y a une idée à avoir pour utiliser ce l'aim sur-additif la première idée à avoir c'est de dire il y a une permutation je peux voir ça autrement au lieu de voir ça comme la suite de nombre ou chaque nombre apparaît une fois 4, 2, 9, 3, 6 je vois ça comme des points dans une grille ok donc dans la première colonne j'ai mis un point dans la quatrième case parce que j'avais un 4 en bas dans la deuxième colonne j'ai mis un point dans la deuxième case parce que j'avais un 2 en bas etc et une permutation c'est exactement un ensemble de points dans une grille telles que j'ai au plus un point par ligne et par colonne d'accord ok alors maintenant moi ce qui m'intéressait c'était des sous-suites croissantes dans des permutations les sous-suites croissantes dans des permutations c'est aussi facile à voir quand on représente les permutations comme les points dans une grille donc par exemple dans mon exemple la plus longue sous-suites croissante c'est 2, 3, 6, 7, 8 et si je remets en rouge les points qui correspondent donc là c'est ce que j'ai fait ce que vous voyez c'est que à chaque fois pour aller dans le point rouge au suivant je vais vers le haut à droite c'est à droite pour moi sur l'écran c'est à droite pour vous aussi du coup et voilà donc des points une sous-suites croissantes ça correspond à un ensemble de points je vais appeler ça en position nord-est ça veut dire qu'à chaque fois pour aller d'un point au suivant je vais vers le nord-est ok alors maintenant au lieu de prendre une permutation donc ça voulait dire des points vraiment dans des cases on avait une grille on va prendre des points au hasard dans un carré donc là déjà il y a quelque chose d'assez compliqué quand je prenais une permutation au hasard j'avais un nombre fini d'objet c'était en n-factorial donc je pouvais dire la probabilité de prendre celui-là c'est 1 sur n-factorial ils ont toute la même probabilité là des points dans un carré j'ai un nombre infinit d'objet je peux les mettre d'une infinité de façon donc c'est déjà en probabilité c'est beaucoup plus difficile de définir ce que ça veut dire prendre des points au hasard dans un carré mais bon on va dire intuitivement ça bosse pas de problème en général on se dit bon ben ok si je vous avais pas fait cette remarque personne n'aurait râle donc on va faire comme si je ne l'avais pas fait donc on peut le faire c'est compliqué à définir mais on peut le faire on prend des points au hasard dans un carré et on regarde la taille du plus grand ensemble de points en position nord-est ok alors ça c'est exactement la même chose si j'ai pris n-points dans mon carré c'est exactement la même chose que de regarder mon R2P la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire parce qu'en fait à chaque point je peux le associer une permutation en regardant les points de gauche à droite et en regardant à quelle hauteur ils sont les uns parmi les autres les uns par rapport aux autres c'est la même chose j'ai pas changé mon problème c'est exactement la même chose de dire je prends une permutation au hasard et je regarde la plus longue sous-suite croissante où je prends des points dans un carré et j'en cherche le maximum en position nord-est ok alors dans ce problème-là quand je prends des points dans un carré c'est pas très facile à étudier c'est pas très facile à étudier pour une raison simple c'est que quand on fait des probabilités on aime bien qu'il y ait des choses indépendantes c'est-à-dire quand vous par exemple vous étudiez ce qui se passe quand vous lancez 2D des D à jouer numéro t entre 1 et 6 ce qui est important c'est que ce qu'il va y avoir sur le premier D ça n'influit pas du tout ce qui se passe sur le deuxième D d'accord donc on aime bien avoir cette propriété d'indépendance et là quand on prend une point dans un carré il y a des choses qui ne sont pas indépendantes et c'est assez pénible alors qu'est-ce qui n'est pas indépendant ce qui n'est pas indépendant c'est la chose suivante je regarde ce qui se passe dans des sous- zones du carré donc j'ai mon rectangle vert mon rectangle bleu et je regarde ce qui se passe dans le rectangle vert je regarde ce qui se passe dans le rectangle bleu ils sont disjoints ils n'ont pas de points il n'y a pas de zone en commun de ces deux rectangles donc j'aimerais bien voilà intuitivement on aimerait bien que ce soit indépendant ce qui se passe dans le rectangle vert dans le rectangle bleu mais si on réfléchit 2 minutes là par exemple dans le rectangle bleu j'ai 2 points ok ce qui fait qu'il y a n moins 2 points dans le reste du carré ce qui fait que voilà si j'avais 0 points dans le rectangle bleu j'aurais n points dans le reste du carré donc j'aurais un peu plus de chance d'avoir des points dans le rectangle vert donc les choses ne sont pas indépendantes plus j'ai de points dans le rectangle bleu plus la moyenne des points dans le rectangle vert la moyenne du nombre de points dans le rectangle vert va être petite moins j'ai de points dans le rectangle vert voilà c'est logique j'ai n points j'ai fixé ils peuvent pas être partout alors ça il y a une astuce très courante en probat pour régler ce problème les probabilistes ils disent on va pas prendre n points au hasard c'était pas une bonne idée la bonne idée c'est de prendre aussi le nombre de points lui-même va être pris au hasard d'accord donc au lieu de prendre on s'est fixé un nombre petit n au lieu de prendre petit n points je vais prendre grand n point et ce grand n point va lui-même être aléatoire d'accord et ici je vous ai écrit la probabilité que ce grand n point soit égal à 4 à k pardon donc il y a une formule qui nous dit la loi qui nous dit pour chaque nombre k quelle est la probabilité que je prenne k points mais voilà l'idée qu'il faut avoir c'est que maintenant on prend un nombre de points qui est aussi aléatoire qui est une formule précise et que avec cette formule là il faut vraiment choisir cette formule là tout se passe bien tout se passe bien qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que déjà bon moi j'avais pas envie de prendre un nombre de points aléatoires je voulais prendre petit n point d'accord et en fait avec cette formule là je prends à peu près petit n point tout le temps avec grande probabilité j'ai à peu près petit n point oui j'ai oublié de vous dire au début de cette partie autant les deux premières parties je pouvais vous démontrer à peu près tout autant là c'est pas du tout possible donc je vais pas arrêter de dire je triche un peu de faire des choses avec les mains et tout ça donc en particulier ça c'est vraiment pas précis mais voilà on a un résultat de ce genre et maintenant avec ce nombre de points aléatoires ce qui se passe dans les rectangles bleus et les rectangles verts c'est indépendant parce que j'ai 2 points dans le rectangle bleu mais comme toute façon je sais pas combien j'ai de points au total l'argument que je vous ai donné tout à l'heure pour dire que ça change ce qui se passe dans le rectangle vert il vaut plus d'accord et on peut faire des calculs pour montrer que maintenant c'est indépendant donc on appelle ça poissonisation parce que cette loi là s'appelle une loi de poisson donc il y a des poissons en mathématiques c'est le nom d'un mathématicien que vous pouvez voir avec l'animal et donc voilà et ça c'est une idée qui sert vraiment tout le temps alors revenons à notre l'âme sous-aditif et à nos sur-aditifs pardon et à nos sous-suites croissantes donc maintenant je vais appeler un la taille du plus grand sous ensemble de points en position nord-est donc pas dans une configuration où j'ai pris n points au hasard dans un carré parce que je vous ai expliqué qu'il n'était pas intelligent de faire ça mais dans une configuration comme dans le slide avant où j'ai environ n points dans le carré mon nombre de points est aussi aléatoire j'en ai à peu près n et c'est donné par la formule qui est maintenant plus affichée mais si vous avez un peu de persistance rétinienne elle est là ok alors juste une petite remarque du coup un c'est plus exactement rp parce que dans rp j'avais fixé ma taille n de la permutation mais on fait les choses avec les mains c'est en gros rp ok alors où il est le laim sur additive ici ? ben prenons imaginons qu'on prend à peu près s plus t au carré point dans mon carré d'accord ? je prends ce nombre là de points et puis je vais couper je vais considérer deux zones une zone bleue ici alors si le carré est de taille 1 ma zone bleue ça va être un carré de taille s sur s plus t et ma zone verte ça va être un carré de taille t sur s plus t d'accord ? donc je regarde deux zones particulières de mon carré et je vous ai dit maintenant ce qui se passe grâce à mon environ n point ce qui se passe dans le carré bleu et ce qui se passe dans le carré vert c'est indépendant et dans le carré bleu ce qui se passe c'est que j'ai environ s carré point pris au hasard alors pourquoi s carré ? parce que voilà en tout j'ai n carré point dans le grand carré là du coup je vais en avoir environ s carré là parce que j'ai choisi ma taille ici l'air du carré c'est s carré sur s plus t au carré donc je vais avoir environ s carré point ici ok ? comme j'ai environ s carré point je sais c'est ma définition de un que je peux trouver u de s carré point en position nord-est d'accord ? u n c'est la taille du plus grand sous ensemble de points en position nord-est que je peux trouver quand j'ai n point dans un carré donc là je peux en trouver u de s carré u indice s carré dans le rectangle vert je les ai mis en bleu là j'ai mis deux points en position nord-est dans le rectangle vert je peux trouver donc j'ai environ t carré point pris au hasard dans ce rectangle du coup je peux trouver environ u de t carré point en position nord-est ok ? maintenant le rectangle bleu je les choisis pour qu'il soit en bas à gauche du rectangle vert donc si je prends tous mes points bleus là d'accord ? ça ces points bleus là c'est mes u s carré point en position nord-est dans le rectangle bleu ces points bleus là c'est les u t carré point en position nord-est dans le rectangle vert si je les prends tous ensemble ça me fait u s carré plus u t carré point en position nord-est d'accord ? comme u s plus t au carré c'est le nombre maximum de points en position nord-est que je peux trouver dans tout mon carré j'ai cette inégalité là parce que je sais que je peux au moins en trouver u s carré plus u t carré et là vous voyez c'est vraiment voilà en faisant ce petit raisonnement j'ai raté ce point là que j'aurais pu prendre aussi c'est pour ça qu'on a un supérieur ou égal mais je suis sûr que je peux en trouver u s carré plus u t carré ok ? donc j'ai cette inégalité alors tout ça c'est un peu compliqué parce que tout ça c'est des choses aléatoires comme on en est point aléatoires donc il faut vraiment donner un sens voilà à tout ça mais l'idée c'est ça c'est qu'on a vraiment des variables aléatoires et elle vérifie cette inégalité alors si je reformule un peu ce truc là c'est exactement de dire que u de n au carré est sous-additif d'accord ? voilà si vous regardez u de n au carré sur-additif pardon cette suite là prise en s plus t c'est la même chose que la suite enfin c'est supérieur ou égal à la suite prise en s plus la suite présentée donc on a expliqué ça que u de n au carré était sous-additif on a expliqué tout à l'heure que on l'a expliqué pour rp mais je vous ai dit je triche je confonds les deux u n est un peu préparé que rp on a expliqué que avec grande probabilité u de n était inférieur à 3 racines de n donc u de n au carré et inférieur à 3 racines de n au carré c'est-à-dire 3 n donc u de n au carré sur n et inférieur à 3 donc elle est bornée d'accord ? avec grande probabilité elle est bornée donc du coup j'ai une suite qui est sur-additif qui est sur-additif quand je divise par n elle est bornée en utilisant le lem sur-additif alors comme c'est des choses aléatoires faut utiliser en fait une version aléatoire qui est même beaucoup trop compliqué pour en donner juste les noms c'est ici mais c'est un théorème qui a été montré dans les années 70 en utilisant une version aléatoire du lem sous-additif on peut montrer que u n carré sur n a une limite avec fort probabilité c'est-à-dire il existe un nombre on sait pas ce que c'est mais il existe un nombre tel que u n carré sur n il est toujours proche de ce nombre donc après je vous ai montré u n carré sur n a une limite moi ce que je voulais c'était plutôt u de n sur racines de n donc il faudrait remplacer n carré par n ça demande un peu de travail ça ne peut pas se faire tout de suite après faut aussi remplacer le u n par rp ça demande aussi un peu de travail comme on a poissonisé pour aller de rp à u n il y a un truc qui s'appelle dépoissonnisation et c'est aussi une technique assez standard pour passer ça mais on peut montrer ça c'est pas mal de boulot et je vous ai montré les principales idées pour cette troisième partie je prétends pas que je vous ai montré ça mais voilà on peut montrer qu'il existe un nombre, on sait pas ce que c'est tel qu'avec forte probabilité on est ça et ce qui est intéressant c'est vraiment que ces idées de au lieu de prendre exactement n point on prend à peu près n point ces idées du lampe suraditif et du lampe sousaditif c'est vraiment des choses qui reviennent dans beaucoup de choses en recherche en probabilité discrète je crois que ça c'est mon dernier slide vous avez quasiment tout vu dessus c'est juste pour récapituler un peu donc on a vu 3 résultats sur la longueur de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire qui en gros disent que ça ressemble à quelque chose soit racine de n le premier c'est que c'est plus grand que racine de n en moyenne deuxième c'est que quasiment tout le temps c'est plus petit que 3 racines de n et le dernier c'est qu'en fait il existe un nombre tel que ça ressemble à ces foires racines de n et si j'avais eu une petite disenda en plus je pense que j'aurais pu vous faire un cours de théorie des représentations et vous expliquer pourquoi ce nombre c c'est égal à 2 mais là je peux pas mais c'est déjà bien 1h30 merci de m'avoir écouté si vous avez des questions merci beaucoup pour cette exposé, y a-t-il des questions dans la salle ou une question pour commencer merci Valentin pour nous exposer juste pour revenir dans ton grand 2 lorsque tu nous as gentiment épargné le calcul d'équivalent de Stirling en fait on comprend pas forcément pourquoi c'est le 3 qui fait marcher la chose alors qu'est ce qui se passe si on remplace 3 par une valeur plus petite ou plus grande que devient la limite en question si elle existe pourquoi c'est le 3 qui sort en fait et pas une autre valeur il faut prendre quelque chose plus grand que eux donc le seul le nombre plus grand que eux qui fait pas trop peur aux gens c'est 3 en gros et voilà et c'est le calcul qui donne ça c'est un peu avec cette méthode cette méthode elle est extrêmement élémentaire et elle permet de descendre jusqu'à e rassine de n comme je vous ai dit à la fin en fait on sait par des méthodes beaucoup plus complexes que ça ressemble à 2 rassines de n donc ce résultat là il est vrai pour on peut remplacer 3 par 2,5 mais on peut pas le prouver de cette façon là avec 2,5 Bonjour, est ce que ces résultats peuvent permettre de trouver une approche efficace pour algorithmiquement calculer la plus grande soucis de croissance alors pas ces résultats mais c'est quelque chose dont j'aurais pu parler effectivement donc on sait calculer algorithmiquement la plus grande soucis de croissance au moins sa longueur c'est une question différente de calculer la soucis de croissance ou seulement la longueur et voilà je vais pas expliquer ça maintenant mais on peut en discuter un peu après si tu veux c'est aussi des jolies choses dont j'aurais pu parler mais j'ai pas fait le choix là Est ce qu'il y a d'autres questions comme ça je vous vois tous est ce que si on change un petit peu le problème et qu'on remplace une permutation aléatoire par une fonction aléatoire des entiers de 1 à n dans les entiers de 1 à n c'est significativement plus grand ou le résultat reste similaire parce que la première partie doit s'appliquer tel quel la deuxième partie je pense qu'on peut l'aménager un petit peu alors je connais pas tout par coeur je crois donc si on regarde par exemple une fonction de 1 à n dans un nombre fixé de 2 nombres donc on regarde une suite avec que des nombres entre 1 et 10 par exemple ce qui est sûr c'est qu'on va avoir des suites constantes de longueur à environ n sur 10 et donc ça ça va être les plus longues de croissance vont être de longueur n sur 10 donc il y a vraiment quand on autorise de plus en plus de valeur à un moment et je crois que c'est autour de racine de n quand on se autorise racine de n valeur il se passe on passe de suite de longueur racine de n sous suite de longueur constante quand on prend les fonctions de 1 à n aux fonctions de 1 à n c'est le même résultat et les méthodes pour montrer ça consiste à dire que en gros ça ressemble à une permutation d'essayer de comparer avec le cas d'une permutation quand tu fais les fonctions de 1 à n les fonctions de 1 à n dans 1 à n t'as pas tant de répétition que ça et quand tu regardes des choses de longueur racine de n ça va pas changer tant de choses tu vas avoir des nombres répétés 2, 3 fois mais tu vas pas avoir plus donc tu vas pas changer significativement le résultat mais par contre effectivement quand on fait varier la taille de l'ensemble d'arrivée il y a plein de choses à dire d'autres questions ? je sais pas si j'avais bien lu mais dans ce cas vous parlez de la factorielle de racine de n c'est quoi ça ? 3 racines de n factorial je sais plus où c'était ah oui parce que dans mon calcul j'ai supposé qu'effectivement c'était entier ceci dit c'est quelque chose auquel on peut donner un sens sans problème oui c'est là effectivement vu le calcul que j'avais fait j'aurais plutôt dû dire la partie entière de 3 racines de n ou quelque chose comme ça mais on peut donner un sens à factoriel de 3 racines de n on peut donner un sens à factoriel de à peu près tous les nombres complexes mais c'est pas le sujet ici d'autres questions dans la salle dans ce cas je propose qu'on remercie encore Valentin qui fera un exposé merci et la prochaine séance de ma thématique parc aura lieu le 14 décembre 2013 et ce sera Yann Olivier qui fera un exposé sur un titre avenir et un résumé avenir et vous êtes tous bien sûr qu'on vit au petit goûter qui est juste dehors