 Tout d'abord merci Georges et Jocelyn de m'avoir invité, et merci aussi à François qui a fait une conférence lumineuse et qui va me permettre de gagner du temps au début de l'exposer. Donc le plan de mon exposé, je vais d'abord parler un peu de jeu à champ moyen et de jeu à champ moyen d'un point de vue un peu théorique et je vais revenir un peu sur ce que François a dit en insistant un peu plus sur le côté équation des répartielles. Je voudrais aussi dire que mon travail principal de recherche est un travail numérique donc je suis plutôt un analyse numéricien donc je suis pas improbilliste. Donc je me demandais un peu de quoi j'allais parler. Donc les principales contributions dans les jeux à champ moyen c'est des travaux d'analyse numérique donc j'allais pas vous parler de ça aujourd'hui. Donc en fait j'ai choisi plutôt de vous parler d'applications, de vous donner deux exemples dans lesquels on peut appliquer la théorie des jeux à champ moyen, deux exemples d'applications. L'un pour les mouvements de foule donc les piétons par exemple qui se promènent, qui veulent sortir de cette salle par exemple. Et puis je vais aussi donner un exemple d'un travail qu'on est en train de faire pour appliquer nos méthodes en macroéconomie. Donc je commence tout de suite et je vais aller assez vite puisque François a très bien introduit le sujet. Donc la théorie des jeux à champ moyen elle a été proposée dans les années 2006 par Lasserie et Lyons et je renvoie au cours de Pierre-Louis Lyons sur le site du Collège de France pour des exposés complets de la théorie. Donc je suis exactement dans le même cadre que François donc je considère des agents tout identiques dont la dynamique est donnée par un mouvement bronéen contrôlé ici par le drift. Donc là je vais me placer pour le moment dans le cadre de mouvement bronéen indépendant et on va supposer que chaque joueur a une information globale sur le jeu donc le contrôle du joueur numéro i va être adapté à toutes les filtrations des n mouvement bronéen. Alors pour simplifier le cadre pendant les quelques slides que je vais considérer que je vais consacrer à la théorie on va supposer que toutes les fonctions que je considère sont périodiques donc je vais me placer sur le tord pour éviter des problèmes de conditions au bord pour les équations des répartielles. On pourrait aussi supposer que les informations dont disposent des joueurs sont seulement partielles c'est à dire qu'on pourrait aussi supposer que Gamai, le contrôle est seulement adapté au processus WI ou IEM. Donc on va supposer que les joueurs sont tous interchangeables et donc ça conduit à faire une hypothèse sur le coût qu'ils vont minimiser donc on va supposer que le coût est une espérance de cette fonction là de cette formule là disons où on voit ici le coût terminal grand V et le coût instantané L et voyez que le coût instantané par exemple il va dépendre de la mesure donc ici de la mesure empirique alors ici j'ai pas pris exactement la même que celle de François mais quand on passe à la limite ça donnera exactement la même chose donc là j'ai pris la mesure empirique de tous les joueurs sauf le joueur I mais ça revient au même quand on passe à la limite alors on fait des hypothèses sur le coût instantané par exemple on va supposer que c'est une fonction C1 donc sur la variable X ça c'est le contrôle et puis ça c'est la mesure donc qu'est-ce que ça veut dire une fonction C1 sur une mesure de probabilité donc ça je ne vais pas vraiment entrer dans les détails je renvoie au cours de Lyonce au collège de France donc on munit les mesures de probabilité la distance de Wasserstein et on peut définir une notion de fonction C1 sur ces mesures de probabilité. On demande une hypothèse de coercivité et on fait le même le même type d'hypothèse sur le coût terminal de la même façon on suppose qu'il est C1 en fonction de la variable spatiale et la mesure alors on est amené à introduire un miltonien qui va être donné par cette formule là et là on va aussi supposer que le miltonien est régulier varie régulièrement par rapport au variable aux trois variables alors on va s'intéresser à des équipes de nage dans un premier temps donc une équipe de nage je ne rappelle pas ce que c'est parce que François vient de le faire et si on donc moi je vais plutôt vous raconter l'aspect EDP donc si on veut on peut trouver des équipes de nage en résolvant des systèmes d'EDP donc qui vont donc les les fonctions ici UJI ce qu'ont les fonctions valeurs et on voit que la fonction les chacune des fonctions valeurs correspondra à chacun des joueurs UJI va dépendre de donc ça va être une fonction de n variable spatiale chaque variable spatiale étant dans le tort T donc c'est on a un gros système d'équation au dérié partiel à résoudre avec n n fonction inconnue et ici vous voyez par exemple l'aplacien le laplacien c'est le laplacien par rapport à ces n variables spatiales vous voyez que c'est un système qui est très compliqué parce que bon il est en grande dimension et puis donc c'est un système d'équation non linéaire couplé elles sont toutes couplées le couplage est là oui c'est ça et et donc bon on peut montrer en alors ça ça date des travaux de ben sous sang que que ce système de dp a une solution et que les les feedbacks qui sont là c'est à dire vous prenez la dérivé par rapport à p de h et vous l'appliquer au gradient de ui dans la dans la direction x6 ça ça vous donne un feedback pour le joueur y et ce feedback va donner à une équipe de naches donc vous voyez que quand même la complexité même même du point de vue des e dp on a la même complexité que celle dont parlait françois tout à l'heure on a un énorme système qui n'est pas très maniable donc le passage quand quand le nombre de joueurs tend vers l'infini donc je vais pas revenir sur ce qu'a dit françois mais je vais juste donner la l'analogue dp quand on passe quand on fait tendre n vers l'infini au moins formellement on va obtenir un système cette fois de deux équations qui vont être posées seulement dans le dans le tort croit le temps où on va avoir une équation de amitone jacobi bellman qui va être backward en temps couplé avec une équation de fogueur planck et ici vous vous reconnaissez le feedback donc le contrôle optimal donc l'équation de fogueur planck et est donné et est une équation sur la la densité de probabilité qui décrit l'état des enfin sur l'état des joueurs associé à ces deux équations des répartielles donc l'une l'une bacoire de l'autre forward on a deux conditions au debout donc on a une condition terminale pour le coût pour la pour la fonction valeur donc la fonction valeur à l'instant terminale c'est le coût terminale appliqué à la la la densité terminale autant terminale et par contre on suppose que la densité initiale est donnée donc donc voilà le système le système des jeux à champ moyen vous voyez qu'il est beaucoup plus simple parce qu'il consiste il consiste en seulement deux équations et une grande partie de mon travail ça a été de proposer des méthodes numériques pour ce système de DP alors je oui bon j'ai déjà dit que le système était forward backward et aussi il a une structure particulière parce que l'opérateur qui est dans l'équation de de fogueur planck dans les dans l'équation de fogueur planck celle on peut le voir comme l'adjoint de l'opérateur qui consiste à différencier par rapport à a eu l'équation de d'amitone j'ai connu donc c'est une structure très particulière et qui permet d'ailleurs de prouver l'unicité et l'existence donc les dép sont couplés donc on voit les couplages là donc voyez que le amitone indépendent la densité et puis vous avez aussi un couplage ici et puis on a aussi possiblement un couplage via la condition terminale si on en met donc des l'analogue l'analogue dp de des résultats de françois c'est des résultats d'existence pour le système des jeux à champs moyens donc c'est des résultats de la cerie et le 11 par exemple si on suppose pour simplifier qu'on n'a pas de couplage via le coup le coup terminale on suppose que le coup terminale ne dépend pas de m alors on va on va si on suppose aussi une séparation des variables dans le amitone 1 donc ici on suppose que le p et le m sont séparés dans le amitone 1 si on suppose des hypothèses de ré que on suppose qu'on a un opérateur f ici qui est régularisant donc il envoie typiquement ck dans ck plus 1 et si on fait ces hypothèses techniques de croissance sur le amitone 1 l'une ou l'autre donc ça c'est pour pouvoir appliquer les théorèmes de Bernstein alors on a l'existence d'une solution classique on peut aussi avoir des résultats de d'existence de solution classique si on suppose que h et libsi et libshitz par rapport à p donc une croissance linéaire de h et un opérateur de couplage qui va être local donc là avant j'avais supposé un opérateur régularisant ici et là si je suppose si je suppose un opérateur local donc une fonction appliquée à m de x au point x on a aussi des résultats de d'existence de solution classique et puis il y a tout un corpus de résultats d'existence de solution faible mais ça je vais pas en parler alors je voulais aussi parler des équipes collectives ce que ce que ce que françois appelait des équipes collectives donc je reviens un peu sur ce que françois a dit donc la théorie des jeux à champ moyen ça consiste à regarder d'abord des équipes de nage avec un joueur puis faire tendre n vers l'infini dans le cadre alors françois et renécarmona et alain ben sousan et ses collaborateurs se sont aussi intéressés au contrôle des quoi de dynamique de type maquine maquine vlasov donc en fait on considère les mêmes les mêmes dynamiques contrôlées pour les n joueurs que précédemment mais là cette fois on va supposer qu'il y a un grand chef qui va décider qui va décider que qui va imposer la loi de feedback à tous les joueurs et on va chercher une loi de feedback qui va minimiser cette cette fonctionnelle pour tous les joueurs alors voyez que si comme le feedback est commun à tous les joueurs c'est ce que c'est aussi ce qu'a dit françois tout à l'heure bien si on perturbe gamma bien on va affecter la mesure empirique et donc on va on va ce qu'on va faire c'est qu'on donc on ne pourra pas comme dans les dans le cadre des équipes de nage supposé que la mesure empirique ne va être insensible aux variations du contrôle d'un des joueurs donc ce qu'on ce que ce que ce qu'avait fait de la rue carmona et ben sousan c'est de donc de passer d'abord à la limite de faire tendre le nombre de joueurs quand vers l'infini puis de minimiser le le le coup asymptotique qui trouve donc nous on a avec matieu laurière qui est dans la salle on on étudie les systèmes de dép qui viennent de ce de cette de cette procédure donc les systèmes de dép sont légèrement différents des des des systèmes de type équipe de nage donc donc je j'écris juste ici le problème d'optimisation qu'on obtient une fois qu'on est passé à limite dans les donc c'est le problème de maquine vlasov donc on va essayer de minimiser cette fonctionnelle là sous la contrainte que la la la mesure de la densité m vérifie l'équation de cette équation de poker planck donc on a une on a un problème de contrôle du point de vue des deux dép ça donne un problème de contrôle sur une dép dont l'état est donné par une dép donc si on regarde maintenant les conditions d'optimalité pour ce deuxième problème bien on obtient un nouveau système de dép qui est là et vous voyez que ce système de dép ressemble pas mal à celui des des jeux à champ moyen avec des équipes de nage mais on a en plus des termes en rouge donc dans l'équation de amitone jacobi et dans l'équation et dans la condition terminale ou apparaissent la dérivée du amitonien par rapport à la mesure m donc c'est une formule qui semble assez compliqué mais on peut on peut étudier ces dép et en particulier je veux juste vous donner un résultat d'unicité et comparer par donc vous voyez que c'est pas les mêmes jeux d'épée donc il y a il y a aucune raison que que les solutions soient les mêmes donc ça répond un peu à la question de tout à l'heure et aussi les conditions d'unicité sont différentes donc si on peut on peut regarder les conditions suffisantes d'unicité qui ont été évoquées par par françois tout à l'heure le versant d'épée donc si on regarde quelle condition on obtient naturellement dans le cas des équipes de nage donc dans le cas des jeux à champ moyen on obtient une une condition de de positivité sur une matrice en tout point xpm donc il faut que cette matrice soit définie positive et si on regarde la même on fait la même méthode qui est due à la serilience pour trouver le pour trouver une condition suffisante d'unicité pour le deuxième type de système de dép est celui qui vient du du contrôle collectif on trouve ici des conditions qui sont différentes donc ça c'est dans le cadre local c'est dans le cadre où le amiltonien dépend de m via m de x en fait donc c'est un cadre un cadre spécifique on peut faire la même chose dans le cas dans le cas général donc on trouve on trouve deux conditions découplées bon celle-là est très naturelle dire que le amiltonien et qu'on vexe ça c'est normal et puis on trouve aussi ça qui veut dire qu'en fait la la fonction m fois h et qu'on cave dans la variable m donc on voit on voit apparaître des conditions d'unicité différentes donc on a des conditions de cité voilà ce que je voulais raconter sur l'aspect théorique donc maintenant je vais plutôt vous montrer des applications donc la première application que je voudrais vous vous montrer fait l'application à des mouvements de foule alors les mouvements de foule il y a toute une littérature là dessus que je ne connais pas très très bien d'ailleurs mais il faut la chose qu'on peut dire vraiment c'est que la plupart des modèles pour les mouvements de foule sont basés sur des sur des idées de mécanique statistiques donc en fait c'est des il y a des modèles microscopiques où les les piétons sont assimilés à des particules et leur interaction peut être modélisée par des par des sortes de chocs ou des ou des zones de des zones dans laquelle de non interprétration des zones de sécurité autour de chacun des piétons et donc par exemple c'est ce que fait Bertrand Maury alors c'est avec son équipe après il y a eu des modèles macroscopiques qui ont été récemment proposés par Tom Hughes à Stanford je crois non ah je ne sais plus où il est je ne sais plus où il est enfin donc et donc ça c'est aussi des modèles ou donc c'est des modèles macroscopiques mais c'est des modèles qui qui ne prennent pas en compte la possibilité des joueurs d'anticiper donc pas d'anticipation rationnelle donc par contre les jeux achant moyen va ça va ça va permettre de prendre en compte l'anticipation rationnelle des joueurs je vous montre maintenant je vais vous montrer des exemples en fait parce que donc alors voilà voilà le typiquement voilà le système qu'on va résoudre donc on va on va considérer donc on va on va décrire notre notre mouvement de foule par un jeu achant moyen donc les équations elles sont vraiment similaires à celle que j'ai donné précédemment vous voyez que la densité intervient dans le Hamiltonian je vais expliquer pourquoi et puis là il y a aussi un coup qui dépend de la densité qui vient du fait que les gens par exemple n'aiment pas être trop trop serré l'équation de fogger plan que bon elle est là c'est la même que tout à l'heure et la seule chose qui change c'est que je prends pas des conditions périodiques je vais prendre des conditions plus réalistes c'est à dire que je vais supposer qu'il y a des murs donc on est dans une salle par exemple et donc les gens ne peuvent pas sortir des murs donc ça se traduit par exemple par cette condition sur la une condition de nomen sur la fonction valeur et une condition de non de non sorti sur sur m donc ça c'est des conditions naturelles et puis au sorti de la salle au porte et bien on va mettre une on va mettre un coup de sortie le plus là ça veut dire quoi le plus là entre les deux conditions ce sont deux conditions indépendantes tu veux dire là non non ça c'est du dn égal 0 ok et puis là tu as cette condition de type disons je sais pas comment on appelle ça une condition type fourrier sur la variable m c'est la condition naturelle qui vient quand on quand on fait les intégrations par parti pour pour trouver pour trouver donc les ces deux ces deux ces deux expressions en rouge val 0 sur les bords par contre au sorti on suppose qu'on sort dans un espace très grand donc dès qu'on sort la densité est nulle et puis on a un coup de sortie alors maintenant je vais expliquer un peu ce que je prends comme amiltonien pour modéliser la congestion la congestion ça veut dire que plus on est nombreux moins on va vite moins plus on paie pour bouger donc la congestion donc en fait j'ai écrit directement le amiltonien j'aurais pu écrire le le coup instantané donc le coup instantané en fait c'est un ça va être un un produit d'une puissance de la vitesse multiplié par une une puissance de m alors là j'ai mis j'ai mis j'ai mis un seuil c0 pour m'éviter des ennuis techniques parce que je veux pas avoir de l'explosion quand m s'annule donc en fait quand on fait la transformation qu'on calcule le amiltonien on obtient quelque chose comme ça donc on obtient une rapport le rapport de une puissance de p divisé par une puissance de m en gros et donc par exemple on a on peut montrer l'existence et l'unicité de des solutions de ce système sous des hypothèses de de croissance de f en faisant des hypothèses sur l'exposant dans le terme de congestion voilà qui modélise la congestion donc je vais vous montrer un donc et puis h ici h qui est là ça peut modéliser par exemple la panique dans la salle donc on va prendre typiquement une constante qui qui dit que plus cette constante sera s'agrande plus le plus le le coup de rester dans la salle sera grand par exemple donc voilà la géométrie que je considère donc on a une une sorte de salle de cinéma ou un hall si vous voulez dans le qui fait 50 mètres par 50 mètres et puis il y a deux sorties au bout qui sont étroites et puis il y a des obstacles qui sont en rouge donc ça peut être des travées des choses comme ça et les les les les les les les piétons qui seront ici devront pour sortir passer dans des dans des corridors assez assez étroits et donc il y aura des phénomènes de congestion alors alors bon ça c'est les les ça c'est mon expérience donc j'imagine qu'au temps initial la population et soit est regroupé dans une dans un dans un rectangle et sa densité c'est à peu près quatre personnes au mètre carré donc on a essayé de faire des tests un peu réalistes pour avoir des des des résultats réalistes donc ici on a dans la salle 3 300 personnes et puis donc c'est une grande salle mais elle fait 50 mètres par 50 mètres et puis on a essayé de trouver des des des un modèle qui donne des temps de sortir réaliste donc si on si on regarde le le nombre de personnes dont on fait on fait le calcul numériquement et si on regarde le nombre de personnes par rapport par rapport au temps on voit que on voit on obtient cette courbe donc au début on a quelque chose d'assez plat parce que les gens mettent du temps à arriver au porte après on a un régime à peu près linéaire et puis après il y a de moins en moins de personnes alors c'est là que je vous devais vous montrer un film mais j'ai eu un pro j'ai un problème donc je sais pas si je vais y arriver alors voilà donc j'espère que c'est celui là voilà donc ça donc ça c'est le le film qui représente la densité de population au cours du temps l'évolution de la densité au cours du temps donc vous voyez ce qui va se passer il va se passer que les gens vont essayer de de de de de se diriger vers les sorties et comme il va avoir des des que aux croisements entre ce couloir et les travées il va se former des que et donc les gens vont vont s'amasser dans ces régions donc je vais essayer de passer le film on voyait ce qui se passe vous voyez qu'il y a des il y a des que qui se forment donc des des ondes la densité de population monte et puis après ça descend et les gens sortent de la salle donc donc là c'est un cas avec congestion donc la congestion fait que les gens s'amassent aux intersections des des corridors ok alors bon ça c'était le film donc voilà voilà plusieurs images successives vous voyez que les gens partent du centre le centre se creuse et puis il s'écoule vers les il fait cool vers les les issues et il y a des phénomènes de que là où donc ça peut atteindre les densités ici peuvent atteindre 10 personnes par mètres carrés donc c'est le métro aux heures de pointe alors après on a fait la même chose avec le le cas de d'un d'un grand chef qui contrôlerait toute la donc ça serait plus des équipes de nage et donc avec le même coup et donc pour le temps pour le pour l'horizon que j'ai considéré on n'a donc on obtient une équation différente pour l'équation de belles man par contre et on voit ici les les images successives et voyez que le planificateur qui décide la stratégie optimale ben il va décider que en fait les gens qui sont à l'arrière ben ils sortiront pas de la salle pendant le pendant l'horizon pendant l'horizon considéré donc si on a grandissait l'horizon il sort il sortirait de la salle mais là là ils vont pas sortir de la salle voilà donc et alors une autre chose oui alors le plus vite c'est le premier c'est qui bien h alors le le un autre un autre exemple pour vous montrer que c'est intéressant de considérer des jeux à champ moyen c'est un exemple que ne peuvent pas traiter des modèles de physique statistiques donc vous imaginez que vous avez un horizon t et que à t sur deux alors jusqu'à à t sur deux les deux portes vont rester fermés c'est dire que les il y a deux portes et seulement les portes s'ouvrent à partir de t sur deux la moitié de l'intervalle et les gens savent savent que l'une des deux portes va être ouverte mais ils savent pas laquelle donc chaque chaque et ils savent pas quel porte va s'ouvrir et chacune des portes va s'ouvrir qu'une probabilité un demi donc donc évidemment ça un modèle de physique statistique peut pas le traiter et donc donc pour traiter ce cas j'ai besoin de du point de vue des EDP j'ai besoin d'une fonction valeur et d'une densité pour les portes fermées dans l'intervalle 0 t sur deux et puis j'ai besoin de la fonction valeur et de la densité dans le cas où la porte gauche s'ouvre et la même chose dans le cas où la porte droite s'ouvre donc j'ai besoin j'ai besoin de coupler des des problèmes au limite pour des EDP entre 0 t sur deux et t sur deux t et donc pour les pour les les équations ben c'est exactement les mêmes que la porte soit ouverte ou fermée par contre pour pour donc là je vais avoir des conditions de non non sorties partout quand les portes seront fermées par contre quand les quand l'une des deux portes est ouverte soit elle soit r ici je vais avoir une condition de diriclet voilà et le problème c'est de coupler donc ça ça me donne bien ça me donne bien j'ai bien des EDP et des conditions limites mais je dois coupler aussi en à l'instant t sur deux je dois coupler la solution u fermée enfin u qui correspond aux portes fermées avec les les solutions à l'instant juste juste après l'ouverture des portes alors quelles sont les bonnes conditions à mettre c'est celle là bien vous supposez que les densités vont être continue parce que ça c'est normal les densités doivent être continue et par contre vous dites que la la fonction valeur avant l'ouverture des portes et bien c'est l'espérance des fonctions valeurs juste après et c'est ça qui vous donne les conditions de transmission donc voilà le voilà les les le le le nombre de gens dans la salle en fonction du temps donc vous voyez que le schéma est bien conservatif il n'y a aucune variation du nombre de gens et puis après bah on a le même type de profil par contre si on garde le film des résultats donc en fait ce qui va se passer c'est assez assez bizarre c'est que les gens vont s'amasser devant les portes et puis juste avant l'ouverture des portes les gens vont faire un pari ils vont décider d'aller soit à droite soit à gauche sans sans même savoir quel porte va s'ouvrir et puis et puis les portes vont s'ouvrir après les gens vont commencer à couler donc voilà je pense que alors regardez regardez donc voilà donc attendez je crois que c'est le même non c'est pas le bon je n'ai pas j'espère que j'ai copié le bon film non j'ai pas copié non mais c'est pas ça bon ben j'ai on a fait une bon excusez moi donc en fait ce qui se passe en fait je peux vous raconter donc c'est je peux pas vous le montrer c'est que les donc les gens s'amassent devant les portes et juste avant l'ouverture des portes ils se précipitent à part égal devant chacune des portes sans savoir laquelle va s'ouvrir et une fois que les portes s'ouvrent le flot c'est cool je suis désolé de pas pouvoir vous montrer je peux pas non je m'en peux je sais pas bon mais ça ça ça c'est évidemment il faudrait il faudrait calibrer les paramètres parce que je peux pas il faut ça je l'ai pas vraiment fait j'ai essayé de faire des trucs assez raisonnables mais bon alors évidemment ce comportement ne peut pas être prédit par par des par des phénomènes par des modèles de mécanique statistiques je voudrais aussi dire que je vais pas vous les montrer mais j'ai fait des tests avec plusieurs populations donc de mécanique statistiques de statistiques on peut pas dire si si les gens étaient comme des particules était modélisé comme des particules on pourrait pas prévoir ce et le oui ce que je voulais dire c'est qu'on j'ai aussi fait des modes et aussi fait des simulations de situations il y a plusieurs populations et où les populations ne se supportent pas entre elles ce qui conduit à des phénomènes de ségrégation et des phénomènes amusants alors maintenant je voudrais je voudrais parler d'une deuxième d'un deuxième aspect c'est les les des problèmes de jeu à champ moyen j'appelle ça soft mfg je vous expliquais pourquoi en macro économie donc c'est un travail en commun qui n'est pas du tout fini avec la frie lionce et Benjamin moll qui est un jeune économiste qui travaille à Princeton alors la motivation moi je vais essayer d'éviter c'est bon il y a en fait on s'est rendu compte que les les modèles de jeu à champ moyen ils existaient déjà il y a un certain temps peut-être pas écrit complètement mais mais les économistes avaient vraiment une intuition de ces modèles et en particulier les modèles avec des agents différents hétérogène et ces modèles en fait on peut les voir comme des modèles de jeu à champ moyen mais avec des couplages mou disons c'est à dire que les couplages se font par des quantités agrégées comme les taux d'intérêt ou les prix ou des choses comme ça donc c'est des couplages qui sont beaucoup moins forts que dans les exemples que je vous ai montré précédemment très peu de choses on connaît très peu de choses sur le point de plan théorique sur ces modèles et on est on c'est vraiment pas facile on a l'impression que les modèles sont plus simples mais montrer l'unité ou l'existence c'est pas facile pour ces modèles là et donc nous notre but c'était d'essayer de populariser le les jeux à champ moyen chez les économistes et en particulier les méthodes de calcul pour leur montrer qu'on peut on n'a pas forcément besoin de formules fermées et qu'on peut aussi faire des calculs numériques et efficace et puis aussi de on voulait on voulait se mettre à travailler sur des problèmes dynamiques parce que souvent les économistes sont intéressés par des équilibres stationnaires et je pense qu'il y a pas mal de choses à apporter du point de vue des modèles dynamiques alors aujourd'hui je vais plutôt traiter ce cet exemple là on a traité tous tous ces exemples là mais je vais traiter l'exemple de producteurs d'entrepreneurs hétérogène et donc ce papier là de 92 qui donne le modèle en fait et puis je vais donner des modèles avec des chocs donc qui affectent qui affectent en même temps toute la population donc des chocs aléatoires qui vont affecter toute la population donc la question philosophique entre guillemets c'est est-ce que la distribution de richesse a un effet sur les quantités macroscopiques en macro économie alors les gens les économistes ont l'air de fin un courant de penser chez les économistes c'est de dire que en fait pour calculer les quantités agrégées tel que le taux d'intérêt par exemple il suffit de en général de connaître la moyenne de la de la richesse du pays par exemple et donc nous on va essayer de montrer le contraire que la structure de la distribution de richesse a un effet sur les grandeurs agrégés l'exemple qu'on va traiter c'est enfin plus particulièrement en fait on va s'intéresser à cette à cet exemple si on regarde les par exemple les états unis aujourd'hui on peut voir deux aspects essentiels de l'économie c'est qu'il y a des hautes des grandes inégalités de de richesse entre la population et puis les états unis comme tous les pays européens de l'ouest sont confrontés à une récession et ce qui est remarquable c'est la lenteur de l'économie à se remettre de cette récession donc la question qu'on se pose c'est y a-t-il un lien entre les inégalités de richesse et le fait que l'économie mette du temps à repartir et puis bon c'est exact c'est ça et donc est ce que la structure de la de la richesse de la distribution de richesse affecte la la reprise et donc voilà ça c'est le résumé donc c'est ce que je viens de dire et puis la deuxième question c'est est ce que les frictions de nature financière affecte la reprise alors je vais expliquer tout ça alors je vais vous en pour expliquer tout ça je vais vous parler du modèle donc on considère un modèle où on a un continuum de producteurs donc d'entrepreneurs et les entrepreneurs sont définis par leur richesse x leur leur richesse et leur productivité z donc voilà donc ils sont hétérogènes ils sont différents et on va avoir une une une distribution m qui va dépendre de x donc la richesse la valeur de richesse z la valeur de productivité était le temps et on va supposer que le chaque producteur voit sa sa sa productivité suivre une dynamique de type diffusion va on va supposer que il ya un bruit un bruit aléatoire un bruit sur la sur la la productivité donc ça c'est un bruit qui est individuel à chaque joueur et donc qui qui sera indépendant pour chacun des joueurs pour le moment on on n'a on traite pas l'économie complète on n'a pas de travailleurs on n'a pas d'entrée sortie bon donc c'est un modèle simple simple pas si simple que ça quand même et puis chaque chaque chaque entrepreneur doit minimiser doit maximiser à une une fonction d'utilité qui est donnée par ça donc u c'est la fonction d'utilité et c c'est la consommation du de l'entrepreneur alors de l'agent d'accord alors maintenant donc l'agent si tu veux à le choix entre deux technologies donc il peut utiliser deux technologies il peut utiliser une peau une une technologie efficace productive celle là ou une technologie improductive celle là donc donc ça c'est la fonction de production donc la fonction de production dépend de la productivité d'un paramètre agrégé qui est qui est commun à tout le monde qui est un facteur de productivité commun à tout le monde et puis cas c'est le capital que le que le l'agent investit dans sa production donc et la dépendance est comme ça donc la production est proportionnelle à la productivité individuelle du producteur au facteur de productivité globale de l'économie et puis ici on a une fonction du capital investi qui va être strictement croissante et qu'on cave alors ça c'est pour la la mauvaise technologie la technologie improductive et la technologie productive c'est à peu près la même chose sauf qu'il y a un coup de il y a un coup fixe donc pour pour entrer dans la technologie productive il faut être prêt à payer un petit peu à pour chaque unité de bien produit donc le coup fixe c'est capable et puis ici il y a un facteur b qui va être plus grand qu'un parce que évidemment il faut que si la technologie est meilleure il faut qu'on le voit donc le fait de le facteur b qui est plus grand que un montre qu'on est plus productif ici que là alors voyez que si k est plus petit que le que le capital fixe et bien ici la production va être nulle donc donc le quelqu'un qui n'est pas assez riche qui ne peut pas investir ce capital là il va obligatoirement prendre cette solution ça va c'est c'est alors maintenant il y a deux il y a deux sources possibles de d'incertitude pour le pour le producteur il y a le risque sur z donc z va suivre une diffusion un processus de diffusion et puis le le facteur global de productivité peut aussi avoir des chocs donc c'est des aléas qui sont communs à toute la population d'entrepreneurs donc pour ça on va quand on quand on fera ce cas là on prendra des des processus de poissons à deux états alors maintenant il y a d'autres il y a d'autres il y a d'autres choses à dire les il faut le capital k il est contraint c'est à dire qu'on peut pas investir plus qu'une certain certain facteur de sa propre richesse c'est comme quand vous vous empruntez de l'argent à la banque vous ne pouvez pas emprunter plus que un certain pourcentage de ce que vous gagnez et puis le le le k le k optimal il va être il va être obtenu en maximisant le profit donc qu'est ce que c'est que le profit le profit c'est la différence entre la production moins le le coût de l'argent le coût du capital investi donc le coût du capital investi c'est le taux d'intérêt par le multiplier par le capital et puis ici il y a un facteur d'usure de d'usure du cas du capital investi et évidemment le profit ben ça sera on fera on fera on fera cette cette opération là pour les deux pour les deux possibles pour les deux modes de production productif et improductif productif et improductif et puis on prend le max des deux donc ça ça nous donne le profit de l'entrepreneur et donc maintenant le l'entrepreneur on voit le problème de de contrôle optimal qui doit résoudre il doit maximiser son utilité sous la sous la contrainte que son sa richesse évolue de par ce par ce par cette équation donc ici voyez le profit à l'instant t ça c'est le c'est le c'est la richesse qui va être placée à la banque si vous voulez et puis ça c'est la consommation donc ça c'est la dynamique de la richesse d'un d'un joueur et donc le contrôle c'est le contrôle c'est la consommation l'équation pour le z c'est un par exemple un processus d'orstein ou l'enbeck par exemple donc là je vais commencer par discuter un modèle sans choc macroscopique puis après sans choc global disons et puis après je vais faire je vais regarder les chocs sur les sur la quantité agrégée à donc d'abord comment on voit le le le problème que à résoudre donc d'abord il ya une relation d'équilibre qui va nous permettre de calculer le taux d'intérêt alors cette relation d'équilibre nous dit que la le capitale globale investi dans l'économie qui est donnée par cette formule là donc ça c'est la formule de toute donc ça c'est le capital pour la produ pour la technologie un un productives un productives le capital pour la technologie productives multipliée par la densité j'intègre ça donc ça ça me donne le capital global investi dans l'économie et puis ça c'est la richesse donc je dis que la richesse c'est complètement investi dans la production donc ça c'est une hypothèse raisonnable mais un peu simpliste quand même et puis et puis après bah vous avez une équation de amilton jacobi bellman sur la fonction valeur sur la fonction valeur et donc vous voyez que ici intervient le taux d'intérêt et elle est couplée avec une fonction d'une une équation de focal planck sur la densité donc ces deux équations sont couplées via le taux d'intérêt r d'accord et le taux d'intérêt il est calculé comme ça donc la difficulté ici c'est que le taux d'intérêt il est calculé pour le calculer c'est pas vraiment facile parce que vous voyez que c'est le cas et le et le kp le ku dépend implicitement du taux d'intérêt donc il faut il faut résoudre un problème de minimisation dépendant du taux d'intérêt pour pour avoir cette quantité là et donc on fait cette équation là elle n'est pas vraiment facile à résoudre alors voilà les paramètres donc le le z issu une une un processus d'horstangling beck ça c'est des fonctions d'utilité très classique et la productivité c'est le cas à la puissance alpha puis vous voyez qu'ici on a on a des des contraintes donc on peut pas investir plus que plus que deux fois sa richesse et puis cap capa c'est le c'est le le coup fixe le coup fixe pour la produit pour la pour la pour la alors je vais essayer de montrer la dynamique de la dynamique de la distribution donc on part d'une j'espère que c'est le bon film on part d'une d'une d'une économie plutôt pauvre donc voilà donc oui je suis pas sûr que ce soit la bonne excusez-moi parce que non je crois que c'est pas le bon film assis mais si il n'est pas il est pas voilà on part d'une économie plutôt pauvre donc les les c'est une sorte de boss donc une sorte de gaussienne c'est pas vraiment une gaussienne mais et donc ça c'est le ça c'est le prix c'est le la pardon la richesse et ça c'est la productivité donc la variable horizontale c'est la richesse la variable verticale c'est la productivité et ça c'est la densité donc au début tous les gens sont à peu près pauvres et puis et puis ils vont donc ils vont s'enrichir donc là on voit que la bosse glisse vers la vers la droite donc les gens s'en enrichissent plus les gens sont productifs plus enrichissent et puis là on voit se développer une deuxième bosse et donc ça ça veut dire que ça c'est les gens qui qui utilisent la technologie productive et ceux qui utilisent la technologie un productiv et vous voyez que il va avoir un et ces deux bosse vont être bien séparés à l'équilibre et donc vous voyez que ça c'est ce qu'on peut appeler une un piège de pauvreté les gens les gens qui sont là ils ont du mal à aller de l'autre côté productif c'est vers le haut c'est plus tu es plus tu es dans cet axe là c'est cet axe là donc plus tu es haut sur cet axe là plus tu es productif donc on voit que les bosse les bosse sont plus larges plus en est en haut je sais pas si on le voit mais et donc et donc voilà donc on voit on voit apparaître on voit bien apparaître les deux on voulait bien apparaître la structure de la distribution de de de richesse et donc voilà elle est là donc vous voyez que les bosse sont étirés du côté où les gens sont plus productifs le deuxième bosse ah je sais pas il faudrait regarder oui je pense que oui je pense que oui je pense qu'il arrive plus vite en haut qu'en bas je pense alors maintenant on va mettre des chocs globaux des chocs sur la sur le facteur de productivité qui affecte tout le monde par exemple ça peut être le prix le prix d'une certaine d'une certaine d'un certain bien donc on va supposer que a prend deux valeurs soit une valeur bas soit une valeur haute et que ça suit un processus de poisson avec des intensités fièl-fièche alors dans ce cas là donc on est dans le cas d'un aléa qui est global à toute la à tout le jeu si vous voulez et donc une possibilité de si on veut faire ça par des EDP il va falloir dire que les il va falloir donner la mettre la distribution de richesse comme une fonction comme un comme une variable d'état donc on va supposer par exemple que le l'état de ha bon ça ça va être une variable d'état mais aussi la distribution va être une variable d'état donc en fait les variables d'état ça sera x z m et a et donc notre fonction valeur va dépendre de m on va trouver une une EDP dont une des variables va être une densité de probabilité donc c'est une une EDP en dimension infini donc si on si on tout tout par exemple le taux d'intérêt maintenant au lieu de dépendre seulement du temps il va dépendre de toute la densité de probabilité et puis tout tout tout tout toutes les toutes les variables vont faire la même chose donc ça c'est la la relation d'équilibre c'est la même que tout à l'heure et puis si on regarde si on regarde l'équation de focal plan que ça va être essentiellement la même que tout tout à l'heure donc ça c'est l'opérateur de de focal planck qui est écrit là donc il y a il y en a un par par par par état de h donc il y a i égale 1 ou i égale 2 ça dépend d'en fait i égale l ou i égale h ça dépendra de la valeur de h et puis l'équation de pardon l'équation de de belles manne par contre elle est beaucoup plus compliquée c'est une équation posée dans un dont dont les variables comprennent la la mesure m et donc c'est une équation de belles mannes posée dans avec des dans un espace on peut on peut dire que m varie dans l2 si vous voulez et donc c'est une équation de belles mannes posée dans l2 par exemple et donc résoudre ça c'est ce que pierre louis lyon ça appelle monster belles manne equation donc c'est une équation évidemment monstrueuse qu'on ne sait pas résoudre évidemment pas numériquement et donc ce qu'on va faire c'est qu'on va faire quelque chose de plus modeste on va supposer que on va on va on va supposer que a subi un nombre fini de choc et donc et ce qu'on va faire c'est qu'on va faire comme dans le cas des portes qui s'ouvraient on va garder toutes les trajectoires possibles et donc entre les entre les chocs on va avoir la même équation de belles mannes et la même équation de focal plan que tout à l'heure et puis on va essayer de recoller correctement ces ces équations là où il y a des chocs alors par exemple s'il ya cinq chocs on va devoir garder 32 32 32 chemins donc 32 chemins et chacun des chemins ce sont des ce sont un couple de dp couplé correctement voilà par exemple un je sais pas si vous voyez donc ça c'est par exemple ce qu'on obtient sur la richesse agrégée donc je vais expliquer c'est ce qu'on obtient sur la richesse la richesse globale de la donc voilà les les chemins que que qu'on peut donc c'est comme un arbre si vous voulez et ça c'est l'arbre des situations possibles sur la richesse agrégée vous voyez que par exemple là il va avoir un choc et donc par exemple si si le si le facteur à décembre la richesse va diminuer et si si si si le facteur à monte il va monter parce que les gens vont vont s'attendre à un choc prochain négatif donc ils vont se mettre à faire des économies donc c'est ça qui explique le fait que la richesse monte alors alors rentrons un peu dans les détails donc on va supposer qu'on a des chocs tous les delta secondes tous les delta années par exemple donc on a on a on a grandaine chocs le pas de temps entre les chocs et delta et puis on a un processus de de de poissons à deux états donc voilà voilà on va l'approcher par cette par ce processus discret et on va garder tous les c'est ce que je disais on va garder tous les tous les chemins possibles à la fois des fonctions valeurs et des densités alors entre les chocs on a on a les équations que je vous ai présenté avant donc c'est d'équation standard donc système agb focal point standard et puis au choc on a des conditions de transmission donc on va dire que là exactement comme dans le cas des portes qui s'ouvraient la densité est continue et puis la la fonction valeurs avant le choc juste avant le choc c'est l'espérance des fonctions valeurs juste après le choc et donc alors voilà ce que donc on a bon ça c'est les paramètres voilà ce qu'on obtient sur les quantités agrégées ça c'est exactement là alors là j'ai pris un seul chemin donc j'ai pris un seul chemin en verre voyez ça c'est la productif le facteur de productivité donc qu'est ce qui fait on passe de 1 à 0 à 95 et puis on repasse un donc on a deux chocs un choc négatif puis un choc positif alors après on regarde les les les la richesse de l'économie donc vous voyez que la richesse de l'économie elle va elle va elle va croître avant le choc parce que les gens au lieu de au lieu de reste donc on part dans l'état stationnaire donc les les les en fait on peut expliquer ça parce que les latitudes des gens c'est de ce qui est optimal en fait c'est de c'est de déconomiser donc de ne pas trop de ne pas trop dépenser donc c'est pour ça que la c'est pour ça que la richesse croit avant le choc parce que les gens enfin on s'attend à ce qui est un choc négatif donc après le choc le choc a lieu la richesse des la richesse des cents puis voyez que ça c'est la reprise c'est après la après le deuxième choc positif la reprise et voyez que la reprise est lente et qu'on n'arrive pas au résultat au à la richesse initiale alors ça c'est la même le même calcul mais sans frictions et sans frictions financières c'est-à-dire que vous pouvez vous pouvez investir autant que vous voulez dans l'économie dans le dans la production donc vous voyez que si il n'y a pas de frictions bah le le le la richesse globale remonte beaucoup plus vite donc les les frictions financières affectent la reprise après c'est le comme on appelle ça en français le gross domestic product comme on appelle ça le produit intérieur brut le produit intérieur brut donc vous voyez que là il subit et subit le choc donc il est discontinu et voyez encore là que la reprise ben la reprise est beaucoup plus lente sur la ligne verte quand il y a des frictions financières que quand il n'y en a pas puis là c'est les taux d'intérêt donc on peut aussi expliquer pourquoi le taux d'intérêt avec frictions est plus bas que le taux d'intérêt sans frictions alors les calculs verts c'est moi qui les ai fait avec des méthodes de dp les calculs bleus c'est ben j'aime un molle avec des méthodes de monté carlot donc c'est pour ça qu'ils n'ont pas exactement la même allure mais les résultats peuvent être comparés alors maintenant regardons la distribution de richesse donc ça c'est la distribution de richesse juste avant le choc donc c'est la ville fait qu'on a vu tout à l'heure donc on est dans un état presque stationnaire pas tout à fait mais on a à peu près la même allure et voilà ce qui se passe juste après le choc donc deux ans après le choc pardon donc deux ans après le choc on voit une petite une petite masse là qui va se détacher de cette de cette bosse en fait qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que les gens les producteurs qui qui ont la technologie productive ne peuvent plus ne peuvent plus payer le coup fixe et donc ils vont commencer à migrer vers la technologie improductive et donc et donc si on regarde quelques années après vous allez voir que cette bosse je sais pas si vous allez réussir à le voir cette bosse va monter et cette petite bosse là va disparaître donc voilà non c'est pas le bon sens voilà donc vous voyez la bosse a la bosse a bien monté donc les gens ont ont bougé de la de ont changé de technologie sont passé de la technologie productive à la technologie improductive et donc ils se sont aussi appauvris et comme ils se sont appauvris ben ils auront beaucoup de mal à revenir donc ça c'est beaucoup plus tard après la reprise ben il on voit qu'on a à peu près la même distribution donc les les les entrepreneurs qui se sont appauvris auront beaucoup de mal à retrouver à revenir vers le vers le vers la technologie productive et donc ils vont la reprise va mettre beaucoup beaucoup de temps et donc voilà le calcul qu'on a fait donc ce qu'est-ce que ça montre ça montre que la distribution de richesse c'est-à-dire les deux les deux pics bien séparés qu'on a vu peuvent expliquer pourquoi la la reprise est lente parce que juste après le choc il y a un petit pourcentage de producteurs qui ne peut pas ce qui ne peut pas utiliser la technologie productive parce qu'il y a un coup d'entrée un coup de un coup fixe et donc il va migrer vers la technologie un productive ils vont donc devenir plus pauvres et puis ils vont mettre beaucoup de temps à revenir à l'état initial donc ça ça peut expliquer donc on voit que la structure de la distribution influ sur la sur les quantités macroéconomiques et donc on voit aussi par la même que plus et mais ça on pouvait s'y attendre plus il y a de frictions financières plus la plus la la la reprise est lente voilà donc une conclusion générale donc bah les jeux à champ moyen c'est vraiment un champ très riche il y a beaucoup de choses à faire et ce qui est intéressant c'est la variété des choses à faire parce qu'il y a des choses théoriques vraiment très très difficile il y a des choses en probabilité il y a des choses en analyse mais il y a aussi beaucoup de modélisation et de simulation à faire et de relations avec les sciences sociales et donc il y a beaucoup de travail pour les mathématiciens mais il y a aussi beaucoup de travail de modélisation et pour ça il faut il pense qu'il faut qu'on arrive à parler avec les experts dans les sciences sociales voilà merci je veux savoir dans les questions tout au début tu te poses d'en problème peut-être une densité que oui intégrer si tu regardes la monster equation là tu n'as pas besoin de supposer qu'il y a une densité après tu tu quand tu résous les odp tu là tu vas les vrais odp en dimension finie là oui tu vas tu vas tu vas supposer qu'il y a une densité je pense oui oui donc tu montres qu'il y a une cité et que le dp a une solution régulière donc donc il y a une densité alors dérivé par rapport à m alors par exemple tu peux dire que c'est tu prends toutes les tu prends toutes les variables aléatoires qui ont comme loi m donc c'est et tu peux dériver par rapport à ces variables aléatoires et tu montres que tu définis la dérivée par rapport à m comme la dérivée par rapport à ces variables aléatoires oui enfin c'est comme ça que c'est comme ça que pire louis fait je crois non parce que oui c'est comme ça qu'il définit là c'est comme ça qu'il définit la dérivation par rapport à par rapport à une mesure de probat il montre que le qu'en fait la dérivée ne dépend pas du représentant enfin de la variable que tu choisis la variable aléatoire que tu choisis