 اسلام علیکم لیکچر نمبر 26 شروع کرتے ہیں آج کالکلس کا اور آج ہم مزید انتگریشن کے جو کونسپٹ ہم نے پہلے دسکور گئے تھے دیکھے تھے ان کے بارے میں مزید ان کی دیوالپنٹ کریں گے تو اس میں یہ ہے کہ آج کا مینٹوپک کیا ہے بیسکلی آج کا ایک ہی طوپک ہے آج کے لیکچر کا اس کو دیکھ لیتے ہیں کیا ہے وہ اس لیکچر بیسکلی انتگریشن اور انتگریشن by you substitution تو یہ آپ کا بیسک کونسپٹ ہے آج کا طوپک ہے اس لیکچر کا بہت زیادہ طوپک نہیں ہے اس لیکچر میں تو خوبفلی آپ خوشبی ہوں گے سنکے کہ آج زیادہ دیتیل میں بہت زیادہ بات نہیں کرنی لیکن یہ جو طوپک ہے صرف ایک جو ہے میجر طوپک آج کا یہ انٹسلف کافی انوالڈ ہے تو اس میں اتنے خوشی کی کوئی بات نہیں ہے کہ آپ لو کہہ رہے ہیں کہ بھئی بس آج جلدی سے جان چھوٹ جائے گی جان نہیں چھوٹے گیا جلدی بات ہوئی ہے کہ اس طوپک پہ بھی کافی ہم دیتیل میں بات چیت کریں گے تو اس میں کیا ہے بیسک what is the point of this integration by you substitution تو اس میں بیسکلی بات یہ ہے کہ جی یہ جس طرح سے ہم نے دریورٹیس کی جب بات کی تھی یہ دیفنسییشن کی جب ہم نے بات کی تھی تو اس میں یہ تھا کہ ہم نے دیکھا تھا کہ جی کچھ سمپل فوملے ہم نے دیکھتے دیفنسییشن کے پہلے تو ہم نے دیفائن کیا کہ بھئی دیفنسییشن ہوتی کیا ہے اس کا ایک لیمٹ ایک کوشن بنتا تھا اس کا ہم لیمٹ لیتے تھے تو ہمارے پاس اس کا جو وہ چیسی اس کو ہم نے دیفائن کیا تھا as the derivative of a function تو اس کے بعد پھر ہم نے کہا دیفائن کیا کہ بھئی کچھ بیسک function ہیں اور ان کے ہم نے دیفائن کر دیتے کہ بھئی یہ آپ کے derivative ہیں ہم نے معلوم کیے تھے using that formula but we started to take them for granted for you know quick use تو اس میں تھوڑے در بعد ہم نے یہ دیکھا تھا differentiation میں کہ جی کچھ بیسک function سے بیسک سے کیا مراد ہے میری بیسک سے مطلب یہ ہے کہ جناب جیسے آپ کا power function ایک ہے یعنی x to the power n اس کی ہم نے جب دیکھا تھا تو اس نے دیکھا کہ بیس کی اس کا ایک formula ہوتا ہے جس کو ہم یات کر سکتے for quick reference اور پھر ہم اس کو بار بار استعمال کرکے اپنا جو کام ہمیں کناوطہ ہم کر لے دیتے یعنی x to the power n کا derivative جو ہوتا ہے یہ اس کو differentiate کریں تو result آتا ہے n times x to the power n minus 1 یہ اپنی میرے خالصی یاد ہو گیا آپ کو اب تک پھر ہم نے دیکھا اس کے کچھر سے بعد اس طرح کے کچھ اور function ہم نے دیفائن کیے معلوم کیے جیساین x کا derivative کیا ہوتا ہے ڈسٹر ڈسٹر پھر یہ ہوتا کہ ایک topic ایسا آیا تھا differentiation میں جہاں پے ہم نے دیکھا کہ functions جو تھے جس function کو ہم ایک function تھا جس کو ہم differentiate کرنا چاہریں تو وہ function جو تھا وہ تھا ہے composition of 2 different functions اور عام طور پر یہ ہوتا تھا کہ جن functions کا ہم a derivative معلوم کرنا آتا تھا ان کو ہم compose کرتے تھے یعنی f of g of x composition hopefully آپ کو یاد ہوگی you should never forget actually what composition is تو اس میں یہ تھا کہ ہمارے پس composition آجتی تھی پھر سوال یہ تھا کہ now composition of functions ہے تو اس کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں تو یعنی اگر sin x ایک function ہے x square ایک function ہے یعنی f of x کو ہم کہلتے ہیں sin x g of x کو کہلتے ہیں x square تو f of g of x جو ہے وہ بنے گا sin of x squared یعنی x square جو اس کی sin x کی sin function کی تو اس کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں یہ ہم نے دیکھا تھا کہ ہم معلوم کر سکتے ہیں in general کوئی بھی composition دیو we can always find the derivative using something called the chain rule تو chain rule جو تھا یہ ہم نے دیکھا تھا differentiation میں that rule basically helped us in taking care of composed functions in terms of differentiating them it was a powerful tool basically that we had or life بڑی سان ہوگی تھی and we could do all sorts of fancy differentiation problems and life was good تو اب سوال یہ کہ اب ہمیں اب ہم نے تھوڑا سی پشلے لیکچر میں دیکھا تھا کہ انتگریشن کیا چیز ہوتی ہے یعنی اب ہم differentiation کا یہ تو میں نے topic ختم کر دیا اب جو انتگریشن کی بات کرنی اور آج کے لیکچر کی main topic a use substitution تو اس کے حوالے سے یعنی میں نے با شروع کی تھی differentiation کی تو اس میں یہ ہے ان کا connection basically کہ انتگریشن تو ہم دیکھ چکے کیا چیز انتگریشن بیسکلی ایک طرح سی ہم نے یہ بھی دیکھا تھا کچھ لیکچر میں کہ پشلے کہ it's a way of defining the area under the curve اور یہ بھی ایک طریقہ اور بھی یہ تھا بیسک طریقہ کہ it's the anti-derivative یا anti-derivative of a given function تو اس میں یہ ہے کہ اب ہی use substitution کی بات کرتے ہیں ابھی تھوڑا دیر میں لیکن تھوڑا سا رویو کر لیتے ہیں کہ anti-derivative کیا چیز ہوتی ہے یعنی اس point of usage میں دیکھنا چاہوں گا انتگریشن کو تو anti-derivative of a function یا جیسے ہم integral of a function بھی کہتے تھے why say یہ integration is just another way of saying the process of finding integrals or the process of finding anti-derivatives is what is called integration تو یہ جو process ہے finding anti-derivatives یہ تو ہم نے دیکھ لیا تھا کہ کیسے کرتے ہیں اب بات یہ ہے کہ anti-derivatives کے حالے سے ہم یہ کہتے ہیں کہ جی انتگریشن وہ differentiation کا ڈلٹ ہے یعنی آپ ایک function آپ کو دیا ہوا اس کا آپ کو anti-derivatives معلوم کرنا ہے یعنی کہ originals جس کو اگر differentiate کریں تو یہ a given function کا result ہے that's how we defined anti-derivatives and integration also پھر ہم انتگریشن کو ایک طرح سیس میں اس طرح بھی دیفائن کیا تھا کہ جی یہ area under the curve ہے وہ فلحال ہم تھوڑا دیکھ لیتے ہیں ہم انتگریشن جو anti-derivatives انتگریشن جو anti-derivatives انتگریشن ہے کہ کوئی function دیا ہوا تو ایک ایسا function دھولنے جس کو differentiate کریں تو آپ کا result given function کا ہے تو اس کے حالے سے ہم بات کرتے ہیں تو وہ بات ہے کہ اب functions کی بات ہوری ہے ظاہرہ یہاں بھی تو integration and functions of functions کی بات جب ہوری ہے تو سوالی ہوتا ہے کہ جی اچھا ٹھیک ٹھیک ٹھیک ٹھیک بلکچر میں بیسک function سے جن کا ہم نے define کر لیا تھا guess work سے کہ جی اس function کا anti-derivatives یا انتگریل کیا ہونا چاہئے تیک ہے جی وہ یاد ہوگا آپ کو ہم نے کہا تھا indefinite integral کیا چیز ہوتی ہے it was the same idea as the anti-derivatives of a given function تو وہی بات ہے کہ جیسے ابھی ہم نے میں نے تھوڑی در پہلے کہ جی chain rule دیکھا تھا ہم نے differentiation کی حوالے سے یعنی ایسا functions کا derivative معلوم کرنا تھا جو کہ compost functions ہوں تو اس کے لیے ہم نے chain rule دیکھا تھا اب یہ کہ کوئی اگر میں ایسے function کا anti-derivatives معلوم کر رہا ہوں یا انتگریل معلوم کر رہا ہوں یا اس کو انتگریل کر رہا ہوں جو کہ کئی functions کا سے composition سے بنائے تو وہ کیسے کریں گے تو یہ بیسک question ہے جس کو آج اس لیکچر میں ہم دیکھیں گے اور یہی سوال پھر سے دہرا دیتا ہوں کہ اگر کوئی functions آپ کو ایک function دیاو جو کہ کئی یا دو different functions کے کا composition ہو تو اس کو انتگریل کریں گے تو یہ سارہ topic ہے بیسکی اور اس کا جواب یہ کہ جی ایسے function کو ہم انتگریل کریں گے by using the process of u substitution u substitution سے کیا مراد ہے یہ u کیا چیز ہوتی ہے u basically is a dummy variable یعنی یہاں میں کہا سکتا تھا کہ جی اب ہم دیکھیں گے کہ u کہاں پہ استمال ہوتا اور اس کا نام اس process کا u substitution کیوں ہے اس میں صرف یہ ہوتا ہے بیسکی کہ جی آپ تھوڑی درکلی یہاں ایک function کو u کا نام دے دیتے ہیں جی کہ جیسے ہم اس میں بھی کیا تھا بلکے چینرول میں ایک u کا variable ہم نے انتدیوز کیا تھا اگر آپ کو یاد ہوگا وہاں پہاں ہم نے اس کا انتدیوز تو کر دیا تھا u equals g of x ہم کہتے تھے ایک جو composition میں function تھا اس کو ہم کہتے تھے کہ جی یہ u ہے اور پھر ہم differentiate کرتے تھے اسی طرح انتگریل ہم دیکھیں گے ہم ایک function کو تھوڑی درکلی نام دے گے u کا اور پھر ہم دیکھیں گے کہ ہم اس کے ساتھ کیا کر سکتے ہیں تو وہاں سے یہ نام آتا ہے u substitution وہی بات ہے کہ میں کوئی بڑے difference نہیں ہے کہ اگر میں u کی جگہ um t ڈال دیتا یعنی میں کہتا t substitution that's fine also کوئی مسئلہ نہیں آپ کوئی بھی variable کا نام دے دیں میں اس کو کہہ سکتا تھا کہ یہ um alif substitution بھی ہوسکتی basically کہوں کہ جی u کیوں alif کیوں نہیں ہوسکتا بالکل ہوسکتا no problem لیکن وہی convention کی بات آتی ہے کہ چونکہ convention بن چکیے کہ جیس کا نام u ہونا چاہیے substitution کا process of substitution میں um u کا variable سمال کریں گے لہذا ہم اس کو u substitution کا نام دیتے اچھا جی تو یہ ہو گیا تو اب ہم نے کیا conclude کیا introduction کے طور پہ جی آپ کی جو یہ substitution ہے u substitution it's the parallel process of the chain rule substitution وہاں پہ ہم compost function کا derivative معلوم کرنے کیلے chain rule سمال کرتے تھے in the world of differentiation اور اب ہم integration کی دنیا میں ہم کہتے ہیں جی اگر ہمیں compost function کا integral معلوم کرنے یا ان کو integrate کرنے تو اس کے لیے ہم u substitution سمال کریں گے اچھا جی تو اس concept کو جو اب ہم نے جس کی تھوڑی سی informal see discussion کی u substitution کی اس کو now formally دیکتے ہیں تا کہ ہمیں پتا چاہے کہ جی یہ سارا اس کی technical technicality کیا ہیں اس کے اندر equations کون سی ایسی بنیں گی جن کو ہم ہندل کریں گے آگے چلکے تو آئیے اس کو شروع کرتے ہیں let's look at some stuff suppose that g is an antiderivative of a function and let's call that function f so antiderivative سے کیا مراد ہے مراد یہ ہے کہ جو capital G function آپ کے سامنے بلکہ suppose جو میں نے کہ جی جی سے مراد ہے capital G اس کو اگر میں دفنشیٹ کروں تو میرے پاس function f آنا چاہیے that's what I mean by saying that G is an antiderivative of a function f so I can write down using this fact that d over du of g of u equals f of u تو یہ تو بیسک سی کچھ باتیں ہم دیکھ چکیں this is basically talking about ہم نے کہا کہ جی جو ایک function ہے اور یہاں پر ویریبل کے کانس ہے سب سمپورت باتیں یہ ابھی جو ویریبل میں استعمال کر رہوں وہ x کی بجائے u استعمال کر رہوں کیکے کوئی فرق نہیں پڑتا کوئی اور ویریبل بھی ہو سکتا تھا u کیوں استعمال کر رہوں ظاہر سی بات ہے میں نے کہا کہ you substitution کی بات کریں گے تو of course that's why I'm using you لیکن بات صرف اتنی سی کہ اگر g antiderivative ہے small f function کا تو اگر میں گی کو دفنشیٹ کروں تو میرے پاس رزلت آنا چاہیے small f function that's what I was saying تو اب اس کو مزید دیوالب کرتے ہیں تھوڑا سا آگے اس کو دیکھتے ہیں اب یہ جو ہم نے ابھی لکھا تھا کہ g d over du of g of u equals f of u اس سے یہ بھی اس کو اس طرح بھی دیکھا جا سکتا ہے کہ اگر میں f of u یعنی small f of u کو انتگریٹ کروں اگر تو میرے پاس کیا رزلت آتا ہے یہ ایک سوال ہے تو اس کو دیکھ لے دیکھ لیتے ہیں کہ انتگرل of f of u du جو ہوگا یہاں پر آپ دیکھ لیں کہ f of u کی مرے پاس اکسپریشہ ہن ہے پچھلے سٹپ سے تو f of u du کی جگہ میں لکھ سکتا ہوں انتگرل of d over du of g of u times du and that's just equal to g of u plus c تو یہ جو last step ابھی آپ نے دیکھا اس میں دیکھ لیتے ہیں کہ سیمپل سی بات ہے کوئی کمپلکیٹٹ تو لگری ایکویشن بہت سو بہت سیمپل فکت f of u کی ایکسپریشہ میرے پاس ہے in terms of derivatives تو میں نے جب انتگرل لیا f of u کا f of u du کا انتگرل لیا تو f of u کی جگہ میں اس کی دوسری فرم دال سکتا ہوں جس میں derivatives بھی انوالدیں میں نے دال دی اگر آپ کو یاد ہو کہ انتگرل and derivatives ایک دوسرے کو ایک opposite functions یا ایک دوسرے کو کینسل کر دیتے ہیں ایک طرح سے کہ رزل جو آئے گا پھر وہ آئے گا g of u لیکن ہم نے دیکھا کہ رزلٹ آتا ہے g of u plus c اور c کیا چیز ہے c is a constant it's some number whatever that constant سے مرارہ ہمیشہ ہوتی ایک number کیونکہ اور یہاں پہاں ہم نے کیوں لکھا g of u plus c کیوں لکھا کیونکہ حالا کیا ہمیں پتا ہے کہ f of u جو ہے اس کا انتگرل g of u آنا چاہی تھا لیکن اگر پشلے جو انٹی دریوٹیف ہے کسی گفن فنکشن کا تو اس سے ملتا جولتا ہے ایک فنکشن اس میں کوئی بھی اسی فنکشن میں انٹی دریوٹیف میں اگر کوئی کنسٹرنٹ آٹ کر دیں یا سپٹریکٹ کر دیں تب بھی اور اس کو دفنشیٹ کریں تب بھی رزلٹ وہ ہی فنکشن آتا ہے جس کی بات ہو رہی ہے تو یعنی مقصد کہنے گا یہاں کہ اگر میرے پاس رزلٹ g of u plus c ہے تو d over du of g plus c جو ہوگا وہ ہو جائے گا d over du of g یعنی g of u plus d over du of c اور c کنسٹرنٹ ہے تو اگر آپ کو یادو کہ دریوٹیف کنسٹرنٹ کے جو ہمیشہ zero ہوتے پھر زیار سی باتر رزلٹ کیا آیا ہمارے پاس رزلٹ آگیا d over du of g of u which is just f of u چیکچی تو یہی صرف اتنی سی بات تھی جو ابھی ہم نے پشلی سٹرنٹ میں دیکی لیکن یہ بہت بہت بہت بہت اگر آپ جانتے ہیں لیکن اچھا جی تو اس کو ہم نے ٹھیک ایک سٹپ اور کر لیا اب تھوڑا صار دیکھتے ہیں اس کو دیٹیل میں اب یہ ہے کہ اب ہم نے ہمارے پاس ایکویڈن تو آج چکی ہے یہ f of u کا انتگرل جو ہے وہ g of u plus c ہو گیا اب ایسا کرتے ہیں کہ ہم کہتے ہیں کہ جو you ہے لیٹس سی بہت that you is a function of x ٹیک جی تو یہ مطلب کہ you as a function of x سے کیا مطلب ہو مطلب یہ ہوئے یہاں پر تھوڑا صاب کو چھوکنا چاہیے آپ کو کلک کرنا چاہیے کہ اب جو ویریبل you ہے اس کو میں دیکھنا چاہ رہوں as some function of x تو یعنی اگر آپ you as a function of x دیکھ رہے ہیں مثال کے طور پہ کہلنے جی you is a function of x کا مطلب ہے you equals k of x its some function تو اس کا مطلب ہے کہ g of u جو تھا capital g of u it is basically it can be written as k of x تو مطلب یہ کہ composition آپ کے پاس آگئے now you have a function which is a composition of two functions that was the point تو u میں نے شروع میں اس لے استعمال کیا تھا کہ مجھے ایک آخر میں کہنا تھا کہ you کو treat کیجیے as a function of x پھر اس کو دیکھیں گے کہ انتگریشن کیا والا اس کو کیا رزلتا ہے گا تو آئیے اس کو دیکھ لیتے ہیں تو ہم کہہاں کہ you is a function of x then we have the following equations and from what we already know d over dx تو اب یہ d over dx کی بات ہو رہی ہے تو ظاہر ہے کہ آپ چونکہ d over du تو ہمیں پتا ہے کیا چیز ہے of g of u وہ تو سیمپلسا f of u ہے ہم نے ڈیفائینیہ سے کیا ہے انٹرسٹنگ کسٹنگ ہی ہے کہ d over dx of g of u کیا ہوگا تو یہ سیمپلسا رزلت ہے کہ this will be equal to d over du of g of u times du over dx لیکن یہاں پہاں یہ کیسے آیا یہ بیسکلی آپ کے پاس رزلت آیا جین رول لہذا دیفنسیییشن u is a function of x remember that اور ساتھ ہمیں دیکھئے کہ d over du of g of u جو ہے اس کی ایک سپلشن ہمارے پاس ہے یہ ہے f of u لہذا پہلے رزلت ہم لکھ سکتے ہیں as f of u du over dx یہ f of u جو ہے یہ پہلی لائن اس میں پہلہ سٹپ جو ہم نے کیا تھا وہاں سے یہ رزلت آیا اچھا جی تو یہ پچلی ایکوین جو دیکھی ہم نے اس میں ہم نے کیا کیا بیسکلی all we did was apply the chain rule of ڈیفنسییشن تو ہمیں پاس وہ رزلت آیا تو اگر آپ بھول چکیں ہو سکتا ہے دماغ سے نکل جاتی بات تو پیس ابھی چیکر لیں make sure you actually look up what the chain rule is لیکن میری امی تو یہ ہے کہ چونکہ ہم اتی ساری ڈیفنسییشن کر چکیں تو you already know what the chain rule is تو just make sure that you remember that just in case اس لیے اچھا جی تو یہ ہو گیا ہم نے chain rule ڈیفنسییشن کر لیا تھا اب ہم یہ کرتے ہیں کہ اب ہمیں ظاہرِ ڈیفنسیشن کا جو chain rule اس کے بارے تو ہم سب کو جانتے ہیں we have already developed the theory اور ہم ساری اس کی details پتا ہیں اب وہ باتا ہے کہ اصل مخصد تو یہ کہ ڈیگریشن کا جو تو اس کو دیکھ لیتے ہیں پھر سے اس میں دیکھیں کہ جو last اب ہم نے دیکھا تھا تھوڑی در پہلے formula اس پہ اب ایسا کرتے ہیں کہ let's apply the integral on both sides of the previous step جو اب ہم نے دیکھا تھا اس پہ ہم اس کو آسی گیا ایسے کہ لیجے کہ ڈیگریٹ اس کو کرتے ہیں on both sides of this equation with respect to x یعنی x variable جو ہم نے ڈیڈریوز کیا ہم نے ڈیگریٹ کرتے ہیں ہمیں پر سزلت آتا ہے ڈیگریٹ of the quantity f of u du over dx times dx ظاہرہ چونکہ dx کو اگر آپ کو یاد ہم نے کہا تھا کہ tells you in a sense what variable you are integrating with respect to تو یہ dx آگیا اب یہ برابر ہو جائے گا to the integral of the of d over dx of g of u capital g of u کیونکہ ظاہرہ g of u ڈیگریٹ اس کو ہم وہنڈی فرنشیئٹ کر رہے ہیں with respect to x times dx لیکن یہ کیا رزل برابر ہوگا اگر آپ کو یاد ہوں اور میں پہلے بھی کہچھو کہوں کہ ڈیگریٹیر اینڈیفرنشییییشن are canceled each other out they are opposites of each other لہذا results صرف آ جائے گا g of u plus c یہ تو ہم دیکھ چکیں c again kg constant ہے this implies that the integral of f of u little bit theoretical تو اس میں ایسے کر سکتے ہیں کہ سمجھنے کے لیے اگر آپ کو theoretical با سمجھا گئی ہے. hopefully کچھ نہ کچھ تو سمجھایا ہوگا تھوڑا بہت آئیڈیہ کیا ہے اس میں صرف اتنی سی بات ہی کہ پورے جو process ابھی ہم نے دیکھا اس میں صرف سمجھنے کے لیے ایک چیز کی ضرورت ہوتی ہے اور وہ چیز ہے کہ جی basically to keep track of your equations یعنی جو ابھی ہم نے بہت ساری equations دیکھیں ان میں اگر آپ کو یاد ہو کہ کون سی چیز کس کے برابر ہے تو یہ سارے فرملے اٹمیٹکلی آپ دیکھیں گے کہ they follow from that all that stuff تو یہ چیزیں hopefully تھوڑا سا سمجھا گیا ہوگا آپ کو کہ use substitution کیسے کام کرتی ہے اب اس کی application کیا ہے application ہم ابھی ایک دو example کریں گے آئے تو صاف ظاہر ہو جائے گا کہ یہ کتی important چیز ہے اور کتی affective چیز ہے اور کتی useful چیز ہے تو میرے حال سے کر لیتے ہیں example آئیڈیے شروع کرتے ہیں example سے ہے جناب کے انٹگرل معلوم کرنا ہے of x square plus 1 race to the power 50 multiplied by 2x multiplied by dx یعنی آپ کو بیسکل ڈیگریٹ کرنا ہے x square plus 1 to the power 50 times 2x کو with respect to x ڈیگی جی اب یہ سیدی سب سے پہلی بات تو یہ آپ کو بھی نوٹ کریں کہ this is not a simple integral یا ایسا ڈیگریل نہیں ہے جس کو ہم پچھلے کچھ لیکچر سے ہم نے دیکھا تھا ہم نے ٹیبل سا بنایا تھا اور ہم نے کہا تھا کہ جی یہ کچھ بیسک سے ڈیگریٹشن فرملے ہیں یعنی relationship ڈیگریٹشن بنائی تھی between a function and its integral ڈیگریٹشن اور یا ایک functions derivative and its integral ڈیگریٹشن تو ان میں سے یہ شامل نہیں ہے ہم نے x یعنی x to the power n ڈیگریٹشن ہے power function اس کا جنرل فرملہ دیکھا تھا کہ اس کی انٹگریریشن کا فرملہ کیا ہوتا ہے تو وہاں پہاں اگر ہم n کی جگہ ڈیگریٹشن کر دیں تو یہ ہم x square کو تو کر سکتے ڈیگریٹ لیکن یہاں پر problem یہ ہے کہ پہلے x square ظاہر ہے نہیں ہے x square plus 1 ہے ہمارے پاس اور پھر race to the power 50 ہے چلیں ایسا کرتے ہیں کہ x square plus 1 کو بھول جائیں let's think about n equals 50 for x to the n and try to maybe evaluate that way وہ فرملہ بھی کام نہیں کرے گا کیونکہ problem یہ ہے کہ آپ کا جو یہ function ہے this is the composition of two different functions اور ظاہر سی باتہ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ وہ دو functions کیا ہیں ایک function ہے x square plus 1 اور ایک function ہے x race to the power 50 ان کو کمپوز کریں تو یہ رزلٹ آتا ہے x square plus 1 race to the power 50 ڈیگریٹشن اور اس کے لہاں یہ تو ہم یاد بھی یہ بھی آتا رکھیں بھول چکیں بھول گیا تھا میں کہا نا کہ اس کو multiply کر رہے ہیں پھر آپ 2x ہے تو یہ بھی ایک problem ہے تو اس کو ہم کیسے ٹکل کریں گے تو یہ جو ابھی you substitution کا ہم نے process کیا اس کو ہم دیکھیں گا اگر اس حوالے سے تو we can take care of this اچھا جی تو اب اس کو ہم انڈیگریٹ کرتے ہیں یعنی ہم نے دیکھ لیا کہ ٹی کے اس کے اندھا کمپوزیشن میں involved ہے یہاں پر ایک point میں کہتا چلوں کہ ٹی کے ہم نے یہ کہا تھا کہ you substitution جو ہے وہ کمپوزیشن functions جو تھے کمپوز functions ہوتے ان کو ٹکل کرتی ہے کہ how to integrate such functions ٹیک ہے that's fine لیکن یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ساتھ میں آپ کے function کی کوئی extra functions ہوں یعنی جیسے اس example میں composition بھی involved ہے اور ایک product بھی لیا جا رہا ہے دو functions کا تو بیسکل تین functions involved ہے تو یہ you substitution کا دیکھیں گے it's a very versatile procedure جو ایک طرح کا chain rule of integration بھی کہلا سکتا ہے اور ساتھ یہ کچھ ایسے functions کو جو composition بھی ہوتے ہیں اور ساتھ ہی میں کوئی product بھی ان میں شاملو ان کا طریقہ ان کو بتاتا ہے یہ rule کے ان کو integrate کیسے کیا جائے تو یہ ایک تھوڑا چھوٹا سا point تھا اب آئی اس example کو دیکھتے ہیں کہ کیسے ہم تیکل کریں گے تو ایسا کرتے ہیں کہ اس میں ایک you substitution بنانی ہوگی تو ہم کہتے ہیں کہ let's call you equals x square plus one اس کو ہم کہلتے ہیں you ہے اب اس میں سے اب ہم ایک du by dx نکال لیتے ہیں یہ سارا کچھ جو میں کر رہا ہوں یہ ایک formula کے تحت کر رہے ہیں جو ابھی ہم نے دیکھا تھا اور اب ہم دیکھ لیں گے وہ formula کہاں پلائے ہو رہے تو اب اس میں سے du by dx اگر ہمیں نکال لیں تو وہ بڑے آسانی سے آجائے گا just differentiate with respect to x the equation you equals x square plus one تو اس کا resultات ہے du over dx equals 2x so now we can rewrite the given problem as یہ جو problem کیا تھی problem تھی جنہ آپ کے انتگرل of x square plus one to the power 50 times 2x dx اس کو ہم لکھ سکتے ہیں as the integral of you to the power 50 times du over dx اور اس ساری quantity کا dx یعنی اس کو کو multiply کر دین dx سے اور اس کا انتگرل لیلیجے تو یہ دیکھیں کہ جو quantity ابھی میں نے کہا پڑھی اور آپ کے سامنے ہے کہ you to the power 50 times du over dx یہ برابر ہے ہمارا جو general formula بھی ہم نے تھوڑے دیر پہلے ڈرائف کیا تھا اس formula کے تحت یہ چیز جو ہے یہ برابر ہے انتگرل of f of u times du over dx اور all of that multiplied by dx اور اس یہ اس formula کے تحت ہی اس کا جو ہم نے دوسری equation ایک بنائی تھی اس کے تحت یہ برابر ہے اور یہ جو مطلب original جو problem ہے you to the power 50 du over dx times dx this will equal to the integral of u to the power 50 times du اور یہ برابر ہوگا u to the power 50 du this will be equal to the quantity integral of f of u du اور یاد رکھیں کہ this is exactly what was the formula that we just derived a while ago in terms of I mean that was the formula that we wanted for u substitution تو یہ اس کے تینہ تھا ہم نے یہ original problem کو اس طریقے سے لکھ لی ہے اب اس کو مزید سولف کرتے ہیں تو دیکھ لی جی کہ یہ جو original problem تھی ابھی resolved ہو چکیے انتگرل of u to the 50 times du اس کا انتگرل ہم بڑے رام سے معلوم کر سکتے ہیں اس کو ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں اگر آپ کو یاد ہو u to the power 50 کاگر میں انتگرل معلوم کر رہوں this looks like the integral of x to the power 50 وہی بات ہے کہ ویریبل کچھ بھی ہو لیکن form جو ہے function کی انتگرل کی وہ کیا ہے وہ ہمیں پتا ہے کہ this looks like up the integral of a power function تو اس کا فرملہ ہمارے پاس تھا میں تھوڑی در پہلے بھی ایزے کر کیا تھا وہ ہم دیکھ بھی چکے ایک دفعہ table میں پشلے کسی لیکچر میں تو اس کے تاہت ہم اس کو اگر solve کریں u to the u to the power 50 du کو تو کیا رزلت آئے گا تو اس کو دیکھ لیتے ہیں integral of u to the power 50 du جو ہوگا جناب یہ برابر ہو جائے گا u to the power 51 divided by 51 کیونکہ جو فرملہ ہے power function کی انتگریشن کا وہ یہ ہے کہ آپ function کو انہیں جو چیز بھی x جو وریبل جس power سے raised ہے اس میں آپ ایک one add کر دیجیے or divide کر دیں اس وریبل کو by that same new power that you get in this case that's 51 تو آپ کے پاس u to the power 51 divided by 51 آجائے گا or a constant of integration جیسے ہم کہتے ہیں اس کو add کر دیتے ہیں because when you differentiate this it'll go away anyway or دیکھ لی جے کہ یہیں پیسی سٹیٹ پے نوٹ کر لیں کہ is u to the power 51 divided by 51 plus c کو گر آپ differentiate کرتے ہیں with respect to you تو رزلت آتا ہے you to the power 50 جس چیز وہی function جس کو آپ انتگریٹ کر رہے ہیں اب یہاں پہاں پہ آپ u کی جگہ سپسٹیوشن جو کی تھی ہم نے u equals the x square plus one اس کو واپس یہاں پہ value کو دال دی جی you کی جگہ تو رزلت آجائے گا x square plus one to the power 51 divided by 51 plus c and that will be the final answer to your problem چی کے جی تو یہ problem ہم نے کر لی تو اس میں بھی وہی بات ہے کہ پہلی problem تھی تو it's probably not that clear کہ ہوا کیا لیکن hopefully کچھ کچھ آپ کو sense ہو رہا ہوگا کہ you substitution کا جو mechanical procedure ہے وہ کیا ہے تھی ریٹکل باتے تو ہوتی رہتی ہیں ٹیکہ which are actually more important کے تھی ریٹکل باتے ہمیں understand کرنی چاہی ہیں concept should be clear لیکن ٹیکہ concepts عاستہ ایستہ clear ہوتے پریکٹس کے ساتھ لیکن یہاں اس example سے mechanical procedure because I think that would be very clear کے اس میں کیا کچھ ہوتے تو یہ اس example کا لتی جا یہاں پہ ختم ہوجاتے ہیں اچھا یہ بات ہے کہ ہم نے انٹیکریٹ کیا بھی x square plus one the power fifty کو اس میں اگر ہم کہتے کہ جیسف انٹیکریٹ کرنا ہے ہمیں x square plus one to the power fifty خالی جو ایسے ملتیپلائی نہیں کرتے تو اس میں کیا رزولت آتا یعنی what would have happened then. اچھا تو اس میں اس کا جواب کیا ہوگا یعنی کیا ہم ایسا کر سکتے تھے کہ x square plus one to the power fifty اگر دیا ہے ہمیں اور اس کا انتگرل معلوم کرنے تو کیا اس کو ہم درکلی power rule of integration کے تحت ہم اس کو لکھ سکتے تھے کیا ایسے کہ x square plus one to the power fifty one divided by fifty one شاید لکھ سکتے تھے یعنی وہی سوال ہے کہ رزال تو ایسا ہی کچھ آیا بھی جو ہم نے last example کی اس میں بھی ایسا ہوا کہ وہی x square plus one کی power fifty one ہو گئی or divide by fifty one تو یہ سوال یہ ہونا چاہیے کہ جی why bother with the use substitution in the first place تو bother اس لے کرنا چاہیے کیوں کہ اس میں وہی بات ہے composition of functions کی بات ہوتی ہے کہ آپ کا جو انتگرل integration کا rule ہے for integrating powers of x involves only the variable x ڈیک جی it is not it does not involve functions which are composition of functions یعنی جیسے x square plus one to the power fifty جو ہے it's a composition of two functions تو وہ ہم یہاں پے ایک تو یہ بات اس کا جواب ہے کہ ہم اس طرح درکلی نہیں کر سکتے اور دوسری بات یہ کہ ابھی ہم کچھ اور examples کریں گے تو ظاہر ہو جائے گا کہ واقعی ہم ایسا نہیں کر سکتے یہ example تھوڑی trickی سی اس لے تھی کہ جواب وہی آیا جو ہم چاہتے تھے آئے لیکن عام طور پہ ایسا نہیں ہوتا اور جواب تھوڑا دفرند آتا ہے تو خیری examples ہم کریں گے practice کریں گے تو it'll become clear یہ کچھ چیزیں جو دیکھ لیتے ہیں ہم میں لکھ دیتا ہوں ان کو ہمیں تھوڑا سا ان سے بچنا چاہیے وہ چیزیں کیا ہیں caution ہے بیسیک لی caution یہ کہ جی don't feel tempted to just add one to the power 50 in this original in this problem we just did وہ غلط ہوگا اور کیوں غلط ہوگا اسی وجہ سے غلط ہوگا جس کو ابھی ہم نے discuss کیا اور the reason اس کا یہی وہی بات ہے کہ it's the reason is that the power rule for integrals is applicable to functions which are not compositions of other functions تیک جی اب چونکہ power rule کو میں بار بار انوک کر رہا ہوں یہاں پے تو ایسا کرتے ہیں کہ ایک ٹیبل جو ہم نے پچھلے کسی ایک لیکچر میں دیکھا تھا کچھ دن پہلے کچھ لیکچرز پہلے تو اس کو یہاں پہ میں لکھ دتا ہوں ہم دیکھ لیتے ہیں اس کو تھوڑا سا review بھی ہو جائے گا اور ابھی جو ہم مزید باتے کریں گے اس کی reference بھی ہو جائے گی تو یہ ٹیبل آپ کے سامنے ہے اس میں دیکھ لی جی کہ یہ بیسیک لی آپ کو help کرے گا recall کرنے میں بیسیک integration formulas اچھا جی ٹی کے یہ ٹیبل بھی دیکھ لی ہم نے اب سوال ایک طرح سے یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ٹی کے ہم you substitution کی بات کر رہے ہیں تو what is the substitution that one should make that is a good question کے ہمیں اس previous example میں جو ہم نے کیا how did we know to let you equal x square plus one what was the reasoning behind that or in general کیا کوئی ایسا form کوئی ایسا process ہے یا کوئی ایسی تیکنیک ہے جو ہمیں بتائے کہ you کی value کیا you کو کون سا function کی assignment کرنی چاہیے تو یہ ایک اچھا سوال ہے it's a good question تو سب سے اچھا جو آپ تو یہ کہ جی there is no hard and fast rule صرف اتنی سی بات ہے یہ کچھ خاص cases ایسے ہوتے خاص کسم کی functions آپ کے پاس ایسے آئیں گے جن کو آپ انٹگریٹ کر رہے ہو گے جہاں پر یہ substitution کرنہ کلیر ہوگا کہ substitution کیا ہونی چاہیے وہ بھی ہم دیکھیں گے لیکن in general there is no hard and fast rule and all of this یہ جو کلیرٹی ہونی چاہیے کہ جی in terms of what you should be equal to یہ پرکٹس آتی اور experience کے ساتھ آتی ہے تیک جی تو کچھ steps ہیں اسم لبتا جو تھوڑا سام اس کو یہ تو ایک اچھا نا سب سے اچھا جواب یہ ہوگا کہ جی practice and experience tell you what you should be نندلیس کچھ تھوڑی سی ہم باتے کر سکتے ہیں کچھ steps ایسے ہیں جن کو اگر ہم ذہن میں رکھیں تو substitution میں you کی value وغیرہ اور یہ جو پورا process ہے you substitution کا یہ تھوڑا سا کلیر ہو جاتا ہے تو آئی ان کو دیکھ لے تھے step number one جہاں جناب basically ہے کہ make a choice for you یعنی کیا ہونی چاہیے وہ بھی میں نے کہا کہ کیا ہونی چاہیے that comes from experience لیکن یہ کہ we could say that you equals some function g of x step number two کیا ہے step number two ہے جناب to compute du over dx and that's of course going to equal to g prime x اے ساری نوٹیشن کا کھیل ہے یہاں پہ we know what du over dx is its g prime of x کیونکہ you equals g of x step number three جو ہے اس میں ہم کہتے ہیں کہ جی make the substitution you equals g of x and du equals g prime x times dx in the original integral اچھای step number three جو ابھی ہم نے دیکھا یہ کچھ تھوڑا سی نئی چیز ہے اب یہاں پہ ہو یہ رہا ہے کہ جو steps ابھی ہم دیکھ رہیں ان سے you substitution جو ہے وہ جو ہم نے ابھی تھوڑے در پہلے کی theoretical level پہ ایک طرح سے ہم نے اس کا theory پوری ایک develop کی ایک formula لکھا اور پھر اس کو substitute کیا تھا اپنے example میں وہ تھوڑے سی involved تھی اس کے اندھا تھوڑے سے یعنی تھوڑا سی مشکل تھی وہ کرنا ہم یہ ایسا کرتے ہیں یہاں پہ ایک یہ جو ابھی steps دیکھ رہے ہیں ان سے نہ تو تھوڑا سا میکلیر ہو جائے گا کہ جی you substitution میں کرنا کیا ہے بلکہ تھوڑا سا اسان بھی ہو جائے گا you substitution کا process جو ہے تو اس کو یہ جو last step ابھی ہم نے کیا ہے کہ آپ du over dx step number 2 میں معلوم کرتے ہیں اس جس the derivative of the g of x function پھر آپ یہ کرتے ہیں کہ آپ du over dx میں جو dx ہے اس کو treat کرتے ہیں as a number یعنی du over dx du over dx جو ہے اس کو آپ کہتے ہیں کہ think of it as a fraction some quantity du divided by some quantity dx اور آپ کہتے ہیں dx کو جناب آپ اٹھا کر لے جائے دوسری side پہ multiply کر دیں by the derivative of the function g of x تو وہی میں نے کہا تھا جسے کہ substitution ہی ہونی چاہیے آپ کی original equation میں کہ you equals g of x and du should equal to g prime x dx اور du جو ہے وہ ہمیں پتا ہے کہ ہمارے formula میں آتا ہے لہذا we should have this formula تو اس کو بھی ابھی مدنہ ذرکتے بھی ان process کو ہم ایک اجامل کر لیں گے لیکن اس میں تھوڑا سے steps اور ہیں ان کو complete کر لیتے ہیں اب یہ ہے کہ step number 3 جو ہے جب آپ step number 3 کر لیں گے تو situation کچھ یوں ہوگی کہ آپ کا جو original integral ہے وہ صرف صرف you کی terms میں ہوگا یعنی کہانے کا مقصد یہ کہ the whole original integral should be in terms of you and there should be no x's involved in the original integral formula یہ جو equation تھی آپ کی integral کی اب اس کے بعد آپ یہ کر سکتے ہیں کہ یہ ایک طریقہ بلکہ چیک ہے کہ کیا با کی آپ نے substitution صحیح کی ہے یہ غلط ہے step number 4 جو ہے وہ آپ کیا ہے basically evaluation ہے آپ نے جو you substitution کی اس کے بعد جو result کیا integral اس کو evaluate کر لیجے اور جب وہ validate ہو جائے the step number 5 involves replacing you by g of x so that the final answer is in terms of x ٹیک جی یہ آپ کا ایک طریقہ کس طرح سا پروسیس ہو گیا کہ کس طرح سکن نہیں چاہئی ہے اس چیز کو ہم ذہن میں رکھیں گے examples کرتے وقت اچھا وہی بات آتی ہے کہ جی you کیسے چوز کرتے ہیں پھر وہ ہی میں کہوں گا کہ جی you جو ہے اس کی choice جو اتی ہے کوئی hard and fast نہیں ہوتی experience اور practice کے بعد آپ کو اندازا ہو جاتا ہے کہ جی کیا choice ہونی چاہئی you کی صرف یہ بات ذہن میں رکھیں کہ you substitution کا مخصد کی ہے you substitution کا مخصد یہ ہے کہ اگر آپ کے پاس ایک انٹیکرل کی equation دیئے اور آپ انٹیکرل دیا آپ کو اور آپ سے کہا گئے کہ بھئی اس کو evaluate کریں اور جو functions ہیں involved in ڈیکرل میں جس کو آپ انٹگریٹ کر رہے ہیں وہ composition ہے کیا functions کا یا product بھی ہو سکتا ہے کیا functions کا یا ان کی کوئی combination ہو سکتی ہے تو ظاہر اس کو انٹگریٹ کرنا مشکل ہے تو you substitution کا مخصد یہ تھا کہ آپ کا ایسی substitution کیجئے کہ original problem simplified ہو جائے اس چیز کو اگر آپ ذہن میں رکھیں تو میرے خالصے obviousی بات ہے کہ you کی choice جو ہے کہ وہ سوال تھا کہ you کیا ہونا چاہئی ہے وہ اس کا جواب ایک یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ایسی choice بنائے you کے لیے کہ آپ کا جو results ڈیکرل ہے وہ آسان ہو جائے انٹگریٹ کرنے کے لیے obviously اور پھر وہی بات کے اس میں hard and fast rule کوئی نہیں ہے depends on the kind of the problem اور وہی بات ہے کہ whatever makes it easier ہو سکتا ہے کوئی different choices سے آپ کا there could be different choices for you and they might all work لیکن ایک choice آسان ہو ایک شہد مشکل ہو again وہی بات کے practice کے ساتھ ساتھ experience کے ساتھ آپ دیکھیں گے کہ you substitution کرنا کافی آسان ہو جائے یہ جو you substitution اس میں ایک طرح سی اس طرح سوچا جا سکتا ہے کہ جی جس ہم شترنچ کلتے ہیں چیس کا گیم تو اس میں مقصد یہ ہوتا ہے کہ جی آپ کا جب گیم آپ کلتے ہیں تو جو مہرے ہوتے ہیں آپ کے ان کی placement جو ہے اس کی اور یا ان کی movement جو ہے اس کی ان کو آپ کو کوئی پانچ چھے moves ahead سوچنا ہوتا ہے کہ جی پانچ چھے قدم کے بعد یعنی میری جو باری آئے گی اس سے مجھے کہاں سے کہاں جانا ہے اور صرف اپنی باری کے بارے میں نہیں سوچنا ہوتا بلکہ آپ نے opponent کے بارے میں بھی سوچنا ہوتا ہے تو میرے خاص ہے you substitution کو اس طرح دیکھا جا سکتا ہے کہ کوئی ایسی چوائس کیجیے you کی جو آپ کی آگے چل کے جو next step میں آپ کی integration آپ ہو کرنی ہے وہ آسان ہو جائے تو it's just basically that kind of an idea اچھا جی اب ایک خاص کسم کا function ہے جس کے بارے میں ہم بات کرتے ہیں اور وہ functions کیا ہیں تو وہ ایسے functions ہیں جنہاں آپ کے ان کو بلکے دیکھ لیتے ہیں کیا ہیں یہ اب ہم ایسے functions کو انٹگریٹ کرنا چاہیں گے جن میں integrand جو ہے یعنی جس کو آپ integrate کر رہے ہیں that is the derivative of a known function with a constant added or subtracted from the independent variable مثال کے طور پہ sign of x plus nine چی کے جی ایک function ہے تو اس میں sign of x plus nine سے مراد میری ہے کہ argument جو ہے sign function کی وہ x plus nine ہے تو اس کو کیسے integrate کریں یہ جو ہوتے ہیں کافی relatively اسان ہوتے ہیں ان کے انٹگریٹ کرنا بات وہی جسے ابھی ہم نے پڑھا کی کس طرح کی functions ہیں یہ بیسک functions ہیں لیکن independent variable میں constant add یا subtract کر دیا گے تو ان سے کیسے ان کو کیسے تکل کیا جائے انٹگریٹشن کے حوالے سے تو یہ ایک example کر دیکھ لیتے ہیں تو آپ کی example ہے جنہاں آپ کے اسی function کو لے لیتے ہیں integrate sign of x plus nine dx یعنی انٹگریٹ کریں of sign of quantity x plus nine dx well let's make a substitution let's say you equals x plus nine and then we can write this original problem as sign of you du تو یہ du کاں سے آئے سوال یہ کے sign of you تو آگیا because you is equal to x plus nine where did this du come from in place of dx تو یہ اس کا جواب یہ ہے کہ جی نوٹ کریں کہ چونکہ you ہے x plus nine کے برابر تو اگر ہم اس equation کو differentiate کریں with respect to x تو result آتا ہے du over dx equals one لیکن that جسے ابھی ہم نے کہا تھا کہ we can think of this as du equals one times dx in dx کو آپ variable ایک quantity سمجھیں and cross multiply کر دیں تو result آتا ہے du equals one times dx but that's just the same as du equals dx لہاں سے یہاں سے آپ کی dx چکر du آ جاتا ہے اب اس کو integrate کرنا بڑا سان ہے بیسک function ہے اس کا result ہے minus cosine of you plus c اور یہاں پر اب you کی value آپ آپ اس ڈال دی جی as x plus nine and you get the result minus cosine of x plus nine plus c تو یہ ایک تاپ کا function تھا جو ابھی ہم نے دیکھ لیا اس کو integrate کرنا you substitution کے ذریعے کافی اسان ہے اور ہم نے دیکھا بھی واقی اسان تھا تو اور بالکس example سے you substitution بھی تھوڑی سی اور کلیر ہو گئی ہوگی اچھا جی تو ایک اور example کر لیتے ہیں اسی تاپ کی اسی you substitution کی تو اس کو بھی دیکھتے ہیں یہ جناب ہے آپ کے سامنے integrate یا find integrals of x minus 8 race to the power the quantity race to the power 23 dx تو اس میں substitution کیا ہونی چاہیے یہ ایک اچھا سوال ہے substitution کیا ہوگی میرے حال سے آپ کو میں اس exercise دیتا ہوں یہ والی problem کے you make a substitution and do this substitution بڑی اسان ہے اس والی problem میں لیکن میرے خاص لیکس کو آپ غور کریں گے you'll see it's very easy اور چھوڑی سی practice ہو جائے گی so I'll just leave it to you اچھا جی اب ہم آگے چلتے ہیں کہ ایک اور تاپ کی functions دیکھتے ہیں جنہیں ہم integrate کرنا چاہیں گے یہ وہ functions ہوتے ہیں جن میں independent variable جو ہے function کا وہ ایک multiple سے multiply ہو رہا ہے یعنی اس کے اندر ایک multiple involved تو اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں یعنی کس تاپ کی functions ہیں what I'm trying to say is that these are the functions in which the integrand is the derivative of a known function تک ایک بیسک function میں سے ایک function ہے and a constant multiplies the independent variable تو اس کی example دیکھ لیتے ہیں جناب integrate cosine of 5x dx تو یہ cosine of x جو ہے ہمیں پتا ہے کیسے انٹگریٹ کرتے ہیں بیسک function ہے اس کا ہمیں پتا ہے جواب کیا ہونا چاہیے اس کا جواب ہونا چاہیے sign of x plus c لیکن یہاں پر کیا ہے کہ یہاں پر ایک five multiply کر رہا ہے x کو how do we tackle that we tackle this by using you substitution and let's see how we can do it یہاں پر دیکھیں کہ cosine of 5x ہے تو اس کو integrate کرنے تو let's say that we call you equals 5x and then from that equation we can see that du will equal to 5 times dx and from that I can also write this as du over 5 equals dx ان کو have substitute کریں اگر تو دیکھیں کہ result آتا ہے integral of cosine of you times du over 5 یہاں پر سوال یہ ہے کہ میں نے du over 5 کیوں لکھا ہے اس لیے لکھا ہے کہ ابھی تک آپ ظاہر ہو چکا ہوگا کہ آپ کے جو رجنل پروبرم میں جتنے بھی x ہیں یہ جتنے بھی terms ہیں جن میں x involved ہے ان کو ختم کر کے آپ کو ایسی چیزے لکھنے جن میں you involved ہے تو ظاہر ہے cosine of 5x کو اگر میں نے you کہا دیا 5x کی برابر تو cosine of 5x جہاں وہ cosine you بن گیا اب dx سے کیا کیا جائے dx کی جگہ بھی کوئی value ایسی لانی ہے کوئی ایسی چیز لکھنے جس میں you involved تو اس کا سمبل طریقہ یہ ہوتا ہے کہ جو سبسٹیوشن آپ نے you کی بنائی ہے اس کو ڈی رفرنشیٹ کر لائے with respect to x and solve it for dx کیونکہ dx کی لیے ہم a value چاہی ہوتی ہے in terms of everything else involving you that's why I said ڈی x equals du over 5 تو یہ میرے پاس dx کی value آگئی اب اس کو complete کر لیتے ہیں problem کو تو یہ دیکھ لیں کہ جی cosine of you du over 5 ہو گیا تو اس 5 کو جو bottom میں ہے اس کو factor out کر لیجے this becomes 1 over 5 integral of cosine of you du equals 1 over 5 sine of you cosine کا integral sine ہوتا ہے plus c and of course now we can substitute values back into it and we get 1 over 5 sine of 5 x plus c اچھا جی تو یہ بھی ایک ایک ایک سامپل ہم نے اور کر دی اب تھوڑی سی complicated ڈی ایک سامپل ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں اس میں یہ ہے بیسکل کی it's a little bit complicated ڈیکھ لیتے ہیں can the composition or multiplication involved so let's look at this integrate sine squared of x multiplied by cosine of x dx اس میں ایسا کرتے ہیں کہ let's say that you equals sine of x then du will equal to cosine x dx یہاں پے بجائے پورا پروسیس کروں میں du over dx equals cosine x و پھر وہ multiply کروں کرنا تو ایسا ہی چاہیے لیکن میں نے چونکہ I have experience so I have done it in one step and I have written down du equals cosine x dx لہاں سب original problem جی ہے وہ بن جاتی ہے integral of you square du اب اس کو ہم انٹگریٹ کرنا آتا ہے the result is you cubed یعنی you to the power 3 divided by 3 plus c and now we can substitute the value of you back and the result is sine cubed x یعنی sine of x to the power 3 divided by 3 plus c اچھا جی تو یہاں پے ایک تھوڑا سا آپ نے شہد نوٹ کیا ہے کہ problem is sine square x multiplied by cosine x تھا تو اس میں دیکھیں کہ آپ کا جو substitution آپ نے کی you کی وہ پہلہ function تھا اور اس کے بعد جو اس کا derivative ہے sine x کا اس میں automatically cosine x dx آ جاتا ہے تو اس طیب کے problem بڑی اسان ہوتی ہے ایک طرح سے اگر دیکھیں کہ جس میں ایک function اور اینہ دو function ملیپلائے ہو رہے ہیں اور جو دوسرا function ہے یا ان میں سے ایک function جو ہے چونکہ product doesn't matter which one comes first ایک function جو ہے وہ derivative ہو دوسرے والے گا تو یہ بڑی آرام سے substitution ہو سکتی ہے جیسے یہاں پہ sine x sine square x تھا تو you کو اگر میں sine x لیلنو خالی تو اس کا derivative جو اس میں cosine x automatically آ جاتا ہے اور dx بھی obviously comes from the formula تو یہ والی problems کافی آسان ہوتی ہے اچھا جی تو یہ ہم نے ابھی تک دیکھیں اس لیکچر میں کیا دیکھا ہم نے you substitution کی بات کی اور یہ ایک سامبرز دیکھیں ہم نے کہ کیسے ان کو تکل کیا جاتا ہے کیسے ہم استعمال کرتے ہیں you substitution کو for solving integrals involving complicated functions یا functions there are compositions of other functions or there are functions of there are actually compositions of other functions multiplied by other functions یا یہ تھوڑا سندازہ ہو گیا ہو گا آپ کو کہ ایک اس طرح کے complicated functions ہے جن کو ہم انٹگریٹ کرنا چاہ رہے تھے اور ان کو ہم نے تکل کیا ان کی انٹگریشن کو you substitution کے ذریعے تو وہی بات ہے کہ ایک طرح کا چینرول دیفنشیشن میں دیکھا تھا اس کا ایک counter part ہے انٹگریشن میں so that was the idea basically اس میں پھر وہی بات آتی ہے کہ ابھی تھوڑی دے پہلے بھی میں نے کہ جی how do we what is the question ہے کہ how do we find how do we make a substitution for you یا what should be the value of you in terms of its substitution تو اس کا جواب یہی تھا کہ جی practice کے ساتھ ساتھ اندازہ ہو جاتا ہے کہ کیا ہونا چاہیے کوئی hard and fast ڈول نہیں ہے لیکن کچھ ہم نے دیکھا بھی کہ کچھ ایسے problems جہاں پہ ایک خاص طور پہ جو last example تھی کہ دو function ہیں اور ان میں سے ایک جو ہے بہت ڈرویٹف ہے ایک دوسرے والے کا تو you substitution بڑی نیچل سی ہوتی ہے کہ ان میں سے ایک کو آپ you کہلیں جب ڈفنشیٹ کریں گے تو دوسرا والا function جو ہے وہ آٹمیٹکلی ڈیو کی ترمز میں آجائے گا تو یہ آپ کا کونٹ سپ یہاں پہ اس طرح سے ہم نے دیکھا کہ کچھ ڈیمپرز میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ ہاں جی you کیا ہونا چاہیے گے خیر یہ ساری باتیں تو ہو گئی لیکچر اب ہم نے دیکھلی آج کا ایکی topic تھا مین you substitution اس کے بارے میں بات چیٹ کر لی اس میں واقی practice کریں گے تو ساری بات بنے گی تھیوری تو ہم نے دیکھلی تھی we have done it and that was all good also تو آئیے پس پھر ہم ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو you substitution ہو گئی اس میں practice کرتے رہیے گا اور text book میں آپ دیکھیں گے تو اور ایسی problems ہیں جو آپ کو دیکھیں گے کہ جی جن میں یہ سوال پوچھ جاتا ہے کہ you کی value کیا ہونے چاہیے اور وہ اس طرح کی problems ہیں جہاں پر ان کو آپ پریکٹس کریں گے ان problems کو ڈیمٹ کریں گے تو آپ کو اور فائد آپ کو develop ہوگا concept کے جی you کی substitution کیا ہونے چاہیے گے تھی کے پھر next time لگات ہوگی thank you for you patience this during this lecture خدا آفس