 Je vais vous parler de mesures de Gips non linéaires et de la manière dont on peut les obtenir, à partir d'un modèle microscopique, c'est-à-dire de la mécanique quantique, dans un régime spécial qui s'appelle le régime de champ moyen. Avant que je commence, je vais vous parler de la mécanique quantique. Je vais vous parler de la mécanique quantique. Je vais vous parler de la mécanique quantique. Avant que je commence, je voudrais vous dire qu'il faut m'interrompre à tout moment si vous avez des questions. N'hésitez pas à me poser des questions. Et puis je vous mets mon mail, même si c'est toujours facile à trouver sur Internet bien sûr. Je vais commencer ce cours par discuter du régime de champ moyen. Comme tout le monde n'est peut-être pas vraiment familier avec la mécanique quantique, je vais en fait commencer par vous parler de mécanique classique, mais très rapidement, juste quelques minutes. Donc quelle est la question qu'on veut se poser ? On regarde un système qui comprend un grand nombre de particules N. Donc N, c'est le nombre de particules dans RD. Alors on est intéressé à des égales 1, 2 ou 3, mais on peut garder des générales dans la plupart des résultats. Et donc ces particules vont être d'abord toutes identiques, c'est toutes les mêmes, c'est assez important. Et elles vont être soumises à un potentiel extérieur V. Donc V, c'est une fonction qui va de RD dans R. Donc le potentiel extérieur, c'est ce que l'expérimentateur, c'est de la manière dont il peut agir sur les particules. Donc le V, on peut le choisir un petit peu comme nous on veut. Évidemment, il y a des V qui sont réalisables dans l'expérience d'autre pas, mais le V, c'est nous qui l'imposons. Et par ailleurs, ces particules vont interagir avec un potentiel W, qui est aussi une fonction de RD dans R et qu'on va toujours supposer pair. Donc à la différence de V, le W, lui, est plutôt une caractéristique du système qu'on regarde. On peut essayer de le mesurer, mais parfois on n'a pas beaucoup d'informations sur le W. Et donc ce sera important que les résultats mathématiques soient assez génériques vis-à-vis de W. Pour certains systèmes, on connaît W, pour d'autres on ne connaît pas, on connaît que la forme. Donc une forme typique, c'est un potentiel qui va être très répulsif à fait de distance et puis éventuellement attractif à grande distance. Et ce que j'ai oublié de vous dire, c'est que la fonctions W, on doit penser que ça dépend vraiment de la distance entre deux particules. On considère les particules par pair, et si vous avez une particule située en X, une autre située en Y, qui sont deux vecteurs de RD, alors la force du potentiel, l'interaction, va dépendre de la distance entre les deux. C'est pour ça qu'on suppose que c'est pair, juste parce qu'il faut que les particules soient interchangeables. Alors, décrire ce système de n particules, c'est décrit par un système amyltonien classique, donc on est en mécanique classique, et qui est donné par le amyltonien suivant. Donc c'est une fonction de deux ND variables, X1, P1, X2, P2, etc. Xn, Pn, où chaque Xi, c'est la position de la particule I, et PI, c'est sa quantité de mouvement, c'est-à-dire essentiellement M, faut la vitesse. Et donc c'est quoi le amyltonien de ce système, la fonction amyltonienne ? C'est la somme J égale 1n des énergies cinétiques de toutes ces particules, c'est-à-dire Pj² sur 2M, c'est le 1,5 de MV2, si P c'est M fois V, ça fait P² sur 2M. M, c'est la masse de chacune de ces particules, elles sont toutes identiques, elles sont toutes la même masse. Ensuite, vous avez chaque particule qui ressent le potentiel extérieur V, ça fait la somme des V de Xj, et puis finalement, la somme sur toutes les paires, on vous somme sur les paires, je mets la somme J strictement en plus petit que K, des W de Xj-Xk. Et comme j'ai des couleurs, je vais en profiter. Donc ce qu'on va faire ici, pour se placer dans le régime de Chambriens, c'est qu'on va ajouter ce que le physicien appelle le constant de couplage, c'est-à-dire au lieu d'avoir un potentiel W, on va avoir un potentiel lambda fois W, où lambda est un réel et on va agir sur lambda. Bien. Donc qu'est-ce qu'on doit faire avec ce système ? C'est un système amiltonien, donc la dynamique du système, c'est les équations amiltoniennes habituelles, c'est-à-dire Xj. qui est des ronds H sur des ronds Pj, c'est-à-dire juste Pj sur M, et Pj. qui est moins des ronds H sur des ronds Xj, qui est juste la somme des forces. Je n'écris pas ce que ça vaut. Donc bien sûr, le nom des orbites, l'énergie est conservée, c'est un système amiltonien. Bien, et tout ça, c'est pour J égale 1n. Donc vous avez aussi les états stationnaires. Les états stationnaires, c'est ceux qui ne bougent pas. Vous voyez que les états stationnaires, c'est les points critiques de H. Donc ces points critiques de H, on a tous vitesse nul, on a été de mouvement nul. Donc vous avez Pj qui va être 0 pour tout J, et par ailleurs le gradient par rapport aux Xj qui va aussi être nul. Et un point stationnaire privilégié, c'est celui d'énergie minimale. Bon, c'est celui qui sera le plus stable. Donc ça bien sûr, c'est juste les équations de Newton. Et ce qu'on désire faire maintenant, c'est étudier le même problème, mais pour des particules quantiques. Oui ? Oui, oui, les potentiels. En fait, souvent, on considère que W est radial, et dans ce cas-là, c'est vraiment de vers plus tant ré. Et par ailleurs, on peut aussi prendre un V qui soit formellement infini en dehors d'un domaine omega. Et dans ce cas-là, le système va être confiné à omega, et on n'a plus besoin que les potentiels soient tous les deux vraiment définis sur tout RD. Parfois, j'autoriserai le fait d'avoir un V infini en dehors de, je ne sais pas, d'une boule ou quelque chose comme ça, et dans ce cas-là, le système sera confiné à la boule. Mais sinon, dans le cas le plus simple, on peut supposer que c'est vraiment dans tout RD. Donc comment on décrit maintenant le cas quantique ? Donc la mécanique quantique, c'est une théorie probabiliste. Donc ça veut dire qu'au lieu que les particules et une position et un quantité de mouvement bien définis, on aura des probabilités, des probabilités pour les positions et des probabilités pour les quantités de mouvement. Donc on aura deux probabilités, pour les positions et une pour les quantités de mouvement. Et par ailleurs, on a un lien entre ces deux probabilités, qui est la fonction d'onde, qui est vraiment le principe d'Eisenberg. Donc le système quantique est décrit par ce qu'on appelle une fonction d'onde, qui est une fonction psy, non, L2 de RD à la puissance n. Je vais vous expliquer après qu'il faut rajouter une petite contrainte, pour l'instant, restons avec ça, qui est normalisée. Bon, elle est normalisée parce que le psy fournit deux probabilités. Donc la première probabilité, c'est la probabilité pour les positions. Donc le psy de X1 jusqu'à Xn au carré, c'est la probabilité que la particule n°1 soit en X1, que la particule n°2 soit en X2, etc. Et ensuite, la fonction d'onde sert à deux liens entre position et vitesse, simplement par le fait que si on prend la transformée de fourrier de psy, qu'on regarde son carré, dans ce cas-là, c'est la probabilité que la particule n°1 ait une quantité de mouvement P1, que la particule n°2 ait une quantité de mouvement P2, etc. Donc le lien entre position et vitesse est assuré par la transformée de fourrier. Donc pour que ce soit des probabilités, il faut choisir une définition de la transformée de fourrier qui soit une isométrie. Donc partout, mon F-chapo de K dans RL, je ne sais pas, sera défini par 1 sur 2p à la puissance L sur 2, et c'est le général de F2X exponentiellement à z, x k r k d x sur RL pour les fonctions L1 et puis ensuite étendue comme d'habitude. C'est la convention que je prendrai tout le temps pour les transformées de fourriers et c'est une de celles pour lesquelles c'est une isométrie. Donc vous voyez que ce que j'ai écrit est un petit peu bizarre puisque je suis en train de mettre des étiquettes à mes particules puisque je suppose que je peux savoir qui est la n°1 et la suivre, qui est la n°2 et la suivre, ce qui n'est pas très raisonnable puisque si on les observe à deux moments différents, on ne saura pas si c'était vraiment la 1 ou la 2 ou la 3, puisqu'elles sont indissernables. Donc ce caractère indissernable, c'est-à-dire le fait que ce soit toutes les mêmes, doit se traduire dans le fait que tout doit être invariant si on change l'ordre, si on change la numérotation et donc il faut que ces deux probabilités soient invariantes quand on change les numéros des variables. Donc il faut que psycharés et psychapocarés soient symétriques par rapport aux échanges des variables, aux échanges des indices. Alors ça ce n'est pas une contrainte très sympathique parce qu'en mécanique quantique on doit travailler dans un espace de Hildbert qu'il faut que ce soit une contrainte linéaire et donc il faut la traduire en une contrainte sur psy et pas sur psycharés et psychapocarés. Vous voyez qu'il y a essentiellement deux choix. Soit on suppose que psy est lui-même symétrique, donc en quel cas le carré et la transformée de fourrier seront tous les deux symétriques et dans ce cas-là ça décrit des particules qui s'appellent des bosons. Soit on suppose que psy est anti-symmétrique, c'est-à-dire que si vous échangez l'ordre des variables vous avez le signe de la permutation qui sort, ce qui du coup ne se voit pas dans le carré, bien sûr. Et dans ce cas-là ça décrit des particules qui sont des fermions. Donc dans le monde vous avez vraiment les deux sortes de particules. Des exemples de fermions, c'est par exemple des électrons, des protons, des quarks, je ne sais pas. Et des exemples de bosons, par exemple des photons. Ensuite quand vous avez des particules composites qui sont composées de plusieurs particules à l'intérieur et que vous désoumez les décrire comme une seule particule, par exemple un atome, ce que vous devez faire c'est compter le nombre de particules élémentaires à l'intérieur et si vous avez un nombre père de fermions et puis quelques bosons, ça vous fera un boson et si c'est un nombre impère ça vous fera un fermion. Donc quand vous avez un atome, je ne sais pas, des liomes ou quelque chose comme ça, vous devez compter combien vous avez de particules élémentaires à l'intérieur et vous saurez si c'est un boson ou un fermion. Dans ce cours on va considérer uniquement les bosons. Si vous avez des questions, je pourrais faire des commentaires sur les fermions et vous allez voir aujourd'hui très rapidement pourquoi on fait cette restriction. Bien. Donc ça c'est la manière de modéliser l'état de nos n particules. Maintenant il faut parler du système amyltonien associé, donc il y aura lui amyltonien et puis l'équation. Donc on commence par l'énergie. Donc l'état maintenant c'est plus les deuxaines variables X, Y et P, l'état c'est Psi et c'est vraiment évident quelle est la formule de Psi parce que vous devez prendre la formule classique et intégrer contre les probabilités. Vous intégrer contre la probabilité que les différentes particules soient en X1, X2 jusqu'à Xn avec les moments en question et donc vous trouvez la formule suivante. La somme J égale 1 à n donc vous aurez Pj² sur 2n le Psi chapeau au carré de toutes ces variables que j'écris pas. Vous aurez aussi le V de Xj fois le Psi² avec toutes les variables que j'écris pas non plus et puis lambda fois la somme j'ai strictement plus petit qu'un ferragale à n de W de Xj-Xk fois le Psi² aussi de X1 jusqu'à Xn intégrer d'Xn d'Xn. Et bien sûr la remarque élémentaire c'est qu'on va regarder Pj² avec le Psi chapeau au carré vous pouvez l'écrire dans l'espace direct au lieu de l'écrire en fourrier et vous voyez que ça fait que des intégrales sur RDn c'est la même chose que le gradient dans la direction Xj de Psi au carré donc vous avez un terme avec un gradient carré ensuite un terme avec les V de Xj et puis le terme avec les W donc là j'ai pas vraiment expliqué quelle hypothèse on pourrait faire sur Psi mais on va supposer essentiellement que Psi est dans l'espace de ce bol FH1 et mettre les bonnes hypothèses sur VW pour que les deux autres termes soient bien définis dans H1 si Psi est dans H2 ou alors simplement au sens des formes vous pouvez calculer l'énergie de manière différente en faisant une intégration par partie et vous voyez que c'est une forme quadratique avec un certain Hamiltonian Hn peut-être je l'appelle Hn lambda ou Hn lambda c'est la somme Hn du Laplacien dans la direction Xj sur 2M plus V de Xj plus lambda la somme des W de Xj d'accord ou à chaque fois quand j'écris une fonction de X je veux dire l'opérateur de multiplication par cette fonction dans F2 voilà donc ça c'est pour la fonction Hamiltonienne l'énergie maintenant et bien vous avez un système Hamiltonien associé dans le cas classique sauf que si vous n'avez pas l'habitude vous allez me dire qu'il y a un problème c'est qu'on a une seule variable pour un système Hamiltonien il faut avoir une forme simpleactique avec deux variables en fait il y en a deux il faut supposer que Psi est complexe pour avoir deux variables et les deux variables c'est la partie réelle et la partie imaginaire de Psi et donc si vous dites que vous avez deux variables Psi1 et Psi2 et Psi1 exactement comme la haute vous allez trouver l'équation de Schrodinger y. égal hn lambda Psi bien et donc maintenant un état stationnaire donc ici les états stationnaires on va identifier des fonctions qui sont égales à phase près et donc du coup on autorise le fait d'avoir une phase qui peut dépendre du temps et donc un Psi2t sous la forme exponentielle lambda t un Psi donné qui ne dépend pas du temps sera en fait un état stationnaire et dans ce cas-là le Psi en question sera juste une fonction propre de l'opérateur H et n'oubliez pas que Psi est toujours supposé normalisé dans L2 bien et donc voilà les états stationnaires vous en avez un particulier qui est celui d'énergie minimale et donc si maintenant vous voulez décrire un tel système j'aurais peut-être pas dû l'appeler lambda parce qu'on a un autre lambda excusez-moi je vais l'appeler E ça va rien avoir avec l'autre lambda donc si vous voulez décrire le système en question si vous regardez la dynamique vous devez résoudre cette équation et si vous cherchez les états stationnaires vous devez résoudre cette équation donc c'est un problème au valeur propre et n'oubliez pas aussi qu'on doit se restreindre sous espace des fonctions qui sont symétriques pour les bosons et pour les fermions et pour nous ce sera surtout symétrique alors résoudre cette équation sur un ordinateur de manière approchée est extrêmement difficile et en fait quasi impossible et la raison c'est que dès que n est un peu trop grand la dimension croit avec n et donc le problème devient exponentiellement difficile donc en fait d'un point de vue pratique cette équation n'est pas très utile elle est très simple c'est une toute petite ligne mais c'est très dur d'en faire quelque chose et donc les gens sont très à vide de trouver des approximations qui soient plus faciles d'accès et qu'on puisse par exemple simuler sur un ordinateur donc le but c'est de trouver un régime où le système est décrit par un modèle plus simple finalement c'est simple mais il y a peut-être plus accessible je devrais dire accessible numériquement donc dans ce cours on va regarder un régime particulier qui s'appelle le régime de champ moyen donc qu'est-ce que ça veut dire champ moyen ça veut dire qu'on va regarder la limite où le nombre articule est très grand et où en même temps la constante de couplage lambda est très petite d'accord mais si on la prend trop petite ça va pas être très intéressant il faut qu'elle soit petite il faut que les interactions jouent un rôle d'accord et en fait le bon régime c'est quand lambda se comporte comme 1 sur le nombre de particules et c'est ce qu'on appelle le régime de champ moyen donc c'est ce régime qu'on va étudier alors pourquoi lambda comme 1 sur le nombre de particules si vous regardez la définition du Hamiltonien c'est assez intuitif que quelque chose va se simplifier dans ce cas-là vous voyez que le Hamiltonien que j'ai écrit ici contient deux sommes le premier à une somme de n termes et le deuxième à une double somme donc vous avez de l'ordre de n carré termes exactement un n en moins un sur 2 et donc si vous voulez que l'interaction joue le même rôle enfin que les deux soient du même ordre c'est assez naturel de prendre lambda d'ordre 1 sur n d'accord donc ça c'est naturel pour que les termes donc on imagine on pense on espère on pense que les particules donc dans ce régime vont se comporter de manière indépendante on aime id en façon indépendante et si c'est le cas la loi des grands nombres va vous dire que l'interaction va devenir un champ moyen quelque chose de non linéaire qui va dépendre de l'état des particules quand on sait je ne sais pas la particule numéro j et que vous regardez dans le Hamiltonien l'interaction que subit cette particule numéro j donc c'est la somme k égale un n et k différent de j et maintenant lambda est d'ordre 1 sur n de vent w de xj la loi des grands nombres va vous dire que ceci va se comporter comme la probabilité commune à toutes ces particules je l'appelle rô enfin je vais d'abord écrire w de xj et que j'intègre contre la probabilité commune à toutes ces particules et qu'est ce que c'est rô vous voyez comme toutes les particules sont indiscernables regardez la jm ou regardez la première c'est pareil et donc vous trouvez rô en intégrant ce qui se passe sur les particules sauf la première par exemple dit autrement rô de x c'est la première marginale de la probabilité pour les positions donc ça c'est ce qui va décrire la probabilité de position pour la particule numéro 1 donc pour toutes puisque psy est symétrique et si elle devient indépendante la loi des grands nombres vous dit quelque chose comme ça donc à la fin vous avez tombé sur un modèle non linéaire alors une manière très simple de trouver le modèle non linéaire en question c'est de supposer que les particules sont exactement indépendantes ce qui est un petit peu trop on s'attend pas à ce qu'elles soient exactement indépendantes pour toutes elles vont seulement devenir indépendantes progressivement mais supposons juste pour voir que les n particules sont exactement indépendantes donc comment ça se traduit ça veut dire que vous prenez un psy particulier qui est un produit u2x1 u2xn ou u est maintenant une fonction normalisée dans rd si vous avez un psy qui est un produit comme ça évidemment le psy carré va se factoriser et le psy chapeau aussi alors ça généralement le note u temps sereine cette fonction je vais utiliser cette notation tout le temps bien et donc maintenant on peut calculer l'énergie d'une telle fonction donc on calcule si vous voulez u temps sereine notre amyltonio u temps sereine et donc je vais pas faire tout le calcul mais c'est assez facile vous voyez que ici vous avez n termes et de toute façon ils se sont tous les mêmes puisque la fonction est symétrique c'est n fois le terme vous prenez seulement x1 et si ça agit seulement sur x1 les variables x2 jusqu'à xn vont être intégrés et à cause de la contrainte de normalisation ça fera 1 donc si vous faites le calcul vous allez trouver exactement n fois l'intégral de gradient de u au carré sur rd sur 2m j'espère j'oublie pas le 2m plus v2x u au carré le tout des x ça c'est pour le 1er terme et pour le 2nd terme c'est pareil vous pouvez prendre une paire favorite par exemple x1, x2 et vous aurez nn moins 1 sur 2 et si vous faites le calcul vous allez trouver lambda nn moins 1 sur 2 l'intégral sur rd de u2x au carré u2y au carré w de x minx dxdx ce que vous voyez c'est que cette énergie est maintenant non linéaire je devrais dire plutôt non quadratique vous avez une partie quadratique qui va donner une équation linéaire pour le début et ensuite une partie quartique qui va donner une équation cubique vous remarquez aussi qu'on peut factoriser n peut-être factoriser tout de suite et je vous rappelle que lambda est d'ordre 1 sur n donc du coup c'est assez naturel ce choix à nouveau vous voyez que ça s'attend essentiellement vers 1 et donc à la limite vous voyez que ça c'est à peu près égal à n il faut avoir une énergie non linéaire qui ne dépend que de u et plus de n qui est juste cette formule où ici j'ai remplacé lambda n moins 1 qu'on appelle l'énergie de Hartree et qui est une version un petit peu régularisée de l'énergie de Schrodinger non linéaire c'est-à-dire au lieu d'avoir un u puissance 4 on a un u² u² avec un W de x-menzy alors on peut écrire à ce modèle non linéaire sont associés une équation des parents du temps et une équation pour les solutions stationnaires donc c'est i u. qui vaut au moins la place 1 sur 2m plus v plus u² convolé avec W u d'accord et bien sûr l'équation va leur propre non linéaire vous avez le même opérateur qui est égal à 2x u bien donc ce qui va nous intéresser ici et ce qui a intéressé beaucoup les gens depuis de nombreuses années c'est le lien entre le modèle quantique que je vous ai présenté non linéaire plus simple donc évidemment on perd en simplicité parce qu'il est non linéaire mais on a énormément gagné sur la complexité puisqu'on est maintenant dans rd alors que l'autre problème était dans rdn ça grandissait de manière dramatique avec n d'accord donc l'idée maintenant et c'est celle qui va nous nous occuper c'est le lien entre ces 2 théories donc il y a essentiellement 3 approches 3 questions avec beaucoup de travaux sur au moins les 2 premières questions donc la première question c'est on peut se demander quel est le lien entre les 2 équations dépendant du temps donc une manière très simple un petit peu schématique c'est que vous regardez l'équation dépendant du temps maintenant lambda c'est 1 sur n ou peut-être que c'est lambda il faut regarder l'équation de Schrodinger pendant du temps et vous essayez de la relier avec l'équation non linéaire et évidemment pour la relier il faut bien une hypothèse sur ce qui se passe au temps t qu'à la 0 donc par exemple vous prenez le psi de 0 qui est déjà factorisé qui est un petit peu trop fort on peut commencer comme ça et vous vous demandez est-ce que ça va rester factorisé c'est faux je voulais déjà un petit peu dip c'est un petit peu trop fort mais est-ce que dans un sens faible le psi sera correctement décrit par un u de t qui est la solution du problème non linéaire qui démarre avec ce u0 donc ça c'est la dérivation si vous voulez de l'équation non linéaire à partir de l'équation de Schrodinger linéaire vous avez une équation linéaire mais en dimension très très grande qui va converger dans un sens faible que je n'ai pas vraiment expliqué pour l'instant vers une équation non linéaire en dimension beaucoup plus petite et indépendant de haine donc il y a énormément de résultats sur ce problème je pense qu'on peut dire ça a commencé avec Hepp en 74 ensuite il y a beaucoup de résultats mais de Gini, Brevello dans le premier article doit être en 79 je pense Schpawn en 80 et puis vraiment beaucoup de beaucoup de travaux je vous donne peut-être juste des idées d'un type qui ont travaillé dessus vous avez Bardoz Gold, Scottib Mauser dans les années 2000 Erdoz, Lineow et leurs collaborateurs aussi dans les années 2000 vous avez des gens autour de York-Frelish avec Graphie et Schwarz c'était 2007 mais il y en a d'autres, beaucoup d'autres vous avez Pickle qui a récemment inventé une nouvelle méthode faire le lien entre ces deux équations et vous avez Amarie et Nier, je pense ça doit être 2008 qui ont aussi inventé une nouvelle méthode qui est fortement reliée à ce que je vais vous raconter donc il y a vraiment beaucoup de travaux j'en ai oublié déjà plein je vous ai donné des noms importants et la philosophie est toujours la même c'est que vous supposez qu'au temps T égal à 0 les particules sont déjà indépendantes ou quasi indépendantes c'était vraiment tout exactement indépendant et vous voulez démontrer que l'indépendance reste alors vous pouvez fixer le temps auquel vous regardez et faire en N vers l'infini vous essayez d'aller en temps long là il y a beaucoup beaucoup moins de résultats c'est le type de question que les gens ont regardé alors ça c'était pour l'équation dépendante du temps, maintenant vous pouvez regarder les solutions stationnaires alors je pense que les gens ont surtout regardé les minimiseurs parce qu'ils voulaient utiliser des méthodes variationnelles donc là la question c'est que vous regardez la première valeur propre de hn c'est à dire vous regardez le problème inf du spectre de hn et bien sûr c'est toujours N qui est envers l'infini et lambda N qui est envers 1 d'accord c'est chambouille vous regardez l'inf du spectre que vous pouvez écrire juste comme l'inf de psi c'est une lampe de psi avec psi normalisé d'accord et vous essayez de relier ce problème avec le problème de minimiser la fonctionnelle non linéaire que j'ai écrite ici c'est à dire l'infimome de l'énergie de Hartree sous la contrainte que u est aussi normalisé voilà donc ça c'est la version minimiseur alors en fait je pense qu'on peut dire qu'il y a moins de résultats et beaucoup des résultats existants en fait concernés des problèmes particuliers donc vous avez Ben-Gourya et Lib qui ont regardé un modèle particulier en 83 Lib et Yao je dirais quel modèle tout à l'heure en 87 qui ont gardé un autre modèle ensuite vous avez des gens avec des méthodes plus probabilistes autour de Werner donc Petz, Radio Werber et Werner ça c'est à partir de 89 qui regardait à ma connaissance c'est les seuls qui regardaient un modèle un peu général c'est à dire avec des V et W assez généraux mais par contre qui était toujours confiné c'est à dire avec V qui t'envers plus l'infini en l'infini d'accord et en cas où on est sûr on n'a pas de perte de capacité ensuite vous avez Lib Sieringer et Invason qui ont regardé dans les années 2000 qui ont regardé des problèmes de ce type mais un petit peu plus compliqué parce que le W dépend de N chez eux et dépend de N de sorte que le W qu'on verge vers une delta et dans ce cas là on trouvait NLS à la limite je vais revenir là-dessus moi mon W est fixe mais on pourrait le faire dépendre de N et puis ensuite avec Nam et Rogerie donc on a étudié ce problème et je pense qu'on a donné le premier résultat qui soit vraiment générique ou il dépend pas vraiment des potentiels W alors que tous les autres résultats précédents ont utilisé la forme spécifique une forme spécifique ou certaines hypothèses sur W je vais vous expliquer notre résultat un petit peu plus tard d'accord donc ça c'est pour les minimiseurs et puis ensuite maintenant il y a une troisième question qui m'intéresse encore plus ici qui est le cas des mesures de Gibbs qui est juste l'étape suivante quand on regarde les problèmes de minimiseurs qui est de regarder d'autres d'autres solutions stationnaires mais qui sont des mesures donc c'est d'autres mesures enfin là il n'y a pas vraiment de mesures vous allez me dire mais c'est juste qu'on a une dirac puisqu'on a un minimiseur donc d'autres mesures qui sont invariantes donc dans le cas quantique là je vais être très vague parce que je vais tout vous expliquer en détail mais pour l'instant je vais décrire rapidement vous regardez l'opérateur exponentiellement un bêta H avec une constante de normalisation d'accord ça c'est un opérateur qui va être invariant par le flow et vous vous demandez s'il y a un lien avec une mesure de Gibbs non linéaire c'est à dire exponentielle moins bêta de l'énergie de U des U avec un coefficient normalisation devant qui est une mesure de vinaire définie sur un espace de fonction et qu'on va définir dans ce cours précisément d'accord donc c'est une mesure non linéaire dans le sens où l'énergie ici est non linéaire et c'est toujours dans la même limite n qui est envers l'infini et l'angle d'a n qui est envers 1 une invariante par le flow et c'est ce qui correspond au cas où la température dans le système est positive et la température c'est 1 sur bêta donc si vous faites tendre t vers 0 ou ce qui est équivalent bêta vers l'infini ces mesures là vont se concentrer sur les minimiseurs et donc c'est vraiment la généralisation du problème de minimisation on va tout expliquer en détail je ne veux pas en dire plus pour l'instant que à ma connaissance les gens n'avaient pas trop regardé ce problème et ce que je vais vous raconter il y a encore un travail en collaboration avec Nam et Roushri oui ce problème dépendant du temps on n'a aucun exemple ou la phénomène qui serait ou des données initiales qui ne serait pas dutine décorée à l'instant initial se décorèlerait pas à ma connaissance je peux me tromper bien sûr la plupart des théorèmes ne sont pas aussi forts on suppose que ça se décorelle toujours dans un certain sens qu'il y a une décoration ou un symptotique à ma connaissance oui d'ailleurs c'est une différence fondamentale entre les problèmes dépendant du temps et les problèmes stationnaires c'est que là on suppose vraiment toujours qu'au tenter égal à 0 il y a une forme d'indépendance et on veut montrer stabilité une propagation de l'indépendance propagation du chaos quand Rennes devient grand donc on fait une supposition et on veut montrer que c'est stable là il faut vraiment démontrer que ça se décorelle tout seul donc d'une certaine manière il y a une question supplémentaire qui est vraiment de démontrer que les particules deviennent indépendantes bien sûr beaucoup d'outils utilisés dans le cas dépendant du temps utilisés dans le cas stationnaire et inversement après notre travail il y a des articles qui ont utilisé ce qu'on a fait dans le cas stationnaire pour dire plus sur le cas dépendant du temps donc il y a des liens entre les deux mais c'est quand même pas vraiment tout à fait les mêmes questions voilà donc ça c'est les mesures de Gibbs et c'est un petit peu la question naturelle une fois qu'on a regardé le problème à température nulle là-bas mais à ma connaissance ça n'avait pas été trop regardé évidemment comme vous allez voir ces mesures sont vraiment très intéressantes elles sont connues elles sont très bien connues depuis au moins les années 70 elles sont fortement utilisées maintenant par plusieurs personnes dans la communauté dispersive en particulier pour construire des solutions d'équation de type schroninger non linéaire avec des conditions initiales très mauvaises pas lisses du tout mais la dérivation à partir de la mécanique quantique je connais rien de ce type alors sauf que vous parlez de ça tout de suite sans vous avoir expliqué avant le problème des minimiseurs ça serait un petit peu malvenu donc aujourd'hui on va principalement se concentrer sur le problème des minimiseurs pour bien tout mettre à plat et la semaine prochaine à la même heure et au même endroit on commencera immédiatement pour parler des mesures de Gibbs même des minimiseurs je ne veux pas passer trop de temps puisqu'il y a eu un fantastique cours de Nicolas Rougerie un cours pico au collège de France l'année dernière où il a tout fait en détail et vous pouvez regarder les vidéos sur internet donc aujourd'hui je vais juste vous raconter ce qui se passe je vais quasiment pas faire de preuves et juste vous dire le type de résultat pour vous comprenir plus naturellement ce qui se passe à température positive alors le limite de champs moyens c'est pas quelque chose qui est cantonné à la mécanique quantique c'est un problème qui apparaît dans beaucoup de domaines il faut les regarder en mécanique classique en probabilité il y a beaucoup de choses les matrices aléatoires c'est quelque chose qui ressemble beaucoup vous avez des gens qui font des réseaux de neurones il y a encore des problèmes de type champs moyens en économie ça apparaît tout le temps vous avez les jeux à champs moyens qui ont été introduits par Lasserie et Lyons donc c'est vraiment un cadre assez général qui n'est pas du tout cantonné à la mécanique quantique comme je vous le présente ici et certains des outils que je vais vous présenter sont en fait généraux d'accord mais on va quand même se concentrer sur ce problème quantique qui est celui que je vous ai écrit ici et que je vais essayer de ne pas effacer donc le Hamiltonien là-haut alors il faut que je vous fasse une remarque importante qui est que vous avez deux manières d'aborder le problème et en fiche statistique on dit canonique ou grand canonique vous avez le problème canonique celui que je vous ai présenté vous dites que vous connaissez le nombre de particules N et vous le faites tendre vers l'infini il faut opposer ça à grand canonique dans lequel N est lui-même une variable aléatoire et dans ce cas là vous allez faire une moyenne sur différents N et c'est seulement le N moyen qui va tendre vers l'infini donc là vous avez un N qui tend vers l'infini et lambda N qui tend vers 1 en grand canonique c'est plutôt le N moyen qui va tendre vers l'infini et du coup le lambda sera vraiment d'or 1 sur le N moyen puisqu'il n'y a pas de N vraiment déterminé je reste vague je vais définir tout ça plus précisément qui est les articles qui sont canoniques et lambda est toujours déterministe je pense qu'on n'est pas obligé dans les articles par exemple l'article de Hepp était en fait grand canonique je vous donne juste quelques exemples il y a un article de Ronjanski et Schlein où il montre que à partir d'une approche grand canonique on peut trouver le théorème canonique vous avez bien sûr des liens entre les deux mais c'est plus agréable de travailler avec l'un pour en déduire quelque chose sur l'autre et d'ailleurs généralement c'est plus agréable de travailler en grand canonique puisque là on a des manipulations algébriques qui sont plus faciles donc parfois il est utile de commencer par le problème on fait une moyenne sur différents N pour en déduire quelque chose à N fixé et en fait notre résultat ici sera grand canonique c'est pour ça que je vous dis ça dès maintenant avant de faire la pause je voudrais faire quelques commentaires sur la pertinence physique en commençant immédiatement par vous dire que le modèle de Schamboyen n'est pas un modèle physique pourquoi ? parce qu'on va démontrer que dans ce modèle vous avez toujours compensation les particules deviennent toujours indépendantes il n'y a jamais de corrélation et il n'y a pas de raison donc les systèmes physiques généralement ça dépend des conditions et dans certaines conditions il y a une indépendance qui va apparaître et dans d'autres pas du tout ce qui est vraiment important c'est que ce modèle de Schamboyen vous devez penser que c'est un peu pas un modèle jouet mais un modèle dans lequel on est sûr que l'indépendance va toujours apparaître et ensuite quand vous avez un modèle physique particulier il faut essayer de démontrer que dans un certain régime il va s'écrire sous une forme très proche de celui que j'ai écrit avec un lambda qui va se comporter il n'y a pas de raison d'avoir un lambda qui se comporte comme insurène dans un vrai modèle c'est plutôt que certains systèmes physiques peuvent être décrits par un modèle de Schamboyen dans un régime particulier et souvent c'est après une manipulation un changement d'échelle ou quelque chose comme ça je vais vous donner des exemples l'exemple numéro 1 c'est les atomes vous prenez un atome qui a n électrons donc n c'est le nombre d'électrons et z disons un noyau de charge z c'est à dire z proton mais un seul noyau donc tous les protons dans ce cas là le modèle que je ne vais pas écrire n'est pas du tout sous la forme que j'ai mentionné mais en faisant une dilatation en fait on peut voir qu'on peut s'y ramener dans la limite où n n sur z donc n est grand et n sur z est d'ordre 1 donc si n sur z t'envers une constante t dans ce cas c'est exactement sous la forme que j'ai mentionné avec v2x qui va être moins 1 sur t module 2x et w qui va être 1 sur x et tout ça en dimension 3 d'accord donc c'est seulement dans ce régime où n est grand et où le nombre de protons est proportionnel au nombre d'électrons qu'on peut l'écrire après avoir fait une dilatation sous la forme que j'ai mentionné si on n'est pas dans ce régime c'est pas du tout sans moyen voilà et par ailleurs dans la vie les électrons sont des fermions et donc on fait ici une hypothèse fausse en supposant que les électrons sont des bosons d'accord donc ce qui est pas tout à fait physique mais on peut faire quelque chose de similaire pour les fermions que j'en parlerai pas trop donc ça c'est un exemple et c'est ce qui avait été considéré par Ben-Gourya et Lib en 83 alors un deuxième exemple c'est des modèles pour les étoiles et ça c'est ce qui avait été considéré par Lib, Tiring et Iao et dans ce cas là le modèle typique c'est v égale à 0 v égale W2X égale à moins 1 sur X et W représente l'attraction de Newton donc c'est les systèmes gravitationnés et il faut pareil comme vous avez un Laplacien et ensuite 1 sur module 2X c'est aussi en dimension 3 vous pouvez toujours faire une dilatation et comme les deux termes ne se comportent pas pareil ils avaient des dilatations vous pouvez toujours le mettre sous la forme que j'ai mentionné avec un lambda qui est insurène ou il est sous cette forme vous avez condensation vous pouvez dire des choses en fait ils ont même regardé le cas où le Laplacien est remplacé par un Laplacien fractionnaire encore qu'on peut aussi regarder et dans ce cas là ils arrivent à dire que une masse les étoiles ont une masse critique avant qu'il y ait fondrement des choses comme ça vis-à-vis des dilatations la racine du Laplacien se comporte comme le racuriste donc ça devient critique pour l'énergie un troisième exemple c'est ce qu'on appelle les gaz dilués qu'est-ce que c'est un gaz dilué c'est à dire vous prenez une grande boîte je le mets aussi en dimension 3 sauf que je fais le dessin en dimension 2 une grande boîte de taille L L est très grand et dedans vous mettez N particule qui interagisse avec un potentiel W que vous ne connaissez pas et qui lui est d'ordre 1 et dilué veut simplement dire que N est beaucoup plus petit que L cube vous avez beaucoup moins de particules que le volume de la boîte alors ce que vous pouvez faire c'est faire une dilatation pour vous ramener à un problème dans une boîte de taille 1 avec maintenant des particules qui vont interagir avec un potentiel qui dépend de L si vous faites cette dilatation vous allez voir qu'on se ramène au problème ou v v 0 on prend v égal à 0 il faut choisir des conditions au bord de la boîte on peut penser que v c'est juste plus l'infini en dehors de la boîte et 0 dedans dans ce cas-là vous avez direct les vous aurez v égal à 0 et le W va dépendre de L le W sera L carré W de Lx ce sera le nouveau W dans cette boîte de taille 1 juste après dilatation il faut faire le calcul vous voyez que vous pouvez le mettre sous la forme ici il n'y a pas de lambda, il n'y a pas de 1 sur N mais vous pouvez le mettre sous la forme que je vous ai mentionné en prenant L égal à N et dans ce cas-là vous aurez 1 sur N fois N cube W de Nx vous allez vous retrouver avec 1 sur N comme on est en dimension 3 ça c'est quelque chose qui converge vers une delta il faut à l'intérieur de W et donc vous êtes exactement dans la situation que j'ai mentionnée mais avec un W qui dépend de N et qui tend vers une delta d'accord donc pour les gaz dilués en fait vous allez avoir convergence non pas vers le modèle que j'ai écrit mais quand le W dépend de N et tend vers une delta vous aurez convergence vers le modèle qui a absence 4 d'un Ls alors sauf qu'il y a une petite subtilité c'est qu'on pourrait penser que la limite va être exactement U puissance 4 avec devant la constante intégrale de W mais ça c'est faux la constante qui apparaît dans le modèle est différente et c'est la longueur de diffusion de W qui apparaît qui en fait plus grande si W est positif strictement plus grand d'accord donc c'est une petite subtilité et c'est tout ce qui a été étudié par Lib Serringer, Invason dans une série d'articles dans les années 2000 d'accord donc quand on regarde des gaz dilués on l'aboutit naturellement à un problème où le W dépend de N et converge vers une delta sauf que dans le bon régime il converge vers une delta assez vite d'accord avec une vitesse, enfin et du coup ça rend le problème plus compliqué les gens ont regardé les modèles intermédiaires ou au lieu de faire une dilatation d'ordre N vous faites une dilatation d'ordre N à la puissance beta d'accord vous mettez N beta N à 3 beta ici ça va encore converger vers une delta sauf si beta vaut 0 comme ça vous avez toute une classe de modèles qui interpollent entre le cas où W est fixe ou W se concentre comme ça et à condition que beta soit strictement plus petit que 1 vous aurez convergence vers N et S avec l'intégral de W devant d'accord donc la convergence avec le N ici est juste critique en fait c'est la dernière pour laquelle on peut démontrer quelque chose si ça tendait plus vite vers une delta il n'y aurait pas quand c'est pas du tout un régime de champ moyen et avec juste N vous avez voyé la longueur de diffusion et si vous êtes en dessous de N vous avez convergence vers une delta avec l'intégral de W d'accord donc ça c'est ce que les gens ont fait dans les années 2000 et puis je voulais vous vous dire une dernière chose avant la pause qui est que ce modèle de Hartree ou de NLS selon si vous avez obtenu delta ou si vous avez gardé W à la limite décrit très bien ce qu'on appelle les condensats de vos Einstein qui sont des objets qu'on peut maintenant utiliser en laboratoire on peut faire des mesures et comparer avec les simulations numériques pour le modèle de Hartree ou de NLS et voir que vraiment ce modèle est très bon donc par exemple si vous prenez un condensat et que vous le faites tourner ce que vous allez voir c'est que vous le faites tourner assez vite dans le condensat vont apparaître des petits tourbillons et quand vous faites tourner très vite les petits tourbillons vont être envers donc dans le plan qui est orthogonal à l'axe de rotation et ça c'est quelque chose qui est très bien décrit par ce modèle non linéaire qui a été beaucoup étudié dans la communauté des EDP ces dernières années qu'est ce que ça signifie de le faire tourner ça veut dire que l'opérateur en moins la placien vous avez plusieurs termes ajoutés dans l'énergie mais certains peuvent être inclus dans le V je ne les ajoute pas c'est que la placien en moins irradiant plus A2X au carré ou A2X c'est un petit peu comme un potentiel magnétique sauf que les particules ne sont pas chargées donc c'est vraiment du vitesse de rotation et c'est vraiment quelque chose du style à un sens près X vectoriel omega ou omega c'est l'axe de rotation donc pour décrire de tels objets c'est aussi important de pouvoir remplacer le laplacien par un opérateur sous cette forme et là il y a vraiment une grande difficulté que je vais vous expliquer après la pause bien merci donc on va redémarrer après cette longue introduction je voudrais qu'on parle maintenant de minimiseur on va essayer de faire ça juste pendant une heure avant de passer au cas un petit peu plus nouveau des mesures de Gips donc ce que je vous raconte ici c'est un travail donc en collaboration avec Nam et Rougerie qui est publié dans Advanced 6 et qui doit être 2014 donc j'ai recopié ici les deux objets qui nous intéressent c'est à dire le Hamiltonien quantique pour le problème amncore et l'énergie non linéaire qu'on va obtenir à la limite alors j'ai mis le A puisque je vous ai mentionné que pour les par exemple les condensats de vos instants et leur rotation, mettre le A c'était important et j'ai aussi changé de système d'unité j'ai supposé que 2M est égal à 1 ce qu'on peut toujours faire après un bon changement de variable d'accord bien et je vous rappelle que lambda va se comporter comme 1 sur n et pour simplifier certains calculs mais ça change absolument rien je vais même prendre exactement 1 sur n moins 1 mais ne soyez pas troublés c'est juste que certains calculs vont être un petit peu plus simples souvenez-vous le calcul que j'avais fait on trouvait lambda x-1 donc en prenant ça l'énergie d'un état factorisé est exactement n x l'énergie de hartrickier en bas peut-être que je rajoute ça au tableau que vous le ayez toujours donc si vous regardez u temps sur n et donc du coup je ne mets plus le lambda ici u temps sur n vous trouvez exactement n x l'énergie de u non linéaire de u bien et donc la question qu'on se pose c'est quel est le lien entre minimiser l'énergie à n corps c'est-à-dire regarder la première valeur propre de hn et minimiser cette énergie non linéaire éventuellement il peut y avoir plusieurs minimiseurs il n'y a pas d'unicité tant qu'on ne fait pas d'hypothèses spécifiques sur w donc pour ça il faut introduire les deux objets donc on introduit e2n qui est l'info du spectre de la chaîne n'oubliez pas qu'on se restreint aux fonctions symétriques ce qui est important si a n n'est pas nul mais n'est en fait aucune importance si a nul on peut toujours démontrer que l'état fondamental de cet opérateur est positif et symétrique si a nul si a n'est pas nul et je vais appeler h l'infimum de notre énergie non linéaire toujours sous la contrainte que u² est égal à 1 et bien sûr il faut aussi que les autres termes fassent sens mais c'est ce que je vais discuter maintenant donc il faut mettre des hypothèses sur v et w on va travailler dans le cas le plus simple tout en restant assez général c'est-à-dire on va supposer que tout est sous critique c'est-à-dire qu'on puisse utiliser les injections pour pouvoir contrôler le terme avec v et w avec le gradient encore donc on va supposer donc v je vais l'écrire v plus, moins v moins donc v plus c'est la partie positive de v et v moins c'est la partie négative et évidemment il y a plus d'hypothèses sur la partie négative c'est normal donc v plus on a juste besoin que ça soit dans l'un lock d'accord et puis on se restreint juste aux fonctions telles que v plus soit eu carré soit l ce que j'écris pas ici dans la définition c'est juste que sinon l'énergie est infinie alors v moins on va supposer que ça s'écrit f1 plus f2 et on va supposer aussi que w s'écrit f3 plus f4 et que a carré bon ah je parlerai après d'accord et les fi on suppose qu'ils sont dans lpi de rd avec des p qui sont sous-critiques c'est à dire que les pays sont tous entre 1 et l'infinie s'idévo 1 un strictement plus grand que 1 s'idé égale à 2 et supérieur ou égo à d sur 2 s'idé supérieur égale à 3 donc c'est les conditions qu'il faut pour pouvoir appliquer l'injection de Sobolef et vérifier que ces termes sont contrôlables par le gradient d'accord je les ai tous supposés finis mais vous avez aussi le droit de supposer que f1 est dans l'infinie si vous voulez mais alors il faut ajouter l'hypothèque Satan vers 0 à l'infinie d'accord donc dit autrement on suppose que c'est des fonctions assez intégrables qui tendent vers 0 dans un sens faible à l'infinie sauf pour v plus qui peut éventuellement tendre vers plus l'infinie d'ailleurs on peut aussi autoriser sur rd moins un ouvert si vous avez envie auquel cas on se retrouvera avec les conditions diriclées sur omega mais si je mets trop de conditions différentes ça va devenir trop compliqué donc faisons simple pour le potentiel a il suffit de supposer que a est dans l du max que a² 2 et d sur 2 mettons pour d'espéregale a3 et puis vous pouvez adapter de l'hoc dans le cas d'égalin ou de le a on n'a pas vraiment besoin de beaucoup de beaucoup d'hypothèses évidemment il faut à la fin que cette fonction soit dans l2 d'accord bon essentiellement on va autoriser des a qui tendent vers 0 à l'infinie dans dimension 3 on aime bien a dans l6 pourquoi ? parce que si on pense à un potentiel magnétique on a envie de dire que le champ magnétique est intégrable le champ magnétique c'est le rotationnel de a et souvent la différence de règle à 0 et par sa bolef ça vous dit que a doit être dans l6 d'accord ? dans dimension 3 c'est l'hypothèses habituelles ou alors on a envie de mettre comme un champ magnétique constant auquel cas a est juste au omega ve encore c'est les deux cas physique qu'on a envie de regarder bien alors la première remarque qu'il faut faire bien sûr c'est que l'énergie a un corps et évidemment un ferorégal a n fois le problème non linéaire juste parce que c'est variationnel et qu'en prenant des gens factorisés on trouve exactement ça et la deuxième remarque qui a eu un l'aim ou une proposition c'est que en utilisant les injections sur bolef vous allez voir que le e2n ne peut pas croître plus vite que n quand mais je vais pas le faire parce que ça serait un petit peu long c'est vraiment juste utiliser la sous-criticalité de toutes ces fonctions alors du coup le théorème c'est le suivant ben vous l'avez deviné c'est dire que e2n sur n converge vers eh d'accord ? quand n t'envers l'infini donc ça c'est un théorème sur l'énergie on ça vous dit que tant que vous regardez au niveau de l'énergie vous trouvez une énergie convenable vous allez trouver correctement l'énergie en supposant que tout est factorisé ça vous dit pas que c'est factorisé ça vous dit juste que si vous supposez que c'est factorisé l'énergie est correct au premier ordre parce que si vous supposez que c'est factorisé bien sûr quand vous minimisez sur tous les gens qui sont factorisés vous trouvez n le minimum de l'énergie non linéaire qui est eh bien donc ça c'est le premier théorème évidemment nous ce qu'on aimerait bien c'est vraiment relier les minimiseurs c'est-à-dire regarder une fonction, peut-être qu'il n'y en a pas d'ailleurs ça dépend de VAW mais regarder une fonction qui est au moins un quasi minimiseur du premier problème et se demander si ça converge en un certain sens vers les minimiseurs du second problème donc ça c'est un petit peu plus compliqué on ne s'attend pas à ce que le psi soit un 8 ansuraine ça c'est faux, on peut même démontrer que c'est dès que W n'est pas nul c'est tout le temps faux et donc la manière dont on va converger vers les minimiseurs doit être différente, doit être beaucoup plus faible et ça va être en regardant les marginales donc le théorème sera une convergence de marginales donc je vais vous énoncer maintenant le le théorème donc c'est le théorème 2 donc le théorème 2 c'est le théorème confiné qui est plus simple encore que on a quand même besoin d'outils pour faire ça c'est-à-dire on suppose que V plus t'envers plus l'infini à l'infini ce qui va garantir qu'on n'a pas de perte de masse à l'infini et donner de la capacité en fait plus généralement ce qu'on a vraiment besoin c'est que l'opérateur moins gradiant plus A au carré plus V à une résolvante compacte d'accord le V il pourrait tendre vers 0 à l'infini mais dans ce cas là c'est le A qui lui doit donner de la capacité donc c'est ce qu'on suppose voilà alors ensuite on va prendre un quasi minimiseur du premier problème ici c'est-à-dire on prend une suite psy-n dans l'espace à N-corps je vous rappelle que le psy doit être symétrique je l'indique avec un petit S en bas il doit être normalisé aussi et on suppose que c'est un quasi minimiseur et la seule chose dont on est vraiment besoin c'est que ça donne l'énergie de façon correcte au premier ordre donc comme on sait que l'énergie est d'ordre N à cause de la bande supérieure et de la bande affaire que je vous ai mentionnée finalement on suppose que psy-n Hn psy-n donc bien sûr chaque fois j'écris un produit scalaire je pense que c'est au sens des formes vous voyez ce que je veux dire donc fournit l'énergie au premier ordre je sais que l'énergie est d'ordre grand N donc je dis que c'est la bonne énergie un petit o de N près donc le tour M dit alors il existe une sous-suite encore tel que pardon et une mesure de probabilité mu sur L2 de Rd à support dans l'ensemble des minimiseurs du problème non linéaire donc M c'est l'ensemble des U dans L2 de Rd et à chaque fois j'étends l'énergie par plus l'infini d'accord évidemment L2 c'est pas suffisant pour que l'énergie fasse sens mais je l'étends par plus l'infini si besoin donc les U ils doivent être normalisés et ils doivent fournir donc ça doit être des minimiseurs ça c'est l'ensemble des minimiseurs tel que donc ce qu'on veut dire c'est que toutes les marginales vont converger vers le problème non linéaire donc qu'est ce que c'est une marginale une marginale c'est quand on observe seulement K particule parmi N le N est très grand mais le K est fit par exemple on observe une seule particule ça c'est exactement de faire une marginale on peut intégrer sur toutes les particules sauf une on n'observe qu'une seule bien sûr comme le psy est symétrique ça n'a pas d'importance quelle particule vous regardez on peut décider qu'on regarde les K premières et donc ça comme on fait ça on dit pour tout opérateur A borné sur L2 de Rd puis sans K donc notre opérateur A c'est ce qui va servir à observer A ça te plaît pas j'ai pris A pour quelque chose ah c'est le champ magnétis très bien on va l'appeler B j'ai pas des finis rotationnels de A donc ça va en plus comme c'est borné c'est approprié merci donc ce qu'on va faire c'est qu'on va observer K particule seulement donc ça veut dire qu'on prend C N G je vous rappelle qu'on a extrait une sous-suite et observer K particule ça veut dire qu'on fait agir B sur les K premières et B ne fait rien sur les autres d'une manière d'écrire ça c'est juste B tenseur l'identité sur les autres ça signifie juste que votre opérateur B agit sur les variables X1 jusqu'à XK et n'agit pas sur les autres Fois le Psi N G cette chose qu'on verge ce que vous trouvez si jamais vous supposez que Psi est factorisé si vous supposez que Psi est factorisé tout comme on a fait le calcul tout à l'heure de l'énergie vous voyez que les N moins K sont intègres et B faut à la fonction factorisée donc vous allez trouver U tenseur K D U tenseur K voilà sauf que et le U va être un minimiseur du problème mais des minimiseurs il y en a plein il y en a plein ça dépend il peut y en avoir plusieurs on n'a pas du tout unicité forcément et donc ce que dit le théorème c'est que cet objet va converger vers une combinaison convexe des minimiseurs et la combinaison convexe c'est le mu et c'est aussi pour tout K et ça c'est quand N G t'envers l'infini d'accord donc vous observez K particules, les K premières par exemple ça n'a pas d'importance alors seulement quand vous observez ces K premières c'est comme si le Psi était factorisé et si le Psi est factorisé on trouve U tenseur K B U tenseur K c'est clair et en fait comme il y a plusieurs minimiseurs possibles potentiellement on ne sait pas on a une mesure qui décrit juste la superposition de tous ces minimiseurs possibles vous remarquerez que le U ne dépend pas de K le mu pardon donc le mu ne dépend que de la sous-suite une fois que vous avez extrait la sous-suite vous avez la mesure de probabilité mu qui vous dit faire quelle combinaison de minimiseurs vous converger et ensuite quel que soit K et quel que soit B cette combinaison avec la mesure mu minimiseurs et puis en avoir un cercle même typiquement s'il y a des problèmes avec des brisures de symétrie ça peut être un cercle et le mu peut très bien être une mesure sur le cercle qui peut être uniforme ou pas le mu est peut-être une delta et dans ce cas-là vous allez converger vers un seul minimiseur si le mu est une delta sur un minimiseur dans ce cas-là vous convergez vraiment vers ce minimiseur alors ce que je devrais vous dire en fait on peut toujours construire un psyène bien choisi pour lequel on va converger vers un certain mu choisi à l'avance si vous regardez l'ensemble des minimiseurs et que vous prenez n'importe quelle mesure de probabilité sur cet ensemble de minimiseurs alors vous pouvez fabriquer un psyène de sorte qu'on ait cette propriété et donc on peut clairement pas faire mieux le thoréme dit que c'est exactement ce qui se passe voilà le thoréme ne dit pas ce qui se passe si psyène est exactement un minimiseur du problème à un corps puisqu'on le prend juste minimiseur à un petit o2n prêt et c'est ce petit o2n qui permet de faire des moyens un petit peu comme on veut et à la fin de trouver n'importe quel mu dans beaucoup de cas par exemple si a si a vaut 0 le minimiseur de ce problème est unique par un thoréme de typeranphobénus et donc le psyène est unique il est positif strictement et dans ce cas là on pourrait penser qu'il y a un seul mu mais on sait pas très bien lequel c'est mais ce n'est pas ce que le thoréme parce que le thoréme c'est toujours un petit o2n prêt dans ce cas là ce que tu nous dis c'est qu'on peut obtenir n'importe quelle mesure à l'arrivée à condition de relâcher un peu mais par contre c'est ouvert de savoir quelle façon les mesures qu'on peut obtenir exactement si on partait exactement en fait probablement que c'est déterminé par l'ordre d'après dans le développement de l'énergie c'est l'ordre d'après qui devrait déterminer quelle est la manière optimale de se répartir sur l'ensemble des minimiseurs voilà un truc classique mais on l'a jamais fait on sait pas et on peut pas espérer de convergence meilleure que ça ah bah ça dépend des cas donc dans certaines situations alors qu'est ce que tu veux dire pas un meilleur la question c'est sur la vitesse je sais pas si tu as dit t'as tant d'espace de fonction t'as plus d'espace des fonctions alors euh les fonctions sont puret produites en soryl oui c'est mettre une topologie très bien donc donc on a un théorème avec des hypothèses supplémentaires sur v et w mais surtout le le théorème simplifié c'est le suivant si ce problème non linéaire a un unique minimiseur qui est non dégénéré c'est à dire que la derivée la SN est non dégénérée d'accord plus les v et w un petit peu plus sympa il faut que les carrés vérifient les hypothèses c'est tout alors en fait on peut aller à l'ordre d'après donc dans ce cas là il est unique parce qu'on l'a supposé dans ce cas là on peut aller à l'ordre d'après et décrire précisément le comportement de psilène c'est à dire tout de suite que le psilène sera en fait une somme infinie de combinaisons de u0 danseur k ça va être quelque chose comme ça je l'écris sans vraiment alors on va plutôt écrire en moins k d'accord plus une erreur qui tend vers 0 dans l2 même dans h d'accord donc on peut décrire vraiment le psilène va être proche des prolites enseurielles mais vous voyez il n'y a aucune raison de penser que les n particules vont tout être dans l'état u0 qui est de minimiseur je suppose qu'il est unique parce que si on en met n-1 et une autre qui fait n'importe quoi l'énergie va être la même parce qu'on regarde juste au premier rang si on en met n-2 aussi d'accord et donc en fait dans le cas où tout est bien on peut pousser à l'ordre d'après construire des psikas qui ne dépendent pas de n de sorte que le psilène et une combinaison des u0 danseur n-k fois le psikas et le psikas résout un problème explicite qui est relié au Hamiltonian de Bogolubov et en écrivant ce problème on voit que les psikas vous voyez il y a le psil 0 qui est le u danseur n mais on peut voir que les psikas ils s'annulent pas que le psilène ne peut pas être juste un u danseur n c'est forcément une combinaison compliquée mais cependant quelque chose d'aussi précis donc ça c'est un résultat avec Nam Sylvia Serfati et Yann-Philippe Solovay je ne sais pas si c'est 2013 ou 2014 je ne sais pas très bien quand ça a été publié enfin on peut obtenir quelque chose d'aussi précis uniquement en supposant que c'est unique non dégénéré avec beaucoup d'hypothèses ici on ne peut pas vraiment dire plus avec juste dans ce cadre remarquez que comme on a convergence pour tout béborné en fait c'est vraiment une convergence d'opérateur que je suis en train de vous énoncer mais c'est juste que je ne savais pas envie de parler de convergence d'opérateur à trace pour l'instant mais c'est vraiment une convergence dans l'espace à trace d'opérateur alors je voudrais maintenant vous énoncer le theorem non confiné qui en fait est notre contribution principale puisque ce résultat n'est pas énoncé tel quel dans la littérature mais dans les articles de Petz, Radio, Werber et Werner qui utilisent des méthodes probabilistes ils ont démontré quelque chose qui ressemble fortement et en suivant leurs preuves on arrive à démontrer ce théorique donc notre contribution principale c'était vraiment le cas non confiné et la gestion de la perte de capacité et c'est ce que Nicolas Rogerie a longuement expliqué dans son cours et que je ne vais pas expliquer ici donc dans ce cas là on suppose que V plus s'écrit temps vers 0 à l'infini en sens faible et puis a carré aussi vous voyez que je décompose toujours les fonctions comme somme de 2 c'est juste que souvent en physique les fonctions typiques ne sont pas forcément dans LP parce qu'il faut toujours distinguer la singularité locale avec la décroissance à l'infini donc c'est plutôt que les fonctions sont typiquement de 2 LP mais peu importe donc dans le cas non confiné c'est à dire si V plus et A temps d'essentielement vers 0 à l'infini alors c'est le même résultat sauf que M ça ne peut pas être l'ensemble des minimiseurs puisqu'il peut y avoir de perte perte de capacité perte de masse M c'est l'ensemble des limite faibles des suites minimisantes minimiseurs à perte de masse près donc c'est l'ensemble des limites faibles des suites minimisantes on peut caractériser de manière plus précise c'est celles qui sont minimiseurs de leurs propres problèmes pour leurs propres masses mais qui sont tels que le problème initial peut être de composer exactement le problème avec leur masse c'est quelque chose qui est parti à l'infini on fait un genre de concentration de capacité là-dedans mais avec N particule et le nombre de particules qui t'envers l'infini c'est ça qui est du ragirie et donc ce M il est inclus dans la boulunité maintenant pas dans la sphère avant les U c'est normal et puis la deuxième différence du coup c'est que la limite ne peut être que faible et donc B doit maintenant être remplacé par un compact K donc c'est pour tout opérateur K compact même chose donc le même théorème sauf qu'on peut avoir de la paire de capacité et on doit faire une espèce d'étude type concentration capacité mais en gérant le fait qu'on sait pas combien de particules on perd donc il y a des méthodes spéciales pour faire ça que j'ai pas vraiment envie d'expliquer parce que c'est technique mais c'était quand même finalement notre contribution principale alors le théorème confiné on pourra le démontrer probablement dans le troisième cours ce que je voudrais faire maintenant c'est vous donner l'idée du théorème 1 parce que ça c'est pas très difficile on a, enfin si, à vos zéro il y a une preuve assez simple qui n'utilise que essentiellement les injections de ce bolèf et la transformation de fourrier on peut faire ça en cours de M2 donc je voudrais vous raconter ça dans les 20 minutes qui restent je voudrais vous expliquer la preuve du théorème 1 si a égale à 0 et je connais pas de preuve simple si a n'est pas 0 et ce dont on a vraiment besoin c'est que l'opérateur qui apparaît ici préserve la positivité c'est-à-dire que le noyau de la chaleur associée soit positif, une fonction positive je vais vous expliquer tout à l'heure à quel moment on l'utilise mais avec ça du coup on arrive à avoir une preuve assez simple donc faisons cette preuve donc comme je vous l'ai dit je vous rappelle que le théorème 1 c'est la convergence de l'énergie donc il faut avoir une bande supérieure et une bande inférieure donc évidemment la première remarque c'est de dire que la bande supérieure est trivial on l'a déjà dit donc il faut vraiment seulement travailler sur la bande inférieure alors il y a une première étape qui est de montrer c'est pas vraiment indispensable mais ça donne une idée de ce qui se passe sur n et une fonction croissante du coup comme c'est une fonction croissante majorée au moins on saura qu'elle converge même si on ne connaît pas encore la valeur de la limite et en fait cette preuve est assez utile pour comprendre ce qu'on va faire dans la suite alors vous voyez qu'on a beaucoup de on a beaucoup de variables partout là je vais simplifier un peu les notations donc hn je vais l'écrire la somme j égale 1 à n de hj ça ne vous dérange pas et plus 1 sur n moins 1 la somme j est strictement plus petit que k il faut l'égaler n de wjk et donc hj c'est l'opérateur h qui vaut bon je veux dire moins la placien plus v en fait la première partie de cette partie de la preuve ne dépend pas du fait qu'elle soit nulle ou pas et agissant sur la variable xj donc ça me fait un petit peu moins de choses à écrire et pareil pour wjk bien donc on veut une borne inférieure donc on prend un psy qui réalise quasiment un infimum et donc je vous rappelle que comme le psy est symétrique tous ces termes contribuent de la même manière et donc en fait le premier terme on peut très bien l'écrire une fois psy h1 par exemple et le deuxième vous voyez que comme il y a le 1 sur n moins 1 ça devient en fait n sur 2 et puis on peut choisir par exemple w1 2 si donc là on a juste utilisé la symétrie alors du coup nous ce qui nous intéresse c'est l'énergie sur n donc on a qu'à diviser par n voilà et bien vous voyez maintenant ce qu'on peut faire c'est refaire la chose à l'envers c'est à dire ici on a psy h1 psy on peut très bien l'écrire comme 1 sur n moins 1 la somme j égale 1 à n moins 1 de hj et puis on peut faire la même chose ici écrire 1 sur n moins 2 la somme donc juste par la même manipulation c'est clair que c'est 1 sur n moins 1 psy c'est l'opérateur hn moins 1 qui agit seulement sur les variables 1 jusqu'à n moins 1 que je pourrais écrire hn moins 1 donc vous avez une fonction de n variable mais un opérateur qui n'agit que sur les n moins 1 première et en faisant ça on a vraiment utilisé tout le temps la symétrie de psy vous voyez aussi que ça on pourrait le faire avec n moins k mais comme cet opérateur il est au sens des opérateurs supérieurs et égales au bas de son spectre e2n moins 1 vous pouvez appliquer cette inégalité en fixant la variable xn et vous allez voir immédiatement comme si normalisé que ça c'est super égale à e2n moins 1 sur n moins 1 et donc e2n sur n est croissante et tout ça c'est vraiment la symétrie donc on sait que ça converge maintenant il faut démontrer que la limite c'est eh alors on va faire la preuve c'est un cas plus simple qui en fait est celui que vous trouvez partout dans la littérature qui est le cas où la non-linéarité le w ici a une transformée de fourrier qui est positive ce cas est beaucoup plus simple et d'ailleurs dans ce cas si a à vos 0 on peut démontrer que eh a un unique minimiseur donc c'est vraiment le cas où c'est unique et où c'est plus facile parce que ça ça va être positif c'est ce que le w chapeau positif c'est vraiment défocalisant la définition de défocalisant c'est la transformée de fourrier qui est positive pas la fonction bien et on va supposer que w chapeau est dans l1 ce qui nous garantit que la fonction w est continue et est envers 0 à l'infini alors pourquoi ça c'est plus facile bien c'est plus facile à cause du lm suivant qui est vraiment juste une application de la transformée de fourrier qui est que si vous regardez 1 sur et de moins 1 et puis vous calculez justement peut-être que vous criez avec des sommes psy, bon je vais créer une intégrale la somme enfin le terme compliqué qu'on doit étudier c'est à dire l'interaction d'accord donc ça c'est le terme compliqué en fait on peut le minorer par le terme non linéaire pour la fonction rho je vous rappelais qui est rho après à une erreur près à une erreur près qui est n sur 2 n moins 1 w de 0 et je vous rappelle que rho c'est la marginal de psy on intègre toutes les variables sauf la première d'accord donc c'est la probabilité pour la position des particules mais individuelle avant de démontrer ce lm je vais vous dire comment finit la preuve avec ça c'est terminé c'est facile donc la conséquence le corollaire du lm c'est que quand vous regardez psy avec hn psy eh bien vous allez voir que c'est supérieur ou égale à n fois l'énergie non linéaire de racine de rho moins une erreur qui est d'ordre 1 qui est n sur 2 n moins 1 w de 0 alors pourquoi notre énergie du problème à n corps à 3 termes n'oubliez pas qu'on a pris a égale à 0 c'est important donc ce terme ici c'est exactement le lm donc ça nous fait apparaître n fois le termes non linéaires c'est héros donc c'est bien racine de rho et cet erreur très bien donc il reste à comprendre les 2 autres termes ici alors le terme avec v est très facile parce qu'il se calcule exactement donc la raison c'est que si vous calculez psy la somme j égale à n de v de x j si, évidement c'est n fois la même chose avec v de x1 et ça vous voyez que c'est exactement intégral de v fois rho donc ce terme est facile il s'écrit exactement en fonction de rho donc il faut c'est juste parler du terme avec le laplacien peut-être je vais écrire des gradients donc on regarde la somme j égale à n du gradient j de psy carré et ce que je prétends c'est que ça c'est supérieur ou égal à n fois l'intégral du gradient de racine de rho alors ça je vais pas faire la preuve c'est juste en fait Cauchy Schwarz vous écrivez qui est rho vous calculez le gradient de racine de rho ça fait juste gradient rho sur de racine de rho et puis vous écrivez qui est rho vous écrivez Cauchy Schwarz ça donne ça directement c'est vraiment très simple mais ce que je veux vraiment vous dire c'est que là on utilise vraiment de manière un petit peu cachée le fait que le laplacien préserve la positivité vous voyez que si vous prenez n égale à 1 ce qu'on utilise vraiment c'est que le gradient de u au carré le gradient du module de u c'est vraiment ce qu'on fait si vous faites n égale à 1 dans ce cas la rho c'est module de u au carré c'est exactement cette inégalité ce qui est faux si vous avez A c'est équivalent enfin au fait que le noeud de la chair est positif donc ici on utilise vraiment une propriété spéciale et vous voyez que quand vous mettez bout à bout ces 3 arguments du coup on minor l'énergie de notre problème par n fois l'énergie non linéaire de racine de rho plus une erreur d'ordre 1 donc comme tout ça est d'ordre n c'est terminé on a même quelque chose de plus précis on voit que racine de rho c'est une minimisante pour le problème non linéaire et donc si on a la compasité des suites minimisantes on saura que racine de rho converge vers les minimiseurs vers les minimiseurs à ceci de près donc c'est vraiment le cas le cas plus facile alors comment on démontre le LEM c'est rien du tout c'est juste la transformation de fourrier donc la preuve du LEM c'est l'observation que si vous calculez W de X minus Y dp de X dp de Y vous pouvez l'exprimer en fourrier comme 2pi à la puissance d sur 2 et W chapeau de K P chapeau de K au carré des K qui est le bon goût d'être positif si W chapeau est une fonction positive c'était notre hypothèse dans cette partie de la preuve d'accord et donc pour en déduire quelque chose d'intéressant ce qu'on fait c'est qu'on prend P égal à la somme de delta en des points XJ moins une fonction état et on calcule pour ça si on calcule pour ça vous voyez qu'on trouve la chose suivante donc quand on développe quand on développe ce terme ici on va trouver la somme sur J et K de 1 à N des W de XJ minus XK qui est le terme qui nous intéresse moins 2 alors il faut calculer vous allez trouver la somme J égal à 1 à N de W convolé avec état en XJ je vous passe les détails, c'est assez évident il faut juste développer et ensuite plus l'intégral double état de X et état de Y W de X en Y des XT Y et tout ça doit être positif c'est ce que nous dit la positivité de la transformée de Fourier alors vous voyez que là vous avez la somme sur tous les J et K et donc ça c'est en fait exactement la somme sur les pairs plus la somme sur les éléments où J est égal à K qui va nous donner N fois W de 0 et là on a besoin que W de 0 soit bien des finis ce qui est le cas quand W est chapeau et N d'accord donc ça si vous voulez je peux l'écrire 2 fois la somme sur les pairs plus N W de 0 et donc vous voyez que l'intérêt ici c'est qu'on a une estimée inférieure sur une fonction ça s'appelle une fonction à deux corps une fonction qui fait intervenir les pairs de particules en fonction de quelque chose qui fait intervenir les particules une par une c'est ça qui est très important quand W est positif on peut avoir une borne inférieure sur une expression qui fait intervenir les pairs en fonction de quelque chose qui fait intervenir les particules individuellement donc ça c'est une estimée presque partout maintenant on intègre contre psycharés et si on intègre contre psycharés on trouve que la somme W de xj-xk fois psi au carré du coup est supérieur ou égal quand on met de l'autre côté il faut tout diviser par 2 ce terme ici va donner comme tout à l'heure N fois l'intégral de W convoilé avec état foiro c'est le même argument que pour le V c'est juste que V se trouve être W convoilé avec état si vous aurez moins un demi de l'intégral double état de x état de y W de x-y d'x-t-y et le terme d'erreur qui est moins N sur 2 W de 0 d'accord donc l'idée c'est on démarre de cette propriété on l'applique pour des delta moins un état on voit ce que ça donne on intègre contre psi et tout à la fin on optimise on choisit le meilleur état et le meilleur état c'est N fois rho en prenant état égale N fois rho et ensuite vous divisez par N moins 1 vous disiez le fait que N sur N moins 1 est plus grand que 1 vous trouvez exactement le l'M qui est juste au dessus vous voyez que cette partie c'est vraiment juste la positivité de la transamédforier et donc la preuve est vraiment plus simple donc la preuve du thoréme est terminée c'est une fonction positive et c'est vraiment le cas simple avec l'idée que c'est aussi le cas où on peut démontrer que le minimiseur est unique enfin c'est vraiment le bon cas quand A est nulle alors dans les 5 dernières minutes il faut que je vous explique maintenant comment on fait dans le cas général mais si vous avez compris ce cas particulier c'est la dernière partie donc si W est chapeau n'a pas de signes ça marche pas du tout cet argument ne marche pas du tout et la preuve que je vais vous proposer c'est une preuve que j'ai trouvée en relisant l'article de Lib et Yao où ils font quelque chose de similaire sauf qu'ils le font pour le potentiel de Newton c'est un peu spécial, c'est compliqué mais en s'inspirant de leur méthode on peut finalement donner une preuve qui n'est pas trop compliquée c'est une preuve qui est basée sur une astuce qui ressemble beaucoup à l'astuce qu'on a utilisé là haut pour comparer E2N à E2N-1 et Lib et Yao renvoient à Lévi Leblon Lévi Leblon c'est un physicien français qui aurait utilisé cette astuce en 1969 et en lisant l'article de Lévi Leblon Lévi Leblon renvoie à Dyson et Léna qui auraient utilisé ça en 70 quoi donc c'est une astuce bien connue quoi qu'à chaque fois c'est pas exactement la même astuce bien mais l'idée est toujours la même à la base de certaines variables pour en garder que quelques-unes en utilisant la symétrie alors le cas général bien sûr je vais toujours supposer que W échapeau est dans L1 même si je ne suppose plus rien sur le signe ce qui est encore pas tout à fait le cas général mais on peut toujours s'y ramener en approchant W par une fonction qui est dans L1 et en utilisant les injections Sobolef etc d'accord donc il y a une première étape qui est remplacée W échapeau c'est la même fonction L1 et après il faut vérifier qu'on ne fait pas trop d'erreur ce qui n'est pas trop difficile donc je vais écrire W égale F-G où F échapeau c'est la partie positive W échapeau et G échapeau c'est la partie négative de W échapeau et donc maintenant je vais vous livre l'astuce donc l'astuce va consister à séparer nos particules en deux groupes et du coup quand on va faire deux groupes ça devrait être plus simple de regarder deux aines particules donc on va regarder eux de deux aines sinon vous supposez que n est per c'est pareil de toute façon c'est croissant c'est que la limite existe donc si on démonte pour une sous-suite c'est bon donc on regarde deux aines particules et on fait deux groupes donc vous aurez les particules 1 jusqu'à n qui vont rester quantiques c'est à dire au sens qu'on va conserver le laplacien pour celle-là et ensuite on va l'interagir avec la partie répulsive du W mais pas la partie attractive on l'enlève et ensuite vous avez les autres qui elles vont interagir avec la partie attractive mais on change le signe avec un plus qui du coup va devenir répulsive et va être plus simple et ensuite ce qu'on va faire c'est qu'on va ajouter une interaction entre les deux groupes avec la partie attractive je vais vous expliquer ce que je suis en train de vous raconter ça veut dire que vous regardez psi hn psi divisé par n je vous le rappelle c'est cri psi h1 par exemple psi plus maintenant je vais le diviser en deux vous avez la partie avec le f et la partie avec le g donc la partie attractive et la partie répulsive d'accord W on l'écrit f-g excusez moi j'ai deux n particules et maintenant vous vous souvenez tout à l'heure ce qu'on a fait c'est qu'on a réécrit la même chose avec n-1 donc la partie en h on va la réécrire en faisant intervenir les n premières seulement non cette partie non je vais tout réécrire ça va être le psi et puis 1 sur n la somme j égale 1 à n des alj qui est vraiment juste le premier groupe puisque j'ai deux n particules la deuxième partie on fait intervenir seulement les n premières tout comme tout à l'heure et donc ça va être 1 sur n-1 la somme des fjk voilà fait bien attention ici vous avez n-1 sur deux termes et donc le n-1 s'en va le n que j'ai oublié et le 2 qui est là voilà et maintenant il faut traiter ce terme ici et donc on fait l'astuce suivante on va écrire moins un demi comme un demi moins un ce moins un demi on l'écrit un demi moins un et le un demi donc du coup on a changé le signe de g on le met totalement sur toutes les particules ici donc c'est à dire on écrit plus 1 sur n n moins 1 la somme des g peut-être j'écris lm pour insister et cette fois l et m sont entre n plus 1 et 2n je peux choisir les variables que je veux parce que de toute façon c'est symétrique quand je fais ça j'ai un plus un demi donc il faut que je le compense avec un moins un mais le moins un va juste être faire intervenir une interaction entre les deux systèmes c'est à dire g égale 1 à n et l égale n plus 1 à 2n de g gl j'espère que c'est clair l'idée est simple maintenant quand on écrit les sommes c'est pas ça fait beaucoup de sommes mais l'idée est simple on transforme la partie attractive en une interaction attractive avec un système qui est répulsif et donc là vous voyez que c'est un milletonien qui apparaît ici dans la parenthèse en fait c'est un opérateur différentiel seulement dans les n premières variables dans les autres variables bah ça n'apparaît seulement que dans g ici et donc ce que vous trouvez je vais m'arrêter là après c'est pas difficile ce que vous trouvez c'est que le e de 2n sur 2n en optimisant par rapport à psi est supérieur ou égal à l'infimum sur toutes les xn plus 1 x2n vous optimisez ces variables classiques maintenant il n'y a plus de la placien pour cela du spectre le opérateur qui est là bas et qui agit seulement sur l2 symétrique de rd puissance n d'accord c'est la même astuce que pour les n moins une particule là bas maintenant vous regardez les n premières seulement et vous minimisez juste par la plus petite valeur possible quand vous optimisez les n autres variables et donc la dernière étape c'est d'étudier ce problème ici où maintenant on a n particules au lieu de 2n mais en fait si vous regardez bien maintenant on peut appu... pardon non non c'est supérieur ou égal parce que notre psi est spécial donc c'est vraiment une borne inférieure qu'on a on prend un psi qui va optimiser le problème à 2n particules et le psi dépend de tous les x il est symétrique en tout le monde et là on oublie un peu la symétrie enfin on l'utilise mais après on oublie la symétrie quand on échange les variables des deux groupes donc maintenant ce que je veux juste que vous compreniez c'est qu'une fois qu'on est arrivé là l'argument est le même qu'avant c'est à dire que ce terme va être... donc le terme en v sera exactement en fonction du rho du psi qu'on va utiliser pour tester qui dépend seulement que de même variable le laplacien ce sera Cauchy Schwarz ce terme on l'a déjà traité parce que maintenant il y a un plus et ensuite il faut juste comprendre ces deux termes ici vous avez une partie répulsive c'est à dire intervenir rho et en utilisant la preuve du lèm vous allez facilement estimer ce terme par... par moins c'est à dire en utilisant le état en prenant état égal au rho encore une fois vous allez exactement trouver donc vous regardez ce problème ici là vous prenez un Psytyl vous regardez le Hamiltonien que j'ai écrit là bas au tableau là vous allez facilement trouver ça va être eH de racine du rho de Psytyl moins n sur 2 n moins 1 et puis vous aurez f2,0 qui apparaît et j'ai des 0 en utilisant le lèm le Hamiltonien ici j'ai déjà divisé par n partout c'était pas... d'accord et donc à la fin en disant que ça c'est supérieur égal à eH ça vous finit la preuve d'accord donc une astuce qui consiste à grouper les particules en... en deux groupes dix joints l'attraction comme... une interaction attractive avec un système répulsif d'accord et ce que je vais vous dire aussi c'est que cette astuce ici ne permet pas du tout de démontrer que le racine de rho Psy est une suite minimisante pour le problème initial juste parce que le Psytyl n'a rien à voir avec le Psy le Psytyl c'est un Psy qui réalise à peu près ce problème ici qui dépend que de n variables et donc en fait on n'a aucune information de la suite minimisante sur les minimiseurs avec cette preuve et donc la preuve des torres M2 et 3 est en fait complètement différente je m'arrête là la semaine prochaine on se retrouve à la même heure et on parlera de mesures de Gibson en linéaire cette fois merci