 Bueno, mejor lo mantengo corto. Héctor habla por favor. Ok, bueno, gracias por la presentación y por acordarse que hay una última charla hoy día, muchas gracias. Ok. El tema de hoy son las conjeturas de Bombieri y Lang. Para eso primero tengo que recordar algunos conceptos de geometría algebraica que seguramente ya vieron en el minicurso 2, sea acá un campo cualquiera, y voy a tomar X, una variedad proyectiva y reducible suave sobre este campo. Y cuando tomo un shift inversible, un line shift, shift inversible o shift de líneas, el semigrupo son aquellos exponentes M, tal que la M-ésima potencia tensor del shift tiene secciones globales, no nulas. Entonces, esto es un semigrupo porque uno se da cuenta que la suma de exponentes corresponde al tensor de secciones y la 0-ésima potencia tensor es el shift estructural que tiene las secciones constantes globales. Y es un hecho estándar que hay un entero k, de modo que el orden de crecimiento de las secciones globales, si yo me restringo a trabajar en el semigrupo, de modo que haya secciones globales, pero el orden de crecimiento de esta dimensión está acotado polinomialmente con grado k. Ese exponente k de crecimiento no puede ser demasiado grande, puede llegar a lo más la dimensión. Por ejemplo, si ustedes tienen una curva, lo más rápido que puede crecer esta dimensión es lineal, o sea, grado 1. No puede crecer más rápido que eso porque estamos con una curva. Si fuera una superficie, podría crecer cuando mucho cuadrático. Y este número se llama la dimensión de Codaira Itaca, del shift. La dimensión de Codaira Itaca es una medida de qué tan complicado es el shift que estoy utilizando. Y un shift inversible se dice grande, B. Si hay alguna potencia, tensor, de modo que la función racional asociada a ese shift es B racional en su imagen. Ustedes recordarán que esta definición se parece mucho a la definición de un shift amplio. Pero para un shift amplio, uno pide que este morfismo sea inyectivo, que sea un embedding dentro de un buen espacio proyectivo. Aquí voy a pedir simplemente que sea B racional con la imagen. Podría tener sus variedades que se contraden, podría no estar definido en algunos puntos, está bien. Mientras hay algún abierto donde sea inyectivo, está bien. Y uno puede hablar de divisor B, un divisor B, porque a cada divisor yo le puedo asociar el shift OXD. Que me imagino que todo esto lo han conversado hasta cierto punto, quizá en el minipurso 2. Son cosas básicas de geometría algebraica. Entonces, como les comentaba, hay una relación con amplio y naturalmente si un shift es amplio, entonces también es grande. Porque si es amplio, tiene que haber un N de modo que la potencia tensor me da un embedding. Y los embeddings siempre son vibracionales de imagen porque de hecho son un isomorfismo con la imagen. Entonces, las siguientes son equivalentes. Y esto es una propiedad importante que caracteriza los shift grandes, los shift inversibles grandes. El es grande. Eso es lo mismo que pedir que la dimensión de codaira y tacas sea tan grande como sea posible, igual a la dimensión de la variedad. El orden de crecimiento de las secciones. Y el lema de codaira, que es extremadamente práctico, muy útil cuando uno quiere ver ejemplos, me dice que el shift es grande. Si solo sí, hay una potencia tensor que me permite escribirlo como amplio tensor efectivo. O si lo quieren en términos de divisores. Un divisor es B, si tiene algún múltiplo que es linealmente equivalente a un divisor amplio más un divisor efectivo. Bien. Y la dimensión de codaira de una variedad se obtiene con el divisor canónico. Yo tomo el divisor canónico, o sea tomo la mayor potencia wedge. La mayor potencia cuña del divisor, perdón, del shift cotangente. Y ese es el divisor canónico, el divisor de las n formas, donde n es la dimensión. Eso es un shift inversible porque estoy tomando determinante. Y la dimensión de codaira de X se define como la dimensión de codaira Itaca, del shift canónico. Si yo tengo una variedad suave, irrelocible, proyectiva, voy a decir que es de tipo general. Y esto es muy importante para nosotros. De tipo general, cuando la dimensión de codaira es tan grande como se puede. O sea, la dimensión de X. O sea, otra forma de decir esto, según nuestras definiciones anteriores, es que el divisor canónico, el shift canónico es big, o el divisor canónico es big. En particular, cuando el divisor canónico es amplio, obtenemos una variedad de tipo general. Si no se entendió nada de lo que dije antes, no importa, esto es algo para tener en mente. Ese ejemplo sirve en la mayoría de los casos. Esto no es un sí solo sí, porque el sí solo sí por definiciones cuando el divisor canónico, el shift canónico es grande. Pero aquí estoy pidiendo simplemente amplio. Pero como les comentaba en la práctica, esto es suficientemente útil. Entonces, aquí hay un ejemplo. Si X es una curva de género G, entonces es de tipo general solamente cuando el género es mayor igual que 2. Sí, solo sí de hecho, en ese caso. Tipo general. Y, de hecho, uno puede calcular la dimensión de codadera y taca del shift canónico, usando el teorema de Riemann-Roch, para ver cómo crece el espacio de secciones. Es un ejercicio utilizar Riemann-Roch, no es demasiado complicado. Y la dimensión de codadera y taca del shift canónico, o sea, la dimensión de codadera de la curva, para curvas de género 0, que es menos infinito. Para curvas de género 1, curvas elípticas, es dimensión 0. Y para género mayor igual que 2, da dimensión 1, crece linealmente esa secuencia de dimensiones. Y como crece linealmente, y esto es una curva, obtenemos el caso tan grande como es posible, la dimensión de la variedad 1. Bien, para efectos de teoría de números, esto significa que uno puede esperar que una variedad tiene pocos puntos racionales cuando es de tipo general. Esto es un ejemplo para curvas, pero quizá en dimensión más grande ocurre lo mismo. Quizá en dimensión grande, voy a tener finitos puntos, o voy a tener puntos en un salisqui cerrado propio, cuando la variedad es de tipo general. Y esa pregunta viene aquí, de una pregunta de Bombieri. Ok, voy a volver a las diapositivas anteriores en un momento. Bombieri pregunta si es verdad eso, que si yo tengo una variedad, entonces si es de tipo general, esta es la parte importante. Si tengo una variedad de tipo general definida sobre Q, es verdad que hay un abierto de ella que no contiene puntos racionales, es verdad que tiene pocos puntos racionales. Y en el caso de curvas tenemos esto, en el caso de superficies se entiende muy bien la superficie de dimensión de Codair a menos infinito 0 y 1, pero en las tipos general no, al día de hoy no hay una buena clasificación de superficies de tipo general. Y es una área activa de investigación, hay gente que calcula un ejemplo nuevo y lo publican, en eso se lo llaman. Ok, bien, hay dugas o comentarios sobre esta pregunta de Bombieri. Entonces la idea es cómo yo pienso en dimensión superior para un análogo del teorema de Fartens o de la constitución de Mordel. Y Bombieri pensó en esta posibilidad, ya inmotivado por la clasificación en el caso de superficies, Bombieri, él espera que esto sea correcto para superficies, por lo menos, superficies. Y Land propuso una conjetura más osada. Land cree que siempre es cierto, para cualquier variedad de tipo general no importa la dimensión, dimensión más grande puede ser. Que si la variedad es de tipo general, hay un sarisque cerrado propio, que contiene todos los puntos racionales, salvo quizás unos puntos que se escapen. Y este sarisque cerrado uno lo puede agrandar para que contenga sus finitos puntos si quieren. Pero se entiende por lo general que este sarisque cerrado uno lo toma con componentes de dimensión positiva. Y esta conjetura es muy famosa, es una conjetura muy utilizada en teoría de números en geometría de Ofantina, que tiene una serie de consecuencias muy sorprendentes, tan sorprendentes que hay gente que cree que esto no es verdad. Entonces a nosotros nos encantan las variedades con pocos puntos racionales, pero la verdad es que esta conjetura es demasiado general, no hay tanta evidencia como para pensar que es cierto. Hay un caso que es cierto, que es el caso cuando X está contenido en una variedad abeliana, y ahí viene el teorema de Falkins, el teorema grande de Falkins del que conversamos ayer. Bien, primero entonces no entendemos cómo clasificar variedades de dimensión superior. Esa clasificación de Enrique Escogaira se conoce en superficies, pero en dimensión superior no hay al día de hoy un buen análogo completamente demostrado. Ya está el programa del modelo minimal, pero eso es área de investigación activa, no hay una última palabra al respecto. La conjetura de Gombier-Ilan tiene consecuencias extrañas, muy extrañas, y una de ellas es el teorema siguiente de Caporazo, Harris y Mason, y dice que si la conjetura anterior le puse conjetura 1, es esta. La conjetura de Gombier-Ilan, si esta conjetura es cierta, si esa conjetura es cierta, el teorema de Falkins sería cierto de manera uniforme. Vale decir, ustedes me dan un género mayor igual que 2, por ejemplo género igual a 2. Tienen que haber una constante, de modo que todas las curvas de género 2 tienen a lo más esa constante de puntos racionales, una cota uniforme. Esto no lo cree mucha gente. Entonces uno llega a una situación muy extraña en geometría aritmética, que mucha gente cree en la conjetura de Gombier-Ilan, pero poca gente cree en esta consecuencia de la conjetura de Gombier-Ilan. Es muy extraño eso, pero bueno, no sé, son creencias contradictorias. Me gustaría saber si este enunciado está entendido. O sea, hay alguna pregunta, algo que quisieran agregar o comentar. Especialmente. Sí. El teorema de Caporazzo Jarris Masur, ¿se sabe si se vale para curvas hiperlíticas? No hay ninguna familia infinita para la cual se conozca. Gracias. Si, pensando en aplicaciones para lo que se comentó al final de la charla anterior. Me interesaría saber por qué curvas hiperlíticas. Porque nosotros vamos a hablar de curvas hiperlíticas, pero me gustaría saber qué motivación hay detrás de esa pregunta. No lo sé. Bueno, una buena motivación es que las curvas hiperlíticas son más sencillas de estudiar. Uno siempre espera que los teoremas se demuestren ahí primero, ¿cierto? Pero bueno, vamos a ver una aplicación en el caso de género 2. Para g igual a 2, todas las curvas de género 2 son hiperlíticas. Vamos a hablar del caso hiperlítico en un momento, pero no se sabe. Sería muy, muy bueno, pero no se sabe. ¿Por qué la gente sospecha que esto no debería de ser verdad? Porque todos los días hay gente que encuentra curvas con más puntos racionales, ejemplos que tienen más y más puntos. Ah, ok, sí, gracias. Pero de la misma manera siempre hay gente que encuentra curvas helípticas con rango mayor y mayor. Y aunque hace 20 años nadie creía que los rangos de las curvas helípticas son acotados, alguna gente ahora sí lo cree. Yo creo, yo lo creo. De hecho, yo tengo un artículo al respecto de que hay conjeturas de LAN que implican que los rangos son acotados. Pero si los rangos fueran acotados en variedades abelianas, hoy día sabríamos que caporazos de Rasmusur sería correcto. Pero no sé, hay sentimientos encontrados también con los rangos acotados. Tú te refieres, por ejemplo, a las heurísticas de Pune y colaboradores, ¿cierto? Exacto, sí. Sí, pero esas heurísticas de alguna forma... Son heurísticas, no hay realmente un teorema ahí. Obvio, no ellos no pretenden que sea algo que no sea heurística, sí. Sí, y en el caso de function fields, en el caso de característica positiva, los rangos no son acotados. No sé, es un tema delicado. Yo votaría porque fueran acotados, pero tengo que reconocer que la evidencia es poca. Sí. Ok. Pero hay opiniones divididas, a eso quiero llegar. No hay un consenso de que esta conjetura que uno podría hacer de uniformidad sea cierta. No hay un consenso. Ya vamos de vuelta a ecuaciones de afantinas para cerrar este mini curso con algo más aritmético. Entonces tengo aquí una secuencia de cuadrados. Esto es menos uno al cuadrado, cero al cuadrado, uno al cuadrado, dos al cuadrado, tres al cuadrado. Entonces tengo... Tengo esta secuencia de cuadrados. Y quiero mirar las primeras diferencias. Cero menos uno es menos uno. Uno menos cero, uno. Cuatro menos uno, tres. De cuatro a nueve, cinco. Ok. Ahora quiero mirar las segundas diferencias. De menos uno a uno, dos. De uno a tres, dos. De tres a cinco, dos. Bien. Esto no debería ser sorprendente. Esto se puede hacer algebraicamente. N al cuadrado, después con loco N más uno al cuadrado, N más dos al cuadrado. Y hago la calcula al algebraico y al final da dos. Se simplifica. Ya. Y por eso estos ejemplos, yo los voy a llamar triviales. Una secuencia trivial de cuadrados. ¿Hay ejemplos no triviales? Sí. Por ejemplo, cero, siete al cuadrado, diez al cuadrado. De cero a cuarenta y nueve, cuarenta y nueve. De cuarenta y nueve a cien, cincuenta y uno. Y de cuarenta y nueve a cincuenta y uno, dos. Y aquí hay un ejemplo con cuatro términos. Bien. Preguntan. ¿Hay ejemplos con cinco términos? Quizá hay. Y yo no lo quise escribir porque los números son muy grandes y están en la próxima diapositiva y se van a sorprender de lo grandes que son. O quizá no hay porque alguien demostró que no había. No sé qué piensan ustedes. ¿Hay o no hay ejemplos de largo cinco? Bueno, nadie sabe. Eso es un problema abierto. No se sabe. Y de hecho no se sabe si hay una cota. Esto es un problema abierto. ¿Existe alguna constante M tal que toda secuencia no trivial de cuadrados que tenga segundas diferencias dos es acotada por M? O dicho de otra forma como está escrito acá. Si existe una constante M tal que si yo tengo M cuadrado con segundas diferencias dos tiene que ser trivial. Ahí es. ¿Tribial quiere decir que son consecutivos? Cuadrados de enteros consecutivos justamente. Si. Si. Es como en el ejemplo acá. Como esto. Entonces hay una cota uniforme para las no triviales. Ya. Y Bucky. Él preguntó si es que M igual a cinco era suficiente. No se sabe. Eso sigue siendo un problema abierto. Yo tenía pensado una aplicación en lógica. Este teorema que es que dice problema cuatro porque lo copié de la punta, pero es este problema. Si el problema de Bucky. Tiene una respuesta positiva para alguna cota. Entonces el problema de decidir representabilidad por formas cuadráticas diagonales es indecisible. Indecisible. Y esto es interesante porque. Hay teoremas de indecisibilidad para ecuaciones diafantinas. Pero utilizan ecuaciones diafantinas muy complicadas. Uno quiere algo indecisible con ecuaciones diafantinas sencillas. Las ecuaciones lineales son muy sencillas. Esas son decidibles. Y las ecuaciones cuadráticas las más fáciles entre ellas son las diagonales. Y Bucky dice que esto ya sería indecisible. Suponiendo que hay una cota uniforme como en el problema anterior. Por eso es la motivación para este problema. ¿Y me imagino que la M chiquita depende del M grande de alguna manera? No, no, no. Ah, el óptimo. Uno se puede preguntar por el óptimo. Sí. Sí, gracias. Aquí en el chat veo algo. Ah, pero no es el óptimo, sino que es cierto para algún M grande. Entonces hay un M chiquito fijo que para el cual de hecho ya va a ser indecisible. Te comprendo bien o no? Sí, sí. Estás entendiendo bien. Sí, hay uno da indecisible y además da indecisible de una manera uniforme. Pero el M chiquito óptimo va a ser mucho, mucho más grande que el M grande. Pero va a ser el óptimo. Va a haber un óptimo que da indecisible para todos los problemas de formas cuadráticas diagonales de ese largo. Para las familias. Porque uno nunca demuestra que una ecuación es indecisible. Porque una ecuación tiene o no tiene solución. Estamos de acuerdo, ¿cierto? Entonces hay una máquina de Turing que dice sí y hay una máquina de Turing que dice no. Alguna de las dos tiene razón. Así que es decidible. Las problemas son indecisibles cuando hay una familia infinita de problemas. Y en este caso la familia infinita sería aquellos que tienen M variables. ¿Se entiende lo que dije? Sí, yo simplemente preguntaba y ahora me quedé un poco confundido. Sí se sabe que hay un M chiquito aunque sea enorme pero constante, independiente de M para el cual este problema ya sea indecisible para la familia. No, no. No, ni siquiera si uno coloca la familia de todos con M no ha cotado. Ni siquiera ahí se sabe que es indecisible. Alguien pregunta si hay una razón para trabajar con el número dos. Sí, en el caso trivial aparece el dos. Y uno quiere saber si hay secuencias que imitan eso pero que no son triviales. Es por eso. Si aquí hubiese aparecido otro número como el siete, por ejemplo, entonces trabajaríamos con el siete. Pero el dos viene del hecho de que cuadrados consecutivos tienen segundas diferencias dos. Eso es un cálculo algebraico. No es algo que yo pida sino que eso es. Pueden pensarlo como que la segunda derivada de X al cuadrado es dos. Es muy similar a eso. Yo creo que también la pregunta se puede formular en vez de con cuadrados con cubos. Terceras diferencias de cubos igual a seis. Sí. Ok. Sí. Y también tiene consecuencias en lógica. Y bueno, Vojta en los noventa demostró que la conjetura de bomber y land, en el caso de superficies, implica una solución al problema de beauty. Lo resuelven. Entonces, Vojta lo que hace es él construye unas superficies algebraicas asociadas al problema y muestra que el problema en la conjetura de bomber y land implicaría que tienen pocos puntos racionales y él calcula dónde están. Si es que fueran, si es que fueran contenidos en un cerisqui cerrado el calcula que cerisqui cerrado sería el candidato y lo calcula de manera explícita. Y qué puede ser? Pensemos, en una superficie el cerisqui cerrado van a ser curvas. ¿Qué curvas pueden ser? De género 0 puede ser. De género 1 también puede ser. De género 2? No, porque una curva de género 2 tiene finitos puntos racionales. Entonces no me aporta demasiado. La puedo olvidar. Por lo tanto, lo que Vojta hace es calcular las curvas de género 0 y 1 en estas superficies. Y de esa manera puede aplicar la conjetura de bomber y land y puede concluir acerca del problema del viki. No vamos a hacer eso porque eso es algo complicado. Entonces, la manera en que Vojta hace esto es con diferenciales simétricos, una técnica que inicialmente viene de trabajos de pocos molos. Y esto fue generalizado por García Fritz para estudiar otros problemas de afantinos. Por ejemplo, el problema del cuboide perfecto que ella hizo en su tesis no lo resuelve de ninguna manera, pero obtiene información bastante nueva, bastante fuerte acerca del cuboide perfecto, usando el método de los diferenciales simétricos. Y el caso de Functions Filts de la conjetura de Mohanti, ese sí lo resuelve, García Fritz en su tesis usando esta técnica. Entonces esta técnica de los diferenciales simétricos es una técnica que tiene mucho potencial para más aplicaciones. Lo que yo voy a hacer en lo que queda de tiempo, que bueno, comenzamos media hora tarde, pero no me voy a tomar media hora más. Voy a tratar de hacer breve. Es que la conjetura que está en el teorema de Caporazzo Hermesur, o sea que si Caporazzo Hermesur fuera correcta a esa conjetura, implicaría el problema de Bic, y de hecho para género 2, para hiperelíticas. Supongamos que hay una cota tal que para toda curva de género 2, el número de puntos racionales no se pasa de esa cota. Supongamos eso. Entonces el problema de Bic tiene una respuesta positiva y la dependencia de las constantes es lo que estoy escribiendo aquí. O sea es una dependencia muy explícita. Bien. Entonces esto demuestra que la conjetura de Bombier y Lang implica el problema de Bic una respuesta. Entonces lo primero es que si yo tengo una secuencia con segundas diferencias 2, son los valores de un polinomio mónico de grado 2. Y esto es simplemente resolver las diferencias. Si alguien trabajó con matemática discreta alguna vez, esto no debería ser una sorpresa. Segunda diferencia constante es que es un polinomio cuadrático. Y yo ordeno mi polinomio cuadrático y lo puedo escribir así, j más b al cuadrado menos a, donde j es la variable. Y lo que yo estoy pidiendo es que para j igual a 1, 2, 3, etc. hasta m, esto me da un cuadrado. Y el a y el b son los parámetros del polinomio que estoy utilizando, que no sé qué es. Si a fuera 0, si a fuera 0, entonces tengo una secuencia trivial. Sería b más 1, b más 2, b más 3, etc. Todos ellos al cuadrado en una secuencia trivial. Por lo tanto, por contradicción, voy a demostrar lo siguiente. Que si el a no es 0, entonces no puede ser que todos estos sean cuadrados. Asumamos entonces que todos ellos son cuadrados y tratemos de llegar a una contradicción. Voy a tomar estos polinomios. x al cubo más b cuadrado menos a, x al cubo más 1 más b al cuadrado menos a. Y esos polinomios están inspirados por esta expresión. En uno reemplace j por x al cubo y en el otro reemplace j por x al cubo más 1. El discriminante del primer polinomio está escrito acá, 46.656 a al cubo a menos b cuadrado al cuadrado. Y en el otro caso, su discriminante está calculado acá, a al cubo a menos b más 1 al cuadrado al cuadrado. Bien, ¿pueden ser 0? Bueno, a no es 0, dijimos, porque si fuera 0 sería una secuencia trivial. Eso es muy importante. Si el a es 0, si esta parte en azul desaparece, esto es una secuencia trivial. Estoy suponiendo que no es trivial. Bien, entonces el a no es 0. Entonces si alguno de estos es 0, es porque el paréntesis es 0, ese o este. Pero se fijan que son distintos. Hay un b y hay un b más 1. No pueden ser 0 los dos. Puede que uno de los dos sea 0, pero no ambos. Entonces al menos uno de los dos discriminantes no es 0. Así que al menos una de estas dos ecuaciones define una curva suave hiperelíptica. Y esa curva yo la voy a llamar c. Hay preguntas sobre esta construcción. El punto es que cuando el x al cubo, que es el j o x al cubo más 1 que era j, toma valores 1, 2, 3, hasta m. Si es que fuera posible. Ya vamos a ver que en realidad no es tan así. Hay un pequeño detalle que hay que tomar en consideración. Esto me da un cuadrado. Esto también me daría un cuadrado. Entonces me da puntos. Da puntos en estas curvas hiperelípticas. Por ejemplo, con x igual a 7, me queda aquí 7 al cubo más 1. Y eso es un número. Si ese número es menor que m. Entonces esto tiene que dar un cuadrado. Y me daría. F2 de 7 igual a un cuadrado. Me da un punto racional en la curva hiperelíptica. Estas curvas hiperelípticas que genero tienen. 6 menos 1 partido por 2. Parte entera y eso es. Son curvas de género 2. Entonces como son curvas de género 2. Tienen. Bueno, a la que sea suave. Su cantidad de puntos racionales es menor igual que una constante b. Supuestamente uniforme. Entonces cuando j es x al cubo o cuando j es x al cubo más 1. Y la x varía desde 1 hasta b más 1. Obtenemos cuadrados como les comentaba antes. Y cuántos. Bueno, si el b. Si el m es tan grande como cubico en b. El m es cubico en b. Entonces el la x. Puede ir hasta b. Y un poco más porque puse un más 1. Y eso daría una contradicción. Estamos poniendo demasiados puntos racionales. Muchos puntos racionales en una curva. Eso. Así que eso concluye el mini curso 4. Trate de no demorar demasiado. Y gracias a los organizadores. Gracias a los demás expositores, especialmente aquellos que no se pasaron de su tiempo. Y. Y una agradecimiento especial a yerson caro. Porque bueno, yerson fue el ayudante del mini curso 4. Así que tengo que agradecerle. Muchas gracias. Y. Gracias a todos ellos por hacer que esta escuela virtual sea un éxito. Porque. Que tengamos 34 participantes. La última charla del último día significa que. La escuela funcionó. Así que muchas gracias. Eso. Tenemos un aplauso para todos, pero sobre todo para Héctor, quien ha sido el último de los combatientes. Y disculpen también que haya abreviado un poco mi presentación de hoy, pero me parece mejor decir más cosas ahora al final. Bueno, aplaudamos. Quisiera agradecer a todos los ponentes, a todos los otros organizadores y a todos los. Los oyentes que se han quedado hasta aquí. En verdad me gusta personalmente me ha gustado. Me han gustado muchísimo todos los cursos. Y también aprecio mucho que. El curso en portugués haya sido dado de manera tan clara. Que creo que todo hispanófono lo puede comprender y espero. Aunque no puedo certificar. Que el. El inverso también haya sido cierto. No se olviden de posular al agra físico de abril del año que viene. Esta fue la primera mitad de este agra. Fue un experimento. Yo creo que ha sido un experimento como ha implicado Héctor. Que ha sido exitoso. Y atendremos medio agra en abril del año que viene. Es nuestro plan. No se olviden de postular. Una vez que el proceso de postulaciones. Serán el Brasil en Cabo Frío. Bueno, todavía hay sesiones de problemas esta noche. Están todos bienvenidos. Salvo para este curso. Creo. Y verán todos los materiales en la página del agra. De limpa. Excepto. Creo que todavía no están los videos, pero los videos ya están en YouTube. Y también están en la página de ctp. Y Emanuel a carneiro acaba de ponerlos. En el chat. Allí. Voy a copiar nuevamente el enlace para que todos puedan verlos. Bueno. Muchísimas gracias nuevamente a todos. Y espero ver a varios de ustedes en la sesión de problemas. Aunque. Me dicen que. Para no inhibir a la gente yo debe estar incógnito. Aunque. Héctor. Se las arregló para arruinar mi anonimato ayer. Tu anonimato era el nombre. Cui anónimo. Entonces era muy difícil no descubrirlo. Pero si hubiera dicho que a pivar anónimo. Hubiera sido engaño. No. Todo el mundo hubiera pensado que era. No sé. Emanuel por ejemplo. Perdón. Perdón. Perdón. Qué cosa que he puesto ahí. Olvíete eso. Es. Ni siquiera. No. No. No. No sé. No sé qué cosa. No tiene nada que ver con nada. Tampoco es nada que meta vergüenza. El artículo del lector y el New York Times me parece. Bueno. No. Qué pasa con esta estupidez. Ah. Algún error tonto tenía de cometer hoy. Ignóranlo. Es cualquier estupidez. No sé qué artículo del New York Times es. Bueno. Bueno. Yo hice captura de pantalla. Pero. Emanuel puedes por favor. Compiar la dirección correcta. Porque está computadora me está dando todo el error. Los videos ya están. Los videos están. Ah. Ya. Sí. No. Seen. Seen. Los videos de hoy. Los videos de hoy estarán. La segunda. Feira. Ya. Estoy copiando. Letra por letra. La dirección. Del. Puesto. Emanuel. Porque no quiero otro error que me comienza a mostrar otras cosas. Las notas de aula y. Ya. Los. Dos sites. Tenemos un site. Muy bien. Muy bien. También tenemos el sede. Código. Quiero. Vance. Me pregunto. Me pregunto. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. Una no. de aplausos a todos y nos vemos en abril.