 Bueno, muchas gracias, Frodo. Gracias a los organizadores que la rompieron con la organización, la verdad que hasta hoy solo escuché elogios, hasta ahora solo escuché elogios acerca de la organización del Coloquio y bueno, voy a empezar a hablar de... Voy a elegir para hablar una cosa que es un artículo que hicimos con los colegas de acá que trabajamos juntos, que Jorge Aldo y Juliana, que trabajamos hace como tres o cuatro años, hicimos un trabajo que es bastante autocontenido, entonces me pareció que estaba bien explicarlo acá, aunque los que hacen el Seminar son temas dinámicos de vez en cuando ya verán oído hablar de esto, no es un tema nuevo. Y también gustó porque había problemas que dejamos para preguntas que dejamos allí y esas preguntas después no nos pusimos a pensar sino que nos entretenimos con otras cosas, pero ahora son, aparecieron de vuelta como fundamentales, entonces este, para lo que estamos haciendo ahora que es un poco distinto, entonces este, voy a contar eso y ya voy a pasar a poner una pregunta que es un problema abierto, que es el siguiente, todo es muy elemental, lo que voy a decir, así que este, bueno, espero que si tienen alguna duda me pregunten hasta desde el principio, yo tengo problema, entonces vamos a trabajar el plano, una superficie, una función F de la superficie en sí misma, ok, entonces una gama es una curva, decimos que es un arco libre, simplemente si F de gama cortado con gama da este el conjunto vacío, eso es lo que sería un arco libre y este, entonces el problema que estamos pensando, o que tendríamos que estar pensando, es el siguiente, para que pares de puntos hay un arco libre que lo sune, ese problema, para que pares de puntos hay un arco libre que lo sune, entonces lo primero que voy a decir es que si vos tenés un punto fijo, por ejemplo, si la F fija un punto X, obviamente por ahí no va a pasar un arco libre, no? es un ejemplo de que no hay un arco libre pasando por un punto, otra cosa que te puede pasar es que vos tengas en el plano un homeomorfismo sin puntos fijos, entonces típicamente puedes estar viendo traslaciones, una traslación tiene un dominio fundamental así, vamos a trasladar uno a la derecha, ese es el mapa, está bien? trasladado uno a la derecha, entonces si yo agarro este punto, no lo voy a poder unir con este, porque cuando haga una rallita por arriba, la imagen de este punto va a ser este, de acuerdo, y la imagen del otro va a estar acá, y por lo tanto la imagen de esa rallita va a estar así, de acuerdo, pero solamente los puntos que están a partir, si esto es la traslación a la derecha, los únicos puntos que yo no puedo unir con este son los que están a partir de este para allá o de uno para atrás para allá, de acuerdo, todos los demás sí puedo, mucho más drástico es este otro ejemplo, va a poner rayas acá en el plano y ustedes se imaginan que todas estas rayas forman una afoliación del plano, o sea cada raya de estas pasa un punto, perdón cada punto está en una sola de estas rayas, entonces digamos que acá en cada una de estas rayas son invariantes y tengo una traslación para abajo, cada punto se mueve uno para abajo acá y en esta se mueve así, cada una de estas es invariante también, o sea la F lleva cada una de estas rayas en sí misma y adelanta un poquito, adelanta un poquito y acá obviamente para tener una continuidad de la función F, que es un homeomorfismo, porque lo que estoy describiendo es un homeomorfismo, está bien, es una función billectiva del plano en el plano, ahora si yo quiero ir de este punto a este punto, estoy frito, o sea que hay muchísimos puntos en los que yo no puedo ir, porque hago cualquier raya, imagínense, entonces este punto va para abajo, pero este va para arriba, entonces cuando los quiero unir, se me cortan, pase lo que pase, se cortaron esas dos rayas, no hay manera de hacer una línea entre esos dos, de acuerdo, entonces ese es un ejemplo más drástico porque hay muchísimos puntos que no puedo unir acá, como que es muy poco y acá son muchos, entonces este problema lo voy a pensar un poquito ahora en la esfera, el problema, no tenemos una formulación muy concreta del problema, a veces voy a hablar de arco libre, si la pre imagen de gama no corta gama, que no es lo mismo, si no son homeomorfismo, no es lo mismo, si no es billectiva la función, y a veces voy a cambiar de variedad de la esfera, homeomorfismo, no homeomorfismo, o sea hay una variedad de problemas relativos a esto, de acuerdo a cuál sea el espacio en el que estoy trabajando, ahí vieron cómo es en el plano para homeomorfismo, es la cosa más o menos, esos son casi todos los ejemplos de homeomorfismo del plano, en realidad, entonces este, para ahora tenemos, piensen que estamos en el plano, pero que tengo un punto crítico tipo z cuadrado, un polinomio complejo z cuadrado más a, tenemos un punto crítico, este, en el plano, o sea yo tengo un punto c acá, que tiene, es un punto de ramificación, se llama, típicamente son los los z cuadrados en números complejos, o sea si va una raya que sale desde f de c, esa raya va a tener dos pre imágenes que salen desde c, ese punto crítico, esta es la imagen, es localmente 2 a 1 el mapa, lleva c en f de c, f de c no tiene otra pre imagen, y todos los demás puntos tienen dos pre imágenes, exactamente una de este lado y otra de este lado, si yo miro acá la f, así como r2 acá y r2 acá, cada punto del plano tiene dos pre imágenes, una de cada lado de esta raya, si, bien, ahí este, me gustaría entonces poder unir f de c con infinito, como está dibujado ahí, de manera que no se corte con su pre imagen, está bien, eso sería otro planteamiento del problema, y la tercera, el tercer caso que voy a trabajar hoy, sería que vos estás con la esfera, entonces tenés un cubrimiento ramificado, que va a tener dos puntos críticos, acá tenías otro que era el infinito, si pensabas en la esfera tenías un punto crítico que era el infinito y que era fijo, ahora voy a pensar que vos tenés dos puntos fijos, entonces tenés f de c y f de d, de acuerdo, y me gustaría encontrar un arco que une f de c con f de d, que sea libre, que su pre imagen no lo corte, la pre imagen es algo así, va a ser una línea que use un e c con d, pero son dos rayas, entonces va a haber otra, voy a poner capas colores, va a haber otra raya así, yo estoy hablando fuerte y tengo un micrófono, lo está turdo, y otro que hace así, de acuerdo, como que se separa la esfera cuando vos haces, cuando unís con un arco, desde f de c a f de d, tomas la pre imagen de ese arco y separas la esfera en dos componentes, desde cada una de ellas las funciones inyectivas, eso nos importa en pila, porque no quiero hablar de esto porque nos importa tanto, quiero seguir hablando de este problema, del problema de las curvas, nos importa, lo voy a decir solamente porque si acá, si esta no se corta con esta y yo encuentro aquí un continuo invariante, allá adentro voy a tener un punto fijo, para eso nos importa tanto, ahora, pero voy a hablar solamente de ese problema, entonces, voy a hablar de los resultados de ese artículo, que en ese artículo el objeto era el anillo, o sea es como si c y d fuesen puntos fijos, cero e infinito, como tipo z cuadrado será un ejemplo, entonces ahora vamos a trabajar en el anillo, de acuerdo, si pensamos que los dos puntos críticos son fijos, cero e infinito, te queda un cubrimiento, dos a uno del anillo, saque dos puntos de la esfera, lo mismo que si le saco dos discos a la esfera y me queda un anillo precioso y tengo un mapa que obviamente como no hay puntos críticos, justo lo saque y esos no tenían bra imágenes, porque justo los valores críticos tenían una sola bra imagen, entonces queda un anillo, bien, queda un anillo y queda un mapa dos a uno acá, entonces, muy bien, voy a pensar un poco qué pasa con las curvas en este modelo, de acuerdo, voy a poner acá, en realidad hace el mismo anillo, pero me gusta pensar así un poco primero para entender cómo es, entonces voy a agarrar una curva acá y voy a ver cómo es su imagen y cómo es su pre imagen, para entender esto, esto es sencillo, lo voy a hacer rápido, si agarro un arquito acá, un arquito que une el cero con el infinito, los dos cosos van a dar dos para imagen, obviamente estoy hablando de grado dos acá, estoy hablando de curimientos de grado dos, pero podría ser con más grado, o sea una vez que estoy en el anillo puedo decir que tengo un grado de, lo que sé, lo que quieran, pero esto es lo mismo para grados mayores que da igual, entonces, cuando voy a hacer la imagen de este pedacito, del pedacito de arriba de la curva, empiezo en un punto acá y cuando recorro esto volví acá, de acuerdo, y cuando haga el de abajo dominó, entonces, acá de acuerdo, y cuando haga el de abajo lo mismo, va a dar dos vueltas, lo mismo voy a mirar acá, ahora cuando haga la pre imagen, cuando haga la pre imagen voy a hacer esta raya negra acá, la raya negra tiene como pre imagen, es dos rayas rojas, entonces cuando yo levanto esta curva cerrada, en realidad se levanta como una curva abierta acá, si la levanto con base en este punto, pero si la levanto con base en la otra pre imagen de este punto me va a dar esta curva así, o sea que si yo mire una curva que apuntaba para allá, por ejemplo, ahora voy a encontrar como pre imagen una curva sola, que da una sola vuelta al agujero de acá, voy a hablar del índice de acuerdo, voy a hablar del índice de gama como las vueltas que le da al agujero en el sentido anteriorio, que tiene gama 1, implica que el índice de f a la menos 1 de gama, esto también se puede ver como una curva, también es 1, y que el índice de f de gama es 2, ¿de acuerdo? esa es la cantidad de vueltas que le hace al agujero en el sentido anteriorio, muy bien, entonces, si eso está claro, podemos empezar a pensar en el problema de unir un punto del borde de arriba con un punto del borde de abajo de manera que sea una curva libre, un arco libre, entonces voy a dar estas definiciones, un conector es una curva, es un arco que une los dos, es un arco que conecta los bordes del anillo, digamos, sin desconectar a, por ejemplo, una curva, un arco cualquiera que une un punto del borde con otro punto del borde, ¿sí? el punto del borde es un punto solo, yo hablo de un punto, pero en realidad hay un punto solo en el borde, eso es lo que estamos pensando, bueno, no pueden pensar que acá hay un anillo cerrado, no hay un anillo cerrado involucrado, un anillo abierto, en realidad si quieren cerrarlo lo compatifican con un punto, pero entienden, lo que estamos hablando es el anillo abierto, de acuerdo, es un curimiento del anillo abierto, este mapa, entonces un conector es un arco que se acumula en las dos bordes, digamos, es un conector, es un arco que se acumula en cada una de las dos componentes, pero no desconecta el anillo, eso le llamamos, claro, porque podría haber hecho un conector así, también, ¿no? podría ser un conector así, yo qué sé, esto también es un conector, bueno, lo que quiero hacer con exo es hacer una raya acá, eso también es un conector, pero el complemento tiene esto, esto, esto, no quiero que desconecte el anillo, ¿está bien? eso es lo que se llama un conector, es una curva, una curva que va en borde al otro, nada más, piensenlo así, entonces va este teorema, bueno, entonces, eso era explicar lo que significa ese teorema, la primera propiedad es un conector libre, lo que dije arriba, es un equivalente a esas tres propiedades, lo que me faltó decir, de acuerdo, esas tres propiedades son equivalentes, entonces, la segunda propiedad, que sea un conector invariante, quiere decir que la F transforma el conector en sí mismo, la otra es que sea libre, que disjuntos es lo contrario, ¿verdad? ¿Cómo? ¿Quién dice lo contrario? Y la tercera es que hay una semiconjugación con Z al cuadrado y eso es una propiedad interesante para el dinamista, que quiere clasificar los sistemas dinámicos, entonces, les explico un poquito lo que es la semiconjugación, en realidad, ya como se construye, una vez que hay un conector invariante, ya cuando vaya definiendo lo que es una semiconjugación, ya voy demostrando que b implica c, ¿está bien? Claro, si hay que demostrar que b implica c, y en realidad voy construyendo, la semiconjugación es una función que va desde el anillo, en ese uno, y que te hace hf igual Z cuadrado, la vamos a llamar ms2 para ponerle nombre de función h, ¿está bien? Entonces, eso es una semiconjugación, es una función continua y sobrejectiva, pero no es inyectiva necesariamente. Entonces, lo que estamos haciendo es buscar esta h, entonces fíjense cómo la voy a hacer, la h, acá tengo el anillo, es bastante fácil ver cómo se hace esto, tengo acá el anillo a y tengo acá s1, entonces quiero semiconjugar f con ms2, acá hay un conector que es invariante, como es invariante, la h le va a llevar al punto fijo que tiene Z cuadrado en ese uno, que es el uno, entonces simplemente voy a obligar a que todo esto, la h, la voy a empezar construyendo en el conector, siendo que va a parar al uno, de acuerdo, pero claro, ese conector es invariante, cuando miro su pre imagen de esa rayita, son dos, una es el mismo y hay otra de otro lado, por otro lado hay otra, porque cada conector tiene dos pre imágenes, vamos bien o es muy rápido eso, y esta otra donde la voy a mandar por la h, a la pre imagen del punto fijo, porque si quiero que se cumpla aquella ecuación, obviamente voy a tener que hacer que la pre imagen de este conector vaya a parar a la pre imagen del punto fijo, o sea que esto va al uno, si este era el conector y este era la pre imagen del conector, que no es el conector, está bien, muy bien, ahora miro la pre imagen de esto, que son dos curvas, y bueno, obviamente van a estar acá, son dos conectores, digamos, y a esos conectores los voy a mandar al y y al menos si, este al y y este al menos si, obviamente, bueno, si ustedes me creen un poco, eso conduce a un conjunto dentso acá, después yo lo extiendo por continuidad en las componentes que me queden, de repente me va a quedar una componente acá, voy juntando estos conectores, de repente me quedó todo esto acá, donde nunca entré, bueno, eso va al punto que tenga que ir por continuidad, por eso no es, por eso puede haber tremendos abiertos que van a un punto solo, ¿de acuerdo? ¿Por qué digo que eso ayuda a entender el problema que un dinamista quiere saber? El dinamista quiere saber cómo se clasifican, entonces yo tengo una semiconjuación, yo sé que como que hay radios, de acuerdo, donde la función es z cuadrado, y adentro, claro, cada radio, en vez de ser un radio podría de repente ser un conjunto abierto, ¿no? y esos conjuntos abiertos pueden cargar un homeomorfismo ahí adentro, o sea, la función en realidad podría tener aquí que vos nunca, el conector podría ser abierto también, entienden, el conector podría ser un conjunto abierto así, el conector puede ser un conjunto abierto, siempre es un conjunto cerrado, es un continuo acá que une estos dos puntos, ¿sí? Bueno, perdón, es un conexo, ¿dónde está? Es un continuo, un continuo en la compactificación de A con dos puntos, entienden, perdón, compactificó A con dos puntos y eso es un conector, eso es un continuo en realidad. Digo, si hay un continuo invariante libre hay una curva libre, son equivalentes, pero para invariantes no, preguntan. Por conexión de los complementos. ¿De qué? ¿Qué? Un continuo es conexo y compacto. Perdón, está bien, está bien. Es un conexo, digamos, que une los bordes, que conecta a los dos bordes, eso sería el problema. Perdón, que estoy hablando un poco rápido, ¿no? Puedes estar. Sí, sí, sí. Está gracias por cortarme ahí va. Es así. Entendieron, más o menos, cómo es la idea de cómo se construye la semiconjuación. ¿Por qué eso que era B implica C, ¿no? Que C implica A, si C implica A, si hay una semiconjuación, es muy fácil de hacer. Porque la preimagen, perdón, digamos, B implica C, un conector libre es muy fácil de encontrar porque si vos tenés acá un punto cualquiera X, que su imagen X cuadrado es diferente de él, esto corresponde a un conector aquí y su imagen va a ser un conector. Lo que nos dijiste es esto, ¿no? Que si vos tenés una semiconjuación la preimagen del 1 es un conector invariante. Si vos tenés una semiconjuación que cumple en las propiedades, una imagen del 1, eso te va a quedar un conector invariante. ¿Eso es claro o no? Eso no sé si es claro, pero es una demostración que se hace y no es difícil tampoco, ¿no está bien? Que tiene que ser un conector invariante. Bueno, muy bien, entonces tenemos esas tres propiedades que nos gustaría que fuesen, pero no son. Entonces, después de un tiempo de tratar de probar si en realidad se cumple en las tres para cualquier curimiento del anillo no es verdad, encontramos un ejemplo que era bastante complicado y no lo voy a hacer ahora, pero quiero o sea, la afirmación que estoy haciendo ahora es que existe una f que no las cumple. Es muy patológica, entonces voy a mostrar dónde está la patología. Vamos a ver cómo vamos a estudiar simplemente este tipo en un espacio más chico que el anillo. Vamos a tener un espacio más chico que el anillo. Vamos a decir tenemos una función f, vamos a considerar un espacio, ¿no? G, que son todas las transformaciones f de u en f de u que es un cubrimiento 2 a 1 de u-0 en f de u-0 este u en torno de cero, ¿entienden? Entonces tengo todas las funciones que van de un entorno del cero que son un cubrimiento 2 a 1 de u-0, ¿entienden? Eso es un anillo, yo tengo un abierto u acá, digamos que el abierto es simplemente con x, etc. Es un disco. U, disco. Y acá f de u va a ser algo así, acá va a estar el cero, y entonces la f va a ser un cubrimiento de ese anillito, pero simplemente yo no estoy hablando bien de no quiero decir quién es el dominio exactamente, porque voy a considerar diferentes dominios, el problema es lo que está pasando, todo está pasando ahí en un entorno del punto ese. Eso es lo que yo quiero decir. Entonces, voy a definir este, en este espacio puedo definir gérmenes, saben, porque puedo decir bueno, dos funciones son la misma que coinciden en un entorno del cero, ¿está bien? Entonces, para formalizar el trabajo en vez de hablar de transformaciones y que tienen diferentes dominios quiero hablar de gérmenes, que son las clases de equivalencia, de funciones que coinciden en un entorno del cero y que tienen esa propiedad. Así que yo, esto g se llamarán los gérmenes, ¿de acuerdo? O sea, le podemos poner un g con algún palito. g tilde sería g sobre la reacción de equivalencia. Entonces, este hay una topología ahí que es una topología que necesita que en el cero se afirme, ¿no? O sea, es una topología de Winden, ¿no? Topología fuerte que sería un entorno del cero un entorno de una f estado por una función epsilon una función epsilon que es positiva pero puede acercarse a cero en cero. U de f epsilon sería toda la función g ¿está bien? donde epsilon de u menos cero en r más es continua. De acuerdo, esto es una base de entornos de una f eso sería la topología de Winden ¿de acuerdo? Entonces voy a definir también lo que es un gérmen repulsor y un gérmen atractor si existen u en entorno del cero un gérmen f, digamos bien, identifico la f con el gérmen con la transformación porque van a ver que obviamente la decisión se puede pasar si existe un abierto u en entorno del cero tal que f a menos 1 perdón un repulsor si f a menos 1 de u clausura está contenido en u y la intersección de los f a menos n de u como dieron en entorno del cero esto bueno un menos cero pongo acá para que te dé vacío y ese atractor ahora hago un dibujo si existe u en entorno del cero tal que la clausura f de u para el futuro se mete adentro de u y la intersección de los f a menos n de u menos cero es vacío así que ¿qué es lo que pasa? en el segundo caso acá está el cero o sea en caso del atractor esto se mete para adentro y la segunda condición quiere decir que no hay ningún punto que esté en todos de acuerdo en todas las imágenes del f a la n de u ningún punto quedó esto siempre se van haciendo cada vez más chiquitos de acuerdo ningún punto quedó adentro de todos y para atrás es lo mismo entonces voy a probar este ejemplo que nos va a iluminar sobre el problema de la clasificación de los gérmenes entonces vos querés conjugación de gérmenes una definición más vos decís que f es conjugada con g si existe una h de u en b existen esto es una conjugación posta de cero y h de u en b tal que hf es igual a gh de acuerdo y un problema entonces que uno quisiera resolver es hallar un representante de cada gérmen esto es una relación de equivalencia en gérmenes hallar un representante de cada gérmen entonces ahí yo presenté dos gérmenes que obviamente son diferentes y voy a estudiar cada uno de ellos ejemplo dos gérmenes repulsores son siempre conjugados entonces eso les digo como se hace es muy fácil parecido a lo que hice recién ni lo voy a hacer es muy fácil porque yo tengo el u acá acá está el punto cero de gérmenes repulsores acá actúa la f acá actúa la g entonces este sería el u y este sería el u prima cuando yo itero para atrás me va a dar esto cuando itero para atrás acá me va a dar algo así entonces lo memorfismo h que quiero lo invento acá casi con ninguna exigencia de acá a este anillo en este anillo sólo lo único que tengo que cuidarme es que la f hace algo acá recuerden que la preimagen de esta curva es una curva sola de acuerdo la f lleva dos puntos de estos en uno de estos bueno que la h preserve eso cuando la invento tengo una libertad enorme de definir esta h se dan cuenta y una vez que la definí de este anillo en este si después cuando voy iterando para atrás el primer la curva esta la itero para atrás acá ya se me queda definida porque cada punto de x miro su imagen veo que tiene que ser h y busco la preimagen que corresponde no quiero ahondar en esto pero se dan cuenta que es fácil simplemente un cuidadito que hay que tener pero tengo una libertad enorme incluso de elegir la h muy bien entonces este hay una cuestión que es muy sencilla y es que si ustedes tienen un germen repulsor y perturban en la topología de windows y va a seguir siendo repulsor y si tienen un germen atractor también porque el epsilon de x que es ese tiende a 0 entonces a vos no te deja hacer locuras entonces tenés estás obligado que siga siendo un atractor si perturbas un atractor y un repulsor se sigue perturbando un repulsor entonces un corolario de esto es que todo germen bueno y todo germen es estable quiere decir que es estable que quiere decir que un entorno o sea existe un entorno u entorno donde todos son conjugados está bien hay un entorno donde todos son conjugados ahora este ejemplo ms2z que es z cuadrado es esta función que es un germen atractor esto verdad pues tienen acá el disco unidad si este es un germen atractor todos los puntos tienden a 0 si yo agarro la bola la bola de radio un medio cuando le hago la imagen me queda la bola de radio un cuarto y si sigo iterando para el futuro se cumplirá la definición de germen atractor de acuerdo entonces fíjense ustedes que a mí me dieron una epsilon voy a encontrar un ejemplo voy a mostrar que este no es estable me dieron una epsilon una función epsilon de acuerdo entonces esta epsilon yo digo que depende de radio en realidad porque si no la puedes arrepender solo del radio porque en cada círculo esto es como el mínimo de la epsilon y ese es positivo etc. voy a encontrar una epsilon más chica que esta que solo dependa del radio es un círculo de r sería una epsilon que depende solamente de r ahora en cada r fíjense que este un círculo acá perfectísimo va en el círculo de adentro 2 a 1 pero le encaja justo las dos vueltas sobre el mismo si es un círculo perfecto si es un círculo y cuando yo miro la función que va de acá a acá tiene más o menos esta pinta es como z2 o sea que se duplican las distancias entonces más o menos yo podría dibujar esto que no está bien porque no es el mismo pas, no es el mismo el dominio y el codominio pero le digo como es la gráfica de la función si la mirase solamente en la segunda coordenada es una función que es como 2x porque se multiplican por 2 los los ángulos ya está la diagonal dependiendo de cuán lejos yo esté de acá del cero tengo una epsilon de r que es positivo entonces puedo hacer una perturbación chiquita de esto si epsilon digamos es así supongan que epsilon es este tamaño voy a hacer una perturbación de la función esta que es menor que epsilon y que es así hacia así viene igualita, epsilon es todo esto está bien, es esta altura entonces vengo acá con la función esta y hago así la cierta con la que tenía, ¿entienden? que dibujé una función nueva que está bastante cerca de esta otra si epsilon tiene este tamaño está cerca está menos de epsilon, la distancia fíjense que es menos de epsilon, ¿sí? entonces ¿qué pasa acá? en realidad va a quedar un intervalo acá hay un intervalo que se queda invariante según este mapa este mapa no deja invariante nada lleva este círculo en este esa es la idea que estoy diciendo que puedo encontrar aquí un sector que es invariante por la función, ¿entienden? porque este acá hay un intervalo un intervalo que va en intervalo más adentro más adentro porque este sigue siendo un atractor o sea no cambie la dinámica en los círculos la dinámica de círculos en círculos pero sí cambio la dinámica en cada círculo y en cada círculo en esta circunferencia dependiendo del epsilon si estamos lejos del cero o muy cerca voy a tener que forzarme más pero lo puedo hacer cada vez hay que armarlo un poquito pero se entiende por lo tanto ¿a qué llegamos? que aquí hay un conjunto invariante que tiene un interior obviamente z al cuadrado no tiene eso si vos agarrás para z al cuadrado el conjunto invariante que hay es esta línea es la recta real positiva en el círculo que es darle z al cuadrado como se duplican de estas distancias esto se empieza a agrandar hasta que se autocorta etcétera no vas a encontrar un conjunto invariante donde sea inyectiva la función como es acá eso es una contradicción con el hecho de que este pudiese ser estable no es estable y si se forzan un poco más tenemos este otro corolario si nos esforzamos un poquito más con este ejemplo con esta argumentación por lo tanto ningún German atractor es estable todo German repulsor disculpe que feo estaba el enunciado lo que le hicimos al principio fue probar que cualquier German repulsor todos los German repulsores eran conjuados por lo tanto son todos estables y ahora si ustedes se forzan con esa idea que pudieron que hacer casi cualquier cosa ahí entienden y rompo la estabilidad fácilmente se dan cuenta entonces tenemos esa dicotomía el problema está en que vos tengas un borde del anillo que sea atractor ese borde del anillo puede ser muy maldito en lo que hace la función ahí puede ser casi cualquier cosa y eso puede romper todo ya termino ¿no? yo creo que ya puedo terminar porque lo único que quiero es hacer dos comentarios hace rato he tenido que terminar ah no, era fósforo ah no, capaz que no sí, claro importa, importa, solamente voy a decir algo más que es el problema que estaba que planté al principio porque este perdón había un ejemplo en que no se cumplían las propiedades no había un conector libre que era lo que nos interesaba desde el principio pero eso lo puedo demostrar porque no hay semiconjugación acá estoy hablando, miren, acá no hay conjugación de semiconjugación, ese tipo de argumentos puedo hacer pero trabajar con un conector y probar en ese ejemplo que no hay un conector libre es muy difícil yo no lo sé hacer, no sabría demostrar el teorema probando que no hay un conector demostrar el ejemplo probando que no hay un conector libre ¿cuál es la esperanza que tengo para que lo otro sea verdad para que la pregunta que planté al principio con dos con dos valores críticos con dos puntos críticos que sus imágenes no son con dos puntos es que ahora ya no tengo ese problema enorme que aparece en un agujero de estos donde el punto es fijo el punto crítico es fijo el hecho de sacar que el punto crítico sea fijo es lo que me alivia el problema me parece que es completamente diferente en este caso la respuesta negativa en el anillo no me asusta tanto no quería hablar más nada alguna preguntita las equivalencias las equivalencias las equivalencias eran son equivalentes tal y tal propiedad ejemplo hay un mapa que no las cumple ninguna eso fue lo que no quería yo quería que hubiese un conector libre quería que se cumplieran las tres buscamos trabajamos mucho en realidad empezó con la historia diferente pero la interesa se encontró en un conector libre y el hecho de que haya un ejemplo que no cumple esas tres propiedades pero es difícil el ejemplo cuesta mucho visualizar para qué sirve para empezar nosotros queríamos la semiconjugación en realidad queríamos la semiconjugar para trabajar en dinámica entender la F entonces nos dimos cuenta que tenía que ser que era equivalente entonces es fácil agarrar un arco libre y cuando nos pusimos a decir si se cortan acá lo corra un poquito al final probamos que no existía esa posibilidad ahora para qué sirve para qué lo queremos en el futuro es para encontrar puntos periódicos eso querés perdón tengo la esfera tengo dos puntos críticos y los valores críticos son diferentes ahora los voy a dibujar los cuatro juntos acá los voy a dibujar los cuatro juntos en una esfera sola y hago una línea fdc a fdd y suponente que tengo la suerte de que no corte a su pre imagen que es lo que quisiera que pase entonces su pre imagen como dije antes es una curva roja que une, se conde pero que se para la esfera en dos componentes de acuerdo desde cada una de ellas desde esta componente el mapa es un homeomorfismo que va sobre el complemento de este arquito y desde esta otra componente es un mapa que va sobre el complemento de este arquito de acuerdo o homeomorfismo entonces hay un teorema de bravor que te dice que si este es un homeomorfismo del plano con un continuo encontrarás un punto fijo en el lado cerquita conjunto invariante en continuo invariante eso sabemos métodos para hacer esas cosas si queremos puntos periódicos es el asunto que queremos resolver la gracia es que si yo tengo esto separado así puedo extender esto a un homeomorfismo del plano que deje invariante que no cambie nada acá y también puedo del otro lado también puedo construir teniendo esta situación puedo construir los homeomorfismos del plano que me dejan un compacto quieto sin perturbar ese compacto pero si se cortasen estas dos curvas no podría bueno he anillo cerrado todo mucho más fácil porque he anillo cerrado hay una rama que es el número de rotación cuánto crece cada punto en el cubrimiento una vez que obtenés una f entonces ahí con el número de rotación es fácil porque en anillo cerrado puedes construir la semiconjuación en anillo cerrado se puede hacer la semiconjuación gracias a que tenés la continuidad en el borde es sencillo puede definir una especie de número de rotación que es en realidad la velocidad de crecimiento al infinito de las órbitas futuras de un punto en el levantado siempre hay conector si hay semiconjugación hay conector eso me olvide de comentarlo gracias que está bueno que lo diga que obviamente si el anillo en vez de abierto fuese el anillo cerrado valían las tres propiedades cualquier currimiento el anillo cerrado cumple las tres propiedades pero ya lo que dije hoy no lo permite simplemente que va a ser otra cosa pero las cosas que hablé hoy no sé como demostraría bueno algo más bueno